第6章 二元关系
二元 关系
1.4.3.传递性
例1.13 设A={a，b，c}，R，S，T是A上的二元关系，其中 R={<a，a>，<b，b>，<a，c>}， S={<a，b>，<b，c>，<c，c>}，T={<a，b>} 说明R，S，T是否为A上的传递关系。 解 根据传递性的定义知，R和T是A上的传递关系，S不是A上 的传递关系，因为<a，b>∈R，<b，c>∈R，但<a，c>R。
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，
S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>}， 即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。 如图所示：
1
。 。
。 4 。 3
2
（3）设R是A上的关系，S为A上的空关系，即S=，则 R◦S=S◦R=。
R在A上是反自反的 x（x∈A < x，x > R）
1.4.2
对称性和反对称性
定义1.12 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，y∈A， 当<x，y>∈R，就有<y，x>∈R，则称二元关系R是对称的。 R在A上是对称的 x y（x∈A∧y∈A∧<x，y>∈R<y，x>∈R）
1.4.1 关系的自反性和反自反性
定义1.10 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都 有<x，x>R，则称二元关系R是自反的。 R在A上是自反的 x（x∈A<x，x>∈R）
定义1.11 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都有 < x，x > R，则称二元关系R是反自反的。
二元关系的性质及二元关系的应用（可编辑）
二元关系的性质及二元关系的应用引言在日常生活中,关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念,我们都熟知关系一词的含义,例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系,如“4大于2”,“在点,之间”.在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念,广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系,数据库的数据特性关系,其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类,进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念,通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.最基本的关系就是二元关系,就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如有三个人和四项工作.已知可以从事,可以从事,可以从事,那么人和工作之间的对应关系可以记作: 这是人的集合到工作的集合之间的二元关系.一基础知识定义1 设,为集合,用中元素为第一元素,中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做和的笛卡尔积,记作,符号化表示为.定义2 如果一个集合满足以下条件之一:⑴集合非空,且它的元素都是有序对;⑵集合是空集,则称这个集合是一个二元关系,通常记作大写的英文字母,二元关系也可简称为关系.对于二元关系,如果有序对,可记为,否则记为.例如, ,则为二元关系,不是二元关系,只是一集合,除非将和定义为有序对.二元关系中特别重要的是从到的关系与上的关系.定义3为集合,的任何子集所定义的二元关系叫做从到的二元关系,特别当时则叫做上的二元关系.集合上的二元关系的数目依赖于中的元素数,当含有个元素时即,则,的子集有个,每一个子集代表一个上的关系,所以上有个不同的关系.定义4 对任意的集合都有三种特殊的关系:①空集是任何集合的子集当然也是的子集,也是上的关系,称为空关系.②称为上的全域关系.③为上的恒等关系.给定集合,定义几种常用的关系:定义5 是实数集的任意非空子集,则称上的二元关系为上的小于等于关系.定义6 为非0整数集,则称上的二元关系为上的整除关系.定义7 设是整数集的任意非空子集,是任意正整数,则称上的二元关系为上的模同余关系.定义8 设是由一些集合构成的集合族,则称上的二元关系为上的包含关系.例:设,求上的包含关系.解:由于, 在日常生活、生产活动和科学研究中,人们常用点表示事物,用点与点之间是否有连线表示事物之间是否有某种关系,这样构成的图形就是图论中的图.定义9 一个无向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是无序集的有穷多重子集,称为边集,其元素称为无向边,简称为边.定义10 一个有向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是笛卡尔积的有穷多重子集,称为边集, 其元素称为有向边,简称边.通常用图形来表示有向图和无向图:用小圆圈或实心点表示顶点,用顶点之间的连线表示无向图,用带箭头的连线表示有向边.定义11设为一个有向图,,若从到存在通路,则称可达,记作.规定总是可达自身的,即.若且,则称与是相互可达的,记作.规定.与定义9和定义10有关的还有下面一些概念和规定.⑴无向图和有向图统称为图,但有时也常把无向图简称为图.通常用表示无向图,表示有向图,有时也用泛指图有向的或无向的.用,分别表示的顶点集和边集, ,分别是的顶点数和边数.有向图也有类似的符号.⑵设为无向图, ,称为的端点,与关联.若,则称与的关联次数为1;若,则称与的关联次数为2,并称为环.如果顶点不与边关联,则称与的关联次数为0.若两个顶点与之间有一条边连接,则称这两个顶点相邻.若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.⑶设为有向图, ,称为的端点, 为的始点, 为的终点,并称与关联.若,则称为中的环.若两个顶点之间有一条有向边,则称这两个顶点相邻.若两个边中一条边的终点是另一条边的始点,则称这两条边相邻二关系的三种表示方法表示关系的方法有三种:集合表达式,关系矩阵和关系图.2.1 集合表达式由于关系是一种特殊的集合,当然可以用集合表达式表示.例如:设,则用集合表达式表示上的关系.⑴.⑵.解: ⑴⑵2.2 关系矩阵和关系图关系矩阵可以用来表示有穷集到的关系与上的关系,关系图只能表示有穷集上的关系.当关系中的元素较多时,利用关系矩阵和关系图可以形象直观的表示关系.设给定两个有限集合,,对应于从到的二元关系有一个关系矩阵,其中如果是有限集合上的二元关系或和含有相同数量的有限个元素,则其关系矩阵是方阵.而同时对应的关系图就是在平面上用个点分别表示中的元素,另外再在平面上画出个点分别表示中的元素,如果集合和中有相同的元素则用同一点表示.当时,则从点至画一条有向边,其箭头指向,否则就没有边联结.例从到的关系, 通常将和中的元素设定为升序顺序,则对应的关系矩阵为:对应的关系图为:特别地,当为上的二元关系时,如果,则对应于的关系矩阵是阶方阵,方阵中的元素应有: ……………… (★)其关系图表示可以在平面上仅画个点,有向边的规定不变.例如,则的关系矩阵是对应的关系图为实际上,除了二元关系可用图表示之外,图中还蕴含许多丰富的二元关系.从图论中图的定义简单分析,图有点、线和点边关系构成.根据图中“边”就可以获得图中点间的“邻接关系”、“可达关系”及点边之间的“关联关系”.在图中,这些关系都是在(★)式所规定的方法基础上来表示成矩阵. 下面就来看一下这几种关系在离散数学中的定义.邻接矩阵的定义:设有向图,,令为顶点邻接到顶点边的条数,称为的邻接矩阵,记作,或简记为.例如下图2.2.1, 写出其邻接矩阵有向图的邻接矩阵为: ;性质1 简单有向图的邻接矩阵是一个0,1的矩阵:对角线元素为0,但不一定对称.性质2 矩阵的各行和是相应顶点的出度,各个列和是相应顶点的入度。
二元关系的概念
二元关系（binary relation）是集合理论中的一个基本概念，它描述了两个集合之间的
关联。
给定两个集合A和B，二元关系R是从A到B的一个子集，即R ⊆ A × B。
这
里的A × B表示集合A和集合B的笛卡尔积，该积包含所有可能的有序对（a, b），其中a属于集合A，b属于集合B。
如果有序对（a, b）属于关系R，我们通常表示为a R b，意味着集合A中的元素a与
集合B中的元素b存在某种联系或关联。
例如，考虑两个集合A = {1, 2, 3}和B = {4, 5}。
一个可能的二元关系R为{(1, 4), (2, 5), (3, 4)}，表示1与4之间存在某种关系，2与5之间存在某种关系，以及3与4之间存
在某种关系。
二元关系的应用非常广泛，它们存在于各种数学、计算机科学和工程领域，例如函数、等价关系、偏序关系等。
二元关系的性质，如自反性（reflexivity）、对称性（symmetry）和传递性（transitivity），有助于进一步研究和分析问题。
离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)
VS
详细描述
关系的对称差运算可以用符号表示为 R△S，其中 R 和 S 是两个关系。它包括 属于 R 但不属于 S，以及属于 S 但不属 于 R 的所有有序对。如果 (a, b) 在 R△S 中，那么 (a, b) 或者只属于 R，或者只属 于 S。
04
CATALOGUE
关系的闭包
闭包的定义
1 2
关系的交运算可以用符号表示为 R ∩ S，其中 R 和 S 是两个关系 。它包括同时属于 R 和 S 的所有 有序对。如果 (a, b) 在 R ∩ S 中 ，那么 (a, b) 同时是 R 和 S 的差是一种集合差集操作，它从第一个 关系中去除与第二个关系共有的元素。
中可以推导出的新事实。
数据完整性
03
在数据库设计中，闭包的概念用于确保数据的完整性和准确性
，防止出现冗余和不一致的情况。
05
CATALOGUE
关系的类型
函数关系
总结词
函数关系是一种特殊的二元关系，它满足每 个自变量都有唯一的因变量与之对应。
详细描述
在函数关系中，对于定义域中的每一个元素 ，在值域中都有唯一一个元素与之对应。这 种关系具有明确性、确定性和无重复性。常 见的函数关系有数学函数、映射函数等。
离散数学ch2.二元 关系(5、6、7节)
contents
目录
• 引言 • 二元关系的性质 • 关系的运算 • 关系的闭包 • 关系的类型 • 关系在数据库中的应用 • 关系在人工智能中的应用
01
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引言
定义与概念
定义
二元关系是集合论中的一个基本概念 ，它描述了两个元素之间的联系。
在设计关系型数据库时，需要考虑数据结构、数据完整性、数据冗余和数 据安全性等方面。
二元关系
▎
笛卡尔积的性质
定理 设A, B, C, D为四个非空集合, 则 A B C D的充分必要条件是A C, B D 证明 必要性: 若A B C D, 又A, B, C, D都不是空集, 故对任意的aA, bB, ‹a, b› A B C D, 则aC, bD, 因此A C, B D。 充分性: 略
关系与集合的共性：
集合的所有性质和运算，同样适用于关系
关系与集合的不同：
<a,b> 不等于<b,a>说明：A={a,b}与B={b,a}则A=B, A={<a,b>},B={<b,a>},且a<>b，则A<>B
两个问题： 1）给定两个集合，可能有多少种关系 2） 给定两个集合，可能有多少个有序对
‹b, ‹0, u››, ‹b, ‹0, v››, ‹b, ‹1, u››, ‹b, ‹1,
由定义知 (A B) C A (B C) (除非A = 或 B = 或 C = ), 即笛卡尔积不满足结合律。
v››}
笛卡尔积的性质 定理 设A, B, C为任意集合, *代表∪, ∩或–运算, 则 A (B * C) = (A B) * (A C) (B * C) A = (B A) * (C A) 证明 我们仅证明A (B∩C) = (A B)∩(A C), 另外 五个公式可类似地证明。 ‹x, y› A (B∩C) xA∧y(B∩C) xA∧(yB∧yC) (xA∧yB)∧(xA∧yC) ‹x, y› A B∧‹x, y› A C ‹x, y› (A B)∩(A C)。
二元关系分类
二元关系分类
二元关系是一种描述两个实体之间的关系的方式。
在这种关系中，每个实体都有可能与另一个实体有特定的联系。
下面是一些常见的二元关系分类：
1. 相互依赖关系：指两个实体之间相互依存的关系，其中一个实体的存在或状态取决于另一个实体。
雇主和员工之间的关系，供应商和客户之间的关系等。
2. 继承关系：指一个实体从另一个实体继承属性或特征的关系。
父类和子类之间的关系，接口和实现类之间的关系等。
3. 关联关系：指两个实体之间存在某种关联的关系，但彼此之间没有依赖关系。
学生和课程之间的关系，医生和病人之间的关系等。
4. 包含关系：指一个实体包含另一个实体的关系。
公司和部门之间的关系，国家和城市之间的关系等。
5. 同一关系：指两个实体具有相同属性或特征的关系。
兄弟姐妹之间的关系，同一学校的学生之间的关系等。
6. 依赖关系：指一个实体依赖于另一个实体的关系。
一个类中的方法依赖于其他类的方法或属性。
7. 协作关系：指两个实体之间通过合作实现共同目标的关系。
团队成员之间的合作关系，合作伙伴之间的关系等。
以上是一些常见的二元关系分类，它们在不同领域中都有广泛的应用。
这些分类可以帮助我们理解实体之间的关联和相互作用，进而更好地分析和解决问题。
二元关系
domR {1,2,4} ， ranR {2,3,4} ， fldR {1,2,3,4}
定义 7.7
设 R 为二元关系，R 的逆关系，简称为 R 的逆，记作 −1 ，
其中
−1 = {<y,x> | <x,y>R}
例如
若 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}
则 −1 ={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
定义 7.8 设 A 、 B 、C 是三个集合， R 是从 A 到 B 的二元关系， S 是从 B 到 C 的二元关系，则 R 与 S 的
复合关系 R S 是从 A 到 C 的二元关系，并且
R S x, y t ( x, t R t, y S )
等都是从
A 到 B 的二元关系，而3 和 R4 同时也是 A 上的二元关系。
例设 A {a, b} ， B {c, d} ，试写出从 A 到 B 的所有不同的二元关系。
解：从 A 到 B 的所有不同的二元关系，即 A B 的所有子集。
0 元子集： ；
1 元子集： { a, c } 、 { a, d } 、 { b, c } 、 { b, d } ；
简化这种记法，下面给出关系的幂的定义。
定义 7.10 设 R 是集合 A 上的二元关系， n 为自然数，则 R 的 n 次幂定义为：
（1） R x, x x A I A ；
0
（2） R n1 R n R ，
（n 0）
。
由定义容易得到，对于任意的 m, n N ，有 R R R
7.1二元关系的基本概念和表示方法
说明
定义7.5 对任意集合A，定义 全域关系 EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A 恒等关系 IA={<x,x>|x∈A} 空关系
举例
设 A={1,2}，那么
EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA={<1,1>,<2,2>}
小于或等于关系：LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y}，其中 AR。 整除关系：DB={<x,y>|x,y∈B∧x整除y}，其中 BZ* Z*是非零整数集 包含关系：R＝{<x,y>|x,y∈A∧xy}，其中 A是集合族。
定义7.4 设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到B的二元关系；特别当A=B时，则叫做A上的二元关系。
举例
A={0,1}，B={1,2,3}，那么 R1={<0,2>}，R2=A×B，R3= ，R4={<0,1>} 等都是从A到B的二元关系，而R3和R4同时也是A上的 二元关系。 集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数。 2 如果|A|=n，那么|A×A|=n2， A×A的子集就有 2 n 个。 每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 n 个不 同的二元关系。 32 例如|A|=3，则A上有 2 个不同的二元关系。
例 设A={1,2},求P(A)×A。 P(A)×A
＝ {,{1},{2},{1,2}}×{1,2}
＝ {<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}
二元关系
第四章二元关系宇宙万物之间存在着形形色色的联系，这种联系正是各门学科所关注的根本问题。
例如，人与人之间有父子、兄弟、师生关系；两数之间有大于、等于、小于关系；电学中有电压、电阻与电流间的关系；元素与集合之间的属于关系；计算机科学中程序间的调用关系，程序执行过程中状态之间的转换关系,程序执行前变量取值状况和执行后变量取值状况的关系，文件与路径的关系……。
集合论为刻划这种联系提供了一种数学模型——关系，它仍然是一个集合，以具有那种联系的对象组合为其成员。
换言之，集合论中关系不是通过描述关系的内涵来刻划这种联系，而是通过列举其外延(具有那种联系的对象组合全体)来刻划这种联系。
这使关系的研究可以方便地使用集合论概念、运算及研究方法和研究成果。
在离散数学中，“关系”被抽象为一个基本概念，在通常情况下，“关系”是至少由两个集合在给定条件下产生的新集合，它提供了一种描述事物间多值依赖的工具，为计算机科学提供了一种很好的数学模型。
需要指出，集合论中的关系研究，并不以个别的关系为主要对象，而是关注关系的一般特性、关系的分类等。
4.1有序组与集合的笛卡尔积定义4.1设a，b为任意对象，称集合｛｛a｝，｛a , b｝｝为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为<a，b>。
称a为<a，b>的第一分量，称b为第二分量。
注意，第一、二分量未必不同。
定理4.1对任意序偶<a，b> , <c, d > ,<a，b> = <c, d > 当且仅当a＝c且b = d。
定义4.2递归定义n元序组<a1，…a n><a1，a2> =｛｛a1｝，｛a1 , a2｝｝<a1，…a n> = <<a1，…a n-1>, a n>本质上, n元序组依然是序偶。
a i称为n元序组的第i分量。
定理4.2对任意对象a1，…，a n，b1，…，b n，<a1，…，a n> = < b1，…，b n >当且仅当a1 = b1 ，…，a n= b n显然，序偶和n元序组都是集合，但由于它们的特殊结构，把次序赋予了有关对象，我们以后更多关心的是它们的这种“序特性”。
离散数学二元关系知识点总结
定义1
设R是A上的二元关系，nN，那么R的n次幂记为Rn，定义如下：
（1）R0是A上的相等关系，R0={<x, x> | xA}
（2）Rn+1= RnR
RmRn
（5）如果对每一x，y，zA，xRy，yRz蕴含着xRz，那么R是传递的。即
A上的关系R是传递的xyz(xAyAzAxRyyRzxRz)
《关系的合成》
定义1
设R1是从A到B的关系，R2是从B到C的关系，从A到C的合成关系记为R1R2，定义为
R1R2 = {<a, c> | aAcCb [bB<a, b>R1<b, c>R2]}R1R2有时记为R1R2。表示合成运算。
二元关系
《关系》
定义1
AX B的子集叫做A到B的一个二元关系
A1 X A2 X A3…Xan(n>1)的子集叫做A1 X A2 XA3…Xn上的一个n元关系。
An=A X A X… X A(n>1)的子集叫做A上的n元关系。
定义2
设R是Xn t=1Ai的子集，如果R=，则称R为空关系，如果R=Xn t=1Ai。则称R为全域关系。
D(R) = {x |y (<x, y>R)}叫做关系R的定义域。
R(R) = {y |x (<x, y>R)}叫做关系R的值域。
《关系矩阵和关系图》
矩阵：表达有限集合到有限集合的二元映射。
定义1
给定集合A= {a1, a2, …, an}和B= {b1, b2, …, bn}，及一个A到B的二元关系R，使
定义3
设R1是Xn t=1Ai上的n元关系,R2是Xmt=1Bi上的m元关系。那么R1 = R2，当且仅当n=m，且对一切i，1<=i<=n，Ai=Bi，并且R1和R2是相等的有序n重组集合。
02-第4讲：二元关系
表示方法
1 集合表示法 （前已使用） 2 关系矩阵法（从有穷集A到有穷集B的关系） 3 关系图（有穷集A上的关系）源自基本概念定义4.4
设两个有穷集A={x1, x2, …, xm}，
B={y1, y2, …, yn}，R A×B。
则对应于二元关系R有一个关系矩阵:
MR=(rij)m×n，其中
rij
离散数 学罗 元 勋 博 士
厦门大学数学科学学院
第4讲 二元关系
基本概念
定义4.1
二元关系 如果一个集合为空集或者它的每个元素都是有 序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记 作R。二元关系也可简称关系。
对于二元关系R， 如果<x,y>∈R，则记作xRy；
如果<x,y>R，则记作xRy。
基本概念
基本概念
定义4.3
对任何集合A： EA＝{<x,y>｜x∈A∧y∈A}＝A×A， IA＝{<x,x>｜x∈A}。
例子
例4.1 设A＝{a,b}，请写出P(A)上的包含关系R 。 解：P(A)＝{,{a},{b},A}。 R ＝{<,>,<,{a}>,<,{b}>, <,A>,<{a},{a}>,<{a},A>, <{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}。
定义4.2
设A,B为集合，A×B的任何子集所定义的 二元关系称作从A到B的二元关系。特别 当A＝B时，则叫做A上的二元关系。
基本性质
思考
有穷集A上有多少个不同的二元关系?
若|A|=n
则|A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2
二元关系模式
二元关系模式
二元关系模式是指由两个集合构成的关系模式。
在数据库中，二元关系模式是非常常见的一种数据模型。
它由两个集合构成，分别是定义在两个实体集合上的关系集合和属性集合。
其中，关系集合描述了实体之间的联系和互动，属性集合则用来描述实体的特征和属性。
在二元关系模式中，实体和属性都可以用集合来表示。
在数据库设计中，二元关系模式通常用于描述两个实体之间的关系，例如学生和课程之间的关系，订单和产品之间的关系等等。
这种数据模型非常适用于对象之间存在互动和关联的情况下，能够有效地描述和表达对象之间的关系。
总的来说，二元关系模式是一种简单而又实用的数据模型，在数据库设计和数据分析中都有广泛的应用。
它能够有效地描述对象之间的联系和属性，为企业决策提供了有力的支持。
- 1 -。
二元关系经典范文
二元关系经典范文Binary relationships have always played a significant role in shaping human interactions and interpersonal dynamics. 二元关系一直在塑造人际关系和人际动态方面发挥着重要作用。
In psychology, binary relationships manifest in various forms, such as attachment styles between individuals or the dynamics between therapist and client. 在心理学中，二元关系以各种形式呈现，比如个体之间的依恋风格或治疗师与客户之间的动态。
The concept of binary relationships can also be observed in sociology, where power dynamics and social hierarchies often operate on a binary system of dominance and submission. 二元关系的概念在社会学中也很常见，权力动态和社会阶级往往是在主导和顺从的二元体系上运行。
In literature and the arts, binary relationships are commonly used as a narrative device to create tension and conflict, such as the classic struggle between good and evil in storytelling. 在文学和艺术中，二元关系常被用作叙事工具，以制造紧张和冲突，比如在故事叙述中经典的善与恶的斗争。
In personal relationships, binary thinking can sometimes lead to polarized views and misunderstandings, as people are often quick to categorize others as either friends or foes, neglecting the complexities of human interactions. 在人际关系中，二元思维有时会导致极化观点和误解，因为人们往往很快将他人归为友或敌，忽略了人际互动的复杂性。
二元关系型作文
二元关系型作文
二元关系型作文是一种围绕两个相互关联的事物或概念展开的文章形式。
该类型的文章通常需要描述或分析两个事物之间的联系、相似之处或差异，并论述这些联系、相似之处或差异的重要性或影响。
下面是一个例子：
二元关系作文：生物多样性和人类发展
生物多样性是指地球上所有生物种类、生态和基因的多样性。
这种多样性提供了许多重要的生态和经济功能，包括氧气和水的产生、食品和药品的生产、生态平衡的维持以及旅游等产业的促进。
然而，随着人类的活动和发展，生物多样性正面临着越来越大的威胁。
人类的发展和活动已经导致了许多生物物种的灭绝、生境的破坏和生物多样性的减少。
例如，大规模的伐木活动和城市化导致了大面积的森林砍伐和生态系统更替，这些都对生物多样性构成了严重的威胁。
此外，过度捕捞、污染、气候变化等活动也对生物多样性造成了不可逆转的损害。
因此，我们应该意识到生物多样性的重要性，并采取措施保护和恢复生物多样性。
这些措施可能包括保护和恢复生境、限制有害活动、支持可持续的生态和经济活动等等。
通过这些措施，我们可以保护和维护生物多样性，并为人类的生存和发展做出贡献。
二元关系
第二章
二元关系
例：（1）A={a，b}，B={c，d}，求A×B。 （2）A={a，b}，B={c，d}，求B×A。 （3）A={a，b}，B={1，2}，C={c}，求（A×B）×C和A×（B×C）。 解 ： （1）A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b，d>}。 （2）B×A={c，d}×{a，b}={<c，a>，<c，b>，<d，a>，<d，b>}。 （3）（A×B）={a，b}×{1，2}={<a，1>，<a，2>，<b，1>，<b，2>}。 （A×B）×C ={<<a，1>，c>，<<a，2>，c>，<<b，1>，c>，<<b，2>，c>} B×C={1，2}×{c}={<1，c>，<2，c>}。 A×（B×C）={<a，<1，c>>，<a，<2，c>>，<b，<1，c>>， <b，<2，c>>}。
第二章
二元关系
例2： A={武汉，长沙，成都} B={黄石，常德，岳阳，遵义} 考虑A到B的同省关系： 则同省关系可以表示为： {武汉, 黄石， 长沙, 常德， 长沙, 岳阳}
例3： 设 A = {1, 2, 3, 4}.定义A 上的 关系.则该关系可以表示为 ： {1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 4}.
二元关系
当（xi, yj）∈R 其他 (i=1, 2,…m; j=1, 2,…n)
称MR为R的关系矩阵。
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
5
离散数学讲义稿
4.2 关系性质
5种性质： 设R是集合A上的二元关系，则
离散数学讲义稿
第二部分
集合与关系
第4章
二元关系
林 兰
2011.3
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
1
离散数学讲义稿
4.1 二元关系及其表示
1. 二元关系
例1：集合A={ 2, 3, 5, 9 }上建立小于关系R，则可表达为： R={ (2,3), (2,5), (2,9), (3,5), (3,9), (5,9) } 例2：男队A={ a, b, c, d }，女队B={ e, f, g }。如果A和B的元素间 有混双配对关系：a和g，d和e。可表达为： R={ (a, g), (d, e) } 表示所有可能的混双配对有序对集合： A×B={ (a, e), (a, f), (a, g), (b, e), (b, f), (b, g), (c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g) } 有 R ⊆ A× B
∴ (R ◦S) -1 = S-1◦R-1
R-1的性质： 设R是A上的二元关系，R-1与R有相同的性质。 （自反，反自反，对称，反对称，传递）
4.4 关系的闭包
1. 定义 设R是集合A上的二元关系。如果另有A上关系R’满足：
二元关系与划分
二元关系与划分
二元关系是指两元素之间存在的关系，而划分是将这些关系划分成对应的类别。
这种划分可以应用于各种不同的场景，从而给我们带来更深刻的理解。
第一，二元关系可以应用于物理学中，根据不同物质间的引力、剧烈等性质的关系，将它们有效的划分为具有吸引力和斥力的两类。
例如，电荷相同的物体之间会存在引力，而不同电荷的物体则会存在斥力。
同时，还可以将物体划分为具有吸附力和不具有吸附力的两大类，从而更好的控制物体的运动轨迹。
第二，在化学领域中，二元关系也可以应用于物质之间的组合或分解，如氧分子可以与氢分子结合，而水分子可以被分解成氧分子和氢分子。
按照物质的性质，可以将物质划分为对比的两大类，从而更好的管理物质的物理状态。
第三，二元关系在政治学中也有所体现，如一个国家内部的管理，需要按照两大角色的分工，即决策者和执行者，以及这两种角色之间的关系。
在一定的政策框架内，决策管理者根据不同的情况，来分配不同的任务，而执行管理者则负责实施这些任务。
第四，二元关系也可以运用到不同学科领域，如哲学、经济学、心理学等。
比如，在哲学中，二元关系可以用来划分主客观两大类，以及存在论和不存在论的指导性理念。
而心理学中，则可以按照主观和客观的思考方式，从而深入的探究人的心理特点。
总之，二元关系是普遍适用的，可以应用在许多领域，其中最常
见的划分便是将事物划分为彼此对立的两类，从而探究它们之间的内在联系。
因此，理解和掌握二元关系与划分，是更好的研究和学习的基础，而这也是科学发展的基础。
二元多元关系作文
标题：二元多元关系嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个听起来有点复杂，但实际上和我们的生活息息相关的话题——二元多元关系。
你们可能会想，这是什么东东啊？别急，听我慢慢道来，保证让你们听完后，对这个话题有全新的认识！我们先来看看什么是“二元关系”。
简单来说，二元关系就是两个事物之间的关系。
比如，我和我的好朋友，我们之间的关系就是二元关系。
我对他好，他也对我好，这就是我们之间的互动。
但二元关系不只是人和人之间，还可以是人和物、物和物之间。
比如，我和我的宠物狗，我喂它吃东西，它陪我玩，这也是二元关系。
再来说说“多元关系”。
这个其实很好理解，就是三个或三个以上的事物之间的关系。
我们班的篮球队就是一个多元关系的例子。
篮球队里有五个队员，每个人的位置不同，有前锋、中锋、后卫等。
他们之间要互相配合，才能打好比赛。
如果只有一个或者两个队员，那还怎么玩呢？这就是多元关系的魅力，多个元素相互作用，共同创造出更好的结果。
其实，我们的生活中到处都是二元多元关系。
想想看，我们的家庭，是不是一个多元关系？爸爸、妈妈、我们这些孩子，还有可能的爷爷奶奶，每个人在家庭里都有不同的角色，我们一起生活，一起努力，让家变得更温馨。
还有，我们学校的社团活动，也是一个多元关系的例子。
不同的同学因为共同的兴趣爱好走到一起，有的负责画画，有的负责写文章，有的负责拍照，大家齐心协力，才能把社团活动办得有声有色。
说到这里，你可能会问，二元多元关系有啥用呢？我告诉你，用处大着呢！了解二元多元关系，可以帮助我们更好地理解周围的人和事。
比如，当你和一个同学发生了矛盾，如果你能理解你们之间的二元关系，就能从自己和对方的角度去想问题，这样解决问题就会容易很多。
同样，当我们参与一个团队项目时，如果我们能理解团队中的多元关系，就能更好地发挥自己的优势，和队友们协作，把事情做得更好。
好啦，关于二元多元关系的故事，今天就聊到这里。
如果你们也有关于这个话题的故事或者想法，别忘了告诉我哦。
离散数学二元关系习题讲解
极 大 元
极 小 元
作业
2.设集合X={x1,x2,x3,x4,x5}上的偏序关系如下图所示 最 最 极 极 上 下 ，求X的最大元、最小元、极大元、极小元。求子 集 上 下 大 小 大 小 确 确 集X1={x2,x3,x4}，X合 ={x ,x ,x } ， X ={x ,x ,x } 的上 界 界 2 3 4 5 3 1 3 5 元 元 元 元 界 界 界、下界、上确界、下确界、最大元、最小元、极 大元和极小元。 X1 无 x4 x2， x4 x1 x x1 x4
3
偏序关系
1.设集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}，对应的哈斯图见下图令 B1={a,b}，B2={c,d,e}。求出B1，B2的最大元、最小 元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确 界。 h
f d
c a
4
g e
集 合 B1
最 大 元 无
最 小 元 无
b
B2
无
c
上 下 下 上界 确 确 界 界 界 c,d,e,f a,b a,b ,g,h 无 c 无 a, b, h c d,e c h c
x1
x3 x3 x1 x1
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X2
x2 x3
x3 x1 x1
无 x5 无
X3
x5 X
x4， x3， 无 x3 x5 x1 x x5 x1 x1
5
无 x5
x4
5
x4， x5
二元关系
二元关系基本概念(重点) 关系的运算 关系的性质(重点) 关系的闭包运算 等价关系与偏序关系(难点)
关系的性质
例5 判断下述关系所具备的性质。
(1)集合A上的恒等关系，全域关系。 (2)R1={<x,y>｜x≤y， x,y∈N}注：将≤改为＜? (3)R2={<x,y>｜x|y，x,y∈N-{0}} (4)R3={<S1,S2>｜S1S2，S1,S2∈P(S)}其中P(S)是 S的幂集。注：若改为? (5)R4={<x,y>｜x+y=偶数，x,y∈N}
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定理6.2.1 证明
（1）对任意<x,y>∈A×(B∪C)， 由笛卡儿积的定义知，x∈A且y∈B∪C；
由并运算定义知，y∈B或者y∈C。
于是有x∈A且y∈B或者x∈A且y∈C。
从而，<x,y>∈A×B或者<x,y>∈A×C。
即<x,y>∈(A×B)∪(A×C)， 所以，A×(B∪C)(A×B)∪(A×C)。
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定理6.2.2 证明（续）
必要性()：
对任意的x∈A，y∈B，有<x,y>∈A×B。
又因为(A×B)(C×D)，所以<x,y>∈C×D。 根据笛卡儿积的定义有x∈C且y∈D，从而 AC，BD。 综上所述，定理成立。
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例6.2.3 解（续）
（3）因为B×D={<b,1>,<b,2>,<c,1>,<c,2>}， 所以A×(B×D)={<a,<b,1>>,<a,<b,2>>, <a,<c,1>>,<a,<c,2>>}。 同理，(A×B)×D={<<a,b>,1>,<<a,b>,2>, <<a,c>,1>,<<a,c>,2>}。
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例6.2.3
设A={a},B={b,c},C=Φ,D={1,2}，请分别写出下
列笛卡儿积中的元素。 （1）A×B,B×A；（2）A×C,C×A； （3）A×(B×D),(A×B)×D。
解 根据笛卡儿积的定义，有
（1） A×B={<a,b>,<a,c>},B×A={<b,a>,<c,a>}； （2）A×C=Φ,C×A=Φ；
3 4
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6.1本章学习要求
重点掌握 1 1 二元关系的 概念和表示 2 关系的复合 与逆运算 3 关系的性质
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一般掌握
了解 3 1 n重有序组
2 1 关系的闭包
运算
2 n个集合的
笛卡儿积 3 n重有序组 相等的判定
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。
假设A,B分别表示某学校 所有学生的集合和电影院 里所有座位的集合，即
A={a1,a2,…,am},B={b1,b2 ,…,bn}
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bn b3 b2 b1
0
a1 a2 a3
图6.2.1
am
A
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二元关系
定义6.2.7 设A,B为两个非空集合，称A×B的任何 子集R为从A到B的二元关系，简称关系(Relation)。 如A＝B，则称R为A上的二元关系。 特别地，当R=Φ时，称R为空关系(emptyrelation)； 当R=A×B时，则称R为全关系(TotalRelation)。
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最新研究：6.6度分割
微软研究中心的莱斯克威客与霍沃茨进行了一项新的 研究来讨论部分这种观点。因为他们使用的数据将地 理与社会等级界限给分开了。他们分析了2006年一个 月中由微软在世界范围内收集到的300亿条即时信息 数据。 这些数据来自于超出以往分析过的堪称最大的社会网 络，通过仔细分析，他们发现任何两个即时信息用户 之间存在的平均间隔为数6.6，这比Milgram的发现的 间隔数稍微高一些。
(4)左，右关系。
(4)<左、右>。
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注：序偶与集合的关系
1.序偶可以看作是具有两个元素的集合，
2.但是序偶中的两个元素具有确定的次序。即 <a,b>≠<b,a>但是{a,b}={b,a}. 定义6.2.2 给定序偶<a,b>和<c,d>， 如果a=c，b=d，则<a,b>=<c,d>。
所以(A×B)∪(A×C)A×(B∪C)。 于是，根据定理1.2.2， 有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。 (2)、(3)和(4)的证明作为练习，自证。
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定理6.2.2
设A,B,C,D是任意四个集合，则 (A×B)(C×D)AC，BD。 证明 充分性()： 对任意<x,y>∈A×B，有x∈A且y∈B。 又因为AC，BD，所以有x∈C且y∈D，即 <x,y>∈C×D，从而(A×B)(C×D)。
集合相等两个集合互相包含
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定理6.2.1 分析
对（1）A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
A×(B∪C)(A×B)∪(A×C),(A×B)∪(A×C)A×(B∪C)
利用按定义证明方法，首先叙述包含关系的定义，即 首先叙述A×(B∪C)(A×B)∪(A×C)的定义： 对任意<x,y>∈A×(B∪C)，…， 有<x,y>∈(A×B)∪(A×C)， 则A×(B∪C)(A×B)∪(A×C)。 同理可分析(A×B)∪(A×C)A×(B∪C)。
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例6.2.1
用序偶表示下列语句中的次序关系
纵坐标是y,x,y∈R； (1)<x,y>，x,y∈R； (2)<成都，四川>； (3)<英语课本，书桌>；
(1)平面上点A的横坐标是x, 解 各语句的序偶表示如下：
(2)成都是四川的省会；
(3)英语课本在书桌上；
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关系与计算机
另外，关系理论还广泛用于计算机科学技术，如
计算机程序的输入、输出关系； 数据库的数据特性关系； 数据结构本身就是一个关系等。 在某种意义下，关系是有联系的一些对象相互之间 的各种比较行为。
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离散数学
电子科技大学 示范性软件学院
计算机科学与工程学院
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第三篇 二元关系
第6章 二元关系
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6.0 内容提要
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二元关系
关系的运算 关系的性质 关系的闭包运算
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注意
由例6.2.3我们可以看出： （1）笛卡儿积不满足交换律； （2）A×B=Φ当且仅当A=Φ或者B=Φ； （3）笛卡儿积不满足结合律； （4）对有限集A,B，有|A×B|=|B×A|=|A|×|B|。
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定义6.2.6
设A1,A2,…,An是n个集合，称集合
A1×A2×…×An
={<a1,a2,…,an>|(ai∈Ai)∧i∈{1,2,3,…,n}}
为集合A1,A2,…,An的笛卡儿积(DescartesProduct)
当A1=A2=…=An=A时，有A1×A2×…×An=An。
6.2 二元关系
6.2.1 序偶与笛卡尔积 上,下；左，右；3<4；中国地处亚洲；平面上点 的坐标（x,y）等。 特征：成对出现、具有一定的顺序。 定义6.2.1 由两个元素x,y按照一定的次序组 成的二元组称为有序偶对(序偶),记作<x,y>, 其中x为第一个元素，y为第二个元素。
2013-7-31ห้องสมุดไป่ตู้
1967年，哈佛大学的心理学教授Stanley Milgram(1933-1984)想要描绘一个连结人与社区的 人际连系网。做过一次连锁信实验，结果发现了 “六度分隔”现象。简单地说：“你和任何一个陌 生人之间所间隔的人不会超过六个，也就是说，最 多通过六个人你就能够认识任何一个陌生人。”
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定理6.2.1笛卡尔积对并交满足分配律
设A,B,C是任意三个集合，则 （1）A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)；
（2）(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)；
（3）A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)；
（4）(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)。 分析 显然，待证等式两端都是集合 等式成立两个集合相等
（2）2006年9月10日18点16分25秒；1,a2,...,an> 和 定解各语句的n重有序组表示如下： <a 义 6.2.4 给 定 n 重 有 序 组
（1）<中国,四川,成都,电子科技大学,计算机学院> （3）16减5再加3除以7等于2。i(i＝1,2,…，n)，则 <b1,b2,…，bn>。如果ai ＝b （2）<2006,9,10,18,16,25>； <a1,a2,...,an>=<b1,b （3）<16,5,3,7,2>。 2,…，bn>。