5.3 平面向量数量积与综合应用

§5.3平面向量数量积与综合应用

知识诠释思维发散

一、两个向量的夹角

1.定义:已知两个向量a和b,作错误！未找到引用源。=a,错误！未找到引用源。=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.

2.范围:向量夹角的范围是,a与b同向时,夹角θ=0°,a与b反向时,夹角θ=错误！未找到引用源。.

3.向量垂直:如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作:.

二、平面向量数量积的意义

1.a,b是两个非零向量,它们的夹角为θ,则数量|a|²|b|²cos θ叫做a与b的数量积,记作a²b,即a²b=,规定0²a=0,当a⊥b时,θ=90°,这时a²b=0.

2.a²b的几何意义:a²b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积.

三、向量数量积的性质

1.如果e是单位向量,则a²e=e²a=;

2.若a,b是非零向量,则a⊥b⇒a²b=0且a²b=0⇒;

3.a²a=,|a|=错误！未找到引用源。;

4.若a,b是非零向量,则cos=;

5.|a²b|≤|a|²|b|.

四、数量积的运算律

1.交换律:a²b=b²a;

2.分配律:(a+b)²c=;

3.λ∈R,λ(a²b)=²b=a².

五、数量积的坐标表示

设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则

1.a²b=;

2.a⊥b⇒;

3.|a|=;

4.若a,b是非零向量,则cos=.

1.平面向量a与b的夹角为120°,a=(-2,0),|b|=1,则|a+b|等于()

(A)3.(B)错误！未找到引用源。.(C)7.(D)错误！未找到引用源。

2.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=.

3.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3错误！未找到引用源。,则b=.

核心突围技能聚合

题型1求两向量的夹角

例1已知|a|=1,a²b=错误！未找到引用源。,(a-b)²(a+b)=错误！未找到引用源。,求

(1)a与b的夹角;

(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.

变式训练1已知向量a,b满足:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)²(2a-b)=61.

(1)求a²b的值;

(2)求向量a与b的夹角.

题型2两平面向量的平行垂直问题

例2设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于()

(A)错误！未找到引用源。.(B)错误！未找到引用源。.(C)2错误！未找到引用源。.(D)10.

变式训练2已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于()

(A)(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。).(B)(-错误！未找到引用源。,-错误！未找到引用源。).

(C)(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。).(D)(-错误！未找到引用源。,-错误！未找到引用源。).

题型3向量与三角函数

例3已知向量a=(cos错误！未找到引用源。,sin错误！未找到引用源。),b=(cos 错误！未找到引用源。,-sin错误！未找到引用源。)且x∈[-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。].

(1)求a²b及|a+b|;

(2)若f(x)=a²b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.

变式训练3已知a=(错误！未找到引用源。sin ωx,1),b=(cos ωx,0),ω>0,又函数f(x)=b²(a-k b)是以错误！未找到引用源。为最小正周期的周期函数.

(1)求函数f(x)的值域.

(2)若函数f(x)的最大值为错误！未找到引用源。,则是否存在实数t,使得函数f(x)的图象能由函数g(x)=t a²b的图象经过平移得到?若能,求出实数t,并说明如何平移,若不能,说明理由.

1.在求夹角的过程中,当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得a²b及|a|,|b|得出它们的关系,若已知a与b的坐标,则可直接利用公式cos θ=错误！未找到引用源。.

2.在求模的过程中,利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理办法:(1)|a|2=a2=a²a,(2)|a±b|2=a2±2a²b+b2,(3)若a=(x,y)则|a|=错误！未找到引用源。.

3.在证明线段平行问题,常用向量平行的充要条件:a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0(b≠0).

在证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a²b=0⇔x1x2+y1y2=0.

4.要注意向量应用的综合性,即向量和其他数学内容的结合,如和函数、数列、三角、解析几何等结合.这类题目往往综合度要求比较高.

例(12分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).

(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;

(2)求|b+c|的最大值;

(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.

【解析】(1)由a与b-2c垂直,

得a²(b-2c)=a²b-2a²c=0,

即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2.[4分]

(2)|b+c|2=(b+c)2=b2+c2+2b²c=sin2β+16cos2β+cos2β+16sin2β+2(sin βcos β-16sin βcos β)

=17-30sin βcos β=17-15sin 2β,最大值为32,

所以|b+c|的最大值为4错误！未找到引用源。.[8分]

(3)由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,

即4cos α²4cos β-sin αsin β=0,故a∥b.[12分]答题流程

第一步,将向量间的关系转化为三角函数式;

第二步,化简三角函数式;

第三步,求三角函数式的值或分析三角函数式的性质;

第四步,明确结论;

第五步,反思回顾,查看关键点、易错点和规范解答.

【点评】(1)本题是典型的向量与三角函数的综合,题目难度中档,属高考的重点题型.

(2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系,转化为三角函数的问题,利用三角函数解决.

(3)易错分析.在将向量关系转化为三角函数式时易出错.在第(3)问中,学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b,事实上是忽略了a∥b的条件.