工程光学基础 习题参考答案
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所以：
1.β = 0, l' = 0, l = −50 2.β = −0.1, l' = −550, l = −55 3.β = −0.2, l' = −60, l = −300 4.β = −1, l'= −100, l = −100 5.β = 1, l' = 0, l = 0 6.β = 5, l' = −200, l = −40 7.β = 10, l' = −450, l = 45 8.β = ∞, l' = +∞, l = −50
n
1.5 10 15
Q L = −∞,∴U = 0
∴U'= I − I'
L'
=
r
1
+
sin I' sin U '
=
100
1
+
1 / 15 sin(1.9166)
=
299.332
则 实 际 光 线 的 像 方 截 距 为 299.332 ， 与 高 斯 像 面 的 距 离 为 ：
根据公式 n' − n = n'−n （1-20）有： n' − 1 = n'−1 ，可以看出此种情况不存在。
l' l r
r −∞ r
计算第②种情况：易知入射光线经第一面折射后过光轴与反射面的交点。
其余参考题 14。
21、一物体位于半径为 r 的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大 4 倍的实 像，放大 4 倍的虚像、缩小 4 倍的实像和缩小 4 倍的虚像？ 解： （1）放大 4 倍的实像
（2）放大四倍虚像 （3）缩小四倍实像 （4）缩小四倍虚像
1、 l = −∞, l' = 450, β = 0
2、 l = −1000, l'= 4500 / 7, β = −0.4286
1.5 l'
−
1 (−1000)
=
1 300
⇒
1.5 l'
=
1 300
−
1 1000
⇒
l'=
4500 7
=
642.857
3、 l = −100, l' = −225, β = 1.5
（1）当物体在-∞时，先计算其对第一个折射球面成像。求高斯像的位置即 是求近轴光线成像，根据公式 n' − n = n'−n （1-20）得：
l' l r 1.5 − 1 = 1.5 − 1 ⇒ l' = 300 l' − ∞ 100
从上面计算可以看出物体经第一个折射球面成像于透镜的第二表面上。则把
14、一物点位于一透明玻璃球的后表面，如果从其前表面看到此物点的像正好 位于无穷远，试求该玻璃球的折射率 n。 解 1：
如图所示，从其前表面看到此物点的像正好位于无穷远，则相当于此物点通 过玻璃球前表面成像于无穷远处。根据公式 n' − n = n'−n （1-20）
l' l r 有：
1 − n = 1−n ⇒ n = 2 − ∞ 2r r 解 2： 根据光路可逆原理，此光路相当于物方无穷 远处物体经过玻璃球前表面成像于于玻璃球后表 面。设此时玻璃球的折射率为 n’，则根据公式 （1-20）有： n' − 1 = n'−1 ⇒ n' = 2 2r − ∞ r
设金属片边缘一点发出的光线入射到玻璃平板上表面的入射角为 I，此角为 临界角，则入射光线角度大于 I 的都会发生全反射。则如图所示有：
SinI = n' = 1/1.5 n
x = h × tgI
∴ x = h × tg(arcsin(1/1.5)) = 200 × tg(41.81o ) = 178.885mm ∴l = 2 × x + 1 = 357.77 + 1 = 358.77mm
光在金刚石中的传播速度为： 3×108 /2.417 = 1.24 ×108 m / s
3、一物体经针孔相机在屏上成像大小为 60mm，若将屏拉远 50mm，则像的大 小变为 70mm，求屏到针孔的初始距离。 如图： 解 1：
设屏到针孔的初始距离为 x，根据 光的直线传播定理，三角型相似定理， 有：
光线通过玻璃球以 30o 入射到玻璃球
后表面再次发生反射和折射，根据公式
（1-2）可得折射角 I '' = 60o
以此类推，其传播情况如图所示：
16、一束平行细光束入射到一半径 r=30mm、折射率 n=1.5 的玻璃球上，求其会 聚点的位置。如果在凸面上镀反射膜，其会聚点应该在何处？如果凹面镀反射 膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚 点又在何处？说明各会聚点的虚实。 解：
所以：
v= c n
光在水中的传播速度为： 3×108 /1.333 = 2.25 ×108 m / s
光在冕牌玻璃中的传播速度为： 3×108 /1.51 = 1.99 ×108 m / s
光在火石玻璃中的传播速度为： 3×108 /1.65 = 1.82 ×108 m / s
光在加拿大树胶中的传播速度为： 3×108 /1.526 = 1.97 ×108 m / s
此像作为第二个折射球面的物再对第二个折射球面进行成像，显然，物像位置相
同。
（2）根据光路可逆
原理以及（1）中的结论，
若在第二面上刻一十字
丝，其通过球面的共轭像
应在物方无穷远处。
（3）求实际光线的
像方截距则不能采用近轴光线成像。
如图所示有：
sin I = h = 10 r 100
sin I'= n' sin I = 1 × 1 = 1
21、一物体位于半径为 r 的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大 4 倍的实 像、放大 4 倍的虚象、缩小 4 倍的实像、缩小 4 倍的虚象？ 解： 与 21 题类似。实物成实象则 l’< 0，实物成虚象则 l’> 0。
22、有一半径为 r 的透明玻璃球，如果在其后半球面上镀反射膜，问此球折射 率为多少时，从空气中入射的光经此球反射后仍按原方向出射？ 解： 光经此球反射后仍按原方向出射，可能有两种情况：①反射的光线按原路返回② 反射的光线与入射光线平行。 先计算第①种情况：易知入射光线经第一面折射后过球心（过球心光线经凹面镜 反射后过球心）。下面计算经第一个面折射，
18、一直径为 400mm、折射率为 1.5 的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心， 另一个位于 1/2 半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到气泡在何处？ 如果在水中观察，看到气泡又在何处？ 解：
（1）求两点成像位置： 如图所示：人观察到的是气泡经过 球面折射后成的像，根据公式 n' − n = n'−n （1-20）位于球心气泡成 l' l r 像位置：
l' l r 1 + 1 = 2 ⇒ l' = 15mm l' − ∞ 30 所以，其成像在反射面之后 15mm 处，为虚象。 （3）求凹面镀反射膜，反射光束在玻璃中的会聚点位置 平行细光束经凸面折射成像后再经凹面镀的反射膜反射成像，利用第一步中 结果可得对于凹面镀的反射膜反射成像其物距 l=(90-60)=30mm，折射面半径 r=-30mm，根据公式（1-30）得： 1 + 1 = 2 ⇒ l' = −10mm l' 30 − 30
工程光学基础 习题参考答案
第 1 章（P13）
2、已知真空中光速 c ≈ 3×108 m / s ，求光在水（ n = 1.333 ）、冕牌玻璃（ n = 1.51）、
火石玻璃（ n = 1.65 ）、加拿大树胶（ n = 1.526 ）、金刚石（ n = 2.417 ）等介质中 的光速。
解：
根据公式（1-3） n = c 有： v
1 − 1.5 = 1 − 1.5 ⇒ l'= −200 l' − 200 − 200 位于 1/2 半径处气泡成像位置：
1 − 1.5 = 1 − 1.5 ⇒ l'= −80 l' − 100 − 200 从上面计算可以看出，人观察到位于球心的气泡的位置还是位于球心，而观 察到的不在球心的气泡与它本身的位置不一样。 （2）求在水中观察气泡位置： 与（1）类似，只是 n’=1.333,则有位于球心气泡成像位置：
4、 l = 0, l'= 0, β = 1
β
=
y' y
=
−
l'− r−
r l
,Q
l
= 0, l'= 0,∴ β
=
r r
= 1
5、 l = 100, l'50, l'= 150, β = 0.6667
7、 l = 200, l'= 180, β = 0.6
l'+50 70
4、一厚度为 200mm 的平行平板玻璃（设 n=1.5），下面放一直径为 1mm 的金属 片。若在玻璃上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上任何地方都看不到该金属片， 问纸片的最小直径为多少？ 解：
人眼能看到该金属片是由于该金属片 发出（反射出）的光线经过玻璃板后进入 人眼。不是全部的金属片发出的光线都能 够经玻璃板透射，有部分会因全反射作用 而不能穿过玻璃板。所以，只要挡住能够 透射的光线就可以了。
所以，其成像在反射面之前 10mm 处 （图中 l’’=10mm），为实象。
（4）求反射光束经前表面折射后， 会聚点位置
此时对于凸面折射成像，物距
l=(60-10)=50mm，折射面半径 r=30mm， 物方折射率 n=1.5，像方折射率 n’=1。 同理根据公式（1-20）有：
1 − 1.5 = 1 −1.5 ⇒ l' = 75mm l' 50 30 所以，其成像在凸面后 75mm 处（图中 l’’’=75mm），为一虚象。
（1）求入射光线经前表面折射后的会聚点 根据公式 n' − n = n'−n （1-20）得：
l' l r 1.5 − 1 = 1.5 −1 ⇒ l' = 90mm l' − ∞ 30 该像点在玻璃球后表面以后 30mm 处，再经后表面折射，此时将前表面成 的像作为后表面的物再次在后表面成 像，各项参数为物距 l=(90-60)=30mm， 折 射 面 半 径 r=-30mm ， 物 方 折 射 率 n=1.5，像方折射率 n’=1。同理根据公式（1-20）有： 1 − 1.5 = 1 −1.5 ⇒ l'' = 15mm l'' 30 − 30 所以，最终光线会聚到玻璃球后表面之后 15mm 处。 （2）求当凸面上镀反射膜，其会聚点位置 根据公式 1 + 1 = 2 （1-30）得：
299.332-300=-0.668mm。这一偏离说明近轴光线成像只是实际光线成像的一个近
似。
20、一球面镜半径 r=-100，求β=0、-0.1×，-0.2×，-1×，1×，5×，10×，∞， 时的物距和像距。 解：
根据公式 β = y' = − l' , 1 + 1 = 2 y l l' l r
1.333 − 1.5 = 1.333 − 1.5 ⇒ l' = −200 l' − 200 − 200
位于 1/2 半径处气泡成像位置：
1.333 − 1.5 = 1.333 − 1.5 ⇒ l' = −94.105 l' − 100 − 200
19、有一平凸透镜 r1=100mm，r2=∞，d=300mm，n=1.5，当物体在-∞时，求高斯 像的位置。在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像在何处？当入射高 度 h=10mm 时，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？这一偏 离说明什么？ 解：
x = 60 ⇒ x = 300mm x + 50 70 解 2：
设屏到针孔的初始距离为 l’，物体高度为 y，初始像高为 y’，根据垂轴放大
率公式 y' = nl' 有： y n'l
60 = nl' y n'l
（1）
70 = n(l'+50) y n'l
（2）
根据式（1）（2）得： l' = 60 ⇒ l' = 300mm
17、一折射球面 r=150mm、n=1、n’=1.5，问当物距分别为-∞、-1000mm、-100 mm、0、100 mm、150 mm 和 200 mm 时，垂轴放大率各为多少？ 解：
根据公式 β = y' = nl' , n' − n = n'−n = 1 y n'l l' l r 300
所以：
15、一直径为 20mm 的玻璃球，其折射率为 3 ，今有一光线以 60o 入射到该玻
璃球上，试分析光线经过玻璃球的传播情况。 解：
光线入射到玻璃球表面一部分反射回 空气中，另一部分经过折射入射到玻璃球 内部。根据折射定律 n' SinI ' = nSinI （1-2） 有：
折射角 I ' = 30o
1.β = 0, l' = 0, l = −50 2.β = −0.1, l' = −550, l = −55 3.β = −0.2, l' = −60, l = −300 4.β = −1, l'= −100, l = −100 5.β = 1, l' = 0, l = 0 6.β = 5, l' = −200, l = −40 7.β = 10, l' = −450, l = 45 8.β = ∞, l' = +∞, l = −50
n
1.5 10 15
Q L = −∞,∴U = 0
∴U'= I − I'
L'
=
r
1
+
sin I' sin U '
=
100
1
+
1 / 15 sin(1.9166)
=
299.332
则 实 际 光 线 的 像 方 截 距 为 299.332 ， 与 高 斯 像 面 的 距 离 为 ：
根据公式 n' − n = n'−n （1-20）有： n' − 1 = n'−1 ，可以看出此种情况不存在。
l' l r
r −∞ r
计算第②种情况：易知入射光线经第一面折射后过光轴与反射面的交点。
其余参考题 14。
21、一物体位于半径为 r 的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大 4 倍的实 像，放大 4 倍的虚像、缩小 4 倍的实像和缩小 4 倍的虚像？ 解： （1）放大 4 倍的实像
（2）放大四倍虚像 （3）缩小四倍实像 （4）缩小四倍虚像
1、 l = −∞, l' = 450, β = 0
2、 l = −1000, l'= 4500 / 7, β = −0.4286
1.5 l'
−
1 (−1000)
=
1 300
⇒
1.5 l'
=
1 300
−
1 1000
⇒
l'=
4500 7
=
642.857
3、 l = −100, l' = −225, β = 1.5
（1）当物体在-∞时，先计算其对第一个折射球面成像。求高斯像的位置即 是求近轴光线成像，根据公式 n' − n = n'−n （1-20）得：
l' l r 1.5 − 1 = 1.5 − 1 ⇒ l' = 300 l' − ∞ 100
从上面计算可以看出物体经第一个折射球面成像于透镜的第二表面上。则把
14、一物点位于一透明玻璃球的后表面，如果从其前表面看到此物点的像正好 位于无穷远，试求该玻璃球的折射率 n。 解 1：
如图所示，从其前表面看到此物点的像正好位于无穷远，则相当于此物点通 过玻璃球前表面成像于无穷远处。根据公式 n' − n = n'−n （1-20）
l' l r 有：
1 − n = 1−n ⇒ n = 2 − ∞ 2r r 解 2： 根据光路可逆原理，此光路相当于物方无穷 远处物体经过玻璃球前表面成像于于玻璃球后表 面。设此时玻璃球的折射率为 n’，则根据公式 （1-20）有： n' − 1 = n'−1 ⇒ n' = 2 2r − ∞ r
设金属片边缘一点发出的光线入射到玻璃平板上表面的入射角为 I，此角为 临界角，则入射光线角度大于 I 的都会发生全反射。则如图所示有：
SinI = n' = 1/1.5 n
x = h × tgI
∴ x = h × tg(arcsin(1/1.5)) = 200 × tg(41.81o ) = 178.885mm ∴l = 2 × x + 1 = 357.77 + 1 = 358.77mm
光在金刚石中的传播速度为： 3×108 /2.417 = 1.24 ×108 m / s
3、一物体经针孔相机在屏上成像大小为 60mm，若将屏拉远 50mm，则像的大 小变为 70mm，求屏到针孔的初始距离。 如图： 解 1：
设屏到针孔的初始距离为 x，根据 光的直线传播定理，三角型相似定理， 有：
光线通过玻璃球以 30o 入射到玻璃球
后表面再次发生反射和折射，根据公式
（1-2）可得折射角 I '' = 60o
以此类推，其传播情况如图所示：
16、一束平行细光束入射到一半径 r=30mm、折射率 n=1.5 的玻璃球上，求其会 聚点的位置。如果在凸面上镀反射膜，其会聚点应该在何处？如果凹面镀反射 膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚 点又在何处？说明各会聚点的虚实。 解：
所以：
v= c n
光在水中的传播速度为： 3×108 /1.333 = 2.25 ×108 m / s
光在冕牌玻璃中的传播速度为： 3×108 /1.51 = 1.99 ×108 m / s
光在火石玻璃中的传播速度为： 3×108 /1.65 = 1.82 ×108 m / s
光在加拿大树胶中的传播速度为： 3×108 /1.526 = 1.97 ×108 m / s
此像作为第二个折射球面的物再对第二个折射球面进行成像，显然，物像位置相
同。
（2）根据光路可逆
原理以及（1）中的结论，
若在第二面上刻一十字
丝，其通过球面的共轭像
应在物方无穷远处。
（3）求实际光线的
像方截距则不能采用近轴光线成像。
如图所示有：
sin I = h = 10 r 100
sin I'= n' sin I = 1 × 1 = 1
21、一物体位于半径为 r 的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大 4 倍的实 像、放大 4 倍的虚象、缩小 4 倍的实像、缩小 4 倍的虚象？ 解： 与 21 题类似。实物成实象则 l’< 0，实物成虚象则 l’> 0。
22、有一半径为 r 的透明玻璃球，如果在其后半球面上镀反射膜，问此球折射 率为多少时，从空气中入射的光经此球反射后仍按原方向出射？ 解： 光经此球反射后仍按原方向出射，可能有两种情况：①反射的光线按原路返回② 反射的光线与入射光线平行。 先计算第①种情况：易知入射光线经第一面折射后过球心（过球心光线经凹面镜 反射后过球心）。下面计算经第一个面折射，
18、一直径为 400mm、折射率为 1.5 的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心， 另一个位于 1/2 半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到气泡在何处？ 如果在水中观察，看到气泡又在何处？ 解：
（1）求两点成像位置： 如图所示：人观察到的是气泡经过 球面折射后成的像，根据公式 n' − n = n'−n （1-20）位于球心气泡成 l' l r 像位置：
l' l r 1 + 1 = 2 ⇒ l' = 15mm l' − ∞ 30 所以，其成像在反射面之后 15mm 处，为虚象。 （3）求凹面镀反射膜，反射光束在玻璃中的会聚点位置 平行细光束经凸面折射成像后再经凹面镀的反射膜反射成像，利用第一步中 结果可得对于凹面镀的反射膜反射成像其物距 l=(90-60)=30mm，折射面半径 r=-30mm，根据公式（1-30）得： 1 + 1 = 2 ⇒ l' = −10mm l' 30 − 30
工程光学基础 习题参考答案
第 1 章（P13）
2、已知真空中光速 c ≈ 3×108 m / s ，求光在水（ n = 1.333 ）、冕牌玻璃（ n = 1.51）、
火石玻璃（ n = 1.65 ）、加拿大树胶（ n = 1.526 ）、金刚石（ n = 2.417 ）等介质中 的光速。
解：
根据公式（1-3） n = c 有： v
1 − 1.5 = 1 − 1.5 ⇒ l'= −200 l' − 200 − 200 位于 1/2 半径处气泡成像位置：
1 − 1.5 = 1 − 1.5 ⇒ l'= −80 l' − 100 − 200 从上面计算可以看出，人观察到位于球心的气泡的位置还是位于球心，而观 察到的不在球心的气泡与它本身的位置不一样。 （2）求在水中观察气泡位置： 与（1）类似，只是 n’=1.333,则有位于球心气泡成像位置：
4、 l = 0, l'= 0, β = 1
β
=
y' y
=
−
l'− r−
r l
,Q
l
= 0, l'= 0,∴ β
=
r r
= 1
5、 l = 100, l'50, l'= 150, β = 0.6667
7、 l = 200, l'= 180, β = 0.6
l'+50 70
4、一厚度为 200mm 的平行平板玻璃（设 n=1.5），下面放一直径为 1mm 的金属 片。若在玻璃上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上任何地方都看不到该金属片， 问纸片的最小直径为多少？ 解：
人眼能看到该金属片是由于该金属片 发出（反射出）的光线经过玻璃板后进入 人眼。不是全部的金属片发出的光线都能 够经玻璃板透射，有部分会因全反射作用 而不能穿过玻璃板。所以，只要挡住能够 透射的光线就可以了。
所以，其成像在反射面之前 10mm 处 （图中 l’’=10mm），为实象。
（4）求反射光束经前表面折射后， 会聚点位置
此时对于凸面折射成像，物距
l=(60-10)=50mm，折射面半径 r=30mm， 物方折射率 n=1.5，像方折射率 n’=1。 同理根据公式（1-20）有：
1 − 1.5 = 1 −1.5 ⇒ l' = 75mm l' 50 30 所以，其成像在凸面后 75mm 处（图中 l’’’=75mm），为一虚象。
（1）求入射光线经前表面折射后的会聚点 根据公式 n' − n = n'−n （1-20）得：
l' l r 1.5 − 1 = 1.5 −1 ⇒ l' = 90mm l' − ∞ 30 该像点在玻璃球后表面以后 30mm 处，再经后表面折射，此时将前表面成 的像作为后表面的物再次在后表面成 像，各项参数为物距 l=(90-60)=30mm， 折 射 面 半 径 r=-30mm ， 物 方 折 射 率 n=1.5，像方折射率 n’=1。同理根据公式（1-20）有： 1 − 1.5 = 1 −1.5 ⇒ l'' = 15mm l'' 30 − 30 所以，最终光线会聚到玻璃球后表面之后 15mm 处。 （2）求当凸面上镀反射膜，其会聚点位置 根据公式 1 + 1 = 2 （1-30）得：
299.332-300=-0.668mm。这一偏离说明近轴光线成像只是实际光线成像的一个近
似。
20、一球面镜半径 r=-100，求β=0、-0.1×，-0.2×，-1×，1×，5×，10×，∞， 时的物距和像距。 解：
根据公式 β = y' = − l' , 1 + 1 = 2 y l l' l r
1.333 − 1.5 = 1.333 − 1.5 ⇒ l' = −200 l' − 200 − 200
位于 1/2 半径处气泡成像位置：
1.333 − 1.5 = 1.333 − 1.5 ⇒ l' = −94.105 l' − 100 − 200
19、有一平凸透镜 r1=100mm，r2=∞，d=300mm，n=1.5，当物体在-∞时，求高斯 像的位置。在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像在何处？当入射高 度 h=10mm 时，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？这一偏 离说明什么？ 解：
x = 60 ⇒ x = 300mm x + 50 70 解 2：
设屏到针孔的初始距离为 l’，物体高度为 y，初始像高为 y’，根据垂轴放大
率公式 y' = nl' 有： y n'l
60 = nl' y n'l
（1）
70 = n(l'+50) y n'l
（2）
根据式（1）（2）得： l' = 60 ⇒ l' = 300mm
17、一折射球面 r=150mm、n=1、n’=1.5，问当物距分别为-∞、-1000mm、-100 mm、0、100 mm、150 mm 和 200 mm 时，垂轴放大率各为多少？ 解：
根据公式 β = y' = nl' , n' − n = n'−n = 1 y n'l l' l r 300
所以：
15、一直径为 20mm 的玻璃球，其折射率为 3 ，今有一光线以 60o 入射到该玻
璃球上，试分析光线经过玻璃球的传播情况。 解：
光线入射到玻璃球表面一部分反射回 空气中，另一部分经过折射入射到玻璃球 内部。根据折射定律 n' SinI ' = nSinI （1-2） 有：
折射角 I ' = 30o