优选整合高中数学人教A版选修1-23.2复数代数形式的四则运算4学案
优选整合高中数学人教A版选修1-23.2复数代数形式的四则运算3学案
第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3------------ 学 案一、学习目标1.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)2.理解并掌握复数相等的有关概念；二、自主学习1．复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1.②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．想一想：若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2?提示 不能，如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小．2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.想一想：从复数减法的几何意义理解：|z 1－z 2|表示什么？提示 表示Z 1与Z 2两点间的距离．名师点睛1．理解用向量法确定两个复数的和先画出与这个复数对应的向量OZ 1→，OZ 2→.设OZ 1→及OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，且OZ 1→，OZ 2→不共线(如右图)，以OZ 1→及OZ 2→为两条邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，作x 轴的垂线PZ 1，QZ 2及RZ ，并且作Z 1S ⊥RZ .容易证明△ZZ 1S ≌△Z 2OQ ，并且四边形Z 1PRS 是矩形，因此OR ＝OP ＋PR ＝OP ＋Z 1S ＝OP ＋OQ ＝a ＋c ，RZ ＝RS ＋SZ ＝PZ 1＋QZ 2＝b ＋d .于是，点Z 的坐标是(a ＋c ，b ＋d )，这说明OZ →就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数加减法的几何意义复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量OP 1→，OP 2→，那么以OP 1，OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS →就是z 1＋z 2的和所对应的向量．复数减法的几何意义：两个复数的差z 1－z 2与连接这两个向量终点并指向被减向量的向量对应．拓展：由复数加减法的几何意义可得如下结论：||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|.三、合作探究题型一 复数的加减运算【例1】 (1)z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i.求z 1＋z 2，z 1－z 2.(2)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i .(3)计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)．[思路探索] 掌握复数的加减运算法则，正确计算即可．解 (1)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ，z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i.(2)13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i.(3)法一 (1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 007－2 008)＋2 009]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 008＋2 009)－2 010]i＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i ＝1 005－1 006i.法二 (1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i ，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i ，…，(2 007－2 008i)＋(－2 008＋2 009i)＝－1＋i. 相加(共有1 004个式子)，得原式＝1 004(－1＋i)＋(2 009－2 010i)＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i ＝1 005－1 006i.规律方法 (1)复数加减运算的方法．方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．方法二：把i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．(2)加法法则的合理性：①当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致．②加法交换律和结合律在复数集中仍成立．③符合向量加法的平行四边形法则．(3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算．题型二 复数加减法的几何意义【例2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．[思路探索][规范解答] 解 (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0，∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.∴sin B ＝752＝7210， ∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7. 规律方法 (1)根据复数的两种几何意义知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．题型三 复数加减法几何意义的综合应用【例3】 已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值．审题指导 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．[规范解答] 法一 设w ＝z －3＋4i ，∴z ＝w ＋3－4i ，∴z ＋1－i ＝w ＋4－5i.又|z ＋1－i|＝1，∴|w ＋4－5i|＝1.(6分)可知w 对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．(8分)如图(1)所示，∴|w |max ＝41＋1，|w |min ＝41－1.(12分)法二 由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，(4分)而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离，(8分)在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，(10分)如图(2)所示，所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1.(12分)【题后反思】 |z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．方法技巧 数形结合思想在复数中的应用数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．【示例】 复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( )．A ．5 B.13 C.15 D.17[思路分析] 首先由A 、C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．解析 如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ，所以BD →＝13.答案 B 方法点评 解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．四、自主小测1.计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．2.(1)设OZ 1→及OZ 2→分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，计算z 1－z 2，并在复平面内作出OZ 1→－OZ 2→.(2)设OZ 1→及OZ 2→分别与复数z 1＝1＋3i 及复数z 2＝2＋i 对应，计算z 1＋z 2，并在复平面内作出OZ 1→＋OZ 2→.3.已知复数z 满足|z ＋2－2i|＝1，求|z －3－2i|的最大值与最小值．参考答案1解 (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i ＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i.2解 (1)z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i(如图①)(2)z 1＋z 2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i ＝3＋4i.(如图②)3解 由复数及其模的几何意义知：满足|z ＋2－2i|＝1，即|z －(－2＋2i)|＝1.复数z 所对应的点是以C (－2,2)为圆心，r ＝1为半径的圆．而|z －3－2i|＝|z －(3＋2i)|的几何意义是：复数z 对应的点与点A (3,2)的距离．由圆的知识可知|z －3－2i|的最小值为|AC |－r ，最大值为|AC |＋r .∴|z －3－2i|min ＝＋2＋－2－1＝4. |z －3－2i|max ＝＋2＋－2＋1＝6.。
2019-2020年高中数学《复数代数形式的四则运算乘除运算》教案3新人教A版选修1-2
2019-2020年高中数学《复数代数形式的四则运算乘除运算》教案3新人教A 版选修1-2教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点：乘除运算 教学过程： 一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1） （2） （3）3. 计算：（1） （2） （类比多项式的乘法引入复数的乘法） 二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1） （2） （3）（4）探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1） （2）（3）2、已知复数，若，试求的值。
变：若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ada bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中叫做实数化因子 例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算，2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：1．计算（1） （2） （3）2．若，且为纯虚数，求实数的取值。
变：在复平面的下方，求。
2019-2020年高中数学《复数的基本概念及其运算》教案1 新人教A 版选修1-2一、目标要求：(1) 复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数的代数表示与向量表示。
(2) 掌握复数的表示方法。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_6
《复数代数形式的乘除运算》教学设计一、教学设计（一）教材分析《复数代数形式的乘除运算》是高中选修2-2第三章第二节第二小节内容,是复数代数形式的四则运算中的其中两种运算。
本节课的学习是建立在学生已经掌握了复数的基本概念、几何意义及复数代数形式的加减法运算法则、加减法运算的几何意义的基础上,进一步对于复数代数形式的运算进行研究,在学完复数代数形式的加减法运算后,本节课是对上节课内容的一个延续。
通过类比实数的乘除法,创设问题,让学生直接像实数一样对复数的乘除法进行运算,从而直观的感知了实数四则运算与复数四则运算的统一性,体现了数系的内部联系,培养了学生的逻辑推理能力,渗透了类比、数形结合的数学思想,同时也补充完整了复数的四则运算。
因此本节课的内容是整个这一章的重要内容。
（二）学情分析在学习本节课之前,学生已经掌握了复数的概念、几何意义以及代数形式的加减运算法则,同时对于类比、数形结合的数学思想方法也有了初步的认识,也具备了一定的计算能力。
这为学习复数代数形式的乘除运算打下了很好的基础。
本节课面对的是高二年级文科的学生,这个年龄段的学生思维活跃,求知欲强,但因为学生数学基础薄弱,所以思维习惯上还有待教师引导。
为了更好的实现本节课的教学目标,教师需要耐心对学生进行引导,并利用多媒体交互平台加强学生对知识的感知,让学生充分感受复数代数形式的乘除运算法则,深入体会类比、数形结合的思想方法。
根据本节课的教学内容及学生的实际情况,我将本节课的教学难点制定为:复数代数形式的除法运算。
学生根据教师提供的情境,采用思考、分析、类比等方式探索知识,归纳知识。
通过创设问题,引导学生开展独立思考、主动探究,鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。
（三）教学目标：知识与能力目标:1.理解复数代数形式的乘法运算法则2.掌握复数代数形式的乘法运算的运算律3.了解共轭复数的概念及互为共轭的两个复数之间的关系4.熟练的掌握复数的除法运算过程与方法目标:1.通过类比实数的运算法则,体会类比的思想方法。
人教版高中选修1—2数学3.2复数代数形式的四则运算教案(5)
复数代数形式的四则运算导学一、建立复数运算的原则作为复数的实数，在复数集里运算和在实数集里的运算是一致的.二、复数的加法和减法1．数学语言表达：12z a bi z c di =+=+，，则12()()z z a c b d i ±=±+±．2．文字语言表达：两个复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），所得结果仍是复数.3．复数加减法的几何意义：由于复数z a bi =+←−−−→一一对应点()Z a b ，←−−−→一一对应OZ ，因此复数的加减法可以利用向量的加减法来表示．若111z x y i =+，222z x y i =+对应的向量22()OZ x y =，，且1OZ 和2OZ 不共线（共线时可以直接计算），以1OZ 和2OZ 为邻边作平行四边形12OZ ZZ ，则1212O Z O Z O Z z z =+=+，211212Z Z OZ OZ z z =-=-，故复数加（减）法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则（向量减法的三角形法则）．三、复数的乘法和除法1．规定复数的乘法按照如下法则进行：设12z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么它们的积2()()()()a bi c di ac bci bdi ac bd bc ad i ++=++=-++．说明：复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把2i 换成1-，再把实部、虚部分别合并．2．虚数单位i 的乘方：计算复数的乘积要用到复数的单位i 的乘方，n i 有如下性质：1i i =，21i =-，32i i i i ==-·，4321i i i i i i ==-=-=··．从而对于任何n *∈N ，都有4144()n n n i i i i i i +===··，同理可证421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．这就是说，如果n *∈N ，那么有41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．说明：（1）上述公式中，说明n i 具有周期性，且最小正周期是4． （2）n 可推广到整数集． （3）4()k k ∈Z 是i 的周期．3．复数的除法：已知z a bi =+，如果存在一个z '，使1z z '=·，则z '叫做z 的倒数，记作1z ，有了倒数的概念我们可以规定除法的运算法则：将商a bic di++看作分数，分子分母同乘以分母的共轭复数c di -，把分母变为实数，化简可得运算结果，即()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++- 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d ++-+-==++++．4．共轭运算性质：1212z z z z ±=±，1212z z z z =··，11222(0)z zz z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，z z =．5．模运算性质：1212z z z z =··，11222(0)z z z z z =≠， 22221212122()z z z z z z ++-=+，121212z z z z z z -±+≤≤．其中两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方，即22zz z z ==·． 6．常用结论：①2(1)2i i ±=±；②11i i i+=-，11ii i -=-+；③设1322w i -=+， 则21210(0)n n n w w w w w n ++++=++=∈N ，且31w =．。
人教版高中选修1-23.2复数代数形式的四则运算课程设计
人教版高中选修1-23.2复数代数形式的四则运算课程设计一、课程设计背景和目的在人教版高中选修1的23.2复数代数形式的四则运算的学习中，我们需要掌握复数的四则运算。
复数是一类数，由实数及虚数形成。
虚数由一个实数和i（虚数单位）相乘得到。
本课程设计旨在帮助学生掌握复数的四则运算，并能够灵活应用于解决实际问题。
二、教学内容及教学目标2.1 教学内容本课程设计的教学内容包括：•复数的定义及表示•复数的加法、减法•复数的乘法、除法•复数的幂运算•复数方程的解法•复数的实部、虚部及共轭2.2 教学目标通过本课程设计的教学，学生应达到以下目标：•熟练掌握复数的定义及表示方法•能够进行复数的加、减、乘、除、幂运算•能够使用复数解决实际问题•了解复数的实部、虚部及共轭三、教学重点和难点3.1 教学重点•复数的加、减、乘、除、幂运算•复数方程的解法3.2 教学难点•复数的乘、除法运算•复数方程的解法四、教学方法4.1 教师讲授教师使用PPT等多媒体工具向学生讲解复数的定义、四则运算、幂运算等概念及方法。
4.2 学生探究学生结合实际问题，通过小组协作、讨论等方式，探究复数的应用及解决方法。
4.3 课堂练习教师设计各种类型的练习，帮助学生理解和掌握知识。
4.4 课后作业教师布置相应的作业，巩固和扩展学生的知识。
五、课程安排本课程设计教学时间为6学时，具体安排如下：学时教学内容1 复数的定义及表示，复数的加、减法2 复数的乘法、除法，复数的幂运算3 复数在实际问题中的应用4 复数方程的解法5 复数的实部、虚部及共轭6 课程总结和评价六、教学评估本课程设计的评估方式主要包括：6.1 日常测评根据教师布置的课后作业、课堂练习等，对学生进行日常评估。
6.2 作品展示学生根据课程内容，进行小组或个人作品设计，进行展示和评价。
6.3 课程评价和反思学生对本节课程进行自我评价和学习反思，对本课程设计提出建议和改进建议。
七、结语本课程设计旨在帮助学生掌握复数的四则运算，并能够灵活应用于解决实际问题。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_4
3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计学习目标：1.掌握复数代数形式的乘除运算.2.理解复数乘除的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念学习重点：复数的乘除运算法则及其应用．学习难点：复数的代数形式的化简．学习过程：回顾旧知：复数相加(减),就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,即:()()a bi c di +±+=计算：(1)(14)(72)i i +-+(2)(52)(14)(23)i i i --+--+(3)(32)(43)(5)]i i i --+-+-[设计意图：复习回顾上节所学内容，加深对复数的加减基本运算的理解和运用。
问题探究计算 (1)(1(2⨯ (2)()()a b c d +⨯+新知导学1. 复数乘法运算法则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈是任意两个复数，那么它们的积 ()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.设计意图：由多项式乘多项式的运算，归纳出复数乘法运算法则，学会用类比的方法探索新知。
跟踪训练：(1) (14)(72)i i +⨯- (2) (72)(14)i i -⨯+(3) [(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ (4) (32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[设计意图：通过四个跟踪训练，引出复数乘法的运算律，承上启下。
2. 复数乘法运算律：(1) 交换律：1221z z z z =，(2) 结合律：()()123123z z z z z z =，(3) 分配律：()1231213z z z z z z z +=+.跟踪训练：(1) (14)(14)i i +⨯- (2) 2(32)i +设计意图：通过这两个跟踪练习，引出共轭复数的概念，并能运用简单的公式法求复数。
人教课标版高中数学选修1-2：《复数代数形式的四则运算》教案-新版
3.2 复数代数形式的四则运算一、教学目标 1.核心素养通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.学习重点复数代数形式四则运算法则. 4.学习难点复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用. 二.教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材P 56---P 60,完成P 58和P 60相应练习题 任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则 任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义 2.预习自测1.设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为（ ） A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 答案：D解析：∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i .2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（ ） A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. （二）课堂设计 1.知识回顾1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )的模为22z a b =+2.问题探究问题探究一：复数的加减法●活动一 怎样计算复数的加法与减法?设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么（1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ （2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-. ●活动二 从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）. ●活动三 复数的和与差还是一个复数吗？ 显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数.●活动四 我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？ 对任意123,,z z z C ∈.（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++.●活动五 复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？（1）复平面内的点(,)Z a b OZ ←−−−→uu u r 一一对应平面向量（2）复数i z a b OZ =+←−−−→uu u r一一对应平面向量 （3）复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图，OZ uu u r 表示复数12z z +所对应的向量，12Z Z uuuu r 表示复数12z z -所对应的向量，即OZuu u r表示复数()()i a c b d +++所对应的向量，12Z Z uuuu r表示复数()()i a c b d -+-所对应的向量注： 两个复数的差12z z -表示与连接两个终点12,z z 且指向被减数的向量对应. 问题探究二：复数的乘除法●活动一 复数的乘法怎么算？复数的乘法是否有似曾相识的感觉？设1z =a ＋b i ，2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，则1z ·2z =（a ＋b i ）（c ＋d i ）=_________________.从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ●活动二 复数的乘法是否也满足运算律呢？ 对任意123,,z z z C ∈. （1）交换律：2121z z z z ⋅=⋅（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅1z●活动三 复数的除法又该如何计算呢？设1z =a ＋b i , 2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ，且c ＋d i≠0），122222i i(i 0)i z a b ac bd bc ad c d z c d c d c d+++==++≠+++ 几个运算性质：①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ). ②(1±i)2＝±2i ，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+，1i i=-. ③设13i 22ω=-+，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.●活动四 什么叫做共轭复数？一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常记复数i(,)z a b a b R =+∈的共轭复数为i(,)z a b a b R =-∈.共轭复数有如下性质：①z R z z ∈⇔=；②22z z z z ⋅==；③2z z a +=，2i z z b -=；④1212z z z z +=+，1212z z z z -=-；⑤1212z z z z ⋅=⋅，1122z zz z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(z 2≠0).例 1 计算下列各题： (1)3(2-3i)(2i)12+-++； (2)i 1i 1()()i 2332----+；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【知识点：复数的四则运算】详解：33=(22)(3)i 11i 22-+-++=-（1）原式 111111=()(1)i i 322366-++--+=+（2）原式.（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i. （4）z ＋1＋2i ＝10－3i ，∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.点拔：复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.例2 设及分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出复数z 1＋z 2所对应的向量.【知识点：复数的四则运算，复数加减法的几何意义】 【思路探究】利用加法法则求z 1＋z 2详解：∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ，∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i ∵15,3OZ =uuu r （），24,1OZ =uuu r （），由复数的几何意义可知，12OZ OZ +uuu r uuu r 与复数z 1＋z 2对应， ∴12OZ OZ +uuu r uuu r ＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量12OZ OZ OZ +=uuu r uuu r uu u r如图所示.点拔：1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.变式：在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量. 解：z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.复数z 1－z 2所对应的向量为21Z Z uuuu r.例3 （1）设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. （2）已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值.【知识点：复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：数形结合】（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ).由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0. ∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2.∴|z1－z2|＝2.（2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.解法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(1)(2)解法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.点拔：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.例4 （1）计算61i23i 1i32i ++⎛⎫+⎪--⎝⎭.（2）计算：2013 23i21i123i⎛⎫-++ ⎪⎪-+⎝⎭；(3)若复数1i1iz+=-，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值.【知识点：复数的四则运算】（1）分析：先计算1i1i+-再乘方，且将23i32i+-的分母实数化后再合并.详解：626(1i)23i32i62i3i6 =i1i 255⎡⎤+++++-+=+=-+⎢⎥⎣⎦()()原式又解：626(1i)23i i23i i =i1i 232i i23i⎡⎤++++=+=-+⎢⎥-+⎣⎦()()原式().（2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解.详解：10062i(123i)22(2)=1i 1i 123i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式 100622(1i)=i 2i 2+⎛⎫+⋅⎪-⎝⎭10062(1i)=i i 2++⋅222=i 22--+(3)201422013111z z z zz-++++=-L ， 而21i (1i)2i =i 1i (1i)(1i)2z ++===--+，所以201422201311i 11i 11iz z z zz --++++===+--L 点拔：1.要熟记i n 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若3i 13i z z z ⋅-⋅=+，求z .【知识点：复数的四则运算，共轭复数】详解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点拔：1.22z z z z ⋅==是共轭复数的常用性质.2.实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔ z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数.3.若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 3.课堂总结 【知识梳理】1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.2.复数加减法的几何意义3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 【重难点突破】(1)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式.(2)复数加法的几何意义：如果复数12z z ，分别对应于向量12OP OP uuu r uuu r、，那么，以12OP OP 、为两边作平行四边形，对角线OS 表示的向量OS uu r就是12z z +的和所对应的向量.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. (3)复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式.(4)两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简 .(5)复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化. 4.随堂检测 1.21i=+（ ） A.22 B.2 C.2 D.1 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】 原式211i==+ 2.复数i(2－i)等于（ ） A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.3.已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于（ ） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】由(1－i)2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.（三）课后作业 ★基础型 自主突破 1.()212i1i +-等于（ ）A.11i 2--B.11i 2-+C.11i 2+D.11i 2-答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】 原式12i i12i 2+==-+- 2. i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（ ） A.i B.－i C.1 D.－1 答案：A解析：【知识点：共轭复数相关概念，i 的周期性】 方法一：i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二：i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.3.已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)等于（ ） A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】4.复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】 5.复数z 满足(i)i 2i z -=+，则z =（ ） A.1i -- B.1i - C.13i -+ D.12i - 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】2iz i i+-=，∴1z i =- 6.复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（ ） A.2+i B.2－i C.－1+iC.－1－i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数的定义】(3)(2)15i i z i -++==-+，1z i =-- 7.若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】117(117)(2)3525i i i z i i +++===+- 8. (1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案：1i -+解析：【知识点：复数的四则运算】 原式6(23i)(32i)5i i 11i 325++=+=-+=-++ ★★能力型 师生共研1.已知复数z 满足z (1＋i )＝1＋ai (其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B 解析：【知识点：复数的四则运算】由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限，故选B.2.若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2,3b c ==B.2,1b c ==-C.2,1b c =-=-D.2,3b c =-=答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，复数的相等】 把12i +代入方程20x bx c ++=，利用复数的相等即可3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】4.设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A.若2z ≥0，则z 是实数B.若2z <0,则z 是虚数C.若z 是虚数，则2z ≥0D.若z 是纯虚数，则2z <0答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】6.设复数1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ，若12z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为______.答案：6解析：【知识点：复数的概念，复数的四则运算】∵a ∈R ，1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ， ∴12z z ＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i 2＝a －22＋a ＋22i ，依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6.7.若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案：5解析：【知识点：复数的模，复数的四则运算】∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎨⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b.∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋bi |＝|2－i |=222(1)+-＝ 5.8.计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i).答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算】解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i★★★探究型 多维突破A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】2.已知1122,,,x y x y R ∈，定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为________.答案：90o解析：【知识点：复数的四则运算】设 111a b i ω=+，222a b i ω=+ （12,0a a ≠）故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b . 从而有1212121OP OP b b k k a a ==-g g ，故21OP OP ⊥. 3.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，且z 1＝z 2，则λ的取值范围是_____________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：【知识点：复数的四则运算，三角函数的值域】由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916， 因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 4.已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则 y x 的最大值为________. 答案： 3解析：【知识点：复数的加减法的几何意义，复数的模，直线的斜率的应用】∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 5.已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】设D （x,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +y i)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i.6.已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z ++的值.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模，复数的概念】设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-即2213i i 0a b a b +--++=,则224,10,43i.3,30a a b a z b b ⎧=-⎧⎪++-=⇒=-+⎨⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i34i22(43i)43i z ++-++===+-+-.(四)自助餐1.若12,z z ∈C ，1212z z z z --+是（ ）A.纯虚数B.实数D.不能确定答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的概念】121212i,i(,,,),(i)(i)(i)(i)--=+=+∈+=+-+-+z a b z c d a b c d z z z z a b c d a b c d R 22ac bd =+∈R .2.为正实数，i 为虚数单位，i 2i a +=，则a =（ ） A.2 B.3 C.2D.1答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】2i |1i |12,i +=-=+=a a aa >0,故3a =. 3.36(13i)2i (1i)12i -+-++++的值是（ ） A.0B.1C.iD .2i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】33336(13i)2i 13i (2i)(12i)-1+3i 15i ()()()+(1i)12i 2i 52i 5-+-+-+-+-+=+=++=i+i =2i .4 若复数z 满足3(1)i 1z z -+=,则2z z +的值等于（ ）A .1D .13i 22-+答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】13i133i 3i 10,i ,2213i z z z ω+---===-+=-221z z ωω+=+=-.5.已知33i (23i)z -=⋅-,那么复数z 在复平面内对应的点位于（） A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】33132223iz i i -==+-6.已知复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝（ ）A.－2iB.－iC.iD.2i答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】解：B 依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.7.设456121z i i i i =++++L ，456121z i i i i =⋅⋅⋅L 则12,z z 的关系是（）A .12z z =B .12z z =-C .121z z =+D .无法确定答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，等比数列的前n 项和，等比数列的前n 项和】491(1)1111i i i z i i--===--，456127221z i i ++++===L 故选A. 8.已知2()i i (i 1,n n f n n -=-=-∈N )，集合{}()f n 的元素个数是（ ） A.2B.3C.4D.无数个答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】00-12-23-31(0)i -i 0,(1)i-i =i-=2i,(2)i -i 0,(3)i -i =-2i.i f f f f ======9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A ,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案：C解析：【知识点：复数的加减法的几何意义】A 点坐标为(6,5),B 点坐标为(-2,3),则中点C 的坐标为(2,4),∴C 点对应的复数为2+4i.10.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i ＋i ·z 等于（ ）A.－2B.－2iC.2D.2i解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴ z i ＋i ·z ＝1－i ＋i (1－i )＝(1－i )(1＋i )＝2.故选C.11.若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为（ ）A.－4B.－45C.4D.45答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎨⎧ 3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45. 故选D12.若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】∵z 1－i ＝i ，∴z ＝i (1－i )＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i .故选A.13.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）A.AB.BC.CD.D解析：【知识点：复数的概念，复平面，共轭复数】表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.14.设z =（2-i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .答案：5解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】15. i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若1z =2-3i,则2z = . 答案：2z = -2+3i解析：【知识点：复数的几何意义】由于z 1对应的点的坐标为(2,-3),所以z 2对应的点的坐标为(-2,3), 2z = -2+3i .16.（1） i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)已知复数z ＝(5＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.答案：-2；21解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】（1）(1－2i )(a ＋i )＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2（2）因为z ＝(5＋2i )2＝25＋20i ＋(2i )2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 17.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. 答案：1解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. 18.－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 答案：1i +解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i . 19.已知f (x )＝⎩⎨⎧ 1＋x ，x ∈R ，(1＋i)x ，x ∉R ，则f [f (1－i )]＝________. 答案：3∵f (1－i )＝(1＋i )(1－i )＝2，∴f [f (1－i )]＝f (2)＝1＋2＝3.20.已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i )z 是纯虚数，求z .答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，复数的模】设z ＝x ＋y i （x, y ∈R ），∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数，∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i21.设1zz +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，共轭复数，复数的模】 ∵1z z + 是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，即20(z 1)(z 1)zz z z ++=++, 设(x,y R)z x yi =+∈，则222()20x y x ++=∴ 2211(y 0)24x y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.它为复数z 对应点的轨迹方程. 22.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO→、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数. 答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】①AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i . ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i . ②CA→＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . ③OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .点评：因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.23.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i . ∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6).三、数学视野以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一. 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献.复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.。
【优选整合】高中数学人教A版选修1-23.2复数代数形式的四则运算（3）教案（1）
【优选整合】⾼中数学⼈教A版选修1-23.2复数代数形式的四则运算（3）教案（1）第三章数系的扩充与复数的引⼊3.2复数代数形式的四则运算3⼀、教学⽬标：知识与技能：掌握复数的加减法运算及意义过程与⽅法：理解并掌握实数进⾏四则运算的规律，了解复数加减法运算的⼏何意义情感、态度与价值：让学⽣探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这⼀活动培养学⽣善于和他⼈合作的精神.⼆、教学重点、难点重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的⼏何意义。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采⽤“探究——发现”教学模式．教师的教法：利⽤多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与⽅法的引导．“抓三线”，即(⼀)知识技能线（⼆）过程与⽅法线（三）能⼒线.“抓两点”,即⼀抓学⽣情感和思维的兴奋点，⼆抓知识的切⼊点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（⼀）温故知新1. 与复数⼀⼀对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平⾯中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时⽤坐标和⼏何形式表⽰复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。
向量的加减运算满⾜何种法则？4. 类⽐向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？（⼆）探究新知1.虚数单位i :(1)它的平⽅等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进⾏四则运算，进⾏四则运算时，原有加、乘运算律仍然成⽴2. i 与－1的关系: i 就是－1的⼀个平⽅根，即⽅程x 2=－1的⼀个根，⽅程x 2=－1的另⼀个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，⽤字母C 表⽰*5. 复数的代数形式: 复数通常⽤字母z 表⽰，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表⽰成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7. 复平⾯、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可⽤点Z (a ，b )表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，也叫⾼斯平⾯，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表⽰实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z =0+0i =0表⽰是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数复数集C 和复平⾯内所有的点所成的集合是⼀⼀对应关系，即复数z a bi =+←→⼀⼀对应复平⾯内的点(,)Z a b 这是因为，每⼀个复数有复平⾯内惟⼀的⼀个点和它对应；反过来，复平⾯内的每⼀个点，有惟⼀的⼀个复数和它对应.这就是复数的⼀种⼏何意义.也就是复数的另⼀种表⽰⽅法，即⼏何表⽰⽅法 8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=⼀个向量的坐标等于表⽰此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)⼀．复数代数形式的加减运算b Z(a ，b)a o y x１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 复数的加法运算满⾜交换律: z1+z2=z2+z1.4. 复数的加法运算满⾜结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满⾜结合律（三）典例解析例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i) 解法⼀：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i) =(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法⼆：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式⼦)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i⼆.复数代数形式的加减运算的⼏何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平⾯内的点(,)Z a b ←→⼀⼀对应平⾯向量OZ 2. 复数z a bi =+←→⼀⼀对应平⾯向量OZ 3.复数加法的⼏何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平⾯上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平⾏四边形OZ 1ZZ 2，则对⾓线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的⼏何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法⼏何意义，以OZ 为⼀条对⾓线，1OZ 为⼀条边画平⾏四边形，那么这个平⾏四边形的另⼀边OZ 2所表⽰的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平⾯内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平⾯内所对应的点在第⼏象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平⾯内对应的点在第⼆象限内.例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平⾯上的对应点是⼀个正⽅形的三个顶点，求这个正⽅形的第四个顶点对应的复数. 分析⼀：利⽤BC AD =，求点D 的对应复数. 解法⼀：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正⽅形的第四个顶点D 对例2图应的复数为x +yi (x ，y ∈R)，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴-=-=-,32,11y x 解得?-==.1,2y x(x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然⽽通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作⽤（四）当堂达标1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平⾯内所表⽰的点位于A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限2.在复平⾯上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平⾏四边形ABCD 的对⾓线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平⾯上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重⼼G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平⾏四边形的对⾓线长为 A.32 B.22 C.2 D.54.复平⾯上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三⾓形是A.直⾓三⾓形B.等腰三⾓形C.锐⾓三⾓形D.钝⾓三⾓形5.⼀个实数与⼀个虚数的差（）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.⽆法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R)分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量2 1Z Z。
最新人教版高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》示范教案
3．2.2复数代数形式的乘除运算整体设计教材分析本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．过程与方法目标1．运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程．2．培养学生的发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．情感、态度与价值观通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．重点难点重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点：复数除法的运算法则．教学过程引入新课提出问题：试计算5(2＋i)．活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法．学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i.设计意图通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：m(a＋bi)＝ma＋mbi，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复数相乘又该如何计算？探究新知提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)?活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)(1)规定，复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积：(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i2＝4＋7i.设计意图遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程．理解新知提出问题1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满足哪些运算律？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流．学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律．活动成果：(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中：对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.设计意图准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础．提出问题2：计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测i n(n∈N*)的值有什么规律吗？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导．学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性．活动成果：i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N*)．设计意图了解i的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力．运用新知例1计算：(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．思路分析：第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．解：(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.点评：此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.探究新知提出问题1：在例1中1－2i与1＋2i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？活动设计：学生独立思考，然后交流．学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同．活动成果：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数．注意：z 的共轭复数常用z 表示．即：若z ＝a ＋bi ，则z ＝a －bi.设计意图例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，使学生对知识的接受变得自然．提出问题2：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则． 活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则．活动成果：(1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c ＋di)(x ＋yi)＝a ＋bi(c ＋di ≠0)的复数x ＋yi ，叫做复数a ＋bi 除以c ＋di 的商．(2)经计算可得(cx －dy)＋(dx ＋cy)i ＝a ＋bi.根据复数相等的定义，有cx －dy ＝a ，dx ＋cy ＝b.由此得x ＝ac ＋bd c 2＋d 2，y ＝bc －ad c 2＋d 2. 于是得到复数除法的法则是：(a ＋bi)÷(c ＋di)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．理解新知提出问题1：若z 1，z 2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z 1·z 2是一个怎样的数？(3)若z 1是实数，则它的共轭复数是怎样的数？活动设计：学生独立探究，然后再小组交流．教师巡视指导．学情预测：学生通过独立思考，然后与同学交流看法，最后能够得出正确的结论． 活动成果：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称；(2)z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2；(即z·z ＝|z|2＝|z |2)(3)z 1的共轭复数仍是z 1，即实数的共轭复数是它本身．设计意图使学生加深对共轭复数概念的了解．提出问题2：在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解．学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律．活动结果：(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a ＋bi)÷(c ＋di)写成a ＋bi c ＋di的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c －di ，化简整理后即可．(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．设计意图简化求解过程，有利于熟练运用法则．运用新知例2计算(1＋2i)÷(3－4i)．思路分析：先把(1＋2i)÷(3－4i)写成1＋2i 3－4i的形式，然后分子、分母都乘以3＋4i ，计算整理即可．解：(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3－8＋6i ＋4i 32＋42＝－5＋10i 25＝－15＋25i. 点评：例2是复数除法的计算题，目的是让学生熟练操作上述作除法的简便过程． 巩固练习计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(3＋2i)(－3＋2i)；(3)(－1＋i )(2＋i )－i. 解：(1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i 25＝1－i ； (2)(3＋2i)(－3＋2i)＝(2i)2－(3)2＝2i 2－3＝－2－3＝－5；(3)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－2－i ＋2i ＋i 2－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )i －i·i＝－1－3i. 变练演编1．已知：________÷________＝1＋2i ，则横线上可以填的条件是什么？(可以多写几种)2．计算：3＋4i 4－3i；并自己编制一道类似的题目． 答案：1.11＋2i ，3－4i 或5,1－2i 等等．(先写出被除数或除数中的一个，然后求另一个)2．解法一：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＝25i 25＝i ； 解法二：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )i (4－3i )i ＝(3＋4i )i 3＋4i＝i. 编制的题目：5＋3i 3－5i ，－5i ＋6－6i －5(编制的原则设分子是z 1＝a ＋bi ，则分母为z 2＝b －ai ，即分母与i 的乘积就是分子，可直接约分，从而达到分母实数化)．设计意图第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处理问题，熟练运用知识的能力，而且可以培养学生发散思维与集中思维的能力，还可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻．第二个题的目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化．达标检测1．复数a ＋bi 与c ＋di 的积是实数的充要条件是( )A ．ad ＋bc ＝0B ．ac ＋bd ＝0C ．ac ＝bdD ．ad ＝bc2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z.3．计算－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 010. 解析：1.若(a ＋bi)(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i 是实数，则只需虚部ad ＋bc ＝0.故答案为A.2．由已知可得z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，所以z ＝2＋i. 3.－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 010＝i (1＋23i )1＋23i＋[(21－i )2]1 005＝i ＋(2－2i )1 005 ＝i ＋i 1 005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i.课堂小结对给定的三个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，你能研究些什么？用什么样的方法来研究？(数系的扩充，当复数的虚部为0时，复数也就是特殊的实数；复数的分类；复数相等的概念；复数的几何意义；复数的模；复数的运算；复数的运算律；任一个复数的共轭复数及性质等本章所学的所有知识．用类比、转化、数形结合、化虚为实等思想方法来研究．)布置作业习题3.2 A 组4、5题．补充练习基础练习1．复数(15＋8i)(－1－2i)的值为________．2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－343．复数z ＝m －2i 1＋2i在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i 且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为__________． 5．已知z 1＝5＋10i ，z 2＝3－4i ，1z ＝1z 1＋1z 2，求z. 答案：1.1－38i 2.A 3.A 4.83 5.5－52i. 拓展练习6．已知2i －3是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．思路分析：2i －3是方程的根，代入方程后根据复数相等的定义，化虚为实，即可求得． 解：由已知得：2(2i －3)2＋p(2i －3)＋q ＝0，从而(10－3p ＋q)＋(2p －24)i ＝0.于是，有⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，2p －24＝0，解得p ＝12，q ＝26. 点评：解决复数问题的关键就是转化为实数问题来处理，复数相等就是实现这一转化的很好的工具．设计说明本节课是本章的重点内容，同时复数乘、除法的法则的理解更是难点．故在本节课的设计上多次采取类比的方法，使知识在不失其本质的情况下，更易于理解．同时这种处理方法可以使新知识与所学知识建立联系性，有利于知识的网络化和系统化．在整个设计上突出了问题驱动式的教学方法，以问题为主线，以学生为主体，随着问题的提出与解决，教学内容也被随之很好地学习与理解．在例题和习题的设计环节上，力求突出本节课的重点：熟练掌握复数的乘除法运算以及数学思维方式与技能形成的培养．例题的选题目的有三：一是巩固所学法则及运算律；二是通过一题多解培养学生的发散思维能力；三是培养计算能力，以形成技能．变练演编的第1题考查学生灵活运用知识、发散思维及逆向思维的能力；第2题则是使学生更加深刻地体会复数除法的实质就是“分母实数化”，培养学生问题理解的深刻性、全面性．为了进一步巩固所学，又设计了巩固练习、达标检测和补充练习等环节．在补充练习中为学有余力的同学安排了拓展练习，增加思维量的同时也开阔了视野．备课资料我们知道，对于实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，如果b 2－4ac<0，那么它在实数集R 内没有实根．现在把实数集R 扩充为复数集C ，再来考察这一问题．经过变形，原方程可以化为x 2＋b a x ＝－c a， ∴x 2＋2·x·b 2a ＋(b 2a )2＝(b 2a )2－c a ，(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac (2a )2，(x ＋b 2a )2＝－[－(b 2－4ac )(2a )2]． 由于－(b 2－4ac )(2a )2是正实数，我们可以得到x ＋b 2a ＝±－(b 2－4ac )·i 2a . 所以当b 2－4ac<0时，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在复数集C 内有且只有两个根x ＝－b±－(b 2－4ac )·i 2a(b 2－4ac<0). 显然，它们是一对共轭复数．(设计者：许彩霞 董伟伟)。
人教A版高中数学选修复数代数形式的四则运算教案一新
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学过程：一、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。
④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
人教版高中数学选修1-2 3.2复数代数形式的四则运算复习课课件(共17张ppt)
知识运用2
① (2 5i)i ② (12i)(2i) ③ (12i)(12i)
1.复数 i(1+i) 的实部是（ ） 2.复数(1+2i)i 的实部是（ ） 3. 复数(2+i)i 的共轭复数是（ ）
3.复数的除法运算
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母
都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式
(分母实数化).即
(ab)i(cd)iabi cdi
(abi)(cdi) (cdi)(cdi)
(acbd )(bcad )i
c2d2
分母实数化
例2.计算 (12i)(34i)
解: (1 2i) (3 4i) 1 2i 3 4i
(1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)
3 8 6i 4i 5 10i
32 42
25
1 2i 55
1 i
①1 i ②2i
1 i
③ 3 2i
1 2i
知识运用3
课堂小结
1.复数的加减法
a b i c d i a c b d i
2.复数的乘法
a b ic d i a c b d b c a d i
3.复数的除法
abiacbdbcadi cdi c2d2 c2d2
zabi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
实数 b0 复数a+bi虚数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00
如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等．
若 a,b,c,dR,
a c
ab icdib d
1.复数加减法的运算
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
人教版高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》
A.2 B. 2 C.2i D. 2i
从左到右 的顺序。
3.设z 1 i(i是虚数单位),则复数 2 i2的虚部是( D )
z
A. i B. 1 C.i D.1
1i
_
4.复数z满足(1 i) z i,则z ________2______
5.已知复数z满足(3 4i) z 25,则z ( D )
1. i2 1
(a b)2 a2 2ab b2
(1 i)2 2i
(1 i)2 2i
(a b)(a b) a2 b2
(a bi)(a bi) a2 (bi)2 a2 b2 (1 2i)(1 2i) 5
(c di)(c di) c2 d 2
2.减法：z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i
3.乘法：z1 • z2 (a bi) • (c di) (ac bd) (ad bc)i
4.除法：z1
z2
a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
5
10i
1
2
i
个 ？
25
55
（三）练习：
1.设i是虚数单位,复数i3 2i (
D
运算顺序：主要是先 乘方，
)
1 i
后 乘除，最后 加减，
A. i B.i C. 1 D.1
2.已知复数z 1 i,则 z2 ( z 1
A
有括号的 先进行括号内的 ) 计算。同级运算时，按照
A. 0
B.
2014年高二数学课堂基础规范教案第三章3.2《复数代数形式的四则运算》(新人教A版选修1-2)
复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（ 1）(1(2+⨯- （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子 例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
高中数学 第三章 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学案 新人教A版选修22
3．2.2 复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有3.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i答案：A4．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a ，b ∈R，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝(1－2i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－2)－i －4i 5＝－i.答案：－i2．计算：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝________.解析：法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i.法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________.[解析] (1)因为i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)， ∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.[答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用]计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______. 解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i复数综合应用[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋z是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0， 所以y －yx 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z ，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0， 由典例解析知，x 2＋y 2＝1，∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0， 由典例解析知x 2＋y 2＝1. 则ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x1＋x＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x －3.因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0. 于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x， 即x ＝0时等号成立． 所以ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一 学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________． 解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1， 所以a b＝2. 答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－38．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i .解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i2－3i＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i 13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i ＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二 应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i1＋i ∈R，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i)i＋i ＝2i.5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋a z＜0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i (a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。
高中数学人教版A版精品学案《复数的四则运算》
复数的四则运算【第一课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？2．复数的加、减法的几何意义是什么？二、合作探究探究点1：复数的加、减法运算例1：（1）计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）；（2）设1＝＋2i，2＝3－i（，∈R），且1＋2＝5－6i，求1－2．解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i＝－11i．（2）因为1＝＋2i，2＝3－i，1＋2＝5－6i，所以（3＋）＋（2－）i＝5－6i，所以错误!所以错误!所以1－2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i．探究点2：复数加、减法的几何意义例2：已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．（1）求错误!对应的复数．解：由题意知，点M为OB的中点，则错误!的坐标为错误!，所以点M对应的复数为错误!＋3i．三、学习小结1．复数加、减法的运算法则及加法运算律（1）加、减法的运算法则设1＝a＋b i，2＝c＋d i（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则1＋2＝（a＋c）＋（b＋d）i，1－2＝（a－c）＋（b－d）i．（2）加法运算律对任意1，2，3∈C，有①交换律：1＋2＝2＋1．②结合律：（1＋2）＋3＝1＋（2＋3）．2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数1＝a＋b i，2＝c＋d i（a，b，c，d∈R）对应的向量分别为错误!，错误!，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与1＋2对应的向量是错误!，与1－2对应的向量是错误!．四、精炼反馈1．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）的结果为（）A．5－3i B．3＋5iC．7－8i D．7－2i解析：选C．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i＝7－8i．2．已知复数1＝（a2－2）－3a i，2＝a＋（a2＋2）i，若1＋2是纯虚数，则实数a的值为____________．解析：由1＋2＝a2－2＋a＋（a2－3a＋2）i是纯虚数，得错误!⇒a＝－2．答案：－23．已知复数1＝－2＋i，2＝－1＋2i．（1）求1－2；（2）在复平面内作出复数1－2所对应的向量．解：（1）由复数减法的运算法则得1－2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i．（2）在复平面内作复数1－2所对应的向量，如图中错误!．【第二课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？2．复数乘法的运算律有哪些？3．如何在复数范围内求方程的解？二、合作探究探究点1：复数的乘法运算例1：（1）（1－i）错误!（1＋i）＝（）A．1＋错误!i B．－1＋错误!iC．错误!＋i D．－错误!＋i（2）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则（a＋b i）2＝（）A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i（3）把复数的共轭复数记作错误!，已知（1＋2i）错误!＝4＋3i，求．解：（1）选B．（1－i）错误!（1＋i）＝（1－i）（1＋i）错误!＝（1－i2）错误!＝2错误!＝－1＋错误!i．（2）选D．因为a－i与2＋b i互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以（a＋b i）2＝（2＋i）2＝3＋4i．（3）设＝a＋b i（a，b∈R），则错误!＝a－b i，由已知得，（1＋2i）（a－b i）＝（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，由复数相等的条件知，错误!解得a＝2，b＝1，所以＝2＋i．探究点2：复数的除法运算例2：计算：（1）错误!；（2）错误!．解：（1）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i．（2）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝1－i．探究点3：i的运算性质例3：（1）复数＝错误!，则ω＝2＋4＋6＋8＋10的值为（）A．1B．－1C．i D．－i（2）错误!错误!等于________．解析：（1）2＝错误!错误!＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1．（2）错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝i2 019＝（i4）504·i3＝1504·（－i）＝－i．答案：（1）B（2）－i探究点4：在复数范围内解方程例4：在复数范围内解下列方程．（1）2＋5＝0；（2）2＋4＋6＝0．解：（1）因为2＋5＝0，所以2＝－5，又因为（错误!i）2＝（－错误!i）2＝－5，所以＝±错误!i，所以方程2＋5＝0的根为±错误!i．（2）法一：因为2＋4＋6＝0，所以（＋2）2＝－2，因为（错误!i）2＝（－错误!i）2＝－2，所以＋2＝错误!i或＋2＝－错误!i，即＝－2＋错误!i或＝－2－错误!i，所以方程2＋4＋6＝0的根为＝－2±错误!i．法二：由2＋4＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程2＋4＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程2＋4＋6＝0的根为＝a＋b i（a，b∈R且b≠0），则（a＋b i）2＋4（a＋b i）＋6＝0，所以a2＋2ab i－b2＋4a＋4b i＋6＝0，整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，所以错误!又因为b≠0，所以错误!解得a＝－2，b＝±错误!．所以＝－2±错误!i，即方程2＋4＋6＝0的根为＝－2±错误!i．三、学习小结1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设1＝a＋b i，2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则1·2＝（a＋b i）（c＋d i）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．（2）复数乘法的运算律2．复数除法的运算法则设1＝a＋b i，2＝c＋d i（c＋d i≠0）（a，b，c，d∈R），则错误!＝错误!＝错误!＋错误!i（c＋d i≠0）．四、精炼反馈1．若复数（1＋b i）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2B．－错误!C．错误!D．2解析：选D．因为（1＋b i）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．2．已知i为虚数单位，则复数错误!的模等于（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D．因为错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!i，所以|错误!|＝|－错误!＋错误!i|＝错误!＝错误!，故选D．3．计算：（1）错误!＋错误!错误!；（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．解：（1）错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!错误!＝i（1＋i）＋错误!错误!＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝22－14i＋25－25i＝47－39i．。
高二数学 《3.2复数代数形式的四则运算(一)》教案 文 新人教A版选修1-2
高中数学《3.2复数代数形式的四则运算(一)》教案 教学过程 复数的加法 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的和 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i两个复数的和仍是一个确定的复数．复数的加法满足交换律、结合律吗?复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3) ．复数与复平面内的向量有一一对应关系，我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？复数加法的几何意义).,( ).,( ),( , 212121d b c a OZ OZ d c OZ b a OZ di c bi a OZ OZ ++=+==++运算，得由平面向量的坐标，则对应，分别与复数，设复数是否有减法？如何理解复数的减法?复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足(c ＋d i)＋(x ＋y i)＝a ＋b i 的复数x ＋y i ，叫做复数a ＋b i 减去c ＋d i 的差，记作(a ＋b i)－(c ＋d i)．根据复数相等的定义，有c ＋x ＝a ，d ＋y ＝b ，由此 x ＝a －c ，y ＝b －d ，所以x ＋y i ＝(a －c )＋(b －d )i ．即 (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ．两个复数的差是一个确定的复数．类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义.例1. 计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i).课堂练习).i 2222()i 2222()i 2222( .1---+--+计算：2.四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A 、B 、C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i ，2＋i ，求点D 对应的复数.3. 化简5i －(2＋2i)的结果为( C )A. －2＋7iB. 3－2iC. －2＋3iD. －2－3i y O xZ 1:(a ,b a Z 2:(c ,d )Z y O x C BA D4. 设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( D )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 设O 是原点，向量对应，那么向量，对应的复数分别为、i 23i 32 BA OB OA +-- 的复数是( D )A. －5＋5iB. －5－5iC. 5＋5iD. 5－5i6. (0.5 ＋1.3i)－(1.2＋0.7i)＋1－0.4i ＝0.3＋0.2i.7. 设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i (x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.8.复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，点A 、B 、C 对应的复数分别为2＋3i 、3＋2i 、－2－3i ，求D 点对应的复数.。
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第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算4------------ 学 案一、学习目标1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点) 3．理解共轭复数的概念．(易混点) 二、自主学习教材整理1 复数的乘法法则及运算律阅读教材P 58至“例2”以上内容，完成下列问题． 1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2．复数乘法的运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 (1)交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1.(2)结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)．(3)乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.1.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.【解析】 因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.【答案】 1＋2i教材整理2 共轭复数阅读教材P 59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题．如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.2.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.【答案】 －1 1教材整理3 复数的除法法则阅读教材P 59“探究”以下至P 60“例4”以上内容，完成下列问题．设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0且c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝________.【解析】7－i3＋i＝－－＋－＝20－10i10＝2－i. 【答案】 2－i 三、合作探究探究1：复数代数形式的乘除法运算(1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3(2)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i(3)计算：－－＋－＋i＝________.【精彩点拨】 (1)利用复数的乘法运算法则进行计算． (2)利用复数的除法运算法则进行计算．(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的， 再算乘除，最后算加减．【自主解答】 (1)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. (2)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C. (3)－－＋－＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i－2＋i＝－－2－－2＋－2－＝－2－＋－5＝－5＋5i5＝－1＋i. 【答案】 (1)A (2)C (3)－1＋i 归纳总结：1．复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．2．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i ，⎝⎛⎭⎫－12±32i 3＝1，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，i 的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．[再练一题]1．(1)复数1＋3i3－i等于( )A ．iB ．－i C.3＋iD.3－i(2)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． (3)计算：＋2＋－2＋i＝________.【解析】 (1)1＋3i3－i＝＋33＋3－3＋＝3＋i ＋3i －34＝i.(2)因为z ＝(5＋2i)2＝25＋20i ＋(2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. (3)＋2＋－2＋i＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝－5＝15＋25i. 【答案】 (1)A (2)21 (3)15＋25i探究2：共轭复数及其应用已知复数z 的共轭复数是z ，且z －z ＝－4i ，z ·z ＝13，试求z z .【精彩点拨】 设z ＝x ＋y x ，y ∈R →由条件到方程组求x ，y 的值→计算z z的值【自主解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －x －y ＝－4i ，x ＋y ix －y＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2y i ＝－4i ，x 2＋y 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.因此z ＝3－2i 或z ＝－3－2i. 于是zz ＝3－2i 3＋2i＝－2＋－＝5－12i 13＝513－1213i ，或z z ＝－3－2i－3＋2i＝－3－2－3＋－3－＝5＋12i 13＝513＋1213i. 归纳总结：1．已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z .解此类题的常规思路为： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解． 2．关于共轭复数的常用结论(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数． [再练一题]2．已知复数z 满足z ·z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z . 【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋2(x ＋y i)i ＝(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.探究3：i n 的值的周期性及其应用探究1 i 4n ，i 4n ＋1，i 4n ＋2，i 4n ＋3(n ∈N )的结果分别是什么？【提示】 1，i ，－1，－i.探究2 i n (n ∈N )有几种不同的结果？ 【提示】 四种：1，i ，－1，－i.探究3 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3(n ∈N )结果是多少？【提示】 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝i(1＋i －1＋i)＝0.(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016；(2)若复数z ＝1＋i1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【精彩点拨】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算 求解．【自主解答】 (1)原式＝＋231＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝⎛⎭⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝i ＋1. (2)1＋z ＋z 2＋…＋z2 016＝1－z 2 0171－z ，而z ＝1＋i1－i ＝＋2－＋＝2i2＝i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i 1－i＝1.归纳总结：1．要熟记i n 的取值的周期性，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N )，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值．2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解． [再练一题]3．在上例(2)中，若z ＝1－i1＋i ，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【解】 ∵z ＝1－i1＋i＝－2＋－＝－2i 2＝－i.∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 016＝1－z 2 0171－z ＝1－－ 2 0171－－＝1＋i 2 0171－－＝1＋i 2 0171＋i ＝1＋i1＋i＝1.四、自主小测1．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i2．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i4．已知a 为实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a ＝________.5．计算：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i .参考答案 1【解析】 z ＝2i1－i ＝＋－＋＝－1＋i.【答案】 A2【解析】 ∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限． 【答案】 B3【解析】 ∵z ＝－3＋i 2＋i ＝－3＋－＋－＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.【答案】 D 4【解析】 a －i1＋i＝a －－＋－＝a －－a ＋2，因为a －i 1＋i是纯虚数，所以a －1＝0且a ＋1≠0，即a ＝1.【答案】 15【解】 法一：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ＝＋＋－－－－＋＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.法二：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝－2－3i－－＋2＋3i＝i ＋i ＝2i.。