甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟数学(理)试题 Word版含答案
甘肃省兰州一中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题word版含答案(已解析)
甘肃省兰州一中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．函数y = ( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1(,1]2D. 1[,1]2【答案】C【解析】由231log (21)0021112x x x -≥⇒<-≤⇒<≤ 故答案为：C【考点】函数的定义域与值域 【难度】 12. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为向量(1,2)a =- ,(3,)b m =,R m ∈,所以()2,2a b m +=+，所以//()a a b +()122206m m ⇔-⨯+-⨯=⇔=-， 所以“6m =-”是“//()a a b +”的充要条件，故答案为：A【考点】充分条件与必要条件 【难度】 13. 若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点，则实数m 的取值范围是 ( ) A ． (,0]-∞ B. [0,)+∞ C ． (,0)-∞ D. (0,)+∞ 【答案】A【解析】因为函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点， 所以函数()2log ,1y x x =≥，与直线y m =-有交点， 所以00m m -≥⇒≤， 故答案为：A【考点】函数零点的意义 【难度】 14．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则=+753a a ( ) A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28 【答案】C【解析】因为3812910a a a d +=+=， 所以=+753a a ()1141822920a d a d +=+=， 故答案为：C【考点】等差数列 【难度】 15．给出如下四个命题：①若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题；②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”； ③“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+≤”； ④“0x >”是 “12x x+≥”的充要条件．其中不正确的命题是 ( ) A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④ 【答案】C 【解析】若“p q ∨”为真命题，则p 、q 中至少有一个真命题， 故①不正确；命题②显然正确；“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是“2000,1x R x x ∃∈+<”， 所以③不正确；显然命题④正确.故答案为：C【考点】命题及其关系;全称量词与存在性量词;充分条件与必要条件 【难度】 26．已知函数2()cos f x x x =-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是 ( ) A ．(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B. (0)(0.5)(0.6)f f f <-< C ．(0.6)(0.5)(0)f f f <-< D. (0.5)(0)(0.6)f f f -<< 【答案】B【解析】易得函数f(x)是偶函数， 且()2sin 0f x x x '=+>在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，所以f(x)是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数， 所以(0)(0.5)(0.6)f f f <-< 故答案为：B【考点】函数的单调性与最值 【难度】27.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C的对边0aGA bGB +=，则角A = ( )A ．90 B.60 C ．45 D.30 【答案】D【解析】因为G 是ABC ∆的重心，所以()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+, 同理，()()()1112333BG BA BC AB AC AB AC AB =+=-+-=-, ()()11233CG CB CA AB AC =+=-.代入已知等式整理得AB AC = ,又因为,AB AC 不共线，所以360330a ba b c a b ⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪+-=⎪⎩⎩，所以222222cos 22b c a A bc +-===， 因为()0,180A ∈,所以A =30 ，故答案为：D【考点】平面向量的线性运算;余弦定理 【难度】 28．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是( )A ．奇函数且图象关于点(,0)π对称 B. 偶函数且图象关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图象关于点3(,0)2π对称 D. 偶函数且图象关于点(,0)-π对称 【答案】A【解析】因为函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取得极值，sincos44a b b a ππ=-⇒=-，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3()4y f x π=-3sin sin 44x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故答案为：A【考点】三角函数的图像与性质;恒等变换综合 【难度】 2 9．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,若2||=⋅,则ω等于( ) A ．12πB.4πC ．3πD.6π【答案】D【解析】因为2||AB BC AB =⋅，所以()()0AB BC AB AB BC BA ⋅-=⋅+=,而BC BA BE +=，所以AB BE ⊥(如图)，因为AE=BC=2AB 所以30AEB ∠=,30BAD ∠= ,因为点B所以，从而函数的周期为12，所以2126ππω==， 故答案为：D【考点】三角函数的图像与性质;平面向量的几何运算 【难度】 210．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB在A 点处与圆O 相切， 点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP ×AB的取值范围是( )A ．(5,5)- B. []5,5- C ．55(,)22- D. []0,5【答案】B【解析】以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则圆O 的方程为：2225x y +=，A(0,-5),(1,0)AB =,设P(x,y),则(),5AP x y =+，所以()()x,y 51,0AP AB x ⋅=+⋅=[]5,5∈-，所以AP ×AB的取值范围是[]5,5-，故答案为：B【考点】平面向量坐标运算 【难度】 211．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是 ( ) A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【答案】D【解析】由()()20f x f x ++=(2)(4)0f x f x ⇒+++=()(4)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为4，所以①正确；由(4)()f x f x -=(2)(2)f x f x ⇒-=+， 所以()f x 的图象关于直线2x =对称，所以②正确； 因为函数()f x 的周期是4，且(4)()f x f x -= 所以()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以③正确. 故答案为：D【考点】函数综合 【难度】 312．(理)已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则++a b c 的取值范围是 ( )A. (1,2014)B. [1,2014]C. (2,2015)D. [2,2015] 【答案】C【解析】设a<b<c 则a,b 的中点是12，所以++a b c =1+c ，因为当01x ≤≤时，[]()0,1f x ∈，(2014)1f =， 又,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c == 令()()()f a f b f c ==k =，则()0,1k ∈， 由图像易得当k 趋向于0时，c 趋向于1， 当k 趋向于1时，c 趋向于2014， 所以++a b c 的取值范围是(2,2015) 故答案为：C【考点】函数综合 【难度】 3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.） 13.（理）11(2)1x dx x ++ò=_______________________. 【答案】1ln 2+ 【解析】11(2)1x dx x ++ò()210[ln 1]|ln21x x =++=+ 故答案为：1ln 2+ 【考点】积分 【难度】 214. 若将函数sin 2y x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为_________. 【答案】512π 【解析】将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ个单位,得sin 2()y x ϕ=-， 由这个函数图象关于直线6x π=对称得，2(),62212k k k Z ππππϕπϕ-=+⇒=--∈， 因为0ϕ>所以当k=-1时，ϕ有最小值512π故答案为：512π【考点】三角函数图像变换 【难度】 2 15．已知tan 4α=，则21cos 24sin sin 2++ααα的值为 .【答案】334【解析】因为tan 4α=，所以21cos 24sin sin 2++ααα22222cos 4sin 12tan 124332sin cos tan 44αααααα+++⨯====故答案为：334【考点】恒等变换综合 【难度】 216．以下命题：①若⋅=⋅ a b a b ,则// a b ；②向量(1,1)a =- 在(3,4)b = 方向上的投影为15；③若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则 BC ×20=CA ；④若非零向量a ,b满足+= a b b ,则22>+ b a b .所有真命题的序号是______________. 【答案】①②④【解析】因为⋅=⋅ a b a b ，所以cos ,1a b =± ， 或者,a b中至少有一个零向量，所以// a b ，故①为真命题；因为(1,1)a =- ，(3,4)b =，所以cos ,a b a b a b ⋅==⋅，所以向量(1,1)a =- 在(3,4)b =方向上的投影为1cos ,5a ab == ，故②为真命题；若ABC ∆中, 5,8,7a b c ===,则()cos 40cos BC CA BC CA C C π⋅=⋅-=-=-20，故③为假命题；因为+= a b b ,所以220a a b +⋅=，所以22222240b a b a a b a -+=--⋅=> ，故④为真命题.所以，所有真命题的序号是①②④.故答案为：①②④【考点】平面向量的线性运算 【难度】 3三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==. (Ⅰ)求sin sin a bA B++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆.【答案】见解析 【解析】解：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒，所以sin sin a b A B +==+. （Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2224()3a b ab a b ab =+-=+-， 又a b ab +=，所以2()340ab ab --=， 解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=【考点】正弦定理;余弦定理【难度】318. （本小题满分12分）已知集合}2|1||{<-=x x A ，()()()4{|0}12x x B x x x -=≤-- ，}012|{2<-+=mx x x C ,m R ∈.（Ⅰ）求,A B A B ⋂⋃；（Ⅱ）若()C A B ⊆⋃，求m 的取值范围． 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ） A (1,3)=- ，B [0,1)(2,4]=?，∴A B [0,1)(2,3),⋂=⋃ A B(1,4]?-.（Ⅱ）因为C (1,4]?22mx 10方程x \+-= 小根大于或等于-1，大根小于或等于4， 令()221f x x mx =+-，则f (1)1m 0f (4)4m 310,m 144ìïïï-=-?ïïï=+?íïïïï-<-<ïïî解得31m 1.4-＃【考点】集合的运算 【难度】319. （本小题满分12分）已知函数1cos 4cos sin 34)(2+-=x x x x f ． （Ⅰ）求函数()f x 在]2,0[π上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立，求0sin(2)3x π-．【答案】见解析 【解析】解：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f1)62sin(4--=πx ，∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴1)62sin(21≤-≤-πx ， ∴3)(3≤≤-x f ，即函数)(x f 在]2,0[π上的值域是[－3，3] ．（Ⅱ）∵对于任意的x R ∈，不等式0()()f x f x ≤恒成立， ∴)(0x f 是)(x f 的最大值，∴由Z k k x ∈+=-,22620πππ，解得Z k k x ∈+=,32220ππ ∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ． 【考点】三角函数综合【难度】3 20．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，且4228S S =+． （Ⅰ）求公差d 的值； （Ⅱ）若11a =，n T 是数列11{}n n a a +的前n 项和，不等式21(5)18n T m m ≥-对所有的*n N ∈恒成立,求正整数m 的最大值.【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）∵4228S S =+，即11462(2)8+=++a d a d ， 化简得：48=d ，解得2=d ． （Ⅱ）由11,2,21===-得n a d a n ， ∴11n n a a +=1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+． ∴=n T 12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+ =11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n=11(1)221n -+≥13， 又∵ 不等式≥n T 21(5)18m m -对所有的*n N ∈恒成立 ∴13≥21(5)18m m -， 化简得：2560--≤m m ， 解得：16-≤≤m ．∴正整数m 的最大值为6．【考点】数列综合应用 【难度】321．（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()xg x e =，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<m 的取值范围； （Ⅲ）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-． 【答案】见解析 【解析】解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． ①当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数.②当0a <时，若1(0,)x a ∈-，()0f x '>,()f x ∴在1(0,)x a∈-上为增函数； 若1(,)x a ∈-+∞，()0f x '<,()f x ∴在1(,)x a∈-+∞上为减函数. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上为增函数. 当0a <时，()f x 在1(0,)-a 上为增函数，在1(,)-+∞a上为减函数 . (Ⅱ) (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x<成立，∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e <-+成立，令()3h x x e =-，则()1xh x e '=-+，当(0,)x ∈+∞时， 1x e >≥=1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴<(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--，∴1()x x e xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数. 设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t=，即t t e -=.当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-(1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈由于()2tt e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->+-=()()2f x g x ∴<-.【考点】导数的综合运用 【难度】4四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知,,,A B C D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，//AC DE ，AC 与BD 相交于H 点.(Ⅰ)求证：BD 平分ABC ∠.(Ⅱ)若4,6,8,AB AD BD ===求AH 的长.【答案】见解析 【解析】解：(Ⅰ)ACD CDE AC DE ∠=∠∴,//又DE 切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴，所以，BD 平分ABC Ð. (Ⅱ)由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴又ADH ∠ 为公共角，所以DBA ∆与DAH ∆相似.BD ADAB AH =∴，因为AB 4,AD 6,BD 8,=== 所以AH 3\=【考点】圆 【难度】323. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），2C ：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(Ⅰ)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2,=+⎧⎨=-+⎩x t C y t （t 为参数）距离的最小值. 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=， 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆. 2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）当2t π=时，(4,4)-P .设(8cos ,3sin )Q θθ，则3(24cos ,2sin )2M θθ-++， 3 C 为直线270x y --=，∴M 到3C的距离|4cos 3sin 13|d θθ=-- 43cos ,sin 55∴==-θθ时，d. 【考点】曲线参数方程【难度】3 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c .证明： （Ⅰ）22213++≥a b c ； （Ⅱ）2221++≥a b c b c a. 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）222,+≥ a b ab 222,+≥b c bc 222,+≥c a ac222222222,∴++≥++a b c ab bc ac222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac 2()1=++=a b c22213∴++≥a b c . 2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ， 2222()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++， 222a b c a b c b c a ∴++≥++，2221a b c b c a∴++≥.【考点】不等式证明 【难度】3。
甘肃省兰州市2015届高三3月诊断考试数学(理)试题
令()ln21fxxax得ln21xax=-，因为函数()lnfxxxax有两个极值点，所以()ln21fxxax有两个零点，等价于函数lnyx与21yax的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作lnyx的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率01xk，切线方程为110xxy. 切点在切线上，则01000xxy，又切点在曲线lnyx上，则10ln00xx，即切点为（1，0）.切线方程为1yx. 再由直线21yax与曲线lnyx有两个交点，知直线21yax位于两直线0y和1yx之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是1(0,)2. 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵sinsin3cosacaCAA， ∴3cossinAA ∴tan3A ∵0A ∴ 3A …………6分 （Ⅱ）由正弦定理得：643sinsinsin3cos3abcABC， ∴43sinbB，43sincC ∴43sin43sinbcBC 43sinsin()43sinsin()3BABBB
C1 D1 z
所以3AC，建立如图空间直角坐标系， 则(3,0,0)A，(0,1,0)B，1(0,0,3)D 设平面11ABCD的一个法向量(,,)nxyzr 由100nABnADuuurruuurr得300yxzx 可得平面11ABCD的一个法向量(1,3,1)nr． 又1(0,0,3)CDuuur为平面ABCD的一个法向量． 因此1115cos,5||||CDnCDnCDnuuurruuurruuurr 所以平面11ABCD和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55. 19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nCPAC 由对立事件的概率: ()PA=41().5PA 即2261()5nCPAC， 解得 3.n …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，可能取值分别为1,2,3， 23261(1)5CPC 2211233333222266664(2)25CCCCCPCCCC， 16(3)1(1)(2)25PPP (或222111121111333333333333222222226666666616(3)25CCCCCCCCCCCCPCCCCCCCC) 则 的分布列为：
甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟理综试题 Word版含答案
兰州一中2015届高三高考冲刺模拟考试试题理科综合注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在三张答题卡上。
2.试卷满分300分，考试时间150分钟。
可能用到的相对原子质量：H:1 O:16 Na:23 Fe:56第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列与细胞核相关的叙述，错误的是A．核膜为双层膜结构，也属于生物膜系统的组成成分B．细胞核中可以进行DNA复制和转录过程C．核膜在有丝分裂过程中会周期性的消失和出现D．细胞核是细胞代谢的主要场所2．下列关于遗传、变异与进化的叙述中，说法正确的是A．基因突变只发生在细胞分裂的间期B．进化的实质是种群基因型频率的改变C．不同基因型的个体对环境的适应性一定不同D．自然选择直接作用于个体，从而决定种群进化的方向3．下列关于生物学实验的叙述中，正确的是A．达尔文的向光性实验，证明了生长素分布不均匀是植物弯曲生长的原因B．观察根尖染色体加倍的活动程序包括低温诱导、解离、固定、漂洗、染色、制片等C．提取色素的原理是色素在层析液中溶解度越大，在滤纸上扩散速度越快D．探究细胞大小与物质运输效率的关系时，琼脂块体积是自变量，NaOH扩散速度是因变量4．2014年西非地区爆发了埃博拉疫情。
埃博拉病毒(EBV)是一种RNA病毒，侵入人体后发生免疫反应，下列叙述正确的是A．EBV被吞噬细胞特异性识别，产生特异性免疫反应B．EBV刺激T细胞分泌淋巴因子与该病毒结合C．在T细胞和EBV的共同刺激下，B细胞才能增殖、分化为浆细胞D．细胞免疫产生的效应T细胞可识别并破坏被EBV侵染的细胞5．某课题组以南瓜为实验材料，应用赤霉素和生长素进行相关研究，结果如下图，据图分析正确的是A ．该实验的自变量是激素的种类B ．生长素和赤霉素的生理作用表现为拮抗关系C ．南瓜突变体为上述激素不敏感型突变体D ．不同浓度的激素对正常南瓜都有促进作用6．很多植物在进化过程中会产生某些化学物质，用以抵御植食性动物的取食，如芥子油苷就是十字花科植物产生的，芥子油苷及其代谢产物对多数昆虫都是有毒的，但却能吸引菜粉蝶前来产卵，其幼虫（菜青虫）也以十字花科植物的茎叶为食。
甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟理综试卷.pdf
C．不同基因型的个体对环境的适应性一定不同
D．自然选择直接作用于个体，从而决定种群进化的方向
3．下列关于生物学实验的叙述中，正确的是
A．达尔文的向光性实验，证明了生长素分布不均匀是植物弯曲生长的原因
B．观察根尖染色体加倍的活动程序包括低温诱导、解离、固定、漂洗、染色、制片等
C．提取色素的原理是色素在层析液中溶解度越大，在滤纸上扩散速度越快
界中点。在两板间存在如图乙所示的交变电场(取竖直向下为正方向)。某时刻从O点竖直向上以不同初速度同时发射两
个相同的质量为m、电量为+q的粒子a和b。结果粒子a恰从O1点水平进入板间电场运动，由电场中的O2点射出；粒子b恰
好从M板左端边缘水平进入电场。不计粒子重力和粒子间相互作用，电场周期T未知。求：
兰州一中2015届高三高考冲刺模拟考试试题
理科综合
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡
上。
2.试卷满分300分，考试时间150分钟。
可能用到的相对原子质量：
第Ⅰ卷
选择题：本题共13小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列与细胞核
A．用芥子油苷诱杀雌性菜粉蝶，可B．菜青虫能消除芥子油苷及其代谢产物的毒性
C．芥子油苷可能会吸引菜青虫的天敌前来捕食
D．十字花科植物和菜粉蝶发生了共同进化
7．化学与人们的日常生活密切相关,下列叙述正确的是
A．水玻璃可用于生产黏合剂和防火剂
B．纤维素、油脂是天然有机高分子化合物C．白菜上洒少许福尔马林，既保鲜又消毒 D．棉、麻、合成纤维完全
B．图表示乙酸溶液中通入氨气至过量过程中溶液导电性I的变化
兰州一中2015年高三冲刺数学(理)考试及答案
兰州一中2015年高三冲刺数学（理）考试及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题数 学（理 科）第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则M N I =( )A. {（1,1）}B. {（-1,1），（1,1）}C. )1,2⎡+∞⎢⎣ D. 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. 设i 是虚数单位，那么使得31()122n i -+=的最小正整数n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143y x +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 7126. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ） A. 403cm B. 503cm C. 603cm D. 803cm 8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都 由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23 的概率是（ ） A.1180 B. 1288 C. 1360D. 1480 9.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三 棱锥的体积为（ ） A. 14B.24 C. 26 D. 21210.执行右图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，则x = （ ） A.3 B. 132+ C. 13 D. 1132+11.已知函数3y x =在k x a =时的切线和x 轴交于1k a +，若11a =，则数列{}n a的前n 项和为（ ）A. 1233n +B. 12()3n -C. 23()3n -D. 1233nn -- 12.已知函数()3,f x x mx x R =-∈，若方程()f x =2在[4,4]x ∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A. (31,32⎤-⎥⎦B. (313,2⎤⎥⎦C. ()()31,3,2-∞-+∞UD. ()()31,3,2-∞+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是___________. (用数字填写答案) 14.在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，BC=5，点M ，N 满足AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)AN AC λ=-u u u r u u u r，R λ∈，若2BN CM ⋅=-u u u r u u u u r，则λ=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x对称的区域为E ，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =u u u r u u u r.（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=⋅u u u r u u u r ，(,)82ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +u u u r u u u r的值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形. （Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ；ABCDP（Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)a x a xϕ=>.（Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!nne e n ++++≥L 成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（Ⅰ）︒=∠30PBD ；（Ⅱ）DC AD =．23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；SD A PCB（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，设M(x ,y )为C '上任意一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案数 学（理 科）第I 卷（选择题）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBACDBACCDDB第Ⅱ卷二、填空题13. -960 ； 14. 23； 15. 1255； 16. ()1,+∞ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：设P （x ，y ），由 AB BP =u u u r u u u r得 OB OA OP OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分（Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=⋅=-⋅-u u u r u u u r22sin 2sin cos 1sin 2cos2θθθθθ=--=-- 2sin(2)4πθ=-+；由(,)82ππθ∈-得52(0,)44ππθ+∈，所以，当2(0,)42ππθ+∈即(,88ππθ⎤∈-⎥⎦时，()f θ单调递减，且2()0f θ-≤<，当)52,424πππθ⎡+∈⎢⎣即),82ππθ⎡∈⎢⎣时，()f θ单调递增，且2()1f θ-≤<，故，函数()f θ的单调递减区间为(,88ππ⎤-⎥⎦，单调递增区间为),82ππ⎡⎢⎣，值域为)2,1⎡-⎣. …………………………………… 6分（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP uuu r ∥OC u u u r ，即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-⋅-=⋅-，得4tan 3θ=，所以 2||(sin cos )122sin cos OA OB θθθθ+=++=+u u u r u u u r222752sin cos 2tan 22sin cos tan 15θθθθθθ=+=+=++ ………………………………… 12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连PG ，BG ，CG ；60PA PDPG AD AD PGB AB AD BG AD DAB =⇒⊥⎫⎪⇒⊥=⎫⎬⇒⊥⎬⎪∠=︒⎭⎭平面 …………………………………… 5分（Ⅱ） ∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊥AD ，∴ PG ⊥底面ABCD ；在底面直角梯形A BCD 中，由已知可得3BC =， 由 32P ABCD V -=，即311[123]322PG ⋅+⋅⋅=（），得3PG =， 而BG=CG=3，DG=1，在Rt △PGB 、Rt △PGC 、Rt △PGD 中分别可求得PB=6、PC=6、PD=2，在△PCD 中，2221cos 24PD CD PC PDC PD CD +-==-⋅⋅，∴ 15sin 4PDC =，∴△PCD 的面积151sin 24PDC S PD CD PDC =⋅⋅⋅=V ，设点B 到平面PCD 的距离为h ，由P BCD B PCD V V --=得2155h =，∴ PB 平面PCD 所成角的正弦值为215101556h PB=⋅=.…………………………………… 12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121=⨯； 若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321=⨯ 故所求概率为.157103612=+=P …………………………………… 4分 （Ⅱ）第1-n 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-n N n P n ），则出现绿色PB PGB ⊂平面AD PB ⎫⇒⊥⎬⎭GABCDP背景的概率为11--n P .若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311⨯-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1⨯--n P所以，53154)1(5331111+-=-+=---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991--=--n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154-的等比数列，所以).1,(199)154(3811≥∈+-=-n N n P n n …………………………………… 12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b =23；∴椭圆C 的标准方程为2211612y x +=； …………………………………… 2分（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②① 、②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=，02022129(8)||4N x NF y y +==， 022*********[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=， ∴ 002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=⋅=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=， 于是020484x y -=代人③式并整理得 2121||1||4NF MF =， ∴ 11||||NF MF 的值为定值12. …………………………………… 12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2111()()[]|()xx x a a a a x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； …………… 3分 （Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x--=+--=->， 22()1()(0)x x a x a f x x x x x---'=-=>， ∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分 （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=， ∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分 分别取 1,2,,x n =L 得111e e ≥，122e e ≥，133e e ≥，…，1n e e n ≥， 将以上各式相乘，得：111123!n n e e n ++++≥L ……………………………… 12分 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒， 从而︒=∠30PBM ． …………………………………… 5分（Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =． 又BD MB DM SB DS 21,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232， ∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ， ∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒， 故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =． ……………………10分 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为224x y += …………………………………… 1分直线L 方程为3320x y --+= ………………………… 3分 （2）由''12x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分 设M 为2x cos y sin θθ==⎧⎨⎩，则 223232cos(2)3x xy y πθ-+=++ …… 8分 所以当M 为3(1,)2或3(1,)2--时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++. 证明：由已知及均值不等式： 33111(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b c c a abc a b c ++≥++++++ 3333111(1)(1)(1)33a b c a b c abc a b c =≥+++++++⋅+++⋅ 31232==⋅ ……………………… 10分第一课件网系列资料 N M S D A P C B。
高考三模 甘肃省兰州一中2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
兰州一中2015届高三第三次模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x ||x -12|≤32}，B ={x |y =lg(4x -x 2)}，则A ∩B 等于 A ．(0，2]B ．∪C ．(-∞，3]D ．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若△ABC 的面积Sa =1，求边AC 上的中线BD 的长．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC =CA =AA 1=2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．(Ⅰ)求证：EF ∥平面BDC 1； (Ⅱ)求二面角E －BC 1－D 的余弦值．19．(本小题满分12分)已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a ，b ，c ，然后将所得的数代入函数f (x )=ax 2+bx +c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数(第18题图)有零点，则乙输四个枣给甲． (Ⅰ)记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (Ⅱ)根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？20．(本小题满分12分)如图，椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率e =35，左焦点为F ，A ，B ，C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于点D ，若△ADC 的面积为15． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)是否存在分别以AD ，AC 为弦的两个相外切的等圆？ 若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )=a ln x +x 2(a 为实数)．(Ⅰ)求函数f (x )在区间上的最小值及相应的x 值；(Ⅱ)若存在x ∈，使得f (x )≤(a +2)x 成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲设AB 为圆O 的直径，AB =10．E 为线段AO 上一点，OE =17AB ．过E 作一直线交圆O 于C ，D 两点，使得∠CEA =45°．试求CE 2+ED 2的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．设直线l 的参数方程为35sin 26cos6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=26cos sin θθ． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |．(第20题图)A B（第22题图）24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲若实数a，b满足ab>0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．(Ⅰ)求m的最大值；(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．兰州一中2015届高三第三次模拟考试理科数学参考答案一、选择题 1．A 解析：∵A =，B =(0，4)，则A ∩B =(0，2]．故选A ．2．D 解析：由图知，z =2+i ，∴221311121122z i i i i i i i i ++-==⋅=-+-+-，则对应的点位于复平面内的第四象限．故选D ．3．D 解析：依题意可得，2x +2a -6π=2x -2a -6π+2k π(k ∈Z )，∴a =2k π(k ∈Z )，∵a ∈(0，π)，∴a =2π．故选D ． 4．A 解析：∵S n =na 1+(1)2n n -d =n m ，S m =ma 1+(1)2m m -d =m n，解得d =2mn ，a 1=1mn． ∵故S m +n -4=(m +n )a 1+()(1)2m n m n ++-d -4=2()m n mn->0(∵m ≠n )．故选A ．5．D 解析：四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P =5812467C ⨯=．故选D ． 6．D解析：计算f ′(x )中x 2的系数较麻烦，只需计算f (x )中x 3的系数．f (x )=(1+x )(1-x 2)5=(1-x 2)5+x (1-x 2)5，x 3的系数为0-15C =-5，∴含x 3的项为-5x 3，故函数f ′(x )中x 2的系数是-15．故选D ． 7．B 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x +y =1与抛物线y 2=2px ，得y 2+2py -2p =0，解得y 1=-px 1=1+py 2=-px 2=1+p由OA ⊥OB 得，x 1x 2+y 1y 2=0，即+=0，化简得2p =1， 从而A)，B)，OA 2=x 12+y 12， OB 2=x 22+y 22，△OAB 的面积S =12|OQ ||OB．故选B ． 8．D解析：由三视图知这个几何体是一个三棱锥P —ABC ，其中P A ⊥面ABC ，AB =1，PB =a ，BC =b ，PC∠BAC =90°，设P A =x ，AC =y ，则2222221,1,6.x a y b x y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩⇒a 2+b 2=8，由2a b +≤知当a =b =2时a +b 取最大值，此时x =y P —ABC 的体积V =111322xy ⨯=．故选D ．9．B 解析：由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)×1=1；n =2，依次循环s =(1+2)×2=6，n =3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s =(6+3)×3=27，n =4，此刻输出s =27．故选B ． 10．A 解析：点差得，1212121222()()()()x x x x y y y y a b +-+--=0，即224ka b-=0，∴2214b a =，e 2=1+2254b a =．故选A ． 11．A解析：f ′(x )=(x +1-a )e x ，依题意，x +1-a ≥0或x +1-a ≤0区间(2，3)内恒成立，∴a ≤3或a ≥4．故选A ．12．A 解析：∵AO 11，C 1O 22，O 1O 2=R 1+R 2，∴R 1+R 2R 1+R 2，球O 1和O 2的表面积之和为4π(R 12+R 22)≥4π ·2(122R R +)2=2π(R 1+R 2)2π．故选A ．二、填空题13．384 解析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：(1)甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有14A 种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有13A 种，其余4人有44A 种，此类有114434A A A 种方法．(2)甲在中间两个位上找一个位子坐下，有12A 种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有12A 种，其余4人有44A 种坐法．此类坐法有114224A A A 种． 所以满足条件的坐法共有114114434224A A A A A A +=384(种)．故填384． 14．14 解析：设BC 边中点为M ，则2AB AC AM +=，由题设45AO AM =， ∴A 、O 、M 共线，且AO =4OM ，而∠BOM =2∠BAM ，∴∠BOM =∠BAC ， 即cos ∠BAC =14OM OM OB OA ==．故填14．15．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)=(y 1+y 2)(y 1-y 2)，∵x 1+x 2=6，y 1+y 2=2，1212y y x x --=3，∴AB 的方程为y =3x -8，与圆方程联立得10(x -3)2=5，∴(x -3) 2=12，∴a 2=(x +y )(x -y )=(4x -8)(8-2x )=8-8(x -3)2=4．a =2．故填2． 16．(14，1) 解析：∵2222x b ax +-<⇔x 2+ax +2b <0，依题意方程x 2+ax +2b =0只有唯一的整数解x =1，∴方程x 2+ax +2b =0一根在内，即函数f (x )=x 2+ax +2b 的图象与x 轴在内各有一个交点．∴(0)00(1)0210(2)020f b f a b f a b ≥≥⎧⎧⎪⎪<⇒++<⎨⎨⎪⎪≥++≥⎩⎩，作出可行域，如图所示： ∵21b a --为可行域内的点(a ，b )与定点P (1，2)的连线的斜率， 由图可知，k P A <21b a --<k PB ，其中点A (-3，1)，B (-1，0)， ∴k P A =14，k PB =1，故21b a --的取值范围是(14，1)．三、解答题 17．(Ⅰ)解：由c o s s i nc o s 2s inB BC A C =-+⇒2sin A cos B +sin(B +C )=0， ……………………2分 即2sin A cos B +sin A =0，…………………………………………………………………4分而sin A ≠0，∴cos B =-12，B =23π．……………………………………………………6分 (Ⅱ)解：因S =12ac sin B ，又Sa =1，sin B则c =4． (8)分解法一：由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B，得b………………………………10分由cosC=222222()2222ba BD abc ab a +-+-=⋅2211BD +-=， 解得BD．………………………………………………………………………12分 解法二：作AE 平行于BC ，并延长BD 交AE 于E ，在△ABE 中，∠BAE =3π，AB =4，AE =1，且BD =12BE ，又BE 2=AB 2+AE 2-2AB ·AE cos A ， 即BE 2=16+1-2×4×1×12=13，这样BD =12BE．………………………………12分18．(Ⅰ)证明(证法一)：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ． 又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分(证法二)建立如图所示的坐标系．(坐标系建立仅为参考) ∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ．E (-1，0，1)，F (-12，0，0)，B (1，0，0)，D (0，0，2)，C 1(02)．设平面DBC 1的法向量为n =(x ，y ，z )．EF =(12，0，-1)，BD =(-1，0，2)，1BC =(-12)．BD ·n =-x +2z =0，1BC ·n =-x+2z =0， 令z =1，则y =0，x =2，∴n =(2，0，1)．EF ·n =12×2+0×0+(-1)×1=0，∴EF ⊥n ．又EF ⊄平面BDC 1，∴EF ∥平面BDC 1．……………6分 (Ⅱ)解：设平面EBC 1的法向量为m =(x ，y ，z )． BE =(-2，0，1)，1BC =(-12)．BE ·m =-2x +z =0，1BC ·n =-x+2z =0，O(第18题解图1)yo(第18题解图2)令x =1，则z =2，y m =(1，2)．cos< m ，n >=||||⋅==m n m n || ∴二面角E －BC 1－D 的余弦值为．……………………………………………12分 19．(Ⅰ)解：ξ的可能取值为0，1，2．f (x )=ax 2+bx +c 的判别式∆=b 2-4ac ，当∆=0时，b 为偶数，b =2时，a =1，c =1；b =4时，a =1，c =4或a =2，c =2或a =4，c =1；b =6时，a =3，c =3，∴P (ξ=1)=5216．…………………………………………………4分当∆≥0时，有b ≥3，b =3时，ac ≤2，有3种；b =4时，ac ≤4，有9种；b =5时，ac ≤6，有14种；b =6时，ac ≤9，有17种，共计43种．∴ξ=1的情形有43-5=38种，∴P (ξ=2)=38216． P (ξ=0)=1-P (ξ=1)-P (ξ=2)=173216．…………………………………………………………6分∴ξ的分布列为：数望E ξ=1735388130122162162162168⨯+⨯+⨯==．…………………………………8分 (Ⅱ)甲得枣的数学期望是43173141216216216⨯-⨯=-，…………………………………10分 乙得枣的数学期望是17343114216216216⨯-⨯=．………………………………………11分 ∴该游戏不公平，甲吃亏．……………………………………………………………12分20．(Ⅰ)解：设左焦点F 的坐标为(-c ，0)，其中c∵e =35c a =，∴a =53c ，b =43c ．···································1分∴A (0，43c )，B (-53c ，0)，C (0，-43c )，······················································2分 ∴AB ：33154x y c c -+=，CF ：314x yc c--=，····················································3分 联立解得D 点的坐标为(-54c ，13c )．····························································4分 ∵△ADC 的面积为15，∴12|x D |·|AC |=15，即12·54c ·2·43c =15，解得c =3，∴a =5，b =4，∴椭圆C 的方程为2212516x y +=．································6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A 点的坐标为(0，4)，D 点的坐标为(-154，1)．····························7分假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中AD 是圆M 的弦，AC 是圆N 的弦， 则点M 在线段AD 的垂直平分线上，点N 在线段AC 的垂直平分线y =0上．·······8分当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有A ，M ，N 在一条直线上，且AM =AN ．∴M 、N 关于点A 对称，设M (x 1，y 1)，则N (-x 1，8-y 1)，································9分 根据点N 在直线y =0上，∴y 1=8．∴M (x 1，8)，N (-x 1，0)，而点M 在线段AD 的垂直平分线y -52=-54(x +158)上，可求得x 1=-25140．···········10分故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为 M (-25140，8)，N (25140，0)．·····································································12分 21．(Ⅰ)解：f (x )=a ln x +x 2的定义域为(0，+∞)，f ′(x )=ax +2x =22x a x+． (1)分当x ∈时，2x 2∈．································································2分 若a ≥-2，f ′(x )在上非负(仅当a =-2，x =-1时，f ′(x )=0)， 故f (x )在上单调递增，此时f (x )min =f (1)=1；··········································3分若-2e 2<a <-2，令f ′(x )<0，解得1≤x f (x )单调递减；令f ′(x )>0x ≤e ，此时f (x )单调递增，∴f (x )min =f ln()222a a a--；·····························································4分 若a ≤-2e 2，f ′(x )在上非正(仅当a =-2e 2，x =e 时，f ′(x )=0)，故f (x )在上单调递减，此时f (x )min =f (e )=a +e 2．······································5分综上所述，得a ≥-2时，f (x )min =1，相应的x =1；当-2e 2<a <-2时，f (x )min =ln()222a a a--，相应的x =；当a ≤-2e 2时，f (x )min =a +e 2，相应的x =e ．······························6分(Ⅱ)解：不等式f (x )≤(a +2)x 可化为a (x -ln x )≥x 2-2x ． ∵x ∈，∴ln x ≤1≤x 且等号不能同时成立，∴ln x <x ，即x -ln x >0，·················8分因而a ≥22ln x x x x --，x ∈，令g (x )=22ln x xx x--(x ∈)，则g ′(x )=2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+--， 当x ∈时，x -1≥0，ln x ≤1，x +2-2ln x >0，················································10分从而g ′(x )≥0(仅当x =1时取等号)，∴g (x )在上是增函数， 故g (x )min =g (1)= -1，∴实数a 的取值范围是 或由(*)式解得t 1=6，t 2=-2，|AB |=|t 1-t 2|=8．或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可．24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a=2422a a a ++≥3，当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．···········································5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。
高三数学月考试题及答案-2015届高三第一次诊断考试(理)
2015年甘肃省高考一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B=Z，则（∁R A）∩B=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】先求出不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集A，再由补集、交集的运算求出∁R A和（∁R A）∩B．【解析】解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，则集合A={x|x＜﹣1或x＞3}，所以∁R A={x|﹣1≤x≤3}，又B=Z，则（∁R A）∩B={﹣1，0，1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）设i是虚数单位，复数Z=1+为（）A．1+i B．1﹣i C．C、﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】解：Z=1+=1+=1﹣i，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】先分别根据定积分的计算法则求出a，b，c的值，再比较其大小．【解析】解：a=dx=lnx=ln2=ln，b=dx=lnx=ln，c=dx=lnx=ln，∵23＜32，25＞52，∴＜，＞∴＜，＞，∴＞＞，∵函数f（x）=lnx为增函数，∴c＜a＜b故选：D【点评】本题考查了的定积分的计算以及数的大小比较的方法，属于基础题．4．（5分）函数y=f（x）的图象向右平移个单位后与函数y=cos（2x﹣）的图象重合，则y=f（x）的解析式为（）A．y=cos（2x﹣）B．y=cos（2x+）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解析】解：由题意可得，把函数y=cos（2x﹣）=sin2x的图象向左平移个单位后，可得函数y=f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了转化的数学思想，属于基础题．5．（5分）数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个．A．21 B．22 C．23 D．24【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论，利用排列知识，即可得出结论．【解析】解：卡片上的四位数字之和等于8，四个数字为0，1，2，5；0，1，3，4．0，1，2，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有，共1+2+2+=11个；0，1，3，4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有，共2=12个；故共23个．故选：C．【点评】本题考查计数原理的应用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．（）π B．（）π C．（）π D．（π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆柱与半个圆锥组成．【解析】解：该几何体为圆柱与半个圆锥组成，其中圆柱的体积为π×12×2=2π，半个圆锥的体积为××π×12×=π；故该几何体的体积是（）π，故选C．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的n=10，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}的前11项和B．计算数列{2n﹣1}的前10项和C．计算数列{2n﹣1}的前11项和D．计算数列{2n﹣1}的前10项和【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能，当i=11时，i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29+210，从而得解．【解析】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0；执行S=1+2×0=1，i=0+1=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=2+1=3；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29+210，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29+210．算法结束．故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前11项和．故选：A．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．8．（5分）若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解析】解：∵向量=（3，2），=（x，y），∴•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，），此时z min=3×+2×=，则≤z≤5故选：A．【点评】本题主要考查线性规划以及向量数量积的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．9．（5分）已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若====k，则h1+2h2+3h3+4h4=类比以上性质，体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为S l，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若====K，则H1+2H2+3H3+4H4=（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】由====k可得a i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．【解析】解：根据三棱锥的体积公式V=Sh，得：S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴H1+2H2+3H3+4H4=，故选B．【点评】本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．10．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=84，则实数b的取值范围是（）A．[2，2] B．（2，2] C．[2，2] D．（2，2]【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由a，b，c成等差数列，设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入已知等式求出b 的最大值；由三角形三边关系列出不等式，整理后求出b的范围，即可确定出满足题意b的范围．【解析】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=84化简可得3b2+2d2=84，当d=0时，b有最大值为2，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，∴3b2+2（）2＞84，解得：b＞2，则实数b的取值范围是（2，2]．故选：D．【点评】此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC是锐角三角形，可得∠BAD＜45°，且1＞，化为，解出即可．【解析】解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=xcos，存在f（x）的零点x0，（x0≠0），满足[f′（x0）]2＜π2（λ2﹣x02），则λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，，）B．（﹣，0）∪（0，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】关键题意得出=kπ，k∈z，x0=kλ+，k∈z，x02的最小值为，即sin=±1，运用最小值得出：（1+λ2）＜λ4，求解即可．【解析】解：∵函数f（x）=xcos，∴f′（x）=cos﹣x sin，∵存在f（x）的零点x0，（x0≠0），∴=kπ，k∈z，x0=kλ+，k∈z，x02的最小值为即sin=±1，∴[f′（x0）]2＜π2（λ2﹣x02），转化为：＜π2（λ2﹣x02），（1+λ2）x＜λ4，即只需满足：（1+λ2）＜λ4，化简得：λ2，即λ＞或．故选：D．【点评】本题综合考查了函数的零点，综合求解不等式，关键是确定x02的最小值为，代入得出转化的不等式，难度较大，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在的展开式中，常数项等于112（用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1，进而分析可得，8﹣=0时，有r=6，将r=6代入可得答案．【解析】解：根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1=C8r•（2x）8﹣r•（﹣）r=C8r•（﹣1）r•（2）8﹣r•，分析可得，8﹣=0时，有r=6，此时，T7=112，故答案为112．【点评】本题考查二项式定理，注意其展开式的通项公式的形式．14．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点在同一个球面上，AB=3，AC=4，AA1=2，∠BAC=90°，则球的表面积49π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】画出球的内接直三棱ABC﹣A1B1C1，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解析】解：如图，由于∠BAC=90°，连接上下底面外心PQ，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OB，由题意，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，所以BC=5，因为AA1=2，所以OP=，所以OB==所以球的表面积为：4π×OB2=49π故答案为：49π．【点评】本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力理解失误能力，是基础题．15．（5分）下面给出的命题中：①m=﹣2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m﹣2）x+（m+2））y一3=0相互垂直”的必要不充分条件；②已知函数f（a）=sinxdx，则f[f（）]=1﹣cos1；③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0，4，则P（ξ＞2）=0.2；④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y﹣1=0，则这两圆恰有2条公切线；⑤线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有②④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；高考数学专题．【分析】①由直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m﹣2）+m（m+2）=0，从而有m=﹣2或m=1，可判断；②由定积分运算法则和函数值的求法，即可判断；③运用正态分布的特点，即曲线关于y轴对称，即可判断③；④根据圆与圆的位置关系进行判断；⑤线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强．【解析】解：①，若m=﹣2，则直线﹣2y+1=0与直线﹣4x﹣3=0相互垂直；若直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m﹣2）+m（m+2）=0，从而有m=﹣2或m=1，则应为充分不必要条件，则①错；②，函数f（a）=sinxdx=（﹣cosx）=1﹣cosa，则f[f（）]=f（1）=1﹣cos1，则②对；③，ξ服从正态分布N（0，σ2），曲线关于y轴对称，由P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.5﹣0.4=0.1，则③错；④，∵⊙C1：x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2=1，表示圆心为（﹣1，0），半径等于1的圆．⊙C2：x2+y2+2y﹣1=0 即，x2+（y+1）2=2，表示圆心为（0，﹣1），半径等于的圆．两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线由2条，则③正确．⑤，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故不正确．故答案为：②④．【点评】本题考查充分必要条件的判断和函数的定积分运算、正态分布曲线的特点、直线与圆的位置关系的判断，考查两个变量的线性相关，考查运算能力，属于中档题和易错题．16．（5分）设数列{a n}的前n项的和为S n，已知，设若对一切n∈N*均有，则实数m的取值范围为m＜0或m≥5．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】依题意，可求得a n与b n，从而可求得b k=∈[，），利用[，）⊆（，m2﹣6m+）即可求得实数m的取值范围．【解析】解：∵++…+=，①∴当n≥2时，++…+=，②∴①﹣②得：=﹣=，∴S n=n（n+1）（n≥2）．当n=1时，==，∴a1=2，符合S n=n（n+1）（n≥2）．∴S n=n（n+1）．∴可求得a n=2n．∴b n===．∵=，b1=，∴{b n}是以为首项，为公比的等比数列．∴b k==∈[，），∵b k∈（，m2﹣6m+），∴[，）⊆（，m2﹣6m+），即，解得：m＜0或m≥5．故答案为：m＜0或m≥5．【点评】本题考查求数列的通项与数列求和，突出考查集合间的包含关系与解不等式组的能力，综合性强，难度大，属于难题．三、解答题：本大题共5小题-共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）在△ABC中，角以，A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=﹣2ccosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=6，且△ABC的面积为2，求边c的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，化简可得cosC=﹣，结合C的范围求C的值；（Ⅱ）由a+b=6得a2+b2+2ab=36，根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出a2+b2的值，利用余弦定理求出c的值．【解析】解：（Ⅰ）由题意知，bcosA+acosB=﹣2ccosC，正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，sin（A+B）=﹣2sinCcosC，由A，B，C是三角形内角可知，sin（A+B）=sinC≠0，∴cosC=，由0＜C＜π得，C=；（Ⅱ）∵a+b=6，∴a2+b2+2ab=36，∵△ABC的面积为2，∴，即，化简得，ab=8，则a2+b2=20，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2absinC=20﹣2×=28，所以c=．【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式的应用，以及整体代换求值，注意角的范围确定，属于中档题．18．（12分）多面体ABCDE中，△ABC是边长为2的正三角形，AE＞1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；（Ⅱ）若二面角A一DE一B的余弦值为，求AE的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图所示，分别取BC，BA，BE的中点M，N，P，连接MN，NP，DP．利用三角形中位线定理与平行四边形、线面垂直的判定与性质定理可得：DP∥MN，AC∥DP，即可证明AC∥平面BDE．（II）设AE=a，则E，设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，可得，取平面ADE的法向量=（1，0，0），利用==，解得a即可．【解析】（I）证明：如图所示，分别取BC，BA，BE的中点M，N，P，连接MN，NP，DP．则，NP∥AE，NP=AE=1．∵BD=CD，BD⊥CD，M为BC的中点，BC=2，∴DM⊥BC，DM=1，又平面BCD⊥平面ABC．∴DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，∴DM∥AE，∴四边形DMNP为平行四边形，∴DP∥MN，∴AC∥DP，又AC⊄平面BDE，DP⊂平面BDE，∴AC∥平面BDE．（II）解：设AE=a，则E，=（﹣1，0，1），=，设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，取=，取平面ADE的法向量=（1，0，0），则===，解得a=4，即AE=4．【点评】本题考查了三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、二面角的计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X（单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立．（Ⅰ）求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；（Ⅱ）供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）分别考虑20＜X＜40，40≤X≤60，X＞60，求出它们的概率，再由二项分布特点，即可得到所求概率；（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，分别考虑①修建一处供水站的情形，②修建两处供水站的情形，③修建三处供水站情形，求出概率计算期望，即可得到所求．【解析】解：（Ⅰ）依题意可得P1=P（20＜X＜40）==，P2=P（40≤X≤60）==，P3=P（X＞60）==，由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为P=（1﹣P3）3+（1﹣P3）2•P3=（）3+3×（）2×=，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为；（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1，对应的月利润为Y=12000，E（Y）=12000×1=12000（元）；②修建两处供水站的情形，依题意当20＜X＜40，一处供水站运行，此时Y=12000﹣6000=6000，P（Y=6000）=P（20＜X＜40）=P1=，当X≥40，两处供水站运行，此时Y=12000×2=24000，因此P（Y=24OOO）=P（X≥40）=P2+P3=，由此得Y的分布列为则E（Y）=6000×+24000×=18000（元）；③修建三处供水站情形，依题意可得当20＜X＜40时，一处供水站运行，此时Y=12000﹣12000=0，由此P（Y=0）=P（40＜X＜80）=P1=，当40≤X≤60时，两处供水站运行，此时Y=12000×2﹣6000=18000，由此P（Y=18000）=P（40≤X≤60）=P2=，当X＞60时，三处供水站运行，此时Y=12000×3=36000，由此P（Y=36000）=P（X＞60）=P3=，由此的Y的分布列为由此E（Y）=0×+18000×+36000×=15000（元），欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，同时考查二项分布的特点和概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，求出几何量，即可得出椭圆的标准方程；（II）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量知识，即可求得结论．【解析】解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），则∵椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，∴∵c2=a2﹣b2∴a=2，c=1，∴椭圆的标准方程为；（II）若存在过点P（2，1）的直线l满足条件，则l的斜率存在设方程为y=k（x﹣2）+1，代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），则由△=32（6k+3）＞0，可得且x1+x2=，x1x2=∵∴∴[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（1+k2）=∴[﹣2×+4]（1+k2）=∴∵，∴∴存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，其方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+1n（x+1）．（Ⅰ）当时a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数口的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a的值代入，求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）将问题转化为ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，从而求出a是范围．【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣x2+ln（x+1），（x＞﹣1），f′（x）=﹣x+=﹣，（x＞﹣1），由f′（x）＞0解得﹣1＜x＜1，由f′（x）＜0解得：x＞1，∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，即当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，由g′（x）=2ax+﹣1=，（i）当a=0时，g′（x）=，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0成立，（ii）当a＞0时，由g′（x）==0，因x∈[0，+∞），∴x=﹣1，①若﹣1＜0，即a＞时，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足；②若﹣1≥0，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，同样函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时也不满足；（iii）当a＜0时，由g′（x）=，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a﹣1）＜0，∴g′（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0恒成立，综上：实数a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了导数的应用，考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，本题有一定的难度．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4-3：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，点C是⊙O直径BE的延长线上一点，AC是⊙O的切线，A为切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F，（Ⅰ）求∠ADF的值（Ⅱ）若AB=AC，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）利用切线的性质和角平分线的性质可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O 直径，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．（Ⅱ）利用等边对等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．进而得到△ACE∽△BCA，于是=tan30°．【解析】解：（Ⅰ）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．∴∠ADF=45°．（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，∴∠B=30°．∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴=tan30°=．【点评】熟练掌握圆的性质、切线的性质和角平分线的性质、弦切角定理、相似三角形的性质等是解题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．【解析】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用；不等式．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【解析】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min．由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，即f（x）min=6，所以m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤4+2x，得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为，化简，得，所以原不等式的解集为．【点评】本题属不等式恒成立问题，较为基础，主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值等，求解此类问题时，应掌握以下几点：1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]max．2．|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）⇔g（x）≥h（x），或g（x）≤﹣h（x）．。
数学_2015年甘肃省高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|x2−2x−3>0}，集合B＝Z，则(∁R A)∩B＝（）A {−3, −2, −1, 0, 1}B {−1, 0, 1, 2, 3}C {0, 1, 2}D {−2, −1, 0}2. 设i是虚数单位，复数Z＝1+1−i1+i为（）A 1+iB 1−iC C、−1+iD −1−i3. 设a=12∫211xdx，b=13∫311xdx，c=15∫511xdx，则下列关系式成立的是（）A a<b<cB b<a<cC a<c<bD c<a<b4. 函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后与函数y＝cos(2x−π2)的图象重合，则y＝f(x)的解析式为（）A y＝cos(2x−π2) B y＝cos(2x+π6) C y＝sin(2x+π3) D y＝sin(2x−π6)5. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个．A 21B 22C 23D 246. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A (√32+2)π B (√33+4)π C (√36+2)π D (√33+2)ππ7. 阅读如图所示的程序框图，若输入的n＝10，则该算法的功能是（）A 计算数列{2n−1}的前11项和B 计算数列{2n−1}的前10项和C 计算数列{2n−1}的前11项和D 计算数列{2n−1}的前10项和8. 若x ，y 满足约束条件{2x +2y ≥1x ≥y 2x −y ≤1 ，且向量a →=(3, 2)，b →=(x, y)，则a →⋅b →的取值范围（ ）A [54, 5] B [72, 5] C [54, 4] D [72, 4]9. 已知面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四边的距离分别记为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，若a 11=a 22=a 33=a 44=k ，则ℎ1+2ℎ2+3ℎ3+4ℎ4=2S k类比以上性质，体积为y 的三棱锥的每个面的面积分别记为S l ，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4，若S 11=S 22=S 33=S 44=K ，则H 1+2H 2+3H 3+4H 4=( ) A 4VKB 3VKC 2VKD VK10. 已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝84，则实数b 的取值范围是（ ）A [2√5, 2√7]B (2√5, 2√7]C [2√6, 2√7]D (2√6, 2√7] 11. 在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A (√6−√22, √5−12) B (√6−√22, 1) C (√5−12, 1) D (0, √5−12) 12. 已知函数f(x)＝xcosπx λ，存在f(x)的零点x 0，(x 0≠0)，满足[f′(x 0)]2<π2(λ2−x 02)，则λ的取值范围是（ ） A (−√3, 0)∪（0, √3,） B (−√33, 0)∪(0, √33) C (−∞, −√3)∪(√3, +∞) D (−∞, −√33)∪(√33, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 在(2x −√x 3)8的展开式中，常数项等于________（用数字作答）14. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点在同一个球面上，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝2√6，∠BAC ＝90∘，则球的表面积________． 15. 下面给出的命题中：①m ＝−2”是直线(m +2)x +my +1＝0与“直线(m −2)x +(m +2)）y 一3＝0相互垂直”的必要不充分条件；②已知函数f(a)=∫ a0sinxdx ，则f[f(π2)]＝1−cos1；③已知ξ服从正态分布N(0, σ2)，且P(−2≤ξ≤0)＝0，4，则P(ξ>2)＝0.2；④已知⊙C 1:x 2+y 2+2x ＝0，⊙C 2:x 2+y 2+2y −1＝0，则这两圆恰有2条公切线； ⑤线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有________．16. 设数列{a n }的前n 项的和为S n ，已知1S 1+1S 2+⋯+1S n=nn+1，设b n =(12)a n 若对一切n ∈N ∗均有∑∈k=1n bk (1m,m 2−6m +163)，则实数m 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题-共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若bcosA +acosB =−2ccosC ． (1)求角C 的大小；(2)若a +b =6，且△ABC 的面积为2√3，求边c 的长．18. 多面体ABCDE 中，△ABC 是边长为2的正三角形，AE >1，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD ＝CD ，且BD ⊥CD ． (Ⅰ)若AE ＝2，求证：AC // 平面BDE ；(Ⅱ)若二面角A 一DE 一B 的余弦值为√55，求AE 的长．19. 某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X （单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立． (Ⅰ)求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；(Ⅱ)供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？20. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2=−4√3y 的焦点．(I)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)是否存在过点P(2, 1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 满足PA →⋅PB →=54，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数f(x)=ax 2+ln(x +1)． (1)当时a =−14时，求函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)的图象上的点都在{x ≥0，y −x ≤0所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4-3：几何证明选讲 22. 选修4−1：几何证明选讲如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ， (Ⅰ)求∠ADF 的值(Ⅱ)若AB ＝AC ，求ACBC 的值．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{x =−35t +2y =45t （t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝asinθ． (Ⅰ)若a ＝2，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (Ⅱ)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍，求a 的值．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)＝|2x −1|+|2x +5|，且f(x)≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的取值范围；(Ⅱ)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|x −3|−2x ≤2m −8．2015年甘肃省高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. B3. D4. C5. C6. C7. A8. A9. B 10. D 11. A 12. D 13. 112 14. 49π 15. ②④16. m <0或m ≥517. 解：(1)由题意知，bcosA +acosB =−2ccosC ， 正弦定理可得sinBcosA +sinAcosB =−2sinCcosC ，sin(A +B)=−2sinCcosC ， 由A ，B ，C 是三角形内角可知， sin(A +B)=sinC ≠0， ∴ cosC =−12，由0<C <π，得C =2π3.(2)∵ a +b =6，∴ a 2+b 2+2ab =36， ∵ △ABC 的面积为2√3， ∴ 12absinC =2√3，即12ab ×√32=2√3，化简得，ab =8，则a 2+b 2=20， 由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcosC =20−2×8×(−12)=28.所以c =2√7．18. （I ）证明：如图所示，分别取BC ，BA ，BE 的中点M ，N ，P ，连接MN ，NP ，DP ． 则MN ∥=12AC ，NP // AE ，NP =12AE ＝（1）∵ BD ＝CD ，BD ⊥CD ，M 为BC 的中点，BC＝2，∴ DM ⊥BC ，DM ＝1，又平面BCD ⊥平面ABC ． ∴ DM ⊥平面ABC ， 又AE ⊥平面ABC ， ∴ DM // AE ，∴ 四边形DMNP 为平行四边形，∴ DP // MN ，∴ AC // DP ，又AC ⊄平面BDE ，DP ⊂平面BDE ，∴ AC // 平面BDE ． (II)设AE ＝a ，则E(0,√3,a)，BD →=(−1, 0, 1)，BE →=(−1,√3,a)， 设平面BDE 的法向量为n →=(x, y, z)，则{BD →⋅n →=−x +z =0BE →⋅n →=−x +√3y +az =0，取n →=(1,1−a √3,1)，取平面ADE 的法向量m →=(1, 0, 0)， 则|cos <m →,n →>|=|m →⋅n →||m →||n →|=1√2+(1−a)23=√55，解得a ＝4， 即AE ＝（4）19. （1）依题意可得P 1＝P(20<X <40)=1030=13，P 2＝P(40≤X ≤60)=1530=12，P 3＝P(X >60)=530=16，由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为P =C 30(1−P 3)3+C 31(1−P 3)2⋅P 3＝(56)3+3×(56)2×16=2527，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为2527；（2）记供水部门的月总利润为Y 元，①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1， 对应的月利润为Y ＝12000，E(Y)＝12000×1＝12000（元）；②修建两处供水站的情形，依题意当20<X <40，一处供水站运行，此时Y ＝12000−6000＝6000，P(Y ＝6000)＝P(20<X <40)＝P 1=13，当X ≥40，两处供水站运行，此时Y ＝12000×2＝24000，因此P(Y ＝24OOO)＝P(X ≥40)＝P 2+P 3=23，由此得Y 的分布列为则E(Y)＝6000×13+24000×23=18000（元）；③修建三处供水站情形，依题意可得当20<X <40时，一处供水站运行，此时Y ＝12000−12000＝0，由此 P(Y ＝0)＝P(40<X <80)＝P 1=13，当40≤X ≤60时，两处供水站运行，此时Y ＝12000×2−6000＝18000， 由此P(Y ＝18000)＝P(40≤X ≤60)＝P 2=12，当X >60时，三处供水站运行，此时Y ＝12000×3＝36000， 由此P(Y ＝36000)＝P(X >60)＝P 3=16， 由此的Y 的分布列为由此E(Y)＝0×13+18000×12+36000×16=15000（元）， 欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站． 20. （I ）设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则∵ 椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2=−4√3y 的焦点， ∴ b =√3,ca=12∵ c 2＝a 2−b 2 ∴ a ＝2，c ＝1， ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(II)若存在过点P(2, 1)的直线l 满足条件，则l 的斜率存在设方程为y ＝k(x −2)+1，代入椭圆方程，可得(3+4k 2)x 2−8k(2k −1)x +16k 2−16k −8＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则由△＝32(6k +3)>0，可得k >−12 且x 1+x 2=8k(2k−1)3+4k 2，x 1x 2=16k 2−16k−83+4k 2∵ PA →⋅PB →=54∴ (x 1−2)(x 2−2)+(y 1−1)(y 2−1)=54∴ [x 1x 2−2(x 1+x 2)+4](1+k 2)=54 ∴ [16k 2−16k−83+4k 2−2×8k(2k−1)3+4k 2+4](1+k 2)=54∴ 4k 2+43+4k 2=54 ∵ k >−12，∴ k =12∴ 存在过点P(2, 1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 满足PA →⋅PB →=54，其方程为y =12x ．21. 解：(1)当a =−14时，f(x)=−14x 2+ln(x +1)，(x >−1)，f′(x)=−12x +1x +1=−(x+2)(x−1)2(x+1)，(x >−1)，由f′(x)>0解得−1<x <1，由f′(x)<0，解得：x >1，∴ 函数f(x)的单调递增区间是(−1, 1)，单调递减区间是(1, +∞)； (2)当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)的图象上的点都在{x ≥0，y −x ≤0，所表示的平面区域内，即当x ∈[0, +∞)时，不等式f(x)≤x 恒成立， 即ax 2+ln(x +1)≤x 恒成立，设g(x)=ax 2+ln(x +1)−x ，(x ≥0)， 只需g(x)max ≤0即可， 由g′(x)=2ax +1x+1−1=x[2ax+(2a−1)](x+1)，当a =0时，g′(x)=−x x+1，当x >0时，g′(x)<0，函数g(x)在(0, +∞)单调递减， ∴ g(x)≤g(0)=0成立， 当a >0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)](x+1)=0，因x ∈[0, +∞)，∴ x =12a −1，①若12a −1<0，即a >12时，在区间(0, +∞)上，g′(x)>0，函数g(x)在(0, +∞)上单调递增，函数g(x)在[0, +∞)上无最大值，此时不满足； ②若12a−1≥0，即0<a ≤12时，函数g(x)在(0, 12a−1)上单调递减，在区间(12a−1, +∞)上单调递增，同样函数g(x)在[0, +∞)上无最大值，此时也不满足；当a <0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)](x+1)，∵ x ∈[0, +∞)，∴ 2ax +(2a −1)<0，∴ g′(x)<0，故函数g(x)在[0, +∞)单调递减， ∴ g(x)≤g(0)=0恒成立，综上：实数a 的取值范围是(−∞, 0]．22. （1）∵ AC 是⊙O 的切线，∴ ∠B ＝∠EAC ． 又∵ DC 是∠ACB 的平分线，∴ ∠ACD ＝∠DCB ，∴ ∠B +∠DCB ＝∠EAC +∠ACD ，∴ ∠ADF ＝∠AFD ． ∵ BE 是⊙O 直径，∴ ∠BAE ＝90∘． ∴ ∠ADF ＝45∘．（2）∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ．由(I)得∠BAE ＝90∘，∴ ∠B +∠AEB ＝∠B +∠ACE +∠EAC ＝3∠B ＝90∘， ∴ ∠B ＝30∘．∵ ∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ， ∴ △ACE ∽△BCA ， ∴AC BC=AE AB=tan30∘=√33． 23. （1）当a ＝2时，ρ＝asinθ转化为ρ＝2sinθ 整理成直角坐标方程为：x 2+(y −1)2＝1直线的参数方程{x =−35t +2y =45t （t 为参数）．转化成直角坐标方程为：4x +3y −8＝0 （2）圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x 2+(y −a2)2=a 24直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍， 所以：d =|3a2−8|5=12⋅|a|22|3a −16|＝5|a|，利用平方法解得：a ＝32或3211．24. （1）要使f(x)≥m 恒成立，只需m ≤f(x)min ．由绝对值不等式的性质，有|2x −1|+|2x +5|≥|(2x −1)+(2x +5)|＝6， 即f(x)min ＝6，所以m ≤(6)（2）由(Ⅰ)知，m ＝6，所以原不等式化为|x −3|−2x ≤4，即|x −3|≤4+2x ， 得−4−2x ≤x −3≤4+2x ，转化为{−4−2x ≤x −3x −3≤4+2x，化简，得{x ≥−13x ≥−7，所以原不等式的解集为{x|x ≥−13}．。
【数学】甘肃省兰州市2015届高三实战考试(理)
甘肃省兰州市2015届高三实战考试数学（理）试题试卷综述：这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、 思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7），M={1，3，5，6}，N={2，3，5}，则C U （MN ）=（ ）A ．{1,4,6,7}B ．{2,4,6,7}C ．{1，2，4，6，7}D ．{1，3，4，6，7}【知识点】交、并、补集的混合运算．A1 【答案】C【解析】由题意知M∩N={3，5}，则C U （M N ）={1，2，4，6，7}，故选C.【思路点拨】求出M∩N ，即可求解C U （M∩N ）即可． 2．iz=1一i （i 为虚数单位），则z=（ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i【知识点】复数代数形式的乘除运算L4 【答案】B【解析】由iz=1+i ，得()()()111i i i z i i i i ---===---，故选B.【思路点拨】由iz=1-i ，两边除以i ，按照复数除法运算法则化简计算．3．已知命题cos()cos R ραπαα∃∈-=：，；命题2:,10q x R x ∀∈+>．则下面结论正确的是（ ） A ．p ∨q 是真命题B ．p ∧q 是假命题C ．⌝q 是真命题D ．p 是假命题【知识点】复合命题的真假．A2 【答案】A【解析】对于p ：取α=2π，则cos （π﹣α）=cosα，因此正确；对于命题2:,10q x R x ∀∈+>，正确．由上可得：p ∧q 是真命题．故选：A ． 【思路点拨】p ：取α=2π，则cos （π﹣α）=cosα，即可判断出真假；命题q ：利用实数的性质可得q 的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．4．已知数列{a n }是等差数列，且a 1 +a 4+a 7=2π，则cos （a 3+a 5）=（ ）A ．12B ．一12C D 【知识点】等差数列的性质．D2 【答案】B【解析】∵等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=3a 4=2π，∴a 4=23π，又a 3+a 5=2a 4=43π，∴cos （a 3+a 5）=cos43π=﹣12，故选B. 【思路点拨】利用等差数列的性质可得a 3+a 5=2a 4=43π，从而可得答案． 5．已知实数x ，y 满足a x <a y （0<a<1），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．33x y >B.sin sin x y >C ．221(1)1(1)n x n y +>+D ．221111x y >++ 【知识点】指数函数的图像与性质．B7 【答案】A【解析】∵实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），∴x ＞y ， A ．当x ＞y 时，33x y >，恒成立，B ．当x=π，y=2π时，满足x ＞y ，但sin sin x y >不成立．C ．若221(1)1(1)n x n y +>+，则等价为x 2＞y 2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立．D ．若221111x y >++，则等价为x 2+1＜y 2+1，即x 2＜y 2，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＜y 2不成立．故选：A ．【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 6．已知点F 是挞物线y 2 =4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF| +|NF|=6，则MN 中点的横坐标为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【知识点】抛物线的简单性质．H7 【答案】B【解析】∵F 是抛物线y 2=4x 的焦点，∴F （1，0），准线方程x=﹣1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），∴|MF|+|NF|=x 1+1+x 2+1=6，解得x 1+x 2=4，∴线段MN 的中点横坐标为2，故选B.【思路点拨】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出MN 的中点横坐标．7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）A B ．13 C ．29D【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案】D【解析】由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶=．故选D．【思路点拨】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．8．阅读下侧程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形中应填入的语句为（）A．S=2*i-2B．S= 2*i-1C．S=2*iD．2*i+4【知识点】程序框图．L1【答案】C【解析】当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈2 5 是第二圈3 6 是第三圈4 9 是第四圈5 10 否故输出的i值为：5，符合题意．故选C．【思路点拨】题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．9．设F1、F2分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一个动点，则12.PF PF 的取值范围是（ ） A ．[一2,1） B ．（—2,1）C ．（一2,1]D ．[—2,1]【知识点】椭圆的应用；平面向量数量积的运算F3 H5 【答案】D【解析】由椭圆2214x y +=的知F 10），设P （x ，y ），则12.PF PF =x ，﹣y ）x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣3=14（3x 2﹣8） ∵x ∈[﹣2，2]，∴0≤x 2≤4，故12.PF PF ∈[﹣2，1],故选D. 【思路点拨】设出点P 的坐标，进而可表示出12PF PF ⋅，进而根据x 的范围确定12PF PF ⋅的范围。
2015年高考理科数学模拟试题
2015年普通高等学校招生考试数学模拟试题（理工类）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）A 、总体B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A 、向左平行移动1个单位长度 B 、向右平行移动1个单位长度 C 、向左平行移动π个单位长度 D 、向右平行移动π个单位长度4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）A 、3B 、2C 、3D 、15、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、37、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ）侧视图俯视图11222211A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 8、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ） A、1)m B、1)mC、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
甘肃省兰州第一中学2015届高三12月月考数学Word版试题及答案
兰州第一中学2015届高三12月月考数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．已知集合{}|1A x x =<，|{x B =13log 0x >},则A B I =A ．(0,1)B ．(1,1)-C ．(1,)+∞D ．∅ 2．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．35- B ．45- C ．34 D ．353．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-uu r ，(2,2)OB =uu u r，若090ABO ∠=，则实数t 的值为A ．2B ．4C ．5D ．84．设{}n a 是由正数组成的等比数列，且5681a a =，则3132310log log log a a a +++L 的 值是 A ．20B ．10C ．5D ．2或45．设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是 A ．若m β⊥,m α⊂, 则αβ⊥ B ．若αβ⊥,m α⊄,m β⊥, 则//m α C ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂, 则m n ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β, 则αβ⊥ 6．若关于x 的不等式 |x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a >3 D ．a ≥3 7．把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图 象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x8．已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解为（1，3），则实数a 的取值范围为A ．(,1)-∞-B ．（0,1）C ．[1,)+∞D ． (1,)+∞9．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则nm 21+的最小值为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．数列{}n a 中，*111,(1)2(,1)n n n n a a a n N n +=+=-⋅∈≥,S n 是数列{}n a 的前n 项 和，则S 10=A ．682B ．-682C ．62D ．-6211.如图，AOB 的圆心角为0120，点C 在»AB上，且030COB ∠=，若OC OA OB λμ=+uuu r uur uu u r，则λμ+=A B C ．3 D ．12．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增. 如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值 A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ． 14．数列{}n a 满足*32132(,1)23n n a a a a n N n n++++=-∈≥L ,则n a =________． 15．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面 积是 ．16．若直角坐标平面内A ,B 两点满足条件：①点A ,B都 在函数()x f 的图象上；②点A ,B 关于原点对称，则称(,)A B 是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ (,)A B 与(,)B A 可看作同一点对）．已知CP ()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,20,22x e x x x x f x，则()x f 的“姊妹点对”有_____个． 三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ， b ，c ．4a =，8AB AC ⋅=uu u r uuu r，BAC θ∠=．（Ⅰ）求b c⋅的最大值及θ的取值范围； （Ⅱ）求函数22()()2cos 4f πθθθ=++18.如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD 为菱形， 060BAD ∠=，2===AD PD PA ，点M 在线段上，且MC PM 2=,N 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PNB ；（Ⅱ）（只文科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ， 求三棱锥P NBM -的体积；（只理科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求二面角P NB M --的平面角的正切值. 19.已知数列}{n a 满足12a =，11221n n n a a ++=++，(1)21n n n b a n =-+⋅+，其中*,1n N n ∈≥．（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 20．设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈）． （Ⅰ）若曲线()y f x =过点(1,1)P ，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[1,2]上的最大值． 21．已知函数()()xf x kx e k R =-∈，xxx g ln )(=． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式()()xf xg x e ≥-在区间（0,+)∞上恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）（只理科生做．．．．．）*(,2)n N n ∈≥．兰州一中2014-2015-1学期12月月考数学试题答案说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)n a =_11, 123,2n n n n -=⎧⎨⋅≥⎩_______． 15．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面 积是 16π ．16．若直角坐标平面内A ,B 两点满足条件：①点A ,B 都 在函数()x f 的图象上；②点A ,B 关于原点对称，则称(,)A B 是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ (,)A B 与(,)B A 可看作同一点对）．已知()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,20,22x e x x x x f x，则()x f 的“姊妹点对”有_2__个．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ．4a =，8AB AC ⋅=uu u r uuu r，BAC θ∠=．（Ⅰ）求b c ⋅的最大值及θ的取值范围；CP（Ⅱ）求函数22()()2cos4f πθθθ=++解：12分18.如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD 为菱形， 060BAD ∠=，2===AD PD PA ，点M 在线段上，且MC PM 2=,N 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PNB ；（Ⅱ）（只文科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ， 求三棱锥P NBM -的体积；（只理科生做．．．．．）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求二面角P NB M --的平面角的正切值. 证明：（I ）PD PA =，N 为AD 的中点，PN AD ∴⊥，又底面ABCD 为菱形， ︒=∠60BAD ，BN AD ∴⊥ , ∴⊥AD 平面PNB ，Q //AD BC , ∴BC ⊥平面PNB ． ----------------------------6分 （II ）（文科．．）．Q 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面PAD I 平面AD ABCD =,PN AD ⊥PN ∴⊥平面ABCD ，PN∴⊥NB ,Q 2===AD PD PA PN NB ∴==,32PNB S ∴=V 又⊥BC 平面PNB ,MC PM 2=，∴22112233323P NBM M PNB C PNB V V V ---===⋅⋅=．------------------12分（理．科．）作//ME BC 交PB 于E 点，作EF NB ⊥于F 点，连结MF ． BC ⊥Q 平面PNB ，ME ∴⊥平面PNB ，EF 是MF 在平面PNB 上的射影MF BN ∴⊥，MFE ∴∠是二面角P NB M --的平面角，Q 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面PAD I 平面AD ABCD =,PN AD ⊥PN ∴⊥平面ABCD ，PN ∴⊥NB ,Q 2===AD PD PA PN ∴=,在PBC V 中可知2433ME BC ==，在PNB V中13EF PN ==tan MFE ∴∠=． -------------------------12分 19.已知数列}{n a 满足12a =，11221n n n a a ++=++，(1)21n n n b a n =-+⋅+，其中*,1n N n ∈≥．（Ⅰ）求证：数列{}n b 为等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）11111(2)21221(2)212(1)21(1)21n n n n n n n nn n n b a n a n b a n a n +++++-++++-++===-++-++Q ∴数列{}n b 为等比数列. ---------------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得111,2n n b b -=-∴=-1(21)21,n n a n -∴=+⋅- ---------------------------6分0121(321)(521)(721)(21)21n n S n -⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅++⨯-⎣⎦0121325272(21)2n n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯- ①11232325272(21)22n n S n n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯- ②由①-②，得12121222(21)2(21)212(12)2 1.n nnn n n S n n n nn n +--=++++-+⨯+=-+⨯+-=-⨯+-L (21)21n n S n n ∴=-⨯-+． ---------------------------12分20．设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=（R a ∈）． （Ⅰ）若曲线()y f x =过点(1,1)P ，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[1,2]上的最大值．解：（Ⅰ）曲线()y f x =过点(1,1)P ，则1a =，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x-=-=-=Q '(1)0f =，∴曲线()y f x =在点P 处的切线方程为1y =． ---------------4分（Ⅱ）)(x f 的定义域为(0,)+∞21(1)1[(1)1](1)'()(1)a x ax a x x f x a x a x x x -+--+-=-+-==-------------5分 当1a =时，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x-=-=-=得1x >, [1,2]x ∴∈时()0f x '≥,)(x f 单调递增，max ()(2)2ln 2f x f ==-；当10a ->即1a <时，()0f x '=的两根为11,1a -，且111a >-， [1,2]x ∴∈时()0f x '≥，)(x f 单调递增，max ()(2)2ln 2f x f ==-；当10a -<即1a >时，()0f x '=的两根为11,1a -， ①当 111a ≥-即2a ≥时，[1,2]x ∈时'()0,()f x f x ≤单调递减，max 1()(1)2a f x f +==；② 当111a <-即12a <<时，1(1,)1x a ∈-时()0f x '>,)(x f 单调递增，1(,)1x a ∈+∞-时()0f x '<,)(x f 单调递减．若121a ≥-即312a <≤时，[1,2]x ∈时)(x f 单调递增，max ()(2)2ln 2f x f ==-； 若121a <-，即322a <<时，max 121()()ln(1)12(1)a f x f a a a -==+---； 综上，max32ln 2,2213()ln(1),22(1)21,22a a f x a a a a a ⎧-≤⎪⎪-⎪=+-<<⎨-⎪⎪+≥⎪⎩ ． ---------------------------12分 21．已知函数()()xf x kx e k R =-∈，xx x g ln )(=． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式()()xf xg x e ≥-在区间（0,+)∞上恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）（只理科生做．．．．．）*(,2)n N n ∈≥． 解：（Ⅰ）∵ ()x f x k e '=-，x R ∈∴ ()0f x '=得x e k =． 当0k ≤时，()0f x '<，)(x f 在R 上单调递减；当0k >时，令()0f x '=得ln x k =由()0f x '>的)(x f 的单调递增区间为(,ln )k -∞；由()0f x '<的)(x f 的单调递减区间为(ln ,)k +∞．----------文科6分理科4分（Ⅱ）不等式()()xf xg x e ≥-在区间（0,+)∞上恒成立,则． -------------文科12分理科8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知11 (直角坐标和极坐标互化亦可) ---------------------------5分 （Ⅱ）∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴222210x y x y +---=将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得： 22(2cos )(2sin )2(2cos )2(2sin )10t t t t αααα+++-+-+-= 整理得：2(2cos 2sin )10t t αα++-=∴12122cos 2sin ,1t t t t αα+=--⋅=-∴12||||AB t t =-== ∵0,4πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴20,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴||AB∈⎡⎣ ． ----------------10分 24．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知a 和b 是任意非零实数．证明：224a b a b a ++-≥； （Ⅱ）若不等式1211(1)4x x k x +-+>--恒成立,求实数k 的取值范围. 证明：（Ⅰ）|2||2||22|4||a b a b a b a b a ++-≥++-= ∴224a b a b a++-≥． ---------------------------5分 （Ⅱ）记,11()21132,121,2x x h x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+-+=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩ 若不等式1211(1)4x x k x +-+>--恒成立,则函数()h x 的图象在直线1(1)4y k x =--的上方，数形结合可得1(,1]6k ∈． -----------------10分。
甘肃省兰州一中2015届高三第三次模拟考试理综试卷 Word版含答案.pdf
26.（14分）一种含铝、锂、钴的新型电子材料，生产中产生的废料数量可观，废料中的铝以金属铝箔的形式存在
25．如图，在xOy平面直角坐标系中，直线MN与y轴成30°角，P点的坐标为(－a，0)，在y轴与直线MN之间的区域内
，存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场在直角坐标系xOy的第Ⅳ象限区域内存在沿y轴负方向、大小为
E＝Bv0的匀强电场，在x＝3a处垂直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q，电子束以相同的速度v0从y轴上
种情形下两端电压U随电流I变化的图线。由图可知，M内部线圈的电阻约为________Ω(结果保留两位有效数字)
③小刚根据小敏作出的U－I图线对M两端电压数据进行比较他发现：M两端电压为2.5 V时通过M的电流，居然小于
M两端电压为2.0 V时通过M的电流I，出现这一结果的主要原因是：24．如图所示，让摆球从图中的位置由静止开始下摆
0≤y≤2a的区间垂直于y轴和磁场方向射入磁场。已知从y＝2a点射入的电子在磁场中轨迹恰好经过O点，忽略电子间的
相互作用，不计电子的重力。求：ห้องสมุดไป่ตู้
(1)电子的比荷；
(2)电子离开磁场垂直y轴进入电场的位置的范围；
(3)从y轴哪个位置进入电场的电子打到荧光屏上距Q点的距离最远？最远距离为多少？
，正好摆到悬点正下方处线被拉断，紧接着摆球恰好能沿竖直放置的半圆形轨道内侧做圆周运动，已知摆线长l=2.0
m轨道半径R=2.0 m摆球质量m=0.5 kg不计空气阻力。（g取10 m/s2）
（1）求摆球在点时与竖直方向的夹角θ；
（2）若半圆形内侧轨道上有摩擦，已知摆球到达最低点时的速度为6 m/s，求摩擦力做的功。
20．电子感应加速器的基本原理如图所示。在上、下两个电磁铁形成的异名磁极之间有一个环形真空室图甲为侧视
甘肃省兰州一中2015届高三上学期9月月考数学试卷(Word版含解析)
甘肃省兰州一中2015届高三上学期9月月考数学试卷一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x﹣12＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＜6} B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣6＜x＜2} D．{x|x＜2}2．（5分）下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2+C．y=x3+3x D．y=e|x|3．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若p则q”与命题“若￢q则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，p∨q为真C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题D．“若am2=bm2”，则a＜b的逆命题为真命题4．（5分）函数f（x）=ln（x+）的图象是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，若a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，则a，b，c间的大小关系（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b6．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣37．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，4）C．（0，4）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）9．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=﹣f（x），已知x∈（0，1）时，f（x）=（1﹣x），则函数f（x）在（1，2）上（）A．是增函数，且f（x）＜0 B．是增函数，且f（x）＞0C．是减函数，且f（x）＜0 D．是减函数，且f（x）＞010．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．（5分）若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f（﹣）=f（）B． f （﹣）＞f（）C．f（﹣）＜f（）D．不确定12．（5分）设函数f（x）=log3在（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，log32）B．（log32，1）C．（﹣1，﹣log32）D．（1，log34）二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程是．14．如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为．15．（5分）设0≤x≤2则函数的最大值是．16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈时，f（x）=1﹣x2，函数g （x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数有个．17．（5分）若存在区间M=（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=e x②f（x）=x3③f（x）=cos④f（x）=lnx+1其中存在稳定区间的函数有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共有5道小题，每小题12分，共60分）18．（12分）设f（x）=（4x+4﹣x）﹣a（2x+2﹣x）+a+2（a为常数）（1）当a=﹣2时，求f（x）最小值（2）求所有使f（x）的值域为，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，p∨q为真C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题D．“若am2=bm2”，则a＜b的逆命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：对于A：根据逆否命题的写法规则“否条件当结论，否结论当条件”进行判断；对于B：先判断每个命题真假，再判断或命题的真假；对于C：或命题为假则当且仅当两个命题都为假；对于D：先写出逆命题，再判断真假．解答：解：对于A，根据“否条件当结论，否结论当条件”，可知A是真命题；对于B，当x≥0时，根据指数函数性质e x≥1，故p是真命题，所以p∨q为真，因此B项为真命题；对于C，或命题为假，当且仅当两个命题都是假时才为假，因此C是真命题；对于D，其逆命题是：若a＜b，则am2=bm2，显然是假命题．故选D．点评：本题主要考查了命题真假的判断，要正确理解各种命题的概念基础上进行判断，特别是特称命题、全称命题及其命题的否定要引起足够的重视．4．（5分）函数f（x）=ln（x+）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．解答：解：因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、D不正确．当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x+）是增函数．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．5．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，若a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，则a，b，c间的大小关系（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b考点：对数值大小的比较；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=xf（x），由于当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，利用导数可得当x＞0时，函数g（x）单调递减．函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数g（x）在R上是奇函数．进而得到g（x）在R上是减函数．解答：解：构造函数g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，∴当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R上是奇函数．∴g（x）在R上是减函数．∵a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，=﹣2．，∴c＞b＞a．故选：A．点评：本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：先求出p的等价条件，利用¬q的一个充分不必要条件是¬p，即可求a的取值范围．解答：解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，即p：x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，∵q：x＞a，∴￢q：x≤a，若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则￢p⇒￢q成立，但￢q⇒￢p不成立，∴a≥1，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法是解决本题的关键．熟练掌握命题的否定的形式．7．（5分）若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．解答：解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x02﹣lnx0）则有k=y′|x=x0=2x0﹣．∴2x0﹣=1，∴x0=1或x0=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．点评：本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，4）C．（0，4）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的综合应用．分析：由函数y=f′（x）的图象，确定函数的单调性和单调区间，然后函数的单调性即可求不等式的解集．解答：解：由导函数y=f′（x）的图象可知，当x≥0时，f'（x）≥0，此时函数f（x）得到递增，当x≤0时，f'（x）≤0，此时函数f（x）得到递减，当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，∵f（4）=f（﹣2）=1，∴不等式f（x）＜1的解为﹣2＜x＜4，即不等式f（x）＜1的解集为（﹣2，4），故选：B．点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．9．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=﹣f（x），已知x∈（0，1）时，f（x）=（1﹣x），则函数f（x）在（1，2）上（）A．是增函数，且f（x）＜0 B．是增函数，且f（x）＞0C．是减函数，且f（x）＜0 D．是减函数，且f（x）＞0考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+1）=﹣f（x），可推出f（x+2）=f（x），因此函数为周期函数，T=2，由复合函数的单调性推出函数f（x）=（1﹣x）递增，再由周期性与奇偶性把（1，2）上的单调性过度到（0，1）来研究．解答：解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=f（x+1+1）=﹣f（x+1）=﹣（﹣f（x））=f （x），∴函数为周期函数，周期T=2，∵u=1﹣x递减，y=递减，由复合函数的单调性知函数f（x）=（1﹣x）递增，又x∈（0，1）时，0＜1﹣x＜1，∴（1﹣x）＞0，∴∀x∈（0，1）时，f（x）＞0，①∀x∈（1，2），2﹣x∈（0，1），∴f（2﹣x）＞0，又函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=f（﹣x+2）＞0，②设1＜x1＜x2＜2，则﹣1＞﹣x1＞﹣x2＞﹣2，则1＞2﹣x1＞2﹣x2＞0，∵函数f（x）=（1﹣x）递增，∴f（2﹣x1）＞f（2﹣x2）又f（2﹣x1）=f（x1）、f（2﹣x2）=f（x2）∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（1，2）上是减函数综上，选D点评：本题综合考查函数的性质，是把函数的单调性、奇偶性、周期性相结合的题目，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用赋值法，先令x=1，求出f（1），再令x=2，求出f（2），令x=n，则f（n）﹣f（n﹣1）=1，再根据等差数列的通项求出f．解答：解：当x=1时，f（1）=log5（5﹣1）=2，当x＞1时，f（x）=f（x﹣1）+1，令x=2，则f（2）=f（1）+1=2+1=3，令x=n，则f（n）﹣f（n﹣1）=1，∴{f（n）}是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴f=2+×1=2015，故选：D点评：本题主要考查了抽象函数的问题，关键转化为{f（n）}是以2为首项，以1为公差的等差数列，属于基础题．11．（5分）若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f（﹣）=f（）B． f （﹣）＞f（）C．f（﹣）＜f（）D．不确定考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式，然后比较f （﹣）与f（）的大小．解答：解：函数f（x）=cosx+2xf′（），所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′（）=﹣sin+2f′（）=，f（x）=cosx+x，则f（﹣）=cos﹣；f（）=cos+，所以f （﹣）＜f（）．故选C．点评：本题是基础题，考查函数的导数应用，三角函数值的大小比较，考查计算能力．12．（5分）设函数f（x）=log3在（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，log32）B．（log32，1）C．（﹣1，﹣log32）D．（1，log34）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的零点的判定定理可得f（1）•f（2）＜0，由此求得实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）在区间（1，2）内有零点，∴f（1）•f（2）＜0，∴（﹣a）（﹣a）＜0，解得：＜x＜1，故选：B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程是3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：设切点为（x0，y0），则y0=x03，由于直线l经过点（1，1），可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程．从而可求方程．解答：解：若直线与曲线切于点（x0，y0）（x0≠0），则k=．∵y′=3x2，∴y′|x=x0=3x02，∴2x02﹣x0﹣1=0，∴，∴过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0，故答案为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．14．如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：根据见对方的几何意义，求出两条曲线的交点，由此可得所求面积为函数f（x）=2x2﹣2x及y=2x在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：∵f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x的交点为C（0，0）和（2，4）∴曲线f（x）=2x2﹣2x及直线y=2x所围图形的面积为S===（2x2﹣）=，矩形ABCD的面积2×=9；∴矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为；故答案为：．点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．15．（5分）设0≤x≤2则函数的最大值是．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：令t=2x，则原函数可转化为关于t的二次函数，配方后即可求得其最大值．解答：解：=22x﹣1﹣3•2x+5=×22x﹣3•2x+5，令t=2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，则y=t2﹣3t+5=，当t=1时，y取得最大值，为．故答案为：．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查学生对问题的转化能力．16．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈时，f（x）=1﹣x2，函数g （x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数有12个．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为8个．解答：解：因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，因为x∈时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，则y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数g（x）=的图象，容易得出到交点为12个．故答案为：12点评：考查答题者使用图象辅助作题的意识与能力，属于中档题．17．（5分）若存在区间M=（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=e x②f（x）=x3③f（x）=cos④f（x）=lnx+1其中存在稳定区间的函数有②③（写出所有正确命题的序号）．考点：余弦函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；新定义．分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：：①对于函数f（x）=e x 若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有e a=a，e b=b，即方程e x=x有两个解，即y=e x和y=x的图象有两个交点，这与即y=e x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．②对于f（x）=x3 存在“稳定区间”，如x∈时，f（x）=x3 ∈．③对于f（x）=sin x，存在“稳定区间”，如x∈时，f（x）=sin x∈．④对于f（x）=lnx，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，即y=lnx 和y=x的图象有两个交点，这与y=lnx 和y=x的图象没有公共点相矛盾，故④不存在“稳定区间”．故答案为②③．点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共有5道小题，每小题12分，共60分）18．（12分）设f（x）=（4x+4﹣x）﹣a（2x+2﹣x）+a+2（a为常数）（1）当a=﹣2时，求f（x）最小值（2）求所有使f（x）的值域为19．（12分）设f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2．（1）当x=1时，f（x）取到极值，求a的值；（2）当a满足什么条件时，f（x）在区间上有单调递增的区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f′（1）=0，解得a的值；（2）f（x）在区间上有单调递增的区间，即f′（x）＞0时在上有解，解含参数的不等式．解答：解：（1）由题意知f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且f′（x）=﹣1﹣2ax=，当x=1时，f（x）取到极值，∴f′（1）=0，解得a=﹣；当a=﹣时，f′（x）=在（0，1）上小于0，f（x）是减函数，f′（x）=在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函数，∴f（1）是函数的极小值，∴a的值为﹣；（2）要使f（x）在区间上有单调递增的区间，即f′（x）＞0在上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；（i）当a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0满足条件；（ii）当a＞0时，有x＞﹣，此时只要﹣＜﹣，解得：a＞﹣，∴取a＞0；（iii）当a＜0时，有x＜﹣，此时只要﹣＞﹣，解得：a＞﹣1，∴取﹣1＜a＜0；综上，a满足的条件是：a∈（﹣1，+∞）点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性、求函数的极值问题，也考查了含参数的不等式的解法问题．20．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）e x（x∈R），其中a∈R．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）当a≠时，求函数y=f（x）的单调区间与极值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）抓住两点①切点是公共点，代入曲线方程求出f（1）的值；②切点处的导数是切点的斜率．（2）先求导数，令导数等于零找到所有可能的极值点，再通过列表法具体判断，注意对极值点大小的讨论．解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x2e x，f′（x）=（x2+2x）e x，故f′（1）=3e．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e．（2）f′（x）=e x=（x+2a）•e x，令f′（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2，由a≠知，﹣2a≠a﹣2．以下分两种情况讨论：①若a＞，则﹣2a＜a﹣2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣2a）﹣2a （﹣2a，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）上是增函数，在（﹣2a，a﹣2）上是减函数．函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值为f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值为f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，﹣2a）﹣2a （﹣2a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）上是增函数，在（a﹣2，﹣2a）上是减函数．函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．点评：切线问题是2015届高考的热点，难度不大，只要抓住切点满足的两个条件，一般都能解决问题；第二问研究极值点一般要列表来解决问题．21．（12分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？考点：分段函数的应用．专题：应用题．分析：（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．解答：解：（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*，当x＞6时，y=x﹣115．令x﹣115＞0，有3x2﹣68x+115＜0，上述不等式的整数解为2≤x≤20（x∈N*），∴6＜x≤20（x∈N*）．故y=，定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．（2）对于y=50x﹣115（3≤x≤6，x∈N*）．显然当x=6时，y max=185（元），对于y=﹣3x2+68x﹣115=﹣3+（6＜x≤20，x∈N*）．当x=11时，y max=270（元）．∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．点评：本题考查学生的函数模型意识，注意分段函数模型的应用．将每一段的函数解析式找准相应的函数类型，利用相关的知识进行解决．22．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）当a=﹣1时，证明：在（1，+∞）上，f（x）+2＞0；（2）求证：••…＜（n≥2，n∈N+）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求得函数在（1，+∞）上的最小值为f（1）=﹣2，即可得出证明；（2）由（1）得﹣ln x+x﹣3+2＞0，即ln x＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）恒成立．0＜ln n＜n﹣1，即0＜＜，即可得出结论成立．解答：解：（1）根据题意知，f′（x）=（x＞0），当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数．所以a=﹣1时，f（x）=﹣ln x+x﹣3，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1），即f（x）＞﹣2，所以f（x）+2＞0．…（6分）（2）由（1）得﹣ln x+x﹣3+2＞0，即﹣ln x+x﹣1＞0，所以ln x＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）恒成立．∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0＜＜，∴•••…•＜•••…•=（n≥2，n∈N*）．…（12分）点评：本题主要考查利用导数判断函数的单调性求函数的最值知识，考查利用导数证明不等式问题，注意构造函数法的应用，属于难题．【选修4-1：几何证明选讲】（10分）请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分23．（10分）如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于点H及K．（Ⅰ）求证：HC•CK=BC2；（Ⅱ）若圆的半径等于2，求AH•AK的值．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：综合题．分析：（Ⅰ）证明△DHC∽△KDC，可得，根据DC=BC，可得结论；（Ⅱ）连接AD，BD，则可得AD是⊙B的切线，由切割线定理可得AD2=AH•AK，从而可求AH•AK的值．解答：（Ⅰ）证明：连接DH，DK，则DH⊥DK，∴△DHC∽△KDC，∴，∴DC2=HC•CK，又DC=BC，∴BC2=HC•CK…（5分）（Ⅱ）解：连接AD，BD，则AD⊥BD，AD=BD，∴AD是⊙B的切线，于是AD2=AH•AK，∵圆的半径等于2∴AH•AK=4…（10分）点评：本题考查几何证明选讲，考查三角形的相似，考查圆的切线性质，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）24．在极坐标系中，动点P（ρ，θ）运动时，ρ与成反比，动点P的轨迹经过点（2，0）（I）求动点P的轨迹其极坐标方程．（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点P轨迹是何种曲线．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（I）设ρ=，把点（2，0）代入求得k的值，可得动点P的轨迹的坐标方程，化简可得结果．（II）由于ρ+ρsin θ=2根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程，整理可得结论．解答：解：（I）设把点（2，0）代入可得2=，∴k=1…（5分）∴ρ=；（II）∵ρ=，∴ρ（1+sinθ）=2，∵ρ2=x2+y2，ρsinθ=y…（7分）∴∴P点轨迹是开口向下，顶点为（0，1）的抛物线…（10分）点评：本题主要考查求简单曲线的极坐标方程，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）25．（Ⅰ）解不等式|2+x|+|2﹣x|≤4；（Ⅱ）a，b∈R+，证明：a2+b2≥（a+b）．考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；推理和证明．分析：（Ⅰ）通过对自变量x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，再解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）利用作差法，作差后化积，分析判断证明即可．解答：解：（I）∵|2+x|+|2﹣x|=…（2分），∴由|2+x|+|2﹣x|≤4得：或或，解得x=﹣2或﹣2＜x≤2，∴原不等式的解为：﹣2≤x≤2…（5分）（II）证明：∵==（）（）=（）（）（a++b）=（a++b）≥0，∴a2+b2≥（a+b）…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查分类讨论思想与作差法证明不等式，属于中档题．。
甘肃省兰州一中2015届高三数学9月月考试题(含解析)
2014-2015学期高三九月月考数学试题【试卷综析】本试卷是高三试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，识考.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、函数模型、导数、简单的线性规划、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分） 【题文】1．已知集合{}{}224120,log (1)0A x x x B x x =--<=-<，则=⋂B A （ ）A ．{}6<x x B ．{}12x x << C ．{}26<<-x x D ．{}2<x x]【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 由A 中不等式变形得：（x+2）（x-6）＜0， 解得：-2＜x ＜6，即A={x|-2＜x ＜6}，由B 中log2（x-1）＜0=log21，得到0＜x-1＜1，即1＜x ＜2， ∴B={x|1＜x ＜2}，则A ∩B={x|1＜x ＜2}．故选B ．【思路点拨】求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的X 围确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【题文】2. 下列函数中既是奇函数，又在()0+∞，上单调递增的是 （ ）A ．sin y x =B ．21y x x =-+C ．33y x x =+ D ．x y e =【知识点】函数的单调性函数的奇偶性B3 B4【答案解析】对于A ，是奇函数，但是在R 是周期函数，不单调；对于B ，f （-x ）=-x2-1x ≠f （x ），也不等于-f （x ），所以是非奇非偶的函数；对于D ，f （-x ）=e|-x|=e|x|=f （x ），是偶函数；故选C ．【思路点拨】对于四个选项分别分析，利用奇偶函数的定义及性质解答． 【题文】3．下列命题中错误的是（ ）A ．命题“若p 则q ”与命题“若q ⌝则p ⌝”互为逆否命题.B ．命题[]0,1,1x x e ∀∈ ≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p q ∨为真.C ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题.D ．“若22am bm <”，则a b <的逆命题为真命题.【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D 对于A ，根据“否条件当结论，否结论当条件”，可知A 是真命题；对于B ，当x ≥0时，根据指数函数性质ex ≥1，故p 是真命题，所以p ∨q 为真，因此B 项为真命题；对于C ，或命题为假，当且仅当两个命题都是假时才为假，因此C 是真命题；对于D ，其逆命题是：若a ＜b ，则am2=bm2，显然是假命题．故选D ．【思路点拨】对于A ：根据逆否命题的写法规则“否条件当结论，否结论当条件”进行判断；对于B ：先判断每个命题真假，再判断或命题的真假；对于C ：或命题为假则当且仅当两个命题都为假；对于D ：先写出逆命题，再判断真假．【题文】4. 函数f(x)＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )【知识点】函数的单调性B3【答案解析】B 由题意得x-1x >0得到-1<x<0或x>1排除A D 由代入法得在x>1时是增数，故选B【思路点拨】先确定定义域然后确定增减性利用排除法求解。
兰州一中届高三冲刺模拟数学试题及答案(理)
甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题（理）第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则MN =( )A. {（1,1）}B. {（-1,1），（1,1）}C. )1,2⎡+∞⎢⎣ D. ⎫+∞⎪⎣⎭2. 设i 是虚数单位，那么使得1()12n -+=的最小正整数n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143y x +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 7126. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ）A. 403cmB. 503cmC. 603cmD. 803cm8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23的概率是（ ） A. 1180B.1288 C. 1360 D. 14809.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A. 14B.C. D.10.执行下图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，则x = （ ）A.B. C. D. 11.已知函数3y x =在k x a =时的切线和x 轴交于1k a +，若11a =，则数列{}n a的前n 项和为（ ）A. 1233n +B. 12()3n -C. 23()3n -D. 1233nn -- 12.已知函数()3,f x x mx x R =-∈，若方程()f x =2在[4,4]x ∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A. (31,32⎤-⎥⎦B. (313,2⎤⎥⎦C. ()()31,3,2-∞-+∞ D. ()()31,3,2-∞+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是___________. (用数字填写答案) 14.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，点M ，N 满足AM AB λ=，(1)AN AC λ=-，R λ∈，若2BN CM ⋅=-，则λ=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x对称的区域为E ，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =.（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=⋅，(,)82ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +的值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形.（Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ； （Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)a x a xϕ=>. （Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!nne e n ++++≥成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（Ⅰ）︒=∠30PBD ；（Ⅱ）DC AD =．23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，设 M(x ,y )为C '上任意一点，求222x y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111++≥.甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案（理）第I 卷（选择题）一、选择题第Ⅱ卷二、填空题13. -960 ； 14. 23； 15. ； 16.()1,+∞ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：设P （x ，y ），由 AB BP = 得 O B O A O P O B-=-， 即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分 （Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=⋅=-⋅-22sin 2sin cos 1sin 2cos 2θθθθθ=--=--)4πθ=+；由(,)82ππθ∈-得52(0,)44ππθ+∈，所以，当2(0,)42ππθ+∈即(,88ππθ⎤∈-⎥⎦时，()f θ单调递减，且()0f θ≤<，当)52,424πππθ⎡+∈⎢⎣即),82ππθ⎡∈⎢⎣时，()f θ单调递增，且()1f θ≤<，故，函数()f θ的单调递减区间为(,88ππ⎤-⎥⎦，单调递增区间为),82ππ⎡⎢⎣，值域为)⎡⎣. …………………………………… 6分（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP ∥OC ，即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-⋅-=⋅-，得4tan 3θ=，所以 ||(sin OA OB +====………………………… 12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连PG，BG，CG；60PA PD PG ADAD PGBAB ADBG ADDAB=⇒⊥⎫⎪⇒⊥=⎫⎬⇒⊥⎬⎪∠=︒⎭⎭平面……………………………… 5分（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD；在底面直角梯形ABCD中，由已知可得BC=，由32P A B C DV-=，即311[12322PG⋅+⋅=（，得PG，而DG=1，在Rt△PGB、Rt△PGC、Rt△PGD中分别可求得、、PD=2，在△PCD中，2221cos PD CD PCPDC+-==-，∴sin PDC=PCD的面积1sin2PDCS PD CD PDC=⋅⋅⋅=，设点B到平面PCD的距离为h，由P BCD B PCDV V--=得h=，∴PB平面PCD所成角的正弦值为hPB==.…………………………………… 12分PB PGB⊂平面AD PB⎫⇒⊥⎬⎭19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121=⨯； 若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321=⨯ 故所求概率为.157103612=+=P …………………………………… 4分 （Ⅱ）第1-n 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-n N n P n ），则出现绿色背景的概率为11--n P .若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311⨯-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1⨯--n P所以，53154)1(5331111+-=-+=---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991--=--n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154-的等比数列， 所以).1,(199)154(3811≥∈+-=-n N n P n n …………………………… 12分 20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b=∴椭圆C 的标准方程为2211612y x +=； …………………………………… 2分（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-，于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ② ① 、②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分 （Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=， 02022129(8)||4Nx NF y y +==， 022002221236[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=，∴ 002222001222222100009(8)(8)||1y x x NF ++=⋅=， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=，于是020484x y -=代人③式并整理得2121||1||4NF MF =， ∴ 11||||NF MF 的值为定值12. ……………………………… 12分21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2111()()[]|()x xx a aaa x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； …………… 3分（Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x--=+--=->，22()1()(0)x x a x af x x xxx---'=-=>， ∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分（Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=， ∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分 分别取 1,2,,x n = 得 111e e ≥，122e e ≥，13e e ≥，…，1e e n≥， 将以上各式相乘，得：1111!n n e e n ++++≥ ……………………………… 12分 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒， 从而︒=∠30PBM ． ………………………………… 5分 （Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =． 又BD MB DM SB DS 21,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232， ∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ，∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒， 故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =． ……………………10分23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为224x y += …………………………………… 1分直线L20y -= ………………………… 3分（2）由''12x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分 设M 为2x cos y sin θθ==⎧⎨⎩，则22232cos(2)3x y πθ-+=++ …… 8分 所以当M为或(1,-时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++. 证明：由已知及均值不等式：111(1)(1)(1)a b b c c a ++≥+++311133a b c a b c =≥+++++++⋅ 31232==⋅ ……………………… 10分。
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甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题数 学（理 科）第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则MN =( )A. {（1,1）}B. {（-1,1），（1,1）}C. )1,2⎡+∞⎢⎣ D. ⎫+∞⎪⎣⎭2. 设i 是虚数单位，那么使得1()12n -+=的最小正整数n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143y x +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 76. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b 分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（A. 403cm B. 503cm8.由4的概率是（）A.1180B.12889.已知三棱锥S—ABC是边长为1的正三角形，SC棱锥的体积为（）A.14 B.10.执行右图程序框图，如果输入的正实数x与输出的实数y满足y=x，则x= （）A. B. C. D.11.已知函数3y x=在kx a=时的切线和x轴交于1ka+，若11a=，则数列{}na的前n项和为（）A.1233n+ B. 12()3n- C. 23()3n- D.1233nn--12.已知函数()3,f x x mx x R=-∈，若方程()f x=2在[4,4]x∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A. (31,32⎤-⎥⎦B. (313,2⎤⎥⎦C. ()()31,3,2-∞-+∞ D. ()()31,3,2-∞+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在(x2+24x－4)5的展开式中含x4项的系数是___________. (用数字填写答案)14.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，点M，N满足AM ABλ=，(1)AN ACλ=-，Rλ∈，若2BN CM⋅=-，则λ=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x 对称的区域为E，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R上的奇函数()f x的导函数满足()()f x f x'<，且()()31f x f x⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =.（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=⋅，(,)82ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +的值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形. （Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ； （Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)a x a xϕ=>. （Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!nne e n ++++≥成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（Ⅰ）︒=∠30PBD ；（Ⅱ）DC AD =．23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，设 M(x ,y )为C '上任意一点，求222x y +的最小值，并求相应的点M 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案数 学（理 科）第I 卷（选择题）一、选择题第Ⅱ卷二、填空题13. -960 ； 14. 23 ； 15. ； 16. ()1,+∞ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：设P （x ，y ），由 AB BP = 得 O B O A O P O B-=-， 即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分 （Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=⋅=-⋅-22sin 2sin cos 1sin 2cos 2θθθθθ=--=--)4πθ=+；由(,)82ππθ∈-得52(0,)44ππθ+∈，所以，当2(0,)42ππθ+∈即(,88ππθ⎤∈-⎥⎦时，()f θ单调递减，且()0f θ≤<，当)52,424πππθ⎡+∈⎢⎣即),82ππθ⎡∈⎢⎣时，()f θ单调递增，且()1f θ≤<，故，函数()f θ的单调递减区间为(,88ππ⎤-⎥⎦，单调递增区间为),82ππ⎡⎢⎣，值域为)⎡⎣. …………………………………… 6分（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP ∥OC ，即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-⋅-=⋅-，得4tan 3θ=，所以 ||(sin OA OB +====………………………………… 12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连PG，BG，CG；60PA PD PG ADAD PGBAB ADBG ADDAB=⇒⊥⎫⎪⇒⊥=⎫⎬⇒⊥⎬⎪∠=︒⎭⎭平面……………………………………5分（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD；在底面直角梯形ABCD中，由已知可得BC=，由32P A B C DV-=，即311[12PG⋅+⋅=（，得PG，而DG=1，在Rt△PGB、Rt△PGC、Rt△PGD中分别可求得、PD=2，在△PCD中，2221cos24PD CD PCPDCPD CD+-==-⋅⋅，∴sin PDC=PCD的面积1sin2PDCS PD CD PDC=⋅⋅⋅=，设点B到平面PCD的距离为h，由P BCD B PCDV V--=得h=，∴PB平面PCD所成角的正弦值为hPB==.……………………………………12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121=⨯；若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321=⨯故所求概率为.157103612=+=P……………………………………4分（Ⅱ）第1-n次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-nNnPn），则出现绿色背景的概率为11--nP.PB PGB⊂平面AD PB⎫⇒⊥⎬⎭若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311⨯-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1⨯--n P所以，53154)1(5331111+-=-+=---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991--=--n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154-的等比数列，所以).1,(199)154(3811≥∈+-=-n N n P n n …………………………………… 12分 20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b=∴椭圆C 的标准方程为2211612y x +=； …………………………………… 2分（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②① 、②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分 （Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=， 02022129(8)||4Nx NF y y +==， 022002221236[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=，∴ 002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=⋅=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=，于是020484x y -=代人③式并整理得2121||1||4NF MF =， ∴11||||NF MF 的值为定值12. …………………………………… 12分21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2111()()[]|()xxxa aaa x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； …………… 3分 （Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x --=+--=->，22()1()(0)x x a x af x x x x x---'=-=>，∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分 （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=，∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分分别取 1,2,,x n = 得111e e ≥，122e e ≥，133e e ≥，…，1n e e n≥， 将以上各式相乘，得：111123!nne en ++++≥ ……………………………… 12分22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒， 从而︒=∠30PBM ． …………………………………… 5分（Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =． 又BD MB DM SB DS 21,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232，∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ， ∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =． ……………………10分23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为224x y += …………………………………… 1分直线L 20y -+= ………………………… 3分（2）由''12x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分设M 为2x cos y sin θθ==⎧⎨⎩，则 22232cos(2)3x y πθ+=++ …… 8分所以当M 为或(1,-时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111++≥.证明：由已知及均值不等式：111(1)(1)(1)a b b c c a ++≥+++3111a b c a b c =≥+++++++⋅31232==⋅ ……………………… 10分A。