离散时间被控对象控制器设计--课件2015.10.20

离散时间被控对象控制器设计教学大纲：(1) 线性确定性被控对象控制器设计方法极点配置控制器、基于极点配置的PID控制器(2) 线性随机被控对象控制器设计方法最小方差控制器/调节器、广义最小方差控制器、广义预测控制器、广义最小方差前馈控制器、多变量广义最小方差解耦控制器(3) 参数未知线性随机被控对象控制器设计最小方差自校正调节器、最小方差自校正控制器参考书：[1] 柴天佑，岳恒，自适应控制理论及应用, 清华大学出版社, 2015[2] 舒迪前，饶立昌，柴天佑，自适应控制，东北大学出版社，1993[3] G. C. Goodwin, 孙贵生，自适应滤波、预测与控制，科学出版社[4] Karl J. Astrom, Bjorn Wittenmark，自适应控制，科学出版社1. 线性确定性被控对象控制器设计方法1.1极点配置控制器1.1.1 控制问题描述设被控对象的数学模型为11()()()()A z y k B z u k --= (1.1.1)式中，)(k y 和)(k u 分别为k 时刻被控对象的输出和输入量，1-z 为单位后移算子，)(1-z A 和)(1-z B 分别为关于1-z 的A n 和B n 阶多项式，可以表示为AAn n z a z a z A ---+⋅⋅⋅++=1111)( (1.1.2)111()B B n i i n B z b z b z b z ----=++++ (1.1.3)如果被控对象的时延为d ，将i b (1,2,,1i d =- )置为零即可。

假设)(1-z A 与)(1-z B 互质，即两者无公因子。

这里，并不要求时延是已知的。

控制的目标：将闭环系统的极点配置到理想位置，并要求闭环传递函数的稳态增益为1，消除输出)(k y 与参考输入)(k w 之间的稳态误差。

令)(1-z T 是首1的稳定多项式，其零点是理想的闭环系统极点。

1.1.2 极点配置控制器设计采用具有下面结构的极点配置控制器方程 111()()()()()()H z u k E z w k G z y k ---=- (1.1.4)式中，)(1-z H ，)(1-z G ，)(1-z E 为1-z 多项式，其阶次和系数待定，控制器的结构图如图1.1.1所示。

图1.1极点配置控制器结构框图为选择极点配置控制器中的未知多项式)(1-z H ，)(1-z G 和)(1-z E ，将(1.1.4)式代入(1.1.1)式得到闭环系统方程，即)()]()()()([1111k y z G z B z H z A ----+=11()()()B z E z w k -- (1.1.5)即 111111()()()()()()()()B z E z y k w k A z H z B z G z ------=+ (1.1.6)下面的问题就是如何根据闭环系统方程(1.1.6)式，求取控制器方程中的未知多项式)(1-z H ，)(1-z G 和)(1-z E ，并使得闭环系统极点配置到理想位置，实现稳态跟踪。

······················丢番图方程在多项式中的一般形式为)()()()()(11111-----=+z C z Y z B z X z A式中，)(1-z A ，)(1-z B 和)(1-z C 为三个已知非零多项式，且)(1-z A ，)(1-z B 和)(1-z C 三者之间无公因子，)(1-z X 和)(1-z Y 为未知的待求多项式。

这是一个未知数个数多于方程个数的方程，因此是一个不定方程。

如果)(1-z A 和)(1-z B 互质，也就是)(1-z A 和)(1-z B 之间没有公因子，则上述方程总存在解，并且存在多个解。

例如，如果)(10-z X 和)(10-z Y 是上述方程的一个特解，则)()()()(11101-----=z Q z B z X z X )()()()(11101----+=z Q z A z Y z Y也是该方程的解，其中)(1-z Q 为任意多项式。

控制问题中我们通常是求出)(1-z X 或)(1-z Y 的最小阶解，而最小阶解则是Diophantine 方程在最小阶限制下的唯一解。

以确定)(1-z X 的最小阶解为例加以说明。

确定)(1-z X 和)(1-z Y 的阶次X n 和Y n 的方法是根据方程两边1-z 的同次幂系数相等的原则建立一组线性方程。

因为)(1-z X 和)(1-z Y 的系数未知待求，所以方程组中的未知数的个数为)(1-z X 和)(1-z Y 的阶次X n 和Y n 之和再加2，即未知数个数为2++Y X n n ；而方程组中方程式的个数为1+C n ，或1++A X n n ，或1++B Y n n ，其中A n ，B n 和C n 分别代表)(1-z A ，)(1-z B 和)(1-z C 的阶次。

我们可以看出丢番图方程有唯一解的条件是方程个数等于未知数个数，即12++=++B Y Y X n n n n 12++=++A X Y X n n n n12+=++C Y X n n n确定)(1-z X 的最小阶解，也就是限制B X n n <的解，在此条件下，可以确定1-=B X n n },1m ax{B C A Y n n n n --=·························课堂练习：已知多项式112()1 1.60.6A z z z ---=-+，112() 1.50.530.9B z z z ---=-+，求取阶次最小的多项式1()X z -，1()Y z -，满足丢番图方程)()()()()(11111-----=+z C z Y z B z X z A 。

1.1.3 极点配置算法下面我们介绍四种极点配置算法。

（1）对消所有稳定零点，保留所有不稳定零点假设被控对象为非最小相位系统，则需将)(1-z B 分解)(1-z B =)()(11---+z B z B (1.1.7)式中)(1--z B 为由所有不稳定零点组成的因式，)(1-+z B 为由所有稳定零点组成的因式配以适当的比例，令)()()(1111-+--=z B z H z H (1.1.8)则(1.1.6)式可以化简为1111111()()()()()()()()B z E z y k w k A z H z B z G z --------=+ (1.1.9)显然闭环极点配置方程为111111()()()()()A z H z B z G z T z ------+= (1.1.10)阶次限制关系为11H B n n -=- (1.1.11)1-=A G n n (1.1.12)1T A B n n n -≤+- (1.1.13)闭环极点配置方程(1.1.10)式相当于已知)(1-z A , )(1--z B , 1()T z -,待求)(11-z H 和)(1-z G 的Diophantine 方程，在上述阶次匹配限制下存在唯一解。

因此闭环系统方程(1.1.6)式可写成111()()()()()B z E z y k w k T z ----= (1.1.14)此外，由(1.1.14)式可看出：为了消除跟踪误差必须合理地选择)(1-z E 。

下面介绍两种消除跟踪误差的方法。

(I) 引入积分器为了引入积分器，选择11()H z -使1(1)0H =，即取11112()(1)()()H z z H z B z ---+-=-，则闭环极点配置方程为1111112()(1)()()()()A z z H z B z G z T z --------+= (1.1.15)相当于已知)1)((11---z z A , )(1--z B , 1()T z -，待求)(12-z H 和)(1-z G 的Diophantine 方程，这时A G n n =，21H B n n -=-。

由(1.1.14)式知，为了使)(k y 和)(k w 之间的传递函数稳态时为1，)(1-z E 必须取为)1()1(G E = (1.1.16)(II) 不引入积分器如果不引入积分器，由(1.1.14)式知为使)(k y 和)(k w 之间的传递函数稳态时为1，)(1-z E 必须取为(1)(1)/(1)E T B -= (1.1.17)上述极点配置控制算法可适用于开环不稳的非最小相位被控对象，但要求分解)(1-z B 为)(1-+z B 和)(1--z B 。

下面的三种极点配置算法不需要分解)(1-z B 。

（2）对消所有过程零点当被控对象是最小相位时，即)(1-z B 的全部零点在z 平面单位圆内，假定被控对象的时延为d ，可将)(1-z B 写为)()(11-+--=z B z z B d ，这时对象模型变为)()()()()()(111k z C k u z B z k y z A d ξ--+--+= (1.1.18)取)()()(1111-+--=z B z H z H (1.1.19)则闭环传递函数为1111111111111111111()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()d d d d B z E z y k u k A z H z B z G z z B z E z u k A z H z B z z B z G z z E z u k A z H z z G z -------+----+--+--------=+=+=+ (1.1.20) 于是极点配置方程式变为11111()()()()d A z H z z G z T z -----+= (1.1.21)阶次限制为11-=d n H (1.1.22)1-=A G n n (1.1.23)1T A n n d ≤+- (1.1.24)因)(1-z A 与d z -互质，在上述阶次配合下，)(11-z H 和)(1-z G 有唯一解。

多项式)(1-z E 的选取原则与（1）相同。

当引入积分器时，即1(1)0H =时，取)1()1(G E = (1.1.25)当不引入积分器时，取(1)(1)E T = (1.1.26)（3）保留所有过程零点当被控对象有过程零点在单位圆外，可采用保留过程全部零点的极点配置算法，此时的极点配置方程应写成11111()()()()()A z H z B z G z T z -----+= (1.1.27)阶次限制关系为1-=B H n n (1.1.28) 1-=A G n n (1.1.29) 1T A B n n n ≤+- (1.1.30)由于)(1-z A 与)(1-z B 互质，上式一定有解。