巩固练习_空间点线面的位置关系(基础)

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2023版高考数学一轮总复习8-2空间点线面的位置关系习题

8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基考点一点、线、面的位置关系1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )A.一定同时成立B.至多一个成立C.至少一个成立D.可能同时不成立答案 C3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )A.6对B.9对C.12对D.15对答案 C5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案 D6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊥n,m⊥α,则n∥αD.若m⊥α,n∥α,则m⊥n答案 D7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD为异面直线D.EF与A1C1为异面直线答案 D8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.答案4√29.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π2考点二异面直线所成的角1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )A.√1515B.√3015C.√1510D.√3010答案 D3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )A.√1414B.√2114C.√144D.4√3535答案 D5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )A.√24B.√22C.√63D.√33答案 B综合篇知能转换考法一点、线、面位置关系的判定及应用1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:①PE与QC是异面直线;②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;③平面APE⊥平面BDD1B1;④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.①③答案 B2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )A.2√213B.4√213C.2√73D.4√73答案 A4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.②④答案 B5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:;①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√22③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3.4其中正确结论的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 B6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是.答案①④⑤7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④考法二异面直线所成角的求解方法1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.13B.√74C.34D.√32答案 C2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案 D4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )A.√34B.√23C.34D.23答案 C5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案14。

空间点线面之间的位置关系(一)

空间点线面之间的位置关系(一)部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑一、空间点线面之间的位置关系考试要求：1、熟练掌握点、线、面的概念；2、掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程；知识网络：知识要点： 1、公理 <1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A 、B∈a , A、B∈α，则<2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P ，则α、β有且只有一条过点<3）公理 3：不共线的三点可确定一个平面推论：①一条直线和其外一点可确定一个平面②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面<4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900➢ 例题解读例1、三个平面将空间分成k 个部分,求k 的可能取值.分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种:<1）三个平面相互平行<2）两个平面相互平行且与第三个平面相交 <3）三个平面两两相交且交线重合 <4）三个平面两两相交且交线平行 <5）三个平面两两相交且交线相交空间图形的关系空间基本关系与公理平行关系垂直关系公理点、线、面的位置关系判定性质应用应用性质判定例2、如图，是平面外的一点分别是的重心，求证：．例3、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是➢能力提升训练1．已知A、B表示点，b 表示直线，、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是<）．<A ）<B ）<C ）<D ）2．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是<）．<A）平行或异面<B）异面<C）相交<D）相交或异面3．如图，空间四边形ABCD中，M、N 分别是△ABCb5E2RGbCAP和△ACD的重心，若BD＝m，则MN ＝__________．4. 下列命题中正确的个数是< ）若直线上有无数个点不在平面内，则．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点．A．Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．35. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是< ）Ａ．内的所有直线与异面Ｂ．内不存在与平行的直线Ｃ．内存在唯一的直线与平行Ｄ．内的直线与都相交6. 已知，，是三条直线，角，且与的夹角为，那么与夹角为．7. 如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与垂直的棱共条．<第7题图） <第10题图）p1EanqFDPw8. 如果，是异面直线，直线与，都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个．9. 已知两条相交直线，，则与的位置关系是．10.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？DXDiTa9E3d11. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：与平行．与是异面直线．与成角．与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是< ）Ａ．，，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，，12. 下列命题中，正确的个数为< ）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形的顶点引的平行线段，则是异面直线与所成的角；④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形Ａ．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．313. 在空间四边形中，，分别是，的中点，则与的大小关系是．14. 已知是一对异面直线，且成角，为空间一定点，则在过点的直线中与所成的角都为的直线有条．15. 已知平面，是平面外的一点，过点的直线与平面分别交于两点，过点的直线与平面分别交于两点，若，则的长为．16. 空间四边形中，，，，分别是，，，的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积是．17. 已知正方体中，，分别为，的中点，，．求证：<１），，，四点共面；<２）若交平面于点，则，，三点共线．二、直线与平面平行、平面与平面平行考试要求：1、掌握线面、面面平行的性质2、掌握线面平行的证明方法3、掌握面面平行的证明方法知识要点：1、直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内2、直线和平面平行的判定及性质判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

点线面间的位置关系知识点总结(含题)(

点线面间的位置关系知识点总结一、三个公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_________________________________________公理2:过________________________ 的三个点，有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________________二、空间两条直线间的位置关系分类为：______________ ， ______________ ，_______________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________三、空间直线与平面间的位置关系分类为：__________________ ，____________ ，__________________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________四、空间平面与平面间的位置关系分类为：______________ ，当两个平面成90。

时，属于____________ 关系常用证明技巧一、线面平行列1 （2IH1年怀化楓蝌）如图所示*已知几0是单位止方WABCn-A^.C^的面A^BA和面』肮2＞的中心*求证：卩总〃平面ncr^n.练习1. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q且AP = DQ. 求证：PQ//平面BCE.2・妇匿，四棱链/一乩噸一平面所裁*截面为平厅四边形吕他求证，m/zz面日捌3* （加10年彌考■陕丙雜）如图’在四棱饰P ABCD中.底血ABCD^矩形「只4 丄平SLUJC/h .lP-.Ltf, BP-IiC-1, E, F分别&l f B T PC 的中点.门）证明* EF//平血知"；卩）求二棱锥E—.【号「的休枳匚（2）1/3二、线面垂直1、(2006年北京卷)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB 点E是PD的中点•(I)求证：AC PB ； (n)求证：PB〃平面AEC ；2、( 2006年浙江卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形BAD=90 ° ,PA丄底面ABCD，且PA= AD=AB=2BC,M、N 分别为PC、PB 求证：PB丄DM;3、(2006年福建卷)如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA(I)求证：AO 平面BCD;AC , PA 平面ABCD，且PA AB , CB CD BD 2, AB AD . 2.,AD // BC, /的中点•ADOE4、( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA 底面ABCD, PC、DAB 为直角，AB II CD,AD=CD=24B,E、F 分另U为CD的中点.(I)试证：CD 平面BEF;5、(全国H ?理？9题)如图，在四棱锥SCS-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD , E、F分别是AB、的中点。

高考数学一轮复习全套课时作业7-2空间点线面的位置关系

题组层级快练7.2空间点线面的位置关系一、单项选择题1．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是()A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α2．下列各图是正方体和正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()3．将下面的平面图形(图中每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是()A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③4．空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为()A ．1B ．4C ．7D ．85.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.456．(2020·江西景德镇模拟)将图①中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是()A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直7．(2020·广西钦州质检)在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，AD ＝6，BC ＝4，EF ＝2，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为()A.34B.56C.910D.11128.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是()A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行9．(2021·吉林长春模拟)已知直线a 和平面α，β有如下关系：①α⊥β；②α∥β；③a ⊥β；④a ∥α.则下列命题为真命题的是()A ．①③⇒④B ．①④⇒③C ．③④⇒①D ．②③⇒④10．(2021·福建三明质检)已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，PA ＝2，E 为BC 的中点，则异面直线AE 与PD 所成的角为()A.π6B.π4C.π3D ．π11．(2021·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是()A.0，π2B.0，π2C.0，π3D.0，π312．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，PA ＝23，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是()A.18B.16C.14D.13二、多项选择题13．(2021·山东烟台二模)已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，则()A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β14.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确是()A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 不共面15．(2021·广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个结论，其中正确的是()A ．AF ⊥GCB ．BD 与GC 为异面直线且夹角为60°C ．BD ∥MND ．BG 与平面ABCD 所成的角为45°16.(2021·江西莲塘一中、临川二中联考)如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．17.如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？7.2空间点线面的位置关系参考答案1．答案D解析b 与α相交或b ⊂α或b ∥α都可以．2．答案D解析在A 中，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在B 中，P ，Q ，R ，S 四点共面，如图所示，证明如下：取BC 中点N ，可证PS ，NR 交于直线B 1C 1上一点E ，∴P ，N ，R ，S 四点共面，设为α.可证PS ∥QN ，∴P ，Q ，N ，S 四点共面，设为β.∵α，β都经过P ，N ，S 三点，∴α与β重合，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在C 中，易证PQ ∥SR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在D 中，∵QR ⊂平面ABC ，PS ∩平面ABC ＝P 且P ∉QR ，∴直线PS 与QR 为异面直线．∴P ，Q ，R ，S 四点不共面．3．答案C解析图②翻折后点N 与点Q 重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行．故选C.4．答案C解析当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图．当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个．5.答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角(或其补角)．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.6．答案C解析在题图①中，AD ⊥BC ，故在题图②中，AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，又因为BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，D 不在BC 上，所以AD ⊥BC ，且AD 与BC 异面，故选C.7．答案D解析本题考查异面直线所成角的余弦值．取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，EG ∥AD ，则∠EGF 为异面直线AD 与BC 所成的角(或补角)．因为FG ＝12BC ＝2，EG ＝12AD ＝3，所以cos ∠EGF ＝4＋9－22×2×3＝1112，故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为1112.8.答案D解析如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确；因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ，所以MN 与AC 垂直，故B 正确；因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．9．答案C解析本题考查空间中有关线面位置关系的命题真假的判断．由①③可知，a ∥α或a ⊂α，A 错误；由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错误；过直线a 作平面γ，使得γ∩α＝b ，∵a ∥α，∴a ∥b.∵a ⊥β，∴b ⊥β.∵b ⊂α，∴α⊥β，C 正确；由②③可知，a ⊥α，D 错误．10．答案C解析本题考查异面直线所成角的大小．分别取AD ，PA 的中点F ，G ，连接CF ，AC ，FG ，CG.∵四边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴AF 綊EC ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴CF ∥AE.∵F ，G 分别为AD ，PA 的中点，∴FG ∥PD.∴异面直线PD 与AE 所成角即为∠CFG(或其补角)．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC.∴CG ＝AG 2＋AC 2＝1＋1＋4＝ 6.又CF ＝1＋1＝2，FG ＝1＋1＝2，∴cos ∠CFG ＝CF 2＋FG 2－CG 22CF ·FG ＝2＋2－62×2×2＝－12，∴∠CFG ＝2π3，即异面直线AE 与PD 所成的角为π3，故选C.11．答案D解析当点P 与点D 1重合时，CP ∥BA 1，所成角为0；当点P 与A 点重合时，CA ∥A 1C 1，连接BC 1，△A 1BC 1为正三角形，所成角为π3，又由于异面直线所成角为，π2，所以选D.12．答案A解析分别取PA ，PB ，BC 的中点E ，F ，G ，连接EF ，EG ，FG ，GA ，PG ，如图所示，由PB ＝PC ＝AB＝AC ＝BC ＝4可得PG ＝AG ＝32BC ＝23，所以EG ⊥PA ，在△GPA 中，PG ＝AG ＝PA ＝23，可得EG ＝3，由中位线的性质可得EF ∥AB 且EF ＝12AB ＝2，FG ∥PC 且FG ＝12PC ＝2，所以∠GFE 或其补角即为异面直线PC 与AB 所成角，在△GFE 中，cos ∠GFE ＝GF 2＋EF 2－GE 22GF ·EF ＝4＋4－92×2×2＝－18，所以异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为18.故选A.13．答案BC解析本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m 和n 平行、相交或异面，故A 错误；若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，由线面、面面垂直的性质可知m ⊥n ，故B 正确；若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，又n ⊥β，所以α∥β，故C 正确；若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β或m ⊂β，故D 错误．故选BC.14.答案AD解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．又BB1与平面AB1D1仅有B1一个交点，所以B与B1，O，M不共面．15．答案AB解析将平面展开图还原成正方体，如图所示．对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD 与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得A、B正确．16.答案62解析当CQ＝1时，Q与C1重合．如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，∴其面积为12AC1·PF＝12×3×2＝62.17.答案(1)略(2)共面，证明略解析(1)证明：∵G，H分别为FA，FD的中点，∴GH綊12AD.又∵BC綊12AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点，得BE綊GF.所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以EC∥FH.所以C，D，F，E四点共面．。

高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习

课题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。

平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。

点的表示：大写字母点A 点B线的表示：小写英文字母线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。

两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。

图形符号语言文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。

知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。

知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。

2023年高考数学一轮复习点点练27空间点线面的位置关系含解析理

点点练27空间点、线、面的位置关系一基础小题练透篇1.以下命题(其中a ，b 表示直线，α表示平面)：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b .其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2.如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M3．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为A 1D 1，AB ，C 1D 1的中点，则直线A 1G ，EF 所成角的余弦值为( )A ．3010B ．3015C ．3030D ．1554．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M 、N 、F 分别是B 1C 1、CC 1、AB 的中点，则下列说法正确的是( )A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面5．已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( )A ．①③B．①④C．②③D．①②③④6．已知直线l 和平面α，若l ∥α，P ∈α，则过点P 且平行于l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．只有一条，且在平面α内 C ．有无数条，一定在平面α内 D ．有无数条，不一定在平面α内7．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号).8．如图，在四棱锥P ABCD 中，O 为CD 上的动点，V P OAB 恒为定值，且△PDC 是正三角形，则直线PD 与直线AB 所成角的大小是________．二能力小题提升篇1.[2022·辽宁省实验中学高三模拟]如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是( )A.AB 与CF 成45°角B ．BD 与EF 成45°角C ．AB 与EF 成60°角D ．AB 与CD 成60°角2．[2022·广西柳州市高三摸底]三棱锥P ABC 中，若PA ＝PB ＝PC ，则P 在底面ABC 上的投影O 为△ABC 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心 3.[2022·浙江省金华高三模拟]已知四面体A BCD ，AB ＝2，BC ＝BD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BE ⊥AC 于E ，BF ⊥AD 于F ，则( )A ．AC 可能与EF 垂直，△BEF 的面积有最大值B ．AC 不可能与EF 垂直，△BEF 的面积有最大值 C ．AC 可能与EF 垂直，△BEF 的面积没有最大值D ．AC 不可能与EF 垂直，△BEF 的面积没有最大值4．[2022·山西省大同市高三摸底]如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1C 1上的动点(点P 与A 1，C 1不重合)，则下列说法不正确的是( )A ．BD ⊥CPB ．三棱锥C BPD 的体积为定值C ．过P ，C ，D 1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值最大为135.如图所示，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．6．[2022·西安模拟]如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直，以上四个命题中，正确命题的序号是____________．三高考小题重现篇1.[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线2．[全国卷Ⅱ]在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A．22B．32C．52D．723．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p44．[2019·北京卷]已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．(答案不唯一)四经典大题强化篇1.已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．2．[2022·福建厦门质检]如图，在多面体ABCDEF中，AD，BE，CF均垂直于平面ABC，AC＝BC，AD＝2，BE＝4，CF＝3.(1)过CF的平面α与平面ABED垂直，请在图中作出α截此多面体所得的截面，并说明理由；(2)若∠ACB＝120°，AB＝43，求多面体ABCDEF的体积．点点练27 空间点、线、面的位置关系一基础小题练透篇1．答案：A解析：如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，CD∥AB，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．2．答案：D解析：∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上．同理可知，点C 也在γ与β的交线上．3．答案：C解析：如图所示，易知A 1G ∥CF ，则∠EFC 为直线A 1G 与EF 所成角．不妨设AB ＝2，则CF ＝5，EF ＝6，EC ＝3，由余弦定理得cos∠EFC ＝5＋6－925×6＝3030，即直线A 1G 与EF 所成的角的余弦值为3030. 4．答案：D解析：设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连结EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋（2a ）2＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连结DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心，所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ，且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误． 5．答案：A解析：因为l ⊥α，α∥β，根据面面平行的性质知l ⊥β，又m ⊂β，则l ⊥m ，故①正确；若α⊥β，l ⊥α，则l 可能在β内或与β平行，则l 可能与m 相交、平行或异面，故②错误；由l ∥m ，l ⊥α可推出m ⊥α，又m ⊂β，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；若α，β的交线为m，则l⊥m，推不出α∥β，故④错误．6．答案：B解析：假设过点P且平行于l的直线有两条分别为m与n，则m∥l且n∥l.由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条．又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．7．答案：②③④解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．8．答案：60°解析：因为V POAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD 上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.二能力小题提升篇1．答案：D解析：由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，CF和BD平行，AB垂直于BD，所以AB与CF成90°角，故A错误；BD与CF平行，CF垂直于EF，所以BD与EF成90°角，故B错误；EF与CG平行，AB与CG成90°角，所以AB与EF成90°角，故C错误；CD与AE平行，在三角形AEB中，AE＝EB＝AB，所以∠EAB＝60°，所以AB与CD成60°角，故D正确．2.答案：B解析：由题意可得，∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°，因为PA ＝PB ＝PC ，PO 为公共边，所以△POA ≌△POB ≌△POC ，所以OA ＝OB ＝OC ，所以O 为△ABC 的外心．3．答案：D解析：由AB ⊥平面BCD 知，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，则AC ＝AD ＝22＋（2）2＝6，利用等面积法求得斜边上的高BE ＝BF ＝226＝233，从而有AE ＝AF ＝（2）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝63，则△AEF 为等腰三角形，AE 不可能与EF 垂直，即AC 不可能与EF 垂直，故AC 错误；由上知，EF CD ＝AE AC ＝13，设CD ＝x ，则EF ＝13x ，x ∈（0，4），由余弦定理知，cos∠FBE ＝BF 2＋BE 2－EF 22BF ·BE ＝43＋43－x 2983＝1－124x 2，则由x ∈（0，4）知，cos∠FBE ＝1－124x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，故∠FBE 为锐角，且sin∠FBE ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，223，△BEF 的面积S ＝12BE ·BF ·sin∠FBE ＝23sin∠FBE ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，429，当取得右侧边界点时，B ，C ，D 三点共线，不能构成三角形，故无最大值，故B 错误，D 正确．4．答案：D解析：由题可知BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CP ，故A 正确；由等体积法得V C BPD ＝V P BCD＝13·S △BCD ·AA 1为定值，故B 正确；设A 1C 1的中点为M ，当P ∈MC 1时，如图1所示：图1图2此时截面是三角形D 1QC ，当P ∈MA 1时，如图2所示：此时截面是梯形D 1QRC ，故C 正确；在正方体中，连接D 1P ，则D 1P 为DP 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，则∠D 1PD 为DP 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，设正方体的棱长为1，PD 1＝x ，则PD ＝1＋x 2，sin ∠D 1PD ＝11＋x2，当x 取得最小值时，sin ∠D 1PD 的值最大，即D 1P ⊥A 1C 1时，x 的值最小为22，所以sin ∠D 1PD 的值最大为63，故D 不正确． 5．答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使平行四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .6．答案：②③④解析：还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合．易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面．又△GMH 为等边三角形， ∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，MN ∥AF ，∴MN ⊥DE . 因此正确的序号是②③④.三高考小题重现篇1．答案：B解析：过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上，∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD＝2，则EN＝EQ2＋QN2＝3＋1＝2，BE＝BC2＋CE2＝4＋4＝22，又在正方形ABCD中，BD＝22＋22＝22＝BE，∴△EBD 是等腰三角形，故在等腰△EBD中，M为DE的中点，∴BM＝BE2－EM2＝8－1＝7，∴BM ＝7>2＝EN，即BM≠EN.又∵点M、N、B、E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线．2．答案：C解析：因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，则BE＝ 5.因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAB ＝52.3．答案：①③④解析：对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而¬p2是真命题；对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而¬p3是真命题；对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬p4是假命题．综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，¬p2∨p3是真命题，¬p3∨¬p4是真命题．4．答案：①③⇒②或②③⇒①解析：把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能l∥α或l与α斜交；①③作为条件，②作为结论和②③作为条件，①作为结论时，容易证明命题成立．四经典大题强化篇1．证明：（1）如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．（2）在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R 三点共线．（3）∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.2．解析：（1）取AB，DE的中点G，H，连接CG，FH，HG，则四边形CFHG即为所求截面．理由如下：∵AD ，BE ，CF 均垂直于平面ABC ，∴AD ∥BE ∥CF .∵AD ＝2，BE ＝4，∴四边形ABED 为梯形．又G ，H 分别为AB ，DE 的中点，∴HG ∥BE ，HG ＝3.∴HG ∥CF ，HG ＝CF ，则四边形CFHG 为平行四边形．∵AC ＝BC ，G 为AB 的中点，∴CG ⊥AB .又AD ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CG .又AB ∩AD ＝A ，∴CG ⊥平面ABED .又CG ⊂平面CFHG ，∴平面CFHG ⊥平面ABED .∴平行四边形CFHG 为所作的截面．（2）过点A 作AM ⊥BC ，交直线BC 于点M .∵BE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，∴BE ⊥AM . 又BE ∩BC ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCFE ，∴AM ⊥平面BCFE .在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，AB ＝43，∴AC ＝BC ＝4，则AM ＝2 3.∴S △ABC ＝12×4×4×sin120°＝4 3. ∴V D －BCFE ＝13·S 四边形BCFE ·AM ＝13×[12×（3＋4）×4]×23＝2833， V D －ABC ＝13·S △ABC ·AD ＝13×43×2＝833.∴V 多面体ABCDEF ＝V D －ABC ＋V D －BCFE ＝833＋2833＝12 3.。

空间点线面的位置关系

【基础检测】
1．判断下列推理的正误．
(1)A∈l，B∈l，A⊂α，B⊂α⇒l⊂α( √ ) (2)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，则 l⊂α( √ ) (3)A∈l，l⊄α⇒A∉α( × )
(4)A，B，C∈α，A，B，C∈β，且 A，B，C 不
共线⇒α＝β( √ )
2．如图所示，平面 α∩β＝l，点 A、B∈α，点 C∈β 且 C∉l，AB∩l＝R，设过 A、B、
C 三点的平面为 γ，则 β∩γ 是( C ) A．直线 AC B．直线 BC C．直线 CR D．以上均不正确
3．a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； ③若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④若 a⊂平面 α，b⊂平面 β，则 a，b 一定是异面直线；
B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；
对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者成立才能确定一个平面，因此，排除C；
只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由公理2知其可以确定一个平面．
⑤若 a，b 与 c 成等角，则 a∥b. 上述命题中正确的命题是_①___(只填序号)．
4．在下列命题中，不是公理的是( A ) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
6．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P，Q，R 分别是

空间点线面的位置关系带详细答案

.空间点、线、面的位置关系带详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：8.2空间点、线、面的位置关系五年高考A组统一命题.课标卷题组1.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为A: B: C: D:答案详解C正确率: 62%, 易错项: B解析:本题主要考查空间直角坐标系。

以垂直于的方向为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系。

则，，由于，则，。

即，，所以异面直线与所成角的余弦值。

故本题正确答案为C。

2.已知，为异面直线，平面，平面，直线满足，，，，则（）。

A: ，且B: ，且C: 与相交，且交线垂直于D: 与相交，且交线平行于答案详解D正确率: 49%, 易错项: C解析:本题主要考查直线、平面的位置关系。

若，则由知，而，所以，与，为异面直线矛盾，所以平面与平面相交。

由平面，，且，可知，同理可知，所以与两平面，的交线平行。

故本题正确答案为D。

3.平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（）。

A: B: C: D:答案详解A正确率: 47%, 易错项: B解析:本题主要考查点、直线、平面的位置关系。

如图所示，因为平面，若设平面平面，则，又因为平面平面，结合平面平面，所以，即，同理可得：，所以，所成角的大小与，所成角的大小相等，即的大小，因为，所以，即。

故本题正确答案为A。

4.直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（）。

A: B: C: D:答案详解C正确率: 73%, 易错项: B解析:本题主要考查空间向量的应用。

建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有，，，，，所以，，则，，所以。

故本题正确答案为C。

易错项分析：空间中异面直线夹角的解法，用空间向量法解题相对简单，本题易错点是正确建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，最后正确应用向量的数量积公式求出异面直线夹角的余弦值。

(完整word版)知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)

空间点线面的位置关系【考纲要求】（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【知识网络】【考点梳理】考点一、平面的基本性质1、平面的基本性质的应用（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；（3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。

2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。

3、公理2的推论：（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。

4、点共线、线共点、点线共面空间点线面位置关系三个公理、三个推论平面平行直异面直相交直公理4及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直概念垂斜空间直线与平面空间两个平面两个平面平行两个平面相交三垂线定理直线与平面所成的角（1）点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。

（2）线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。

要点诠释：证明点线共面的常用方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。

考点二、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’∥a,b ’∥b,把a ’与b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.②范围：02π⎛⎤ ⎥⎝⎦，要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。

点线面位置关系(知识点加典型例题)

点线面位置关系(知识点加典型例题)2.1 空间中点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 空间点、直线、平面之间的位置关系本节主要介绍空间中点、直线、平面之间的位置关系，其中重点是空间直线和平面的位置关系，难点是三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换。

在介绍空间点、直线和平面之间的位置关系前，我们需要了解三个公理。

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号表示为 A∈L，B∈L =。

Lα，A∈α，B∈α。

公理1的作用是判断直线是否在平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为 A、B、C三点不共线 =。

有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2的作用是确定一个平面的依据。

推论有：①一条直线和其外一点可确定一个平面；②两条相交直线可确定一个平面；③两条平行直线可确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =。

α∩β=L，且P∈L。

公理3的作用是判定两个平面是否相交的依据。

另外，还有等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等。

在了解了这些公理后，我们可以进一步探讨空间中点、直线和平面之间的位置关系。

空间中两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面。

异面直线所成角θ的范围是<θ≤90°。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系在空间中，两条直线有如下三种关系：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）、共面直线、平行直线（同一平面内，没有公共点）和异面直线（不同在任何一个平面内，没有公共点）。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b。

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4的作用是判断空间两条直线平行的依据。

另外，等角定理指出，如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

空间几何中的点线面的位置关系

空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。

它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。

本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。

一、点与线的位置关系1.1 点在直线上当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。

点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。

1.2 点在直线上的延长线上当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。

点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。

1.3 点在线段上当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。

点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。

1.4 点在线段的延长线上当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。

点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。

二、点与面的位置关系2.1 点在平面上当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。

点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。

2.2 点在平面上的延长线上当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。

点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。

2.3 点在平面外当一个点不在平面上时，称该点在平面外。

点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。

三、线与面的位置关系3.1 线在平面上当一条线位于平面内时，称该线在平面上。

线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。

3.2 线平行于平面当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。

平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。

3.3 线与平面相交于一点当一条线与平面上的某个点相交时，称该线与平面相交于一点。

线与平面相交于一点的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都相交于同一点。

四、面与面的位置关系4.1 平行面当两个面的法向量平行时，称这两个面为平行面。

高一数学点线面的位置关系试题

高一数学点线面的位置关系试题1.若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（）A．相交B．异面C．异面或相交D．平行【答案】C【解析】空间中直线与直线有三种位置关系：相交，平行，异面；当直线与直线在同一个平面内，则相交，不在任何一个平面内，则是异面直线；要是，由平行公理得，这与为异面直线相矛盾，故位置关系是相交或异面.【考点】空间中直线和直线的位置关系.2.若、、是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若∥，，，则∥B．若，则C．若，∥，则D．若，则∥【答案】C【解析】对于，直线可能平行，可能异面；对于没有说明直线垂直交线；对于由平面与平面垂直的性质得正确；对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面.【考点】空间中点、线、面的位置关系.3.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱中，，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．又面，，，面，；（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面；(3).【解析】（1）由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故；（2）连接交于点，则为的中位线，得到∥，从而得到∥面；（3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算.试题解析：（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．又面，，，面，.（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面．（3）在中过作垂足为，由面⊥面知，面，．而，，.【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．4.已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m,n，则m n B．若C．若D．若【答案】D【解析】A选项中m,n可以相交；B选项中可能相交，不同于平面中的垂直于同一直线的两直线平行；C选项中m有可能与的相交线平行，同时也与平行，但平面不平行；综合选D.【考点】直线与平面的位置关系.5.已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF AB，则EF与CD所成的角为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】设为的中点，连接，由三角形中位线定理可得，则即为与所成的角，结合，在中，利用三角函数即可得到答案．【考点】异面直线及其所成的角．三角形中位线定理.6.下列命题中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合.D．四条边都相等的四边形是平面图形【答案】B【解析】对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；对于B，三角形三条直线两两相交，有不共线的三点，因此一定是平面图形，故B正确；对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，故选B．【考点】平面的基本性质．7.已知△中，，，平面，，、分别是、上的动点，且．（1）求证：不论为何值，总有平面平面；（2）当为何值时，平面平面？【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）通过证明⊥平面，说明平面平面；（2）将平面平面作为条件，利用三角形关系求解．试题解析：（1）∵⊥平面，∴⊥．∵⊥且，∴⊥平面，又∵，∴不论为何值，恒有，∴⊥平面．又平面，∴不论为何值，总有平面⊥平面．（2）由（1）知，⊥，又平面⊥平面，∴⊥平面，∴⊥．∵，，，∴，，∴，由，得，∴，故当时，平面平面．【考点】两平面的位置关系的证明．8.下列四个结论：⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行.⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面的位置关系.所以（1）不正确；两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行，或异面，所以（2）不正确；两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，所以（3）不正确；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行或直线在平面内，所以（4）不正确.故选A.【考点】1.直线与平面的位置关系.2.直线与直线的位置关系.3.相关的判断定理.9.在正四面体（所有棱长都相等）中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．平面平面B．平面C．平面平面D．平面平面【答案】C【解析】由AF⊥BC，PE⊥BC，可得BC⊥平面PAE，而DF//BC，所以，DF⊥平面PAE,故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【考点】正四面体的几何特征，平行、垂直关系。

北京四中高三数学高考总复习空间点线面的位置关系(基础)巩固练习_空间点线面的位置关系(基础)

【巩固练习】1、教室内有一把尺子,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．异面2、设有平面α、β和直线m 、n,则m ∥α的一个充分条件是（） A ．α⊥β且m ⊥β B ．α∩β=n 且m ∥n C ．m ∥n 且n ∥α D ．α∥β且m β3、已知两条直线,两个平面．给出下面四个命题： ①,; ②,,; ③,; ④,,．其中正确命题的序号是（）A ．①、③B ．②、④C ．①、④D ．②、③ 4、若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是（）A ．若,则B ．若,,则C ．若,,则D ．若,,则5、设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（）A ．若与所成的角相等,则B ．若,,则C ．若,则D ．若,,则6、如图,在正四棱柱中,分别是,的中点,则以下结论中不成立的是（） A ．与垂直 B ．与垂直 C ．与异面 D ．与异面7、已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（）A ．m 与n 异面.B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 8．判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面（）（2）两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合（）ED B D 1（3）两条直线可以确定一个平面（）（4）若四点不共面,那么每三个点一定不共线（）（5）两条相交直线可以确定一个平面（）（6）三条平行直线可以确定三个平面（）（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（）9．如右图,点E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点,则过点E 与直线AB 和11B C 都相交的直线的条数是：条10．右图是正方体平面展开图,在这个正方体中①BM 与ED 平行;②CN 与BE 是异面直线;③CN 与BM 成60º角; ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是。

53巩固练习_空间点线面的位置关系(基础)

7、空间点线面的位置关系【巩固练习】1、教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ D .异面） A .平行 B .垂直 2、设有平面a 、3和直线 A . a 丄3且 m 丄3C . m / n 且 n / a m 、 C .相交但不垂直 n ，则m Ila 的一个充分条件是（ B .D . %卄=n 且 m II n a//B 且 m W 13 3、已知两条直线聊，於，两个平面比 .给出下面四个命题: ①牌// « ,總丄分今？3丄d ； ②创& ③洸S K ,懒II a 斗挖“ a ；其中正确命题的序且曰 A .①、③ 号疋（）B .②、④C .①、④D .②、③ 4.(2015 浙江高考）设是两个不同的平面，I, m 是两条不同的直线，且I A.若l B.若则 I m C.若 I// 贝 U // D.若 // 则 l//m 5、设心为两条直线， 4 戸为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（6、若A 与◎■所成的角相等，则"lb 若口ug buH 胡 b ，则Q O如图，在正四棱柱 5, 酹与昭垂直 B .因押与衣刃垂直已知空间三条直线 A . m 与n 异面. C . m 与n 平行. 判断下列命题的真假，真的打“y （1）空间三点可以确定一个平面（B .若 M H b P 月，住 It 3，则 a lib D 若常丄工b 丄戸 U 丄0 F 分别是码，月G 的中点,C . 与CD 异面，则位丄占则以下结论中不成立的是 l 、m n.若l 与m 异面，且I 与n 异面,则B . m 与n 相交.D . m 与n 异面、相交、平行均有可能，假的打“X”）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（两条直线可以确定一个平面（）若四点不共面，那么每三个点一定不共线两条相交直线可以确定一个平面（三条平行直线可以确定三个平面（一条直线和一个点可以确定一个平面（两两相交的三条直线确定一个平面（ 9.如右图，点E 是正方体ABCD A ,B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，则过点和B 1C 1都相交的直线的条数是:①若mm ，则n 其中正确命题的序号为（2）异面直线a,b 所成的角为，空间中有一定点0,过点0有3条直线与a,b 所成角都是600，贝U 的取值可能是江苏高考）如图，在直三棱柱 ABC AB I G 中，已知 AC BC ，BC CC 1设AB 1的中点为在六面体必D-A 耳GR 中，四边形朋仞是边长为2的正方形，四边形佔是边长为1的正方形, 凹丄平面44^^刀珂丄平面屈仞DR.Q(2)(3)(4)(5) (6)(7) (8) D i 10.（2015 江苏模拟）设为互不重合的平面， m, n 为互不重合的直线，给出下列的四个命题: ②若m,m// ，n// 则 // ③若④若m，m//n 则 nil 11、（ 1）已知异面直线 a,b 所成的角为 700，则过空间一定点0,与两条异面直线 a,b 都成60°角的直线A. 30 0 .50 0 .60 0 .90 12.(2015 (2) BC 1 AB 113、如图,(I)求证:也与曲＜7共面，耳耳与丑D共面.14、三个平面a,3, 丫两两相交，(1)若alb P，求证：a, b,⑵ 若a//b,用反证法证明直线a,a, b, c是三条交线。

专题13 空间点、线、面的位置关系-艺体生考前冲刺专项讲解与训练 .

2019年高三艺术生考前专项解读与训练专题13 空间点、线、面的位置关系空间线面位置关系的判断[核心提炼]空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．(1)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC【答案】(1)A(2)C【解析】(1)对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.(2)由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，且B1C∩A1B1＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.判断空间线面位置关系应注意的问题解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．【对点训练】1．(2019·湖北七市(州)联考)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【答案】B2．(2019·成都第一次诊断性检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有()A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】C.【解析】AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE.综上可知，选C.空间平行、垂直关系的证明[核心提炼]1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(2017·高考北京卷)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，P A＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：P A⊥BD；5．(2019成都第二次诊断性检测)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B.【解析】对于①，直线m，n可能异面；易知②正确；对于③，直线m，n同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直，错误；对于④，当直线n∥l时，不能推出两个平面垂直．故真命题的个数为1.故选B.6.如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是________．【答案】：①②③【解析】：对于①，因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥PC ；对于②，因为点M 为线段PB 的中点，所以OM ∥P A ，因为P A ⊂平面P AC ，所以OM ∥平面P AC ；对于③，由①知BC ⊥平面P AC ，所以线段BC 的长即是点B 到平面P AC 的距离，故①②③都正确．7．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件： ①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β； ②存在一条直线a ，a ⊥β；③存在两条垂直的直线a ，b ，a ⊥β，b ⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是________．答案：①③8．(2019·武昌调研)在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 答案：②解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确． ③假设AD ⊥BC ，因为DC ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.9．(2019·石家庄质量检测(一))如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，P A ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上一点，且PC ＝3PN . (1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求点M 到平面P AN 的距离．【解析】：(1)证明：在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1.又AD ∥BC ，所以NH ∥AM 且NH ＝AM ，所以四边形AMNH 为平行四边形，所以MN ∥AH ，又AH ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)连接AC ，MC ，PM ，平面P AN 即为平面P AC ，设点M 到平面P AC 的距离为h . 由题意可得CD ＝22，AC ＝23，所以S △P AC ＝12P A ·AC ＝43，所以S △AMC ＝12AM ·CD ＝2，由V M P AC ＝V P AMC ，得13S △P AC ·h ＝13S △AMC ·P A ，即43h ＝2×4，所以h ＝63，所以点M 到平面P AN 的距离为63. 10．(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．【解析】：(1)证明：取AC 的中点O ，连接DO ，BO . 因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO . 从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD . (2)连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.[能力提升]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B ．22C.33D.13【答案】A.【解析】因为过点A 的平面α与平面CB 1D 1平行，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以m ∥B 1D 1∥BD ，又A 1B ∥平面CB 1D 1，所以n ∥A 1B ，则BD 与A 1B 所成的角为所求角，所以m ，n 所成角的正弦值为32，选A.2．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝__________．答案：223a解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥PQ .连接BD ，因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ，所以△APM ∽△DPQ .所以PQ PM ＝PDAP ＝2，即PQ ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ，所以PM BD ＝AP AD ＝13，所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，所以PQ ＝223a .3．(2019.洛阳第一次统考)如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC ＝BC ＝12AB ＝1，点M 在线段EC 上．(1)证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；(2)若AE ∥平面MDB ，求三棱锥E -BDM 的体积．【解析】：(1)证明：因为DC ＝BC ＝1，DC ⊥BC ，所以BD ＝ 2.在梯形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，所以∠ADB ＝90°. 所以AD ⊥BD .又平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，ED ⊂平面ADEF ，所以ED ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥ED . 又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADEF . 又BD ⊂平面BDM ，所以平面BDM ⊥平面ADEF .(2)如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接MO ，因为平面EAC ∩平面MBD ＝MO ，AE ∥平面MDB ，AE ⊂平面EAC . 所以AE ∥OM . 又AB ∥CD ，所以EM MC ＝AO OC ＝ABCD＝2，S △EDM ＝23S △EDC ＝23×12×1×2＝23.因为ED ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BC . 因为AB ∥CD ，AB ⊥BC ，所以BC ⊥CD . 又ED ∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面EDC . 所以V E BDM ＝V B EDM ＝13S △EDM ·BC ＝13×23×1＝29. 4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，点E 为AC 中点．将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC ，如图2所示．学-科网(1)在CD 上找一点F ，使AD ∥平面EFB ； (2)求点C 到平面ABD 的距离．【解析】：(1)如图，取CD 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，因为E ，F 分别为AC ，CD 的中点，所以EF 为△ACD 的中位线，所以AD ∥EF ，因为EF ⊂平面EFB ，AD ⊄平面EFB ，所以AD ∥平面EFB .因为三棱锥B ACD 的高BC ＝22， S △ACD ＝12AD ·CD ＝2.又V CABD ＝V B ADC ，即13×23h ＝13×2×22，解得h ＝263.即点C 到平面ABD 的距离为263.。

空间点、线、面位置关系(经典例题+训练)

空间点、线、面的位置关系【基础回顾】1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线．公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面．推论1：经过____________________，有且只有一个平面．推论2：经过________________，有且只有一个平面．推论3：经过________________，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线．(3)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角．②范围：____________.3．公理4平行于____________的两条直线互相平行．4．定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．自我检测1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________．2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．5．下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________(填序号).【例题讲解】1、平面的基本性质例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.求证：EH、FG、BD三线共点．变式迁移1如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG 相交于点O.求证：B、D、O三点共线．2、异面直线的判定例2如图所示，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上．求证：BD和AC是异面直线．变式迁移2如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是________(填序号)．3、异面直线所成的角例3已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为____________________________________________________________________ ____．变式迁移3在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC ＝，求AC和BD所成的角．二、空间的平行关系基础回顾1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．【例题讲解】1、线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.2、面面平行的判定例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.变式迁移2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．求证：平面G1G2G3∥平面ABC；3、平行中的探索性问题例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝AB，BC⊥PC.(1)求证：PA⊥BC；(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?三、空间的垂直关系基础回顾1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线．②垂直于同一个平面的两条直线________．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，说它们所成的角为________；直线l∥α或l?α，说它们所成的角是______角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．4．二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作________棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．自我检测1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________(填序号)．①若l⊥m，m?α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m?α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.2．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l?α，直线m?β，使得l∥m；④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有________个．【例题讲解】1、线面垂直的判定与性质例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.变式迁移1四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，SA＝SB.证明：SA⊥BC.2、面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.变式迁移2如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.3、直线与平面、平面与平面所成的角例3如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθtanφ＝1，求λ的值．变式迁移3如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．。