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双曲线专题经典练习及答案详解

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双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线， 故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1． 由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25， 解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。

双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。

双曲线基础题10道-含答案

双曲线基础题10道-含答案

近距离为 2，则双曲线 C 的方程为（ ）
A． y2 x2 1 34
C． y2 x2 1 49
B． y2 x2 1 9 16
D． y2 x2 1 9 34
3．若双曲线 1 ：
x2 a2
y2 b2
1（ a
0，b
0 ）的离心率为
2，则双曲线
2
：
y2 b2
x2 a2
1
的离心率为（ ）
A． 2 3 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
C． 3
【分析】由双曲线的离心率公式求解即可.
D． 5
【详解】因为双曲线 1 的离心率 e1
a2 b2 a2
2 ，所以 b2
3a2 ，
所以双曲线 2 的离心率 e2
a2 b2 b2
4 2 3 ． 33
故选：A
4．已知双曲线
x2 m
y2 8m
1（0
m
8 ）的一条渐近线与直线
x
3 y 1平行，则此 3
F
，准线为 l
，且 l 与双曲线
:
x2 a2
y2 b2
1
（ a 0,b 0 ）的两条渐近线分别交于 A, B 两点，若△ABF 是正三角形，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． 21
3
B． 7 2
C． 2 3 3
D． 7 3
试卷第 2页，共 3页
8．已知双曲线 C :
y2 a2
x2 b2
1a
6．若方程
2
x2 m
2
y2 m
1 表示双曲线，则
m
的取值范围是（
）
A． 2 m 2

高中数学《双曲线》大题50道及答案解析

高中数学《双曲线》大题50道及答案解析

1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l 与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P 分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．10．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．高中数学资料共享群734924357每天都有更新！11．已知椭圆＝1（a＞b＞0}），点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．（1）求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出定值；（2）试对双曲线＝1写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．12．如图，若F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．13．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2＝36有相同的焦点．（1）求双曲线标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，求△MF1F2的面积．14．设双曲线＝1，其虚轴长为2，且离心率为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B，在线段AB上取点M使得＝，证明：点M落在某一定直线上；（3）在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围．15．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．（1）求动点P的轨迹方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x2+y2＝2上，求|OG|•|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．16．已知双曲线＝1（b＞a＞0）渐近线方程为y＝±x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．17．设双曲线﹣＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（1）若A、B分别为此双曲线的渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）过点N（1，0）能否作出直线l，使l交双曲线于P、Q两点，且•＝0，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．18．已知双曲线，（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．19．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为（﹣2，0）和（2，0），点P（3，）在双曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（Ⅱ）过点A（0，2）的直线与双曲线C交于不同的两点E、F，若坐标原点O 与E、F构成的三角形面积为2，求直线l的方程．20．已知双曲线的左右两个顶点是A1，A2，曲线C上的动点P，Q 关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足，求实数λ的取值范围．21．已知圆M：（x+1）2+y2＝，圆N：（x﹣1）2+y2＝，动圆D与圆M外切并与圆N内切，圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y＝x为C的一条渐近线．①求双曲线C的方程；②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2＝﹣时，求Q点的坐标．22．已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．（1）求m的取值范围；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）设条件p：e≥k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．23．已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|﹣|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？24．若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2＝1的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．25．已知双曲线过点A（1，1），它的焦点F在其渐近线上的射影记为M，且△OFM（O为原点）的面积为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点A作双曲线的两条动弦AB，AC，设直线AB，直线AC的斜率分别为k1，k2，且（k1+1）（k2+1）＝﹣1恒成立，证明：直线BC的斜率为定值．26．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝交于点M，双曲线C的离心率e＝，F是其右焦点，且|MF|＝1．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P 在A、Q之间，若＝λ且，求直线l斜率k的取值范围．27．已知双曲线C：﹣＝1的离心率是，其一条准线方程为x＝（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若＝λ，求实数λ的取值范围．28．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（a，0），B（0，﹣b）．（1）求双曲线的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过B作直线与双曲线交于M，N两点，求B1M⊥B1N时，直线MN的方程．29．已知椭圆C与双曲线﹣＝1有公共焦点，且离心率e＝，（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？30．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．（1）求曲线C的方程；（2）E（x1，y1），F（x2，y2）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF 的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．31．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，直线x﹣3y+5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于．（1）求双曲线S的方程；（2）设经过点（﹣2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．32．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为（1）求抛物线C的方程；（2）过点D（﹣1，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点E，F，若在x轴上存在一点P（x0，0）使得△PEF是等边三角形，求x0的值．33．在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线﹣y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x0，y0），Q（x0，﹣y0）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）过坐标原点O作一条直线交轨迹E于A，B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C，连AC交轨迹E于点D，求证：AB⊥BD．34．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2＝2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l 与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．35．已知曲线Γ上的点到F（1，0）的距离比它到直线x＝﹣3的距离小2，过F 的直线交曲线Γ于A，B两点．（1）求曲线Γ的方程；（2）若，求直线AB的斜率；（3）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．36．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．（1）求双曲线C的方程；（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点，求实数k的值．37．已知点是椭圆C：的一个顶点，椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（x0，y0）是定点，直线交椭圆C于不同的两点A、B，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求点P的坐标，使得k1+k2＝0恒成立．38．已知双曲线C：的离心率为，点（4，2）在C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，且直线l与双曲线C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．39．已知命题P“双曲线﹣＝1上任意一点Q到直线l1：bx+ay＝0，l2：bx﹣ay＝0的距离分别记作d1，d2则d1，d2为定值”是真命题（1）求出d1•d2的值（2）已知直线l1，l2关于y轴对称且使得椭圆C：+＝1上任意点到l1，l2的距离d1，d2满足为定值，求l1，l2的方程（3）已知直线m与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆C交于M，N 两点，求|OM|+|ON|的最大值．40．椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆+＝1（a＞b＞0）有如下命题：AB是椭圆+＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝﹣，为定值．那么对于双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）则有命题：AB是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．41．如图，已知双曲线，过点P（0，﹣1）的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E（点D在y轴的左侧）．（1）若，求直线l的方程；（2）求的取值范围．42．已知双曲线C1：x2﹣＝1（b＞0），A（x A，b2）是C1上位于第二象限内的一点，曲线C2是以点C（0，b2+1）为圆心过点A的圆上满足y＞b2的部分．曲线Γ由C1上满足y≤b2的部分和C2组成．记F1，F2为C1的左、右焦点．（1）若△CF1F2为等边三角形，求x A；（2）若直线AC与Γ恰有两个公共点，求b的最小值；（3）设b＝1，过A的直线l与Γ相交于另外两点P、Q，求l的倾斜角的取值范围．43．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．44．已知曲线，Q为曲线C上一动点，过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2．（1）当Q运动到时，求的值；（2）设直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于M、N两点，与x轴正半轴交于T点，与y轴交于S点，若，，且λ+μ＝1，求证T为定点．45．设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示．（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值（其中O为坐标原点）．46．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．47．已知双曲线C的一个焦点为，且过点．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M（m，0）（﹣＜m＜）、N，设过点F1，N的直线l与C交于D，E两点．（Ⅰ）求C的标准方程；（Ⅱ）求△F2DE的面积最大值．48．直线上的动点P到点T 1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距离的3倍．（1）求点P的坐标；（2）设双曲线的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线的方程；（3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由．49．已知双曲线C1：的渐近线方程为y＝±x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且＝12．（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB 的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．50．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m 为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）高中数学《双曲线》大题50题答案解析1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．【解析】选①．因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c，所以a+c＝+＝3+，解得m＝3，故C的方程为﹣＝1；选②．若m＞0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝3，则故C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，b2＝﹣m，c2＝﹣3m，所以c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝﹣3，则C的方程为﹣＝1；选③．若m＞0，则a2＝m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝4，则C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝﹣2，则C的方程为﹣＝1．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）由题意可得c＝2，c﹣＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1；（2）证明：设F（2，0）设过F的弦AB所在的直线方程为：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则有中点M（+2，），联立直线AB与双曲线的方程：整理可得：（k2﹣3）y2+4ky+1＝0，因为弦AB与双曲线有两个交点，所以k2﹣3≠0，y1+y2＝，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，所以M（，）；（i）当k＝0时，M点即是F，此时直线MN为x轴；（ii）当k≠0时，将M的坐标中的k换成﹣，同理可得N的坐标（，﹣），①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率k MN＝＝，将M代入方程可得直线MN：y﹣＝（x﹣），化简可得y＝（x﹣3），所以直线MN恒过定点P（3，0）；②当直线MN垂直于x轴时，＝可得k＝±1，直线也过定点P（3，0）；综上所述直线MN恒过定点P（3，0）．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．【解析】（1）①当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k，则直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx﹣k+1联立方程，消去y得：（4﹣k2）x2﹣2k（1﹣k）x﹣[（1﹣k）2+4]＝0，∵直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点，∴△＝4k2（1﹣k）2+4（4﹣k2）[（1﹣k）2+4]＝0，化简得：80﹣32k＝0，∴，∴直线l的方程为：y＝，即5x﹣2y﹣3＝0，③当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，∵双曲线Γ的渐近线方程为：y＝±2x，∴直线l的斜率为±2，∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1）或y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0，综上所述，直线l的方程为：x＝1或5x﹣2y﹣3＝0或2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0；（2）假设点R在双曲线Γ上，不妨设直线l1方程为：y＝2x，设点A（x1，2x1），B（x2，2x2），点P（x0，y0），∵P关于点A的对称点记为Q，∴点Q（2x1﹣x0，4x1﹣y0），∵Q关于点B的对称点记为R．∴点R（2x2﹣2x1+x0，4x2﹣4x1+y0），∵点R在双曲线Γ上，∴，∴﹣＝1，∴，又∵点P（x0，y0）在双曲线Γ：x2﹣＝1上，∴x02﹣＝1，∴上式化为：4（x2﹣x1）•x0﹣2（x2﹣x1）•y0＝0，又∵x1≠x2，∴4x0＝2y0，∴y0＝2x0，又∵x02﹣＝1，∴，∴0＝1，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R不可能在双曲线Γ上．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．【解析】（1）双曲线I：，A（﹣2，0），B（2，0），由题意可得以A为圆心的圆经过B，则圆的半径r＝4，圆的方程为（x+2）2+y2＝16；（2）直线L过点A（﹣2，0），且直线的斜率存在，设直线L的方程为y＝k（x+2），（k＞0），联立双曲线方程消去y，可得（5﹣4k2）x2﹣16k2x﹣16k2﹣20＝0，可得x A+x P＝，可得x P＝，y P＝k（x+2）＝，可得AP的中点T坐标为（，），由题意可得k TB＝﹣，即为＝﹣，解得k＝（负的舍去），则直线L的方程为y＝（x+2）；（3）假设I上存在异于A、B点M、N，使+2＝成立．设M（x1，y1），N（x2，y2），由+2＝，可得x2＝2﹣2x1，y2＝﹣2y1，将M，N的坐标代入双曲线的方程可得﹣＝1，即﹣＝1，又﹣＝1，解得x1＝2，y1＝0，与B重合，故不存在．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．【解析】（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在y轴上，设其方程为：，且①，双曲线的渐近线方程为，即②．又∵a2+b2＝c2…③，由①②③可得．得双曲线方程为：；（Ⅱ）设轨迹上任一点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则依题意可知D点坐标为（0，y0），∵PD的中点为M，∴，即，∵点P在圆x2+y2＝3上运动，，得4x2+y2＝3，经检验所求方程符合题意，∴点M的轨迹方程为．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．【解析】（I）离心率为3，实轴长为1，即e＝＝3，a＝，可得c＝，F（﹣，0），可设抛物线的方程为y2＝2px，p＞0，可得＝，即p＝3，可得抛物线的方程为y2＝6x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+t，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1＝，x2＝，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，得y2﹣6my﹣6t＝0，由韦达定理得y1+y2＝6m，y1y2＝﹣6t，∵OM⊥ON，∴k OM•k ON＝•＝﹣＝﹣1，即t＝6，由△＝36m2+24×6＞0恒成立，则|MN|＝＝•＝6≥12，当且仅当m＝0时，|MN|取得最小值12．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l 与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【解析】（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得﹣＝，即|PA|﹣|PB|＝8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c＝10，2a＝8，即有c＝5，a＝4，b＝3，则P的轨迹方程为﹣＝1（x≥4），时刻t0时，|OP|＝4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y＝x+m，联立双曲线方程﹣＝1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144＝0，即有△＝（32m）2﹣28（16m2+144）＝0，且x1+x2＝﹣＞0，可得m＝﹣即l1：y＝x﹣与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d＝＝，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P 分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．【解析】（1）设C：，因为离心率为2，所以c＝2a，．所以C的渐近线为，由，得c＝2．于是a＝1，，故C的方程为．（2）方法一、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，．由题设，所以，，，MN中点坐标，于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．方法二、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，，由题设，所以，．设P（x，y）是圆D上点，则，即于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．【解析】（1）双曲线的a＝1，c＝，可令x＝c，解得y＝b＝b2，设M（c，b2），由∠MF1F2＝30°，可得b2＝2c tan30°＝，解得b＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1，可得双曲线的方程为y＝±x，即有tanθ＝||＝2，可得夹角θ＝arctan2；（2）当直线AB的斜率不存在，可得A（，2），B（，﹣2），可得△AF1B的面积为×2×4＝4；直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣），联立双曲线方程2x2﹣y2＝2，可得（2﹣k2）x2+2k2x﹣3k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2＝﹣＞0，x1x2＝﹣＞0，可得k2＞2，可得△AF1B的面积为S＝•2c•|y1﹣y2|＝•|k（x1﹣x2）|＝•|k|•＝|k|•，设t＝k2﹣2（t＞0），可得S＝4•＝4•＞4，综上可得△AF1B的面积的最小值为4；（3）设Q（m，n），可得2m2﹣n2＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，Q到直线y＝x的距离为d＝，由平行于直线y＝﹣x的直线y＝﹣（x﹣m）+n，联立直线y＝x，可得Q2（，），|OQ2|＝|n+m|，即有行四边形OQ1QQ2的面积为d•|OQ2|＝|n+m|•＝•|2m2﹣n2|＝•2＝．10．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意可得，即，所以双曲线方程为x2﹣3y2＝3b2，将点（2，1）代入双曲线方程，可得b2＝3，所以双曲线的标准方程为，c2＝a2+b2＝12，所以，所以抛物线的方程为．（Ⅱ）由题意知，l1，l2与坐标轴不平行，设直线l1的方程为，。

高考数学专题复习：双曲线(含解析)

高考数学专题复习：双曲线(含解析)

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。

双曲线基础专项练习含解析

双曲线基础专项练习含解析

双曲线一、单选题（共29题；共58分）1.已知双曲线的焦距为，则的离心率为（）A. B. C. D.2.已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A. 4B.C. 2D.5.实轴长为的双曲线上恰有个不同的点满足，其中，分别是双曲线的左、右顶点.则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.6.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )A. (－，0)B. (－，0)C. (－，0)D. (－，0)7.已知双曲线的离心率，且其右焦点,则双曲线的方程为（）A. B. C. D.8.已知双曲线的渐近线为，实轴长为，则该双曲线的方程为（）A. B. 或C. D. 或9.双曲线的焦点坐标是( )A. B. C. D.10.已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. (1,2), C. D.11.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为时，的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 612.已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.13.设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.14.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.15.双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. 或 C. D. 或16.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. 2B.C.D.17.过点，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）A. B. C. D.18.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.19.设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.20.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.21.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.22.已知双曲线：（，）的左右顶点分别为，，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 323.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 或 D. 或24.若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A. B. C. D.25.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A. B. C. D.26.已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A. B. C. D.27.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.28.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（）A. B. C. D.29.以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共13分）30.设为曲线上一点，，，若，则________．31.已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为________.32.若点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点与双曲线的左焦点的距离为________33.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为________.34.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为________．35.双曲线- =1的渐近线方程是________，实轴长为________．36.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，则双曲线C的标准方程为________．37.双曲线的一个焦点是，一条渐近线是，那么双曲线的方程是________38.已知双曲线（，）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为________.39.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为________．40.双曲线的其中一个焦点坐标为，则实数________.41.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为________.三、解答题（共5题；共55分）42.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求的面积.43.已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(4,6)．（1）求双曲线方程；（2）若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由.44.已知双曲线：的实轴长为2.（1）若的一条渐近线方程为，求的值；（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的标准方程.45.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）求的面积．46.双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且=0，求l的斜率．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知，所以，故，所以，故答案为：C.【分析】根据求得的值，进而求得双曲线离心率.2.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知双曲线的焦点为，，，三角形高是，，边的中点，，代入双曲线方程得：，整理得：，，，整理得，求得，，.故答案为：C.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点的坐标可得，进而求得边的中点的坐标，代入双曲线方程求得，和的关系式化简整理求得关于的方程求得．3.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】令，整理得，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：D【分析】令双曲线的为，从而得到方程，化简后即得渐近线方程．4.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的，，，一个焦点设为，，一条渐近线设为，可得一个焦点到一条渐近线的距离为.故答案为：C.【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．5.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可得，，，设，则由，得，整理得.由，得，因为双曲线上恰有个不同的点满足，所以方程有两不等实根，所以只需，解得，则.故答案为：A【分析】先由题意，得到，，，设，根据，得，再与双曲线联立，消去，得到，根据双曲线上存在个不同的点满足，得到只需，求出，进而可求出离心率的范围.6.【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由，可得，，由得，所以左焦点坐标为(－，0)故答案为：C【分析】将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解7.【答案】B【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由双曲线的离心率，且其右焦点为，可得，所以，所求双曲线的方程为，故答案为：B．【分析】由已知双曲线的离心率，右焦点为列式，得到，即可求出双曲线的标准方程.8.【答案】B【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所求双曲线的方程为: ;当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所以所求双曲线的方程为: .所以所求双曲线方程为: 或.故答案为：.【分析】根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在轴上时, ; 当双曲线的焦点在轴上时, ,结合可解得.9.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由得,故,故焦点坐标为故答案为：D【分析】将化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.10.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故答案为：．【分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．11.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的两个焦点坐标为，设的坐标为，则△的面积为，，，代入双曲线方程解得，不妨取，，，故答案为：．【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用△的面积为，确定的坐标，运用两点的距离公式，即可求得结论．12.【答案】B【考点】双曲线的应用【解析】【解答】因为为的边的中线，可知，双曲线上存在点满足，则，由，可知，则。

高考数学专题《双曲线》习题含答案解析

高考数学专题《双曲线》习题含答案解析

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。

双曲线曲线练习题含答案

双曲线曲线练习题含答案

双曲线曲线练习题含答案1. 求下列双曲线的渐近线方程：（1）$ x^2-4y^2+8x-32=0 $（2）$ x^2-9y^2=81 $（3）$ x^2+4y^2+4x+16=0 $答案：（1）$ y=\frac{x+4}{2} $ 或$ y=\frac{1}{2}x-4 $ （斜渐近线）（2）$ x+3\sqrt{y^2+1}=0 $ 或 $ x-3\sqrt{y^2+1}=0 $ （与 $ y $ 轴垂直的渐近线）、$ y=-\frac{x}{9} $ （斜渐近线）（3）$ y=-1 $ 或 $ y=-\frac{(x+2)^2}{16} $ （与 $ y $ 轴平行的渐近线）2. 求双曲线 $ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 $ 的离心率和焦距长度。

答案：离心率为 $ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{3} $，焦距长度为 $ c=\sqrt{a^2+b^2}=5 $。

3. 求双曲线 $ \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1 $ 与直线$ y=\frac{3}{5}x-2 $ 的交点坐标。

答案：设交点坐标为 $ (x_0, y_0) $，则 $ \frac{x_0^2}{25}-\frac{(\frac{3x_0}{5}-2)^2}{9}=1 $，解得 $ x_0=\frac{50}{7} $ 或$ x_0=-\frac{50}{7} $，代入方程即可得到交点坐标。

4. 判断曲线 $ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1 $ 是否关于直线$ y=-x $ 对称。

答案：首先求出曲线关于直线 $ y=-x $ 对称的公式为$ y=\frac{y_0}{x_0}x $，其中 $ (x_0,y_0) $ 是曲线上任意一点。

假设 $ A(a, b) $ 是曲线上的一点，则 $ B(-b,-a) $ 是曲线上的对称点。

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析1.双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点是抛物线y2=8x的焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF| =5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】C【解析】,根据抛物线的焦半径公式知：,,代入得,代入双曲线方程,,解得：,,，故选C.【考点】双曲线与抛物线的性质2.已知双曲线的实轴长为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的实轴长为2，所以,此双曲线的为等轴双曲线，所以离心率为.【考点】1.双曲线的方程；2.双曲线的性质.3.是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于 .【答案】9【解析】两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.【考点】双曲线的定义，距离的最值问题.4.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A．B．C．2D．3【答案】B【解析】通径|AB|=得，选B5.在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为．【答案】【解析】因为曲线的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为．因为过点,所以标准方程为.【考点】双曲线的性质6.双曲线的渐近线方程为【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，本题中，故渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线方程.7.已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】【解析】此题主要考查双曲线的内容，难度不大.由条件得，，从而双曲线方程为，故渐近线方程为.【考点】双曲线.8.已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】 (1，]【解析】根据双曲线定义，设，则|，故3r＝2a，即，即．根据双曲线的几何性质，，即，即，即e≤．又e＞1，故双曲线的离心率e的取值范围是(1，] ．故填(1，]9.如图，动点与两定点、构成，且，设动点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴相交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设M的坐标为（x，y），显然有x>0，．当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）当∠MBA≠90°时，x≠2．由∠MBA=2∠MAB，有tan∠MBA=，即化简得：，而点（2，±3）在曲线上，综上可知，轨迹C的方程为．（2）由消去y，可得．（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设，所以解得m>1，且m2．设Q、R的坐标分别为，由有，所以，由m>1，且m2，有所以的取值范围是．10.设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨设，则由已知，得，又，因此中最小角为，由余弦定理得，解得，所以，渐近线方程为，选B．【考点】双曲线的定义，余弦定理，渐近线方程．11.已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，弦所对圆心角为所以圆心到弦即渐近线的距离为因此有【考点】点到直线距离，双曲线的渐近线12.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义13.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则；此双曲线的离心率为．【答案】2；．【解析】由方程可得右焦点为，一条渐近线为，由，可得，，故，双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．14.双曲线左支上一点到直线的距离为，则（）A．2B．-2C．4D．-4【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式，得，即，因为双曲线左支上一点，故应在直线的上方区域，∴，∴.∵在双曲线上，∴，∴，∴.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.点到直线的距离公式.15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.【答案】（1）y2-x2=1 （2）x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3【解析】解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y).由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.16. 点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线C 2的离心率等于( ) A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】设A(x 0,y 0), ∵A 在抛物线上, ∴x 0+=p, ∴x 0=, 由=2px 0得y 0=p 或y 0=-p.∴双曲线渐近线的斜率==2.∴e===.故选C.17. 点A(x 0,y 0)在双曲线-=1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0= .【答案】2 【解析】由-=1可知,a 2=4,b 2=32,∴c 2=36,c=6,右焦点F(6,0), 由题意可得解方程组可得x 0=或x 0=2. ∵点A 在双曲线右支上, ∴x 0≥2,∴x 0=2.18. 已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A ．-=1B ．-=1C ．-=1D ．-=1【答案】A 【解析】-=1的焦距为10, ∴c=5=.①又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上, ∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故选A.19. 已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.【答案】(±4,0)x±y=0【解析】∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,∴c=4.∵e==2,∴a=2,∴b2=12,∴b=2.∵焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为y=±x,即y=±x,化为一般式为x±y=0.20.已知△ABC外接圆半径R=,且∠ABC=120°,BC=10,边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线方程为()A．-=1B．-=1C．-=1D．-=1【答案】D【解析】由正弦定理知sin∠BAC==,∴cos∠BAC=,|AC|=2Rsin∠ABC=2××=14,sin∠ACB=sin(60°-∠BAC)=sin60°cos∠BAC-cos60°sin∠BAC=×-×=,∴|AB|=2Rsin∠ACB=2××=6,∴2a=||AC|-|AB||=14-6=8,∴a=4,又c=5,∴b2=c2-a2=25-16=9,∴所求双曲线方程为-=1.故选D.21.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是()【答案】C【解析】通过直线斜率等于m,在y轴上的截距为n,从直线中可判断m,n的正负,从而确定nx2+my2=mn为椭圆还是双曲线,选项C中,从直线可以看出m>0,n<0,而nx2+my2=mn可化为+ =1,即焦点在x轴上的双曲线.22.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.(3)求△F1MF2的面积.【答案】(1) x2-y2=6 (2)见解析 (3)6【解析】(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∴=,=,·==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3. 故·=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0.方法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2. ∵M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴=6.23.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．24.双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是()A．m>B．m≥1C．m>1D．m>2【答案】C【解析】依题意，e＝，e2＝>2，得1＋m>2，所以m>1.25.设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．【答案】【解析】不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以∠PF2F1＝90°，求得|F1F2|＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝.26.已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.27.已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF< 即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF< ，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.28.已知0＜θ<，则双曲线C1：＝1与C2：＝1的()．A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】对于C1：a＝cos θ，b＝sin θ，c＝1，e＝；对于C2：a＝sin θ，b＝sin θtan θ，c＝tan θ，e＝.∴C1与C2离心率相等．29.如图，、是双曲线，的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】点是双曲线上的点，所以，是等边三角形，所以，,,,,所以根据余弦定理得：,将数据代入得：,整理得：即,,所以渐近线的斜率,故选D.【考点】1.双曲线的定义；2.渐近线方程；3.余弦定理.30.以双曲线＝1的右焦点为圆心，且被其中一条渐近线截得的弦长为6的圆的标准方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝25【解析】双曲线＝1的右焦点为(2，0)，渐近线方程为：y＝2x，则2＋32＝r2，解得r2＝25，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.31.已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】因为过0作直线的垂线，垂足为A，则,过点作直线的垂线，垂足为B.由于点O为的中点. ,所以点B是线段的中点，.又因为，.所以.所以在直角三角形中可得.所以可得.故选C.【考点】1.圆锥曲线的定义.2.等腰三角形的性质.3.直线与圆相切的性质.4.方程的思想.32.已知双曲线C1：的离心率为2，若抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线C1：的离心率为2．所以，即，所以；双曲线的渐近线方程为：，抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以，所以．抛物线C的方程为．2故选D．【考点】双曲线、抛物线及其几何性质.33.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .【答案】【解析】首先我们应该知道方程表示双曲线的条件是，因此本题中有，从而双曲线中，，条件虚轴长是实轴长的2倍即为，因此可得．【考点】双曲线的标准方程及双曲线的性质．34.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，双曲线的渐近线的倾斜角应大于或等于，，选D.【考点】双曲线的渐近线与离心率.35.已知双曲线的右焦点到其渐进线的距离为,则此双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】依题意知，.设，且均为正数.则右焦点为，其渐进线的方程为：.即.右焦点到其渐进线的距离为,即，.又由.所以.所以，即.【考点】点到直线的距离公式、双曲线的几何性质36.与圆及圆都相外切的圆的圆心在( )A．一个椭圆上B．一支双曲线上C．一条抛物线上D．一个圆上【答案】B【解析】圆的圆心是，半径；圆的圆心是，半径是.根据题意可知，所求的圆的圆心到定点与的距离之差是，由双曲线的定义可知，所求圆的圆心的轨迹是双曲线的一支，即圆心在一支双曲线上.【考点】双曲线的定义及性质37.已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于为等腰三角形，可知只需即可，即，化简得．【考点】双曲线的离心率.38.若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线：，=4，=1，所以a=2，b=1。

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双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是　． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 7．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 11．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。

《双曲线》练习试题经典(含答案解析)

《双曲线》练习试题经典(含答案解析)

《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）A．2 B．C．D．7的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A B C D8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)A.3B.62 C.63D.339．已知双曲线221(0,0)x ym nm n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的，则m等于( D )A ．9B ．4C ．2D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．83C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28 B ．14－82 C ．14＋8 2D ．8 213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。

双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。

2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。

3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。

4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。

5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。

6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。

圆锥曲线之----双曲线专题(附答案)

圆锥曲线之----双曲线专题(附答案)

圆锥曲线之----双曲线专题1. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得∠F 1PF 2=60°，|OP|=3b(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. 43B. 2√33C. 76D. √426【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a 2与c 2的关系是关键，也是难点，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．利用双曲线的定义与余弦定理可得到a 2与c 2的关系，从而可求得该双曲线的离心率． 【解答】解：设该双曲线的离心率为e ，依题意，||PF 1|−|PF 2||=2a ， ∴|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2，不妨设|PF 1|2+|PF 2|2=x ，|PF 1|⋅|PF 2|=y ， 上式为：x −2y =4a 2，① ∵∠F 1PF 2=60°， ∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|⋅cos60°=4c 2，② 即x −y =4c 2，②又|OP|=3b ，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=36b2， 即|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|⋅|PF 2|=36b 2，即x +y =36b 2，③由②+③得：2x =4c 2+36b 2， ①+③×2得：3x =4a 2+72b 2， 于是有12c 2+108b 2=8a 2+144b 2， ∴c 2a =76， ∴e =ca =√426． 故选D ．2. 过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为坐标原点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率为( )A. 1+√52B. √52C. √5D. 1+√32【答案】C【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．设F′为双曲线的右焦点，由题设知|EF|=b ，|PF|=2b ，|PF′|=2a ，再由|PF|−|PF′|=2a ，知b =2a ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ，∴|EF|=b ， 设F′为双曲线的右焦点，∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则E 为PF 的中点，OE 为△FPF′的中位线，∴|PF|=2b ，|PF′|=2a ，∵|PF|−|PF′|=2a ，∴b =2a ， ∴e =√1+(ba )2=√5， 故选：C3. 已知F 1，F 2分别是双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a,b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1,√2) D. (√2,+∞) 【答案】A【解析】解：如图1，不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =ab x 平行的直线为y =ab x +c ， 联立{y =a b x +cy =−a b x 解得{x =−bc2a y =c 2即M(−bc 2a ,c2) 因M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2+y 2=c 2内， 故(−bc 2a )2+(c2)2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2−a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线离心率e =ca >1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选：A ．不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =a b x 平行的直线为y =ab x +c ，联立直线组成方程组，求出M 坐标，利用点与圆的位置关系，列出不等式然后求解离心率即可． 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力．4. 若双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F(3,0)，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为P(−3,−6)，则E 的方程为( )A. x 25−y 24=1B. x 24−y 25=1C. x 26−y 23=1D. x 23−y 26=1【答案】D【解析】解：由题意可得直线l 的斜率为k =k PF =0+63+3=1， 可得直线l 的方程为y =x −3， 代入双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1可得(b 2−a 2)x 2+6a 2x −9a 2−a 2b 2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=6a2a2−b2，由AB的中点为P，可得6a2a2−b2=−6，即有b2=2a2，又a2+b2=c2=9，解得a=√3，b=√6，则双曲线的方程为x23−y26=1．故选：D．求出直线l的斜率和方程，代入双曲线的方程，化简可得x的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点坐标，可得a，b的方程组，解得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的焦点和联立方程组，运用韦达定理、中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. √2D. √5【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，则c=√a2+b2=√3a，进而得到离心率．【解答】解：设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，由|ON|=a，且ON为△F1F2A的中位线，可得|F2A|=2a，|F1N|=√c2−a2=b，即有|F1A|=2b，在直角三角形MF2A中，可得|MF2|=2√2a，即有|MF1|=2b+2a，由双曲线的定义可得|MF1|−|MF2|=2b+2a−2√2a=2a，可得b=√2a，∴c=√a2+b2=√3a，∴e=ca=√3．故选：A ．6. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,√2) B. (√2,+∞) C. (1,2) D. (2,+∞) 【答案】D【解析】【分析】可得M ，F 1，F 2的坐标，进而可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合abc 的关系可得关于ac 的不等式，结合离心率的定义可得范围．本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题． 【解答】解：联立{x 2a 2−y 2b2=1y =b a(x −c)，解得{x =c 2y =−bc 2a，∴M(c 2,−bc2a )，F 1(−c,0)，F 2(c,0)， ∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3c 2,bc 2a)，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,bc2a )， 由题意可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即b 2c 24a 2−3c24>0，化简可得b 2>3a 2，即c 2−a 2>3a 2， 故可得c 2>4a 2，c >2a ，可得e =ca >2 故选D ．7. 设双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N ，连结MF 2，NF 2，若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √6【答案】B【解析】解：若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得△MNF 2为等腰直角三角形，设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ， 由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 1|−|NF 2|=2a ，两式相加可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ，即有m =2√2a ，在直角三角形HF 1F 2中可得4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2， 化为c 2=3a 2，即e=ca=√3．故选：B．由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|=|NF2|=m，则|MN|=√2m，运用双曲线的定义，求得|MN|=4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(√3−1)a，则其离心率为()A. √3B. 2C. √3+1D. 2√3【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c−a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：如图：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S△AF1F2=12|AF2|⋅|F1F2|=12r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)，由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=|AF2|+|F1F2|−|AF1|2=2c−2a2=c−a=(√3−1)a，从而可以得出c=√3a，则离心率e=ca=√3，故选A．9.已知O为坐标原点，双曲线x2−y2b2=1(b>0)上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为()A. √17B. √15C. √5D. √3【答案】C【解析】解：由双曲线方程可得渐近线方程bx±y=0，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，则l的方程为：bx+y−bm−n=0，l与渐近线bx−y=0交点为A，则A(bm+n2b ,bm+n2)，|OA|=|bm+n2b|√1+b2，P点到OA的距离是：d=√b2+1，∵|OA|⋅d=1，∴|bm+n2b |√1+b2⋅bm−n√b2+1=1，∴b=2，∴c=√5，∴e=√5故选：C．求得双曲线的渐近线方程，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得b，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.倾斜角为30°的直线l经过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±xB. y=±12x C. y=±√32x D. y=±√52x【答案】A【解析】解：如图MF2为△ABF2的垂直平分线，可得AF2=BF2，且∠MF1F2=30°，可得MF2=2c⋅sin30°=c，MF1=2c⋅cos30°=√3c，由双曲线的定义可得BF1−BF2═2a，AF2−AF1=2a，即有AB=BF1−AF1=BF2+2a−(AF2−2a)=4a，即有MA=2a，AF2=√MA2+MF22=√4a2+c2，AF1=MF1−MA=√3c−2a，由AF2−AF1=2a，可得√4a2+c2−(√3c−2a)=2a，可得4a2+c2=3c2，即c=√2a，b=√c2−a2=a，则渐近线方程为y=±x．故选：A．由垂直平分线性质定理可得AF2=BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB= 4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．11. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. √52C. 2√33D. √3【答案】B【解析】解：如图，不妨设直线l 的斜率为−ab ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立{y =−a b (x −c)x 2a2−y 2b 2=1，得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0． ∴y =ab 3±a 2b 2(b 2−a 2)c．由题意，方程得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0的两根异号， 则a >b ，此时y A =ab 3+a 2b 2(b 2−a 2)c<0，y B =ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c>0．则ab 3+a 2b 2(a 2−b 2)c =3ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c，即a =2b ．∴a 2=4b 2=4(c 2−a 2)，∴4c 2=5a 2，即e =ca=√52． 故选：B ．不妨设直线l 的斜率为−a b ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解． 本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√3xC. y =±xD. y =±2x 【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a ，b 的关系，进而得到所求渐近线方程． 【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．13. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线x =a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. √5B. 1+√2C. 1+√5D. −1+√5【答案】D【解析】解：设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1的右焦点F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y =ba x ， 由x =a 代入渐近线方程可得y =b ， 则A(a,b)，可得AF 的中点为(a+c 2,12b)，代入双曲线的方程可得(a+c)24a 2−14=1，可得4a 2−2ac −c 2=0， 由e =ca ，可得e 2+2e −4=0，解得e =√5−1(−1−√5舍去)， 故选：D ．设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A 的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 的直线切圆x 2+y 2=a 2于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. y =±x B. y =±2xC. y =±12xD. y =±√32x 【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义和渐近线方程，属于中档题． 由已知可得|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′，由P 为线段FQ 的中点，知|QF′|=2a ，|QF|=2b ，由双曲线的定义知：2b −2a =2a ，由此能求出双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的渐近线方程．【解答】解：∵过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为P ，∴|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′， 由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得，P 为线段FQ 的中点， ∴|QF′|=2|OP |=2a,|QF |=2|PF |=2b,，由双曲线的定义知：|QF |−|QF′|=2b −2a =2a ， ∴b =2a ． ∴双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x =±2x ， 故选B ．15. 已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点.过点F 向C 的一条渐近线引垂线.垂足为A.交另一条渐近线于点B.若|OF|=|FB|，则C 的离心率是( )A. √62B. 2√33C. √2D. 2【答案】B【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线性质的常用方程，考查数形结合思想，属于中档题．方法一：由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求得|AF|，分别求得|OB|，|根据勾股定理|OB|2=|OA|2+|AB|2，求得a 和b的关系，即可求得双曲线的离心率； 方法二：利用余弦定理求得：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB =2c 2+2bc ，即可求得求得a 和b 的关系，即可求得双曲线的离心率；方法三：根据三角形的面积相等及渐近线方程求得A 点坐标，利用直角三角形的性质，即可求得a和b的关系，即可求得双曲线的离心率；方法四：求得双曲线的渐近线及AB的方程，联立即可求得A和B点坐标，根据等腰三角形的性质，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：方法一：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，|AB|=b+c，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，|OB|2=OA|2+|AB|2=a2+ (b+c)2．∴4a2=a2+(b+c)2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33，故选B．方法二：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a由∠OFB=π−∠OFA，cos∠OFB=cos(π−∠OFA)=−cos∠OFA=−bc，由余弦定理可知：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB=2c2+2bc，∴2c2+2bc=4a2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33故选B．方法三：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，根据三角形的面积相等，则A(a2c ,abc)，∴在Rt△OAB中，2a=2×2×abc ，即c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca=2√33故选B．方法四：双曲线的一条渐近线方程为y=ba x，直线AB的方程为：y=−ab(x−2)，{y=baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2cy=abc，则A(a2c,abc)，{y=−baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2ca2−b2y=−abca2−b2，则B(a2ca2−b2,abca2−b2)，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，则2×abc =abca2−b2，整理得：a2=3b2，∴e=c a=√1+b 2a =2√33， 故选：B ．16. 已知双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，P 是该双曲线上的点，P 在该双曲线两渐近线上的射影分别是A ，B ，则|PA|⋅|PB|的值为( )A. 45B. 35C. 43D. 34【答案】A【解析】解：双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，可得e 2=c 2a 2=(m+1)2+m 2(m+1)2=54， 解得m =1，即双曲线的方程为x 24−y 2=1，渐近线方程为x ±2y =0， 设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4， 由题意可得|PA|⋅|PB|=√1+4⋅√1+4=|s 2−4t 2|5=45．故选：A ．运用离心率公式，解方程可得m =1，求得渐近线方程，设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4，运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，化简整理的运算能力，属于中档题．17. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 29的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √173B. √176C. √105D. √102【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的定义和中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，知E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则|PF′|=2|OE|=23a ，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，由此能求出离心率． 【解答】解：由若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得E 为PF 的中点， 令右焦点为F′，O 为FF′的中点， 则|PF′|=2|OE|=23a ，由E 为切点，可得OE ⊥PF ， 即有PF′⊥PF ，由双曲线的定义可得|PF|−|PF′|=2a ， 即|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，即649a 2+49a 2=4c 2，即c =√173a ，则离心率e =c a =√173．故选A ．18. 已知双曲线M ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=2c.若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A. (1,2+√73) B. (1,2+√73] C. (1,2) D. (1,2]【答案】A【解析】解：由a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，在△PF 1F 2中，由正弦定理可得PF 2sin∠PF 1F 2=PF1sin∠PF 2F1， 可得3c ⋅PF 2=a ⋅PF 1，且PF 1−PF 2=2a联立可得PF 2=2a 23c−a >0，即得3c −a >0，即e =ca >13，…①又PF 2>c −a(由P 在双曲线右支上运动且异于顶点)， ∴PF 2=2a 23c−a >c −a ，化简可得3c 2−4ac −a 2<0， 即3e 2−4e −1<0，得2−√73<e <2+√73…②又e >1，③由①②③可得，e 的范围是(1,2+√73).故选：A ．利用正弦定理及双曲线的定义，可得a ，c 的不等式，结合PF 2>c −a ，即可求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，考查化简整理的圆能力，属于中档题．19. 设F 1，F 2是双曲线x 24−y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值等于( )A. 2B. 2√2C. 4D. 8【答案】A【解析】解：由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，则|F 1F 2|=2√5．即{|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20||PF 1|−|PF 2|=4， 得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选A ．先由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，得出|F 1F 2|=2√5.再由向量的数量积为0得出直角三角形PF 1F 2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．本题主要考查了双曲线的应用及向量垂直的条件．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．20. 已知双曲线y 2a 2−x2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 2，F 1，过F 1且倾斜角为锐角的直线1与圆x 2+y 2=a 2相切，与双曲线的上支交于点M.若线段MF 1的垂直平分线过点F 2，则该双曲线的渐近线的方程为( )A. y =±43xB. y =±34xC. y =±53xD. y =±35x【答案】B【解析】解：设MF 1与圆相切于点E ，因为|MF 2|=|F 1F 2|=2c ，所以△MF 1F 2为等腰三角形， N 为MF 1的中点， 所以|F 1E|=14|MF 1|，又因为在直角△F 1EO 中，|F 1E|2=|F 1O|2−a 2=c 2−a 2， 所以|F 1E|=b =14|MF 1|①又|MF 1|=|MF 2|+2a =2c +2a ②， c 2=a 2+b 2 ③ 由①②③可得c 2−a 2=(c+a 2)2， 即为4(c −a)=c +a ，即3c =5a ， b =√c 2−a 2=√259a 2−a 2=43a ， 则双曲线的渐近线方程为y =±ab x ， 即为y =±34x.故选：B ．先设MF 1与圆相切于点E ，利用|MF 2|=|F 1F 2|，及直线MF 1与圆x 2+y 2=a 2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．21. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是( )A. 2B. √62C. 2√105D. √2【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键．设渐近线方程为y =b a x ，则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，由中点公式求得中点B 的坐标，再把点B 的坐标代入双曲线求得离心率． 【解答】解：由题意设渐近线方程为y =ba x ， 则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)， 代入渐近线方程y =b a x 可得A 的坐标为(a 2c ,abc)，B 是线段AF 2的中点(c+a 2c2,ab2c )，根据中点B 在双曲线C 上， ∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故选：D ．22. 已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM|=2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2=( )A. 1+√172B. 1+√174C. 2+√52D. 2+√54【答案】A【解析】解：由题意可设F(c,0)，一条渐近线方程为y =ba x ， 可得M(c,bca )， 即有2a =bc a ，即bc =2a 2，即b 2c 2=4a 4，即(c 2−a 2)c 2−4a 4=0，由e=c可得e4−e2−4=0，a(负的舍去)，解得e2=1+√172故选：A．设出F的坐标和一条渐近线方程，求得M的坐标和|FM|，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

双曲线专题复习(附答案)

双曲线专题复习(附答案)

双曲线专题考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

2. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||题型2 求双曲线的标准方程3.已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.4.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 5.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________. [解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x 6.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=>C ．1822=+y x （x > 0）D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．(方法2) ac a PF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ， 双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于35,421≤∴≥-+e a c a (方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53．8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ）A ．215+B ．2C ．215+或2 D ．不存在[解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，ca a ED 2+=，=+∴c a a 2c ab ⋅3，2=∴e题型2 与渐近线有关的问题9.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.5D.2[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122222=+==ab ac e ,所以5=e10.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x基础巩固训练1..已知双曲线的两个焦点为1(10,0)F -、2(10,0)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -= [解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A2..已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） (A).),21(+∞+ (B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3([解析] 210122122222+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c ca b ，选B3.曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对[解析] 方程)6(161022<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴的双曲线，)5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A 综合提高训练4. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程[解析]（1）依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n-=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 43±=，． （2）设渐近线x y 43±=与直线c x l =:交于A 、B ，则23||c AB =，=⋅=∆2321c c S OAB 43，解得1=c 即122=+b a ，又43=a b ，193,191622==∴b a 双曲线的方程为1319161922=-y x 5..已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为()3,0.（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （2）将2=+y kx 代入2213-=x y 得22(13)6290---=k x kx 由直线l 与双曲线交与不同的两点得()22221306236(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则 22629,1313-+==--A B A B x y x y k k，由2∙>OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x2222296237(1)222131331-+=+++=---k k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①+②得2113<<k 故的取值范围为33(1,),133⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭。

高中数学双曲线习题及答案解析

高中数学双曲线习题及答案解析

双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。

《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A（2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y（3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量． （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=． 由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果． 解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+． 又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)． 说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ． (2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--a y a x ．(3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹． 说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．∴所求双曲线方程为13232422=--x y ．说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．。

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双曲线专题
一、学习目标：
1.理解双曲线的定义；
2.熟悉双曲线的简单几何性质；
3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.
二、知识点梳理
定 义
1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于
2
1F F ）的点的轨迹
2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e
e （＞1）的点的轨迹
标准方程
-2
2a x 22
b y =1()0,0>>b a -22a y 22
b
x =1()0,0>>b a 图 形
性质
范围
a x ≥或a x -≤，R y ∈
R x ∈，a y ≥或a y -≤
对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
渐近线
x a
b
y ±
= x b
a y ±
= 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B
焦点 ()0,1c F -，()0,2c F
()c F -,01，()c F ,02
轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2
离心率
1>=
a
c
e ，其中22b a c += 准线
准线方程是c a x 2
±=
准线方程是c
a y 2
±=
三、课堂练习
1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1有相同的焦点，则a 的值是( )
A.1
2 B ．1或－2 C ．1或1
2
D ．1
2.已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．
3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.x 29－y 2
＝1 B ．x 2－y
29＝1
C.x 23－y 2
7＝1
D.x 27－y 2
3＝1
5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．
6.已知双曲线x 26－y 2
3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )
A.365
B.566
C.65
D.56
7.已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝1
2sin C .
(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．
8.双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？。

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