2013年陕西高考数学试卷
2013年高考试题及答案陕西卷理数
掌门1对1教育 高考真题 2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数2()1f x x =-M , 则C M R 为 (A) [－1,1] (B) (－1,1) (C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D) 4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假．命题是(A) 若12||0z z -=, 则12z z =(B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定输入x If x ≤50 Then y =0.5 * x Elsc y =25+0.6*(x -50)End If 输出y. 1DBEF8. 设函数61,00.,(),x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝-≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位:m )的取值范围是(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ](C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 . 13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 . 14. 观察下列等式: 211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为 .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 . B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E ,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE＝ .C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .x 40m 1121ED O A BθP O x(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期；(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分)设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA ==OD 1B 1C 1D ACA 1(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.(Ⅲ) 设a <b , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
2013年陕西高考数学(理)20题解法赏析与探究
［ 关键词］ 高考题 ； 定点； 圆锥 曲线； 切线 ； 几何作 图 ［ 中图分类号］ Ｇ ６ ２ ３ ［ 文献标识码］ Ａ ［ 文章编号］ ２ ０ ９ ５ － ３ ７ １ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ３ ２ － ０ ０ ５ ９ — ０ ３
一
、
试题 再 现
２ ｋ ｘ １ ２ ＋ （ ｋ ＋ ｂ ） （ １ ＋ ２ ） ＋ ２ ｂ （ １ ＋ １ ） （ ２ ＋ １ ）
程式 比较复杂 ， 对计算要求较高； 解法二是典型的 设而不求的解法 ， 大大减少 了运算 ； 解法三结合图 形特点先猜测后求解证明， 是解决有关定值问题的
【 Ｙ １ ＋ ） ， ２ ＝ ８ ｍ
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常 用手段 ， 使 用 轴上 的截 距 式 ， 也简化 了运算 ； 解 法 四把定 点 问题转 化 为两动 直线 的交点 ， 让 问题 变
第２ 卷 第３ ２ 期
２ ０ １ ３ 年 １ １ 月
教 育观 察
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ＮＯ Ｖ． ２ ０１ ３
２ ０ １ ３年 陕西 高 考 数 学 （ 理） ２ Ｏ题 解 法 赏 析 与探 究
＋ ｍ ｙ２＋ ａ ） ｍ ｙ （ ｙ１＋ （ １＋ ａ ） ｙ ２ Ｙ１＋Ｙ２
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2013年陕西高考数学试题及答案(文科)
2013年陕西高考数学试题及答案(文科)一、选择题1． 设全集为R ，函数f(x)＝1－x 的定义域为M ，则∁M 为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)1．B [解析] M ＝{x|1－x ≥0}＝{x|x ≤1}，故∁M ＝ (1，＋∞)．2． 已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2C ．－2或 2D ．02．C [解析] 因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m2，解得m ＝2或－2.3． 设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc)＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c 3．B [解析] 利用对数的运算性质可知C ，D 是错误的．再利用对数运算性质log a b ·log c b≠log c a.又因为log a b ·log c a ＝lg b lg a ×lg a lg c ＝lg blg c＝log c b ，故选B.4． 根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )输入x ；If x ≤50 Then y ＝0.5*xElsey ＝25＋0.6*(x －50)End If 输出y.A ．25B ．30C ．31D ．614．C [解析] 算法语言给出的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6（x －50），x>50，输入x ＝60时，y ＝25＋0.6(60－50)＝31.5．， 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图1－1为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )图1－1A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.455．D [解析] 利用统计图表可知在区间[25，30)上的频率为：1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15，20)上的频率为：0.04×5＝0.2，故所抽产品为二等品的概率为0.25＋0.2＝0.45.6．， 设z 是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<06．C [解析] 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈)，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ，若z 2≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0， 即b ＝0，故z 是实数，A 正确．若z 2<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0， 故B 正确．若z 是虚数，则b ≠0，z 2＝a 2－b 2＋2abi 无法与0比较大小，故C 是假命题．若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0， z2＝－b 2<0，故D 正确．7． 若点(x ，y)位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．27．A [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x ∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A(－2，2)时，z 取最小值，为2×(－2)－2＝－6.8． 已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定8．B [解析] 由题意点M(a ，b)在圆x 2＋y 2＝1外，则满足a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线ax ＋by ＝1与圆O 相交．9． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．A [解析] 结合已知bcos C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理可知sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin Asin A ，即sin (B ＋C)＝sin 2A ⇒sin A ＝sin 2A ⇒sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．10． 设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )A ．[－x]＝－[x] B.⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[x] C ．[2x]＝2[x] D ．[x]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[2x] 10．D [解析] 可取特值x ＝3.5，则[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A错．[x ＋12]＝[3.5＋0.5]＝4，而[x]＝[3.5]＝3，故B 错. [2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故C错．[x]＋ [x ＋12]＝7，而[2x]＝[7]＝7，故只有D 正确．11． 双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．11.54 [解析] 由双曲线方程中a 2＝16, b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝25，则e ＝c a ＝54. 12． 某几何体的三视图如图1－2所示，则其表．面积为________．图1－212．3π [解析] 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S ＝12×4π×12＋π×12＝3π.13． 观察下列等式 (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ……照此规律，第n 个等式可为______________． 13．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1) [解析] 结合已知所给定的几项的特点，可知式子左边共n 项，且从(n ＋1)一直到(n ＋n)，右侧第一项为2n ，连乘的第一项为1，最后一项为(2n －1)，故所求表达式为：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)．14． 在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为______(m)．图1－314．20 [解析] 利用所给的图形关系，由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边长为y ，则x 40＝40－y 40，所以y ＝40－x ，又有xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y 时等号成立，则x ＝40－x ，即x ＝20，故矩形面积最大时x 的值为20.15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ． (不等式选做题)设a ，b ∈，|a －b|>2，则关于实数x 的不等式|x －a|＋|x －b|>2的解集是________．(－∞，＋∞) [解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x －a|＋|x －b|≥|(x －a)－(x －b)|＝|b －a|＝|a －b|.又由|a －b|>2恒成立，故不等式解集为(－∞，＋∞)．B ． (几何证明选做题)如图1－4所示，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________．图1－46 [解析] 利用已知图形关系可得∠BCE ＝∠PED ＝∠BAP ，可得△PDE ∽△PEA ，可得PE PA ＝PDPE，而PD ＝2DA ＝2，则PA ＝3，则PE 2＝PA·PD ＝6，PE ＝ 6. C ． (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t ，(t 为参数)的焦点坐标是________．(1，0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y 2＝4x ，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．16．， 已知向量＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈，设函数f(x)＝ (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质， 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在[0，π2]上最大值是1，最小值是－12.17． 设S n 表示数列{}a n 的前n 项和．(1)若{}a n 是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n1－q .判断{}a n 是否为等比数列，并证明你的结论．17．解： (1)方法一：设{}a n 的公差为d ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋[a 1＋(n －1)d]，又S n ＝a n ＋(a n －d)＋…＋[a n －(n －1)d]， ∴2S n ＝n(a 1＋a n )，∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.方法二：设{}a n 的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋[a 1＋(n －1)d]， 又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d]＋[a 1＋(n －2)d]＋…＋a 1，∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d]＋[2a 1＋(n －1)d]＋…＋[2a 1＋(n －1)d] ＝2na 1＋n(n －1)d ，∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d.(2){}a n 是等比数列．证明如下：∵S n ＝1－q n1－q ，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n＝1－q n ＋11－q －1－q n 1－q ＝q n （1－q ）1－q＝q n .∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有 a n ＋1a n ＝q n q n －1＝q.因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．18．， 如图1－5，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.图1－5(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．18．解： (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⃘平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C. 又A 1B ⃘平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1，又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD －A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.19． 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 ABCDE人数50 100 150 150 50(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；组别 A B C D E 人数 5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．19．解： (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E 人数 5010015015050抽取人数3 6 9 9 3(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{}a 1，a 2，a 3和{}b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6中各抽取1人的所有结果为：图1－6由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.20．， 已知动点M(x ，y)到直线l ：x ＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P(0，3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．解： (1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2（x －1）2＋y 2.化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0.由求根公式得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.②又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k2，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以，直线m 的斜率为－32或32.方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2，0)或(－2，0)，所以，直线m 的斜率为－32或32.21．， 已知函数f(x)＝e x ，x ∈(1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f(x)与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；(3)设a<b ，比较f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2与f （b ）－f （a ）b －a 的大小，并说明理由．21．解： (1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x ，设所求切线的斜率为k ，∵g ′(x)＝1x ，∴k ＝g′(1)＝1.于是在点(1，0)处切线方程为y ＝x －1.(2)方法一：曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝e x －12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x ＝0.又φ′(x)＝e x －x －1，令h(x)＝φ′(x)＝e x －x －1， 则h′(x)＝e x －1.当x<0时，h ′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减； 当x>0时，h ′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x)在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x)在上的最小值为φ′(0)＝0， ∴φ′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x)在上是单调递增的， ∴φ(x)在上有唯一的零点．故曲线y ＝f(x)与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点．方法二：∵e x >0，12x 2＋x ＋1>0，∴曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线y ＝12x 2＋x ＋1e x 与直线y ＝1公共点的个数．设φ(x)＝12x 2＋x ＋1e x，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x)＝（x ＋1）e x －⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋1e x e 2x＝－12x 2e x ≤0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x)在上单调递减，∴φ(x)与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f(x)与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．(3)f （b ）－f （a ）b －a －f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝e b－e ab －a －e a ＋b 2 ＝e b －e a －be a ＋b 2＋ae a ＋b 2b －a ＝ea ＋b2b －a⎣⎡⎦⎤e b －a 2－e a －b 2－（b －a ）.设函数u(x)＝e x －1e x －2x(x ≥0)，则u′(x)＝e x ＋1e x －2≥2e x ·1ex －2＝0.∴u ′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴u(x)单调递增．当x>0时，u(x)>u(0)＝0.令x ＝b －a 2，则得e b －a 2－e a －b 2－(b －a)>0.∴f （b ）－f （a ）b －a >f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.。
2013陕西省高考压轴卷 数学(文)试题百名特级教师押题 押中一分 改变一生
2013年普通高等学校招生全国统一考试（·陕西卷·压轴卷）
文科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合{1,0,1},{||1|,}A B x x a a A =-==+∈，则A B 中的元素的个数为 A ．{}0 B ．{}1 C ．{}0,1 D ．{}0,1,2
2.复数i 1i
31-+的共轭复数是
A.
22
B.
.22-
C. 22+
D. 22-
3.下列函数一定是偶函数的是
A. cos(sin )y x =
B. sin cos y x x =
C. ()cos ln y x =
D. cos sin y x x =-
4．已知向量b a ,
满足||1,(1,a b ==- ，且()b a a +⊥，则a 与b 的夹角为
A ． 60
B ． 90
C ． 120
D ． 150
5.已知q 是等比数列{}n a 的公比，则“1q <”是“数列{}n a 是递减数列”的
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是124，则判断框①处应填入的条件是
A.2n >
B. 3n >
C. 4n >
D. 5n >。
2013年高考数学陕西卷压轴题讲解
学 陕西卷
厘曲囤
１ 文科 试 题 高考 数 学陕 西卷 文科 第 ２ １ 题， １ ４
分） 已知 函数 厂（ ｚ ） 一ｅ ， ｚ ∈Ｒ． （ Ｉ） 求 － 厂 （ ｚ） 的反 函数 的 图象 上 点 （ １ ， ０ ） 处 的切 线方 程 ；
因 为 （ Ｏ ） 一１ —１ —０ ， 所 以 （ ） 存 在零 点 ＝ｏ ．
又 ∞ （ ｚ） 一 ～ 工一 １，
（ 相对难度） ， 控制试题 、 试 卷 的难 度 “ 说 来 容 易做 来 难” ． 当然 ， 首 先要保 证科 学性 ， 严 禁 超纲 ， 但是 ， 错题 、 错 解 和疏漏 仍会 出现 ， 至 于高等 数学 成 题简 单 下放 是
的一个 常识 ． 试 题 难 度 是 被 试 者 对 试 题 的适 应 程 度
（ Ⅲ ） 设 ｎ ＜ ６ ， 比 较厂 （ ） 与
小， 并 说 明理 由．
１ ． １ 文科试题 解法 １
的 大
讲解 ： （Ｉ） 厂 （ ｚ ） 的反 函数 为 ｇ （ ｚ） 一Ｉ ｎ ｚ ． 设 所 求
…
…
…
掌嫠 雩 … ～ … … … … …… … … …
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…
２ ０ １ ３ｉ ｆ － 第９ 期 （上 甸 ）
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卷
２ ０ １ ３年 高 考数 学 陕 西 卷 文 、 理 科 压 轴 的是 一 对 导 数应 用 的姐 妹 题 ， 包 含 求 切线 方 程 （ 几 何 应用 ） 、 讨 论 两条 曲线 的公 共 点 （ 数形结合） 和 定 积 分 背 景 的不 等 式证 明 （ 代 数应 用 ） 三 部 分 内容． 结 果显 示 ： 理科 ２ ０
[VIP专享]2013年高考真题——理科数学(陕西卷)解析版
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理科数学
注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题. 2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的 试卷类型信息. 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
【解析】显然本题考查几何概型，必须看清楚题目中加点字！！所以
1 £ 2 ¡ 1¼
【解析】由1 ¡ x2 ¸ 0得¡ 1 · x · ¡ 1，故CR M = f xjx < ¡ 1or x > 1g选 D
2. 根据下列算法语句, 当输入x为 60 时, 输出y的值为 (A) x If x≤50 Then
y=0.5 * x Else
y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y
(D) 61
( 0:5x
【解析】由算法语句可得y = f (x) = 25 + 0:6(x ¡ 50)
x · 50
x
>
故f 50
(60)
=
31选 C
3. 设 a, b 为向量, 则“ | a·b || a || b | ”是“a//b”的
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5*+*÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
2013年陕西高考数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为 D(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为C (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 C (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 B (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 A(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D)4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 D(A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC的1形状为 B (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形 (D) 不确定8.设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 A (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是 C(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30] (D) [20,30] 10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 D(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ](C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 9 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 ∏/3 .13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 -4 . 14. 观察下列等式: 211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为.15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 2 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝.C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θx为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为.三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD,1AB AA ==1A(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是 的角平分线, 证明直线l过定点.PBQ21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.(Ⅲ) 设a <b , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.。
2013年高考(新课标I卷)理科数学试卷(word版精编精校含答案详解)供河北、河南、山西、陕西使用
2013年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（新课标I 卷）使用省份：河北、河南、山西、陕西注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合{}022>-=x x x A ，{}55B <<-=x x ，则（A ）=B A ∅ （B ）R =B A （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆（2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单的随机抽样 （B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样（4）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为 （A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=（5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于（A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，-（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π（7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）8π16+（B ）8π8+（C ）π6116+（D ）16π8+（9）设m 为正整数，()m y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()12++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。
2013陕西高考理数真题(文字版).doc
2013陕西高考理数真题（文字版）1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) (D)2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为(A) 25(B) 30(C) 31(D) 613. 设a, b为向量, 则是a//b 的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11(B) 12(C) 13(D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A) (B)(C) (D)6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若, 则(B) 若, 则(C) 若, 则(D) 若, 则7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定8. 设函数, 则当x 0时, 表达式的展开式中常数项为(A) －20(B) 20(C) －15(D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是(A) [15,20](B) [12,25](C) [10,30](D) [20,30]10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有(A) [－x] ＝－[x](B) [2x] ＝2[x](C) [x＋y] [x]＋[y](D) [x－y] [x]－[y]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线的离心率为, 则m等于.12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.13. 若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为.14. 观察下列等式:True照此规律, 第n个等式可为.15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为.B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E 作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝.C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为.三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量, 设函数.(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分)设是公比为q的等比数列.该文章转载自无忧考网：。
2013陕西省高考压轴卷 数学(理)试题百名特级教师押题 押中一分 改变一生
2013年普通高等学校招生全国统一考试
（·陕西·压轴卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合{1,0,1},{||1|,}A B x x a a A =-==+∈，则A B 中的元素的个数为
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}0,1
D ．{}0,1,2
2.复数i 1i
31-+的共轭复数是
A.
22
B.
.22-
C. 1122i +-+
D. 1122+--
3.下列函数一定是偶函数的是
A. cos(sin )y x =
B. sin cos y x x =
C. ()cos ln y x =
D. cos sin y x x =-
4．已知向量b a ,
满足||1,(1,a b ==- ，且()b a a +⊥，则a 与b 的夹角为
A ． 60
B ． 90
C ． 120
D ． 150
5.已知q 是等比数列{}n a 的公比，则“1q <”是“数列{}n a 是递减数列”的
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是124，则判断框①处应填入的条件是
A.2n >
B. 3n >
C. 4n >
D. 5n >。
历届最难的高考数学题
历届最难的高考数学题
高考是每个学生都非常重要的考试，而数学也是高考中最难的一科。
历届高考数学题目中，有些题目难度极高，考生们也会因此感到非常头痛。
以下是历届最难的高考数学题：
1. 2011年陕西高考数学卷，第29题：
已知 a+b+c=3，求 ab+bc+ca 的最小值。
2. 2013年全国2卷数学高考试题，第21题：
设函数 f(x) = ax+bx+cx+d，其中a ≠ 0。
已知 f(-1) = f(0) = f(1) = 0，f'(x) 的图象在 x=1 处的斜率为 9。
求 f(2) 的值。
3. 2014年江苏高考数学卷，第10题：
已知函数 f(x) = x-3x+5x-17，g(x) = f(x+3)，x∈R。
求
g(x) 的最小值。
以上三个题目都需要考生们有很强的数学思维和计算能力，需要细心分析题目中的条件并进行推理，才能得出正确的答案。
考生们需要好好准备，提高自己的数学能力，才能在高考中取得好成绩。
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2013年陕西高考数学试题及答案(理科)
2013年陕西高考数学试题及答案(理科)一、选择题1． 设全集为，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁M 为( ) A ．[－1，1] B ．(－1，1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1．D [解析] 要使二次根式有意义，则M ＝{x ︱1－x 2≥0}＝[－1，1]，故∁M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． 根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )输入x ；If x ≤50 Then y ＝0.5*x Elsey ＝25＋0.6*(x －50) End If 输出y .A ．25B ．30C ．31D ．612．C [解析] 算法语言给出的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6（x －50），x >50，输入x ＝60时，y ＝25＋0.6(60－50)＝31.3．， 设，为向量，则“|＝是”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 由已知中|＝可得，与同向或反向，所以又因为由，可得|cos 〈，〉|＝1，故|＝||cos 〈a ，b 〉|＝||，故|·|＝||·||是∥的充分必要条件．4． 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．144．B [解析] 由系统抽样定义可知，所分组距为84042＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481，720]的数目为(720－480)÷20＝12.5． 如图1－1，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )图1－1A ．1－π4 B.π2－1C ．2－π2 D.π45．A [解析] 阅读题目可知，满足几何概型的概率特点，利用几何概型的概率公式可知：P ＝2－π22＝1－π4.6． 设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 226．D [解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈)，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ＝0⇒a ＝c ，b ＝d ，故A 正确．若z 1＝z 2，则a ＝c ，b ＝－d ，所以z 1＝z 2，故B 正确．若|z 1|＝|z 2|，则a 2＋b 2＝c 2＋d 2，所以z 1·z 1＝z 2·z 2，故C 正确．又z 21＝(a 2－b 2)＋2ab i ，z 22＝(c 2－d 2)＋2cd i ，由a 2＋b 2＝c 2＋d 2不能推出z 21＝z 22成立，故D 错．7． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．B [解析] 结合已知b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理代入可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ⇒sin(B ＋C )＝sin 2A ⇒sin A ＝sin 2A ⇒sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．8．， 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 8．A [解析] 由已知表达式可得：f [f (x )]＝1x －x 6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 61x6－r(－x )r ＝C r 6·(－1)r ·x r －3，令r －3＝0，可得r ＝3，所以常数项为T 4＝－C 36＝－20.9． 在如图1－2所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )图1－2A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]9．C [解析] 如下图，可知△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则x 40＝40－y40，所以y ＝40－x .又xy ≥300，所以x (40－x )≥300，即x 2－40x ＋300≤0，则10≤x ≤30.10． 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]10．D [解析] 可取特值x ＝3.5，则[－x ]＝[－3.5]＝－4，－[x ]＝－[3.5]＝－3，故A 错．[2x ]＝[7]＝7，2[x ]＝2[3.5]＝6，故B 错．再取y ＝3.8，则[x ＋y ]＝[7.3]＝7，而[3.5]＋[3.8]＝3＋3＝6，故C 错．只有D 正确．11． 双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．11．9 [解析] 由a 2＝16，b 2＝m ，则c 2＝16＋m ，则e ＝16＋m 4＝54，则m ＝9. 12． 某几何体的三视图如图1－3所示，则其体积为________．图1－312.π3 [解析] 由三视图还原为实物图为半个圆锥，则V ＝12×13×π×12×2＝π3. 13． 若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．13．－4 [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x －1∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A (－1，2)时，z 取最小值为－4.14． 观察下列等式： 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝612－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________． 14．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n （n ＋1）2[解析] 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n 项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n （n ＋1）2. 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．2 [解析] 利用柯西不等式式可得：(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.B ．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图1－46 [解析] 利用已知可得，∠BCE ＝∠PED ＝∠BAP ，可得△PDE ∽△PEA ，可得PEP A ＝PDPE，而PD ＝2DA ＝2，则P A ＝3，则PE 2＝P A ·PD ＝6，PE ＝ 6. C ．(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图1－5⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数) [解析] 设P (x ，y )，则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0⇒x －122＋y 2＝14，表示以12，0为圆心，半径为12的圆，可得弦OP ＝1×cos θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OP ·cos θ，y ＝OP ·sin θ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ，故已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)． 16．， 已知向量＝cos x ，－12，＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈，设函数f (x )＝(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 16．解：f (x )＝cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f π2＝12，∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在0，π2上最大值是1，最小值是－12.17． 设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．17．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， 即a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，即a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 18．， 如图1－6，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2. (1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．图1－118．解：(1)方法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图． ∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1.∴A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，1)． 由A 1B 1→＝AB →，易知B 1(－1，1，1)． ∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)， BB 1→＝(－1，0，1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D . 方法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， ∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2， ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又 BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1. ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量＝(x ，y ，z )．∵OC →＝(－1，0，0)，OB 1→＝(－1，1，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z .取＝(0，1，－1)， 由(1)知，A 1C →＝(－1，0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.19． 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望． 19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”， B 表示事件“观众乙选中3号歌手，”则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P (AB )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )] ＝23×25＝415.或P (AB )＝C 12·C 34C 23·C 35＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”． 则P (C )＝C 24C 35＝35.∵X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475.P (X ＝1)＝P (AB C )＋P (ABC )＋P (A BC ) ＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P475207533751875∴X 的数学期望EX ＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815.20．， 已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．20．解：(1)如图所示，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意， |O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝（x －4）2＋y 2， ∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42. 化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由求根公式得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2.②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1.即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1，0)． 21． 已知函数f (x )＝e x ，x ∈(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值； (2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数； (3)设a <b ，比较f （a ）＋f （b ）2与f （b ）－f （a ）b －a的大小，并说明理由．21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝1x 0， 解得x 0＝e 2，k ＝1e2.(2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线y ＝e xx2与直线y ＝m 的公共点个数．令φ(x )＝e xx 2，则φ′(x )＝e x （x －2）x 3，∴φ′(2)＝0.当x ∈(0，2)时，φ′(x )<0，φ(x )在(0，2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e 24.当0<m <e 24时，曲线y ＝e xx2与直线y ＝m 无公共点；当m ＝e 24时，曲线y ＝e xx2与直线y ＝m 恰有一个公共点；当m >e 24时，在区间(0，2)内存在x 1＝1m ，使得φ(x 1)>m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)>m ，由φ(x )的单调性知，曲线y ＝e xx2与y ＝m 恰有两个公共点．综上所述，x >0时，若0<m <e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若m ＝e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若m >e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)方法一：可以证明f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a.事实上，f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a ⇔e a ＋e b 2>e b －e a b －a ⇔b －a 2>e b －e a e b ＋e a ⇔b －a 2>1－2e a e b ＋e a⇔b －a 2>1－2e b －a ＋1(b >a )．(*)令φ(x )＝x 2＋2e x ＋1－1(x ≥0)，则φ′(x )＝12－2e x（e x ＋1）2＝（e x ＋1）2－4e x 2（e x ＋1）2＝（e x －1）22（e x ＋1）2≥0(仅当x ＝0时等号成立)．∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴x >0时，φ(x )>φ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 方法二：f （a ）＋f （b ）2－f （b ）－f （a ）b －a＝e b ＋e a 2－e b －e ab －a＝b e b ＋b e a －a e b －a e a －2e b ＋2e a2（b －a ）＝e a 2（b －a ）[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2]． 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x ≥0)， 则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x >0时，u ′(x )>u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增． 当x >0时，u (x )>u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2>0， ∴e b ＋e a 2－e b －e ab －a>0， 因此，f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a.。
2013年陕西省高考数学答案解析(包含理数和文数)
2013年陕西省高考数学卷答案第一部分 理数答案一、选择题：1、D2、C3、A4、B5、A6、D7、B8、A9、C 10、D 二、填空题：11、9 12、3/π 13、-414、()N *1n 21n 2222n 21n n 1n 14321∈+=+⋯+-+---++）（）（）（ 15： A 、2 ， B 、6 ， C 、πθθθ<≤=+=0,2sin 41y 2cos 4121x ；。
三、解答题: 16.17.解：18. 解：19. 解：20. 解：21. 解：第二部分 文数答案一、选择题1、B2、C3、B4、C5、D6、C7、A8、B9、A 10、D二、填空题 11、4512、π3 13、()*n )12(5312)()3)(2)(1(N n n n n n n n∈-⋅⋅⋅⋅=++++14、20 15、 A . R ， B. .6 ， C . (1, 0)三、解答题16、【解】：()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x 。
最小正周期ππ==22T 。
所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π。
(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以，f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.17、【解】：(Ⅰ) 设公差为d,则d n a a n )1(1-+=)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n nn n ++++++++=⇒⎩⎨⎧++++=++++=---- )21(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=⇒+=⇒. (Ⅱ) 1,011≠≠=q q a 由题知，。
2013年陕西省高考数学试卷(理科)教师版
2013年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2013•陕西）设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M 为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】求出函数f（x）的定义域得到集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，又全集为R，所以∁R M=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．2．（5分）（2013•陕西）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25B．30C．31D．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=，，＞的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=，，＞的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．3．（5分）（2013•陕西）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若 ⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．4．（5分）（2013•陕西）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编，则抽取的42人中，编落入区间[481，720]的人数为（）A．11B．12C．13D．14【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编481～720共240人中抽取=12人．故选：B．5．（5分）（2013•陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信的区域面积为2﹣，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率．【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=同理可得，扇形CBF的在，面积S2=又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信的概率是P===1﹣故选：A．6．（5分）（2013•陕西）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z1﹣z2|=0，则=B．若z1=，则=z2C．若|z1|=|z2|，则z1•=z2•D．若|z1|=|z2|，则z12=z22【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．【解答】解：对（A），若|z1﹣z2|=0，则z1﹣z2=0，z1=z2，所以为真；对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则，，，所以为真；对（D）若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而，，所以为假．故选：D．7．（5分）（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B．8．（5分）（2013•陕西）设函数f（x）=，＜，，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20B．20C．﹣15D．15【分析】依题意，可求得f[f（x）]=，利用二项展开式的通项公式即可求得f[f（x）]表达式的展开式中常数项．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]==的展开式中，常数项为：=﹣20．故选：A．9．（5分）（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y ＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，由，得y=40﹣x，∴x（40﹣x）≥300，解得10≤x≤30．故选：C．10．（5分）（2013•陕西）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[2x]=2[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]【分析】本题考查的是取整函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用．【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．对B，设x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B选项为假．对C，设x=y=1.8，对A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2013•陕西）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于9．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．12．（5分）（2013•陕西）某几何体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．所以体积．故答案为：．13．（5分）（2013•陕西）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为﹣4．【分析】先根据曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．【解答】解：如图，封闭区域为三角形．令|x﹣1|=2，解得x1=﹣1，x2=3，所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0，），（﹣1，2），（3，2），把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点（﹣1，2）时z取得最小值；所以z min=2×（﹣1）﹣2=﹣4，故2x﹣y在点（﹣1，2）取最小值﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）（2013•陕西）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（2013•陕西）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为2．【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等当且仅当时成立，即可求出（am+bn）则（a2+b2）（bm+an）的最小值．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2可得（am+bn）（bm+an）≥（+）2=mn（a+b）2=2×1=2，当且仅当即m=n时，取得最小值2．故答案为：2．16．（2013•陕西）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．17．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为，θ∈R，且θ≠．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程．【解答】解：将圆方程化为（x﹣）2+y2=，可得半径r=，∴OP=2r•cosθ=cosθ，∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ，则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．故答案为：，θ∈R，且θ≠三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）（2013•陕西）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，，由正弦函数y=sinx在，的性质可知，sinx，，∴sin（2x﹣），，∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．19．（12分）（2013•陕西）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．【分析】（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；（II）分①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，显然不成立；②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，使用反证法即可证明．【解答】解：（I）当q=1时，S n=na1；当q≠0，1时，由S n=a1+a2+…+a n，得qS n=a1q+a2q+…+a n﹣1q+a n q．两式错位相减得（1﹣q）S n=a1+（a2﹣a1q）+…+（a n﹣a n﹣1q）﹣a n q，（*）由等比数列的定义可得，∴a2﹣a1q=a3﹣a2q= 0∴（*）化为（1﹣q）S n=a1﹣a n q，∴．∴，，；（Ⅱ）用反证法：设{a n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a n+1}是等比数列．①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，数列{a n+1}不是等比数列．②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，则==，化为（q n﹣1﹣1）（q﹣1）=0，∵q≠1，∴q﹣1≠0，q n﹣1﹣1≠0，故矛盾．综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．20．（12分）（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【分析】（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证．（Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD；又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD．在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，在Rt△A1OA中，∵，∴A1O=1．设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩E1O=O，∴A1C⊥面BB1D1D；（Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），，，．由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量，，，，，，，，．设平面OCB1的法向量为，，，由，得，取z=﹣1，得x=1．∴，，．则＜，＞=．所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为．21．（12分）（2013•陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1歌手的歌迷，他必选1，不选2，另在3至5中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手的概率；（Ⅱ）X表示3歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手”，观众甲选中3歌手的概率为，观众乙未选中3歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手”，观众甲选中3歌手的概率为，观众乙未选中3歌手的概率为1﹣=，∴P（A）=，∴观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手的概率为；（Ⅱ）X表示3歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．观众甲选中3歌手的概率为，观众乙选中3歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3歌手时，这时X=2，P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=，当观众甲、乙、丙都选中3歌手时，这时X=3，P（X=3）=•（）2=，X的分布列如下：∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22．（13分）（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN 的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．【分析】（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．利用角平分线的性质可得k PB=﹣k QB，可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．当x=0时，也满足上式．∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k PB=﹣k QB，∴，∴，化为8+y1y2=0．直线PQ的方程为，∴，化为，化为，y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，∴直线PQ过定点（1，0）23．（14分）（2013•陕西）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）由f（x）=mx2，令h（x）=＞，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；（III）利用作差法得===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．【解答】解：（I）函数f（x）=e x的反函数为g（x）=lnx，∴．设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），则，解得，k=e﹣2，∴k=e﹣2．（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，令h（x）=＞，则，则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，．∴当，时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；当＞时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．（Ⅲ）===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），则g′（x）=1+（x﹣1）e x．g′′（x）=xe x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）•e x＞0，且a＜b，∴＞，即当a＜b时，＞．。
2013年全国高考数学理科试卷陕西卷(解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D【解析】),1()1,(],1,1[.11,0-12∞--∞=-=≤≤-∴≥ MR C M x x 即,所以选D2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】。
θcos ||||⋅⋅=⋅若1cos ||||||±=⇒⋅=⋅θ,//0，即或与则向量π为真； 相反，若//，则||||||0⋅=⋅，即或的夹角为与向量π。
所以“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的充分必要条件。
另：当或向量为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
【推荐】2013年陕西省高考数学试卷(文科)
2013年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R，函数f（）=的定义域为M，则∁RM为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）2．（5分）已知向量=（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于（）A．﹣B．C．﹣或D．03．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A．loga b•logcb=logca B．logab•logca=logcbC．loga bc=logab•logac D．loga（b+c）=logab+logac4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数 B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜07．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．28．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为（m）．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C ，PD=2DA=2，则PE= ．17．（坐标系与参数方程选做题） 圆锥曲线（t 为参数）的焦点坐标是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos ，﹣），=（sin ，cos2），∈R ，设函数f（）=． （Ⅰ） 求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和．（Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式；（Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=． （Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；（Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．22．（13分）已知动点M（，y）到直线l：=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．23．（14分）已知函数f（）=e，∈R．（Ⅰ）求f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．2013年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R ，函数f （）=的定义域为M ，则∁R M 为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1] D ．[1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M ，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣≥0，得≤1，即M=（﹣∞，1]，又全集为R ，所以∁R M=（1，+∞）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．2．（5分）已知向量 =（1，m ），=（m ，2），若∥，则实数m 等于（ ）A ．﹣B ．C ．﹣或D ．0【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．【解答】解：∵=（1，m ），=（m ，2），且，所以1•2=m •m ，解得m=或m=．故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，向量，则的充要条件是1y 2﹣2y 1=0，是基础题．3．（5分）设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．log a b •log c b=log c aB ．log a b •log c a=log c bC ．log a bc=log a b •log a cD ．log a （b+c ）=log a b+log a c【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），判断选项即可．【解答】解：对于A ，log a b •log c b=log c a ⇒，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b •log a a=log a b ，⇒，符合换底公式，所以正确； 对于C ，log a bc=log a b •log a c ，不满足对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；对于D ，log a （b+c ）=log a b+log a c ，不满足log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；故选：B ．【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查．4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y 的值为（ ）A ．25B ．30C ．31D ．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率．【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间[15，20）和[25，30）上的概率为0.04×5+[1﹣（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]=0.45．故选：D．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．6．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数 B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜0【分析】设出复数，求出2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．【解答】解：设=a+bi，a，b∈R，2=a2﹣b2+2abi，对于A，2≥0，则b=0，所以是实数，真命题；对于B，2＜0，则a=0，且b≠0，⇒是虚数；所以B为真命题；对于C，是虚数，则b≠0，所以2≥0是假命题．对于D，是纯虚数，则a=0，b≠0，所以2＜0是真命题；故选：C．【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．7．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2【分析】先根据曲线y=||与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2﹣y的最大值即可．【解答】解：画出可行域，如图所示解得A（﹣2，2），设=2﹣y，把=2﹣y变形为y=2﹣，则直线经过点A时取得最小值；所以=2×（﹣2）min﹣2=﹣6，故选：A．【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值．属于基础题．8．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线a+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线a+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]【分析】依题意，通过特值代入法对A，B，C，D四选项逐一分析即可得答案．【解答】解：对A，设=﹣1.8，则[﹣]=1，﹣=2，所以A选项为假．对B，设=1.8，则[+]=2，=1，所以B选项为假．对C，=﹣1.4，则[2]=[﹣2.8]=﹣3，2=﹣4，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．【点评】本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3π．【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可．【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．表面积是底面积与半球面积的和，其表面积=．故答案为：3π．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n ﹣1）．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为20 （m）．【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40=+y且＞0，y＞0，＜40，y＜40，利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且＞0，y＞0，＜40，y＜40，⇒40=+y≥2，仅当=y=20m时，矩形的面积s=y取最大值400m2．故答案为：20．【点评】本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得40=+y是关键，属于中档题．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R ．【分析】判断函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），利用已知条件推出不等式的解集即可．【解答】解：函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），因此，当∀∈R时，f（）≥|a﹣b|＞2，所以不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R．故答案为：R．【点评】本题考查绝对值不等式的基本知识，考查计算能力．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C，PD=2DA=2，则PE= ．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力．17．（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是（1，0）．【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4倍即可得到圆锥曲线C 的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可．【解答】解：由方程（t为参数）得y2=4，它表示焦点在轴上的抛物线，其焦点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题是基础题，考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos，﹣），=（sin，cos2），∈R，设函数f（）=．（Ⅰ） 求f （）的最小正周期． （Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 通过在[0，]，求出f （）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f （）==（cos ，﹣）•（sin ，cos2）=sincos=sin （2﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当∈[0，]时，2﹣∈，由正弦函数y=sin 在的性质可知，sin ，∴sin （2﹣），∴f （）∈[﹣，1]， 所以函数f （）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和． （Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式； （Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．【分析】（I ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n﹣1=…，利用“倒序相加”即可得出；（II ）利用a n+1=S n+1﹣S n 即可得出a n+1，进而得到a n ，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列．【解答】证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n﹣1=…，由S n =a 1+a 2+…+a n ， S n =a n +a n ﹣1+…+a 1．两等式相加可得2S n =（a 1+a n ）+（a 2+a n ﹣1）+…+（a n +a 1）， ∴．（II ）∵a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．∴a n+1=S n+1﹣S n ==q n ．∴，可得（n ∈N *），∴数列{a n }是以a 1=1为首项，q ≠1为公比的等比数列．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式及“倒序相加”法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n 项和的公式是解题的关键．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=．（Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； （Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．【分析】（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等，可得 BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由勾股定理可得A1O=的值，再根据三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O ，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1 和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1． 同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ． （Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【点评】本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：取若干评委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A ，B 两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B 组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：号歌手的概率为．B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A ，B 是否发生相互独立，则p （AB ）=p （A ）p （B ），是中档题．22．（13分）已知动点M （，y ）到直线l ：=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍．（Ⅰ） 求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 过点P （0，3）的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）经分析当直线m 的斜率不存在时，不满足A 是PB 的中点，然后设出直线m 的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出1+2，12，结合21=2得到关于的方程，则直线m 的斜率可求．【解答】解：（Ⅰ）点M （，y ）到直线=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍，则|﹣4|=2，即（﹣4）2=4[（﹣1）2+y 2]，整理得．所以，动点M 的轨迹是椭圆，方程为； （Ⅱ）P （0，3），设A （1，y 1），B （2，y 2），由A 是PB 的中点，得21=0+2，2y 1=3+y 2． 椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m 不经过这两点，即直线m 的斜率存在．设直线m 的方程为：y=+3． 联立， 整理得：（3+42）2+24+24=0．．因为21=2． 则，得， 所以． 即，解得． 所以，直线m 的斜率． 【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．23．（14分）已知函数f （）=e ，∈R ．（Ⅰ）求f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）令h（）=f（）﹣=，利用导数研究函数h（）的单调性即可得出；（III）设b﹣a=t＞0，通过作差﹣f（）=，构造函数g（t）=（t＞0），可得g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），利用导数研究其单调性即可．【解答】（I）解：函数f（）=e的反函数为g（）=ln，∵，∴g′（1）=1，∴f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（﹣1），即y=﹣1；（Ⅱ）证明：令h（）=f（）﹣=，则h′（）=e﹣﹣1，h′′（）=e﹣1，当＞0时，h′′（）＞0，h′（）单调递增；当＜0时，h′′（）＜0，h′（）单调递减，故h′（）在=0取得极小值，即最小值，∴h′（）≥h′（0）=0，∴函数y=h（）在R上单调递增，最多有一个零点，而=0时，满足h（0）=0，是h（）的一个零点．所以曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点（0，1）．（Ⅲ）设b﹣a=t＞0，则﹣f（）===e a=，令g（t）=（t＞0），则g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），则h′（）=e﹣1＞0，∴函数h（）在（0，+∞）单调递增，∴h（）＞h（0）=0，因此g′（t）＞0，∴函数g（t）在t＞0时单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．∴＞f（）．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．。
【推荐】2013年陕西省高考数学试卷(文科)
2013年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R，函数f（）=的定义域为M，则∁RM为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）2．（5分）已知向量=（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于（）A．﹣B．C．﹣或D．03．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A．loga b•logcb=logca B．logab•logca=logcbC．loga bc=logab•logac D．loga（b+c）=logab+logac4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜07．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．28．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为（m）．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C ，PD=2DA=2，则PE= ．17．（坐标系与参数方程选做题） 圆锥曲线（t 为参数）的焦点坐标是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos ，﹣），=（sin ，cos2），∈R ，设函数f （）=． （Ⅰ） 求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和．（Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式；（Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=． （Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；（Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．22．（13分）已知动点M（，y）到直线l：=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．23．（14分）已知函数f（）=e，∈R．（Ⅰ）求f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．2013年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R ，函数f （）=的定义域为M ，则∁R M 为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1] D ．[1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M ，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣≥0，得≤1，即M=（﹣∞，1]，又全集为R ，所以∁R M=（1，+∞）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．2．（5分）已知向量 =（1，m ），=（m ，2），若∥，则实数m 等于（ ）A ．﹣B ．C ．﹣或D ．0【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．【解答】解：∵=（1，m ），=（m ，2），且，所以1•2=m •m ，解得m=或m=． 故选：C ． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，向量，则的充要条件是1y 2﹣2y 1=0，是基础题．3．（5分）设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．log a b •log c b=log c aB ．log a b •log c a=log c bC ．log a bc=log a b •log a cD ．log a （b+c ）=log a b+log a c【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），判断选项即可．【解答】解：对于A ，log a b •log c b=log c a ⇒，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b •log a a=log a b ，⇒，符合换底公式，所以正确； 对于C ，log a bc=log a b •log a c ，不满足对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；对于D ，log a （b+c ）=log a b+log a c ，不满足log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；故选：B ．【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查．4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y 的值为（ ）A ．25B ．30C ．31D ．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值． 当=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率．【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间[15，20）和[25，30）上的概率为0.04×5+[1﹣（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]=0.45．故选：D．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．6．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜0【分析】设出复数，求出2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．【解答】解：设=a+bi，a，b∈R，2=a2﹣b2+2abi，对于A，2≥0，则b=0，所以是实数，真命题；对于B，2＜0，则a=0，且b≠0，⇒是虚数；所以B为真命题；对于C，是虚数，则b≠0，所以2≥0是假命题．对于D，是纯虚数，则a=0，b≠0，所以2＜0是真命题；故选：C．【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．7．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2【分析】先根据曲线y=||与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2﹣y的最大值即可．【解答】解：画出可行域，如图所示解得A（﹣2，2），设=2﹣y，把=2﹣y变形为y=2﹣，则直线经过点A时取得最小值；所以=2×（﹣2）min﹣2=﹣6，故选：A．【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值．属于基础题．8．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线a+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r 的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线a+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]【分析】依题意，通过特值代入法对A，B，C，D四选项逐一分析即可得答案．【解答】解：对A，设=﹣1.8，则[﹣]=1，﹣=2，所以A选项为假．对B，设=1.8，则[+]=2，=1，所以B选项为假．对C，=﹣1.4，则[2]=[﹣2.8]=﹣3，2=﹣4，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．【点评】本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3π．【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可．【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．表面积是底面积与半球面积的和，其表面积=．故答案为：3π．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n ﹣1）．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为20 （m）．【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40=+y且＞0，y＞0，＜40，y＜40，利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且＞0，y＞0，＜40，y＜40，⇒40=+y≥2，仅当=y=20m时，矩形的面积s=y取最大值400m2．故答案为：20．【点评】本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得40=+y是关键，属于中档题．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R ．【分析】判断函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），利用已知条件推出不等式的解集即可．【解答】解：函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），因此，当∀∈R时，f（）≥|a﹣b|＞2，所以不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R．故答案为：R．【点评】本题考查绝对值不等式的基本知识，考查计算能力．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C，PD=2DA=2，则PE= ．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力．17．（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是（1，0）．【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4倍即可得到圆锥曲线C 的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可．【解答】解：由方程（t为参数）得y2=4，它表示焦点在轴上的抛物线，其焦点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题是基础题，考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos，﹣），=（sin，cos2），∈R，设函数f（）=．（Ⅰ）求f（）的最小正周期．（Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 通过在[0，]，求出f （）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f （）==（cos ，﹣）•（sin ，cos2）=sincos=sin （2﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当∈[0，]时，2﹣∈，由正弦函数y=sin 在的性质可知，sin ，∴sin （2﹣），∴f （）∈[﹣，1]， 所以函数f （）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和． （Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式； （Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．【分析】（I ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n ﹣1=…，利用“倒序相加”即可得出；（II ）利用a n+1=S n+1﹣S n 即可得出a n+1，进而得到a n ，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列．【解答】证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n﹣1=…，由S n =a 1+a 2+…+a n ， S n =a n +a n ﹣1+…+a 1．两等式相加可得2S n =（a 1+a n ）+（a 2+a n ﹣1）+…+（a n +a 1）， ∴．（II ）∵a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．∴a n+1=S n+1﹣S n ==q n ．∴，可得（n ∈N *），∴数列{a n }是以a 1=1为首项，q ≠1为公比的等比数列．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式及“倒序相加”法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n 项和的公式是解题的关键．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=．（Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； （Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．【分析】（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等，可得 BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由勾股定理可得A 1O= 的值，再根据三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O ，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1 和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1． 同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ． （Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【点评】本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A ，B 两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B 组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下： 号歌手的概率为．B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A ，B 是否发生相互独立，则p （AB ）=p （A ）p （B ），是中档题．22．（13分）已知动点M （，y ）到直线l ：=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍．（Ⅰ） 求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 过点P （0，3）的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）经分析当直线m 的斜率不存在时，不满足A 是PB 的中点，然后设出直线m 的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出1+2，12，结合21=2得到关于的方程，则直线m 的斜率可求．【解答】解：（Ⅰ）点M （，y ）到直线=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍，则|﹣4|=2，即（﹣4）2=4[（﹣1）2+y 2]， 整理得．所以，动点M 的轨迹是椭圆，方程为； （Ⅱ）P （0，3），设A （1，y 1），B （2，y 2），由A 是PB 的中点，得21=0+2，2y 1=3+y 2． 椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m 不经过这两点，即直线m 的斜率存在．设直线m 的方程为：y=+3． 联立，整理得：（3+42）2+24+24=0．．因为21=2． 则，得， 所以． 即，解得． 所以，直线m 的斜率． 【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．23．（14分）已知函数f （）=e ，∈R ．（Ⅰ） 求f （）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ） 证明：曲线y=f （）与曲线y=有唯一公共点． （Ⅲ） 设a ＜b ，比较f （）与的大小，并说明理由．【分析】（I ）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II ）令h （）=f （）﹣=，利用导数研究函数h （）的单调性即可得出；（III）设b﹣a=t＞0，通过作差﹣f（）=，构造函数g（t）=（t＞0），可得g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），利用导数研究其单调性即可．【解答】（I）解：函数f（）=e的反函数为g（）=ln，∵，∴g′（1）=1，∴f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（﹣1），即y=﹣1；（Ⅱ）证明：令h（）=f（）﹣=，则h′（）=e﹣﹣1，h′′（）=e﹣1，当＞0时，h′′（）＞0，h′（）单调递增；当＜0时，h′′（）＜0，h′（）单调递减，故h′（）在=0取得极小值，即最小值，∴h′（）≥h′（0）=0，∴函数y=h（）在R上单调递增，最多有一个零点，而=0时，满足h（0）=0，是h（）的一个零点．所以曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点（0，1）．（Ⅲ）设b﹣a=t＞0，则﹣f（）===e a=，令g（t）=（t＞0），则g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），则h′（）=e﹣1＞0，∴函数h（）在（0，+∞）单调递增，∴h（）＞h（0）=0，因此g′（t）＞0，∴函数g（t）在t＞0时单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．∴＞f（）．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．。
2013年陕西高考理科数学试题及答案
20XX XX 高考理科数学试题与答案注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写XX 、XX 号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〔本大题共10小题，每小题5分，共50分〕1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为(A) [－1,1] (B) (－1,1)(C),1][1,)(∞-⋃+∞-(D),1)(1,)(∞-⋃+∞-[答案]D[解析]),1()1,(],1,1[.11,0-12∞--∞=-=≤≤-∴≥ MR C M x x 即,所以选D2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A)25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 [答案]C[解析]31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·〞是“a //b 〞的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件[答案]C[解析]。
θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a若1cos ||||||±=⇒⋅=⋅θb a b a ,b //a 0，即或的夹角为与则向量πb a 为真； 相反，若b a //，则||||||0b a b a b a ⋅=⋅，即或的夹角为与向量π。
所以“||||||=a a b b ·〞是“a //b 〞的充分必要条件。
另：当b a 或向量为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 [答案]B[解析]使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
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2013年陕西高考数学试卷（理科）WORD 版
2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.
2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R , 函数2()1f x x =-的定义域为M , 则C M R 为
(A) [－1,1]
(B) (－1,1)
(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-
(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-
2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61
3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．
信号的概率是
(A)14
π
-
(B)
12
π
-
(C) 22
π- (D) 4π
6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是
(A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =
输入x
If x ≤50 Then
y =0.5 * x Else y =25+0.6*(x -50) End If 输出y
1
2
D
A
C
B
E
F
(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =
(D) 若12||z z =, 则2122z z =
7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为
(A) 锐角三角形
(B) 直角三角形
(C) 钝角三角形
(D) 不确定
8. 设函数4
1,00.,
(),
x x f x x x x ⎧⎛⎫
-<⎪ ⎪=⎝-≥⎭
⎨⎪
⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2
的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是
(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30] 10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 双曲线22116x y m -=的离心率为5
4, 则m 等于 .
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .
13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 . 14. 观察下列等式: 211= 22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=-
…
照此规律, 第n 个等式可为 .
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .
B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .
C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .
40m x 40m 1
12
1
E D
O P A
B
C
θ
P O
y
x
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)
已知向量1
(cos ,),(3sin ,cos2),2
x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;
(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA ==.
O
D 1
B 1
C 1
D A
C
B
A 1
(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;
(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.
19. (本小题满分12分)
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.
20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 已知点B (－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的
角平分线, 证明直线l 过定点.
21. (本小题满分14分)
已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a <b , 比较
()()2f a f b +与()()
f b f a b a
--的大小, 并说明理由.。