2013-2014中考数学专题复习__专题二20：新定义型问题(含详细参考答案)

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中考数学《新定义型问题》专题复习

中考数学《新定义型问题》专项复习考向1 数或函数类新定义例：（2019•越秀区校级模拟）在平面直角坐标系中，当点(,)M x y 不在坐标轴上时，定义点M 的影子点为(y M x，)xy ，已知点P 的坐标为(,)a b ，且a ．b 满足方程组|3|40(1416a c cbc 为常数），若点P 的影子点是点P ，则点P 的坐标为．【解析】方程组|3|4(1416acc b c 为常数），40c ，又由4160c ，4c ，3a ，1b ，(3,1)P ，由影子点的定义，1(3P ，3)，故答案为1(3，3)．练习：1．（2018•越秀区校级一模）定义[a ，b ，]c 为函数2y ax bxc 的特征数，下面给出特征数为[1m ，1m 2]m 的函数的一些结论：①当3m时，函数图象的顶点坐标是(1,8)；②当1m 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当0m时，函数在12x时，y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】因为函数2y ax bxc 的特征数为[1m ，1m ，2]m ； ①当3m时，222462(1)8y x x x ，顶点坐标是(1,8)；此结论正确；②当1m 时，令0y ，有2(1)(1)20m x m x m，解得，11x ，221mx m ， 2131||31m x x m ，所以当1m 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3，此结论正确；③当0m 时，2(1)(1)2y m x m x m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：12(1)m xm ，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，因为当0m时，1121112(1)2(1)212m m m m m ，即对称轴在12x 右边，可能大于12，所以在12x时，y 随x 的增大而减小，此结论错误， ④当1x 时，2(1)(1)20y m x m x m即对任意m ，函数图象都经过点(1,0)那么同样的：当2x时，2(1)(1)26ym x m x m，即对任意m ，函数图象都经过一个点(2,6)，此结论正确．根据上面的分析，①②④是正确的．故选：C ．2．（2018•平定县二模）新定义：[a ，]b 为一次函数(0yaxb a，a ，b 为实数）的“关联数””．若“关联数”为[3，2]m 的一次函数是正比例函数，则点(1,1)m m 在第象限．【解析】 “关联数”为[3，2]m 的一次函数是正比例函数， 32yxm 是正比例函数，20m ，解得：2m ，则11m，13m，故点(1,1)m m 在第二象限．故答案为：二．3．（2019•电城区二模）对于实数a ，b ，我们定义符号{max a ，}b 的意义为：当a b 时，{max a ，}b a ；当ab 时，{max a ，]b b ；如：{4max ，2}4，{3max ，3}3，若关于x 的函数为{3ymax x，1}x ，则该函数的最小值是．【解析】联立两函数解析式成方程组，得：31y x yx ，解得：12x y．当1x时，{3y max x，1}12x x ；当1x时，{3y max x ，1}32x x ．函数{3y max x，1}x 最小值为2．故答案为：2．4．（2019•普宁育才实验学校二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点11(P x ，1)y 与22(P x ，2)y 的“非常距离”，给出如下定义：若1212||||x x y y ，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x ；若1212||||x x y y ，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y ．例如：点1(1,2)P ，点2(3,5)P ，因为|13||25|，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|3，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 交点）．（1）已知点1(2A ，0)，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；（2）已知C 是直线334yx 上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【解析】（1）①B 为y 轴上的一个动点，设点B 的坐标为(0,)y ．11|0|222，|0|2y ，解得，2y 或2y ；点B 的坐标是(0,2)或(0,2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12（2）①如图2，取点C 与点D 的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若1212||||x x y y ，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x ”解答，此时1212||||x x y y ．即ACAD ，C 是直线334yx 上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，设点C 的坐标为0(x ，033)4x ，0324x x ，此时，087x ，点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：08||7x ，此时8(7C ，15)7； ②当点E 在过原点且与直线334y x 垂直的直线上时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设(,)E x y （点E位于第二象限）．则22431yxx y，解得，3545xy，故3(5E ，4)5． 003343545x x ，解得，085x ，则点C 的坐标为8(5，9)5，最小值为1．考向 2 运算类新定义例：（2019•兴宁市期末）定义新运算：a bab b ，例如：323228，则34 ．【解析】a b ab b ，(3)4(3)441248．故答案为：8．练习：1．（2018•陆河二模）定义符号{min a ，}b 的含义为：当a b 时{min a ，}b b ；当ab 时{min a ，}b a ．如：{1min ，3}3，{4min ，2}4．则2{1min x ，}x 的最大值是( )A 51B 512C ．1D ．0【解析】在同一坐标系xOy 中，画出二次函数21y x 与正比例函数yx 的图象，如图所示．设它们交于点A ．B ．令21x x ，即210x x ，解得：152x或15，15(2A ，51)，15(B ，15)．观察图象可知：①当152x 时，2{1min x，2}1x x ，函数值随x 51；②1515x 时，2{1min x ，}x x ，函数值随x 512；③当152x时，2{1min x ，2}1x x ，函数值随x 的增大而减小，最大值为15．综上所示，2{1min x，}x 51．故选：A ．2．（2019•花都区期末）对于任意的实数m ，n ，定义运算“”，规定22()()m n m n mnm n m n ，例如：2323211，223231，计算(12)(21)的结果为( )A ．4B ．0C ．6D ．12【解析】22()()m n m n mnm n m n ，(12)(21)22(12)(21)(1)52(1)5154，故选：A ．3．（2019•紫金东江二中二模）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x 和y ，x ☆21(y a x ay a 为常数），如：2☆223231231a a a a ．若1☆23，则3☆6的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．13【解析】1☆23，2213a a ，222a a，3☆62361a a 23(2)1a a 3217，故选：A ．4．（2019•陆丰期末）对任意两个正实数a ，b ，定义新运算a ★b 为：若a b ，则a ★ab b；若a b ，则a ★bb a．则下列说法中正确的有( ) ①a ★bb ★a ②(a ★)(b b ★)1a ③a ★12ba bA ．①B ．②C ．①②D ．①②③【解析】①a b 时，a ★ab b，b ★a a b，a ★bb ★a ；ab 时，a ★bba，b ★b a a，a ★bb ★a ，①符合题意．②由①，可得：a ★b b ★a ，(a ★)(b b ★)(a a ★)(b a ★)b ，(a ★)(b b ★)1a 不一定成立，②不符合题意．③由①，可得：a ★bb ★a ，a ★12ba b，a ★12ba b不成立，③不符合题意，说法中正确的有1个：①．故选：A ．5．（2019•仁化二模）定义一种新运算：1a n nn bn x dx a b ，例如：222k hxdx k h ，若252m mx dx，则m．【解析】由题意可得：21152(5)m mx dx mm ，则1125mm，解得：25m．故答案为：25．考向3 图形类新定义例：（2019•海珠区期末）定义：ABC 中，一个内角的度数为，另一个内角的度数为，若满足290，则称这个三角形为“准直角三角形”．如图，在Rt ABC 中，90C，8AC，6BC ，D 是BC 上的一个动点，连接AD ，若ABD 是“准直角三角形”，则CD 的长是( )A ．127B ．2413 C ．83D ．135【解析】作DM AB 于M ．设BAD ，B ．①设BAD，B ，当290时， 90DAC，DACB ，C C ，CAD CBA ∽，2AC CD CB ，3263CD（舍去）；②设BAD ，B ，当290时，90DAC ，DAC DAB ，DM AB ，DCAC ，DMDC ，90DMA C，DM DC ，AD AD ，Rt ADC Rt ADM(HL)，8AM AC ，90C，8AC ，6BC，22228610ABAC BC ，1082BM ，设BDx ，则6CD DM x ，在Rt BDM 中，则有222(6)2x x ，解得103x．108633CD．故选：C ．练习：1．（2019•高州市期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：1110，250，|12|60，则1和2互为“正角”．如图，已知120AOB，射线OC 平分AOB ，EOF 在AOB 的内部，若60EOF ，则图中互为“正角”的共有对．【解析】120AOB，射线OC 平分AOB ，1602AOCBOCAOB ，60AOB AOC ，60AOBBOC ，又60EOF ，60AOB EOF ， 60EOFAOC，60AOFAOE，60AOFCOF，图中互为“正角”的共有AOB 与AOC ，AOB 与BOC ，AOB 与EOF ，AOF 与AOE ，AOF 与COF 共5对．故答案为：52．（2019•揭东县期末）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或不是）；（2）若某三角形的三边长分别为12，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据；（3）在Rt ABC中，两边长分别为a、c，且250c，则这个三角形是不是奇异三角形？请做a，2100出判断并写出判断依据；探究：在Rt ABC中，90C，AB c，AC b，BC a，且b a，若Rt ABC是奇异三角形，求222a b c．::【解析】（1）设等边三角形的边长为a，222a a a，等边三角形一定是奇异三角形；2（2）2221(7)22，该三角形一定是奇异三角形；（3）当c为斜边时，22250b c a，Rt ABC不是奇异三角形；当b为斜边时，222150b c a，501502100，Rt ABC是奇异三角形；2222a b c，Rt ABC是奇异三角形；拓展：Rt ABC中，90C，222a b c，c b a，2222a b c，2c b a，222Rt ABC是奇异三角形，2222b a c，2222c c，222::1:2:3a b c．b a，2232b a a b，2223．（2019•云城区期末）定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，ABC中，AB AC，36A，求证：ABC是倍角三角形；（2）若ABC是倍角三角形，A B C，30B，42AC，求ABC面积；（3）如图2，ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE AB，若AB AC BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．【解析】（1）证明：AB AC，B C，180A B C，36A，72B C，2A C，即ABC是倍角三角形，（2）解：AB C，30B，①当2B C，得15C，过C作CH直线AB，垂足为H，可得45CAH，24 AH CH AC．43BH，434AB BH AH，18382S AB CH．②当2A B或2A C时，与AB C矛盾，故不存在．综上所述，ABC面积为8．（3）AD平分BAE，BAD EAD，AB AE，AD AD，()ABD AED SAS，ADE ADB，BD DE．又AB AC BD，AE AC BD，即CE BD．CE DE．2C BDE ADC．ADC是倍角三角形．4．（2018•阳春市二模）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在ABC中，若222AB AC AB AC BC，则ABC是“和谐三角形”．（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是命题（填“真”或“假”)．（2）若Rt ABC 中，90C，ABc ，AC b ，BC a ，且b a ，若ABC 是“和谐三角形”，求::a b c ．（3）如图2，在等边三角形ABC 的边AC ，BC 上各取一点D ，E ，且AD CD ，AE ，BD 相交于点F ，BG 是BEF 的高，若BGF 是“和谐三角形”，且BGFG ．①求证：AD CE ．②连结CG ，若GCBABD ，那么线段AG ，FE ，CD 能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由．【解析】（1）当ABC 为等边三角形时，AB AC BC ，22222AB AC AB ACBC BC BC BCBC ，等边三角形一定是“和谐三角形”，故答案为：真；（2）90C，ABc ，AC b ，BC a ，222a b c ，当222a b ab c 时，则0ab （舍去）；当222a c acb 时，则2222a c ac c a ，22aca ，2c a ．::1:3:2a b c；当222b c bca 时，则2222b c bc c b ，22bcb ，得2cb ．::3:1:2a b c；（舍去），综上可知，ABC 是“和谐三角形”时，::1:3:2a b c ；（3）①ABC 为等边三角形，AB BC AC ，60ABC ACB BAC ， BG 是BEF 的高，BGF 是“和谐三角形”，::1:3:2FG BG BF，60BFG，60FAB FBA BFG ， 60FABEACBAC，FBAEAC ，在ABD 和CAE 中，BADACEBAACDBAEAC，()ABD CAE ASA ，AD CE ；②GCB ABD ，AB AC ，6060FAB ABD GCB ACG ，在ABF 和CAG 中，FABGCAABCAABFCAG，()ABF CAG ASA ，AG BF ，AB BC ，AD CE ，BE CD ，设FG x ，EG y ，则3BGx ，2BFx ， 2224AG BF x ，2222()2EF x y x xyy ，22222(3)3CD x y x y ，2222222422()3AG EF AG EFx x xyy x x y x y ，222AG EF AG EF CD ，线段AG ，FE ，CD 能组成一个和谐三角形．5．（2019•四会市二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知O 的两条弦ABCD ，则AB 、CD 互为“十字弦”，AB 是CD 的“十字弦”， CD 也是AB 的“十字弦”．（1）若O 的半径为5，一条弦8AB ，则弦AB 的“十字弦” CD 的最大值为，最小值为．（2）如图1，若O 的弦CD 恰好是O 的直径，弦AB 与CD 相交于H ，连接AC ，若12AC ，7DH，9CH，求证：AB 、CD 互为“十字弦”；（3）如图2，若O 的半径为5，一条弦8AB ，弦CD 是AB 的“十字弦”，连接AD ，若60ADC ，求弦CD 的长．【解析】（1）如图a ，当CD 是直径时，CD 的长最大，则CD 的最大值为10；如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值，过点O作OE CD于E，OF AB于F，4AF BF，DE CE，2225163OF AO AF，OE CD，OF AB，90CDB，四边形CEOF是矩形，3CE OF，6CD，CD最小值为6，故答案为：10，6；（2）如图1，连接AD，7DH，9CH，16CD，CD是直径，90CAD，2225614447AD CD AC，47 ADDH ，4747DCAD，AD DCDH AD，ADH ADC，ADH CDA∽，90AHD CAD，AB CD，AB、CD互为“十字弦”；（3）如图2，过点O作OE CD于E，过点O作OF AB于点F，连接AO，CO，过点O作ON AC于N，60ADC，AB CD，3AF DF，OECD ，OFAB ，AB CD ，四边形OEHF 是矩形，4AFBF，CEED ，OF EH ，2225163OFAO AF ，3EH，3ED CE DH ，32CF DH ，2120AOC ADC，且5AOCO，ONAC ，30CAO，AN CN ，52NO，53AN ，53AC，222AH CH AC ，22753(32)DH DH ，3232DH， 322(323)4332CDCE．。

中考数学复习《新定义新概念问题》

中考数学复习新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：2同步训练：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB 时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例题：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B 的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N 点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．类型3 新内容理解把握例题：（2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对 B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（a，﹣）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．同步训练：（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D专题训练1.（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：22. （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．3. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．4. （2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）5. (2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【解答】解：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ==2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM==，故点P的坐标（﹣，），（，）．6.（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n 的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．。

2014中考数学第二轮复习：专题二--新定义型问题

中考数学专题复习新定义问题

中考数学专题复习新定义问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．2．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线323y x =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．3．在⊙ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在⊙ABC 的内部或边上，则称DE 为⊙ABC 的中内弧．例如，下图中DE 是⊙ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt⊙ABC 中，22AB AC D E ==，，分别是AB AC ，的中点．画出⊙ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在⊙ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点． ⊙若12t =，求⊙ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ⊙若在⊙ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在⊙ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．4．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （2-，6），B （2-，2-），C （6，2-）．（1）求d （点O ，ABC ）；（2）记函数y kx =（11x -≤≤，0k ≠）的图象为图形G ，若d （G ，ABC ）1=，直接写出k 的取值范围；（3）T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （T ，ABC ）1=，直接写出t 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，⊙在点1231135,0,,,,02222P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 中，⊙O 的关联点是_______________． ⊙点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．⊙若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；⊙点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（32，0），T（1，3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣33x+23与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．参考答案：1．（1）22B C ；（2）3t =±；（3）当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =．【解析】【分析】（1）以点A 为圆心，分别以112233,,,,,AB AC AB AC AB AC 为半径画圆，进而观察是否与O 有交点即可；（2）由旋转的性质可得AB C ''△是等边三角形，且B C ''是O 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段22B C 能绕点A 旋转90°得到O 的“关联线段”，1133,B C B C 都不能绕点A 进行旋转得到；故答案为22B C ；（2）由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C ''△是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C''与y轴的交点为D，连接OB'，易得B C y''⊥轴，⊙12B D DC''==，⊙2232OD OB B D''=-=，2232AD AB B D''=-=，⊙3OA=，⊙3t=；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的3OA=，⊙t3=-；（3）由BC是O的以点A为中心的“关联线段”，则可知,B C''都在O上，且1,2AB AB AC AC''====，则有当以B'为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在O上时为最小，最小值为1，此时AC'为O的直径，⊙90AB C''∠=︒，⊙30AC B''∠=︒，⊙cos303BC B C AC'''==⋅︒=；由以上情况可知当点,,A B O'三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接,OC B C'''，过点C'作C P OA'⊥于点P，⊙1,2OC AC OA''===，设OP x=，则有2AP x=-，⊙由勾股定理可得：22222C P AC AP OC OP'''=-=-，即()222221x x--=-，解得：14x=，⊙154C P'=，⊙34B P OB OP ''=-=，在Rt B PC ''中，2262B C B P C P ''''=+=， ⊙62BC =；综上所述：当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =．【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键． 2．（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤【解析】【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点A ，B 点的位置，由此得出2d 的取值范围．【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线323y x =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD⊙AB ，过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF⊙CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，⊙2sin 603OE ︒==．由垂径定理得：221322OF OC CD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，⊙132d OE OF =-=；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为2235222AO⎛⎫=+=⎪⎝⎭．如图，平移距离2d的最小值即点A到⊙O的最小值：53122-=；平移距离2d的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊙A1A2且A1B2=1时.⊙B2A2A1=60°，则⊙OA2A1=30°,⊙OA2=1,⊙OM=12, A2M=32,⊙MA=3,AA2=22339 322⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭,⊙2d的取值范围为：233922d≤≤．【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）π；（2）⊙P的纵坐标1py≥或12Py≤；⊙02t<≤.【解析】【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，DE的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，⊙当12t=时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角⊙AEP满足90°≤⊙AEP＜135°；⊙根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【详解】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ，就是△ABC 的最长的中内弧DE ，连接DE ，⊙⊙A=90°，AB=AC=22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22114,42sin sin 4522︒∴=====⨯=AC BC DE BC B ， ⊙弧DE 122ππ=⨯=；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG⊙AC 交FP 于G ，⊙当12t =时，C （2，0），⊙D （0，1），E （1，1），1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭F ，设1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，⊙m≥1， ⊙OA=OC ，⊙AOC=90°⊙⊙ACO=45°，⊙DE⊙OC⊙⊙AED=⊙ACO=45°作EG⊙AC 交直线FP 于G ，FG=EF=12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求； 12∴m 综上所述，12m或m≥1． ⊙图4，设圆心P 在AC 上，⊙P 在DE 中垂线上，⊙P 为AE 中点，作PM⊙OC 于M ，则PM=323,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P t ， ⊙DE⊙BC⊙⊙ADE=⊙AOB=90°，222221(2)41∴=+=+=+AE AD DE t t⊙PD=PE ，⊙⊙AED=⊙PDE⊙⊙AED+⊙DAE=⊙PDE+⊙ADP=90°，⊙⊙DAE=⊙ADP12∴===AP PD PE AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM1322∴AE ，AE≤3，即2413+t ，解得：2t02>∴<t t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（1）2；（2）10k -≤<或01k <≤；（3）4t =-或0422t -≤≤或422t =+．【解析】【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分0k <和0k >两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t的取值范围．详解：（1）如下图所示：⊙B（2-，2-），C（6，2-）⊙D（0，2-）⊙d（O，ABC）2OD==（2）10k-≤<或01k<≤（3）4t=-或0422t≤≤-或422t=+．点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.5．（1）⊙P 2、P 3，⊙－322≤x≤－22或22 ≤x≤322；（2）－2≤x≤1或2≤x≤22 . 【解析】【详解】试题分析：（1）⊙由题意得，P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由23,OP OP 的值可知23,P P 为⊙O 的关联点；⊙满足条件的P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P 横坐标范围是－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322；（2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A ， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A ，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.试题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===，点1P 与⊙的最小距离为32，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12， ⊙⊙的关联点为2P 和3P ．⊙根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意； ⊙ 设点P 的坐标为P (x ，-x) ，当OP=1时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)1x x -+--= ，解得22x =± ，当OP=3时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)3x x -+--= ，229x x +=，解得322x =±， ⊙ 点的横坐标的取值范围为－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322（2）⊙y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，⊙ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，令得x=0得，y=0，⊙A(1，0) ，B (0，1) ，分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3，⊙ 点C坐标为，C ( -2，0)如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，⊙CD=1 ，又⊙直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，⊙ 直线AB与x轴形成的夹角是45°，⊙ RT⊙ACD中，CA=2，⊙ C点坐标为(1-2，0)⊙C点的横坐标的取值范围为；-2≤cx≤1-2，如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2，0)如图4，当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3，在Rt⊙OCB中，由勾股定理得OC=23122-=，C点坐标为(22，0)．⊙ C点的横坐标的取值范围为2≤cx≤22；⊙综上所述点C的横坐标的取值范围为－322≤cx≤－22或22≤cx≤322．【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.6．（1）⊙2；⊙1y x =- 或1y x =-+；（2）1≤m≤5 或者51m -≤≤-．【解析】【详解】试题分析：（1）⊙易得S=2；⊙得到C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C 分别代入AC 的表达式即可得出结论；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 相切，求出M 的坐标，即可得出结论．试题解析：（1）⊙S=2×1=2；⊙C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C分别代入AC 的表达式得到：0{23k b k b =+=+或0{23k b k b=+-=+，解得：1{1k b ==-或1{1k b =-=，则直线AC 的表达式为1y x =- 或1y x =-+；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 有交点，即存在N ，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O 相切，如图1l 与2l ，直线1l 与⊙O 切于点N ，ON=2，⊙ONM=90°，⊙1l 与y 交于1P （0，-2）．1M （1m ，3），⊙13(2)0m --=-，⊙1m =-5，⊙1M （-5，3）；同理可得2M （-1，3）；当k=1时，极限位置是直线3l 与4l （与⊙O 相切），可得3M （1，3）， 4M （5，3）．因此m 的取值范围为1≤m≤5或者51m -≤≤-．考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力．7．（1）①见解析；②0＜x ＜2；（2）圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x≤8．【解析】【详解】试题分析：（1） ⊙根据反称点的定义画图得出结论；⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤，2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，把x ＝2和x=0代入验证即可得出，P （2，0），P′（2，0）不符合题意P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2（2）求出A ，B 的坐标，得出OA 与OB 的比值，从而求出⊙OAB=30°，设C （x ，0） ⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4，得出 C 点横坐标x≥2．（当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8，得出结论.试题解析：（1）解：⊙M （2，1）不存在，3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭存在，反称点1,02N ⎛⎫' ⎪⎝⎭(1,3)T 存在，反称点T′（0，0）⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤4 2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，当x ＝2时，P （2，0），P′（2，0）不符合题意当x ＝0时，P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2 （2）解：由题意得：A （6，0），()0,23B ，⊙3OA OB=，⊙⊙OAB ＝30°，设C （x ，0）⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4， C 点横坐标x≥2．（当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8 综上所述：圆心C 的横坐标的取值范围2≤x≤8．考点：定义新运算；一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；圆的有关性质，解直角三角形；答案第15页，共15页。

(完整版)中考新定义问题

新定义问题考点一：学习探究类问题根据探索对象不同，探索性题型一般可分为条件探索型和结论探索型两类。

1•条件探索型条件探索型的基本特征是给出命题的结论，要求我们探索结论成立的条件，其一般的解法是从所给的结论出发，执果索因，寻求结论成立时应具备的条件，进而给予解答，思维方式是变换思维方向，逆向思维。

2•结论探索型结论探索型一般可分为猜想型，判断型和是否存在型。

（1）猜想型猜想型需探索的结论要依据题设条件从简单情况或特殊情况入手进行归纳，大胆猜想得出，然后再进行论证。

（2）判断型判断型是指在某些题设条件下，判断数学对象是否具有某种性质，解题时通常先假设被探索的数学性质存在，并将其构造出来，再利用题设条件和数学结论将其肯定或否定。

（3）是否存在型这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象是否存在或成立，即在是与否之间做出选择，解法步骤是先假设数学对象成立，以此为前提进行运算或推理。

若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。

考点二：新定义问题1 •新定义①函数类新定义②距离类新定义③几何类新定义④与圆有关的新定义2 •考察的数学思想解答题一般考查学生综合运用初中三年级所学知识点的能力，常寓数形结合思想、类比思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等于题型当中。

3 •常考题型①高中或大学数学知识的下放②初中数学知识的改编③完全新定义考点一：学习探究类问题1.已知/ MAN=13°，正方形ABCD绕点A旋转.（1 ）当正方形ABCD旋转到/ MAN勺外部（顶点A除外）时，AM AN分别与正方形ABCD勺边CB CD的延长线交于点M N,连接MN①如图1，若BM=DN则线段MN与BM+Df之间的数量关系是______________ ;②如图2，若B佯DN请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（2）如图3,当正方形ABCD旋转到/ MAN的内部（顶点A除外）时，AM AN分别与直线BD 交于点M, N,探究：以线段BM MN DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由.BC DA2>CC图I图3DABCcBC图图32.【问题探究】(1)如图1,锐角△ ABC 中，分别以AB AC 为边向外作等腰厶 ABE 和等腰△ ACD 使AE=ABAD=AC / BA 匡/CAD 连接BD CE 试猜想BD 与 CE 的大小关系，并说明理由.【深入探究】(2) 如图 2,四边形 ABCD 中, AB=7cm, BC=3cm,Z AB(=Z ACD / ADC 45o ,求 BD 的长. (3) 如图3,在⑵ 的条件下，当△ ACD&线段AC 的左侧时，求 BD 的长.聖25题團3. ( 1)问题如图1,在四边形 ABCD 中，点P 为AB 上一点，/ DPC M A=Z B=90 , 求证：AD ・BC=AP ・ BP. 探究如图2,在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当/DPC M A=Z B=0时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用请利用(1) (2)获得的经验解决问题：如图3,在厶ABD 中，AB=6 AD=BD=5点P 以每秒1个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向点B 运动，且满足/ DPC M A,设点 P 的运动时间为t (秒)，当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值.4. 理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15 °的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路思路一如图1，•在Rt △ AB (中, Z C=90，/ ABC=30，延•长CB 至点D,使BD=BA 连接 AD 设 AC=1,则 BD=BA=2 BC 近.tan D=ta n15、计馬=⑵扁舀—品、=2-思路二利用科普书上的和(差)角正切公式：tan (a±B)1+ tan CL t an B •假设a =60°,3 =45° 代入差角正切公式：tan15 ° =tan (60°- 45°)-=2--思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考) . (1) 类比：求出 (2) 应用：如图 ,C 两点间距离为 tan&CT -龙出4区9l+tanGO* tan45e(3)拓展：如图 tan75 ° 的值； 2,某电视塔建在一座小山上，山高 BC 为30米，在地平面上有一点 A ,测得A60米，从A 测得电视塔的视角(Z CAD 为45°，求这座电视塔 CD 勺高度；1 y=" 3，直线 x - 1与双曲线 4y —交于A , B 两点，与y 轴交于点C ,将直线AB 绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由.5. 已知直线m// n,点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P 为线段CD的中点.(1) __________________________________________________ 操作发现：直线I丄m, I丄n,垂足分别为A、B,当点A与点C重合时(如图①所示)，连接PB,请直接写出线段PA与PB的数量关系：_______________________________________________________ .(2)猜想证明：在图①的情况下，把直线I向上平移到如图②的位置，试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. —|(3)延伸探究：在图②的情况下，把直线I绕点A旋转，使得/ APB=90。

2013年中考数学复习专题讲座二：新概念型问题(含答案)

2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的2．（2012•株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=．（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB．（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB．点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．考点四：开放题型中的新概念②如图所示：过四、中考真题演练一、选择题1．（2012•六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-5，6）]等于（）点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．3．（2012•丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．2010 B．2012 C．2014 D．2016二、填空题4．（2012•常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（）A．2 B．1 C．4 D．3B A三、解答题10．（2012•无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点A（2，3）、B（6，3），连接是线段AB的“临近点”．13．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．15．（2012•台州）概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b 的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．专题讲座二：新概念型问题参考答案三、中考典例剖析( 2)（2）∵抛物线y=-x2+bx是等腰直角三角形，四、中考真题演练一、选择题1．A2．B．3．D 解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，∴三角数都是3的倍数，∵4，8，12，16，…称为正方形数，∴正方形数都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，∵2010÷12=167…6，2012÷12=167…8，2014÷12=167…10，2016÷12=168，∴2016既是三角形数又是正方形数．故选D．二、填空题4．4 解：∵3＜＜4，∴3+1＜+1＜4+1，∴4＜+1＜5，∴[+1]=4，故答案为：4．故选6．x=3 解：根据题意可得：111三、解答题（2）∵d （M ，Q 2（2）由（1）知：线段把y=2代入y=x-1得：∵点Q （m ，n ）是线段12．解：过A 点作AC1y ⎧=⎪，（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；。

中考数学专题复习新定义问题(二)

中考数学专题复习新定义问题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、解答题1．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W ，给出如下定义：点P 是图形W 上任意一点，若存在点Q ，使得∠OQP 是直角，则称点Q 是图形W 的“直角点”．（1）已知点A ()6,8，在点Q 1()0,8，Q 2()4,2-，Q 3()8,4中，______是点A 的“直角点”；（2）已知点()3,4B -，()4,4C ，若点Q 是线段BC 的“直角点”，求点Q 的横坐标n 的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点(),0D t ，()1,0E t +，以线段DE 为边在x 轴上方作正方形DEFG ．若正方形DEFG 上的所有点均为线段BC 的“直角点”，直接写出t 的取值范围．2．对于平面内的点M ，如果点P ，点Q 与点M 所构成的MPQ 是边长为1的等边三角形，则称点P ，点Q 为点M 的一对“关联点”，进一步地，在MPQ 中，若顶点M ，P ，Q 按顺时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“顺关联点”；若顶点M ，P ，Q 按逆时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“逆关联点”．已知(1,0)A ，（1）在33(0,0),(0,1),(2,0),,22O B C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，点A 的一对关联点是____，它们为点A的一对___关联点（填“顺”或“逆”）；（2）以原点O 为圆心作半径为1的圆，已知直线:3l y x b =+．∠若点P 在∠O 上，点Q 在直线l 上，点P ，点Q 为点A 的一对关联点，求b 的值； ∠若在∠O 上存在点R ，在直线l 上存在两点()11,T x y 和()22,S x y ，其中12x x >，且点T ，点S 为点R 的一对顺关联点，求b 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形Q 和∠P ，给出如下定义：若图形Q 上的所有的点都在∠P 的内部或∠P 的边上，则∠P 的最小值称为点P 对图形Q 的可视度．如图1，∠AOB 的度数为点O 对线段AB 的可视度．（1）已知点N （2，0），在点12(0,3)3M ，2(1,3)M ，3(2,3)M 中，对线段ON 的可视度为60º的点是______．（2）如图2，已知点A （-2，2），B （-2，-2），C （2，-2），D （2，2），E （0，4）． ∠直接写出点E 对四边形ABCD 的可视度为______°；∠已知点F （a ，4），若点F 对四边形ABCD 的可视度为45°，求a 的值．4．对于平面内点P和∠G，给出如下定义：T是∠G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P＇，则称点P＇为点P关于∠G的旋转点．下图为点P及其关于∠G的旋转点P＇的示意图．在平面直角坐标系xOy中，∠O的半径为1，点P（0，－2）．（1）在点A（－1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于∠O的旋转点的是；=+上存在点P关于∠O的旋转点，求b的取值范围；（2）若在直线y x b（3）若点D在∠O上，∠D的半径为1，点P关于∠D的旋转点为点P＇，请直接写出点P＇的横坐标x P＇的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于∠M 内的一点P ，若在∠M 外存在点P '，使得2MP MP '=，则称点P 为∠M 的二倍点．（1）当∠O 的半径为2时， ∠在1(1,0)T ，2(1,-1)T ，333(,)22-T 三个点中，是∠O 的二倍点的是； ∠已知一次函数2y kx k =+与y 轴的交点是(0,)A a ，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是∠O 的二倍点，求a 的取值范围．（2）已知点(,0)M m ，1(0,)2-B ，1(1,)2C -，∠M 的半径为2，若线段BC 上存在点P为∠M 的二倍点，直接写出m 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，12,,,k A A A ⋯是k 个互不相同的点，若这k 个点横坐标的不同取值有m 个，纵坐标的不同取值有n 个，p m n =+，则称p 为这k 个点的“特征值”，记为12,,,k A A A p ⋯=．如图1，点(1,1),(1,2),,123M N T M N 〈〉=+=．（1）如图2，圆C 的圆心为(0,3)，半径为5，与x 轴交于A ，B 两点． ∠,T A B 〈〉=________，,,T A B C 〈〉= _________；∠直线(0)y b b =≠与圆C 交于两点D ，E ，若,,,6T A B D E 〈〉=，求b 的取值范围；（2）点128,,,A A A ⋯到点O 的距离为1或2，且这8个点构成中心对称图形，128,,,6T A A A ⋯=，若抛物线2(0)y ax bx c a =++>恰好经过128,,,A A A ⋯中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a 的所有可能取值．7．在∠ABC中，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，P A为半径的∠P与∠ABC的交点不少于．．．4个，点P称为∠ABC关于∠BAC的“劲度点”，线段P A 的长度称为∠ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（1）如图，在∠BAC平分线AD上的四个点1P、2P、3P、4P中，连接点A和点的线段长度是∠ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点M（0，t），N（4，0）．∠当t=5时，求出∠MON关于∠MON的“劲度距离”1d的最大值．∠如果222d≤≤内至少有一个值是∠MON关于∠MON的“劲度距离”，请直接写出t 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点1P关于y轴对称，点1P和点2P关于直线l对称，则称点2P是点P关于y轴，直线l的完美点．（1）如图1，点(2,0)A-．∠若点B是点A关于y轴，直线1:4l x=的完美点，则点B的坐标为__________ ；∠若点(5,0)C是点A关于y轴，直线2:l x a=的完美点，则a的值为__________；（2）如图2，∠O的半径为1．若∠O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线3:l x b=的完美点，且点M'在函数2(0)y x x=>的图象上，求b的取值范围；（3）(),0E t是x轴上的动点，∠E的半径为2，若∠E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线4:32l y x=+的完美点，且点N'在y轴上，直接写出t的取值范围．9．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点M，N，且MN＝2，使得以P，M，N为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“正点”．已知A（2，0），B（0，23）．（1）在点1C（－1，3），2C（0，0），3C（2，3）中，线段AB的“正点”是；（2）直线(1)3y k x=-+（0k≠）上存在线段AB的“正点”，求k的取值范围；（3）以(),0T t（0t<）为圆心，27为半径作∠T，若线段AB上总是存在∠T的“正点”，直接写出t 的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ），特殊地，当图形M 与图形N 有公共点时，规定d （M ，N ）＝0已知点()(2,00)2(30)0()2A B C D m -,，,,,,．（1）∠求d （点O ，线段AB ）；∠若d （线段CD ，直线AB ）＝1，直接写出m 的值；（2）∠O 的半径为r ，若d （∠O ，线段AB ）≤1，直接写出r 的取值范围；（3）若直线3y x b =+上存在点E ，使d （E ，ABC ）＝1，直接写出b 的取值范围．11．对于平面直角坐标系xOy 中的一点P 和C ，给出如下的定义：若C 上存在一个点A ，连接P A ，将射线P A 绕点P 顺时针旋转90°得到射线PM ，若射线PM 与C 相交于点B ，则称P 为C 的直角点．（1）当O 的半径为1时，∠在点(0,0)D 、(1,1)E -、(2,2)F 中，O 的直角点是．∠已知直线l ：y x b =+，若直线l 上存在O 的直角点，求b 的取值范围．（2）若(,0)Q q ，Q 的半径为1，直线332y x q =-+ 上存在Q 的直角点，直接写出q 的取值范围．参考答案：1．（1）Q1，Q3；（2）4222n-≤≤+；（3）-3+21-31732t t≤≤-≤≤或【解析】【分析】（1）在平面直接坐标系中画出相关点的坐标，根据定义就可以判断出结果．（2）根据题意画出点Q的位置轨迹，观察图形，满足题意有两种情况，分别计算即可.（3）根据题意画图，并结合第二问，发现当正方形在以OB和OC为直径的圆的相交部分的时候，是不满足题意的，所以找到个边界点，即可解题【详解】解：（1）Q1，Q3，如下图：（2）∠∠OQP=90°，∠点Q在以OP为直径的圆上（O，P两点除外）如图1，以OB为直径作M，作//MH x轴，交M于点H（点H在点M左侧）．∠点B的坐标为（-3，4），∠M 的半径为52，点M 的坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．∠35422H x =--=-．如图2，以OC 为直径作M '，作M H ''∠x 轴，交M '于点H '（点H '在点M '右侧）． ∠点C 的坐标为（4，4），∠M '的半径为22，点M '的坐标为（2，2）． ∠222H x '=+． ∠n 的取值范围是4222n -≤≤+．（3）正方形1的左下端点为左边界，此时13t =-．正方形2的右上端点在右边圆上，圆心坐标为()2,2 ，则满足关系式：()()22121222t +-+-=，化简得：2260t t --=，解得：121717t t =+=-（舍），．正方形3的左端点在左边圆上，圆心坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时满足关系式：()22351222t ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,化简得：2+330t t -=, 解得：3432132122t t -+--==，（舍），正方形4的右下端点在右边圆上，是右边界，143t t +==，．综上所说：满足题意的解集是：-3+21-31732t t ≤≤-≤≤或．【点睛】本题是新定义题型的考查，能够根据题意画出相关图形，分类讨论是解题关键． 2．（1）C ，D ，逆（或D ，C ，顺）；（2）∠0b =，3-或23-；∠2323b --≤≤-．【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式，分别求出AO 、AB 、AC 、AD 、OD 的长，根据“关联点”及“顺关联点”的定义即可得答案；（2）∠根据“关联点”的定义可得1AP AQ PQ ===，可得∠QP A =60°，根据∠O 半径及点A 坐标可得OA=OP=AP ，可得∠OAP 是等边三角形，根据等边三角形点性质可得∠OAP =∠POA =60°，113,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，213,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，可得Q 1（0，0），根据∠QP A =∠POA =60°，可得PQ //OA ，即可得出点Q 的横坐标和纵坐标，即可得Q 2、Q 3坐标，把Q 1、Q 2、Q 3坐标代入直线l 解析式求出b 值即可；∠作RH ST ⊥于点H ，则32RH =，根据圆的性质分别求出b 的最大值和最小值即可得答案．【详解】（1）∠(1,0)A ，33(0,0),(0,1),(2,0),,22O B C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∠AO =1，AB =2，AC =1，AD =1，OD=3，∠∠ACD 是等边三角形，∠C 、D 是点A 的“关联点”，∠点A 、C 、D 按顺时针排列，∠C 、D 是点A 的“顺关联点”，故答案为：C ，D ，顺（或D ，C ，逆）（2）∠如图．∠点P ，点Q 为点A 的一对“关联点”，∠APQ 为等边三角形，1AP AQ PQ ===，∠∠QP A =60°，∠以原点O 为圆心作半径为1的圆，点P 在∠O 上，OA =1，∠OA=OP=AP ，∠∠OAP 是等边三角形，∠∠OAP =∠POA =60°，113,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，213,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ∠Q 1（0，0），∠点Q 在直线l 上，∠b 1=0，∠∠QP A =∠POA =60°，∠PQ //OA ，∠点Q 横坐标为12+1=32， ∠1AP AQ PQ ===，∠点Q 纵坐标为32±， ∠233333,,,2222Q Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当233,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，33322b +=，解得：3b =-；当333,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，33322b +=-，解得：23b =-．综上所述，0b =，3-或23-．∠如图．∠点T，点S为点R的一对顺关联点，∠RTS为正三角形，1RT=，//RT x轴，点T和点S在直线:3l y x b=+上．作RH ST⊥于点H，则32RH=，当b取最大值时，111R H l⊥，1111312OH OR R H=-=-，此时11223b OH==-．当b取最小值时，222R H l⊥，2222312OH OR R H=+=+，此时222(23)23b OH=-=-+=--．综上所述，b的取值范围为2323b--≤≤-．【点睛】本题考查等边三角形点判定与性质、圆点性质及一次函数图象上点点坐标特征，正确理解“关联点”点概念是解题关键．3．（1）M1，M2；（2）∠90；∠232+或232【解析】【分析】（1）结合勾股定理，等边三角形的判定和性质以及锐角三角函数求角的度数，从而作出判断；（2）∠根据等腰直角三角形的判定和性质求解；∠根据可视度的定义结合勾股定理分情况讨论求解【详解】解：（1）∠点N （2，0），点12(0,3)3M ，2(1,3)M ，3(2,3)M 中， ∠M 3N ∠x 轴，∠332tan 3ON M M N ∠==，112tan 3233ON M OM ∠=== ∠360M ∠≠︒，160M ∠=︒()222132OM =+=，()222132M N =+=∠∠2OM N 是等边三角形∠2=60OM N ∠︒ ∠对线段ON 的可视度为60º的点是M 1，M 2故答案为：M 1，M 2．（2）∠连接EA ，ED由题意可得AG =EG =2，DG =GE =2∠∠AGE 和∠EDG 均为等腰直角三角形∠∠AED =90°∠点E 对四边形ABCD 的可视度为90°故答案为：90；∠解：由题意可知，四边形ABCD是正方形，点F在直线y=4上．如图所示，点F对正方形ABCD的可视度为45°，当点F是以点D为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时，过点D作DN∠EF于点N，则有DN=2，DF=4，可得NF=23．∠a=232+．当点F是以点A为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时，同理可得，a=232．综上，a的值为232+或232．【点睛】本题考查解直角三角形已经图形与坐标，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．4．（1）点B，点C；（2）222222b-≤≤+；（3）44'-≤≤px【解析】【分析】（1）根据题意结合图即可得出旋转点；（2）使直线y x b =+分别与圆相切时，求出b 的取值范围；（3）考虑全两种情况即可得出取值范围．【详解】（1）点B ，点C ；（2）由题意可知，点P 关于∠O 的旋转点形成的图形为以点G （0，2）为圆心，以2个单位长度为半径的∠G ．当直线y x b =+与∠G 相切时：如图1，求得：222b =+，如图2，求得：222b =-．因为直线y x b =+上存在点P 关于∠O 的旋转点，所以，222222b -≤≤+．图1图2（3）当∠D 的圆心在（-1，0）（1，0）时，p x ' 取最小和最大值，∴ P ＇的横坐标x P ＇的取值范围44'-≤≤p x ．【点睛】此题考查了圆与一次函数图像的知识，解题的关键是能够灵活运用直线与圆相切的特点，进而求解．5．（1）∠2T ，3T ；∠2323a <≤；（2）153122m -<<-或315122m <<+ 【解析】【分析】（1）∠根据圆的二倍点的含义判断即可；∠由于圆的半径为2，根据二倍点的含义，则这些点与圆心O 的距离大于1，当直线与半径为1的圆相切时，可求得一次函数解析式中的k 值，从而可求得a 的值；当直线y =kx +2k 与y 轴的交点也是O 与y 轴的交点时，可得a 的值，根据题意最后可确定a 的取值范围；（2）当2MC <且1MB > 或<2MB 且1MC >时，才满足条件，由此可求得m 的取值范围．【详解】（1）∠∠OT 1=1，122OT '=，但此时1T '点在圆上，不合题意，故T 1不是二倍点； ∠OT 2=22112+=，22333322OT ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而22222OT '=>，32232OT '=>，∠2T ，3T 是二倍点．故答案为：2T ，3T∠当2x =-时，0y =，∠一次函数2y kx k =+过定点()2,0-，如图1，当一次函数2y kx k =+的图象与半径为1的O 相切时，可得33k =，则233a =．如图2当一次函数2y kx k =+的图象与y 轴的交点也是O 与y 轴的交点时，可得2a =．∠由题意可知2323a <≤．（2）当2MC <且1MB > 或<2MB 且1MC >时，线段BC 上存在点P 为∠M 的二倍点，即221(1)44114m m ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或221(1)14144m m ⎧-+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得：315122m <<+或153122m -<<-．故答案为：153122m -<<-或315122m <<+．【点睛】本题是一个新定义问题，涉及直线与圆的位置关系，一次函数的图象，解一元二次不等式组等知识，解题的关键是数形结合．6．（1）∠3，5；∠28b -<<且0b ≠，6b ≠；（2）1或2或14．【解析】【分析】（1）∠先写出A ，B 的坐标，然后根据题意即可求解；∠D ，E 两点都在直线(0)y b b =≠上，而A ，B 两点都在直线0y =上，因此A ，B ，D ，E 四点纵坐标不同的取值有2个，要使得,,,6T A B D E 〈〉=，则A ，B ，D ，E 四点横坐标不同的取值必须有4个，此时这四个点的横坐标均不能相同，由对称性，当6b =时，D ，E 分别为(4,6)-和(4,6)，其横坐标分别与A ，B 的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线y b =与C 要有公共点，则28b -<<，答案可解；（2）根据题意画出图形，抛物线2(0)y ax bx c a =++>，所以0a >，抛物线开口向上，因为抛物线经过三个点,且抛物线呈对称，分析抛物线可能经过的点，进行分类讨论即可解得答案．【详解】（1）∠由图可知()()()4,0,4,0,0,3A B C -，根据题意可得：,213T A B 〈〉=+=，,,325T A B C 〈〉=+=，故答案为：3,5；∠解：D ，E 两点都在直线(0)y b b =≠上，而A ，B 两点都在直线0y =上，因此A ，B ，D ，E 四点纵坐标不同的取值有2个，要使得,,,6T A B D E 〈〉=，则A ，B ，D ，E 四点横坐标不同的取值必须有4个，于是此时这四个点的横坐标均不能相同．由对称性，当6b =时，D ，E 分别为(4,6)-和(4,6)，其横坐标分别与A ，B 的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线y b =与C 要有公共点，则28b -<<；综上所述，b 的取值范围是28b -<<且0b ≠且6b ≠．（2）∠T ＜A 1，A 2，…，A 8＞=6， ∠这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6．∠点A 1，A 2，…A 8到点O 的距离为1或2，且这8个点构成中心对称图形，∠这8个点构成的图形如下图所示：它们的坐标分别为：A 1（-1，1），A 2（0，1），A 3（1，1），A 4（-1，0），A 5（1，0），A 6（-1，-1），A 7（0，-1），A 8（1，-1）．∠抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0），∠抛物线开口向上．∠抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）恰好经过A 1，A 2，…A 8中的三个点，并以其中一个点为顶点，∠根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A7或A4，A5，A7．∠抛物线经过A1，A3，A7时，11.1a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：21abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩抛物线经过或A4，A5，A7时，1a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：11abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩或这8个点构成的图形如下图所示：它们的坐标分别为：123214214(,),(,)4444A A--，34521432143214(,),(,),(,)444444A A A--6782142143214(,),(,),(,).444444A A A----∠抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8中的三个点，并以其中一个点为顶点，∠根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A6或A4，A2，A7．∠抛物线经过A1，A3，A6时，A6为顶点，经过A1，A3，设抛物线解析式为2214().44y x =+- 将A 3坐标代入得：142214().4444a =+- 解得：14.a =抛物线经过A 2，A 4，A 7时，A 7为顶点，经过A 2，A 4，设抛物线解析式为2214().44y x =-- 将A 4坐标代入得：21432214().4444=-- 解得：14.a =综上，a 的值为1或2或14【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是进行分类讨论．7．（1）23,P P ；（2）∠22；∠52t -≤≤-或25t ≤≤．【解析】【分析】（1）以AP 为半径，以点P 为圆心作圆，观察图形，结合题意即可解答；（2）∠作∠MON 的角平分线OE ，ON 的垂直平分线PF ，OE 和PF 相交于点P ，此时∠P 过点N ，线段OP 的长度是∠MON 关于∠MON 的“劲度距离”最大值．由此求解即可；∠由题意可知圆心都在直线y =x 上，再分当t >0和t <0时两种情况求t 的取值范围即可．【详解】（1）以AP 为半径，以点P 为圆心作圆，则23P P 、符合要求．故答案为：23P P、；（2）∠作∠MON的角平分线OE，ON的垂直平分线PF，OE和PF相交于点P，此时∠P 过点N，线段OP的长度是∠MON关于∠MON的“劲度距离”最大值．易知，OE的函数表达式为y=x，PF的函数表达式为x=2，从而可得其交点坐标为P（2，2）．∠1d=OP=22；∠由题意可知，圆心都在直线y=x上，∠当t>0时，当d最大为22时，圆P经过点N，此时和∠一样，点M在（0，5）处，即t=5；当d最小为2时，圆P经过点M，此时点P的纵坐标为1122OM t=，所以点P的坐标（12t，12t），再由OP=2可得22211()()(2)22t t+=，解得t=2；∠当t>0时，t的取值范围为25t≤≤．∠同理，当t<0时，t的取值范围为52t-≤≤-．综上所述t的取值范围为52t-≤≤-或25t≤≤．【点睛】本题时一次函数和圆的综合题，正确理解题意是解决问题的关键．8．（1）∠(6,0)，∠3.5；（2）1524b-<≤；（3）234234t-≤≤+．【解析】【分析】（1）∠根据点坐标的轴对称变换规律即可得；∠先求出点A 关于y 轴，直线2:l x a =的完美点，再根据点C 的坐标建立方程，求解即可得；（2）先根据完美点的定义、待定系数法求出点M 所在直线的解析式为24y x b =+，再找出两个临界位置∠直线24(0)y x b y =+>与位于x 轴上方的半圆O 相切；∠直线24(0)y x b y =+>恰好经过点(1,0)，分别利用相似三角形的判定与性质、一次函数的性质求出b 的值即可得；（3）如图（见解析），先确定点N '在E '上运动，再利用待定系数法求出直线1E E '的解析式，从而求出点,K E '的坐标，然后求出E '与y 轴相切时的t 值即可得出答案．【详解】解：（1）∠(2,0)A -， ∴点A 关于y 轴对称的点坐标为(2,0)，又点(2,0)关于直线1:4l x =对称坐标为(6,0)，(6,0)B ∴，故答案为：(6,0)；∠(2,0)A -， ∴点A 关于y 轴对称的点坐标为(2,0)，又点(2,0)关于直线2:l x a =对称坐标为(22,0)a -，点(5,0)C 是点A 关于y 轴，直线2:l x a =的完美点，225a ∴-=，解得 3.5a =，故答案为：3.5；（2）如图，设点M 关于y 轴的对称点为''M ，由完美点的定义得：点M 所在直线与点M '所在直线2(0)y x x =>平行，则设点M 所在直线的解析式为2(0)y x c y =+>，设点M '的坐标为(,2)M m m '，则(2,2)M b m m ''-，(2,2)M b m m -+，将点(2,2)M b m m -+代入2y x c =+得：2(2)2b m c m -++=，解得4c b =，则点M 所在直线的解析式为24y x b =+，因此，有两个临界位置：∠直线24(0)y x b y =+>与位于x 轴上方的半圆O 相切；∠直线24(0)y x b y =+>恰好经过点(1,0)，∠直线24(0)y x b y =+>与位于x 轴上方的半圆O 相切，如图，设直线24(0)y x b y =+>与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，则(0,4),(2,0),0A b B b b ->，224,2,25OA b OB b AB OA OB b ∴===+=，由圆的切线的性质得：OM AB ⊥，1OM =，在AOB 和OMB △中，90AOB OMB ABO OBM ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， AOB OMB ∴~，OA AB OM OB ∴=，即42512b b b=，解得54b =， ∠直线24(0)y x b y =+>恰好经过点(1,0)，将点(1,0)代入得：240b +=，解得12b =-，点M '在函数2(0)y x x =>的图象上，不含原点(0,0)O ，b ∴的值不能取12-，则b 的取值范围为1524b -<≤；（3）如图，设点E关于y轴的对称点为1E，点1E关于直线4:32l y x=+的对称点为E'，连接1E E'，交直线4l于点K，则E'的半径为2，当点N在E上运动时，点N'在E'上运动，要使点N'在y轴上，则E'与y轴相切或相交即可，(,0)E t，1(,0)E t∴-，14E E l'⊥，∴设直线1E E'的解析式为33y x n=-+，将点1(,0)E t -代入得：303t n +=，解得33n t =-，则直线1E E '的解析式为3333y x t =--，联立333332y x t y x ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，解得234324t x t y ⎧--=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩， 2332(,)44t t K ---+∴，又点K 是线段1E E '的中点，2332(,)22t t E --+'∴，当E '与y 轴相切时，2322t -=，解得234t =+或234t =-，综上，满足条件的t 的取值范围为234234t -≤≤+．【点睛】本题考查了点坐标的轴对称变换规律、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）（3），正确找出相应的临界位置是解题关键．9．（1）1C ，2C ；（2）03k <≤；（3）6243t -≤≤-或20t ≤<-【解析】【分析】（1）按照定义分别判断所给点能否与已知点构成等边三角形即可；（2）根据正点的定义，可以判断满足条件的正点连线是正六边形的两条边，结合直线(1)3y k x =-+过定点()1,3，进一步判断的范围即可；（3）根据正点的定义，画出满足题意的圆，根据图形进行计算，即可．【详解】解：过点O 作OD ∠AB ，∠2C （0，0），A （2，0），B （0，23），∠AB =22(20)(023)-+-=4，∠OD=22334OA OBAB⨯⨯==，∠在线段AB上存在存在两个点M，N，且MN＝2，使得以2C，M，N为顶点的三角形为等边三角形，即：2C是线段AB的“正点”．同理：1C是线段AB的“正点”．故答案是：1C，2C；（2）如图，线段AB的“正点”在线段OC和'C D上．且六边形BCOAD'C是正六边形，∠直线(1)3y k x=-+（0k≠）过定点()1,3，是正六边形的中心坐标也是()1,3，∠直线(1)3y k x=-+（0k≠）绕着中心（1，3）旋转．又∠直线(1)3y k x=-+（0k≠）过点O和C'时，k＝3，过点C和D时，k=0，∠03k<≤．（3）如下图：在∠T上取线段MN，使MN=2，往圆外作等边三角形MNE，在MN上取中点D，连接TN，ED，TD，则ED∠MN，TD∠MN，T，D，E三点共线，∠DE=22213-=，TD=()2227133-=，∠大圆的半径=3+33=43，同理：小圆半径=33-3=23，当大圆或小圆与线段AB有交点时，线段AB上存在∠T的“正点”，若大圆过点B时，则TB=43，∠AB=4，OB=23，∠OT=()()2243236-=，∠tan∠OBT=OT OBOB OA==tan∠OAB，即：∠OBT=∠OAB，∠∠ABT=∠OBT+∠ABO=∠OAB+∠ABO=90°，∠此时AB与大圆相切于点B，t=-6，若大圆过点A时，AT=43，此时，t=2-43，若小圆与线段AB相切于点C时，∠ATC=∠ABO=30°，TC=23，∠AT =TC ÷cos30°=23÷32=4，此时，t =-2，若小圆经过B 点时，圆心与点O 重合时，t =0，综上，243t -6≤≤-或20t ≤<-．【点睛】本题是新定义题型，考查动点轨迹为圆时的综合数据处理，以及等边三角形的性质，锐角三角函数相关知识点，能够根据题意画出图形是解题关键．10．（1）∠3；∠232m =-；（2）31231r -≤≤+；（3）232232b --≤≤+【解析】【分析】（1）∠根据题意作图，由三角形的面积公式及“闭距离”的定义即可求解；∠根据题意作图，根据含30°的直角三角形的性质即可求出D 点坐标，故可求解；（2）根据题意作图，由d （∠O ，线段AB ）≤1，分情况讨论即可求解；（3）根据题意作图，找到d （∠O ，线段AB ）=1的点，再根据解直角三角形、一次函数的解析式求解方法求出b 的值，故可求解．【详解】（1）∠如图，作OH ∠AB ，∠()0)2023(A B -，,， ∠AO =2，BO =23，AB =()222234+= 根据三角形的面积公式可得1122AO BO AB OH ⋅=⋅ ∠OH =22334⨯= ∠d （点O ，线段AB ）=3；∠∠AO =2，BO =23，AB =()222234+=∠AB =2AO ，∠∠ABO =30°如图，作HD ∠AB ，∠d （线段CD ，直线AB ）＝1，∠DH =1∠BD =2HD =2∠DO =BO -BD =232-∠D（232-，0）∠m=232-；Array（2）如图，OH∠AB，交∠O于M点，BI=1当d（∠O，线段AB）≤1当HM≤1时，由（1）可得OH=3∠31r≥-当BI≤1时，此时IO=BI+OB=231+∠231r≤+故若d（∠O，线段AB）≤1时，r的取值范围为31231-≤≤+；r（3）∠ d （E ，ABC ）＝1，如图，作CM ∠直线3y x b =+于M 点，此时CM =1设直线3y x b =+与x 轴交于K 点，则∠CKM =60°∠CK =CM ÷cos60°=233∠K （2+233，0），代入3y x b =+得232330b ⎛⎫=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭ 解得b =232如图，作BG ∠直线3y x b =+于G 点，此时BG =1设直线3y x b =+与y 轴交于N 点，则∠GNB =90°-60°=30°∠BN =2BG =2∠N （0，232+），代入3y x b =+得32320b +=⨯+解得b =232+∠存在点E ，使d （E ，ABC ）＝1，∠b 的取值范围是232232b --≤≤+．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意作图，由“闭距离”的定义及解直角三角形、圆的性质特点进行求解．11．（1）∠D ，E ；∠22b -≤≤；（2）464633q -≤≤ 【解析】【分析】（1）∠如图，由定义可得：,A B 都在O 上，且90,APB ∠=︒ 再分别画出图形，即可得到答案；∠由定义可知，如图O 的直角点，分布在以O 为圆心以2为半径的圆上或圆内，结合∠可得直线的两个极限位置，从而可得答案；（2）先求解332y x q =-+与,x y 轴的交点坐标，再求解60,ONK QNM ∠=︒=∠ 再分两种情况讨论：情况1：q ＞0时，结合∠画出图形求解463q =，再利用对称性得到．情况2：q ＜0时， 463q =-，从而可得答案．【详解】解：（1）∠如图，由定义可得：,A B 都在O 上，且90,APB ∠=︒当,P D 重合时，则()0,0P ，此时1,AP BP ==故D是O的直角点，如图，同理可得；()1,1E-是O的直角点，当()2,2F时，AFB∠＜90,︒F∴不是O的直角点，故答案为：D，E；∠由定义可知，如图O的直角点，分布在以O为圆心以2为半径的圆上或圆内由∠可得：当直线y x b=+过()1,1E-时，11,b∴=-+2,b∴=当直线y x b=+过()1,1E'-时，11,b∴-=+2,b∴=-所以22b -≤≤；（2） 332y x q =-+，当0x =，则3,2y q =当0,y = 则330,2x q -+= .2q x ∴= 所以直线与x 轴交点为N (,0)2q ，与y 轴的交点30,,2K q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭32tan 3.2q OK ONK q ON∴∠=== 60,ONK QNM ∴∠=︒=∠情况1：q ＞0时，如图Q （半径为2）与直线332y x q =-+相切时， ∠2QM =，60QNM ∠=︒，∠26sin 603QM QN ==︒， ∠2623q ON QN ===， ∠463q =．情况2：q ＜0时，根据对称性，463q =-， ∠q 的取值范围为464633q -≤≤ 【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了旋转的性质，圆的基本性质，圆的切线的性质定理，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，掌握数形结合的方法是解题的关键．。

2013年北京中考数学复习专题讲座一：选择题解题方法(含答案)+讲座二：新概念型问题(含答案)

考点三：筛选法（也叫排除法、淘汰法）分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是 “答案唯一” ，即四个选项中有且只有一个答案正确. 例 3 （2012• 东营）方程(k-1)x-2 1 − k x+
2 的图象上，∴S 阴影=2； x
2 的图象上，∴S 阴影=2； x 1 1 ×2+ 2 2
C、如图所示，分别过点 MN 作 MA⊥x 轴， NB ⊥x 轴，则 S 阴影=S△OAM+S 阴影梯形 ABNM-S△OBN = （2+1）×1-
1 3 ×2= ； 2 2
D、∵M 、N 两点均在反比例函数 y= ∵
A．﹣1
B．1
C．2
D．﹣2
考点七：动手操作法与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的. 例 7 （ 2012• 西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图 ①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（）
B．相交
C．外切
D．外离
3．（2012• 安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a，则阴影部分的面积为（）

2014中考专题__新定义问题(原创经典)

2.设△A1B1C1 的面积是 S1, △A2B2C2 的面积为 S2 (S1
S ＜S2),当△A1B1C1∽△A2B2C2，且 0.3 S
1 2
0. 4
时，则 △
A1B1C1 与△A2B2C2 有一定的“全等度”如图 7，已知梯形 ABCD,AD∥BC°，∠B＝30º，∠BCD＝60º，连结 AC. （1）若 AD＝DC,求证：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度” ；（2）你认为：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”正确吗？若正确说明理由；若不正确，请举出一个反例说明
观察上面的计算过程，寻找规律并计算
C
6 10
．
小结：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年
出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律． ·新课标
类型之三
定义一种新数
1.一个数有两个或两个以上相同的质因数叫漂亮数，如果两个漂亮数之间相差1，则称为孪生漂亮数。写一个漂亮数＿；一对孪生漂亮数是＿＿。
●
类型之一
定义一种新运算
1 1 1．[2011· 菏泽]定义一种运算☆，其规则为 a☆b＝a＋b，根据这个规则计算 2☆3 的值是( A ) 5 1 A. B. C．5 D．6 6 5
2.规定一种新运算a※b=a2－2b, 如1※2=-3，则 2 ※（－2） = .
小结:正确理解新运算所表示的意义,严格按照规定的法则进行运算.这是正确解答这类问题最关键的思维
中考专题七新定义问题
·新课标
近几年的中考题中出现了一类“新定义运算”型的题目，这类题以加、减、乘、除、乘方、开方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算. 定义的新运算，实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和演算能力 . 解此类题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们熟悉的加、减、乘、除、乘方、开方等旧运算.

中考数学专题复习新定义问题【含解析】

新定义问题【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决【典例解析】类型一：规律题型中的新定义例题1：（2015•永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．变式训练1：（2015•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2）C. (—2013,—2)D. (—2013,2)类型二：运算题型中的新定义例题2：（2016·四川宜宾）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．【解析】实数的运算．先根据log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．【解答】解：log1001000===．故答案为：．变式训练2：(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为；（2）若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是．类型三：探索题型中的新定义例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解析】考点：黄金分割的识别【解答】：由作图方法可知DF=5CF ，所以CG=CF )15(-，且GH=CD=2CF ，从而得出黄金矩形CG=CF )15(-，GH=2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形。

2014年中考数学第二轮专题复习--新定义型问题-3.doc

2014年中考数学第二轮专题复习--新定义型问题巩固练习答案一．基础巩固：1.A 分析：由题意应先进行f 方式的运算，再进行g 方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化．解答：解：∵f （﹣5，6）=（6，﹣5），∴g[f（﹣5，6）]=g （6，﹣5）=（-6，5），故选A ．2.A 解析：根据题目所给公式，可直接求出a 2＝211+=32，a 3＝311+=53， a ４＝511+=85，选Ａ3.B 解析：输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，61)7(2=-，则输出的结果为6。

4.C 解析：根据定义，“距离坐标”是（1，2）的点，说明M 到直线l1和l2的距离分别是1和2，这样的点在平面被直线l1和l2的四个区域，各有一个点，即可求出答案．5.C 解析:根据对应关系，4d=28可以求得d=7;代入2c+3d=23得c=1;在代入2b+c=9得b=4;代入a+2b=14得a=6.6.A 解析:本题考查的新运算的理解和应用以及分式方程的解法. 根据ab b a 11-=⊕得到 ()21121122--=-⊕x x .因为()1122=-⊕x 所以121121=--x 解得65=x ，经检验65=x 是原分式方程的解 7. C 分析： “距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l 1、l 2的距离分别为1、2．由于到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，∵到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M 1、M 2、M 3、M 4，一共4个．8. A 分析：如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6），先根据新定义运算得出（x 3+x 4）+（y 3+y 4）=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）=（x 4+x 6）+（y 4+y 6），则x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6，若令x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6=k ，则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=-x+k 上．解：∵对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），A ⊕B=（x 1+x 2）+（y 1+y 2），如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6），那么C ⊕D=（x 3+x 4）+（y 3+y 4），D ⊕E=（x 4+x 5）+（y 4+y 5），E ⊕F=（x 5+x 6）+（y 5+y 6），F ⊕D=（x 4+x 6）+（y 4+y 6），又∵C ⊕D=D ⊕E=E ⊕F=F ⊕D ，∴（x 3+x 4）+（y 3+y 4）=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）=（x 4+x 6）+（y 4+y 6）， ∴x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6，令x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6=k ，则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=-x+k 上，∴互不重合的四点C ，D ，E ，F 在同一条直线上．故选A ．9. C 10. D11 x=3,解析:本题属于常见的“新定义”题型。

中考数学专题复习——新定义型问题

任课教师授课年级初三授课日期教学课题中考数学专题复习——新定义型问题教学目标1.通过阅读理解掌握问题原型的特点，把文字语言转化为符号语言；2.合理进行思想方法的迁移运用所学知识去解决问题；3.培养学生阅读理解，合作交流、自主探索、敢于表达的学习精神，增强学习自信心。

教学方法讲授式启发式小组合作交流式教学重点渗透新定义问题的基本解题策略教学难点文字语言和图形语言、符号语言的相互转化教具准备学案教学过程教学内容学生活动教学意图一、活动一1、复习∣a∣的意义绝对值是指一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值2、在平面直角坐标系中已知，A（-2,0）和B（4,0）A（x1, 0）B（x2, 0）那么AB= 那么AB=3、C（0,5）和D（0，-3）C（0, y1）D（0，y2）那么CD= 那么CD=4、已知点M（1,4）和点N（3,1），思考这两个点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值表示的意义5、已知，点M（x1 ，y1）N（x2 ，y2）∣x1－x2∣∣y1－y2∣的几何意义回答问题描点画图体会绝对值符号的几何意义为本节课做铺垫y x y=34x+3–1–2–3–41234–1–2–3–4–5123O D教学过程学生活动设计意图活动二、探究解决问题（一）阅读理解在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点 111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”, 给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -；若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y - （1）阅读理解（2）在平面直角坐标系中画图举例说明（二）解决问题1、已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；2、已知C 是直线334y x =+上的一个动点， ① 如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；（3）小结，解决新定义问题关注哪些方面阅读理解分析理解 ①学生画图分析讲解②学生举例说明，并总结什么情况下非常距离最小学生思考探究讲解学生各抒己见使学生掌握审题的方法，提高学生阅读理解的能力培养学生阅读理解能力渗透把符号语言转化为图形语言锻炼学生的语言表达能力总结归纳新定义问题的解题关键教学内容学生活动教学意图活动三、牛刀小试，在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=x l ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．活动四、总结 1、学生谈新定义的解题思路2、提升：符号语言，文字语言，图形语言作业：12年中考“非常距离” 最后一问学生读题画图分析理解读题理解画图分析展示读题分析理解展示自画图形学生解决问题学生总结归纳培养学生阅读理解能力渗透把文字符号语言转化为图形语言强调新定义问题中举例至关重要培养学生分析问题与解决问题的能力培养学生总结归纳能力x y O B A1234123xyO 1231234图1。

2014中考专题复习二新定义型问题

1 -2 2 -1 3 0 -7 1
（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值表2． a a2-1 -a -a2
2-a 1-a2 a-2 a2
1 -2
2 -1
3 0
-7 1
a 2-a
a2-1 1-a2
-a a-2
（2013•德州）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）表1
考点五：阅读材料题型中的新定义
例5 （2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．
（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．

2013年中考数学复习：新概念型问题(含答案)

b b2 , 2 4
）满足
b b2 （b＞0）． 2 4
（3）存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形．当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 是矩形，又∵AO=AB， ∴△OAB 为等边三角形．作 AE⊥OB，垂足为 E， ∴AE=
- 6 -
- 7 -
7 8
=
52 32 =4，
2 2 2
①若 PB=PC，设 PA=x，则 x +3 =（4-x）， ∴x=
7 8
，即 PA=
，
②若 PA=PC，则 PA=2， ③若 PA=PB，由图知，在 Rt△PAB 中，不可能．故 PA=2 或
7 8
．
14．解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′， ∴S△AB′C′：S△ABC=（
∴y=
（2）由（1）知：线段 AB 的“临近点”的纵坐标的范围是 2＜y＜4，把 y=2 代入 y=x-1 得：x=3，把 y=4 代入 y=x-1 得：x=5， ∴3＜x＜5， ∵点 Q（m，n）是线段 AB 的“临近点”， ∴m 的取值范围是 3＜m＜5． 13．解：①若 PB=PC，连接 PB，则∠PCB=∠PBC， ∵CD 为等边三角形的高， ∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°，
- 5 -
②结论：存在． ∵m≥0，n≥0，∴点 M 位于第一象限． ∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如图 4 所示，相似三角形有三种情形：
（I）△AM1H1，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即 2=2（2-m）， ∴m=1；（II）△AM2H2，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即 2=2（m-2）， ∴m=3；（III）△AM3H3，此时点 B 落在⊙A 上．如图，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2，过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N，则 BN=M3H3=n，AN=m-4，由相似关系可知，AH3=2M3H3，即 m-2=2n

中考复习专题--新定义型题学案

中考复习专题――“新定义”问题一、引例：1. 定义：若点P （a ，b ）在函数1y x=的图象上，将以a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数y=ax 2+bx 称为函数1y x=的一个“二次派生函数”．（1）点（2，12）在函数1y x=的图象上，则它的“二次派生函数”是；（2）若“二次派生函数” y=ax 2+bx 经过点（1,2），求a ,b 的值；二、典例解析2.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ≤，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是1．分别判断下列函数不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；32)1(2+--=x x y ()01)2(<-=x xy 32)3(-=x y3. 对于关于x 的一次函数y kx b =+（0k ≠），我们称函数[]()().m kx b x m y kx b x m ⎧+⎪=⎨--⎪⎩≤，＞为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如，32y x =+的4分函数为：当x ≤4时，[]432y x =+；当x ﹥4时，[]432y x =--．（1）如果1y x =-+的2分函数为[]2y ，① 当4x =时，[]2y = ；② 当[]23y =时，x = ．（2）如果1y x =+的－1分函数为[]1y -，求双曲线2y x =与[]1y -的图象的交点坐标；基础练习：1. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），若a =|x 1-x 2|，b =|y 1-y 2|，则记作（P ，Q ）→{a ，b }．（1）已知（P ，Q ）→{a ，b }，且点P （1，1），点Q （4，3），求a ，b 的值；（2）点P （0，-1），a =2，b =1，且（P ，Q ）→{a ，b }，求符合条件的点Q 的坐标；2.平面直角坐标系中，点P （x,y ）的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点P （x,y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫作点P （x,y ）的勾股值，记为：[P]，即[P]= x +y .()][ ][)23,23(,311；、的勾股值），（求点B A B A -+-()的坐标；求点，＝的图象上，且在反比例函数点M M xy M 4][32=。

2014年中考数学第二轮专题复习--新定义型问题

2014年中考数学第二轮专题复习--新定义型问题巩固练习一．基础巩固：1.定义：(,)(,)f a b b a =，(,)(,)g m n m n =--，例如(2,3)(3,2)f =，(1,4)(1,4)g --=，则((5,6))g f -等于（）A ．(6,5)-B ．(5,6)--C ．(6,5)-3D ．(5,6)-2.一列数a 1，a 2，a 3，…，其中a 1＝ 1 2，a n ＝ 1 1＋a n －1(n 为不小于2的整数)，则a 4＝（） A ． 5 8 B ． 8 5 C ． 13 8 D ． 8 133.文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为（）A. 5B. 6C. 7D. 84.定义：平面内的直线1l 与2l 相较于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l ，2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非负实数对（a,b ）是点M 的“距离坐标”。

根据上述定义，距离坐标为（2,3）的点的个数是（）A ．2B ．1C ．4D ．35.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文，b a 2+，c b +2，d c 32+，d 4.例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A. 4，6，1，7B. 4，1，6，7C.6，4，1，7D.1，6，4，76.对于非零的两个实数a 、b ，规定ab b a 11-=⊕，若()1122=-⊕x ，则x 的值为( ) A ． 65 B ． 45 C ． 23 D ．61- 7.定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．58.对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：A ⊕B=（x 1+x 2）+（y 1+y 2）．例如，A （-5，4），B （2，-3），A ⊕B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C ⊕D=D ⊕E=E ⊕F=F ⊕D ，则C ，D ，E ，F 四点（）A ．在同一条直线上B ．在同一条抛物线上C ．在同一反比例函数图象上D ．是同一个正方形的四个顶点9.对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若A ．40B ．45C ．51D ．5610.对平面上任意一点（a ，b ），定义f ，g 两种变换：f （a ，b ）=（a ，-b ）．如f （1，2）=（1，-2）；g （a ，b ）=（b ，a ）．如g （1，2）=（2，1）．据此得g （f （5，-9））=（）A ．（5，-9）B ．（-9，-5）C ．（5，9）D ．（9，5）11.新定义：[a ，b ]为一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0，a ，b 为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程11x -＋1m＝1的解为_______ 12.将4个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线段记成a b c d ，定义a b c d =ad-bc ，上述记号就叫做二阶行列式，若1111x x x x +--+=8，则x=_____. 的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A=36°AB=AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有条．（1）按照这个规定请你计算⎪⎪⎪7 ⎪⎪⎪8的值；（2）按照这个规定请你计算：当x 2－4x ＋4＝0时，11-+x x 322-x x的值．第 15题17.定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．。

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专题二新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题
中定义了中学数学中没有学过的一些概念、
新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合
已有知识、能力进行理解，根据新定义进行
运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问
题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在
复习中应重视学生应用新的知识解决问题
的能力
二、解题策略和解法精讲
ADB=90°．“新定义型专题”关键要把握两点：一是
掌握问题原型的特点及其问题解决的思想
方法；二是根据问题情景的变化，通过认真
思考，合理进行思想方法的迁移．
（
A ．2
B ．3
C ．4
思路分析： “距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l 1、l 2的距离分别为1、2．由于到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，它们有4个交点，即为所求．
解：如图，
∵到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M 1、M 2、M 3、M 4，一共4个．故选C ．
点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k 的点在与已知直
线相距k 的两条平行线上是解题的关键．
2CE PC PC a s
-
（1）如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=120°，∠C=75°，BD 平分∠ABC ．求证：BD 是梯形ABCD 的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC ，点A ．B ．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD 中，AB=AD=BC ，∠BAD=90°，AC 是四边形ABCD 的和谐线，求∠BCD 的度数．
思路分析：（1）要证明BD 是四边形ABCD
的和谐线，只需要证明△ABD 和△BDC 是等腰三角形就可以；
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距
离相等，只要D 在»BC
上任意一点构成的四边形ABDC 就是和谐四边形；连接BC ，在
△BAC 外作一个以AC 为腰的等腰三角形ACD ，构成的四边形ABCD 就是和谐四边形，
（3）由AC 是四边形ABCD 的和谐线，可以得出△ACD 是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．解：（1）∵AD ∥BC ， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC ． ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°． ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB ，
∴△ADB 是等腰三角形．在△BCD 中，∠C=75°，∠DBC=30°， ∴∠BDC=∠C=75°， ∴△BCD 为等腰三角形，
∴BD 是梯形ABCD 的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC 是四边形ABCD 的和谐线， ∴△ACD 是等腰三角形． ∵AB=AD=BC ，
如图4，当AD=AC 时，
∴AB=AC=BC ，∠ACD=∠ADC
A．在同一条直线上
B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上
D．是同一个正方形的四个顶点
思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上．
解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A ⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），
如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），
那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），
D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），
E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），
F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），
又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，
∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，
令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，
则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），
F（x6，y6）都在直线y=-x+k上，
∴互不重合的四点C ，D ，E
，F 在同一条直线上．故选A ．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．对应训练 5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n 阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD 中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD 为2阶奇异矩形．
（1）判断与操作：
如图2，矩形ABCD 长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：
已知矩形ABCD 的一边长为20，另一边长为a （a ＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD 及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a 的值．（3）归纳与拓展：
已知矩形ABCD 两邻边的长分别为
b ，
c （b ＜c ），且它是4阶奇异矩形，求b ：c （直接写出结果）． 7．解：（1）矩形ABCD 是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：
（2）裁剪线的示意图如下：
四、中考真题演练一、选择题
1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（） A ．y=-x+3 B ．y=
5
x
C ．y=2x
D ．y=-2x 2+x-7 1．C 2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（） A ．90° B ．120° C ．150°
A ．40
B ．45
C ．51 3．C 4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a ，
b ），定义f ，g 两种变换：f （a ，b ）=（a ，-b ）．如f （1，2）=（1，-2）；g （a ，b ）=（b ，a ）．如g （1，2）=（2，1）．据此得g （f （5，-9））=（） A ．（5，-9） B ．（
-9，-5）
4．D 5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）
A ．
B ．
C ．
．5．C
二、填空题 6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为． 6．30° 7．（2013•宜宾）如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB=1，那么曲线CDEF 的长是．
7．4π 8．（2013•淄博）在△ABC 中，P 是AB 上
若n-12≤x ＜n+=0，（3.67）=4三、解答题 10．（2013•莆田）定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2=BC•AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．
如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．（1）求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；（2）求出线段AD 的长．
等腰梯形”．其中∠B=∠C．
等腰梯形BCDE 和一个三角形ADE ；。