2008级高等数学(下)期中考试试题

2008级高等数学Ⅰ(2)期中考试试题及

参考答案

班级 学号 姓名 得分

一、填空题（每小题3分，共18分）

1

．00sin()lim x y xy y →→⎡⎤+=⎢⎢⎣

2 ． 2．设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f x xy =，则

2

z x y

∂=∂∂

12

222xf f xyf '''''++ 3．曲线2

3x t y t z t ⎧=⎪

=⎨⎪=⎩在点(1

,1,--处的切线方程为 111213

y x z +-+==- ． 4．曲面l n l n z y x z =+-在点(1,1,1处的切平面方程为

20x y z +-= ．

5．设

(,)y

F x y x =,{(,)|23,}D x y x a y b =≤≤≤≤,则

2d d D

F x y x y ∂=∂∂⎰⎰3232b b a a --+． 6

．设3

33

d I x y z -=

⎰

，则I 在柱面坐标下

的三次积分表达式

为 233

20

d d d z z π

ρ

θρρ⋅⎰

⎰⎰ ．

二、选择题（每小题3分，共12分）

7．设函数(,)f x y 的全微分为d d d z x x y y =+，则点(0,0)【 D 】

Ａ．不是(,)f x y 的连续点 Ｂ．不是(,)f x y 的极值点

Ｃ．是(,)f x y 的极大值点 Ｄ．是(,)f x y 的极小值点

8．设(,)z f x y =可微，且2(,2),(,2),x f x x x f x x x == 则

(,2)y f x x =【 C 】

Ａ．0 Ｂ．2

1x - Ｃ．2

12

x - Ｄ．212

x - 9

．

设函

数

)

,(y x f 连续，则

2

2

2

41

1

d (,)d d (,)d y

x

y

x f x y y y f x y x -+=⎰

⎰⎰⎰

【 C 】

Ａ．

2

41

1

d (,)d x

x f x y y -⎰

⎰

Ｂ． 2

41

d (,)d x

x

x f x y y -⎰

⎰

Ｃ．

2

41

1

d (,)d y

y f x y x -⎰

⎰

Ｄ．

2

2

1

d (,)d y

y f x y x ⎰

⎰

10．如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域

(1,2,3,4)k D k =， k I =

cos d d k

D y x x y ⎰⎰，则14

max{}k

k I ≤≤=【 A 】

Ａ．1I Ｂ．2I Ｃ．3I Ｄ．4I

三、计算与证明题（每小题7分，共70分）

解：（1）gra d (,,)(,,)2,2)x y z f x y z f f f x y x z '''==--（，

gra d (1,0,1)21,2);f =-（，

（

2）方向

(1,4,1)

l =

，

(cos ,cos ,cos )||l l αβγ==

101101

c o s c o s c o s 0

8

f f f f

l x y z αβγ∂∂∂∂=++=

=∂∂∂∂（，，）（，，）

解

：

令

232

z F x y e z =--，

3222,3,2z x y z F xy F x y F e z '''===--

则 3

22x z

z

F z x y

x F e z '∂=-='∂+， (1,1,0)2z x ∂=∂ 所以

332

2

2

2(2)(2)2(2)

z z

z z z

y e z e xy z x x x e z ∂∂+-+∂∂∂=∂+ ， 22

(

1,1,0)

10z x ∂=-∂

解： 由2

2

2(2)02ln 10x y f x y f x y y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩

得：1(0,)e

2212(2),4,2xx xy yy f y f xy f x y

=+==+

在点1(0,)e 处，212(2),0,,0A B C e AC B e

=+==->， 所以，极小值为 11(0,)f e e

=

-

解：令

22()

F x z y f x z =+--，

12,,12x y z F xyf F f F yzf '''''=-=-=+