向量与三角的交汇的综合问题解法探

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用向量法解三角几何

用向量法解三角几何本文介绍了一种用向量法解决三角几何问题的方法。

向量法是一种准确且直观的解题方法，可以应用于各种三角形相关的问题。

1. 向量表示为了使用向量法解决三角几何问题，首先需要将几何图形中的点和向量表示出来。

对于三角形ABC，可以用向量AB、向量AC 和向量BC表示三个边。

2. 向量运算通过向量的加法、减法和数量乘法，可以进行各种三角形相关的运算。

例如，两个向量的和表示两个边的向量和，而两个向量的差表示两个边的向量差。

3. 向量积向量积是向量法解决三角几何问题中的重要概念。

向量积有两种形式：数量积和向量积。

数量积表示两个向量之间的夹角关系，向量积表示两个向量所构成的平行四边形的面积。

4. 应用示例下面通过一个应用示例来说明如何用向量法解决三角几何问题。

已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 2)，B(3, 3)和C(2, 4)，求三角形ABC的面积。

解：首先将点A、B和C表示为向量。

向量AB = B - A = (3, 3) - (1, 2) = (2, 1)，向量AC = C - A = (2, 4) - (1, 2) = (1, 2)。

然后计算向量AB和向量AC的向量积。

向量积的大小等于向量AB和向量AC的数量积的绝对值乘以它们夹角的正弦值。

根据向量的定义，向量积的大小等于平行四边形ABCB'的面积。

平行四边形ABCB'的底边AB的长度为|AB| = √(2^2 + 1^2) = √5，高为|AC|·sin(∠BAC) = √(1^2 + 2^2)·sin(∠BAC) = √5·sin(∠BAC)。

因此，三角形ABC的面积等于平行四边形ABCB'的面积的一半，即S = (1/2)·√5·√5·sin(∠BAC) = 5·sin(∠BAC)。

5. 总结向量法是一种有效而简洁的解题方法，适用于各种三角几何问题。

向量与三角交汇的综合问题解法

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２００６年第２期
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三角函数与向量交汇题的求解策略探究

三角函数与向量交汇题的求解策略探究三角函数与向量交汇题是数学中的一个经典问题，涉及到了三角函数和向量的相关知识。

在解决这类题目时，需要通过分析问题的特点，灵活运用相关知识进行求解。

本文将围绕三角函数与向量交汇题的求解策略展开讨论，希望能为读者提供一些有益的思路和方法。

一、理解题目在解决三角函数与向量交汇题时，首先需要对题目进行仔细的理解和分析。

通常这类题目会给出几何图形或者特定的情境，要求求出某些角度、长度或者其他相关的量。

在理解题目的过程中，需要特别注意题目中给出的条件和所求的未知量，以便在后续的求解中有明确的方向和目标。

二、运用三角函数在解决三角函数与向量交汇题时，三角函数是必不可少的工具。

根据题目给出的条件和所求的未知量，可以灵活地运用正弦、余弦、正切等三角函数的性质和公式进行求解。

对于已知两个向量的夹角和模长，可以通过余弦定理或者正弦定理求解出所求的向量分量或者长度。

对于特定的几何图形，如三角形、正多边形等，也可以利用三角函数来求解其中的未知量。

在已知三角形三边长或者某个角度的情况下，可以利用三角函数的性质求解出其余的未知量。

三、运用向量的性质除了三角函数，向量的性质也是求解三角函数与向量交汇题的重要工具之一。

在题目中给出的向量的夹角、模长、方向等条件下，可以通过向量的加法、减法、数量积、叉积等运算来求解所需的未知量。

在解决向量交汇问题时，也可以利用向量的方向余弦和方向角的概念，将向量转化成三角函数的形式进行求解。

这样可以将向量的问题转化成三角函数的问题，更加简化求解的过程。

在实际的题目中，往往需要综合运用三角函数与向量的知识，进行复杂的求解。

这就要求我们对三角函数和向量的相关知识有比较全面的掌握，能够根据题目的条件和要求，合理地选择使用三角函数或者向量来进行求解。

在综合运用三角函数与向量的过程中，需要考虑到题目的整体逻辑和结构，灵活地应用相应的知识来解决问题。

在这个过程中，需要注重对题目的整体把握，避免陷入局部的细节中，导致求解的困难。

向量与三角综合题类型及解法

数学爱好者２００７·６专业精心策划Ｓ高一数学爱好者名师点金ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系．如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性．若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理，可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度．下面举例说明．一、求三角式的值例１设ａ!＝（１＋ｃｏｓα，ｓｉｎα），ｂ"＝（１－ｃｏｓβ，ｓｉｎβ），ｃ!＝（１，０），α∈（０，π），β∈（π，２π），ａ!与ｃ!的夹角为θ１，ｂ"与ｃ!的夹角为θ２，且θ１－θ２＝π６，求ｓｉｎα－β４的值．解析因为ａ!＝（１＋ｃｏｓα，ｓｉｎα）＝２（ｃｏｓ２α２，２ｓｉｎα２·ｃｏｓα２）＝２ｃｏｓα２（ｃｏｓα２，ｓｉｎα２），又因为ａ!与ｃ!的夹角为θ１，所以θ１＝α２，又ｂ"＝（１－ｃｏｓβ，ｓｉｎβ）＝（２ｓｉｎ２β２，２ｓｉｎβ２ｃｏｓβ２）＝２ｓｉｎβ２（ｓｉｎβ２，ｃｏｓβ２），而ｂ"与ｃ!的夹角为θ２，所以θ２＝β２－π２，又θ１－θ２＝π６$α２－β２＋π２＝π６，所以α－β２＝－π３，所以ｓｉｎα－β４＝ｓｉｎ（－π６）＝－１２．二、求两向量所成的角例２已知ａ!＝（ｃｏｓα，ｓｉｎα），ｂ"＝（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ），其中０＜α＜β＜π，（１）求证：ａ!＋ｂ"与ａ!－ｂ"互相垂直；（２）若ｋａ!＋ｂ"与ｋａ!－ｂ"（ｋ≠０）的长度相等，求β－α．解析（１）因为（ａ!＋ｂ"）·（ａ!－ｂ"）＝ａ!２－ａ!·ｂ"＋ｂ"·ａ!－ｂ"２＝ａ!２－ｂ"２＝ａ!２－ｂ"２＝ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α&－ｃｏｓ２β＋ｓｉｎ２β&＝１－１＝０，所以ａ!＋ｂ"与ａ!－ｂ"互相垂直．方法技巧向量与三角综合题类型及解法◇辽宁省海城市大屯镇育英学校张恩强"#$数学爱好者２００７·６专业精心策划Ｓ高一数学爱好者ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ名师点金Ａｐｅｃｕｌｉａｒｂｅａｕｔｙｒｅｉｇｎｓｉｎｔｈｅｒｅａｌｍｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，（ａｂｅａｕｔｙｗｈｉｃｈｒｅｓｅｍｂｌｅｓｎｏｔｓｏｍｕｃｈｔｈｅｂｅａｕｔｙｏｆａｒｔａｓｔｈｅｂｅａｕｔｙｏｆｎａｔｕｒｅ）ａｎｄｗｈｉｃｈａｆｆｅｃｔｓｔｈｅｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅｍｉｎｄ，ｗｈｉｃｈｈａｓａｃｑｕｉｒｅｄａｎａｐｐｒｅｃｉａｔｉｏｎｏｆｉｔ，ｖｅｒｙｍｕｃｈｌｉｋｅｔｈｅｌａｔｅｒ．一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美而与自然之美更为类似，她深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏，与自然之美是十分相象的．———库默（２）ｋａ!＋ｂ"＝（ｋｃｏｓα＋ｃｏｓβ，ｋｓｉｎα＋ｓｉｎβ），ｋａ!－ｂ"＝（ｋｃｏｓα－ｃｏｓβ，ｋｓｉｎα－ｓｉｎβ），所以ｋａ!＋ｂ"＝ｋ２＋２ｋｃｏｓ（β－α）＋１#，ｋａ!－ｂ"＝ｋ２－２ｋｃｏｓ（β－α）＋１#，因为ｋａ!＋ｂ"＝ｋａ!－ｂ"，所以ｋ２＋２ｋｃｏｓ（β－α）＋１＝ｋ２－２ｋｃｏｓ（β－α）＋１，有２ｋｃｏｓ（β－α）＝－２ｋｃｏｓ（β－α），因为ｋ≠０，故ｃｏｓ（β－α）＝０，又因为０＜α＜β＜π，０＜β－α＜π，所以β－α＝π２．三、判断三角形的形状例３已知在△ＡＢＣ中，Ａ&’Ｂ＝Ａ&’Ｃ，且２Ａ&’Ｂ·Ｃ&’Ａ＋Ａ&’Ｂ２＝０，判断△ＡＢＣ的形状．解析因为２Ａ&’Ｂ·Ｃ&’Ａ＋Ａ&’Ｂ２＝０，所以２Ａ&’Ｂ·Ａ&’Ｃ－Ａ&’Ｂ２＝０，所以Ａ&’Ｂ·Ａ&’Ｃ＝１２Ａ&’Ｂ２，所以由向量的夹角公式，得ｃｏｓＡ＝Ａ&’Ｂ·Ａ&’ＣＡ&’Ｃ·Ａ&’Ｂ＝１２Ａ&’Ｂ２Ａ&’Ｂ２＝１２，所以Ａ＝６０°，又Ａ&’Ｂ＝Ａ&’Ｃ，所以△ＡＢＣ为等边三角形．四、求向量的模例４△ＡＢＣ中，三个内角分别是Ａ、Ｂ、Ｃ，向量ａ!＝（５#２ｃｏｓＣ２，ｃｏｓＡ－Ｂ２），当ｔａｎＡ·ｔａｎＢ＝１９时，求ａ!．解析因为ａ!＝（５#２ｃｏｓＣ２，ｃｏｓＡ－Ｂ２），则ａ!２＝５４ｃｏｓ２Ｃ２＋ｃｏｓ２Ａ－Ｂ２＝５４ｓｉｎ２Ａ＋Ｂ２＋ｃｏｓ２Ａ－Ｂ２＝５４·１－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）２＋１＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）２＝１８［９＋４ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－５ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）］＝１８（９＋４ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋４ｓｉｎＡｓｉｎＢ－５ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋５ｓｉｎＡｓｉｎＢ）＝１８（９＋９ｓｉｎＡｓｉｎＢ－ｃｏｓＡｃｏｓＢ），又ｔａｎＡｔａｎＢ＝１９，即ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓＡｃｏｓＢ＝１９，所以９ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡｃｏｓＢ．所以ａ!２＝９８，故ａ!＝３２#４．五、其他综合问题例５若向量ａ!ｎ＝（ｃｏｓ２ｎθ，ｓｉｎｎθ），ｂ"ｎ＝（１，２ｓｉｎｎθ）（ｎ∈Ｎ＊），试判断数列｛ａ!ｎ·ｂ"ｎ２－１｝是等差数列还是等比数列？解析因为ａ!ｎ＝（ｃｏｓ２ｎθ，ｓｉｎｎθ），ｂ"ｎ＝（１，２ｓｉｎｎθ）（ｎ∈Ｎ＊），所以ａ!ｎ·ｂ"ｎ２－１＝（ｃｏｓ２ｎθ，ｓｉｎｎθ）·（１，２ｓｉｎｎθ）２－１＝ｃｏｓ２ｎθ＋２ｓｉｎ２ｎθ２－１＝１－２ｓｉｎ２ｎθ＋２ｓｉｎ２ｎθ２－１＝１－１＝０，所以数列｛ａ!ｎ·ｂ"ｎ２－１｝是等差数列．ｍｉｎｇｒｅｎｍｉｎｇｙａｎ"#$。

高考数学一轮总复习三角函数与向量解题思路详解

高考数学一轮总复习三角函数与向量解题思路详解【文章正文开始】在高考数学一轮总复习中，三角函数与向量是重要的考点之一。

掌握解题思路对于学生来说至关重要。

本文将详细介绍三角函数与向量的解题思路，帮助学生更好地应对高考数学考试。

一、三角函数解题思路1. 理解基本概念在解题之前，首先需要对三角函数的基本概念有足够的理解。

这包括正弦、余弦、正切等常见的三角函数及其定义、性质等。

只有理解了基本概念，才能更好地应用于解题过程中。

2. 运用特殊角的性质在解题过程中，经常会遇到特殊角的问题。

对于特殊角，我们可以根据其性质进行换算和简化。

例如，利用30°、45°、60°等特殊角的三角函数值可以快速解题，简化计算过程。

3. 利用三角函数的周期性三角函数具有周期性，即在一定区间内函数值呈现循环变化。

在解题过程中，可以利用三角函数的周期性进行变形和化简。

例如，将题目中给定的角度范围转换为同余角范围，或者利用周期性简化计算。

4. 运用三角函数的变角公式和和差公式三角函数的变角公式和和差公式在解题中起到了关键作用。

变角公式可以将一个角的三角函数值转换为另一个角的三角函数值，从而简化计算。

和差公式可以将两个角的三角函数值表示为一个角的三角函数值，从而使得问题的解法更加灵活多样。

5. 结合无理方程求解三角函数在解无理方程时具有重要的应用。

通过将无理方程转化为三角函数方程，再利用三角函数的性质和方程的特点进行求解，可以有效地解决一些复杂的问题。

学生在解题过程中应该灵活应用这一思路。

二、向量解题思路1. 理解向量的基本概念在解向量题目之前，首先需要对向量的基本概念和运算法则有清晰的理解。

这包括向量的定义、向量的加法、减法、数量乘法等基本运算。

只有掌握了基本概念和运算法则，才能进行后续的解题过程。

2. 运用向量的共线、共面和垂直的性质在解题过程中，常常会涉及到向量的共线、共面和垂直的性质。

学生可以根据向量的这些性质进行方程的构建和求解，从而得到问题的解答。

浅议向量与解三角形的交汇

浅议向量与解三角形的交汇近几年来，三角函数与平面向量的交汇题逐渐进入高考试卷，并在不断加大考查的力度。

下面结合某些高考题或高考模拟题，介绍这种问题的三种常见类型，供探讨。

一．与三角形“四”心交汇例1.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)0,0,AB AC OP A AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P的轨迹一定通过△ABC 的（） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】11e AB==21e AC ==121AP e e =+=+.1==，∴□AB 1P 1C 1是菱形，故射线AP 1平分∠BAC.此时10λ+=，知A 、P 1、P 共线. ∵[)+∞∈,0λ∴P 的轨迹是∠BAC 的平分线，它一定通过△ABC 的内心，选B. 二、运用向量判断三角形形状（与三角形边角交汇）例2．向量,,OA OB OC 满足条件0OA OB OC++=，OA OB OC ===1，试判断ABC ∆的形状。

解：0,,OA OB OC OA OB OC ++=∴+=-22()()OA OB OC ∴+=，即2OA + 222OB OA OB OC +⋅=，1OA OB OC ===，1,2OA OB ∴⋅=- ∴OA OB ⋅cos AOB ∠=12-，12cos ,,23AOB AOB π∴∠=-∴∠= 同理AOC ∠BOC =∠=23π，故ABC ∆是等边三角形。

例3．在ABC ∆中，设,,,BC a CA b AB c ===若,a b b c c a ⋅=⋅=⋅判断ABC ∆的形状。

解：0a b c ++=，22,()a b c a b c ∴+=-+=，2222a b a b c ∴++⋅= 同理2222b c b c a ++⋅=，两式相减，得22222()ac a b b c c a -+⋅-⋅=-， a b b c ⋅=⋅，∴2a =2c ，a c =，同理a b =，∴a b c ==，故ABC ∆是等边三角形。

高考数学二轮复习第三课时向量与三角的交汇的综合问题解法

高考数学二轮复习第三课时向量与三角的交汇的综合问题解法当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。

在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。

此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种： ①利用向量平行或垂直的充要条件， ②利用向量数量积的公式和性质.一、向量与三角函数性质的交汇【例1】已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则|2|a b -的最大值是 4 。

【例2】设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x∈R.(Ⅰ)若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； (Ⅱ)若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，某某数m 、n 的值解析：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π). 由1+2sin(2x +6π)=1－3，得sin(2 x +6π)=－23.∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π.（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象.由（Ⅰ）得f(x)=2sin2(x +12π)+1.∵|m|<2π，∴m=-12π，n=1.【例3】已知向量→a =(cos 3x 2,sin 3x 2)，→b =(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0,π2]，求：①→a ·→b 及|→a ＋→b |；②若f (x )=→a ·→b －2λ|→a ＋→b |的最小值是－32，求λ的值。

解析：①→a ·→b =cos 3x 2·cos x 2－sin 3x 2·sin x 2=cos2x ；|→a ＋→b |=(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x2)2=2＋2cos2x =2cos 2x∵x ∈[0,2π]∴cos x ＞0 ∴|→a ＋→b |=2cos x②f (x )=cos2x －4λcos x 即f (x )=2(cos x －λ)2－1－2λ2∵x ∈[0,π2]∴0≤cos x ≤1⑴当λ＜0时，当且仅当cos x =0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾。

平面向量与三角函数的交汇与融合

平面向量与三角函数的交汇与融合作者：郑泽芹来源：《数学学习与研究》2019年第01期【摘要】平面向量与三角函数的综合题在各类考试中经常能遇到，作为近年来高考热点题型需要学生重点掌握.想要高效准确地解决平面向量与三角函数的综合题，一方面，要全面、系统地了解三角函数和平面向量的知识，另外一方面，也要对常见题型和解题方法有很好的认识.本文主要对平面向量与三角函数的交汇与融合及解题思想方法进行探究.【关键词】平面向量;三角函数;综合题;解题方法平面向量将数、形结合在一起，是中学数学学科知识交汇和联系多项内容的媒介.平面向量与三角函数的交汇和融合使三角问题富于变化，在平面向量与三角函数的交汇融合之中，平面向量既可以表现为一种“包装”形式，又可以表现出一定的工具性，不仅能很好地体现平面向量与三角函数的内在联系与相互转化关系，还可以体现平面向量的工具作用与三角变化的灵活性.一、平面向量与三角函数的交汇融合（一）平面向量与三角函数的联系平面向量是数学学科中的重要概念与工具，与代数、几何均有十分密切的联系，并逐渐成为高中阶段数学学科知识网络中的一个交汇点.三角函数是基础初等函数，在高中数学学科中尤为重要，三角函数的定义、性质具有显著的特征及规律性，与代数和几何的联系也尤为紧密.故平面向量和三角函数综合题备受高考命题者青睐，是高考命题的热点.在平面向量与三角函数的交汇处设计试题千变万化、层出不穷，此类问题经常以解答题形式出现，考查知识点涉及平面向量平行、垂直、数量积等.在此类问题中向量多作为知识背景或载体形式出现，考查重点实际为三角函数，重点在于考查向量的工具作用.处理这类问题时需要利用向量知识将题目转化成三角函数进行求解，如何将平面向量知识背景转化成三角函数关系式，如何用平面向量来解决三角函数的问题，这些都是解题的关键.（二）平面向量與三角函数中的数学思想方法数学思想方法是解决三角函数与平面向量问题的指南，化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等在解决平面向量与三角函数的交汇融合问题中至关重要.（1）化归思想.化归思想在三角函数中的应用主要体现在化多角为单角、化未知角为已知角、化高次为低次、化特殊为一般、化多种函数名称为一种函数名称.在平面向量中的应用中主要体现在化三角函数问题为平面向量问题，以平面向量知识去解决问题.（2）函数方程思想.函数方程思想是用函数、方程的方法处理变量与未知数之间的联系，从而解决问题.（3）分类讨论思想.分类讨论思想在平面向量中的广泛应用，具体体现在科学分类、不重复、不漏掉地解决向量问题.因三角函数值或性质只能在一定象限范围内应用，当在一个更广的范围内求解问题时需要对角所在的不同象限将问题一一解决.（4）数形结合思想.利用三角公式证明三角函数几何性质，是“以数助形”方法;利用单位圆的三角函数线、三角函数图像求解三角问题，是“以形助数”方法;利用单位圆研究三角函数几何意义表示三角函数的三角函数线即平面向量.这是一道将向量作为基础的三角函数边长求解问题，解题关键在于根据向量知识对三角形边长进行求解.对这类问题的解题指导，首先需要对三角函数边长与角的关系、边角关系、直角三角形三边关系等建立知识框架，保证学生可以掌握三角函数求边长的问题.本题解题时需要先对三角形形状进行判断，明确题目中的限制条件，找出存在的相关关系，结合平面向量、三角函数等内容，求解最终结果.三、结束语平面向量与三角函数的交汇及融合是高考考查的重点和热点问题，这类题型多数是以三角函数问题为背景的向量描述，需根据向量运算性质将向量问题转变为三角知识进行解题，三角函数才是考查的主体.平面向量与三角函数的综合题考查的要求通常不高，在解题时需要首先考虑向量的工具性及其作用，灵活运用平面向量和三角函数的性质进行解题.【参考文献】[1]余文泰.数学三角函数解题常见误区探讨[J].现代商贸工业，2016（33）：332-333.[2]石芮嘉.高中生学习三角函数的困难与解决对策[J].教育观察（下半月），2016（10）：92+98.。

向量与三角函数交汇题的解题策略

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（责任编校 ! 冯宪）
! 数学 !
向量与三角函数交汇题的
解题策略
文 ! 胡彬当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重具有代数视知识的交汇性 !向量是新课程中新增的内容，与几何形式的双重身份，它是新、旧知识的一个重要交汇点，成为联系这些知识的桥梁 !向量与三角函数的交汇是当今高考命题的必然趋势，以下几例，重在为备考中的考生总结题型规律，探究解题策略! 一、向量与三角函数性质的交汇例" 已知向量 !# （ $%& ’ ! ，，（ $%& ! ， &)* ’ ! ） "# 小结综上所述， # # " 即为所求 $
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向量与三角的结合问题解法探究

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向量与三角的结合问题解法探究
作者：欧岑
来源：《中学生导报·教学研究》2013年第04期
当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的结合性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。

它是新旧知识的一个重要的结合点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的结合是当今高考命题的必然趋势，以下几例解析方法，重在为备考中的考生揭示题型规律，与数学同仁们共同归纳与探究解题策略。

一、向量与三角函数性质的结合。

三角函数与向量结合的题型

三角函数与向量结合的题型【引言】在高中数学课程中，三角函数和向量是两个重要的概念。

它们分别代表了数学的几何和代数两个方面。

三角函数帮助我们研究角度、三角形的性质，而向量则使得我们能够进行矢量运算和分析。

这两个概念的结合可以带来更加复杂和有趣的数学题型。

在本文中，我们将探讨三角函数与向量结合的题型，从简单到复杂，逐步深入地理解这个主题。

【1. 什么是三角函数】三角函数是描述角度和角度相关的性质的一组函数。

其中最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

我们通常用sin、cos和tan来表示它们。

三角函数的定义涉及到一个直角三角形的三个边长或角度，使得我们能够通过角度来研究三角形的性质。

三角函数在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。

【2. 什么是向量】向量是用来表示大小和方向的量。

在数学中，向量通常用有序数对或有序数组来表示。

有向线段也可以看作是向量的几何表示。

向量在几何和代数中都有广泛的应用。

我们可以通过向量进行矢量运算，如向量加法、向量减法和数量乘法。

向量还可以用于描述力、速度和位移等物理量。

【3. 三角函数与向量的关系】三角函数和向量之间有许多密切相关的关系。

我们可以通过三角函数来表达向量的方向。

给定一个向量，我们可以计算出它与横轴的夹角，并通过三角函数来表示这个夹角的大小。

我们可以使用三角函数来计算两个向量之间的夹角。

夹角的正弦、余弦和正切值可以帮助我们理解向量之间的关系和性质。

在解决几何问题时，我们常常会遇到涉及角度和向量的复杂题目，这些题目需要我们结合三角函数和向量来求解。

【4. 三角函数与向量结合的题型举例】下面我们来看一些常见的三角函数与向量结合的题型。

4.1 题型一：求两个向量的夹角已知两个向量a和b，求它们的夹角。

解决这个问题时，我们可以使用向量的数量积和三角函数来求解。

具体步骤如下：计算向量a和b的数量积，即a·b。

计算a和b的模长，即|a|和|b|。

三角函数与向量交汇题的求解策略探究

三角函数与向量交汇题的求解策略探究
三角函数与向量交汇题主要涉及两个方面的内容：三角函数的计算和向量的运算。

在解决这类问题时，需要根据题目给出的信息，采用适当的策略进行推导和计算。

在解决三角函数的计算问题时，可以根据已知条件应用正弦、余弦、正切等三角函数的定义，通过构建方程组来求解。

常见的策略有：
1. 利用已知角度和一条边的长度，确定另外两条边的长度。

已知一个直角三角形的斜边和一个角的大小，可以通过正弦或余弦函数计算出两条直角边的长度。

在解决向量交汇问题时，可以根据向量的定义和相关定理进行计算。

常见的策略有：
1. 利用向量的加法和减法求解。

已知两个向量的起点和终点坐标，可以将它们表示为向量的形式，然后进行加法和减法运算，求解它们的交汇点坐标。

在具体解题过程中，还需要注意一些常见的解题技巧和注意事项：
1. 注意角度的单位。

在计算三角函数时，需要将角度转换为弧度，通常可以利用180°=π弧度的关系进行换算。

2. 注意向量的顺序。

在进行向量运算时，需要明确向量的方向性，特别是在进行向量相减或数量积计算时，需要考虑向量是否反向。

3. 注意排除无解或多解的情况。

在进行计算时，可能会遇到无解或多解的情况，需要通过条件判断或几何意义进行排除或解释。

三角函数与向量交汇题的解题策略主要涉及三角函数的计算和向量的运算，需要根据题目给出的信息，选择适当的策略进行求解。

在具体解题过程中，可以根据题目要求灵活应用各种相关概念、定理和计算方法，注意单位换算和向量顺序等问题，同时注意排除无解或多解的情况，以求得正确答案。

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇在三角形中，有四个特殊的点，即内心、外心、重心和垂心，它们可以与向量知识有所交汇。

1. 内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，表示为I。

内心到三角形的各个顶点的距离相等，即IA=IB=IC。

如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设内心为I的向量为OI，那么可以得到关系式：OI = (IA/2) * (OA/|OA| + OB/|OB| + OC/|OC|)。

根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算内心的位置。

2. 外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，表示为O。

外心到三角形的各个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。

如果我们用向量AB、BC、CA表示三条边的向量，并设外心为O的向量为OO，那么可以得到关系式：OO = (OA/2) + (OB/2) + (OC/2)。

根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算外心的位置。

3. 重心：三角形的重心是三条中线的交点，表示为G。

重心到三角形的各个顶点的距离按比例为2:1，即GA = GB = GC = 2/3 * OA。

如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设重心为G的向量为OG，那么可以得到关系式：OG = (OA + OB + OC)/3。

根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算重心的位置。

4. 垂心：三角形的垂心是三个高的交点，表示为H。

垂心到三角形的各个顶点的距离满足HHa/HOa = HHb/HOb = HHc/HOc = -1。

如果我们用向量HA、HB、HC表示三个高的向量，并设垂心为H的向量为OH，那么可以得到关系式：OH = HA + HB + HC。

根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算垂心的位置。

向量知识可以帮助我们计算三角形的内心、外心、重心和垂心的位置，从而揭示它们之间的关系。

高三重点：解三角形与三角函数综合问题(含向量)

三角函数与解三角形结合相关综合问题(适用于理科数学)三角函数与解三角形相结合的问题，因其考察范围非常广泛、涉及知识点众多，在各省各套卷中，都是重中之重的问题，熟练掌握三角函数的基本公式、解三角形的基本方法思路是问题解决的关键。

注意以下细节问题：1、不知道什么时候使用“边化成角，角化成边”的思路，以及不能正确进行边角互化，是必须要解决的问题，判断下面的算式进行的边角互化是否正确。

22223232cos cos ;sin cos sin cos ;sin sin sin ;sin sin sin sin ;;sin sin sin ;;sin sin sin sin sin sin ;cos ;sin sin sin cos ;cos a B b A A B B A a A b A c C A B A C a c b A C B a bc ac b A B C A C B a b c A A B C A ab A =→=+=→+=+=→+=+-=→+-=++=++=+（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、2cos sin sin cos sin sin cos sin ;b ac B a A B A A C B A +=→+=上述进行的边角互化，只有第一个和第二个是正确的，其余均是错误的；2、在三角形中常用一些与三角形内角和有关的诱导公式，这些公式往往能够起到减少未知角数量的作用，特别是在三角形中已知一个内角求相关范围的时候一般将问题转化为三角函数中“一角一函数”的问题加以解决。

现对这些公式进行举例，希望考生务必要记住，记准，记熟。

sin()sin ;cos()cos ;sin()cos ;22cos()sin ;22A B C A B C A B C A B C +=+=-+=+=3、三角形内角角度范围：题中常说到锐角三角形或钝角三角形，这其实就是在给我们有关于内角范围的隐含条件，比如本专项第一道题，粗略认为每个内角都是(0,)2π的范围肯定是不对的，应结合题意仔细分析，考生一定要注意这一点。

向量与三角函数创新题型的解题技巧

向量与三角函数创新题型的解题技巧导言向量与三角函数是高中数学中重要的概念和工具。

在解题过程中，我们经常会遇到创新型的题目，需要我们运用向量和三角函数的知识来解决。

然而，这些题目往往较为复杂和难以直接套用常规的解题方法。

本文将介绍一些解题技巧，帮助读者更好地解答向量与三角函数创新题型。

技巧一：理解向量运算在解答向量与三角函数创新题型时，熟练掌握向量运算是非常重要的。

向量运算包括向量加法、向量减法和向量数乘。

首先，我们需要清楚地理解向量的几何意义，即向量是有方向和大小的量，并可以表示为一个有向线段。

在题目中，通常会涉及向量的平移、旋转以及投影等运算。

理解这些运算的几何意义可以帮助我们更好地理解问题，从而找到解题的关键。

技巧二：灵活运用平移与旋转许多向量与三角函数创新题型涉及到平移和旋转操作。

平移是指将向量的起点平移至其他位置，旋转是指将向量绕定点旋转一定的角度。

在解题过程中，我们可以通过平移和旋转来简化问题，使得解题更加容易。

例如，对于一个平面上的向量问题，我们可以通过平移将向量的起点设置为坐标原点，从而大大简化计算。

类似地，我们还可以通过旋转来使向量与坐标轴对齐，从而化简计算过程。

技巧三：利用三角函数的性质三角函数是向量与三角函数创新题型中经常会涉及到的概念。

在解答这类题目时，熟练掌握三角函数的性质是非常重要的。

首先，我们需要理解三角函数的定义和图像。

例如，正弦函数和余弦函数的图像是周期性的，周期为2π。

其次，我们还需要掌握三角函数的基本关系式，如正弦定理、余弦定理和正切函数的定义等。

利用这些性质和关系式，我们可以将问题转化为一些简单的代数方程或三角方程，然后再进行求解。

技巧四：巧用向量之间的关系在解决向量与三角函数创新题型时，我们经常会用到一些向量之间的关系。

例如，向量的数量积和叉积可以帮助我们求解角度和长度等问题。

在应用这些关系式时，我们需要注意向量的顺序和方向，以及向量之间的运算法则。

灵活运用这些关系式可以帮助我们简化计算，从而更快地解决问题。

透析向量与三角形的交汇点

透析向量与三角形的交汇点
作者：韩志虎
来源：《科技创新导报》 2012年第12期
韩志虎
(河北玉田二中河北玉田 064100)
摘要:本文主要从利用向量加减法运算三角形形状、向量关系式与三角形各种心的关系、向量的数量积与三角形的关系以及三角形的性质与向量的定比分点的关系等几个方面论述了向量与三角形的几个交汇点。

关键词:向量三角形
中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:1674-
098X(2012)04(c)-0234-01
【点评】三角形的中线,高线,中位线等所具备的特殊性质,为向量的定比分点提供了舞台。

在解答此类习题是要注意:(1)要掌握三角形的一些特殊性质,如角分线定理,高线与所对的底边垂直等,并注意与向量的知识的紧密联系。

(2)善于把三角形的性质用向量的知识表述出来,.如垂直可联想到数量积得零等,问题就容易解决了。

平面向量与三角函数交汇

平面向量与三角函数的交汇-中学数学论文
平面向量与三角函数的交汇
孙恒来
（扶余县第一中学，吉林松原131200）
摘要：平面向量与三角函数的综合题是高考的一个热点。

这类问题大多是以三角函数题型为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角函数是考查的主体．考查的要求并不高，解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答。

关键词：平面向量；三角函数；交汇
中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-02-0062-01
题后反思：三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三
角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的使用。

点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式。

向量与三角函数创新题型的解题技巧

向量与三角函数创新题型的解题技巧【命题趋向】1.三角函数的性质、图像及其变换,主要是的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现,属中低档题,这些试题对三角函数单一的性质考查较少,一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上,考查的知识点来源于教材.2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力,一般要运用和角、差角与二倍角公式,尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现,属中档题.3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体,或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用,注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现,属中档题.4.在一套高考试题中,三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题,或选择题与填空题1个,解答题1个,分值在17分-22分之间.5.在高考试题中,三角题多以低档或中档题目为主,一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而三角题是高考中的得分点.【考点透视】1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同解三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义.3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωxψ)的简图,理解A、ω、ψ的物理意义.6.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx,arcosx,arctanx表示.7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形的计算问题.8.掌握向量与三角函数综合题的解法.常用解题思想方法1.三角函数恒等变形的基本策略。

专题一三角与向量的交汇题型分析及解题策略

专题一：三角与向量的交汇题型阐发及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要表达为交汇型，在高考中，主要呈此刻解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要表达在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题(5分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题(5分)考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题(12分)考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题(4分)考查正余弦定理与向量数量积等.按照2021年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的底子恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数常识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先操纵向量常识成立三角函数关系式，再操纵三角函数常识求解；(3)考查三角函数常识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.【测验要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的底子关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法〞画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的底子定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处置有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，而且能熟练运用．掌握平移公式．【考点透视】向量具有代数运算性与几何直不雅性的“双重身份〞，即可以象数一样满足“运算性质〞进行代数形式的运算，又可以操纵它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角〞为自变量的函数，函数值表达为实数，因此平面向量与三角函数在“角〞之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，出格是y=Asin(ωx+ϕ)的性质和图像及其图像变换. 3．考查平面向量的底子概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标暗示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律(包罗坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查操纵正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例阐发】题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个常识系统中讲法不尽不异，但它们本色是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面确实定：(1)平移的标的目的；(2)平移的单元.这两个方面就是表达为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，那么ϕ和B 的值依次为〔〕A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3【阐发】按照向量的坐标确定平行公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，再代入解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】由平移向量知向量平移公式⎩⎪⎨⎪⎧x '＝x －π6y '＝y －3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，应选C.【解析2】由向量→a ＝(－π6，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移π6个单元，再向下平移3个单元，由此可得函数的图象为y ＝sin2(x ＋π6)－3，即y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，应选C.【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查阐发问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.此题解答的关键，也是易出错的处所是确定平移的标的目的及平移的大小.题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再操纵三角函数的相关常识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的根底掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】 A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.假设向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值.【阐发】首先操纵向量共线的充要条件成立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再按照角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题按照第(Ⅰ)小题的成果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再按照 B 的范围求最值.【解】〔Ⅰ〕∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(cosA －sinA)，那么sin 2A ＝34，又A 为锐角，所以sinA ＝32，那么A ＝π3. 〔Ⅱ〕y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2＝2sin 2B ＋cos (π－π3－B)－3B2＝2sin 2B ＋cos(π3－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B＝32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1. ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6)，∴2B －π6＝π2，解得B ＝π3，y max ＝2.【点评】此题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.此题解答有两个关键：〔1〕操纵向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；〔2〕按照条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先操纵向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再操纵三角函数的相关常识进行求解.此类题型解答主要表达函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．〔Ⅰ〕求tanα的值；〔Ⅱ〕求cos(α2＋π3)的值．【阐发】第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，成立关于α的三角方程，再操纵同角三角函数的底子关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题按照所求得的tanα的成果，操纵二倍角公式求得tan α2的值，再操纵两角和与差的三角公式求得最后的成果．【解】〔Ⅰ〕∵→a ⊥→b ，∴→a ·→b ＝0．而→a ＝〔3sinα，cosα〕，→b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故→a ·→b ＝6sin 2α＋5sinαcosα－4cos 2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan 2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12．∵α∈〔3π2，2π〕，tanα＜0，故tanα＝12〔舍去〕．∴tanα＝－43．〔Ⅱ〕∵α∈〔3π2，2π〕，∴α2∈〔3π4，π〕．由tanα＝－43，求得tan α2＝－12，tan α2＝2〔舍去〕．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510【点评】此题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的底子关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时此题两个小题的解答都涉及到角的范围确实定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第〔Ⅰ〕小题的解答顶用到“弦化切〞的思想方法，这是解决在一道试题中同时呈现“切函数与弦函数〞关系问题常用方法.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是操纵向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可操纵两种方法：〔1〕先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；〔2〕先将向量的坐标代入向量的坐标，再操纵向量的坐标运算进行求解.【例3】向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)假设－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.【阐发】操纵向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题那么可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cos β即可.【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝255，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝45，将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得 12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12＝45，∴cos(α－β)＝－35.(Ⅱ)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－35，得sin(α－β)＝45，又sin β＝－513，∴cos β＝1213，∴sin α＝sin ［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.点评：此题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的底子关系.此题解答中要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程表达方程的思想及转化的思想.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要暗示为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)操纵三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是操纵向量首先进行转化，再操纵三角函数常识求解.【例5】设函数f(x)＝→a ·→b .此中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.〔Ⅰ〕求实数m 的值；〔Ⅱ〕求函数f(x)的最小值.阐发：操纵向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系〞，从而，成立函数f(x)关系式，第〔Ⅰ〕小题直接操纵条件f(π2)＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题操纵三角函数函数的有界性就可以求解.解：〔Ⅰ〕f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx ，由f(π2)＝2，得m(1＋sin π2)＋cos π2＝2，解得m ＝1.(Ⅱ)由〔Ⅰ〕得f(x)＝sinx ＋cosx ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1，当sin(x ＋π4)＝－1时，f(x)的最小值为1－ 2.点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等常识都可以与三角函数进行交汇.不管是哪类向量常识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是操纵向量的常识将条件转化为三角函数中的“数量关系〞，再操纵三角函数的相关常识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是操纵向量常识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要表达为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求按照向量的关系解答相关的问题.【例6】角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边别离为a 、b 、c ，假设→m ＝(－cos A2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，a ＝23，且→m·→n ＝12．〔Ⅰ〕假设△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值．〔Ⅱ〕求b ＋c 的取值范围．【阐发】第(Ⅰ)小题操纵数量积公式成立关于角A 的三角函数方程，再操纵二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理成立关于b 、c 的方程组求取b ＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理成立关于B 的三角函数式，进而求得b ＋c 的范围.【解】〔Ⅰ〕∵→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，且→m ·→n ＝12， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12，即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.又由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，所以bc ＝4，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4.〔Ⅱ〕由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3，∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π3)，∵0＜B ＜π3，那么π3＜B ＋π3＜2π3，那么32＜sin(B ＋π3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].[点评] 此题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答此题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b ＋c 没有操纵别离求出b 、c 的值为解，而是操纵整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中出格要注意确定角B 的范围.【专题训练】一、选择题1．→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，那么→a ·→b ＝〔〕A ．1B ．32C ．12D ．222．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式是〔〕A ．2cos2xB ．－2cos2xC ．2sin2xD ．－2sin2x3．△ABC 中，AB →＝a →，AC →＝b →，假设a →·b →＜0，那么△ABC 是〔〕A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．任意三角形 4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且→a ∥→b ，那么锐角α为〔〕A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，此中θ∈(π，3π2)，那么必然有〔〕A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b |6．向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，假设C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝〔〕A ．52B ．32C ．－52D ．－327．由向量把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象按向量→a ＝(m ，0)(m ＞0)平移所得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值为〔〕 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．设0≤θ≤2π时，两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，那么向量P 1P 2→长度的最大值是〔〕A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 39．假设向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，那么→a 与→b 必然满足〔〕 A ．→a 与→b 的夹角等于α－β B ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )10．向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，假设t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，那么|→u |的最小值为〔〕A ． 2B ．1C ．22D ．1211．O 是平面上必然点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，那么直线AP 必然通过△ABC 的〔〕A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．对于非零向量→a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角α,β(0≤α≤π,0≤β≤π)来暗示它的标的目的，称α,β为非零向量→a 的标的目的角，称cos α,cos β为向量→a 的标的目的余弦，那么cos 2α＋cos 2β＝〔〕 A ．1 B ．32C ．12D ．0二、填空题13．向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－12).假设→m ∥→n ，那么sin2θ的值为____________．14．在△OAB(O 为原点)中，→OA＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，假设→OA·→OB ＝－5，那么S △AOB 的值为_____________.15．将函数f (x )＝tan(2x ＋π3)＋1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，那么a ＝____________.16．向量→m ＝(1，1)向量→n 与向量→m 夹角为3π4，且→m ·→n →n ＝__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，假设→AB·→AC ＝→BA·→BC ＝k(k ∈R). 〔Ⅰ〕判断△ABC 的形状；〔Ⅱ〕假设c ＝2，求k 的值．18．向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m ·→n ＝1，且A 为锐角.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x ＋4cosAsinx(x ∈R)的值域．19．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长别离为a 、b 、c ，向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)求sin(B ＋π6)的值．20．A 、B 、C 的坐标别离为A 〔4，0〕，B 〔0，4〕，C 〔3cosα，3sinα〕.〔Ⅰ〕假设α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小；〔Ⅱ〕假设→AC⊥→BC ，求2sin 2α＋sin2α1＋tanα的值．21．△ABC 的角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m ⊥→n ． (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋6)取最大值时，求角B 的大小.22．→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，〔Ⅰ〕求证：向量→a 与向量→b 不成能平行；〔Ⅱ〕假设f(x)＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．【专题训练】参考答案一、选择题1．B 解析：由数量积的坐标暗示知→a ·→b ＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝32. 2．D 【解析】y ＝2sin2x －π2→y ＝2sin2〔x ＋π2〕－π2＋π2，即y ＝－2sin2x.3．A 【解析】因为cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝a →·b→|a →|·|b →|＜0，∴∠BAC 为钝角.4．B 【解析】由平行的充要条件得32×13－sin αcos α＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.5．B 【解析】→a ·→b ＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈(π，3π2)，∴|sin θ|＝－sin θ，∴→a ·→b ＝0，∴→a ⊥→b ． 6．A 【解析】c →＝a →＋λb →＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52. 7．B 【解析】考虑把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象变换为y ＝cosx 的图象，而y ＝sin(x ＋5π6)＝cos(x ＋π3)，即把y ＝cos(x ＋π3)的图象变换为y ＝cosx 的图象，只须向右平行π3个单元，所以m ＝π3，应选B.8．C 【解析】|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cosθ≤3 2.9．D 【解析】→a ＋→b ＝(cos α＋cos β,sin α＋sin β)，→a －→b ＝(cos α＋cos β,sin α－sin β)，∴(→a＋→b )·(→a －→b )＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝0，∴(→a ＋→b )⊥(→a －→b )． 10．C 【解析】|→u |2＝|→a |2＋t 2|→b |2＋2t →a ·→b ＝1＋t 2＋2t(sin20︒cos25︒＋cos20︒sin25︒)＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋22)2＋12，|→u |2 min ＝12，∴|→u |min ＝22. 11．C 【解析】设BC 的中点为D ，那么→AB＋→AC ＝2→AD ，又由→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，→AP ＝2λ→AD ，所以→AP 与→AD 共线，即有直线AP 与直线AD 重合，即直线AP 必然通过△ABC 的重心．12．A 【解析】设→a ＝(x,y)，x 轴、y 轴、z 轴标的目的的单元向量别离为→i ＝(1,0)，→j ＝(0,1)，由向量常识得cos α＝→i ·→a |→i |·|→a |＝x x 2＋y 2，cos β＝→j ·→a |→j |·|→a |＝y x 2＋y 2，那么cos 2α＋cos 2β＝1.二、填空题13．－8349 【解析】由→m ∥→n ，得－12sin θ＝23cos θ,∴tan θ＝－43，∴sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝－8349． 14．532【解析】→OA·→OB ＝－5⇒10cos αco βs ＋10sin αsin β＝－5⇒10cos(α－β)＝－5⇒cos(α－β)＝－12，∴sin ∠AOB ＝32，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S △AOB ＝12×2×5×32＝532． 15．〔π6，－1〕【解析】要颠末平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x ＋π3)＋1的图象向下平移1个单元，再向右平移－kπ2＋π6(k ∈Z)个单元．即应按照向量→a ＝(－kπ2＋π6，－1) (k ∈Z)进行平移．要使|a|最小，16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设→n ＝(x ，y)，由→m·→n ＝－1，有x ＋y ＝－1 ①，由→m 与→n 夹角为3π4，有→m·→n ＝|→m |·|→n |cos 3π4，∴|→n |＝1，那么x 2＋y 2＝1 ②，由①②解得⎩⎨⎧ x=﹣1y=0或⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1∴即→n ＝(－1，0)或→n ＝(0，－1) ．三、解答题17．【解】〔Ⅰ〕∵→AB·→AC ＝bccosA ，→BA·→BC ＝cacosB ，又→AB·→AC ＝→BA·→BC ，∴bccosA ＝cacosB ， ∴由正弦定理，得sinBcosA ＝sinAcosB ，即sinAcosB －sinBcosA ＝0，∴sin(A －B)＝0 ∵－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0，即A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知b a =，∴→AB·→AC ＝bccosA ＝bc·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22，∵c ＝2，∴k ＝1.18．【解】(Ⅰ)由题意得→m·→n ＝3sinA －cosA ＝1，2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝12，由A 为锐角得A －π6＝π6，A ＝π3. (Ⅱ)由〔Ⅰ〕知cosA ＝12，所以f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32，因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]，因此，当sinx ＝12时，f (x )有最大值32．当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]． 19．【解】(Ⅰ)由→m ∥→n ，得2sin 2A －1－cosA ＝0，即2cos 2A ＋cosA －1＝0，∴cosA ＝12或cosA ＝－1.∵A 是△ABC 内角，cosA ＝－1舍去，∴A ＝π3. (Ⅱ)∵b ＋c ＝3a ，由正弦定理，sinB ＋sinC ＝3sinA ＝32， ∵B ＋C ＝2π3，sinB ＋sin(2π3－B)＝32， ∴32cosB ＋32sinB ＝32，即sin(B ＋π6)＝32． 20．【解】〔Ⅰ〕由得：(3cosα－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sinα－4) 2，那么sinα＝cosα，因为α∈(－π，0)，∴α＝－3π4. 〔Ⅱ〕由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得sinα＋cosα＝34，平方，得sin2α＝－716. 而2sin 2α＋sin2α1＋tanα＝2sin 2αcosα＋2sinαcos 2αsinα＋cosα＝2sinαcosα＝sin2α＝－716． 21．【解】(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m·→n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0∴2sinBcosA －sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0， ∵A 、B ∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA ＝12，故A ＝π3. (Ⅱ)y ＝2sin 2B ＋2sin(2B ＋π6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π6＝1＋32sin2B －12 cos2B ＝1＋sin(2B －π6). 由(Ⅰ)得，0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π6， ∴当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，y 取最大值2. 22．【解】〔Ⅰ〕假设→a ∥→b ，那么2cosx(cosx ＋sinx)－sinx(cosx －sinx)＝0，∴2cos 2x ＋sinxcosx ＋sin 2x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x 2＝0，即sin2x ＋cos2x ＝－3， ∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π4)|≤2矛盾，故向量→a 与向量→b 不成能平行．〔Ⅱ〕∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x＝2(22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin2x ＋π4)， ∵－π4≤x≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f(x)有最小值－1．。

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