安徽大学电子科学与技术学院信号与线性系统第四章
信号与线性系统 管致中 第四版 第4章 ppt课件
HjE Rjj j1+2
2020/12/2
16
2) 从微分方程直接求解(方程两边取傅氏变换) 例：已知微分方程
y ''( t) 3 y '( t) 2 y ( t) x ( t)
求：系统函数 H( j) 。 解：对方程两边求傅氏变换，可得
[j()2 3 (j) 2 ]Y (j)X (j)
1 2j1 1 vo(t)1 2e t (t) 28
例：某系统的微分方程为
y " (t) 5 y '( t) 6 y ( t) x (t) 已知输入 x(t激 )e励 t(t),
初始状 y(0态 )2,y'(0)1, 试求全响应。
解(1： )求零状态yz响 s(t),用 应傅氏变换分析
X(j)F[x(t)] 1 j1
H(j)141 j11
27
例：已知 vS(t)2e2t(t)求：1.H( j) 2. h (t ) 3. vo (t)
H(j)141 j11
反变换，得 h(t)1(t)et(t) 4
V o (j ) V S(j )H (j )j 2 2 1 4 jj 1 2
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| H(j)| 2 42
0,| H ( j ) | 1
2020/12/2
2,| H(j)| 2
2
,|H (j)| 0 23
设含噪声 u1(t)信 5s号 itn) (： 3sin 2(t0)
u1(t)
h(t)
u2(t)
2020/12/2
24
三、系统响应： y(t)yx(t)yf(t)
yx(t)： 系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值；
《信号与线性系统分析》第四章
三、 正交函数集
n个函数 g 1(t)g ,2(t) ,gn(t) 构成一函数集，
如在区间 (t1, t2 ) 内满足正交特性，即
t1 t2gi(t)gj(t)d t0 (ij)
t2 t1
gi2(t)dtKi
那么此函数集称为正交函数集
2021/9/18
21
在〔t1,t2〕区间，任意函数f(t) 可由n个正交的函数的 线性组合近似
那么称正交。
t2 t1
f1(t)f2(t)d
t0
正交的条件：
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17
例： f(t)11
(0t) (t2)
试用sint 在区间〔0，2 π〕来近似 f(t)。
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f(t)
c12
1 0
1
2
t
18
2
解：
f (t)sintdt
c12 0 2 sin2tdt
0
1
2
[0sitndt (sitn )d]t
权积分表示〞 ——傅里叶的第二个主要论点
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9
变换域分析：
频域分析：－－傅里叶变换
自变量为 j
复频域分析：－－拉氏变换
自变量为 S = +j
Z域分析：－－Z 变换 自变量为z
zesT e(j )T
2021/9/18
10
§4.1 信号分解为正交函数
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
s t0T t0
in1 (ts)in (m1t)td T 2
0
mn mn
tt00Tco(nsω1t)co(m sω1t)d t T 0 2
mn mn
安徽大学2013-2014学年度第1学期信号与系统(A)及答案
安徽大学2013—2014学年第 1 学期《信号与系统 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）考场登记表序号一、填空题（每小题2分，共10分）1．某LTI 系统在()e t 激励下响应为()r t ，则当激励0()e t t -时，系统响应为 。
2．若信号()f t 的傅里叶变换为F(j ω)，则信号()f at （a ≠0）的傅里叶变换为 。
3．已知某LTI 系统对激励信号e(t)的零状态响应为4(2)de t dt-，则系统函数()H s = 。
4．某全通系统的系统函数2()s H s s a-=+，则a 取值为 。
5．某线性时不变因果系统为稳定系统，其单位样值响应为h(n)，则|)n (h |0n ∑+∞=应满足______。
二、选择题（每小题2分，共10分）1．已知 f (t) ，为求 f (5-2t) 则下列运算正确的是（ ）。
A ．f (-2t) 左移2.5B ．f (-2t) 右移2.5C ．f (2t) 左移5D ．f (2t) 右移52．下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（ ）。
A ．)()1()()1(t f t t f δδ=+ B. )0(d )()(f t t t f '='⎰∞∞-δ C.()d ()tu t δττ-∞=⎰D.)0(d )()(f t t t f =⎰+∞∞-δ院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------3．已知某LTI 连续系统的冲激响应为)(t h ，当激励为()f t 时，该系统的零状态响应为)(t y zs ，零输入响应为)(t y zi ，全响应为)(1t y 。
信号与线性系统(第四版)
信号与线性系统（第四版）第一章：信号与系统概述1.1 信号的分类与特性1. 按照幅度是否连续：连续信号和离散信号2. 按照时间是否连续：连续时间信号和离散时间信号3. 按照周期性：周期信号和非周期信号4. 按照能量与功率：能量信号和功率信号连续信号：在任意时间点上都有确定值的信号，如正弦波、矩形波等。
离散信号：在离散时间点上才有确定值的信号，如采样信号、数字信号等。
连续时间信号：时间轴上连续变化的信号，如语音信号、图像信号等。
离散时间信号：时间轴上离散变化的信号，如数字音频、数字图像等。
周期信号：在一定时间间隔内重复出现的信号，如正弦波、方波等。
非周期信号：不具有周期性的信号，如爆炸声、随机信号等。
能量信号：信号的能量有限，如脉冲信号。
功率信号：信号的功率有限，如正弦波、方波等。
1.2 系统的定义与分类1. 按照输入输出关系：线性系统和非线性系统2. 按照时间特性：时变系统和时不变系统3. 按照因果特性：因果系统和非因果系统4. 按照稳定性：稳定系统和不稳定系统线性系统：满足叠加原理和齐次性原理的系统。
即输入信号的线性组合，输出信号也是相应输出的线性组合。
非线性系统：不满足线性系统条件的系统，如饱和非线性、幂次非线性等。
时变系统：系统的特性随时间变化而变化，如放大器的增益随时间衰减。
时不变系统：系统的特性不随时间变化，如理想滤波器、积分器等。
因果系统：当前输出仅取决于当前及过去的输入，与未来的输入无关。
非因果系统：当前输出与未来输入有关，如预测滤波器等。
稳定系统：对于有界输入，输出也有界；或者输入趋于零时，输出也趋于零。
不稳定系统：对于有界输入，输出无界；或者输入趋于零时，输出不趋于零。
第二章：线性时不变系统2.1 线性时不变系统的基本性质2.1.1 叠加性LTI系统对多个输入信号的叠加响应，等于这些输入信号单独作用于系统时的响应之和。
这意味着系统可以处理多个信号而不会相互干扰。
2.1.2 齐次性如果输入信号放大或缩小一个常数倍，那么系统的输出也会相应地放大或缩小同样的倍数。
安徽大学信号与系统课件
•自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励 函数的形式无关，然而系数 Ai , Ak与H s , E s 都有关。
X
暂态响应和稳态响应
瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现 的有关成分，随着t增大，将消失。 稳态响应＝完全响应－瞬态响应 左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。
三．H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、 强迫响应特性的对应
激励： e( t ) E ( s )
u
系统函数：h( t ) H ( s ) m (s z j ) (s zl ) j 1 E ( s ) lv1 H ( s) n ( s Pk ) ( s Pi )
X
零输入响应／零状态响应
第
12 页
s
则
2
3s 2 Rs s 3E s sr 0 r 0 3r 0
s 3E s sr 0 r0 3r0 Rs 2
s 3s 2
2s H ( s) 2 , 在虚轴上， 2 2 (s ω ) h(t ) t sin tu(t ), t , h(t ) 增幅振荡
6 页
信号与线性系统ppt课件
⑹ 深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。
⑺ 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引 言 §2.2 系统方程的算子表示法 §2.3 系统的零输入响应 § 2.4 奇异函数 §2.5 信号的脉冲分解 §2.6 阶跃响应和冲激响应 §2.7 叠加积分 §2.8 卷积及其性质 §2.9 线性系统响应时域求解
零输入响应和零状态响应分量；
暂态响应分量和稳态响应分量。
2. 变换域法
系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利 用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。
即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等. 如：傅氏变换、拉氏变化等
将求系统的微分方程转换求代数方程
零输入响应和零状态响应的求解
§2.1 引 言
系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。
连续时间系统的分析方法: 时域分析法;变换域分析法
连续时间系统的时域分析法：
在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函 数自变量均为连续时间 t 的一种分析方法。
连续时间系统的变换域分析法：
为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。
绪论 第一章
连续时域 第二章
离散时域 第七章
信号分解 第三章
付氏变换 第四章
拉普拉斯 变换
第五章
系统函数 第六章
状态变量 第十一章
付氏变换 Z变换 第八~九章
基本概念引导
核心内容
应用和拓宽 加深部分
第二章 连续时间系统的时域分析
安徽大学信号与系统课件
§1.3 信号的运算
§1.4 阶跃信号和冲激信号 §1.5 信号的分解 §1.6 系统模型及其划分类 §1.7 线性时不变系统 习题课
X
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引言 §2.2 微分方程式的建立与求解
§2.3 起始点的跳变
§2.4 零输入响应和零状态响应 §2.5 冲激响应和阶跃响应 §2.6 卷积 §2.7 卷积的性质 习题课
X
§3.11 抽样定理
第四章 拉普拉斯变换、s 域分析
§4.1 引言
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 §4.4 拉普拉斯逆变换
§4.3 拉普拉斯变换的基本性质 §4.6 系统函数（网络函数）H(s)
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型
§4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性 §4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性 §4.9 线性系统的稳定性 §4.10 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 习题课
X
主要概念
按章节索引
奇异信号 卷积
冲激响应
傅里叶变换 抽样定理 拉普拉斯变换 系统的零极点 系统的稳定性
X
习题课
第一章 绪论 第二章 连续时间系统的时域分析 第三章 傅里叶变换
第四章 拉普拉斯变换、s 域分析
X
X
第三章 傅里叶变换
§3.1 引言
§3.2 周期信号的傅里叶级数分析
§3.3 典型周期信号的傅里叶级数
§3.4 傅里叶变换
§3.5 典型非周期信号的傅里叶变换 §3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 §3.7 傅里叶变换的基本性质 §3.8 卷积特性（卷积定理） §3.9 周期信号的傅里叶变换 §3.10 抽样信号的傅里叶变换 习题课
信号与线性系统总结课件
齐次性：
f(·) →y(·) 可加性： f1(·) →y1(·) f2(·) →y2(·)
a f(·) →a y(·) f1(·) +f2(·) →y1(·)+y2(·)
综合，线性性质：
af1(·) +bf2(·) →ay1(·)+by2(·)
线性系统的条件
⑴ 动态系统响应不仅与激励{ f (·) }有关，而且与 系统的初始状态{x(0)}有关, 初始状态也称“内部激 励”。 y (·) = T [{ f (·) }, {x(0)}] yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]， yzs(·) = T [{ f (·) }, {0}]
连续周期信号f(t)满足
f (t)
f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
离散周期信号f(k)满足
t
f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
满足上述关系的最小T(或整数N)称为信号的周期。
不具有周期性的信号称为非周期信号。
1.2 信号的分类及性质
例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt
三种运算的次序可任意。
已知f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。 但注意始终对时间 t 进行！
f( t)
f (t -4)
1 右移4，得f (t – 4)
1
-2 o
2
f (-2t -4) 1
t
反转，得f (– 2t – 4)
o
2 4 6t
压缩，得f (2t – 4)
f (2t -4)
安徽大学信号与系统课件
f (t ) f (t )
h1 ( t )
3 页
f (t ) h1 (t )
g (t ) f ( t ) h1 ( t ) f ( t ) h2 ( t )
h2 ( t )
f ( t ) h( t ) f (t ) h2 (t )
g(t )
f (t )
系统并联运算
3．结合律 f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) [ f1 (t ) f 2 (t )]
系统级联运算
X
第
系统并联
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t ) 系统并联，框图表示：
f ( t ) u( t )
f ( ) d
t
f ( t ) k ( t ) f k ( t ) f ( t ) k ( t t 0) f k ( t t 0)
X
例2-7-1
f (t )
1
已知f t , ht ，求g t f t ht
f (t )
4 页
h1 ( t )
f ( t ) h1 ( t )
h2 ( t )
g(t )
f ( t ) h1 ( t ) h2 ( t )
f (t )
h(t )
g(t )
ht h1 (t ) h2 (t )
结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等 于子系统冲激响应的卷积。
X
第
二．微分积分性质
g( t ) f ( t ) h( t ) f ( t ) h( t )
安徽大学信号与系统期末复习题【精选】
第一章 P.40 ~ P.44
[§1-1] [§1-2] [§1-3] [§1-4]
[§1-5] [§1-6] [§1-7]
[§1-8]
2, 4[图形位于P.13], 7, 10[用阶跃函数表示分段函数], 11(1,3,5), 12(1,3,5,7), 14(1,3,5,7), 17(2,4), 18,
[§5-10] [§5-11] [§5-12]
第五章 P.325 ~ P.331
1, 2, 6[表达式和图形位于P.286], 11,
17[画图证明，或用数学表达式证明]
2019/10/1
共5大题
第十一章 P.316 ~ P.323
[§11-1] [§11-2] [§11-3] [§11-4]
[§11-5] [§11-6]
20(1,3,4,5,7)[要证明。证明非时变时，对e( ·)括号内进行变换], 21[可逆：能根据输出唯一地确定输入], 23[ f (t)·(t) = f (0)·(t) ]
2019/10/1
共12大题
[§2-1] [§2-2] [§2-3] [§2-4] [§2-5] [§2-6] [§2-7] [§2-8]
2019/10/1
共16大题
[§4-1] [§4-2] [§4-3] [§4-4] [§4-5] [§4-6] [§4-7] [§4-8] [§4-9] [§4-10] [§4-11] [§4-12] [§4-13]
2019/10/1
第四章 P.261 ~ P.276
1(13,15,16,18,20)[利用性质求解], 3(1,2,3), 5[不求原函数，利用定理求解], 4(3,4,7,12,16,19,20),
信号与线性系统分析 (吴大正 第四版)第四章习题答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第四章习题 4.6 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。
（1）t j e 100 （2）)]3(2cos[-t π （3）)4sin()2cos(t t + （4）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++（5）)4sin()2cos(t t ππ+ （6）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++ 4.7 用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。
图4-154.10 利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。
图4-184-11 某1Ω电阻两端的电压)(t u 如图4-19所示，（1）求)(t u 的三角形式傅里叶系数。
（2）利用（1）的结果和1)21(=u ，求下列无穷级数之和 ......7151311+-+-=S （3）求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。
（4）利用（3）的结果求下列无穷级数之和 (7)151311222++++=S图4-194.17 根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换（1）∞<<-∞--=t t t t f ,)2()]2(2sin[)(ππ（2）∞<<-∞+=t t t f ,2)(22αα （3）∞<<-∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t t f ,2)2sin()(2ππ4.18 求下列信号的傅里叶变换（1）)2()(-=-t e t f jt δ （2）)1(')()1(3-=--t e t f t δ（3）)9sgn()(2-=t t f （4）)1()(2+=-t e t f t ε（5）)12()(-=tt f ε4.19 试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。
图4-234.20 若已知)(j ])([ωF t f F =，试求下列函数的频谱：（1）)2(t tf （3）dt t df t )( （5）)-1(t)-(1t f （8）)2-3(t f e jt （9）tdt t df π1*)(4.21 求下列函数的傅里叶变换（1）⎩⎨⎧><=0,1,)(jωωωωωF（3）)(3cos2)(jωω=F（5）ωωωω1)(2n-2sin2)(j+=∑=jneF4.23 试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数（1）利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）。
安徽大学信号与系统课件
由系统框图列写微分（或差分）方程的步骤
• 选中间变量x(· )。对于连续系统，设其最右端积分 器的输出为x(t)；对于离散系统，设其最左端迟延 单元的输入为x(n)； • 写出各加法器输出信号的方程； • 消去中间变量x(· )。 如果已知系统的微分或差分方程，也可以画出相应的 框图。但解不是惟一的。
e t cos t sin t ut t
t
波形如下图
π 2 e cos t ut t 4
1
O
f 2 (t )
3 4
7 4
t
1
X
例1-2
求下列函数值
t d t e t e t (2) f t 3 τ d τ (1) f dt
X
第
12 页
由加法器的输出，得
yt a1 yt a0 yt f t
将上式除f(t)以外的各项移到等号左端，得
yt a1 yt a0 yt f t
连续系统或离散系统除用数学方程描述外，还可用 框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系， 一个方框图可以表示一个具有某种功能的部件，也 可以表示一个子系统。每个方框内部的具体结构并 非是考察重点，只注重其输入输出之间的关系。
习题课1
内容摘要
信号的定义、分类、描述 典型的连续时间信号
第 1 页
信号
信号的运算 奇异信号 信号的分解
信号的自变量的变换 信号的时域运算
系统
系统的定义、分类 线性时不变系统
线性特性 时不变性 微分特性 因果性
X
例题
• 例题1：画函数波形 • 例题2：冲激函数的性质
第 2 页
信号与线性系统分析--第四章续
上式表明：当激励是幅度为1的虚指数函数时，
设 H ( j ) h( )e
j
d，则 y(t ) H ( j )e
jt
其响应是系数为 的同频率的虚指数函数， H ( j ) H ( j ) y (t ) 反映了响应 的幅度和相位，称为频率响应 函数。
当激励 f (t )为任意信号时
在离散点，频率范围无限小，频谱密度为
例题：求周期冲激序列的傅立叶变换
T t
1 1 1 1 1
T1 2T1
1 T 1 jn1t 2 Fn T t e dt T1 2 T1
2T1 T1 o
t
FT j 2
n
T t
FT j F0 j F T t
n
t nT
1
周期信号的傅立叶变换为 FT j F0 j F T t
F0 j 1 n1
n
调制与解调
调制
解调
由已调信号f(t)恢复原始信号g(t)的过程
要求低通滤波器的截止频率>g(t)的信号带宽
抽样定理
抽样：从连续时间信号中抽取一系列离散样本值 的过程。 从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行 数字处理的第一个环节。
f (t )
fs (t )
A/D
量化编码
（积分），就得到系统的响应。即
F ( j )d y (t ) H ( j )e jt 2
1 令y (t )的频谱函数为 Y ( j )，则 y (t ) 2
安徽大学信号与系统课件
d r 0 d 2 r 0 d n1 r 0 r k 0 r 0 , , , 2 n 1 dt dt dt vC (0 ) vC (0 ) 我们来进一步讨论 i (0 ) i (0 ) 的条件。
L L
0 状态、初始条件
第
12 页
a t b t cut 7a t but 10aut 2 t 12 t 8ut
X
第
13 页
求得
r 0 r 0 a 2 a 2 d d 因而有 r 0 r 0 b 2 b 7a 12 dt c 7b 10a 8 d t d2 d2 2 r 0 2 r 0 c 2 dt d t
i L (0 ) i L (0 )
X
第
例2-3-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
iL (t )
I s u( t )
7 页
d[ I su( t )] L LI s ( t ) dt 1 0 i L (0 ) i L (0 ) LIs ( t ) d t L 0
L
v L (t )
i L (0 ) I s
X
第
三．冲激函数匹配法确定初始条件
8 页
配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶 导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件， 可以不管其他项）
d r t 3r t 3 t 已知r 0 , 求r 0 例： dt d r t 3r t 3 t dt 3 t 3 t 3 t 3 9 t 9 t ut :
安徽大学信号与系统课件
是最大抽样间隔 , 称为“奈奎斯特抽样间 隔”。 fs 2 fm
3 页
是最低允许的抽样频率 , 称为“奈奎斯特抽样频率”
X
例3-11-1
例如音频信号：0～3.4 kHz，
第 4 页
fm 3.4 k Hz,
§3.11 抽样定理
安徽大学计算机科学与技术学院 2006.5
Байду номын сангаас
抽样定理
一个频带受限的信号f ( t )，若频谱只占据 m ~ m
第 2 页
的范围，则信号 f t 可用等间隔的抽样值来 惟一地表示。 1 1 m 2π f m ， 其抽样间隔必须不大于 ，即Ts 2 fm 2 fm 或者说最低抽样率为 f m。 2
1 fsmin 2 f m 6800 Hz, Tsmax , 2 fm
f s 2 fm ,
1 若取 f s 8000 Hz, 则Ts 125 s 8000
X
f(t) 1
F
o
t
fS(t) o T S t s
o m m 1 F s
Ts
o m
s m
s
X
第
奈奎斯特(Nyquist) 抽样率和抽样间隔
重建原信号的必要条件： 2 s 2π f s 2 m 2 2π f m Ts 不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。
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3．拉氏变换对
F s L f t f t e s t d t 0 σ j 1 1 st F s e d s f t L f t 2 π j σ j
与傅氏变换的区别p187 单边拉氏变换
L[ f (at b)u (at b)]
1
F ( )e a a
s
s
b a
《信号与线性系统》
7
第四章 连续时间系统的s域分析
(七)
初值定理
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s)
t 0 s
注：初值定理应用的条件是F(s)是真分式，若不是，则在t=0 处有冲激及其导数产生。 F(s)可写成多项式和真分式之和。
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F ( s) k1 s p1 k2 s p2 kn s pn
(m<n)
《信号与线性系统》
12
第四章 连续时间系统的s域分析
例F ( s )
2s 3s 3
2
s 6s 11s 6
3 2
2
，求f(t)
(1)找极点 F s
f t e
t
2π
1
F j e
j t
d
两边同乘以 e t：
f t
2π
1
1
F j e
st
j t
d
f t j F s e d s 至4.11节之前只讨论单边拉氏变换 2π j
j
《信号与线性系统》
s 3 ( s 2)( s 2s 5)
2
的逆变换f (t )。
14
第四章 连续时间系统的s域分析
5. 第三种情况：有重根存在
F ( s) s
2 2
( s 2)( s 1)
s
2
k1 s2
4
k2 s 1
k3 ( s 1)
2
k1 ( s 2)
1
d
i 1 i 1
(i 1)! d s
f T f1 ( t ) f1 ( t T ) f1 ( t 2T )
FT ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e F1 ( s )(1 e
F1 ( s ) 1 1 e
- sT
-sT
F1 ( s )e
-2sT
-2sT
-sT
e
)
时域的积分性
L[
t
f ( )d ]
1 s
F ( s)
f
( 1)
(0)
s
时域微分性和积分性可将f(t)微分方程和积分方程化为 复频域F(s)的代数方程，而且自动引入初始状态，因而 通过复频域分析法可求得系统的全响应。(例4～4）
《信号与线性系统》
6
第四章 连续时间系统的s域分析
11
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
2．部分分式展开法求拉氏逆变换的步骤
• • • 找出F(s)的极点。 将F(s)展开成部分分式之和。 f(t)为各分式逆变换之和。
3. 第一种情况：单阶实数极点
F ( s) A( s ) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
F ( s ) P ( s ) F0 ( s )
f (0 ) lim sF0 ( s )
s
(八)
终值定理 f () lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
注：终值定理应用的条件是F(s)的极点必须位于左半平面， 或原点处有一阶极点。
求 F (s) s 2s 1
双边拉氏变换
《信号与线性系统》
F s L f t f t e s t d t σ j 1 1 st f t L f t F s e d s 2 π j σ j 3
第四章 连续时间系统的s域分析
第四章 连续时间系统的s域分析
4.4 拉普拉斯逆变换-----部分分式展开法
一．由象函数求原函数的三种方法
(1)部分分式展开法
(2)利用留数定理——围线积分法
(3)数值计算方法——利用计算机
二．部分分式展开法 1 F(s)的一般形式
F ( s) A( s) B( s ) am s am1s
四
时移特性
若 L[ f (t )] F ( s ), 则 L[ f (t t 0 )u (t t 0 )] e
st0
F ( s ), t0 0
注意： f (t )u(t )延时t0后为f (t t0 )u(t t0 )而非f (t t0 )u(t ) 五 S域平移特性
若 L[ f (t )] F ( s), 则 L[ f (t )e
例 L[e
at
-t
] F (s )
L[e
at
sin( t )]
( s a)
2 2
,
cos(t )]
sa ( s a)
2 2
六
尺度变换特性
若L[ f (t )] F ( s ) , 则 L[ f ( at )] 1 a F( s a ), a 0
) s 4s
2
求k2 , 两边对s求一次导, 再令s 1
F ( s) 4 s2 3 s1 1 ( s 1)
2
d
ds s 2
(
s
( s 2)
t
2 s 1
3
f (t ) 4 e
15
2t
3e
t
te
t 0
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
《信号与线性系统》
6e
3 t
t 0
13
第四章 连续时间系统的s域分析
4. 第二种情况：极点为共轭复数
F s s
s a 2 2
F(s)具有共轭极点，不必 展开成单极点项, 利用
2
Le
t
sin t
(s )
,
Le
2、阶跃信号
u (t ) 1 s
3、指数函数信号
e
t
u (t )
1 s
4、正幂信号
t u (t )
n
5、余弦信号
n!
n 1
6、正弦信号
s s 0
2 2
cos 0 tu(t )
sin 0 tu(t )
0
s 0
2 2
s
我们所讨论的（单边）拉氏变换是从0点开始积分的，因 此，t<0区间的函数值与变换结果无关（图4－3）。取逆 变换时只能给出t>=0时间范围内信号。
1．拉普拉斯正变换 系统实际问题中考虑信号为因果信号，则
F ( )
f (t ) e
jt
dt
0
信号f(t)乘以衰减因子 e t ，满足绝对可积条件， ( j ) t 傅氏变换可求： t j t f (t ) e dt
f (t ) e
0
e
dt
0
F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲 称为复频率。 ,
则
F s f t e
0
s t
dt
2
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
2．拉氏逆变换
f t e
t
是 F
j 的傅立叶逆变换
0 a
( 2 ) tu ( t ) (3) t e
n at
例：(1) ( t )
u (t )
( 4 ) sin ω 0 t u ( t )
《信号与线性系统》
4
第四章 连续时间系统的s域分析
三 常见信号的拉氏变换
1、冲激信号
(t ) 1
(t t0 ) e
L st0
2s 3s 3 ( s 1)( s 2)( s 3)
(2)展成部分分式 F s
k1 s1
k2 s2
k3 s3
求系数
(3)逆变换
所以 F ( s )
1 s 1
5 s2
6 s3
根据L e
t
ut
t
1 s α
2 t
得 : f (t ) e 5 e
2
s s 4s 6
3 2
在时域中
8
f ( t )的初值和终值。
《信号与线性系统》
第四章 连续时间系统的s域分析
(九)
卷积定理
时域卷积定理 L[ f 1 ( t )u(t) f 2 ( t )u(t)] F1 ( s ) F2 ( s ) 频域卷积定理 (十)
复频域微分 tf (t )
第四章 连续时间系统的s域分析
第四章 连续时间系统的s域分析
连续时间系统时域分析方法回顾。
变换域分析是信号与系统分析的一种重要思想方法。
建立系统的频域分析概念和思想。 系统函数H(s)。
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第四章 连续时间系统的s域分析
4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
L