第一类超Cartan域上的几何性质

第24卷第2期2006年6月徐州师范大学学报(自然科学版)

J.of Xuzhou Normal Univ.(Natural Science Edition )Vol.24,No.2J un.,2006

收稿日期:2005210218

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10471097)

作者简介:徐宁(1981-),女,江苏宿迁人,硕士生,主要从事多复变函数论方面的研究.

第一类超Cartan 域上的几何性质

徐　宁1,2,李庆宾3

(1.徐州师范大学数学系,江苏徐州　221116;2.淮海工学院数理科学系,江苏连云港　222005;

3.首都师范大学数学系,北京　100037)

摘要:给出了第一类超Cartan 域上在Bergman 度量下的Ricci 曲率和纯量曲率及其边界性质.关键词:Bergman 度量;Ricci 曲率;纯量曲率

中图分类号:O174.56 文献标识码:A 文章编号:100726573(2006)022*******

曲率对难以捉摸的“空间弯曲”性质给出了一个精确的度量,从而区分了几何学与拓扑学.比如,从

拓扑学的眼光来看,截面曲率K ≤-C 2<0的完备流形和截面曲率K ≤0的完备流形没有什么不同,因为它们的通用覆盖流形都与欧氏空间同胚.但在几何上两者有很大区别,因为它们的测地线的整体结构截然相异.因此研究完备流形的曲率是有意义的.

1999年,殷慰萍引入了如下相应于第一类Cartan 域的域,称之为第一类超Cartan 域:

Y I (N ,m ,n;K )={w ∈C N ,Z ∈R I (m ,n ):|w |2K

0},这里R I (m ,n )表示华罗庚意义下的第一类Cartan 域,Z T

表示Z 的共轭转置,N ,m ,n 是自然数.并且给

出了它的Bergman 核函数显式表达[1].文献[2]已给出Y I 的全纯截曲率ω,利用Bergman 度量的完备性构造一个不比Bergman 度量小的完备的不变K hler 度量,并证明了在此K hler 度量下的全纯截曲率有一个负上界,即ω≤-C 2<0,从而给出了Y I 的Bergman 度量与K obayashi 度量的比较定理.文献[3]给出了C E I 的全纯截曲率.但对于Ricci 曲率R ≤0或R ≤-C 2<0的完备流形以及非正纯量曲率的研究一直所知甚少.本文给出了Y I 的Ricci 曲率和纯量曲率,讨论了其边界性质,即当(Z ,w )趋于Y I 的边界时,Ricci 曲率趋于-1,纯量曲率趋于-(N

+m n ).

1　准备知识

引理1[1]　下列变换组成Y I 的全纯自同构群,记为Aut (Y I ):

w 3=e i

θw det (I -Z 0Z 0T )12K det (I -Z Z 0T

)

1

K

,

Z

3

=A (Z -Z 0)(I -Z 0T

Z )-1D -1

,

其中A T

A =(I -Z 0Z 0T

)

-1

,D T

D =(I -Z 0T

Z 0)

-1

,Z 0,Z ∈R I (m ,n ),θ∈R .

引理2[1]　令X =X (z ,w )=|w |2det (I -Z Z T

)1

K ,则X 在Aut (Y I )下不变,即X (z 3,w 3)=X (z ,w ),其中z 是由Z 中元素按行的次序排成的向量,即

z =(z 11,z 12,…,z 1n ,z 21,…,z 2n ,…,z mn ).

引理3[1]　Y I 的Bergman 核函数为:

K Y I =K

-mn

π-(mn +N )G (X )det (I -Z Z T )-(m+n+N

K ),

其中

G (X )=

∑

mn +1

j =0

b j Γ(N +j )(1-X )-(N +j )

,　b j =

P (-j -1)-∑j -1

k =0

b k (-1)

k

Γ(k +1)

Γ(j -k +1)(-1)j Γ(j +1)

.

引理4[1]　Y I 的Bergman 度量方阵为:

T =T[(z ,w ),(z ,w )]=J T [(0,w 3),(0,w 3

)]J T

,

其中(0,w 3)=F (z ,w ),F ∈Aut (Y I ),

T[(0,w

3

),(0,w 3

)]=

1

K

M ′X +m +n +

N

K

I

mn

0M ′I N

+M ″w

3T

w

3

,　J =

J 11J 12J 21

J 22

,

这里M =log G (X ),M ′=

5M 5X ,M ″=52M 5X

2,J 11=A T

・×D T ,J 12=1K e i θdet (I -Z Z T )-1K E (Z )T w ,J 21=0,J 22=e i θdet (I -Z Z T )-12K I N

,E (Z )=(t r [(I -Z Z T

)

-1

I 11Z T ],t r [(I -Z Z T

)

-1

I 12Z T

],…,t r [(I

-Z Z T

)

-1

I αβZ T ],…,tr [(I -Z Z T

)

-1

I mn Z T

])为1×m n 矩阵,I αβ为m ×n 矩阵,其第α行β列交叉处元

素为1,其余元素均为0.符号・×见文献[4].

2　Ricci 曲率显表达式

由文献[5]知,若一紧致K hler 流形M 的K hler 度量为

g =

∑

i j

g i j

dz i d z j ,

其中g i j =g

55z i ,5

5z j

为其度量张量,令G =(g i j ),则它的Ricci 曲率张量为R i j

=-52log det G 5z i 5z j ,

从而Y I 的Ricci 曲率张量为

R i j

=-52log det T 5ζi 5ζj

,

其中ζ=(ζ1,ζ2,…,ζmn +N )=(z ,w ).

由此可推出Y I 的Ricci 曲率有如下形式:

R[(z ,w ),d (z ,w )]=-dd log det T[(z ,w ),(z ,w )]

dd log K[(z ,w ),(z ,w )]

,

易知R 在全纯自同构变换下是不变的.而对任意(z ,w )∈Y I ,存在F ∈Aut (Y I ),使得F (z ,w )=

(0,w 3),所以,只须计算R[(z ,w ),d (z ,w )]在(0,w 3)点的值即可.由于

log det T =log det T[(0,w 3),(0,w 3)]+log |det J |2

dd log det T =

∑52log det T

5z αβ5z στdz αβdz στ+∑52log det T

5z αβ5w q dz αβdw q +∑52log det T 5w q 5w q

dw q dw q +

∑52log det T

5w q 5z στdw q dz στ,

经计算得

dd log det T[(0,w 3),(0,w 3)]=X K

|dz|2+P |dw|2

+P ′|w dw T |2,

其中 P =

mn (M ′

+M ″X )M ′X +KM 1+2M ″+M X M ′+M ″X +(N -1)M ″M ′,P ′=5P 5X ,M 1=m +n +N

K

,

dd log |det J|

2

=M 1|dz|2

.

因此有

dd log det T =

M 1+

N

K

P |dz|2+P |dw|2+P ′|w dw T |2.又

dd log K[(z ,w ),(z ,w )]|Z =0

=d (z ,w )T[(z ,w ),(z ,w )]|

Z =0

d (z ,w )

T

=(K -1M ′X +M 1)|dz|2+M ′|dw|2+M ″|w dw T

|2

,

最后有

9

1第2期徐　宁等:第一类超Cartan 域上的几何性质