无穷级数知识点介绍
第一讲 无穷级数及其收敛性
§第一讲无穷级数及其收敛性
一、无穷级数的概念
定义1 把一个数列﹛u n﹜的各项依次用“+”号连接起来所得到的表达式
u1+u2+…+u n+…, (1)
称为无穷级数或数项级数，简称为级数.u n的下标n称为项数，u n称为级数的通项，它是项数n的函数。级数（1）的前n项之和
S n=u1+u2+…+u n
称为级数的前n项部分和。
定义4 若级数（1）的部分和数列{S
}收敛于有限值S,即
n
limS n=S,则称级数（1）收敛且和为S,记为;如果部分和数列{Sn}发散，则称级数发散。
二、级数的基本性质
性质1级数∑u n与∑ku n （k≠为实数）
同时收敛或同时发散.当∑u n收敛与S时，∑ku n收敛于
kS，即
∑ku n=k∑u n .
性质2 若级数∑u n和∑v n都收敛，其和分别为A和B，则级数∑(u n v n)也收敛，其和为A+_B，即
∑(u n+_v n)=∑u n∑v n
性质3 在级数的前面加上或去掉有限项或者改变级数中有一项限的值，不改变级数的敛散性.但在级数收敛的情况下，新级数的和一般要改变.
性质4 在一个收敛级数中按原来的顺序任意添加符号，所构成的新级数仍然收敛，且和不变.
推论如果一个级数按原来的顺序以某种方式添加括号后所构成的级数发散，那么原来的级数必定n发散.
性质5 （级数收敛的必要条件）收敛级数的通项必趋向于零.即如果∑u n收敛，则.=0.
无穷级数
第二部分
n→∞
典型例题 ∑u
n =1 ∞ n
例1 lim un = 0 是级数 A.充分条件； A.充分条件 充分条件； C.充要条件； C. 充要条件 充要条件；
收敛的
【
】
B. 必要条件； 必要条件； D.既非充分又非必要条件 D. 既非充分又非必要条件
级数收敛的必要条件. 测试点 级数收敛的必要条件 答案
un+1 un 是正项级数 ,如果 lim = ρ, 则 设 n→∞ u n n =1
级数发散; 级数收敛; 当 ρ < 1 时,级数收敛; 当 ρ > 1 时,级数发散 当 ρ = 1 时,此审敛法失效. 此审敛法失效. 根值审敛法(柯西审敛法) 4. 根值审敛法(柯西审敛法
设
∑
∞
∑ un 是正项级数 ,如果 lim
∞
测试点: 级数收敛的必要条件. 测试点 级数收敛的必要条件
1 收敛, 解 因为 ∑ un 收敛 故 un → 0, 于是 → ∞ , 所以 un n =1 ∞ 1 发散. ∑ u 发散 n =1 n
答案
C
1 的和. 例3 求级数 ∑ n( n + 1) 的和 n =1
∞
解
n 1 1 1 sn = ∑ ) = ∑( − i +1 i =1 i ( i + 1) i =1 i
(完整版)无穷级数整理
无穷级数整理
一、数项级数
（一）数项级数的基本性质
1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.
2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）
3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.
4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.
5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法
（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数
∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
之间自某项以后成立着关系：
存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数
∑∞
=1n n
v
收敛时，级数
∑∞
=1n n
u
亦收敛；
（ii ）当级数
∑∞
=1
n n
u
发散时，级数
∑∞
=1
n n
v
亦发散.
推论：设两个正项级数
∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v ，且自某项以后有
n
n n n v v u u 1
1++≤，那么 （i ）当级数
∑∞
=1n n
v
收敛时，级数
∑∞
=1n n
u
亦收敛；
（ii ）当级数
∑∞
=1
n n
u
发散时，级数
∑∞
=1
n n
v
亦发散.
（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数
∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v ，
若0lim >=∞→l v u n
无穷级数的概念和性质_OK
2 15 19
13
22
性质3 在 u中n 去掉或添加有限项，所得新级数与原
n1
来级数的收敛性相同.
证 在 un中去掉或添加有限项所成新级数记为vn，
n1
n1
当项数给定之后，两者的部分和之差是一个常数，
因此这两个部分和同收敛或同发散.所以两个级数
的收敛性相同.
性质8.3表明，级数un 的收敛性，与其前面有限
收敛u，n 发散，则vn
n1
n1
(2) 若
发散，
un
n1
也发散 ，vn则
n1
(3) 若
(un
发散v，n )则
与
n1
必定发散.(un vn )
n1
不一定发(散u.n vn )
n1
不一u定n都发散. vn
n1
n1
(4) 若添号之后的级数发散，则原级数必定发散.
(5) 若
u 发散，则添括号的新级数不一定发散. n n1
，它满足
lim
n
un
0,
但 un 不收敛.
21
n
利用级数收敛的必要条件及反证法可以得知：
若
lim
n
un
0
或
lim
n
un不存在，则 un必定发散. n1
这
个性质可以作为判定级数发散的充分准则.
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质
无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念
无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。一般可以表示为下面的形式：
S = a₁ + a₂ + a₃ + ...
其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数
1.等差数列
等差数列是最简单的无穷级数之一。它的通项公式为：
aₙ = a₁ + (n-1)d
其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：
S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...
通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：
S = (a₁ + aₙ) * n / 2
2.等比数列
等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：
aₙ = a₁ * q^(n-1)
其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：
S = a₁ / (1-q)
其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数
调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n
调和级数可以表示为：
S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...
调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。例如，前n项和可以表示为：
无穷级数(全)
无穷级数
1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞
=1
n n
u
, 其中n u 称为级数的一般项.
2、部分和: 级数∑∞
=1
n n
u
的前n 项和 ∑==
n
k k
n u
S 1
称为级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和.
3、收敛的定义: 如果级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列}{n S 有极限S ,
即S S n n =∞
→lim ,则称级数
∑∞
=1
n n
u
收敛.S 称为级数
∑∞
=1
n n
u
的和, 并
写成： ++++=321u u u S ∑∞
==1
n n
u
.如果}{n S 没有极限, 则
称级数
∑∞
=1
n n
u
发散.
4、常数项级数收敛的必要条件：若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则必有
0lim =∞
→n n u ，反之若0lim ≠∞
→n n u ，则级数一定发散
5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：
∑∞
=0
n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于
q
a -11
1q ≥ 发散
当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：
∑∞
=1
n P n 1
1p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；
③常数级数：
∑∞
=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.
6、级数收敛的性质 以下假设∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1
n n
v
收敛于S 与T , 则
①∑∑∞=∞
==1
1n n n n
u u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞
=∞
=∞=±=±1
1
1)(n n n n n n n
v u v u
.
无穷级数的概念和性质
的收敛性相同.
性质8.3表明，级数un 的收敛性，与其前面有限
n1
项无关，而是取决于n充分大以后的 un 的状况.
例6
判定
1 23
1 24
1 2n
的收敛性.
解
级数
1
1 2
1 22
1 23
1 24
1 2n
为等比级
数，公比 r 1 ， 2
因此
1 1 2
1 22
综合之，本例应选A，C，D.
n1
解 此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1，则所给
几何级数转化为例1，可知其发散.若 r 1，所给级
数前n项和
Sn 1 r r 2 r n1
1 rn 1 rn . 1r 1r 1r
当|r|<1时，lim rn n1 r
0
，因而
lim
1 2n1
5 3n1
收敛，
且其和为 2 15 19 . 22
性质3 在 u中n 去掉或添加有限项，所得新级数与原
n1
来级数的收敛性相同.
证 在 un中去掉或添加有限项所成新级数记为 vn，
n1
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结
一、无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。一般地，我们用数列 {a_n} 来表示
无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：
S = a_1 + a_2 + a_3 + ...
其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。无穷级数通常可
以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。如果数列 {S_n} 的部分和
数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：
S = lim (n->∞) S_n = L
这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：
S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n
无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质
和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质
无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法
以及应用等方面都有着重要的作用。下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同
如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。即如果无穷级数
S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同
无穷级数总结
无穷级数总结
无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。它的形式为一列数相加的无穷和。无穷级数的研究对于了解数学的发
展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。本文将对无穷级数的定义、
性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。
无穷级数的定义意味着
\[S_n=a_1+a_2+...+a_n\]
\[S=a_1+a_2+a_3+...\]
其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示
级数的第n项。
我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。具体来说，
如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有
\[ ，S-S_n，< \varepsilon \]
那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做
\[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\]
如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然
数N时，总存在
\[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \]
那么我们说该级数是发散的。
在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。其中，比较
判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一
1.比较判别法：
如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，
有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geq
无穷极数知识点总结
无穷极数知识点总结
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一
项an是一个实数或复数。无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发
散的，即其和不存在或为无穷大。
2. 无穷级数的收敛
无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。收敛的无穷级数
在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等
方面。无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。
3. 无穷级数的发散
无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者
根本无法定义。无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。
4. 绝对收敛与条件收敛
无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一
种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。绝对收敛级数在
某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。
5. 级数收敛的充分条件
对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因
此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。
6. 无穷级数的运算
无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级
数收敛、级数部分和序列的收敛性等。无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数
无穷级数知识点总结简短
无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。
2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。
3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。
4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。
5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结
一、无穷级数的定义
1.1 无穷级数的概念
无穷级数是一种特殊的数列求和形式。它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散
无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项
无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质
2.1 无穷级数的加法性质
如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质
如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质
当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
无穷级数主要内容简单版
定理
若 f ( x)
a n ( x x0 ) , n 0
n
1 (n) f ( x0 ) 则an n!
常见函数展开式
( n 0,1,2,) x ( , )
1 e ,sin x, cos x, ln(1 x), 等及收敛域 1 x
x
a n1 设 lim n a n
(或 lim n a n )
n
1 (1) 则当 0 时, R ; (2) 当 0 时, R ;
(3) 当 时,R 0 .
un 1 ( x ) lim n u ( x ) n
收敛域要讨论端点
(1) (1) np , np n 1 n 1
n
n 1
( p 0)
3、正项级数
u ,
n1 n
un 0
1)正项级数收敛(发散){ sn }有界(无界) .
2)比较法一般形式
若正项级数
u
n 1
n 收敛(发散)且 n
v un ( un v n ),
求和函数(收敛域)
1 x 1 x ; 之类的已知级数 n 0
n
7、幂级数展开式
0 n
f ( n ) ( x0 ) ( x x 0 ) n 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n!
高数第七章无穷级数知识点
第七章 无穷级数
一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：
1、形如∑∞
=-11
n n aq
的几何级数（等比级数）：当1<q 时收敛，当1≥q 时
发散。
2、形如∑∞
=1
1
n p
n
的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、⇒
≠∞
→0lim n n U 级数发散； 级数收敛
lim =⇒∞
→n n U
4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数∑∞
=1
n n
U
，满足
条件l
U U n n n =+∞→1
lim
：
当1<l 时，级数收敛；
当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）；
当1=l 时，无法判断。
5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞
=1n n
U
，满足
条件λ
=∞→n n n U lim ：
当1<λ时，级数收敛；
当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）；
当1=λ时，无法判断。
注：当1,1==λl 时，方法失灵。
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）
推论：若∑∞
=1
n n
U
与
∑∞
=1
n n
V
均为正项级数，且
l
V U n
n
n =∞→lim
（n V 是已知敛散
性的级数) 若+∞<<l 0，则级数∑∞
=1n n
U
与
∑∞
=1
n n
V
有相同的敛散性；
若0=l 且级数∑∞
=1
n n
V
收敛，则级数
∑∞
=1
n n
U
收敛；
若+∞=l 且级数∑∞
=1
n n
V
发散，则级数
∑∞
=1
n n
U
发散。
7、定义判断：若
⇒
=∞
→C S n n lim 收敛，若n
n S ∞→lim 无极限⇒发散。
无穷级数知识点
无穷级数
1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：存在，称级数收敛。
2.若任意项级数收敛，发散，则称条件收敛，若收敛，则称级数绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。.
2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞
=
3.若有两个级数和1
n n v ∞
=∑，
则 ①，11n n n n u v s σ∞∞==⎛⎫⎛⎫
⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑。
②收敛，1
n n v ∞
=∑发散，则发散。
③若二者都发散，则不确定，如发散，而收敛。
4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：
a)
b) P 级数：
c) 对数级数：
5.三个重要结论
6．常用收敛快慢
正整数由慢到快
连续型
由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据及常用技巧
1.
11,1,lim 0)
1,n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞
⎧<⎪⎪
=>≠⎨⎪
=⎪⎩收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）
2. 1,1,1,n l l l n l μ<⎧⎪
=>⎨⎪=⎩
收发（当为某次方时）单独讨论
3.
代数式 1
1
1
1
n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞
====≤⇒⇒⇒∑∑∑∑收敛收敛，发散发散
② 极限式 ，其中：和1
n n v ∞
=∑都是正项级数。
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
• 0 • 0 • n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞∞∞∞
无穷级数内容提要
无穷级数内容提要
1．无穷级数的基本概念，收敛级数的性质。 注：收敛级数的必要条件： 若级数1
n n u ∞
=∑收敛，则lim 0n n u →∞
=。
2．几何级数与p —级数的收敛性。 1）当||1q <时，几何级数1
1n n aq
∞
-=∑收敛； 当||1q ≥时，几何级数1
1n n aq
∞
-=∑发散。
2）当1p >时，p —级数11
p n n ∞
=∑收敛；
当1p ≤时，p —级数11
p n n
∞
=∑发散。
3．正项级数收敛的充分必要条件。 4．比较审敛法。 设0n n u v ≤≤,
1）若级数1n n v ∞
=∑收敛，则级数1n n u ∞
=∑收敛；
2）若级数1
n n u ∞
=∑发散，则级数1
n n v ∞
=∑发散。
5．比较审敛法的极限形式。
设0n u ≥，0n v ≥，且lim 1n
n n
u v →∞=，
则级数1
n n u ∞=∑与级数1
n n v ∞
=∑的敛散性相同。
6．比值与根值审敛法。
设0n u ≥，且1
l i m n n n
u u ρ+→∞=
（或l i n ρ→∞
=）， 1）当1ρ<时，级数1
n n u ∞
=∑收敛；
2）当1ρ>时，级数∑∞
=1
n n
u 发散。
7．交错级数。
莱布尼茨定理：若交错级数1
1(1)n n n u ∞
-=-∑满足
lim 0n n u →∞
=, 且1n n u u +≥，
则交错级数收敛。 8．绝对收敛与条件收敛。
设1
l i m ||n n n
u u ρ+→∞=
（或l i |n ρ→∞=）
， 1）当1ρ<时，级数1n n u ∞
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专转本专题知识点----------无穷级数
数项级数
定义1 设给定一个数列,...,,...,,,321n u u u u 则和式
......321+++++n u u u u （11.1）
称为数项级数，简称为级数，简记为
∑∞
=1
n n
u
,即
∑∞
=1
n n
u
=......321+++++n u u u u
其中，第n 项n u 称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n 项和
∑==++++=n
k k n n u u u u u S 1
321...
称为式（11.1）的前n 项部分和。当n 依次取1，2，3，...时，部分和
...,..,,,321n S S S S
构成一个新的数列{}n S ，数列{}n S 也称为部分和数列
定义2 若级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列{}n S 有极限S
S S n n =∞
→lim ，
则称级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，称S 是级数
∑∞
=1
n n
u
的和，即
(3211)
+++++==
∑∞
=n n n
u u u u u
S
如果部分和数列{}n S 没有极限，则称为级数∑∞
=1
n n
u
发散
数项级数的性质 （1）若级数
∑∞
=1
n n
u
和级数
∑∞
=1
n n
v
都收敛，它们的和分别为S 和σ，则级数
∑∞
=±1
)(n n n
v u
也
收敛，且其和为±S σ
（2）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，且其和为S ，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的
级数
∑∞
=1
n n
ku
也收敛，且其和为kS
（3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变 （4）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数
...)...(...)...()...(1211121+++++++++++-+k k n n n n n u u u u u u u 也收敛，且与原级数有相同的和
（5）（级数收敛的必要条件）若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则0lim =∞
→n n u
数项级数的敛散性
研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数 一．正项级数
正项级数：若级数∑∞
=1
n n
u
=......321+++++n u u u u 满足条件,...)3,2,1(0=≥n u n ，则称此
级数为正项级数
定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{}n S 有界
定理2 （比较判别法）若级数∑∞
=1
n n
u
和级数
∑∞
=1
n n
v
为两个正项级数，且,...)3,2,1(=≤n v u n n ，
那么： （1）若级数
∑∞
=1n n
v
收敛时，级数
∑∞
=1
n n
u
也收敛
（2）若级数
∑∞=1
n n
u
发散时，级数
∑∞=1
n n
v
也发散
定理3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数
∑∞
=1
n n
u
（,...3,2,1,0=>n u n ）满足条件
l u u n
n n =+∞→1
lim
则
（1）当1
（3）当1=l 时，无法判断此级数的敛散性
二．交错级数
级数
∑∞
=-1)1(n n n u （,...3,2,1,0=>n u n ）称为交错级数
定理4（莱布尼兹判别法）若交错级数∑∞
=-1
)
1(n n
n
u （,...3,2,1,0=>n u n ）满足下列条件
（1）1+≥n n u u （2）0lim =∞
→n n u
则交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n
n
u 收敛，其和,1u S ≤其余项的绝对值1+≤n n u r
三．绝对收敛和条件收敛
若级数
∑∞
=-1
)
1(n n
n
u 的各项为任意实数，则称级数
∑∞
=1
n n
u
为任意项级数
定义 如果任意项级数
∑∞
=1
n n
u
的各项绝对值组成的级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则称级数
∑∞
=1
n n
u
绝对收
敛；如果
∑∞
=1
n n
u
发散，而
∑∞
=1
n n
u
收敛，则称级数
∑∞
=1
n n
u
条件收敛
定理5 如果级数
∑∞
=1
n n
u
绝对收敛，则级数
∑∞
=1
n n
u
必收敛