一元微积分几何应用3

一、函数的性态1.函数的奇偶性sin ,tan ,arcsin ,arc tan ,ln(()(),cos ,()()x x x x x f x f x x x f x f x +--+-，为奇；为偶；±=±=⨯÷=⨯÷=奇奇奇，奇偶（非零常数）非奇非偶，奇（）奇偶，奇（）偶奇；()'()'()()f x f x f x f x ⇒⇒为可导的奇（偶）函数为偶（奇）函数，为奇函数为偶函数;()()()()0()()f x f x x x aaf x f t dt a f t dt f x ⇒=⇒⎰⎰连续连续奇（偶）偶（奇()）,奇（偶）偶（奇）;2．函数的周期性2sin(),cos()tan(),sin ,cos tan x x x x x x ππωϕωϕωϕωϕωϕωϕωω++++++周期为；，周期为；()(0)()'()'()()f T f f x T f x T f x T f x T =⇒⇒为周期的导函数为周期的函数，周期为周期为;()0()()()()()Tf t dt f x x x aaf t dt T f x T f x T f t dt T =⎰⇒⇒⎰⎰连续周期为周期为，为周期的连续函数周期为;3．函数的单调性'()()0,(())()(),f x x I f x I f x I ≥≤∈⇒在内具有有限个驻点在内单调增减反之不成立；''()()0,'()();()()0,()();x af x x I f x I f x x I f t dt I ><∈⇒><∈⇒⎰在内单调增减在内单调增减()'()()xaf x f x f t dt ⎰，，三者的单调性在一般情况下不能相互推出；'()'()()0()()f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内单调增减；()()()f x f x 单调区间的分界点可能为驻点,尖点连续但一导不存在,间断点；视条件而定；4．函数的凹凸性''()()0,('())()()(),f x x I f x I f x I ≥≤∈⇒在内具有有限个驻点在内是向上凹凸的反之不成立；'()()0,()()();x af x x I f t dt I ><∈⇒⎰在内是向上凹凸的''()''()()0()()();f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内是向上凹凸的()()f x f x 的拐点必为连续的坐标点,其横坐标可能为二导零点,二导不存在点；视条件而定；00000''()0(''()/),''()(,());f x f x f x x x f x ==⇒在两邻的符号相反为拐点00''()0000000''()''()0,'''()0(,());lim0(,())f x x x x f x f x f x x f x A x f x x x →=≠⇒=≠⇒-在处连续为拐点为拐点;322''1()lim,()()(1')ds y ds K x R x sK x y α→∆====∆+弧微分曲率曲率半径;5．函数的极值性()()f x f x 的极值点必含于定义域,其可能为驻点,尖点,间断点；若可导,其极值点必为驻点；00000'()0('()/),'()()(),()();f x f x f x x x f x ==⇒在两邻由正到负由负到正为极大小点为极大小值00'()00000'()'()0,''()()0();lim ()0()f x x x x f x f x f x x A x x x →=<>⇒=<>⇒-在处连续为极大小点为极大小点;0000200()()''()lim()0()'()0,lim()0();()nx x x x f x f x f x A x f x A x x x x x →→-=<>⇒==<>⇒--为极大小点;为极大小点6．函数的最值性()[,][,]()m ax ()(m in ())m ax(m in){(),(),()};f x x a b x a b f x f x f f f ∈∈⇒连续最大小值驻点尖点端点()(,)()(),()(,)()f x a b f x a b 连续函数在内有唯一驻点尖点且取极大小值则其亦为在内的最大小值；二、函数的几何度量1.平面图形的面积{(,),()()}[()()]b aDX D x y a x b g x y f x S dxdy f x g x dx =≤≤≤≤==-⎰⎰⎰型区域的面积为;(),(),()()b ay f x y g x x a x b a S f x g x dx ====>=-⎰由曲线与直线所围图型的面积为;{(,)()(),}[()()]d cDY D x y g y x f y c y d S dxdy f y g y dy =≤≤≤≤==-⎰⎰⎰型区域的面积为;(),(),()()d cx f y x g y y c y d c S f y g y dy ====>=-⎰由曲线与直线所围图型的面积为;221{(,),()()}[()()]2DD g f S d d f g d βαθρθαθβθρθρρθθθθ=≤≤≤≤==-⎰⎰⎰型区域的面积为;2.旋转体体积22{(,),0()()}[()()]b x a X D x y a x b g x y f x x V f x g x dx π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;22()0,()0,,()()b x a y f x y g x x a x b a x V f x g x dx π=≥=≥==≥-⎰所围图形绕轴旋转一周的=;22{(,)0()(),}[()()]d y cY D x y g y x f y c y d y V f y g y dy π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;22()0,()0,()()dy c x f y x g y y c y d c y V f y g y dy π=≥=≥==≥-⎰,所围图形绕轴旋转一周的=;{(,)0,()()}2[()()]b y aX D x y a x b g x y f x y V x f x g x dx π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;(),(),,02()()b y ay f x y g x x a x b a y V x f x g x dx π====≥≥-⎰所围图形绕轴旋转一周生成的=;{(,)()(),0}2[()()]dx cY D x y g y x f y c y d x V y f y g y dy π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;(),(),02()()d x cx f y x g y y c y d c x V y f y g y dy π====≥≥-⎰,所围图形绕轴旋转一周的=;22{(,),()()}{[()][()]}b aD x y a x b k g x y f x y k V f x k g x k dx π=≤≤≤≤≤=---⎰绕旋转一周的=;22(),(),,[()][()]b ay f x k y g x k x a x b a y k V f x k g x k dx π=≥=≥==≥=---⎰所围图形绕旋转一周的=;{(,),()()}2()[()()]b aD x y k a x b g x y f x x k V x k f x g x dx π=≤≤≤≤≤=--⎰绕旋转一周的=;3.曲线的弧长:(),[,]b x La L y f x x ab L ds =∈=⎰⎰的弧长=;:(),[,]d y L cL x f y y c d L ds =∈=⎰⎰的弧长=;:(),(),[,]b t L aL x f t y g t t a b L ds ==∈=⎰⎰的弧长=;:(),[,]L L f L ds βθαρθθαβθ=∈=⎰⎰的弧长=;4.旋转体的侧面积:()0,[,]2()2(b x LaL y f x x a b x S f x ds f x ππ=≥∈=⎰⎰绕轴旋转一周的侧面积=;()(){(,),0()()}2()()x y f x y g x D x y a x b g x y f x x S f x ds g x dsπ===≤≤≤≤≤+⎰⎰绕轴旋转一周的=2[((;b af xg x dx π=⎰三、函数性态的判定例1、某曲线以极坐标可表示为13ρπθ=-，则其在1(,)(,0)ρθπ=处的切线的直角坐标方程为330x y π--=.则其斜渐近线的直角坐标方程为23y =+.（注意仅3πθ→时，x →∞）例2、设函数)(x f 连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(C )A )(x f 在（0，)δ内单调增加.B )(x f 在)0,(δ-内单调减少.C 对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > .D 对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >.例3、下列命题中错误的是（D ）A 0000''()0,'''()0(,())f x f x x f x =≠⇒为拐点B 00''()000''()lim0(,())f x x x x f x A x f x x x →=≠⇒-在处连续为拐点C ()f x 的拐点必为连续的坐标点，其横坐标可能为二导为零点，尖点，二导不存在点D 若0)(0=''x f ，且 ))((00x x x f -''在00(,)u x δ上变号，则00(,())x f x 是)(x f 的拐点例4、设()(1)f x x x =-, 则（A ）A 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点.B 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.C 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.D 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.例5、设)(x f 满足22()[()]1f x f x x '''+=+，且'(0)0f =，则（B ）A (0)()f f x 为的极大值B (0)()f f x 为的极小值C ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点D )0(f 不是)(x f 极值，))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点例6、试找出数列})21({12+n n 中最大项.解：设),1[,)21()(12+∞∈=+x x x f x ，则)2ln 2()21()(1x x x f x -='+ 不难验证函数在唯一驻点2ln 2=x 处取得最大值，又32ln 22<<169)3(,21)2(==f f ，故该数列的最大值为第三项：169.例7、设)1(cos )(>+=a x a x x f 在)2,0(π内有极小值0，求其在)2,0(π内的极大值.解：x a x f x a x f cos )(,sin 1)(-=''-=' 令0)(='x f 得)2,0(1arcsin1arcsin21ππ∈-==x ax ax ，，注意到0)(0)(0)(221=∴>''<''x f x f x f ， ，,即π=-+11arcsin 2a a而)(1x f 是极大值，且　π=-+=11arcsin)(2a ax f .四、函数几何度量的计算例1、求由曲线23x y =及22x y -=在上半平面围成图形的面积A 及周长S .解： 251]2[21322π+=--=⎰dx x x A^^2()2[]O M M PS SS=+=+⎰⎰)422781313(2π+-=.yx例2、设图形A 由x y x 222≤+与x y ≥确定，求A 绕直线2=x 旋转一周所得的y V . 解：（一）用元素法，相应于上的任一小区间],[dy y y +的薄片体积的元素为 dy y y dy y y dv ])1(1[2})2()]11(2[{22222---=-----=πππ∴ 21223y V dv ππ==-⎰（二）用特殊的元素法对于该题有21022(2]23y v x x dx πππ=-=-⎰.例3、设闭曲线)()(442322y x a y x +=+所围成图形的面积. 解：其极坐标方程为2221(1sin 2)2r a θ=-，由封闭性知πθ20≤≤但由于图形上、下、左、右的对称性，知所求面积⎰⋅=202)(214πθθd r A 234a π=.例4、求曲线)cos 1(4θ+=r 和直线2,0πθθ==所围成图形绕极轴旋转一周的x V .解：⎰⎰==022282cos sin πθθππdr r dx y V x πθ160)21()1()1(122cos =+-+=⎰=dt t t t t .五、微积分综合应用与计算例1、()()()()0()()f x f x x x aaf x f t dt a f t dt f x ⇒=⇒⎰⎰连续连续奇（偶）偶（奇()）,奇（偶）偶（奇）； 0()0()()(),()()Tf t dt f x x x aaf t dt Tf x T f x T f t dt T =⎰⇒⇒⎰⎰连续周期为周期为为周期的连续函数周期为证：()()()()()u tx x a x xaaaaaf t dtf u du f u du f u du f u du =------=+==⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()x T a T x T T x x aaa Taaf t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt ++++=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰或[()()]'0x T x aaf t dt f t dt +-=⎰⎰，则0()()()()0xT xxT Taa xf td tf td t f td tf td t++-===⎰⎰⎰⎰例2、求由方程23)0yte dt t dt +-=⎰所确定的可导函数)(x y y =的可能极值点，并讨论这些点是极大点还是极小点.解：031)1()(32332=⋅-+'-xx x y ey，232333)1()(yexx x y -⋅-='令0)(='x y 得1=x ，为驻点，0=x 为尖点，例3、2()f x =位于第一象限的图像与x 轴、y 轴所围区域的面积为529．解：面积44441()[()]'()2A f x dx xf x xf x d x ==-=⎰⎰⎰3233221252(1)(1)399du u u ==+=+=⎰⎰．例4、求曲线⎰=xdt t y 8sin 的全长S .解：ππ32≤≤x ，而x x y sin )(=' ∴ 324S d y ππ==⎰.例5、设)(u ϕ是连续的正值函数，试证明：⎰--=ccdu u u x x f )()(ϕ在],[c c -上是上凹的.解：⎰⎰-+-=-cxxcdu u u x du u u x x f )()()()()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰---+-=xcxcxc xc du u u du u x du u u du u x )()()()(ϕϕϕϕ⎰⎰>=''+='-ucxcx x f du u du u x f 0)(2)(,)()()(ϕϕϕ，故，原题得证.例6、过2x y =上一点),(2a a 做切线，问a 为何值时所作切线与抛物线142-+-=x x y 所围区域的面积最小？解：易得两曲线交点342)2(,342)2(2221+-+--=+----=a a a x a a a x23222)342(34)]2()14[(21+-=---+-=⎰a a dxx ax x x S x x 韦达定理易知1=a 时34min =S例7、设函数)(x f 在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内大于零,并满足223)()(x a x f x f x +=' (a 为常数) ,又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围成的图形S 的面积值为2,求)(x f ,并问a 为何值时,图形S 绕x 轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小.[解] 由条件可得, 当 0≠x 时有23)()()(2a x x f x f x x x f =-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 由)(x f 连续性知0)0(=f ,故Cx x a x f +=223)(又2=1232ax C x dx ⎛⎫+=⎪⎝⎭⎰22C a +，故a C -=4,因此所求函数x a x a x f )4(23)(2-+= 旋转体的体积为[]ππ)31631301()()(2210++==⎰a a dx x f a V , 令 0)31151()(=+='πa a V ,得 5-=a .又 0151)5(<=-''V ,故知当5-=a 时,旋转体体积最小. 例8、已知抛物线y =(,)M x y 处的曲率半径为()x ρ， ()s x 是该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长，求222()()3()[]()()d x d x x ds x ds x ρρρ-．解：33222[1'()]1()(41)''()2y x x x y x ρ+==+，11()x x s x ==⎰⎰12()'()()()'()d x x x ds x s x ρρβ+====22()'()()'()d x x ds x s x ρβ===故有222()()3()[]9()()d x d x x ds x ds x ρρρ-=．六、几何应用练习题（1）曲线⎩⎨⎧==te y te x tt cos 2sin 在点)1,0(处的法线方程为012=-+x y （2）若曲线b ax x y ++=2和312xy y +-=在点)1,1(-处相切，其中a ，b 为常数，则（D ） A 2,0-==b a B 3,1-==b a C 1,3=-=b a D3,1-=-=b a（3）曲线极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程。