数值分析学期期末考试试题与答案(A)教学提纲

期末考试试卷（A 卷）
2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟
学号 姓名 年级专业
一、判断题（每小题2分，共10分）
1. 用计算机求
1000
1000
1
1
n n
=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（ ）
2. 为了减少误差,进行计算。

（ ）
3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（ ）
4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（ ）
5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有
关，与常数项无关。

（ ）
二、填空题（每空2分，共36分）
1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.
2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
则1A =_____，2x =______，Ax ∞
=_____.
3. 已知5
3
()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .
4. 为使求积公式
1
1231
()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰
的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .
6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)
()(0,1,2,)k k X
MX N k +=+=K 产
生的向量序列{
}()
k X
收敛的充分必要条件是 .
7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则
L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则
11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，
<，=，不一定）。

8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题(0)1y x y
y '=+⎧⎨=⎩
的数值解，其迭代公式为
___________________________.
三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）
1. 以02x =为初值用牛顿迭代法求方程3
()310f x x x =--=在区间(1,2)内的根，要求
（1） 证明用牛顿法解此方程是收敛的；
（2） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算12,,x x 计算结果
取到小数点后4位）。

2. 给定线性方程组
1231231230.40.410.40.820.40.83
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
（1） 分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；
（2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。

3. 已知函数()y f x =在如下节点处的函数值
（1） （2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值； （3） 采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。

4.
5. 已知函数()y f x =在以下节点处的函数值，利用差商表求(3)f '和(3)f ''的近似值。

6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列
常微分方程的数值解。

22(01,0.2)(0)0
y x y x h y '⎧=+≤≤=⎨
=⎩
四、（8分）已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i x y i n L ，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

期末考试答案及评分标准（A 卷）
2007学年第二学期 考试科目： 数值分析
一、判断题：（每小题2分，共10分）
1. ×
2. √
3. ×
4. ×
5. ×
二、填空题：（每空2分，共36分） 1. 0.005或2
0.510-⨯ ，0.5 2.
3. 0,2
4. 1,0,1,3
5.
()A A ρ≤
6. ()1M ρ<
7. 1042,,1,10212⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
8. 11
()(1)2
n n n n n n y y x y x y +=+++
++或1 1.5 2.50.5,0,1,2,n n n y x y n +=++=L
三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分） 1. （1）证明：3
()31f x x x =--，由于
a) (1)30,(2)10,f f =-<=> b) 2()330
((1,2)),f x x x '=-≠∈
c)
()60((1,2)),f x x x ''=>∈ 即()f x ''在(1,2)上不变号，
d) 对于初值02x =，满足(2)(2)0,f f ''> 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。

………………………………………4分
（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为
3
12
()31
()33
n n n n n n n n f x x x x x x f x x +--=-=-'- ………………………………………2分
取初值02x =进行迭代，得
1 1.8889,x =
………………………………………1分
2 1.8795.x =
………………………………………1分
2. 解：（1）Jacobi 迭代公式为
(1)()()
123(1)()()
2
13(1)()()3
120.40.410.40.820.40.83
k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩ ……………………………2分 Gauss-Seidel 迭代公式为
(1)()()
123(1)(1)()
2
13(1)(1)(1)3
120.40.410.40.820.40.83
k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩……………………………2分 （2）Jacobi 迭代矩阵的特征方程为0.40.4
0.4
0.800.40.8λ
λλ
=，展开得
30.960.2560λλ-+=，即
(0.8)(0.40.40λλλ-+++-=，
从而得 123-1.0928,0.8000,0.2928λλλ===，（或由单调性易判断必有一个大于1
的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi 迭代法发散。

……………………………2分
Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征方程为0.40.4
0.40.800.40.8λ
λ
λ
λλ
λ
=，展开得
2(0.8320.128)0λλλ-+=，解得1230,0.628,0.204,λλλ=≈≈迭代矩阵的谱半径
小于1，所以Gauss-Seidel 迭代法收敛。

……………………………2分
3. 解：（1）建立差分表
………………………………………2分 （2）建立牛顿后插公式为
2232
022********
()()()()!!
()()()P x x x x x x x x =-
----=-----=-+ 则所求近似值为
211279(.).P =
………………………………………3分
（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为
12214
31112312124
()()()()!!
()()P x x x x x x x x x =-
---=----=-++ 则 1211268()
(.).P =
根据事后误差估计法
1222209091
()
()(.)(.)x R x P P x -⎡⎤≈
-⎣⎦+ 故截断误差
209
112792680047121.(.)(..)..R -≈
⨯-≈-
………………………………………3分
4.
5. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为2
2012().P x a a x a x =++ 根据已知数据，得
01211111002,,11151240a M A a Y a -⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
……………………………2分
则
4268268,468186M M M Y ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
……………………………1分
建立法方程组为0124268268468186a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
……………………………2分解得
0123.5, 1.5, 1.5.a a a ===-
……………………………1分
从而得所求一次最小平方逼近多项式为2
1
() 3.5 1.5 1.5.P x x x =+- ……………………………1分
6. 解：设2()P x 为已知节点数据的插值二次多项式。

构造如下差商表：
2分
因为二次多项式的二阶差商为常数，又2()P x 是
()f x 的插值函数，故有
225[4,3,3][3,3,3]2
P P ==
……………………………2分
而
22[3,3]75
[4,3,3]342
P P -=
=-，
因此得
29
[3,3]2
P =
， ……………………………1分
由于
1
L 1442443
()()![,,,,]k n k f x k P x x x x +≈，
从而得
29
3332
()[,],f P '==
2323335()![,,].f P ''==
……………………………2分
7. 解：前进欧拉公式：
22
1(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +=+⋅=++…………1分
后退欧拉公式：
2211111(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +++++=+⋅=++ ……1分
预估时采用欧拉公式
*2210.20.2n n n n y y x y +=++
……………………………1分
校正时采用后退欧拉公式
()
2
2*1110.20.2n n n n y y x y +++=++
……………………………1分
由初值000002,,.x y h ===知，节点分别为0.2,(1,2,3,4,5)i x i i ==
当1
0.2,x =
*22
10000.20.20,y y x y =++=
()2
2101102020008*...y y x y =++=，
……………………………1分
当2
0.4,x =
*2221110.20.20.0160,y y x y =++≈
()
2
2
212
2
020200401*...y y x y
=++≈.
……………………………1分
当3
0.6,x =
*2232220.20.20.0724,y y x y =++≈
()
2
2
323
3
020201131*...y y x y
=++≈.
……………………………1分
当4
0.8,x =
*2243330.20.20.1877,y y x y =++≈
()
2
2
434
4
020202481*...y y x y
=++≈.
……………………………1分
当5
1.0,x =
*2254440.20.20.3884,y y x y =++≈
()2
25455020204783*
...y y x y =++≈.
四、（8分）
答：1、可以建立插值函数： （1）Newton 基本差商公式
00100121001110()()()[,]()()[,,]
()()()[,,,]
L L L n n n P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---
……………………………1分
（2）Lagrange 插值多项式
0011()()()()()L L n i i n n L x a f x a f x a f x a f x =+++++
其中01101101()()()()
,(,,,)()()()()
L L L L L i i n i i i i i i i n x x x x x x x x a i n x x x x x x x x -+-+----=
=----.
……………………………1分
这两类插值函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。

……………………………2分
2、可以建立拟合函数：
2012()m m m P x a a x a x a x =++++L
……………………………1分
其中系数012,,,,n a a a a L 满足法方程组M MA M Y ''=,
2
00000021111112()1()1,,()1m
m m m n n n
n n a f x y x x x a f x y x x x M A Y a f x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
K K
L L L K K K K
K K
……………………………1分
拟合函数的适用条件是：n 比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。

……………………………2分。