Jump-EGARCH模型基础上检验跳跃现象

第1组计量经济学理论与方法

Jump-EGARCH模型基础上检验跳跃现象

史秀红1

一．文献综述

自回归条件异方差模型（ARCH模型）自恩格尔(1982)提议以来，因为能够拟合随时间而变得波动，在金融领域得到广泛地应用。但是ARCH模型不仅要求其参数具备非负性，而且还不能反映波动的非对称性，为此内尔松(1991)提议指数自回归条件异方差模型（EGARCH模型）克服ARCH模型的弱点。

虽然EGARCH模型容易估计，且具有很好的统计性质，但是大量的实证分析证明EGARCH 模型还不能充分地描述金融资产普遍存在的“尖峰肥尾”和“杠杆效应”等现象。

现在一种比较有效的方法，如乔瑞（1989），达斯（2000），贝内（2003）以及约翰斯（2004）等，在ARCH模型的基础上，增加跳跃因素，即Jump-ARCH模型，ARCH部分用来模拟正常的波动，跳跃部分用来反映给金融资产的收益带来很大影响的突发事件。Jump-ARCH模型不仅能够更好地描述金融资产具有的“肥尾”现象，还由于得到正常的波动部分和“跳跃”因素两方面的贡献，更好地拟合金融资产收益上的“尖峰”现象。

虽然Jump-ARCH模型广泛地用于资产定价和金融风险等领域，遗憾的是，现存的Jump-ARCH文献中都几乎没有进行模型的检验，即跳跃现象的检验。计量经济学上，模型的检验与估计同等重要。因为经济研究都是在一定的前提条件下进行，即任何经济理论和经济原理都是有条件的，理解和检验这些条件很重要，计量经济学就是通过模型的检验来理解和验证这些条件。

乔瑞(1989), 潘(2002)和哈拉夫(2003)等仅有的几篇文献进行模型的检验，可惜是用似然比检验法检验跳跃现象。如安德鲁(2001)和哈拉夫(2003)所述，用似然比检验法检验跳跃现象时，面临不可定义参数(nuisance parameter)的检验问题，于是无法保证似然比检验统

分布。

计量渐进地服从正态分布或者2

本文尝试借用迪拉克·德鲁塔（Dirac’s delta）函数的思想，很幸运地提出规避不可定1史秀红：女，1969年生于辽宁鞍山。现在中央财经大学金融学院，讲师，经济学博士。

义参数的检验跳跃现象的拉格朗日乘数检验统计量。

本文安排如下：第二章讨论使用的跳跃模型和提议拉格朗日检验统计量；第三章进行了蒙特卡罗计算机仿真实验，验证提议的拉格朗日检验统计量所具备的检验效率；最后进行了简单的总结。

二．模型和拉格朗日检验统计量

为了提议的拉格朗日成数检验统计量能够广泛地应用，延承文献，本文对跳跃部分进行具有一般性的假设。具体伴随着跳跃现象的E GARCH 模型，即Jump-EGARCH 模型如下：

t t t t z e h x += (1)

1t

J t ts s z y ==∑ ,()

2,,~σμN y s t ，11211---+++=t t t t x x βθααωθ ,()t t h θexp = ，

()1,0..~D I N e t , ()λPisson J t ~ , 0,121≥<++λβαα .

其中，t x 和 t h 分别代表经过均值调整过的金融资产的收益和误差项的条件方差；t z 代表

(]t t ,1-期间内观察到的跳跃现象给t x 带来的影响；s t y ,代表(]t t ,1-期间内观察到的第

s

次跳跃现象给t x 带来的影响，并假设每次跳跃给t x 带来的影响服从均值为μ，方差为2

σ的正态分布，即()2

,,~σμN

y s t 。

自然，通过检验均值和方差是否同时为0，即,0=μ02

=σ，

来判断是否出现了可以观察到的跳跃现象；t J 代表(]t t ,1-期间内出现可以观察到的跳跃的次数，并假设跳跃出现的次数服从参数为λ的泊松分布，即)(~λPossion J t 。如果0=t J ，则意味着(]t t ,1-期间内没有出现可以观察到的跳跃现象；如果对于任意的t 而言， 0=t J 则意味着在整个样本区间内没有出现能够观察到的跳跃现象。虽然逻辑上可以通过检验）

（t J t ∀=,0与否来判断样本区间内出现能够观察到的跳跃现象，不幸，统计学上无法检验t J t ∀=,0。此外，还假设跳跃出现次数与跳跃出现的频率无关；跳跃出现与否，以及跳跃

带来的影响都与传统的EGARCH 波动无关。为了计算方便，假设单位时间为一天。

显然，对于任意单位时间内，如果()t J t ∀=,0，方程（1）所定义的Jump-EGARCH 过程实际上是一个E GARCH 模型。把E GARCH 模型理解为退化的跳跃过程和E GARCH 波

动复合而成的模型。自然，可以通过检验跳跃的影响是否服从均值和方差同时为0的正态分布，来判断样本是否出现了可以观察到的跳跃现象，进而判别应该使用E GARCH 模型，还是使用Jump-EGARCH 模型拟合该金融资产的收益。原假设和备择假设分别定义为：

0,0:20==μσH ； 0:21≥σH .

0H 原假设，表示没有出现跳跃现象，即E GARCH 模型；1H 备择假设，意味着出现跳跃

现象，即Jump-EGARCH 模型。

传统上，有沃尔德检验法，似然比检验法，和拉格朗日乘数检验法三种检验方法。前两种检验法都需要借用备择假设1H 的信息进行检验。检验跳跃过程时，存在不可定义参数，从而无法保证这两种检验统计量渐进地服从2χ分布。LM 统计量只需借助原假设的信息计算而得，一定程度上能够规避不可定义参数的检验问题。

假设跳跃过程与E GARCH 模型无关，于是先考虑跳跃部分密度函数的计算。若某一单位时间内没有出现跳跃现象，认为此时出现了退化的跳跃现象，即没有影响的跳跃。自然可以认为退化的跳跃带来的影响服从均值和方差都为0正态分布。虽然无法直接计算方差为0的正态密度函数的导数，但是把退化的跳跃理解成中心为0的迪拉克·德鲁塔函数，不仅可以计算似然函数，而且还能简化一阶导数的计算。

t 时刻的跳跃部分的密度函数分成两部分：权重为()∑∞

=-1

!exp s s

s λλ的跳跃部分，和权重

为()⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛--∑∞

=1!exp 1s s s λλ的退化跳跃的部分。t Z 密度函数 ()()()()t s s

t s s t z s s s z s s z f δλλσμφσλλ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∑∑∞

=∞

=11

!exp 11!exp , (2) 其中，迪拉克·德鲁塔函数()t z δ代表退化的跳跃现象；().φ代表标准正态分布的密度函数；

()∑∞

=-1!exp s s s λλ和()⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

--∑∞

=1!exp 1s s s λλ分别代表单位时间t 内出现跳跃现象和没出现跳跃现象的概率。

此外，迪拉克·德鲁塔函数还能够简化一阶导数的计算。对于迪拉克·德鲁塔函数()t z δ，