3.1.1 方程的根与函数的零点学情分析1 新人教A版必修1
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案精讲 新人教A版必修1
3.1 函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点[读教材·填要点]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也是方程f(x)＝0的根．[小问题·大思维]1．函数的“零点”是一个点吗？提示：不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是1，则a为何值？提示：f(1)＝a＋2＝0，∴a＝－2.3．若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0一定成立吗？提示：不一定．可能y＝f(x)在x＝a或x＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如图所示．求函数的零点[例1] 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．[自主解答] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，即(x3－x)－(6x－6)＝0，∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.——————————————————求函数y＝f x的零点通常有两种办法：其一是令f x＝0，根据解方程f x＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f x的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.本题由于画函数图象比较困难，因此，只用了第一种方法.——————————————————————————————————————1．求下列函数的零点．(1)y＝x2－2x；(2)y＝ln x－2.解：(1)令y＝x2－2x＝0，则x＝0或x＝2，∴y＝x2－2x的零点为0,2.(2)令y＝ln x－2＝0，则ln x＝2＝lne2.∴x＝e2.∴函数y＝ln x－2的零点为e2.[例2] 函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[自主解答] 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数一个零点在(0,1)．[答案] C——————————————————确定函数零点、方程根所在区间，通常利用函数零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应函数值符号是否相反.——————————————————————————————————————2．方程lg x＋x＝0的根所在的区间可能是( )A．(－∞，0) B．(0.1,1)C．(1,2) D．(2,4)解析：由于lg x有意义，所以x>0.令f(x)＝lg x＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1,1)内有零点．答案：B[例3] 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[自主解答] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．——————————————————1若函数f x在[a，b]上单调，且f a f b<0，则f x存在零点，且在a，b上只有1个零点.2若通过构造有f x＝g x－h x，且g x、h x图象容易作出，则f x的零点个数就是g x与h x图象交点个数，通过作图容易得到f x零点个数.3特别地，对于二次函数的零点个数可以通过Δ来判断.——————————————————————————————————————3．求函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数，并写出它的一个大致区间．解：设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，如图所示．由图可知y1与y2只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0有一个根，∴函数f(x)有一个零点．f(2)＝log22＋22－7＝－2，f(3)＝log23＋23－7>0，∴f(2)·f(3)<0.∴零点的一个大致区间为(2,3).k的取值范围．[巧思] 若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，知函数f (x )的图象只能如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧k >0f1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f1>0，解出即可．[妙解] 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．1．函数f (x )＝lg x ＋12的零点是 ( )A.110 B.10C.1010D ．10解析：∵lg x ＋12＝0，∴lg x ＝－12，∴x ＝10－12＝1010.答案：C2．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A ．[0，18]B ．[18，14]C ．[14，12]D ．[12，1]解析：f (14)·f (12)＝(π4＋log 214)(π2＋log 212)＝(π4－2)(π2－1)＜0答案：C3．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．不能确定解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 答案：A4．若函数f (x )＝x 2－x ＋a 有两个零点，则a 的取值范围是________． 解析：∵Δ＝(－1)2－4×1×a ＝1－4a .而f (x )＝x 2－x ＋a 有两个零点，即方程x 2－x ＋a 有两个不相等的实数根．∴Δ>0即a <14.答案：(－∞，14)5．若函数f (x )＝x －1x，则g (x )＝f (4x )－x 的零点是________． 解析：∵f (x )＝x －1x ，∴f (4x )＝4x －14x. 则g (x )＝4x －14x －x ，令g (x )＝0.有4x －14x －x ＝0，解得x ＝12. 答案：126．试判断方程x 3＝2x在区间[1,2]内是否有实数根？解：因为函数f (x )＝x 3－2x的图象在区间[1,2]上是连续曲线，并且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝8－4＝4>0，所以f (1)·f (2)<0，所以函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x 3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数根．一、选择题1．若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )·f (b )＜0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0B ．若f (a )·f (b )＜0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0C ．若f (a )·f (b )＞0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0D ．若f (a )·f (b )＞0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0 解析：由零点存在性定理可知选项A 不正确；对于选项B ，可通过反例“f (x )＝x (x －1)(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)·f (2)＜0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C 可通过反例“f (x )＝(x －1)·(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)·f (2)＞0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．答案：D2．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为y ＝x 12在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝(12)x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－(12)x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x 12－(12)x在定义域内有唯一零点．答案：B3．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点的个数为( )A ．1 003B ．1 004C．2 006 D．2 007解析：∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 003个零点，∴在(－∞，0)上也有1 003个零点，又∵f(0)＝0，∴共有2 006＋1＝2 007个．答案：D4．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内实数解有( )A．3个B．2个C．至少一个D．0个解析：令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－1<0，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.答案：C二、填空题5．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间为________.x －1012 3e x0.371 2.727.3920.09x＋21234 5解析：令f(x)x由图表知f(－1)＝0.37－1＝－0.63＜0，f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0，f(3)＝20.09－5＝15.09＞0，由于f(1)·f(2)＜0，所以一个根所在的区间为(1,2)．答案：(1,2)6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确．答案：①②③7．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是________．解析：取g (x )＝ln x h (x )＝x －2则f (x )的零点也就是g (x )与h (x )的交点如下图：答案：28．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞) 三、解答题9．讨论函数f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )的零点． 解：当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2. 当a ＝12时，则由(12x －1)(x －2)＝0，解得x 1,2＝2，则其零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a 或x ＝2，综上所述其零点为x ＝1a或x ＝2.10．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1) (1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的零点；解：(1)要使函数有意义：则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0解之得：－3＜x ＜1， 所以函数的定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3) ＝log a (－x 2－2x ＋3)，由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1， 即x 2＋2x －2＝0，x ＝－1± 3.∵－1±3∈(－3,1)，∴f (x )的零点是－1± 3.。
高中数学_方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
§3.1.1 方程的根与函数的零点一、导入新课(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点。
1、先观察下列三个一元二次方程的根与其相应的函数的图象：①方程2230x x --=与函数223y x x =--；②方程2210x x -+=与函数221y x x =-+；③方程2230x x -+=与函数223y x x =-+；教师引导学生解方程，画函数图象（教师在黑板画出第一个函数图象），并引导学生发现方程的根与函数图象和x 轴交点坐标的关系。
容易知道，①中方程的两个根为121;3x x =-=，函数图象与x 轴有两个交点（-1,0）,(3,0), ②中方程的两个实数根为121x x ==，函数图象与x 轴有一个交点（1,0），③中方程无实数根，函数图象与x 轴无交点。
在上面的三个例子中，我们发现：方程有根，函数图象与x 轴就有交点，并且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。
2、那这个结论对一般的一元二次方程及其相应的函数也成立吗？（学生同桌之间交流完成下表）0>V0=V0<V方程12b x a -+=V ，22b x a--=V122b x x a==-无根函数（2b a-+V ，0）（2b a--V，0）（2b a-，0）无交点学生自行验证上述结论，结论成立。
3、这个结论对一般的方程及其相应的函数也成立吗？ 函数y=f(x)与x 轴的交点在x 轴上，交点的纵坐标为0，那么，横坐标就是0= f(x)的解，也就是方程f(x)= 0的根。
若方程有根，则说明所求的横坐标存在，即函数图象与x 轴的交点存在，且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。
结论依然成立。
二、构建概念 由上述结论可知，函数图象与x 轴的交点可以把函数图象和方程联系起来，这样的点他还有一个特别的名字：零点。
那么，怎样用数学语言来描述零点呢？ 请看课本第87页的定义： 定义（教师板书）：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)= 0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(1)精讲精析 新人教A版必修1
课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （1）精讲部分学习目标展示（1）理解函数的概念，会求一般函数的零点，了解函数零点与方程根的关系 （2）会求二次函数的零点及零点个数的判定衔接性知识1.解下列方程：（1）240x += (2)2210x x -+=（3）2320x x -+= （4）2240x x -+=2.求下函数的图象与x 轴交点坐标：（1）()24f x x =+ (2)2()21f x x x =-+ （3）2()32f x x x =-+ （4）2()24f x x x =-+3.由上述1与2说明方程()0f x =与()y f x =的图象的交点之间有什么关系？典例精讲剖析例1. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点.(1)3()x f x x+=(2)2()24f x x x =++ (3)2()44f x x x =++ (4)3()1log f x x =- (5)2()(23)(4)x f x x =--解：(1)设30x x +=，解得3x =-，所以函数3()x f x x+=的零点是3- (2) 设2240x x ++=，由于22414120∆=-⨯⨯=-<，所以方程2240x x ++=无实数根，从而2()24f x x x =++无零点.(3) 设2440x x ++=，解得4x =-，所以函数2()44f x x x =++的零点为2-. (4)设31log 0x -=，解得3x =，所以函数3()1log f x x =-的零点为3.(5)设2(23)(4)0x x --=，得23x =或24x =，所以2log 3x =或2x =±从而函数2()(23)(4)x f x x =--的零点为2log 3，2与2-.例2. 已知函数()2f x x ax b ++=的两个零点是2和4-，求函数2()1g x bx ax =++的零点解：因为函数()2f x x ax b ++=的两个零点是2和4-所以20x ax b ++=的两个根为2和4-，所以2(4)2(4)a b -=+-⎧⎨=⨯-⎩，解得28a b =⎧⎨=-⎩，2()821g x x x ∴=-++令()0g x =，得28210x x --=，(21)(41)0x x ∴-+=，即12x =或14x =- 所以()g x 的零点为12与14- 例3.函数()21f x ax x --＝仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，()1f x x =--，令()0f x =，得1x =-，此时()f x 仅有一个零点－1；当0a ≠时，由()f x 仅有一个零点，得方程210ax x --=有两个相等的实数根，140a ∴∆=+=，即14a =-.从而实数a 的取值范围是1{0,}4-例4. 已知二次函数2()f x ax bx c =＋＋，并且·0a c <，判断函数()f x 的零点的个数 解：法1.()()000c f a c a f =∴⋅=⋅<，，0(0)0a f >⎧∴⎨<⎩或0(0)0a f <⎧⎨>⎩ ∴由二次函数的图象知()f x 有两个零点． 法2.2040ac b ac <∴∆=->，，20ax bx c ∴=＋＋有两个不相等的实数根∴()f x 有两个零点．精练部分A 类试题（普通班用）1.函数()23f x x =-的零点为 ( ) A.3(,0)2 B. 3(0,)2 C. 32 D. 23解：由()0f x =，得230x -=，32x ∴=，所以函数()23f x x =-的零点为32，选C 2.函数()22302ln 0x x x f x xx ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：令2230x x -=+，∴3x =-或103x x ≤∴=，-；令20lnx -+=，2lnx ∴=，20x e ∴=>，故函数()f x 有两个零点．选C3. 已知二次函数()y f x =的零点是2-和3，且(6)36f -=，求二次函数的解析式． 解：由二次函数()y f x =的零点是2-和3，设(()23)()f x a x x +-=6()36f -=，∴(6)(62)363a --=+-，即1a =，∴2()23()6)(f x x x x x -=+--= 故二次函数的解析式为2()6f x x x --=4．已知函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3，求函数2()1g x bx ax ++=的零点解：()2f x x ax b =-+有两个零点2和3，20x ax b ∴+=-的根为2和3，235236a b =+=⎧∴⎨=⨯=⎩，2()651g x x x +∴+= 令()0g x =，得26510x x ∴++=，(21)(31)0x x ++=，即12x =-或13x =- ∴()g x 有两个零点12-和13- 5．已知()()()2f x x a x b -=--，并且α、β是函数()f x 的两个零点，且αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( ) 解：∵α、β是函数()f x 的两个零点， ∴()()0ff αβ＝＝，又()()()2f x x a x b ＝－－－，()()20f a f b =-∴<=.结合二次函数()f x 的图象可知，a 、b 必在α、β之间．所以有a b αβ<<< B 类试题（3+3+4）（尖子班用）1.函数()23f x x =-的零点为 ( ) A.3(,0)2 B. 3(0,)2 C. 32 D. 23解：由()0f x =，得230x -=，32x ∴=，所以函数()23f x x =-的零点为32，选C 2.函数1()f x x x=+的零点个数为( ) A ．0个B ．1个C ．至少1个D ．至多1个解：易知函数定义域为{|0}x x ∈≠R ，令()0f x =，得10x x +=，即210x x+=，由0x ≠得21x =-，它无实数根，所以()f x 无零点，选A3．函数()22302ln 0x x x f x xx ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：令2230x x -=+，∴3x =-或103x x ≤∴=，-；令20lnx -+=，2lnx ∴=，20x e ∴=>，故函数()f x 有两个零点．选C4．函数()ln 1f x x =+，则函数()f x 的零点为 解：令()0f x =，得ln 1x =-，1x e ∴=，所以函数()f x 的零点为1e ，填1e5．若函数()f x ax b ＝＋的零点是2，则函数()2g x bx ax ＝－的零点是解：由条件20a b +=，2b a ∴=-，(()21)g x ax x ∴=-+令()0g x =，得0x =或12x =-，所以()g x 的零点为0和12-.填0和12- 6．已知()()()2f x x a x b -=--，并且α、β是函数()f x 的两个零点，且αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( ) 解：∵α、β是函数()f x 的两个零点， ∴()()0ff αβ＝＝，又()()()2f x x a x b ＝－－－，()()20f a f b =-∴<=.结合二次函数()f x 的图象可知，a 、b 必在α、β之间．所以有a b αβ<<< 7．已知二次函数()y f x =的零点是2-和3，且(6)36f -=，求二次函数的解析式． 解：由二次函数()y f x =的零点是2-和3，设(()23)()f x a x x +-=6()36f -=，∴(6)(62)363a --=+-，即1a =，∴2()23()6)(f x x x x x -=+--= 故二次函数的解析式为2()6f x x x --=8．已知函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3，求函数2()1g x bx ax ++=的零点解：()2f x x ax b =-+有两个零点2和3，20x ax b ∴+=-的根为2和3，235236a b =+=⎧∴⎨=⨯=⎩，2()651g x x x +∴+= 令()0g x =，得26510x x ∴++=，(21)(31)0x x ++=，即12x =-或13x =- ∴()g x 有两个零点12-和13- 9．定义在R 上的偶函数()y f x =在(0]∞－，上递增，函数()f x 的一个零点为12-，求满足14(log )0f x ≥的x 的取值集合．解：∵12-是函数的零点，∴1()02f -=，∵()f x 为偶函数，∴1()02f =， ∵()f x 在(0]∞－，上递增，141(log )0()2f x f ≥=-，∴1410log 2x ≥≥-，111444log 1log log 2x ≥≥，∴12x ≤≤， ∵()f x 为偶函数，∴()f x 在[0,)+∞上单调减， ∵14(log )0f x ≥，又141(log )()2f x f ≥，∴1410log 2x ≤≤，1114441log 1log log 2x ≤≤，∴112x ≤≤，∴12≤x ≤2.从而112x ≤≤或12x ≤≤，即故x 的取值集合为1{|2}2x x ≤≤． 10．已知a R ∈，讨论函数2(8)6||x f x x a =--+的零点的个数.解：令()0f x =，得28|6|x x a +-=，令2(|)8|6g x x x -+=，()h x a =，则()f x 的零点的个数等于()g x 与()h x 的图象的交点的个数，在同一坐标系中画出()g x 与()h x 的图象，如图所示，2268(||(3)1||)g x x x x +=--=-，下面对a 进行分类讨论，由图象得，当0a <时，()g x 与()h x 的图象无交点，()f x 的零点的个数为0； 当0a =时，()g x 与()h x 的图象有3个交点，()f x 的零点的个数等于3； 当01a <<时，()g x 与()h x 的图象有4个交点，()f x 的零点的个数等于4； 当1a >或0a =时，()g x 与()h x 的图象有2个交点，()f x 的零点的个数等于2.。
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教学设计1新人教A版必修1
师：提出探究，请一个小组到大屏前进行探究过程，巡视各小组完成情况，帮助学生解决相应问题，参与小组内的讨论，给予恰当及时的评价与鼓励，小组成果展示后教师对每个小组的成果进行点评总结
生：小组合作探究，明确分工，完成小组探究，完成进行展示，出现问题向教师求助
五、教学资源和工具设计
教师制作PPT，设计学案（纸质）
图形计算器或者图形计算器软件，计算机，交互式触摸白板
图形计算器为教师和学生提供了一个研究函数的平台，利用图形计算器可以给学生提供一个高效快捷研究函数的环境，有助于学生的理解和探究。
六、教学重点及难点
教学重点：方程的根与函数的零点的关系
教学难点：函数的零点的判断
生：独立按时完成，能力较弱的只要完成1、2两题即可
分层完成课堂反馈有助于不同的学生得到适于本身的收获
学生回归数学方法，教师检验学生对所学知识的掌握情况
PPT展示
（六）收获小结
要解决函数 的零点问题，我们可以通过什么方法？
师：提出问题
生：进行解决方法说明
对本节课所学知识和解决本节课相关问题的方法于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点
师：提出问题，根据学生回答板书问题的答案
生：思考分析定义并回答问题
检验学生的自学成果，并且落实教学重点，完成部分教学目标。
PPT展示
函数零点的定义
（三）
合作探究
结合函数的零点的定义，利用图形计算器探究函数 的图象形状与函数的零点个数之间的关系。
15
10
5
0
会应用所学知识解决函数的零点的相关问题
20
15
10
5
过程与方法
人教A版必修一3.1.1方程的根与函数的零点
规律方法：求函数y=f（x）的零点通常有两种方法：其一是令f（x）=0，根据解方程f （x）=0的根求得函数的零点；其二是画出函数y=f（x）的图象，图象与x轴的交点的 横坐标即为函数的零点.本题由于画函数图象比较麻烦，因此，只用了第一种方法.
变式训练1－1：已知函数f（x）=x2+3（m+1）x+n的零点是1和2，求函数 y=logn（mx+1）的零点.
f（x）=0的实数x
有实数根 有零点.
与x轴有交点
连续不断 f（a）f（b）<0 f（c）=0 有零点
B
2.函数y=x2－3x+1的零点个数是（ C） （A）0 （C）2
（B）1 （D）不确定
A
类型一：函数零点的求法 【例1】 求函数f（x）=x3－7x+6的零点. 思路点拨：函数f（x）对应的方程为x3－7x+6=0 解答本题可先通过因式分解求方程x3－7x+6=0的解，再确定函数f（x）的零点.
类型二：判断零点的个数 【例2】 求函数f（x）=ln（x－1）+0.01x的零点的个数. 思路点拨：首先判断零点大致所在的区间，然后结合单调性进行确认零点的个数.
变式训练2－1：求函数f（x）=2x+lg（x+1）－2的零点个数.
（A）（0，2） C）（2，3）
（B）（1，2） （D）（3，4）
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修1
3.1.1方程的根与函数的零点(教学设计)教学目标：知识与技能：理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件.过程与方法：零点存在性的判定.情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定.难点：零点的确定.一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根与二次函数y ax2 bx c(a 0)数的图象有什么关系?先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型.方程x22x30与函数y 2 x2x3;方程 2x2x10与函数y 2 x2x1；方程 2x2x30与函数y 2 x2x3;交点的横坐标.二、师生互动，新课讲解：1、函数的零点对于函数y f (x)，我们把使f(x) 0的实数x叫做函数y f (x)的零点(zero point ).显然，函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0的实数根，也就是函数y f (x)的图象与x轴的交点的横坐标.一兀二次方程ax bx c0(a0)有两不同根就是相应的—次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)有两个重根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)无实数根就是相应的二次函数y 2 ax bx c0的图象与x轴没有交点；总之，一元二次方程ax2bx c0(a 0)的根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴的再请同学们解方程, 并分别画出三个函数的草图.方程f(x) 0有实数根函数y f(x)的图象与x 轴有交点 函数y f(x)有零点.2、函数零点的判定:第I 组能说明他的行程中一定曾渡过河 ，而第n 组中他的行程就不一定曾渡过河。
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点课标分析1 新人教A版必修1
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.
二、过程与方法：
1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；
2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；
3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；
4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。
三、情感、态度与价值观：
1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；
2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。
3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一ห้องสมุดไป่ตู้火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点学情分析1新人教A版必修1
《方程的根与函数的零点》学情剖析
一、学生具备必需的知识与心理基础．
学生已经学习了函数的看法，对初等函数的图象、性质已经有了一个比较系统的认识与理解，
这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性供给了必定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩大方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与感情基
础．
二、学生缺少函数与方程联系的看法．
高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主假如数形联合与抽象思想尚不可以胜任．详细表现
为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的中心地位．
比如一元二次方程根的散布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的看法的成立，函数应用的意识的初步建立，就成了本节课一定承载的任务．
三、直观体验与正确理解定理的矛盾．
从方程根的角度理解函数零点，学生其实不会感觉困难．而用函数来确立方程根的个数和大概
范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获取与应用，一定让学生从必定量的详细事例中操作
感知，经过更多的举例来考证．
定理只为零点的存在供给充足非必需条件，因此定理的抗命题、否命题都不可立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的状况下，学生对定理的理解经常不够深入．这就要讨教师指引学生体验各样成立
与不可立的状况，从正面、反面、侧面等不一样的角度审察定理的条件与合用范围．
1。
3.1.1方程的根与函数的零点(教学设计)
3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书 A 版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数 零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理， 是一节概念课．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要． 二、教学目标【知识与技能】理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 【过程与方法】零点存在性的判定．【情感、态度、价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 教学重点难点：重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定． 三 教学环节设计 【教学过程】（一）创设情境，感知概念 实例引入解下列方程并作出相应的函数图像 2x-4=0;y=2x-4（二）探究1：观察几个具体的一元二次方程的根与二次函数，完成下表： 填空：方程 x 2-2x -3=0 x 2-2x +1=0 x 2-2x +3=0 根 x 1=-1，x 2=3 x 1=x 2=1 无实数根函数 y =x 2-2x -3 y =x 2-2x +1 y =x 2-2x +3图象图象与x 轴的交点两个交点： (-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式Δ Δ＞0Δ＝0 Δ＜042-2-4 3 -1 1 2 Oxy 4 2-2 -43 -1 1 2 Ox y 4 2-23 -1 1 2 Ox y方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根 两个不相等的实数根x 1、x 2有两个相等的实数根x 1 = x 2没有实数根函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象函数的图象与x 轴的交点 两个交点： (x 1,0)，(x 2,0) 一个交点：(x 1,0) 无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？师生互动：由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（三）辨析讨论，深化概念概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为 （ D ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f (x )＝0的根．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．探究2：如何求函数的零点？练习1：求下列函数的零点 (1)y=3x- 3 (2)y=log2x小结：求函数零点的步骤：（1）令f(x)=0；（2）解方程f(x)=0；（3）写出零点. 练习2：函数f (x )=x 2-4的零点为（ ） A ．(2，0) B ．2C ．(–2，0)，(2，0)D ．–2，2练习3：求下列函数的零点O xyx 1 x 2Oyxx 1 Ox y（1）f(x)=-x2+3x+4 （2）f(x)=lg(x2+4x-4)小结：（1）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；（2）零点对于函数而言，根对于方程而言. （四）实例探究，归纳定理 零点存在性定理的探索．问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？ 观察函数的图象：①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）．完成课本87P 的探究，归纳函数零点存在的条件.【零点存在性定理】如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f (x )=log 2x ，x ∈[12，2]； （2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]．（五）正反例证，熟悉定理 定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点． （ × ）（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点． （ × ）（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存在零点．（ × ） 例题讲解例2：求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n ，n +1](n ∈Z )． 解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x 、f (x )的对应值表和图象．x1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (x ) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2c bd ax O y由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f (x )在区间(2，3)内有零点．问题8：如何说明零点的唯一性？又由于函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f (x )在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x 1 2 3 4 f (x ) － － ＋ ＋结合函数的单调性，f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点． 解法3（函数交点法）：将方程ln x ＋2x －6=0化为ln x =6-2x ，分别画出g(x )=ln x 与h(x )=6-2x 的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f (x )在区间(2，3)内有唯一的零点． 练习：（1）已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7 f (x ) 23 9 －7 11 －5 －12 －26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 （ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个（六）课堂小结（学生谈谈本节课学习的收获）（七）布置作业：习题3.1A 组 26O xy 2 1 3 4g (x )h (x )。
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教A版必修1
“方程的根与函数的零点”【教学过程设计】 （一）设问激疑，引出新知方程解法史话：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.对于方程的求解问题，古今中外的数学家已经作了大量的工作，取得辉煌的成果，比如花拉子米公元825年左右编辑著成了《代数学》，比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理；我国南宋数学家秦九绍在《数书九章》中提出了“正负开方术”，此法可以求出任意次代数方程的正根；1824年，挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。
随着计算机技术的发展，方程的数值解法得到了广泛的运用，如二分法，牛顿法、弦截法等，今天我们将沿着前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法. 【设计意图：了解数学史，激发学生学习兴趣。
】 问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ； （2）0652=+-x x ； （3）062ln =-+x x .问题2 观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x 轴交点的坐标。
方 程 0322=--x x 0122=+-x x 0322=+-x x函 数 322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y函 数 图 象 （简图）方程的实数根函数的图象与轴的交点提出疑问：方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标。
问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？)0(02>=++a c bx ax方 程 的 根函数的图象（简图）图象与x 轴 的交点0>∆0=∆0<∆【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。
高中数学_3.1.1方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
《方程的根与函数的零点》教学设计引言：本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I 必修本（A 版）》第三章第一节第一课时．通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．一、学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质，理解了函数图象与性质之间的关系，尤其熟悉二次函数，并且已经具有一定的数形结合思想，这为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支 持；学生有一定的方程知识的基础，熟悉从特殊到一般的归纳方法，这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据．但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数零点的存在性时造成了一定的难度，又加上这种函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括．因此，教学中尽可能提供学生动手实践的机会，利用信息技术工具，让学生从亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程，通过直观感受发现并归纳出函数的零点概念；在函数零点存在性判定方法的教学时，应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维，引导学生通过观察、计算、作图、思考，理解问题的本质．二、设计思想教学理念：了解数学史，培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣． 教学原则：注重各个层面的学生．教学方法：“一案三学四步”．三、教学目标1.知识与技能：①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件；②培养学生的观察能力；③培养学生的抽象概括能力．2.过程与方法：①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；②让学生归纳整理本节所学知识．3.情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．四、教学重点、难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法． 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法．五、教学过程设计1．指导学生进行课前学习以蹦极运动引入，让学生运用函数的思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教学设计1新人教A版必修1
二、方程的根与函数的零点的关系 四、播种小结
十、帮助与总结
本节课探求式的教学和图形计算器的运用是本节课的最大特点，先生经过对于图形计算器软件的运用，获得更多的信息，进行分析，总结归纳相关定义，并经过运用图形计算器软件提取出数学学习的相应方法，进而解决今后的成绩。本节整合课提供了一个数学图形世界，培养了先生观察归纳能力，先生的自在发挥空间大，便于师生的交流，信息技术比较巧妙的融进了课堂，帮助先生解决了感性认知，使感性上升到理性变得更加容易。
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板书
（七）作业
1.
2.
3.
4.
各有几个零点？并指出零点的大致区间。
1、2、3全班作业
4作为能力提升作业
分层作业使不同先生获得不同播种
巩固本节课程所学内容
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八、教学评价设计
课下完成评价量表
评价
项目
评价标准
等级（分）
自我评价
小组评价
教师评价
优秀
良好
普通
差
知识与技能
理解函数零点的意义，了解方程的根与函数的零点的关系
成绩设置：系数选择，相应解析式，函数的大致图象，函数的零点的个数。
师：提出探求，请一个小组到大屏前进行探求过程，巡查各小组完成情况，帮助先生解决相应成绩，参与小组内的讨论，给予恰当及时的评价与鼓励，小组成果展现后教师对每个小组的成果进行点评总结
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教材分析2 新人教A版必修1
3.1.1方程的根与函数的零点教材分析
【教材分析】
本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程联系在一起。
方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解。
本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和今后进一步学习函数奠定基础.因此本节课内容具有承前启后的作用，地位至关重要.
从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台．
学情分析
在此之前，学生对一元二次函数和一元二次方程已经比较熟悉，会判断具体的一元二次方程有没有根，有几个根，会用求根公式求根。
但是对一元二次函数与方程的联系认识不全面，也没有上升到一般的函数与方程的层次。
因此，在讲解本节内容时，让学生对函数与方程的关系及零点存在定理有较为全面的认识。
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《方程的根与函数的零点》学情分析
一、学生具备必要的知识与心理基础．
学生已经学习了函数的概念，对初等函数的图象、性质已经有了一个比较系统的认识与理解，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础．
二、学生缺乏函数与方程联系的观点．
高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．
例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务．
三、直观体验与准确理解定理的矛盾．
从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．
定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．。