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第二章 函数、导数及其应用
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3．函数的最值 (1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 连续不断 的 曲 线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ． ②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a)、f(b) 比 较 ， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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【思考探究】 2.极值点一定是最值点这句话对吗？ 提示： 函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数 值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整 个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值点也不一定 是极值点．
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2．函数的极值与导数 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数f(x)在任何一点的函数值 不大于(小于) x0点的函数值，就说f(x0)是函数f(x)的一个极 大(小) 值， 记作y极大(小)值＝f(x0)，x0是极大(小)值点． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
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5．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是________． 解析： 设矩形的一边边长为x，则另一边边长为Sx， 其周长为l＝2x＋2xS，x＞0，l′＝2－2xS2 . 令l′＝0，解得x＝ S. 易知，当x＝ S时，其周长最小． 答案： S
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3．函数 y＝x＋2cos x 在0，π2上取得最大值时，x 的值为(
)
A．0 解析：
π
π
π
B.6
C.3
D.2
方法一：代入则可比较得fπ6＝π6＋2cosπ6＝π6＋ 3最大，故
选B.
方法二：y′＝(x＋2cos x)′＝1－2sin x，
当x∈－1，－1＋2
5时，f′(x)＞0，

∴f(x)在－1，－1＋2
5上是增函数；

当x∈－1＋2
5，＋∞时，f′(x)＜0，

∴f(x)在－1＋2
5，＋∞上是减函数．

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【变式训练】 1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个
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求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数 根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成 若干个小区间； (4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在 每个相应小开区间内的增减性． 【注意】 当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0) 直接得到单调递增(或递减)区间．
第11课时 导数应用
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1．函数的单调性与导数
在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
如果 如果 如果
f′(x)＞0 f′(x)＜0 f′(x)＝0
，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增； ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减； ，那么f(x)在这个区间内为常数．
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2 ． 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 R ， 导 函 数 f′(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数
f(x)( ) A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、两个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
解析： 设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4， 当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数， 当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点， 同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C. 答案： C
【思考探究】 1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)
＞0吗？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？
提示： 函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，
b)内单调递增的充分不必要条件．
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(2010·辽宁大连高三双基测试)已知函数f(x)＝mln(1＋x)－
1 2
x2(m
∈R)，满足f′(0)＝1.求函数f(x)的单调区间．
解析： f′(x)＝1＋m x－x，
∵f′(0)＝1，∴m＝1.∴f′(x)＝1－x＋x－1 x2.
令f′(x)＝0得x＝－1＋2 5或x＝－1－2 5(舍去)．
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1．当x＞0时，f(x)＝x＋4x的单调减区间是(
)
A．(2，＋∞)
B．(0,2)
C．( 2，＋∞)
D．(0， 2)
解析： f′(x)＝1－x42，令f′(x)＜0，
∴1－x42＜0， ∴0＜x＜2，∴f(x)的减区间为(0,2)． x＞0，
答案： B
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极值Biblioteka Baidu．
(1)求a和b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析： (1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.
令1－2sin x＝0，且x∈0，π2时，x＝π6，
当x∈0，π6时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈π6，π2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x)max＝fπ6.故选B.
答案： B
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4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________． 解析： f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)＝0⇒a＝3. 答案： 3