导数应用课件.ppt
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导数的应用教学课件ppt
实践应用案例与分析
总结词
实践与探究
详细描述
通过实践应用案例，可以深入理解导数的应用价值，培养分析和解决问题的 能力。需要关注一些典型案例，如最优化问题、动态平衡问题等，尝试利用 导数解决实际问题，培养探究和创新精神。
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弹性函数与价格变化
弹性函数
价格弹性
描述某一经济变量对另一经济变量的敏感程 度。
反映价格变动对销售量的影响程度，分为需 求弹性和供给弹性。
需求弹性
供给弹性
指需求量对价格变动的敏感程度，包括单一 商品的价格弹性和多种商品的价格弹性。
指供给量对价格变动的敏感程度，包括单一 商品的供给弹性和多种商品的供给弹性。
03
导数在物理中的应用
速度与加速度
总结词
导数可以用于描述物理中的速度和加速度。
详细描述
在物理学中，速度是描述物体运动快慢的量，而加速度是描述速度变化快慢 的量。导数可以用于计算这些量，例如瞬时速度和瞬时加速度。通过导数， 我们可以找到物体在任意时刻的速度和加速度。
斜率与功
总结词
导数可以用于描述物理中的斜率和功。
06
导数的学习方法与建议
掌握基本概念与运算规则
总结词
理解与掌握
详细描述
导数是微积分中的核心概念之一，掌握基本概念和运算规则是学习导数的关 键。需要深入理解导数的定义、性质和计算方法，熟悉常见函数的导数公式 和求导方法。
导数在经济学中的应用教学课件ppt
总结词
需求预测模型是经济学中常用的方法，导数的应用可以帮助我们更加准确地预测市场的需求情况。
详细描述
在需求预测模型中，导数的应用可以帮助我们分析需求量对于价格、收入、偏好等因素的敏感程度， 从而更加准确地预测市场的需求情况。例如，通过求导可以计算出需求价格弹性，进而根据价格变化 预测需求量变化。
导数在生产优化模型中的应用
导数在投入产出模型中的应用
总结词
投入产出模型是衡量经济系统中各部分之间相互关系的重要工具，导数的应用可以帮助我们分析各部分之间的 相互影响程度。
详细描述
在投入产出模型中，导数的应用可以帮助我们分析各部分之间的相互影响程度，从而更好地理解经济系统中各 部分之间的相互关系。例如，通过求导可以计算出投入产出系数矩阵和感应度矩阵，进而分析各部门之间的相 互影响程度和制约关系。
固定效应模型
考虑各截面数据的固定影响，如个体效应 和时间效应。
随机效应模型
考虑各截面数据的随机影响，利用广义最 小二乘法进行估计。
面板数据检验
对面板数据进行单位根检验、协整检验等 ，以判断数据的平稳性和长期均衡关系。
06
总结与展望
导数在经济学中的应用总结
总结导数在经济学中的应用
导数在经济学中有着广泛的应用，包括边际分析、最优 化理论、弹性理论等方面来自百度文库总结导数的不同应用领域及 其在经济学中的重要地位。
需求预测模型是经济学中常用的方法，导数的应用可以帮助我们更加准确地预测市场的需求情况。
详细描述
在需求预测模型中，导数的应用可以帮助我们分析需求量对于价格、收入、偏好等因素的敏感程度， 从而更加准确地预测市场的需求情况。例如，通过求导可以计算出需求价格弹性，进而根据价格变化 预测需求量变化。
导数在生产优化模型中的应用
导数在投入产出模型中的应用
总结词
投入产出模型是衡量经济系统中各部分之间相互关系的重要工具，导数的应用可以帮助我们分析各部分之间的 相互影响程度。
详细描述
在投入产出模型中，导数的应用可以帮助我们分析各部分之间的相互影响程度，从而更好地理解经济系统中各 部分之间的相互关系。例如，通过求导可以计算出投入产出系数矩阵和感应度矩阵，进而分析各部门之间的相 互影响程度和制约关系。
固定效应模型
考虑各截面数据的固定影响，如个体效应 和时间效应。
随机效应模型
考虑各截面数据的随机影响，利用广义最 小二乘法进行估计。
面板数据检验
对面板数据进行单位根检验、协整检验等 ，以判断数据的平稳性和长期均衡关系。
06
总结与展望
导数在经济学中的应用总结
总结导数在经济学中的应用
导数在经济学中有着广泛的应用，包括边际分析、最优 化理论、弹性理论等方面来自百度文库总结导数的不同应用领域及 其在经济学中的重要地位。
导数应用—单调性课件
导数应用—单调性课件
wenku.baidu.com
• 导数与单调性的关系 • 导数在研究函数单调性中的应用 • 导数在解决实际问题中的应用 • 导数与单调性的综合应用
01
导数与单调性的关系
导数定义与几何意义
01
02
03
导数定义
导数是函数在某一点的变 化率，表示函数在该点的 切线斜率。
几何意义
导数在几何上表示函数图 像在该点的切线斜率。
边际分析
导数在经济学中常用于进行边际分析，例如边际成本、边际收益和边际效用等。通过求导，可以确定企业在一定 条件下的最优产量或价格策略。
04
导数与单调性的综合应用
导数在研究复杂函数单调性中的应用
判断函数单调性
通过求导数，可以判断函 数的单调性，进而研究函 数的极值、拐点等特性。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，通过导数的符 号变化，可以确定函数的 极值点。
单调性与不等式
导数可以用来证明不等式 ，通过研究函数单调性， 可以推导出不等式的正确 性。
导数在解决多变量问题中的应用
最值问题
导数可以用来求多变量函数的最 值，通过求导数并令其为零，可
以找到函数的最值点。
优化问题
导数可以用来解决优化问题，通过 求导数并找到最优解，可以找到最 优的参数配置。
动态分析
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• 导数与单调性的关系 • 导数在研究函数单调性中的应用 • 导数在解决实际问题中的应用 • 导数与单调性的综合应用
01
导数与单调性的关系
导数定义与几何意义
01
02
03
导数定义
导数是函数在某一点的变 化率，表示函数在该点的 切线斜率。
几何意义
导数在几何上表示函数图 像在该点的切线斜率。
边际分析
导数在经济学中常用于进行边际分析，例如边际成本、边际收益和边际效用等。通过求导，可以确定企业在一定 条件下的最优产量或价格策略。
04
导数与单调性的综合应用
导数在研究复杂函数单调性中的应用
判断函数单调性
通过求导数，可以判断函 数的单调性，进而研究函 数的极值、拐点等特性。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，通过导数的符 号变化，可以确定函数的 极值点。
单调性与不等式
导数可以用来证明不等式 ，通过研究函数单调性， 可以推导出不等式的正确 性。
导数在解决多变量问题中的应用
最值问题
导数可以用来求多变量函数的最 值，通过求导数并令其为零，可
以找到函数的最值点。
优化问题
导数可以用来解决优化问题，通过 求导数并找到最优解，可以找到最 优的参数配置。
动态分析
【高中数学课件】导数及其应用ppt课件
【高中数学课件】导数及其应用ppt课件
一、导数的定义
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在
点x0处有增量Dx时，D y函数值有相应的增量Dy=f(x0+ Dx)- f(x0)
如果当Dx0 时，D x 的极限存在，这个极限就叫做函数 f(x)在 x=x0处的导数（或变化率） 记作 f(x0)或 y|xx0 即
x －a０ a
3
y
(2)当极 22 小 a20 值 ,即 a1 时 ,
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
3
(3)当极 22 小 a20 值 ,即 a1 时 ,
x －a０ a
y
方程x3-3ax+2=0有三个不同的实根。
ax －a０
３.如图，抛物线y=x2上有一点A（a，a2），a∈（0，1），过点A引 抛物线的切线L分别交x轴及直线x=1于B、C两点，直线x=1交x轴于 点D。（I）求直线L的方程；（II）求图中△ACD的面积S（a）， 并求出a为何值时，S（a）有最大值？
a,
f x 0 0
f(x)
极大值
极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ a ，处取得极大值２＋ ２ a 3 y 在ｘ＝ a ，处取得极小值２- ２a 3 ．草图如图
∵ａ＞０，显然极大值必为正， 故只要看极小值的正负即可。
一、导数的定义
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在
点x0处有增量Dx时，D y函数值有相应的增量Dy=f(x0+ Dx)- f(x0)
如果当Dx0 时，D x 的极限存在，这个极限就叫做函数 f(x)在 x=x0处的导数（或变化率） 记作 f(x0)或 y|xx0 即
x －a０ a
3
y
(2)当极 22 小 a20 值 ,即 a1 时 ,
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
3
(3)当极 22 小 a20 值 ,即 a1 时 ,
x －a０ a
y
方程x3-3ax+2=0有三个不同的实根。
ax －a０
３.如图，抛物线y=x2上有一点A（a，a2），a∈（0，1），过点A引 抛物线的切线L分别交x轴及直线x=1于B、C两点，直线x=1交x轴于 点D。（I）求直线L的方程；（II）求图中△ACD的面积S（a）， 并求出a为何值时，S（a）有最大值？
a,
f x 0 0
f(x)
极大值
极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ a ，处取得极大值２＋ ２ a 3 y 在ｘ＝ a ，处取得极小值２- ２a 3 ．草图如图
∵ａ＞０，显然极大值必为正， 故只要看极小值的正负即可。
导数及其应用课件PPT
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1).
所以点
P
到直线
y＝x
|0－1| 的最小距离为 2 ＝
2 2.
解后反思
解析答案
返回
当堂检测
1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( C )
A.0
B.2x
C.6
D.9
解析 ∵f(x)＝x2，
∴f′(x)＝2x，
∴f′(3)＝6.
12345
解析答案
2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( A )
Δx
x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b
＝ lim Δx→0
Δx
2x·Δx＋a·Δx＋Δx2
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. Δx→0
解析答案
题型二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y＝sin π3； 解 y′＝0；
(2)y＝5x；
解 y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y＝x13； 解 y′＝(x－3)′＝－3x－4；
Leabharlann Baidu
解析答案
(4)y＝4 x3；
解
y′＝(4
x3)′＝(
x
3 4
)′＝
3
x
1
4＝
3
高等数学(理工科)课件第3章导数的应用
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
3.2.1 函数的极值及其求法
定义3.2
函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函数取得极值 的点称为极值点. 考查右图，思考以下问题 （1）找出极值点与极值 （2）极小值一定小于极
大值吗？ （否） （3）哪些点可能会取得
极值？ （临界点）
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
可导函数的极值点必定是驻点，但驻点并不一定是极值点. 例如，函数 y x3 的导数为 y 3x2 ，
作业
P 68，习题3-2: 1，2、3、6, 7
高等数学应用教程
3.3 洛必达法则
本节研究:
函数之商的极限
( 或 型)
洛必达法则
导数之商的极限
高等数学应用教程
一、 0 型未定式 0
定理3.3.1 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f (x) 、g(x)
在
o
U(
x0
导数及其应用课件PPT
式为y＝－1 x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3
C
)
A.13万件
B.11万件
C.9万件
D.7万件
解析 因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；
当x∈(0,9)时，y′＞0. 所以，函数 y＝－13x3＋81x－234 在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增. 所以x＝9是函数的极大值点.
∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.
解析答案
思想方法 分类讨论思想的应用 例 4 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的
中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π m3，
且 l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方
c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为
x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，
问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解 依题意，有 xy＋12·x·2x＝8，∴y＝8－x x42＝8x－4x(0＜x＜4 2)，
第三章 导数及其应用
§3.4 生活中的优化问题举例
导数及其应用 公开课一等奖课件
x是一个整体符号 , 而不是与 x相乘.
可把x 看作是相对于 x1 的一个 " 增量" , 可用 x1 x代替x2 ; 类似地, f f x2 f x1 . f 于是, 平均变化率可表示为 . x
y
y f x f x 2 f x 1 f x2 f x1
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
r V
3
3V . 4
当空气容积 V从 0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了 r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 21 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 当空气的容量从V1 增加到V2时, 气球的平 均膨胀率是多少?
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
可把x 看作是相对于 x1 的一个 " 增量" , 可用 x1 x代替x2 ; 类似地, f f x2 f x1 . f 于是, 平均变化率可表示为 . x
y
y f x f x 2 f x 1 f x2 f x1
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
r V
3
3V . 4
当空气容积 V从 0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了 r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 21 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 当空气的容量从V1 增加到V2时, 气球的平 均膨胀率是多少?
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
《高中数学课件：导数及其应用》
我们将应用微分的概念，分析函数近似值的误差并评估其对实际问题的影响。
罗尔定理及其应用举例
我们将介绍罗尔定理的原理和应用场景，并通过实例演示如何使用罗尔定理解决具体的数学问题。
拉格朗日中值定理及其证明
我们将探索拉格朗日中值定理的原理和证明方法，并应用于求解函数的一些 特殊性质。
欧拉中值定理及其应用
我们将介绍欧拉中值定理的概念和应用，并展示它在微积分中的重要地位和 实际应用。
ຫໍສະໝຸດ Baidu数的四则运算法则
我们将学习导数的四则运算法则，以及如何使用这些法则简化导数的计算和 求解问题。
高阶导数与导数的运算
我们将介绍高阶导数的概念，并学习如何对多次可微函数的导数进行运算。
导数的应用：最值问题
我们将讨论如何利用导数求解函数的最值问题，包括最大值和最小值。
导数的应用：曲线的凸凹性质
我们将探讨导数的应用，揭示曲线的凸凹性质及其在函数图像分析中的重要性。
函数的增量与微分的概念
我们将详细解释函数的增量和微分的概念，以及它们在微积分中的意义和计算方法。
微分的性质与计算方法
我们将探讨微分的性质、计算方法和一些实际应用，帮助你更好地理解微分 的概念和应用。
高阶微分与微分的运算
我们将学习高阶微分的概念，并讨论如何对多次可微函数进行微分运算。
微分的应用：误差分析
导数的应用：函数的单调性分析
罗尔定理及其应用举例
我们将介绍罗尔定理的原理和应用场景，并通过实例演示如何使用罗尔定理解决具体的数学问题。
拉格朗日中值定理及其证明
我们将探索拉格朗日中值定理的原理和证明方法，并应用于求解函数的一些 特殊性质。
欧拉中值定理及其应用
我们将介绍欧拉中值定理的概念和应用，并展示它在微积分中的重要地位和 实际应用。
ຫໍສະໝຸດ Baidu数的四则运算法则
我们将学习导数的四则运算法则，以及如何使用这些法则简化导数的计算和 求解问题。
高阶导数与导数的运算
我们将介绍高阶导数的概念，并学习如何对多次可微函数的导数进行运算。
导数的应用：最值问题
我们将讨论如何利用导数求解函数的最值问题，包括最大值和最小值。
导数的应用：曲线的凸凹性质
我们将探讨导数的应用，揭示曲线的凸凹性质及其在函数图像分析中的重要性。
函数的增量与微分的概念
我们将详细解释函数的增量和微分的概念，以及它们在微积分中的意义和计算方法。
微分的性质与计算方法
我们将探讨微分的性质、计算方法和一些实际应用，帮助你更好地理解微分 的概念和应用。
高阶微分与微分的运算
我们将学习高阶微分的概念，并讨论如何对多次可微函数进行微分运算。
微分的应用：误差分析
导数的应用：函数的单调性分析
导数的课件ppt
导数可以用来描述需求弹性，帮助我 们理解价格变动对需求量的影响程度 ，从而更好地制定市场营销策略。
导数在工程学中的应用
控制工程
在控制工程中，导数可以用来描 述控制系统的动态特性，例如传 递函数和频率响应等，帮助我们
设计更好的控制系统。
信号处理
在信号处理中，导数可以用来描 述信号的频率和振幅的变化率， 从而帮助我们进行信号滤波和降
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
除法运算规则
对于两个函数的商，其导 数为被除函数导数除以除 函数，再乘以除函数自身 的导数。
复合函数的导数
链式法则
对于复合函数，其导数为外层函 数对内层函数的导数乘以内层函 数自身的导数。
电磁学
在电磁学中，导数可以用来描述电 流和电压的变化率，从而帮助我们 理解电路中的电压和电流的行为。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
详细描述
复合函数的导数是由复合函 数和基本初等函数的导数构 成的，通过链式法则和乘积 法则等规则进行计算。
总结词
复合函数的导数在解决实际 问题中具有广泛的应用，例 如在优化问题、微分方程和 积分方程等领域。
详细描述
通过复合函数的导数，可以 分析复合函数的单调性、极 值和拐点等问题，从而解决 许多实际问题。
导数的概念及应用PPT课件
.
5
热点题型1: 函数的最值
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值 为20，求它在该区间上的最小值．
.
6
变式新题型1： 已知 f (x) ax3 6a2x b, x [1, 2] 的最大值为3，最小值为 29 ，求 a, b 的值。
导数的概念及应用
高三备课
.
1
高考考纲透析：（理科）
• (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、 加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在
一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导 函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个 函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数 的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解 可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函 数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数 在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指 单峰函数)的最大值和最小值。
.
3
高考风Βιβλιοθήκη Baidu标：
导数的概念及运算，利用导数研究函数 的单调性和极值，函数的最大值和最小 值，尤其是利用导数研究函数的单调性 和极值，复现率较高。
.
4
；单创:http://finance.sina.com.cn/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
导数的应用教学课件ppt
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数在该点的斜率，通常用 符号f'(x)或[f(x)]'表示。
导数与极限的关系
导数是在极限的基础上定义的， 导数实质上就是函数在某点的变 化率，也就是函数在该点附近的 平均变化率。
导数的运算法则
加法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数和的导数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
详细描述
通过求导，我们可以找到函数的极值点，即导数值为0的点。 在极值点处，函数的变化速率最快或最慢，极值点可能是局 部最大值、局部最小值或鞍点。这些极值点在函数的分析和 实际应用中具有重要意义。
04
导数在几何中的应用
导数在切线问题中的应用
总结词：求解曲线在某点的切线
导数的几何意义：函数在某点处的导数即为该点处曲 线切线的斜率
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
利用极限思想来定义导数
导数与极限的关系
导数是在极限的基础上定义的， 导数实质上就是函数在某点的变 化率，也就是函数在该点附近的 平均变化率。
导数的运算法则
加法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数和的导数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
详细描述
通过求导，我们可以找到函数的极值点，即导数值为0的点。 在极值点处，函数的变化速率最快或最慢，极值点可能是局 部最大值、局部最小值或鞍点。这些极值点在函数的分析和 实际应用中具有重要意义。
04
导数在几何中的应用
导数在切线问题中的应用
总结词：求解曲线在某点的切线
导数的几何意义：函数在某点处的导数即为该点处曲 线切线的斜率
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
利用极限思想来定义导数
函数导数及其应用PPT课件
②
①×2＋②得，3f(x)＝3x＋3，
∴f(x)＝x＋1.
答案：B
4.已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中
x∈R，a，b为常数，则f(ax＋b)＝
.
解析：∵f(x)＝x2＋2x＋a，
∴f(bx)＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.
则
∴a＝2，b＝－3.
∴f(x)＝x2＋2x＋2，
设函数f(x)＝
若f(－4)＝f(0)，f(－2)
＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为
()
[思路点拨] 求b，c 求f(x)的解析式
解方程f(x)＝x
[课堂笔记] 法一：若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
解得
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
若－15∈B，则在集合A中与之对应的元素x为何值？
解：∵－15∈B，∴－x2＋2x＝－15. 即x2－2x－15＝0解之得x＝－3或x＝5.
求函数解析式的常用方法 1.配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)
表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可； 2.换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，得f(t)的解析式
[思路点拨] A中不存在元素与k对应⇔方程－x2＋2x＝k无解， 利用判别式可以求k的范围.
导数的几何意义课件(共28张PPT)
附近的曲线f x 。因此，在点P附近， 近似代替。这是微积分 中的重要思
x
想方法－－以直代曲！
数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
x 反映了函数在x＝x 0附近的变化情况。 y 2f x 0 ＝lim 表示函数f x 在x＝x 0处的瞬时变化率， x 0
其几何意义是？
2:切线
能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线： 直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的 切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反 l 例。
[(1 x)2 1] (12 1) 2x x 2 解：y |x 1 lim lim 2 x 0 x 0 x x
y
Q
△y
T P o
△x
即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
x
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
wk.baidu.com
思考： 为什么与抛物线对称轴平行的直线不 是抛物线的切线？
y
P M o Q
x
Q
此处切线定义与以前学 过的切线定义有什么不 同?
《导数的应用举例》课件
导数是函数在某一点的斜率
导数是函数在某一点的切线 斜率
导数在几何中的 应用
导数与切线斜率
导数：函数在某一 点的切线斜率
切线斜率：函数在 某一点的导数
导数与切线斜率的 关系：导数等于切 线斜率
导数与切线斜率的应用： 求函数在某一点的切线 斜率，求函数的极值， 求函数的最值等
导数与函数图像的凹凸性
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
感谢您的观看
汇报人：
导数与能量变化
导数在物理中的定义：描述物理量 变化率的函数
导数在能量变化中的应用：如电场、 磁场、引力场等物理现象中，导数 可以用来描述能量变化的速率
添加标题
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导数与能量变化的关系：导数可以 用来描述能量变化的速率
导数在能量变化中的局限性：在某些 情况下，导数无法准确描述能量变化 的速率，需要引入更高阶导数或积分 等方法
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
添加标题
添加标题
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极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
3．函数的最值 (1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 连续不断 的 曲 线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ． ②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a)、f(b) 比 较 ， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
【思考探究】 2.极值点一定是最值点这句话对吗？ 提示： 函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数 值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整 个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值点也不一定 是极值点．
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
2．函数的极值与导数 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数f(x)在任何一点的函数值 不大于(小于) x0点的函数值，就说f(x0)是函数f(x)的一个极 大(小) 值， 记作y极大(小)值＝f(x0)，x0是极大(小)值点． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
5．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是________． 解析： 设矩形的一边边长为x，则另一边边长为Sx， 其周长为l＝2x＋2xS，x＞0，l′＝2－2xS2 . 令l′＝0，解得x＝ S. 易知，当x＝ S时，其周长最小． 答案： S
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第二章 函数、导数及其应用
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
3．函数 y＝x＋2cos x 在0，π2上取得最大值时，x 的值为(
)
A．0 解析：
π
π
π
B.6
C.3
D.2
方法一：代入则可比较得fπ6＝π6＋2cosπ6＝π6＋ 3最大，故
选B.
方法二：y′＝(x＋2cos x)′＝1－2sin x，
当x∈－1，－1＋2
5时，f′(x)＞0，
∴f(x)在－1，－1＋2
5上是增函数；
当x∈－1＋2
5，＋∞时，f′(x)＜0，
∴f(x)在－1＋2
5，＋∞上是减函数．
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
【变式训练】 1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个
栏目导引
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数 根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成 若干个小区间； (4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在 每个相应小开区间内的增减性． 【注意】 当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0) 直接得到单调递增(或递减)区间．
第11课时 导数应用
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
1．函数的单调性与导数
在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
如果 如果 如果
f′(x)＞0 f′(x)＜0 f′(x)＝0
，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增； ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减； ，那么f(x)在这个区间内为常数．
栏目导引
2 ． 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 R ， 导 函 数 f′(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数
f(x)( ) A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、两个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
解析： 设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4， 当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数， 当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点， 同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C. 答案： C
【思考探究】 1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)
＞0吗？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？
提示： 函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，
b)内单调递增的充分不必要条件．
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第二章 函数、导数及其应用
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
(2010·辽宁大连高三双基测试)已知函数f(x)＝mln(1＋x)－
1 2
x2(m
∈R)，满足f′(0)＝1.求函数f(x)的单调区间．
解析： f′(x)＝1＋m x－x，
∵f′(0)＝1，∴m＝1.∴f′(x)＝1－x＋x－1 x2.
令f′(x)＝0得x＝－1＋2 5或x＝－1－2 5(舍去)．
栏目导引
1．当x＞0时，f(x)＝x＋4x的单调减区间是(
)
A．(2，＋∞)
B．(0,2)
C．( 2，＋∞)
D．(0， 2)
解析： f′(x)＝1－x42，令f′(x)＜0，
∴1－x42＜0， ∴0＜x＜2，∴f(x)的减区间为(0,2)． x＞0，
答案： B
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第二章 函数、导数及其应用
极值Biblioteka Baidu．
(1)求a和b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析： (1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.
令1－2sin x＝0，且x∈0，π2时，x＝π6，
当x∈0，π6时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈π6，π2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x)max＝fπ6.故选B.
答案： B
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第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________． 解析： f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)＝0⇒a＝3. 答案： 3