3-5 高斯定理(08)电磁学

+
- +R S + -+q0 ++
-
- r
§3.5 电位移 有电介质时的高斯定理 第三章 静电场中的电介质 9 – 4 有电介质时的高斯定理 第九章静电场中的导体和电介质 讨论：
E （1） = E0 ε r 表明介质中的场强减 小到无介质时的 1 ε r 。
q′
ε − ε0 q0 表明介 （3）q′ = σ′4 πR = − ε 质表面的极化电荷少于自由电荷。
§3.5 电位移 有电介质时的高斯定理 第三章 静电场中的电介质 9 – 4 有电介质时的高斯定理 第九章静电场中的导体和电介质
一、有电介质时的高斯定理
1.极化强度与场强的关系 实验得知：对各向同性介质有： P
ε r = 1 + χ 就称为相对介电常数。 +++++++++ - - - - 于是： P = ε r − 1)ε 0 E （ εr E P 所以在各向同性介质中， P 与 E 的方向
处处相同（ E 是合场强）。 +
χ 其中： = ε r − 1称电介质的极化率，其值恒大于零。
= χε 0 E
---------
+
+
+ +
对于均匀介质，各点的 χ 或 ε r均相同。否则为点的函数。 在真空中 χ = 0
§3.5 电位移 有电介质时的高斯定理 第三章 静电场中的电介质 9 – 4 有电介质时的高斯定理 第九章静电场中的导体和电介质 2.有电介质时的高斯定理 总场：E
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+σ0 S1 +++++++++ - - - - - − σ1' d1 E1 + + + + + + σ1' - - - - - −σ ' 2 d2 E2 （2）由 σ ' = P = ( ε r −1) ε 0 E + + + + ++σ2' - - - - - - -σ − 0 得
+ +
-
- r
§3.5 电位移 有电介质时的高斯定理 第三章 静电场中的电介质 9 – 4 有电介质时的高斯定理 第九章静电场中的导体和电介质 于是
E=
D
ε
=
4πε r
q0
2
r=
4πε 0ε r r
q0
2
ˆ r=
E0
εr
在介质与金属的交界处取一点 B ， 此处的半径为 r = R ，外法线单位 ˆ 矢量为 en = − r 。 由 σ ′ = P ⋅ en 得：
q′
ˆ σ ′ = P ( B ) ⋅ en = ( ε r − 1) ε 0 E ⋅ ( − r ) ( ε r − 1) ε 0 q0 r ⋅ −r = − ε − ε 0 q0 = ( ˆ) 2 2 ε 4π R 4πε R
ε − ε0 σ0 < 0 =− ε
+ +
-
en B -
+ +
+ +
-
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r
R2
R1
−λ +λ
λ ( R1 < r < R2 ) E= （３）由（１）可知 2π ε 0ε r r R λdr R2 λ = ln U = ∫ E ⋅ dr = ∫ R 2π ε ε r 2π ε 0 ε r R1 0 r
+ +
-
∫∫
S
D ⋅ dS = Dn 4π r = q0
2
-
q0 q0 ˆ r ∴ Dn = 或： D = 2 2 4 πr 4π r q0 > 0 时， n > 0 （发出）；反之 Dn < 0 （终止）。 D
+ +
+ +
在 r > R 处取一高斯面 S ，由电介 质存在时的高斯定理得：
-
+q0 +
∫
S
σ0 E1 = = ε 0ε r1 ε 0ε r1 σ0 D E2 = = ε 0ε r2 ε 0ε r2
D
D =σ0
- -1 - - d1 E1 + + + + + d 2 - - - -E2
- − σ1' ++ σ 1 ' - −σ ' 2 + + + + + ++ σ ' 2 ----------−σ 0
2 1
R2 Q = ε r C0 C= = ε r 2 π ε 0l ln U R1 C R2 = 2π ε 0ε r ln 单位长度电容 R1 l
真空圆柱形 电容器电容
9 – 4 电位移 有电介质时的高斯定理
第九章静电场中的导体和电介质
作业：3.5.1、3.5.3、3.5.5
r
R2
R1
−λ +λ
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r
R2
解（1）
R1
−λ +λ
D ⋅ d S = λ l ( R1 < r < R2 ) ∫S λ D= D 2π rl = λl 2π r D λ E= = ε 0ε r 2π ε 0ε r r ε r −1 P = (ε r − 1)ε 0 E = λ 2π ε r r
（ ⑴ 一般情况下 D 与E 不一定同向， P = ε r − 1)ε 0 E 但在各向同性介质中，二者同向。 ε = ε 0ε r
⑵是一辅助性物理量,同时描述电场和电介质极 化的复合矢量。
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§3.5 电位移 有电介质时的高斯定理 第三章 静电场中的电介质 9 – 4 有电介质时的高斯定理 第九章静电场中的导体和电介质
r
R2
R1
−λ +λ
ε r −1 （２）由上题可知 P= λ (r = R1 ) 2 π ε r R1 ε r −1 ε r −1 λ P= P= λ (r = R2 ) 2 π εrr 2 π ε r R2 λ (r = R1 ) σ 1 ' = − Pn1 = (1 − ε r ) 2 π ε r R1 λ σ 2 ' = Pn 2 = (ε r − 1) (r = R2 ) 2 π ε r R2
§3.5 电位移 有电介质时的高斯定理 第三章 静电场中的电介质 9 – 4 有电介质时的高斯定理的右边只涉及到自由电荷，避开了事先 不易知道的极化电荷及极化强度。所以可通过：
∫∫ D ⋅ dS = ∑ q
S
0
D = εE
两式求得电场强度。 注意 有介质时先求 D → E → ( P , σ ′, q ′ )
U = ∫ E ⋅ dl = E1d1 + E2 d 2
l
+σ0 S1 +++++++++ - - - - - − σ1' d1 E1 + + + + + + σ1' - - - - - −σ ' 2 d2 E2 + + + + ++σ2' - - - - - - -σ − 0
Q0 ε 0ε r1ε r 2 S C= = > C0 U ε r1d 2 + ε r 2 d1
2
+ + + +
极化电荷与自由电荷反号。
-
en B -
+ + + +
+ + + +
ε − ε0 σ σ 0表明介质表面的 （2） ′ = − ε
-
+ - +q0 + R + + +
-
-
- r
§3.5 电位移 有电介质时的高斯定理 第三章 静电场中的电介质 9 – 4 有电介质时的高斯定理 第九章静电场中的导体和电介质 例2 一平行平板电容器充满两层厚度各为 d1 和 d 2 的电 介质，它们的相对介电常数分别为 ε r1和 ε r2,极板面积 为 S 。求（1）电容器的电容；（2）当极板上的自由电 荷面密度的值为σ 0 时，两介质分界面上的极化电荷面密 度。 +σ0 解（1） D ⋅ d S = σ 0 S 1
§3.5 电位移 有电介质时的高斯定理 第三章 静电场中的电介质 9 – 4 有电介质时的高斯定理 第九章静电场中的导体和电介质
+σ
+ + + + + + +
−σ′
+σ′
−σ
+σ
+ + +
电场线
+ + + + + + +
−σ′
+σ′
−σ
+ + +