【课堂新坐标】16-17学年高中数学北师大版选修2-1课件第三章圆锥曲线与方程4.1

【精彩点拨】 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究 函数的图像，可由方程的特点入手分析．
【自主解答】 (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0可得：
x－1≥0， x＋y－1＝0，
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1， ∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)，
在曲线C上，求m，n的值．
【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程， 则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0) 一定适合曲线的方程．
【自主解答】
(1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且
点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上； 把点B(－3 2 ，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－3 2)2＋(－4)2＝34≠25， 所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上． 把点C( 5 ，2 5 )的坐标代入x2＋y2＝25，得( 5 )2＋(2 5 )2＝25，满足方程， 但因为横坐标 5 不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的 曲线上．
探究3 求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐 标”转化成代数关系，得到对应的方程．求解时需要注意什么？
【提示】 (1)求曲线方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验．
(2)求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和 完备性．即由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条 件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角 度思考问题．
直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆 心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【精彩点拨】 设M(x，y)，点M是弦AB的中点，OM⊥MP，△OMP为直角 三角形，利用勾股定理求解．由于点M在圆内，应注意点M的轨迹是圆O内的部 分．
【自主解答】
2 2 2
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．下列点中，在曲线x＋ 25－y2＝0上的是( A．(4,3) C．(－4,3)
【解析】
)
B．(3，－4) D．(5,0)
x＝－4 经检验，只有 y＝3
，是方程x＋ 25－y2＝0的解．
【答案】 C
3．在平面直角坐标系内，到原点距离为3的点M的轨迹方程为________． 【导学号：32550090】
阶 段 1
§ 4 4.1
曲线与方程 曲线与方程
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阶 段 3
阶 段 2
学 业 分 层 测 评
1．能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系， 进一步感受数形结合的基本思想．(重点) 2．掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲线与方程的关系，感受解 析几何的思想方法．(难点)
[基础· 初探] 教材整理 方程与曲线
2．方程与曲线的关系
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变换．( (2)点(－1,2)是圆x2＋y2＝5上的点．( ) ) )
(3)到两坐标轴距离相等的点满足方程x－y＝0.(
【解析】 (1)|x|＝|y|化简为y＝± x. (2)∵(－1)2＋22＝5，∴(－1,2)是圆x2＋y2＝5上的点． (3)满足的方程为|y|＝|x|.
阅读教材P85“例1”以上的部分，完成下列问题． 1．方程与曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合 或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1) 曲线上点的坐标
都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作 方程的曲线， 这个方程叫作 曲线的方程 ． 只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方程”．
【解析】
2
)
B．双曲线 D．抛物线
∵ 2· x－12＋y－12＝|x＋y＋2|，
2
|x＋y＋2| ∴ x－1 ＋y－1 ＝ . 2 即点P(x，y)到点(1,1)的距离与它到定直线x＋y＋2＝0的距离相等，∴点P的 轨迹是抛物线．
坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝ 0，则M点不在曲线C上”，此说法即C.
【答案】 C
2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是(
)
A
B
C
D
【解析】 ∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0. 【答案】 C
3．方程 2· x－12＋y－12＝|x＋y＋2|表示的曲线是( A．椭圆 C．线段
[小组合作型]
曲线与方程的关系判断
(1)判断点A(－4,3)，B(－3 2 ，－4)，C( 5 ，2 5 )是否在方程x2＋y2 ＝25(x≤0)所表示的曲线上；
3 (2)方程x (x －1)＝y (y －1)所表示的曲线是C，若点M(m， 2 )与点N ， n 2
2 2 2 2

[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
[再练一题] 3．已知线段AB长为10，动点P到A、B距离的平方和为122，求点P的轨迹方 程． 【解】 以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点，建立直角坐标系，则有
A(－5,0)，B(5,0)，设动点P(x，y)． 由|PA|2＋|PB|2＝122，得 (x＋5)2＋y2＋(x－5)2＋y2＝122， 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＝36.
得两曲线交
[构建· 体系]
1．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是 ( A．曲线C的方程是F(x，y)＝0 B．方程F(x，y)＝0的曲线是C C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上 D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上 )
【解析】
原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的
[再练一题] 1．下列图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是( )
【解析】
方程x2＋y2＝1表示的曲线是图(1)；方程x2－y2＝0表示的曲线是图
(2)；方程lgx＋lgy＝1表示的曲线是图(3)；故选D.
【答案】 D
由方程确定曲线
(1)方程(x＋y－1) x－1＝0表示什么曲线？ (2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？
(2)因为点M(m，
2 2
2)，N
3 ， n 在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解， 2
3 1 2 2 1 3 所以m (m －1)＝2×1，4× －4 ＝n (n －1)，解得m＝± 2，n＝± 2或± 2 .
1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手． (1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即 可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或 方程中的参数． 2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否 都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．
【精彩点拨】 要求未知点P(x，y)的轨迹方程，通过条件转化为已知的点M 的坐标并得到x，y的等量关系．
【自主解答】 设P(x，y)，则由M和定点B(3,0)连线的中点为P(x，y)知， M(2x－3,2y)． 又∵动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1.
32 2 1 化简得x－2 ＋y ＝4，此方程即为点P的轨迹方程． 3 1 点P的轨迹是以2，0为圆心，2为半径的圆．
[探究共研型]
方程与曲线
探究1 在解决曲线与方程问题时，怎样建立“适当的”坐标系？
【提示】 建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图 形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标 轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．同一曲线，坐标 系建立的不同，方程也不相同．
探究2 “轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？
【提示】 (1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即 动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值 范围； (2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．故求点的轨迹时，除了写出方程 外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．
设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得
2 2 2 2
|OP| ＝|OM| ＋|MP| ，∴x ＋y ＋(x－5) ＋y
52 2 25 ＝25，整理得x－2 ＋y ＝ 4 .∵点M应
52 2 25 x－ ＋y ＝ ， 4 在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．解方程组 2 2 2 x ＋ y ＝16 52 2 25 16 16 点的横坐标为x＝ 5 ，故所求轨迹方程为x－2 ＋y ＝ 4 0≤x＜ 5 .
[再练一题] 2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( A．一个点 C．一个点和一条直线 )
B．一条直线 D．两条直线
【解析】 由x2＋xy＝x得x＝0或x＋y－1＝0，故选D. 【答案】 D
求曲线的方程
动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，点M和定点B(3,0)连线的中点为P， 求点P的轨迹方程，并指出点P的轨迹． 【导学号：32550091】
(2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0， 而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
2 2x－1 ＝0， ∴ 2 y ＋ 1 ＝0，
x＝1， ∴ y＝－1，
∴方程表示的图形为点A(1，－1)．
曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点 利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变 形时，应保证变形过程的等价性．
【解析】 设M(x，y)则 x2＋y2＝3， ∴x2＋y2＝9.
【答案】 x2＋y2＝9
4．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点 → → P关于x轴对称，且OP· MN＝4，求动点P的轨迹方程．
【解】 由已知得M(0，y)，N(x，－y)，
→ ＝(x，－2y)， ∴MN → → ∴OP· MN＝(x，y)· (x，－2y)＝x2－2y2， 依题意知，x2－2y2＝4， 因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.
求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 在实际处理问题时，可以省略第(5)步．遇到某些点虽适合方程，但不在曲线 上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．