新湘教版九年级数学下册第一章《二次函数与一元二次方程的联系》精品课件
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湘教版数学九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系课件
20
A(0，9 )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代
1
入，可得y＝－ 9 (x－4)2＋4.
1
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－ 9
(7－4)2＋
4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能
投中；
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖
二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0又
有怎样的关系？
当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.
知识归纳
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图
帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他
能否获得成功？
(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.
因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
课堂小结
二次函数与一元二
次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时
就成了一元二次方程；
ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时
就成了二次函数.
二次函数
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
例题讲授
例1 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，
则k的取值范围是( D )
A．k<3
B．k<3且k≠0
C．k≤3
D．k≤3且k≠0
A(0，9 )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代
1
入，可得y＝－ 9 (x－4)2＋4.
1
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－ 9
(7－4)2＋
4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能
投中；
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖
二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0又
有怎样的关系？
当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；
同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，
也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.
知识归纳
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图
帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他
能否获得成功？
(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.
因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
课堂小结
二次函数与一元二
次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时
就成了一元二次方程；
ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时
就成了二次函数.
二次函数
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
例题讲授
例1 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，
则k的取值范围是( D )
A．k<3
B．k<3且k≠0
C．k≤3
D．k≤3且k≠0
《二次函数与一元二次方程的联系》PPT课件 湘教版
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
ax2 bx c=M
y ax2 bx c(a 0)
yM
当堂练习
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个 解x的范围是（C ）
知识要点
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 两个交点(x1,0)、(x2,0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.
问题3观察图象，完成下表
抛物线与x 交点 相 应 的 一 元 二 次 轴交点个数 横坐 方 程 的 根
标
y = x2－x＋1 0个 y = x2－6x＋9 2个重合的点 3
三 用二次函数与一元二次方程的关系解决实 际问题
典例精析
例3 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
x2 y-
6
x8
运行，其中x是铅球离初始位置的水平
10 10 5
距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位 置的水平距离是多少？
解 （1）由抛物线的表达式得
2.1 - x2 6 x 8
答问题：
（1）方程 x2 6x 8 0 的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
y
（3）x取什么值时，y<0 ？
8
解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4.
O2 4 x
(新)湘教版九年级数学下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系》课件
x2 6 8 y- x 10 10 5
y x
解：（1）由抛物线的表达式得：
x2 6 8 2.1 - x 10 10 5
即 x2-6x+5=0 解得 x1=1 x2=5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当铅球离地面高度为2.1m时，它离初始位置的水 平距离是1m或5m
（2）由抛物线的表达式得：
x2 6 8 2.5 - x 10 10 5 即 x2-6x+9=0
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－ 4x+3 的值为0，求自变量x的值．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程 ax2+bx+c=0.
例题学习
分析：一元二次方程 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上 找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
课堂小结
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知 （1）如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点，公共点的横 坐标是x0，那么当x =x0时，函数的值是0，因此x = x0 就是 方程 ax2+bx+c=0 的一个根． （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点， 有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的 三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．
t1=1s t2=3s
15m
15m
（2）解方程 20＝20t－5t 2 t 2－4t＋4=0 t1=t2=2 当球飞行2s时，它的高度为20m．
湘教版九年级数学下册第一章《二次函数与一元二次方程的联系》精品课件 (2)
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/302021/7/30July 30, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/302021/7/302021/7/302021/7/30
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
湘教版九年级下册数学1.4二次函数与一元二次方程的联系课件
解：设二次y函 x数 2 2x1
作出函数图象 yx22x1的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间
通过视察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
根为x1 -0.4，x2 2.4还可以用等分计算的方法
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
义务教育教科书（湘教）九年级数学下册
1.4二次函数与一元二次方程的联系
学习目标
• 1、通过探索，理解二次函数与一元二次方程之 间的联系（重点）
• 2、会用二次函数图象求一元二次方程的近似解 （重点）
• 3、通过研究二次函数与一元二次方程的联系体 会数形结合思想的应用
复习
求直线y=2x+4与x轴交点
yx26x9
yx22x2
归纳总结
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
和x轴交点
有两个交点
有一个交点
没有交点
说明：a≠0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个相异的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
y
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别
式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
2 3
∴ 与x轴交点的横坐标为（
2 3
，0）
3 yx 2-2 x 3
解
x2-2 x30
a=1 b=-2 c=3
△=（-2）2-4×1×3<0
此方程无解，所以，抛物线y=x2-2x+3与 x轴没有交点。
4．布置作业
作出函数图象 yx22x1的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间
通过视察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
根为x1 -0.4，x2 2.4还可以用等分计算的方法
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
义务教育教科书（湘教）九年级数学下册
1.4二次函数与一元二次方程的联系
学习目标
• 1、通过探索，理解二次函数与一元二次方程之 间的联系（重点）
• 2、会用二次函数图象求一元二次方程的近似解 （重点）
• 3、通过研究二次函数与一元二次方程的联系体 会数形结合思想的应用
复习
求直线y=2x+4与x轴交点
yx26x9
yx22x2
归纳总结
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
和x轴交点
有两个交点
有一个交点
没有交点
说明：a≠0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个相异的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
y
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别
式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
2 3
∴ 与x轴交点的横坐标为（
2 3
，0）
3 yx 2-2 x 3
解
x2-2 x30
a=1 b=-2 c=3
△=（-2）2-4×1×3<0
此方程无解，所以，抛物线y=x2-2x+3与 x轴没有交点。
4．布置作业
新湘教版九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系 课件(24张PPT)
2 x m=0 的解为x1=3,x2=-1.
小结 一元二次方程与二次函数的联系
ax bx c=M
2
y ax bx c(a 0)
2
yM
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种 情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象和x 2.
问题3:观察二次函数 y x 6x 9 和
2
y x 2x 2 的图象，分别说出一元
2
二次方程 x 6 x 9 0
2
和 x 2 x 2 0 根的情况.
2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
如下图所示,则b2-4ac的情况如何？
当x=-0.5时，y=0.25>0 ;当x=-0.4时，y=-0.04<0. 结合图象可知，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间， 即-0.5<x<-0.4. 若精确到0.1，取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根 均满足要求.但当x=-0.4时，y=-0.04，比当x=-0.5时， y=0.25更接近于0，因此选x=-0.4.同理，另一实根 为x=2.4.
一元二次方程 抛物线
x 2 x 1 0 的根就是 2 y x 2 x 1 与x轴的交点的
2
横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，
然后从图像上找出它与x轴的交点的横坐标.
这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：设二次函数
y x 2x 1
2
2
作出函数
y x 2x 1
2
是说x=-1是一元二次方程 x 2 x 3 0
1.4二次函数与一元二次方程的联系课件(湘教版)
部分, 其对称轴为直线x=1. 若图像与x轴的一个交点为A(3, 0), 则
由图
- 1<x<3
像可知, 当x满足
时,
函数y=ax2 +bx+c的值小于0.
分析
结论
根据或理由
由图像与x轴的一个交点为A(3, 0), 图像的对称轴是直线x=1, 可 知图像与x轴的另一个交点为(-1, 0) -1<x<3 由图可知, 当-1<x<3时, 图像在x轴的下方,即函数y=ax2 +bx+c的 值小于0
解: 方法一：根据图像, 可知抛物线y=-x2 +2x+m经过点(3, 0), 将 (3, 0)代入函数表达式,得-32 +2×3+m=0, 解得m=3. 把m=3代入 一元二次方程-x2 +2x+m=0, 得-x2 +2x+3=0, 解得x1 =3,x2 =-1. 方法二：由图像与x轴的一个交点的坐标为(3, 0), 图像的对称轴 是直线x=1, 可知图像与x轴的另一个交点的坐标为(-1, 0), 所以一 元二次方程-x2 +2x+m=0的两个根为x1 =3, x2 =-1.
分析 由题意, 得k≠0.
解: b2 -4ac=32 -4k×(-4)=9+16k. 由题意, 得b2 -4ac>0且k≠0, 即9+16k>0且k≠0, 解得k> 所以当k> 且k≠0时,图像与x轴有两个不同的交点. 当b2 -4ac=9+16k=0且k≠0, 即k= 时, 图像与x轴有两个重合的交点. 当b2 -4ac=9+16k<0且k≠0, 即k< 时, 图像与x轴没有交点.
湘教版九年级数学下册第一章《二次函数与一元二次方程的联系》课件
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You made my day!
我们，还在路上……
升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax +2bx+c 与x轴有公共点(x 0,o),那
么x=x 就0 是方程 ax +2bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式
Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点 没有交点
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
体会两种思想： 数形结合思想 分类讨论思想
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
以上关系反之也成立.
思考
根据图象你能得出相应方程的解吗? (1)方程x +2x-2=0的根是__x_1_=__-2__, _x__2=_1__; (2)方程x -26x+9=0的根是___x_1_=_x_2_=__3____; (3)方程x -2x+1=0的根是___无__实__数__根_____.
You made my day!
我们，还在路上……
升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax +2bx+c 与x轴有公共点(x 0,o),那
么x=x 就0 是方程 ax +2bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式
Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点 没有交点
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
体会两种思想： 数形结合思想 分类讨论思想
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
以上关系反之也成立.
思考
根据图象你能得出相应方程的解吗? (1)方程x +2x-2=0的根是__x_1_=__-2__, _x__2=_1__; (2)方程x -26x+9=0的根是___x_1_=_x_2_=__3____; (3)方程x -2x+1=0的根是___无__实__数__根_____.
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y=x 2+x-2
. .
0 1
x
如果抛物线 y=ax 2 +bx+c(a≠0)与x轴有公共点 (x 0 ,o),那么x=x0 就是方程 ax2 +bx+c=0的一个根.
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
练习:根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 3.24 3.25 0.03 3.26 0.09
-0.06 -0.02
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个 解x的范围是( C ) A 3<x < 3.23
C 3.24 <x< 3.25
B 3.23 < x < 3.24
D 3.25 <x< 3.26
升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax 2 +bx+c 与x轴有公共点(x 0 ,o), 那么x=x 0 就是方程 ax 2 +bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图 象与x轴交点情况是( C ) A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点
D不能确定
3.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两 个相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 1 (1,0) . y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交点 1 4.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上, 则c=＿＿＿＿ . 16
有两个交点
有一个交点
有两个相异的实数根
有两个相等的实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
没有交点
说明：a≠0
没有实数根
b2-4ac < 0
y
0 1
x
练一练
下列二次函数的图象与x轴有交点吗？有几个交点？ (1) y=2x 2 +x-3;
(2) y=-4x 2 -4x-1;
(3) y=3x 2 -2x+3;
归纳总结
已知二次函数 y=ax 2 +bx+c (a≠0)的函数值为０，求自变 量x的值，可以看作解一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0).
已知二次函数 y=ax 2 +bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2+bx+c=m(或 ax 2 +bx+c-m=0) (a≠0).
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
没有交点
有两个相等的实数根
没有实数根
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
体会两种思想：
数形结合思想
分类讨论思想
h=20t-5t 2
球从飞出到落地需要多少时间？ 已知函数值h=o，求对应自变量t. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c (a≠0)的函数值为０，求自变 量x的值，可以看作解一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0).
探究新知
h=20t-5t 2
(1)球的飞行高度能否达到15m? 若能,需要多少飞行时间?
以上关系反之也成立.
思考
根据图象你能得出相应方程的解吗? x 1 =-2, x 2 =1 ; (1)方程x2 +x-2=0的根是______________ x 1 =x 2 =3 (2)方程x2 -6x+9=0的根是______________ ; 无实数根 (3)方程x 2 -x+1=0的根是______________ . y y=x 2-x+1 y=x 2-6x+9
已知函数值h=15，求对应自变量t.
(2)球的飞行高度能否达到20m? 若能,需要多少飞行时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少飞行时间?
已知二次函数 y=ax 2 +bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2+bx+c=m(或 ax 2 +bx+c-m=0) (a≠0).
5.若函数y=-x2+2kx+2与坐标轴交点的个 数有 3 个.
6.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x 的方程ax2+bx+c -3 =0根的情况是( D )
A 有两个不相等的实数根
B 有两个异号的实数根
y
2
O1
C有两个相等的实数根
D 没有实数根
x
例: 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根 (精确到0.1) 解: 作y=x2-2x-2的图象(如图),它与x轴的公共点 的横坐标大约是 – 0.7 , 2.7 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7, x2≈-2.7.
s表示离天台的距离; t表示行驶的时间.
s/km 120
s= - 60t+120 (0≤t ≤2)
0 t/h
探究新知
高度y(m)与水平距离x(m) 之间具有的关系:
1 2 5 y=- 12 x + 24 x
请问这位同学的跳远成绩是多少？ 已知函数值y=o，求对应自变量x.
高度h(m)与时间t(s)之间 具有的关系:
(4) y=x 2 +(2k+1)x-k 2 +k;
(5) y=2x 2 - (4k+1)x+2k 2 -1; 若此抛物线与 x轴有两个交点,求k的取值范围.
基础练习:
1.不与 y= - x2 – 3x
B y= - 2 x2 + 3
D y=-2(x+1)2 - 3
. .
0 1
x
如果抛物线 y=ax 2 +bx+c(a≠0)与x轴有公共点 (x 0 ,o),那么x=x0 就是方程 ax2 +bx+c=0的一个根.
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
练习:根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 3.24 3.25 0.03 3.26 0.09
-0.06 -0.02
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个 解x的范围是( C ) A 3<x < 3.23
C 3.24 <x< 3.25
B 3.23 < x < 3.24
D 3.25 <x< 3.26
升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax 2 +bx+c 与x轴有公共点(x 0 ,o), 那么x=x 0 就是方程 ax 2 +bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图 象与x轴交点情况是( C ) A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点
D不能确定
3.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两 个相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 1 (1,0) . y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交点 1 4.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上, 则c=＿＿＿＿ . 16
有两个交点
有一个交点
有两个相异的实数根
有两个相等的实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
没有交点
说明：a≠0
没有实数根
b2-4ac < 0
y
0 1
x
练一练
下列二次函数的图象与x轴有交点吗？有几个交点？ (1) y=2x 2 +x-3;
(2) y=-4x 2 -4x-1;
(3) y=3x 2 -2x+3;
归纳总结
已知二次函数 y=ax 2 +bx+c (a≠0)的函数值为０，求自变 量x的值，可以看作解一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0).
已知二次函数 y=ax 2 +bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2+bx+c=m(或 ax 2 +bx+c-m=0) (a≠0).
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
没有交点
有两个相等的实数根
没有实数根
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
体会两种思想：
数形结合思想
分类讨论思想
h=20t-5t 2
球从飞出到落地需要多少时间？ 已知函数值h=o，求对应自变量t. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c (a≠0)的函数值为０，求自变 量x的值，可以看作解一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0).
探究新知
h=20t-5t 2
(1)球的飞行高度能否达到15m? 若能,需要多少飞行时间?
以上关系反之也成立.
思考
根据图象你能得出相应方程的解吗? x 1 =-2, x 2 =1 ; (1)方程x2 +x-2=0的根是______________ x 1 =x 2 =3 (2)方程x2 -6x+9=0的根是______________ ; 无实数根 (3)方程x 2 -x+1=0的根是______________ . y y=x 2-x+1 y=x 2-6x+9
已知函数值h=15，求对应自变量t.
(2)球的飞行高度能否达到20m? 若能,需要多少飞行时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少飞行时间?
已知二次函数 y=ax 2 +bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2+bx+c=m(或 ax 2 +bx+c-m=0) (a≠0).
5.若函数y=-x2+2kx+2与坐标轴交点的个 数有 3 个.
6.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x 的方程ax2+bx+c -3 =0根的情况是( D )
A 有两个不相等的实数根
B 有两个异号的实数根
y
2
O1
C有两个相等的实数根
D 没有实数根
x
例: 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根 (精确到0.1) 解: 作y=x2-2x-2的图象(如图),它与x轴的公共点 的横坐标大约是 – 0.7 , 2.7 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7, x2≈-2.7.
s表示离天台的距离; t表示行驶的时间.
s/km 120
s= - 60t+120 (0≤t ≤2)
0 t/h
探究新知
高度y(m)与水平距离x(m) 之间具有的关系:
1 2 5 y=- 12 x + 24 x
请问这位同学的跳远成绩是多少？ 已知函数值y=o，求对应自变量x.
高度h(m)与时间t(s)之间 具有的关系:
(4) y=x 2 +(2k+1)x-k 2 +k;
(5) y=2x 2 - (4k+1)x+2k 2 -1; 若此抛物线与 x轴有两个交点,求k的取值范围.
基础练习:
1.不与 y= - x2 – 3x
B y= - 2 x2 + 3
D y=-2(x+1)2 - 3