第一章 多项式(小结)

第一章 多项式(小结)

一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.

一、基本概念.

1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.

2．基本结论:

(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.

(2) )).(())(())()(())),

(()),((max())()((000000x g x f x g x f x g x f x g x f ∂+∂=∂∂∂≤+∂

(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.

二、整除性理论

1.整除的概念及其基本性质.

2.带余除法.

(1) 带余除法定理.

(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),(=⇔≠∈x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除，. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.

3. 最大公因式和互素.

(1) 最大公因式,互素的概念.

(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.

(3) 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式,则)()()()()(x d x v x g x u x f =+.反之不然.

(4) 1)()()()(:

)(),(1))(),((=+∃⇔=x v x g x u x f x v x u x g x f . (5) ).(|)()(1))(),((),(|)(),(|)().

(|)(1))(),((),()(|)(x h x g x f x g x f x h x g x h x f x h x f x g x f x h x g x f ⇒=⇒=

三、 因式分解理论

1.不可约多项式

(1) 不可约多项式的概念.

(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:

).(|)()(|)()()(|)(,

1))(),((),(|)(][)(x g x p or x f x p x g x f x p x f x p or x f x p x F x f ⇒=⇒∈∀

(3) 整系数多项式在有理数域上可约⇔它在整数环上可约.

(4) 艾森斯坦判断法.

2.因式分解的有关结果:

(1) 因式分解及唯一性定理.

(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.

(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.

3.重因式

(1) 重因式的概念.

(2) 若不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k

,则)(x p 是)(x f 的1-k 重因式.

(3) )(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f .

(4) 消去重因式的方法:

))(),(()(x f x f x f '是一个没有重因式的多项式,它与)(x f 具有完全相同的不可约因式.

四、多项式根的理论

1.多项式函数,根和重根的概念.

2.余数定理.c x -去除)(x f 所得的余式为)(x f ,则.0)()(|

=⇔-c f x f c x 3.有理系数多项式的有理根的求法.

4.实系数多项式虚根成对定理.

5.代数基本定理.每个)1(≥n n 次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).

6.韦达定理.

7.根的个数定理.F[x]中n 次多项式)0(≥n 在数域F 中至多有n 个根.

8.多项式函数相等与多项式相等是一致的.

重点:一元多项式的因式分解理论.

难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.