文登考研数学--高等数学--习题集及其答案

考研高数阶段测试题及答案

考研高数阶段测试题及答案### 考研高数阶段测试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数$ f(x) = x^2 + 3x - 2 $的导数是：- A. $ 2x + 3 $- B. $ 2x - 3 $- C. $ 3x + 2 $- D. $ 3x - 2 $2. 极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $的值为： - A. 0- B. 1- C. 2- D. $ \frac{\pi}{2} $3. 级数$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $是： - A. 收敛的- B. 发散的- C. 条件收敛的- D. 无界4. 函数$ f(x) = \ln(x) $的定义域是：- A. $ x > 0 $- B. $ x < 0 $- C. $ x = 0 $- D. $ x \neq 0 $5. 微分方程$ y'' - y' - 6y = 0 $的特征方程是：- A. $ r^2 - r - 6 = 0 $- B. $ r^2 + r + 6 = 0 $- C. $ r^2 - 6 = 0 $- D. $ r^2 + 6 = 0 $#### 二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数$ f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5 $的二阶导数是$ f''(x) = ________ $。

7. 根据洛必达法则，当$ x \to 0 $时，$ \lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{\sin x} $的极限值是$ ________ $。

8. 级数$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} $可以通过裂项求和法化简为$ ________ $。

高等数学考研真题含答案

1...sin 12lim1.4/1/0+++→x xee x x x 求=+∞-∞+=-∞→,0)(lim ,),()(2.a xf e a xx f x bx、则常数且内连续在设函数00数一考研题⎩⎨⎧>≤=1(B)0(A)).()]}([{,1,0,1,1)(3.x f f f x x x f 等于则设01数二考研题b 满足00数二考研题).(<≥>≤>><<0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(b a D b a C b a B b a A [];;.;;;考研真题一.,}{),,2,1()3(,307.).(,00,,0,2arcsin 1)(6.112tan 并求此极限的极限存证明数列设则处连续在设函数n n n n x xx n x x x x a x x ae x xe xf =-=<<==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=+02数二考研题02数二考研题8.,lim ,1lim ,0lim }{},{},{9.则必有均为非负数列设n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→===且,03数一考研题)(.(D)(C)(B)(A);成立对任意n n n b a <;成立对任意n n n c b <;lim 不存在极限n n n c a ∞→.lim 不存在极限n n n c b ∞→._____sin 1)1(,0412=--→a x x ax x 是等价无穷小与时若则,03数二考研题.4)(3)(2)(1)(,)1(sin ,sin )1ln )cos 1(,05.213lim4.2212等于则正整数高阶的无穷小是比而高阶的无穷小是比时设当x n n x D C B A n e x x x x x x x x x xx -+-→=-++--→(01数二考研题01数二考研题;;;在__________.∞>≤>≤.1,11,0(D)1,01,1(C)x x ⎩⎨⎧x x ⎩⎨⎧;2..._________)(,1)1(lim)(10.2=+-=∞→x x f nx x n x f n 的间断点为则设04数二考研题12.设函数,11)(1-=-x xe xf 则( ).(A)1,0==x x 都是)(x f 的第一类间断点;(B)1,0==x x 都是)(x f 的第二类间断点;(C)0=x 是)(x f 的第一类间断点,1=x 是)(x f 的第二类间断点;(D)0=x 是)(x f 的第二类间断点,1=x 是)(x f 的第一类间断点.05数二考研题11.当0→x 时, 2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无, 则.________=k 穷小05数二考研题13.=-+→xx x x cos 1)1ln (lim.06数一、二考研题14.当+→0x 时,与x 等价的无穷小量是( ).(A)xe -1; xx-+11ln; 11-+x ; x cos 1-.(B)(C)(D)07数一、二考研题15.函数)(tan )()(1/1/e e x xe e xf x x -+=在],[ππ-上的第一类间断点是=x ( ).(A)2π-; 2π.(D)(C) (B)0; 1; 07数二考研题16.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界}{n x 是( ).(A)若收敛)}({n x f 收敛(B)若单调收敛;(C)若收敛(D)若收敛.为数列下列命题正确的则则收敛则单调则,,,,,,;;}{n x }{n x )}({n x f )}({n x f )}({n x f }{n x }{n x 08数一、二考研题17.设函数,sin 1ln )(-=x x xx f 则( ).(A)(B);;,,08数二考研题)(x f 有一个可去间断点一个跳跃间断点一个可去间断点一个无穷间断点3..(D)(C);.两个无穷跳跃间断点两个跳跃间断点18.当0→x 时,ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小,则( ).(A)61,1-==b a (B)61,1==b a (C)61,1-=-=b a (D)61,1=-=b a ;;;.19.函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点的个数,则( ).(A)3无穷多个(B)(C)21(D) ;;;.09数一、二考研题09数二考研题4..考研真题二)3)0(0)1ln )(2.)(,2)(1.)(20≥=+==+===n fn x x x x f d yy x x y y n x xy阶导数处的在求则所确定由方程设函数填空.((.00数二考研题00数二考研题0,5)(3.的某个邻域内满足关系式它在的连续函数是周期为已知=x x f )(8)sin 1(3)sin 1(α+=--+x x x f x f ,:0)(,0)0(5.)()1,0()(,1)cos )(4..)6(,6()(,1)(,0)(,2可导的充要条件为在点则设处的法线方程为在点则曲线所确定由方程设函数填空处的切线方程在点求曲线处可导在且高阶的无穷小时比是当其中α===-=-===→+(D)(C)(B)(A)x x f f x f y e xy e x f y f x f y x x f x x x y x )(.;cos 1(1lim2存在-→f h h h );sin (1lim 20存在-→h f h h h );)1(1lim 0存在-→e f hh h .)()2([1lim存在-→h f h f hh ]00数二考研题01数二考研题01数一考研题)()1(,1.0,1.01)(,)(7.).()0(,016)(6.22则的线性主部为相应的函数增量时处取得增量在当自变量可导设函数则所确定由方程设函数填空='∆-=∆-===''=-++=(D)(C)(B)(A)f y x x x x f y u f y x xy e x y y y .02数一考研题02数二考研题;1-;1.0;1.5.06,cos 18.求该曲线上对应于已知曲线的极坐标方程是πθθ=-=r 处的.切线与法线的直角坐标方程02数二考研题03数二考研题.______________)1,1()(,ln 2)(9.4处的切线方程是在点则曲线所确定由方程设函数x f y y x xy x f y ==+=.________1ln 10.垂直的切线方程为与直线曲线=+=y x x y 04数一考研题.),2()(),4()(,]2,0[,),()(11.2为常数其中都满足若对任意的上在区间上有定义在设函数+=-=+∞-∞k x kf x f x x x x f x f 04数二考研题;)0,2[)((1)上的表达式在写出-x f5...0)(,(2)处可导在为何值时问=x x f k 13.设,)sin 1(x x y +=则.__________|==πx d y 05数二考研题14.设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)1ln(22t y tt x 确定, 则曲线)(x y y =在3=x 处的法线与x 轴交点的横坐标是( ).(A)32ln 81+;32ln 81+-;32ln 8+-;32ln 8+.(B)(C)(D)05数二考研题12.设函数,||1lim )(3n n n x x f +=∞→则)(x f 在),(+∞-∞内(A) 处处可导;恰有一个不可导点;(C)恰有两个不可导点;至少有三个不可导点.( ).(B)(D)05数一、二考研题15.设函数)(x y y =由方程y xe y -=1确定则,0=x d xd y =.16.设函数)(x g 可微2,1(1),)()(1='='=+g h e x h x g 则(1),,g 等于(1)).((A)13ln -;(B)13ln --;(C)12ln --(D)12ln -.;06数二考研题06数二考研题17.设函数)(x f 在0=x 处连续,下列命题错误的是( ).(A)若xx f x )(lim 0→存在,则0)0(=f ;(C)若xx f x )(lim 0→存在,则)0(f '存在;若xx f x f x )()(lim--→存在,则)0(f '存在.(D)若x x f x f x )()(lim 0-+→存在,则0)0(=f ;(B)07数一、二考研题18.曲线⎩⎨⎧+=+=t y t t x sin 1cos cos 2上对应于4π=t 的点处的法线斜率为________.19.设函数321+=x y ,则=)0()(n y ____________.已知函数)(u f 具有二阶导数,且1)0(='f ,函数)(x y y =由方程20.07数二考研题07数二考研题6..11=--y xey 所确定.设)sin (ln x y f z -=,求.,220==x x d x z d d xd z 07数二考研题21.设函数⎰+=20)2ln()(x d t t x f 则)(x f '的零点个数( ).0;1;(B)2;(C)3(D).(A)22.曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程为_________.24.设),2)(1()(2--=x x x x f 求)(x f '的零点个数(A)0;1;2; 3.( ).(B)(C)(D),08数一考研题08数一、二考研题08数二考研题微分方程0)(2=-+-x d y d x e x y x 的通解是_________.23.08数二考研题25.设)(x y y =是方程1+=+x e xy y 确定的隐函数,则22=x d x y d =________.09数二考研题7..考研真题三时有且是恒大于零的可导函数设b x a x g x f x g x f x g x f <<<'-',0)()()()(,)(),(3.);()()()(x g a f a g x f (B)>);()()()(x g b f b g x f (A)>00数二考研题填空x xx x =+-→.)21ln(arctan lim1.3000数二考研题⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽填空2.曲线的斜渐近线方程为.⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽)(x y =-21e 1/x 00数二考研题则当出其类型求该函数的间断点并指记此极限为求极限.),(,sin sin lim8.sin sin -→x f x txt xx t 01数二考研题)(,1)1()1(,)(,)1,1()(6.)3()1(5.22(A)f f x f x f x x y ='='+---=则且严格单调减内有二阶导数在区间已知函数的拐点个数为曲线δδ;0(A);1(B);2(C).3(D);)()1,1()1,1(x x f <+-内均有和在δδ01数二考研题01数二考研题).((D)(C)(B);)()1,1()1,1(x x f >+-内均有和在δδ;)(,)1,1(,)(,)1,1(x x f x x f >+<-内在内在δδ.)(,)1,1(,)(,)1,1(x x f x x f <+>-内在内在δδ[]成立使存在唯一的内的任一对试证内具二阶连续导数且在设.2/1)(lim (2);)()0()(),1,0()(,0)1,1((1):,0)()1,1()(7.0='+=∈≠-≠''-=→x x x f x f x f x x x f x f y x θθθ01数一考研题).3)(0(0)1ln()(4.)(2n f n x x x x f n ≥=+=阶导数处的在求);()()()(b g b f x g x f (C)>).()()()(a g a f x g x f (D)>00数二考研题少则内具界且可导在设函数,),0()(9.+∞=x f y ;0)(lim ,0)(lim ='=+∞→+∞→x f x f (A)x x 必有时当02数一考研题( ).8...1ln ln 2,011..,,0)0()2()(,0)0(,0)0(0)(10..0)(lim ,)(lim ;0)(lim ,0)(lim ;0)(lim ,)(lim 220<--<+<<→-+≠'≠=='='=='='++++→→→→+∞→+∞→aba b a b b a a b a b a h h f h bf h af f f x x f x f x f (D)x f x f (C)x f x f (B)x x x x x x 证明不等式设试确定高阶的无穷小时是比在若的某个邻域内具有一阶连续导数且在设函数必有存在时当必有时当必有存在时当02数一考研题02数二考研题的值'0)(),()1(>x f b a 内在;;)(2)(,),()2(22⎰=-baf dxx f a b b a ξξξ使内存在点在)2(),()3(b a ηξ使相异的点中内存在与在)(),()(13两个极小值点和一个极大值点一个极小值点和两个极大值点有则内连续在设函数(B)(A)x f x f +-.∞其导,,∞)(03数一考研题数的图形如图所示.2高阶的无穷小是比h 02数二考研题;;三个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点(D)(C)14.03数一考研题;..______=lim 0→x cos x )(ln()1x 2+1Oxy.ln 4ln 44的交点个数与讨论曲线x x y k x y +=+=15.,),(,],[)(b a b a x f 且在开区间上连续在闭区间设函数16.内可导03数二考研题03数二考研题,)2(lim .0)('-->+→ax ax a x f x f 证明：存在若极限,0)0(,0)(12.≠=f x x f 且的某邻域内具有二阶连续导数在设函数)0()3()2()(,0,,,.0)0(,0)0(321321时使得当证明存在唯一的一组实数f h f h f h f h f f -++→≠''≠'λλλλλλ9..).0()()0,((D));0()(),0((C);)0,()((B);),0()((A)( ).,0,0)0(,)(17.f x f x f x f x x f x f f x f >-∈>∈->>'有对任意的有对任意的内单调减少在内单调增加在使得则存在且连续设函数δδδδδ04数一、二考研题).(4ln ln ,18.2222a b e a b e b a e ->-<<<证明设04数一、二考研题.)(2))(('22⎰-=-badx x f a a b f ξξη;)(,)(0;)()0,0(,)(0的拐点是曲线但的极值点不是的拐点不是曲线但的极值点是x f y x f x x f y x f x ====(B)(A))0,0(0;)()0,0(,)(0不是的拐点是曲线且的极值点是x x f y x f x ===(D)(C),)(的极值点x f .)()0,0(的拐点也不是曲线x f y =.13cos 21lim21.30-+→xx x x 求极限()[]04数二考研题._________)(,1313)(19.23取值范围为向上则曲线确定由参数方程设函数x x y y t t y t t x x y =⎩⎨⎧+-=++=04数二考研题|,)1(|)(20.则设x x x f -=( ).04数二考研题凸的22.曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为_________.05数一考研题24.曲线xx y 2/3)1(+=的斜渐近线方程为__________.05数二考研题23.已知函数)(x f 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且.1(1),0)0(==f f 证明:(1) 存在),1,0(∈ξ使得;1)(ξξ-=f (2) 存在两个不同的点),1,0(,∈ζη使得.1)()(=''ζηf f 05数一、二考研题25. 设函数)(x f y 具有二阶导数,且0)(,0)(>''>'x f x f ,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与d y 分别为)(x f 在点0x 处对应的增量与微分,若0>∆x ,则(A)y d x ∆<<0;(B)d y y <∆<0;( ).=06数一考研题(C)0<∆d y y ;(D)0<∆<y d y .<10..26. 设数列}{n x 满足),2,1(sin ,011 ==<<+n x x x n n π(1)证明1lim +n x 存在, 并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→.27. 曲线xx xx y cos 25sin 4-+=的水平渐近线方程为.28.证明:当π<<<b a 0时,a a a a Bb b b ππ++>++cos 2sin cos 2sin .06数一、二考研题06数一、二考研题06二考研题29.曲线)1ln 1x e x y ++=渐近线的条数为( ).(A)0;1;2;3.(B)(C)(D)(07数一、二考研题30.设函数)()(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有二阶导数且存在相等的最大值),()(),()(b g b f a g a f ==证明:存在),(b a ∈ξ使得)()(ξξg f ''=''.,,31.=-→30sin arctan limx xx x .07数一、二考研题07二考研题32.求极限.sin )]sin(sin [sin lim 40x xx x x -→33.)(x f 连续,1)()1()cos(1lim 0=--→x f e xf x x 则._________)0(=f ,34.求函数32)5()(xx x f -=的拐点__________.08数一、二考研题08数二考研题08数二考研题设2)(x 35.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,导,则存在()b a ,∈ξ使得()()a b f a f b f -'=-ξ)()(.证明:若函数)(x f 在0=x 处连续,在()()0,0>δδ内可导,且()A x f x ='+→0lim 则()0+'f 存在,且()A f ='+0.(2),36.曲线⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰--)2ln(22102t t y d ue x tu ,在)0,0(处的切线方程为________ .37.函数x x y 2=在区间]1,0(上的最小值为________.可09数一、二考研题09数二考研题09数二考研题11..38.若)(x f ''不变号,且曲线)(x f y =在点()11上的曲率圆为2,则在(1,内( ).(A)有极值点,无零点(B)无极值点,有零点(C)有极值点,有零点(D)无极值点,无零点,;;;.39.求极限xx x x x 40sin )]tan 1ln()[cos 1(lim+--→.区间2)09数二考研题09数二考研题12..,)()(lim ,1)(lim ,0)(,),0()(13.?,873,.0,,12..1)12(11..arctan :10..)(,)1ln()(ln 9.1100222e x f hx x f x f x f x f r K S x x d xd xe e d x xf xx x f x hh x xx且满足内可导在已知函数问雪堆全部融化需要多少小时小时内融化了其体积的堆在开始融化的的雪已知半径为假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状例常数比成正比其体积融化的速率与半球面面积一个半球体状的雪堆求求不定积分计算设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=>+∞>+++=→+∞→00数二考研题01数一考研题01数二考研题01数二考研题02数二考研题[]:7.:6.:5.:4..)(,ln )(,2ln )1(3.:2.222d x x x x f x x x f =-=-计算不定积分计算不定积分计算不定积分计算不定积分求且设计算不定积分ϕϕ.d x ..d x .d x 94数一考研题95数二考研题96数二考研题96数二考研题97数二考研题98数二考研题考研真题四:1.计算不定积分.32d xe x x 94数二考研题.:8.计算不定积分.d x 99数二考研题13..).(x f 求+.)1(23/2arctan d x x xe x计算不定积分14.03数二考研题.________)(,0)1(,)(15.==='-x f f xe e fx x 则且已知04数一考研题16.求d x.06数二考研题17.计算不定积分).0(11ln >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++x d x x x09数二考研题14..考研真题五2.1.填空填空2)7(2=-+∞+x x d x⎽⎽⎽⎽⎽⎽.2210=-d x x x ⎽⎽⎽⎽⎽⎽.00数一考研题00数二考研题,,0)(3.x f π且上连续在设函数,0)(0=d x x f π,0cos )(0=x d x x f π,)().0(:10,10),(4..0)()(,,),0(2121l D t S t t y x l y x y x D xOy f f 试求左下方部分的面积位于直线表示正方形若及直线平面上有正方形设使内至少存在两个不同的点试证在≥=+≤≤≤≤===ξξξξπ).0()(0x d t t S x ≥00数一考研题00数二考研题[]{});1(2)(2,)1((1),cos )(5.0n x S n n x n n d t t x S x 证时为正整数且当设函数+<≤+<≤=ππ./)(lim (2)x x S x 求+∞→00数二考研题cos )sin (6.22322x d x x x 填空=+-ππ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.01数二考研题).(.)().(,0)0(,,0)(7.2)(0x f e x d t t g x g f x f x x f 求若且其反函数为上可导在设函数==+∞;)((1),0)0(,)0(,)(8.=>-x f f a a a x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式写出上有二阶连续导数在区间设01数二考研题01数二考研题[)[]ln 9.2=∞+xx d xe填空⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.02数一考研题.)(3)(,,(2)3=''--d x x f f a a a a a使上至少存在一点证明在ηη[]cos 12cos 1cos 11lim10.=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n 填空πππ 02数二考研题⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.15..(D)(C),)(11.(B)(A)x f 则下列函数中必为偶函数的是连续设函数;)(20d t t f x ;)(20d tt fx 02数二考研题;)()(0--d t t f t f t x [].)()(0-+d t t f t f t x [].2lim ,,)0,0()(12.2arctan 0==∞→-n nf e y x f y n t x并求极限写出此切线方程处的切线相同在点与已知两曲线02数一考研题.)()(,1001,)1/(,2/32)(13.122的表达式求函数已知函数d tt f x F x x e xe x x x f x x x -=⎩⎨⎧≤≤<≤-++=02数二考研题,tan ,tan 402401(D)(C)(B)(A)d x xxI d x x xI ==则设ππ15.)(.;21I I >>;21I I >>.12I I >>12I I >>03数二考研题11;11d t .)(e eee na d x x a n n n n n n n ( ).1)11)1;1)11)1lim ,114.123/111-+++-++++=--∞→+-则极限设x ;;((((.=23/23/23/A)(C)(B)(D)(.)1(,21)(922ln 2112=+>⎪⎩⎪⎨⎧=+==x t u d x y d t d u u e y t x x y y 所确定由参数方程设函数16.求,03数二考研题( )..,,(D);,,(C);,,(B);,,(A)αγβγαββγαγβα04数一、二考研题( ).,,,tan ,cos 017.3022γβαd tt d t t d t t x x x 则正确的排列次序是使排在后面的是前一个的高阶无穷小排列起来时的无穷小量把==→+16..23.._________1)2(1022=--x x x d x 05数二考研题22.如图, 曲线C 的方程为),(x f y =点(3,2)是它的一个拐点, 直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线, 其交点为(2,4). 设函数)(x f 具有三阶连续导数, 计算积分.)()(302'''+d x x f x x 05数一、二考研题12341234OC l 1l 2y f (x )=yx24.设函数)(x f 连续, 且,0)0(≠f 求极限05数二考研题.)1(ln ;)1ln(2;ln 2;ln ( ).12111lnlim 18.2122121212222+++++∞→d x x d x x x d x x d x nn n nnn 等于 )()()(04数二考研题(D)(C)(B)(A).)()(;)()(,|sin |)(19.2的值域求为周期的周期函数是以证明设x f x f d t t x f x xII I =+ππ04数二考研题.__________120.12=-+∞x x d x 04数二考研题21.设)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数,”“N M ⇔表示M 必要条件是N ,则必有( ).(A))(x F 是偶函数)(x f ⇔是奇函数;(B))(x F 是奇函数)(x f ⇔是偶函数;(C))(x F 是周期函数)(x f ⇔是周期函数;(D))(x F 是单调函数)(x f ⇔是单调函数.”“05数一、二考研题的充分17..)(lim-→x d tt x f x 25.设函数⎪⎩=≠=0,0,sin )(2x a x d t t A x f 在0=x 处连续则,a =.26.广义积分=+∞+022)1(x x d x.27.设)(x f 是奇函数0=x 外处处连续0=x 除,,是其第一类间断点x d t t f 0)(是则,).((A)连续的奇函数(B)连续的偶函数;;(C)在0=x 间断的奇函数(D)在0=x 间断的偶函数.;28.已知曲线L 的方程为),0(4122≥⎩⎨⎧-=+=t tt y t x (1)讨论L 的凹凸性;(2)过点)1,1(-引L 的切线),,(00y x 求切点,并写出切线的方程;积.(3)求此切线与L 对应于0x x ≤及x 轴所围成的平面图形的面(的部分)06数二考研题06数二考研题06数二考研题06数二考研题29.=21131d xe x x ____________.30.如图,连续函数)(x f y =]2,3[--,]3,2[上的图形分别是半径为1的上、,在区间]2,0[],0,2[-的图形分别是直径为2的下、.设=x dt t f x F 0)()(,则下列结论正确的是( ).(A))2(43)3(--=F F ;)2(45)3(F F =;(C))2(43)3(F F =-;(D))2(45)3(--=-F F .(B)下半圆周1231-2-3-O xy上半圆周在区间07数一考研题上07数一、二考研题18..31.设函数),(y x f 连续,则二次积分1sin ),(x d y y x f d x( ).(A)+ππyd x y x f d y arcsin 10),(; -ππyd x y x f d y arcsin 10),(;(C)y d x y x f d arcsin 10),(;y d x y x f d arcsin 10),(.(B)(D)等于设)(x f 是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的单调、,且满足,cos sin sin cos )(0)(01+-=-x x f d t tt tt td t t f其中1-f是f 的反函数,求)(x f .可导函数32.07数二考研题07数二考研题34.曲线方程为)(x f y =函数],0[a 上有连续导数'a d x x f x 0)(( ).(A)曲边梯形ABCD 面积(B)梯形ABCD 面积(C)曲边三角形形ACD 面积(D)三角形ABCD 面积.则定表示;;;,35.求积分d x.x x x -10221arcsin 08数二考研题08数二考研题33.函数)(x f 连续⎰=x d t t f x F 0,)()(证明)(x F 可导且);()(x f x F =',,08数一考研题(1)设(2)是周期为的连续函数证明也是周期为的周期函数)(x f 2,2.⎰=x d t t f x g 0,)()(2⎰-2d t t f 0)(xOxy)(x f y =D )(a B ,0)(a C ,0f ())(a A ,a f ()在区间积分题图34证明积分中值定理(1):36.使下式成立如果函数)(x f 在积分区间],[a b 上连续,则在],[a b 至少存在一个点ξ,:b a.)(d x x f ⎰=)(ξf )(a b ≤)(a b -ξ≤19..>>32,)()2(),1()2(d x x ϕϕϕϕ证明至少存在一点),3,1(∈ξ使得0.)(<''ξϕ(2)已知)(x ϕ有二阶导数且满足⎰08数二考研题,37.设函数)(x f y =在区间[]31-图形如右图所示则函数⎰=x d t t f x F 0)()(为( ).,)(x f O 1-2-123x,)(x F O1-2-123x1-(A))(x F O1-2-123x1-(B))(x F O1-2-123x1-1(C))(x F O1-2-123x1-1(D)38.已知1=⎰+∞∞-d x e xk,则k ________=.39.nx d x e x n sin lim1⎰-∞→________ .上的=09数一、二考研题09数二考研题09数二考研题20..)(,)0(3.)1((3,)1,1()(,)1),()(2.23/2223轴上方的无界图形的面下方位于曲线填空在直角坐标系下曲率公式为值计算之间的弧长于是该抛物线上介于点处的曲率半径上任一点是抛物线设x x xe y y y K d sd d s d M A x s s x y x M x y x x +<≤='+''=-=≥==-ρρρρρ(.∞.01数二考研题02数二考研题?最大体积是多少?转一周所得的旋转体体积最大00数二考研题积是(),.,,,4.当水面与闸门的上端相平所围成下部由二次抛闸门的上部为矩形为对称轴其中直线某闸门的形状与大小如图所示AB ABCD l 欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承lABCD物线与线段时,.,1)0,0(1.222该图形绕为何值时问围成一平面图形的直线与曲线和过坐标原点交于点与设曲线x a ax y A O A x y x a ax y =-=≥>=轴旋点)考研真题六的.20,,02;02,25.?)(,4:52221其中所围成的平面区域直线是由抛物线所围成的平面区域及和直线是由抛物线设米闸门矩形部分的高a a x y x y D y x a x x y D m h <<=======02数二考研题Oxy22x y =1D 2a2D 受的水压力之比为应为和.?(2);;(1)212211试求此最大值取得最大值为何值时试问轴旋转而成的旋转体的体积绕轴旋转而成的旋转体体积绕试求V V a V y D V x D +02数三考研题多少;(1).ln ,ln A D D x x y x y 的面积求平面图形及该切线与曲线的切线过坐标原点作曲线==6.轴围成03数一考研题21..):(?,(2)?,3(1).)20(表示长度单位米注汽锤至多能将桩打进地下多深若击打次数不限可将桩打进地下多深次后汽锤击打桩问m r r <<.)((1).,),(,21,22)(x f y x PQ Q y y x P x f y 的方程求曲线轴平分被且线段轴的交点为处的法线与其上任一点过点设位于第一象限的曲线==9.03数一考研题03数二考研题)(.)(,],0[sin (2)s x f y l l x y 的表示曲线试用上的弧长为在已知曲线==π弧长.(2)V e x D 直线旋转一周所得旋转体的体积绕求=,,,汽锤每次击打需用汽锤将桩打进土层某建筑工程打地基时8.都将.______20),0(7.的一段弧与极轴所围成的图形的面积为变到从则该曲线上相应于设曲线的极坐标方程为πθρθ>=a e a 03数二考研题,.),0,(根据设计方汽锤第一次击打将桩打进地下比例系数为a m k k >成正比要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度克服土层对桩的阻力而作功案.)()(lim(2);)()((1)).(),(),(,.0)0(,0210.t F t S t V t S t F t x t S t V x y t t x x e e y t xx +∞→-==>==+=计算极限的值求处的底面积为在侧面积为其体积为轴旋转一周得一旋转体该曲边梯形绕围成一曲边梯及与直线曲线04数二考研题形11.如图, 1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象, 过点(0,1)曲线3C 是一单调增函数的图象, 过2C 上任一点),(y x M 分别作垂直于x 轴y 轴的直线x l 和.y l 记21,C C 与x l 所围图形的面积为321,);(C C x S 与yl 的和22..所围图形的面积为).(2y S 如果总有),()(21y S x S =求曲线3C 的方程).(y x ψ=05数二考研题11Oyxl C C C y321l xM x y )(,设D 是位于曲线)0,1(2+∞<≤>=-x a a x y ax 下方、x .(Ⅰ)当区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积)(a V ;(Ⅱ)当a 为何值时,)(a V 最小?并求此最小值.界区域12.轴上方的无07数二考研题13.椭球面积1s 是椭圆13422=+y x 绕x 轴旋转而成,圆锥面积2s 是过点(),0,4且与椭圆相切的直线绕x 轴旋转而成.(1)求1s 及2s 的方程13422=+y x ;(2)求1s 与2s 之间的立体体积.09数一考研题23..考研真题七.)())0(,0(,)()0()(;)())0(,0()(;)()0()(;)()0()(( ).,0)0(,)()()(3.).?,.,2000,.,51999.3,6,2.000的拐点也不是曲线点的极值不是的拐点是曲线点极小值是极大值是则且满足方程设函数的浓度是均匀的设湖水中以内湖泊中污染物问至多需要经过多少年污水的浓度不超过限定排入年初起从为了治理污染超过国家规定指标的含量为年底湖中已知的水量为流的污水量为每年排入湖泊内含污染物某湖泊的水量为x f y f x f f D x f y f C x f f B x f f A f x x f x f x f A m A V m A m A V A V A V ==='='+''入湖泊内不含(,0)0(),(2)(),()()(),(7.___.11arcsin )0,21(6..____________,),)cos sin (5..1)(,0:)2();()1(,0)()()(,1)0(,),0[)(4.22121且满足设函数的曲线方程为且满足关系式过点则该方程为线性齐次微分方程的通解为某二阶常系数为任意常数设成立不等式时当证明求导数且满足等式上可导在函数f x f e x g x g x f x g x f x y x y C C x C x C e y x f e x x f d t t f x f x f f x f x x x x =-='='=-+'+=≤≤≥'=-+'=+∞-(00数二考研题00数二考研题00数二考研题01数一考研题01数二考研题流出湖泊的水量为6V ,湖泊中含的含量降至.__________031.的通解为微分方程y y x ='+''00数一考研题/.,)2(;)1().0,21/(,)0),(,8.围成的图形的面积最小以及两坐标轴所使该切线与位于第一象限部分的一条切线求的方程试求曲线经过点且轴上的截距距离恒等于该点处的切线在到坐标原点的其上任意一点是一条平面曲线设L L L L y x y x P L >(01数二考研题.])1()(1)([,2)0(02求d x x x f x x g g +-+=π01数二考研题24...2,1)(),(0)2(.13.( ).)()1ln(,0,0)0()0()(.12..)!3()1()2(2303旋转体体积最小轴旋转一周的轴所围成的平面图形绕以及与直线使得由曲线的一个解求微分方程的极限函数时则当的特解满足初始条是二阶常系数微分方程设的和函数的结果求幂级数利用x x x x x y y x y y d x y x x d y x y x x y y e qy y p y x y y n x x n n=====-++→='==+'+''=∑∞=;)()!3(!9!6!31)()1.11.____________21,10.10396302满足微分方程验证函数是满足初始条件微分方程e y y y x n x x x x x y y y y y y x nx x =+'+''+∞<<-∞++++++=='=='+''== (的特解.)()(,0',),()(的反函数是且内具有二阶导数在设函数==≠+∞-∞=x y y y x x y x y y 14.02数一考研题02数一考研题02数二考研题02数二考研题03数一考研题?,87/3,.0,,9.0问雪堆全部融化需要多少小小时内融化了其体积的的已知半径为假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状比成正比其体积融化的速率与半球面面积一个半球体状的雪堆r K S >例常数雪堆在开始融化的01数二考研题时件;)(不存在A ;2)(等于C .3)(等于D ;1)(等于B .23)0(',0)0((2);)(的解求变换后的微分方程满足初始条件所满足的微分方程变换为===y y x y y )((1)所满足的微分方程试将=y x x 0))sin (322=++d yd xx y d y x d ()(,)('ln 15.y xy x x y y xx y +==的表达式为则的解是微分方程已知ϕϕ25..y)(y x ϕ=yO-22x).,:(.)((2);)(,(1)).,表示时间单位分表示长度单位米注的方程求曲线之间的关系式与写出时刻液面的面积根据假设注入液体前y x y t t ϕϕ=容器内无液体03数二考研题(min /,min /3,.2),()0)(,23的速度均匀扩大液面的面积将以的速率向容器内注入液体时当以根据设计要求容器的底面圆的半径为如图的旋转曲面绕其内侧壁是由曲线有一平底容器m m m y y x πϕ≥=16.(轴旋转而成y ______.)0(02417.222的通解为欧拉方程>=++x y d xd y xd x y d x 04数一考研题/,?,).100.6(,,./700,9000.,,,,,18.6表示千米/小时表示千克注机滑行的最长距离是多少问从着陆点算起比例系数为总阻力与飞机的速度成正比减速伞打开后经测试着陆时的水平速度为的飞机现有一质量为使飞机迅速减速并停下以增大阻力飞机尾在触地的瞬间为了减少滑行距离某种飞机在机场降落时h km kg k h km kg ⨯=部张开减速伞04数一、二考研题.______56|02)(19.13的特解为满足微分方程==-+=x y x d y d x x y 04数二考研题(D)(C)(B)(A)( ).;22x y -;22x y ;22y x -.22y x 03数二考研题飞机所受的飞).(min m .cos (D);sin (C));cos sin ((B));cos sin ((A)( ).sin 120.22222x A c bx ax y x A c bx ax y x B x A c bx ax x y x B x A x c bx ax y x x y y +++=+++=++++=++++=++=+''****的特解形式可设为微分方程04数二考研题21.微分方程x x y y x ln 2=+'满足91(1)-=y 的解为_________.05数一、二考研题26..22.用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程,0)1(2=+'-''-y y x y x 并求其满足2|,1|00='===x x y y 的特解.05数二考研题验证0(1))(=+''uu f ;:)('u f 若0(1)=f 1='f , 求函数)(u f 的表达式(2)(1), .2222=∂∂+∂∂y z x z 24.设函数)(u f 在0∞内具有二阶导数)(22y x f z +=)(,且,系式25.函数x x x xe e C e C y ++=-221满足一个微分方程是( ).(A)x xe y y y 32=-'-''(B)x e y y y 32=-'-'';;(C)x xe y y y 32=-'+''(D)x e y y y 32=-'+''.;23.微分方程xx y y )1(-='的通解是.06数一、二考研题06数一、二考研题06数二考研题满足关26.二阶常系数非齐次线性微分方程xe y y y 2234=+'-''的通解为=y ____________.07数一、二考研题27.求微分方程y y x y '='+'')(2满足初始条件1)1()1(='=y y 的特解.07数二考研题微分方程0=+'y y x 满足条件1)1(=y 的解是=y _________.28.在下列微分方程中321321,,(2sin 2cos C C C x C x C e C y x ++=任意常数为通解的是;044=-'-''+'''y y y y 以( ).(A)(B)29.,)为;044=+'+''+'''y y y y ;044=+'-''-'''y y y y (C)(D).044=-'+''-'''y y y y 08数一考研题08数一、二考研题08数二考研题30.曲线)(x f y =在区间1.)0(=f 对于任意的t 该曲线与直线,0=x =t x 及0=y x 轴旋转一周生成一旋转体其体积为),(t V 侧面积为).(t S 如果)(x f 且,2)()(=t V t S 求曲线)(x f y =,,梯形绕二阶可导[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且∈[0,+∞),的表达式.围成一曲边27..31.若二阶常系数线性齐次微分方程=+'+''by y a y 的通解为()x e x C C y 21+=,则非齐次方程x by y a y =+'+''满足条件00(,2)0(='=y y 的解为=y .)___________32.设非负函数)0)(≥=x x y y 满足微分方程02=+'-''y y x ,当曲线)(x y y =过原点时,其与直线1=x 及0=y 围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.(33.设)(x y y =是区间),(ππ-内过)2,2(ππ-的光滑曲线,当0<<-x π时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤≤-x π时,函数满足0=++'x y y ,求)(x y 的表达式.09数二考研题09数二考研题09数一考研题28...1122112,1,11.都平行且过原点的平面及求与直线z y x t z t y x +=+=⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==考研真题八87数一考研题,11122:,130211:3..1,43,2:)1,2,1(2.21已知两条直线方程垂直的平面方程且与直线求过点zy x L z y x L t z t y t x L M =-=+--=-=-⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=-90数一考研题.(2);012:11111:(1)7..,824),2,3,6(6..00轴旋转一周而成的曲面方程绕直线的方程上的投影在平面直线求此平面方程垂直且与平面设一平面经过原点及点位置关系y L L z y x z y x L z y x =-+-∏-+==-=+--求直线96数一考研题98数一考研题0224:031020123:5.).()]()[(,2)(4.与平面试确定直线求设z y x z y x z y x L a c c b b a c b a =-+-∏⎩⎨⎧=+--=++++⋅+⨯+=⋅⨯95数一考研题95数一考研题.21的平面方程且平行于求过L L 91数一考研题的方程8.点012(到平面0543=++z y x 的距离z =.),,06数一考研题9.函数),(y x f z =的全微分为y d y x d x d z +=,则点(0,0)(A)不是),(y x f 的连续点(B)不是),(y x f 的极值点(C)是),(y x f 的极大值点(D)是),(y x f 的极小值点( ).;;;.09数二考研题29...,,,,1.2yx zg f x y g y x xy f z ∂∂∂+=求具有二阶连具有二阶连续偏导数其中设续导数00数一考研题()(),1)0,0(,3)0,0(,)0,0(),(2.则且的附近有定义在点设函数选择(A)f f y x f y x ='=';3)0,0(d y d x d z+=01数一考研题.)(),(,()(,3,2,1)1,1(,)1,1(),(3.13)1,1()1,1(求且处可微在点设函数x d xd x x f x f x yf xf f y x f z (D)(C)(B)x ==∂∂=∂∂===ϕϕ}1,1,3{)0,0(,0,0(),(的法向量为在点曲面f y x f z =);}3,0,1{0),(的切向量为在点曲线y y x f z ⎩⎨⎧==)0,0(,0,0(f );}1,0,3{0),(的切向量为在点曲线y y x f z ⎩⎨⎧==)0,0(,0,0(f ).).01数一考研题:4),(4.条性质的下面考虑二元函数选择y x f 02数一考研题( ).①;),(),(00处连续在点y x y x f ④③②;),(),(00处的两个偏导数连续在点y x y x f ;),(),(00处可微在点y x y x f ),(),(00处的两个偏导数存在.在点y x y x f 考研真题九.75),(}75),({,,5.2222小山的高度函数为其底部所占的区坐标面取它的底面所在的平面为设有一小山xy y x y x h xy y x y x D xOy +--=≤-+=,.;;;,④①③①④③①②③①③②则有推出性质表示可由性质若用(D)(C)(B)(A)Q P Q P ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒( ).域为30...,),((1)75,,,(2);),(),(?),(,),((1)22000000试确定攀登起点的位置达到最大值的点中的上找出使的边界线要在也就是说为此需要在山脚寻找一上山坡度最大现欲利用此小山开展攀登活动的试写出的方向导数最大在该点沿平面上什么方向问上一点为区域设y x g xy y x D y x g y x g y x h D y x M =-+,的点作为攀登的起点若记此方向导数的最大值为02数一考研题____.0426.22平行的切平面的方程是与平面曲面=-++=z y x y x z ,)0,0(),(7.且的某个领域内连续在点已知函数y x f 03数一考研题03数一考研题.),()0,0(;),()0,0(;),()0,0(;),()0,0(,1)(),(lim2220的极值点是否为根据所给条件无法判断点的极小值点是点的极大值点是点的极值点不是点则y x f (D)y x f (C)y x f (B)y x f (A)y x xyy x f y x =+-→→( )..),(,0182106),(8.222的极值点和极值求确定的函数是由设y x z z z yz y xy x y x z z ==+--+-=04数一考研题__________.3,2),(9.32=∂∂+∂∂+==-yz x z y e z y x z z z x 则确定由方程设函数04数二考研题,),,(10.22f e y x f z xy -=求具有连续二阶偏导数其中设表达式.,,2yx z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂04数二考研题11.设函数,181261),,(222z y x z y x u +++=单位向量},1,1,1{31=n 则.______)3,2,1(=∂∂nu 05数一考研题31..12.设有三元方程,1ln =+-xz e y z xy 根据隐函数存在定理, 存在点的一个邻域, 在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数),(y x z z =;(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z x y y =和),(y x z z =;(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(y x z z =;(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(z x y y =;1)( ).05数一考研题14.已知),(y x f z =的全微分,22y d y x d x d z -=并且.2)1,1(=f 求(f ),y x 在椭圆域}14|),{22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(05数二考研题13.设函数,)()()(),(+-+-++=y x yx d t t y x y x y x u ψϕϕ其中函数ϕ二阶导数, ψ具有一阶导数, 则必有( ).(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂;2222y u x u ∂∂=∂∂;222y uy x u ∂∂=∂∂∂;222x u y x u ∂∂=∂∂∂.具有(B)(C)(D)05数一、二考研题(0,1,(D)若0),(00≠'y x f x 则0),(00≠'y x f y .,(C)若0),(00≠'y x f x 则0),(00='y x f y ;,(B)若0),(00='y x f x 则0),(00≠'y x f y ;,(A)若0),(00='y x f x 则0),(00='y x f x ;,下列选项正确的是( ).,),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点15.设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数0),(≠'y x y ϕ. 已知且,06数一、二考研题16.设),(v u f 为二元可微函数,),(x y y x f z =,则=∂∂xz____________.07数一考研题求函数22222),(y x y x y x f -+=在区域}0,4|),{(22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值.17.18.设),(v u f 是二元可微函数,,,⎭⎫⎝⎛=y xx y f z 则,07数一考研题07数二考研题32..=∂∂-∂∂yz y x z x____________.19.二元函数),(y x f 在点)0,0(处可微的一个充分条件是( ).(A)0)]0,0(),([lim )0,0(),(=-→f y x f y x ;(B),0)0,0()0,(lim=-→x f x f x 且0)0,0(),0(lim 0=-→y f y f y ;(C)0)0,0(),(lim22)0,0(),(=+-→y x f y x f y x ;(D),0)]0,0()0,([lim 0='-'→x x x f x f 且0)]0,0(),0([lim 0='-'→y y y f y f .07数二考研题函数y xy x f arctan ),(=在点)1,0(处的梯度等于( ).i (A)i -(B)j (C)j -(D).20.;;;已知曲线C ,5302222⎩⎨⎧=++=-+z y x z y x 求曲线C 距离XOY .21.面最远点和最近22. 已知,y xx y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛=则._________)2,1(=∂∂x z.24.求函数222z y x u ++=存在约束条件22y x z ==和4=++z y x 的最大和最小值:点下08数一考研题08数一考研题08数二考研题08数二考研题设函数)(x y y =由参数方程+==20)1ln()(t du u y t x x 确定,其中)(t x 是初值问题==-=-0|020t x x te d t d x 的解,求.22d x y d ⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧23.08数二考研题25.设函数()v u f ,具有二阶连续偏导数,),,(xy x f z =则yx z∂∂∂2________.=26.求二元函数()y y y x y x f ln 2),(22++=的极值.27.设函数()y x f ,连续,则09数一考研题09数一考研题。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．D．正确答案：C解析：知识模块：高等数学2．(14年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(x，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故(D)．知识模块：高等数学3．(15年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x) 存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号．因此不是拐点．而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故(C)．知识模块：高等数学4．(16年)已知函数f(x)=，n=1，2，…，则A．x=0是f(x)的第一类间断点．B．x=0是f(x)的第二类间断点．C．f(x)在x=0处连续但不可导．D．f(x)在x=0处可导．正确答案：D解析：f-’(0)=1，由夹逼原理知即f+’(0)=1．故f(x)在x=0处可导，(D)．知识模块：高等数学5．(87年)求正的常数a与b，使等式正确答案：洛必达法则知由于上式右端分子极限为零，而原式极限为1，则b=1．从而有则a=4．涉及知识点：高等数学6．(87年)设f(x)为已知连续函数，I=f(x)dx，其中s＞0，t＞0．则I的值A．依赖于s和t．B．依赖于s，t，x．C．依赖于t和x，不依赖于5．D．依赖于s，不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以(D)．知识模块：高等数学7．(90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=，则F’(x)等于A．一e-xf(e-x)一f(x)B．一e-xf(e-x)+f(x)C．e-xf(e-x)一f(x)D．e-xf(e-x)+f(x)正确答案：A解析：由F(x)=可知F’(x)=一e-xf(e-x)一f(x)故(A)．知识模块：高等数学8．(93年)设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小．知识模块：高等数学9．(93年)双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可用定积分表示为A．B．C．D．正确答案：A解析：设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则所求面积为所以(A)．知识模块：高等数学10．(94年)设M=则有A．N＜P＜M．B．M＜P＜N．C．N＜M＜P．D．P＜M＜N．正确答案：D解析：由被积函数的奇偶性可知M=0因此P＜M＜N，故(D)．知识模块：高等数学11．(96年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：F(x)=x2∫0xf(t)dt—∫0xt2f(t)dtF’(x)=2x[f(t)dt+x2f(x)一x2f(x)=2x∫0xf(t)dt由于=f’(0)≠0，而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以(C)．知识模块：高等数学填空题12．(14年)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x—1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1 知识模块：高等数学13．(16年)设函数f(x)=arctanx一且f’”(0)=1，则a=_____．正确答案：解析：知识模块：高等数学14．(87年)由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成的平面图形的面积是_______．正确答案：解析：令lnx=0，得x=1；令e+1一x=0，得x=e+1；令lnx=e+1一x，得x=e．则所求面积为S=∫1elnxdx+∫ee+1(e+1-xdx= 知识模块：高等数学15．(88年)设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________．正确答案：解析：等式f(t)dt=x两边对x求导，得3x2f(x3一1)=1．令x=2，得知识模块：高等数学16．(89年)设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2∫01f(t)dt，则f(x)=_______．正确答案：x一1．解析：令∫01f(t)dt=a，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入∫01f(t)dt=a，得∫01(t+2a)dt=a，即则f(x)=x一1 知识模块：高等数学17．(93年)函数F(x)=的单调减少区间为_______．正确答案：解析：则F(x)单调减少区间为知识模块：高等数学18．(95年)正确答案：解析：所以知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一-高等数学常微分方程(一)

考研数学一-高等数学常微分方程(一)(总分：178.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.以下可以看作某个二阶微分方程的通解的函数是(A) y=C1x2+C2x+C3． (B) x2+y2=C．(C) y=ln(C1x)+ln(C1sinx)． (D) y=C1sin2x+C2cos2x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由二阶微分方程的通解需含两个任意的独立常数可知，仅(D)符合要求，故应选(D)．2.微分方程y"+2y'+y=3xe-x的特解形式为(A) axe-x． (B) (ax+b)e-x． (C) (ax+b)xe-x． (D) (ax+b)x2e-x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于方程对应的特征方程为λ2+2λ+1=0，故特征根为重根λ1=λ2=-1，方程的非齐次项为Q(x)e-x且Q(x)=3x为一次多项式，因此待定特解的形式为(ax+b)x2e-x．故应选(D)．3.微分方程y"-3y'+2y=3x-2e x的特解形式为(A) (ax+b)e x． (B) (ax+b)xe x．(C) (ax+b)+ce x． (D) (ax+b)+cxe x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于特征方程为λ2-3λ+2=0，所以特征根为λ1=1，λ2=2．从而方程y"-3y'+2y=3x待定特解形式为；方程y"-3y'+2y=-2e x待定特解形式为，是原方程的一个特解，故选(D)．4.微分方程y"+2y'+y=(x+1)e-x+2x+1有一个特解y*形式为(A) y*=x(ax+b)e-x+(cx+d)． (B) y*=(ax+b)e-x+x2(cx+d)．(C) y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)． (D) y*=(ax+b)e-x+x(cx+d)．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 因为特征方程为λ2+2λ+1=0，特征根为重根λ1=λ2=-1，所以对应于非齐次项(x+1)e-x应设特解，对应非齐次项2x+1，再由迭加原理知应设特解y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)，故应选(C)．5.若A，B为非零常数，c1，c2为任意常数，则微分方程y"+k2y=cosx的通解应具有形式(A) c1coskx+c2sinkx+Asinx+Bcosx． (B) c1coskx+c2sinkx+Axsinx．(C) c1coskx+c2sinkx+Axcosx． (D) c1coskx+c2sinkx+Axsinx+Bxcosx．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于对应的齐次方程的通解为c1coskx+c2sinkx．这样需验证的是哪一个是非齐次方程的特解．如果非齐次方程的特解有形式Asinx+Bcosx，说明此时k≠1，经验证可知特解为，即A=0，．而根据题设，A，B均为非零常数，说明它不符合题意，故选项(A)错误．如果k=1，则特解应具有形式Axsinx+Bxcosx，B=0，由此可见，应选(B)．6.设y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C1，C2是任意常数，则此微分方程的通解是(A) C1y1+C2y2+y3． (B) C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．(C) C1y1+C2y2-(C1+C2)y3． (D) C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为y1(x)，y2(x)，y3(x)是线性微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，所以y1-y3和y2-y3都是相应的二阶齐次微分方程的解．由于y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，若令k1(y1-y3)+k2(y2-y3)=0，即 k1y1+k2y2-(k1+k2)y3=0，则必有k1=k2=0，故y1-y3和y2-y3线性无关．所以原方程的通解为y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3，故正确选项为(B)．7.已知y1=xe x+e2x，y2=xe x+e-x是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为(A) y"-y'-2y=e x-2xe x． (B) y"+y'+2y=e x-2xe x．(C) y"-y'-2y=-e x+2xe x． (D) y"+y'+2y=-e x+2xe x．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 因y1-y2=e2x-e-x为对应齐次方程的解，故特征方程为(λ-2)(λ+1)=λ2-λ-2=0，从而对应齐次方程为y"-y'-2y=0．把特解y1代入方程得y"1-y'1-2y1=e x-2xe x，因此所求方程为y"-y'-2y=e x-2xe x．所以应选(A)．8.设y1(x)，y2(x)为二阶常系数齐次线性方程y"+py'+qy=0的两个特解，则c1y1(x)+c2y2(x)(c1，c2为任意常数)是该方程通解的充分必要条件是(A) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)=0． (B) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)≠0．(C) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)=0． (D) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)≠0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据题设，y1(x)与y2(x)应线性无关，也就是说(常数)．反之若这个比值为常数，即y1(x)=λy2(x)，则y1(x)与y2(x)线性相关．由y1(x)=λy2(x)可得：y'1(x)=λy'2(x)，所以y1(x)y'2(x)-y2(x)，y'1(x)=0，因此应选(B)．9.下列结论不正确的是(A) 若已知y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解，则必定可将该方程化为伯努利方程．(B) 若微分方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0有积分因子μ(x，y)，则μ(x，y)必定满足(C) 是微分方程y'+y2=0的解，则y=Cy1也是该方程的解．(D) 方程y"-y'2+2y=0的任何积分曲线在下半平面内不能有拐点．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 对于(A)：设y*是微分方程y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解．令y=z+y*，代入方程化简得z'=[Q(x)+2R(x)y*]z+R(x)z2，这正是伯努利方程，故(A)正确．对于(B)：函数μ=μ(x，y)是微分方程Pdx+Qdy=0的积分因子的充分必要条件是即．故(B)正确．对于(C)不满足方程y'+y2=0，故(C)不正确．对于(D)：用反证法．假设下半平面(y＜0)的点(x0，y0)是积分曲线的拐点，则y"(x0)=0，于是与题设条件矛盾．故(D)正确．综上分析，应选(C)．10.在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是(A) y'"+y"-4y'-4y=0． (B) y'"+y"+4y'+4y=0．(C) y'"-y"-4y'+4y=0． (D) y'"-y"+4y'-4y=0．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：1方程是(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0，因此所求的微分方程是y'"-y"+4y'-4y=0．选(D)．11.具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是(A) y'"-y"-y'+y=0． (B) y'"+y"-y'-y=0．(C) y'"-6y"+11y'-6y=0． (D) y'"-2y"-y'+2y=0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1=r2=-1，r3=1，从而特征方程为(r+1)2(r-1)=0，即r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为y'"+y"-y'-y=0．应选(B)．二、填空题(总题数：22，分数：22.00)12.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 原方程可化为，这是一阶线性微分方程，所以其通解为13.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y(x-1)=Cx）解析：[解析]y(x-1)=Cx．14.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 此微分方程既不是齐次微分方程也不是可分离变量的微分方程．若以y为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x为未知函数的微分方程，即这是以x为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得：15.微分方程2x3y'=y(2x2-y2)的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ 是不为零的任意常数)）解析：[解析] 原方程可改写为，从而是齐次微分方程，令得方程(*)是变量可分离的，其通解为(C是不为零的任意常数)．16.微分方程x3yy'=1-xyy'+y2的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 原方程经整理后化成可分离变量的方程两边积分得17.微分方程3e x tanydx+(1-e x)sec2ydy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：tany=C(e x-1)3）解析：[解析] 在原方程两边同乘以，经分离变量可化为积分得 ln|tany|=3ln|e x-1|+ln|C|，所以方程有通解为tany=C(e x-1)3．18.微分方程(2y-x)dy=ydx的通解是 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y2-xy=C）解析：[解析] 题设方程可变形为2ydy-(xdy+ydx)=0即d(y2-xy)=0，故通解为y2-xy=C．19.y(0)=1的特解为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 方程是齐次微分方程，令，则原方程变为，由此可得方程的通解为，由y(0)=1可得C=1．20.______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为，令，则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原微分方稗的通解为21.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：siny=Ce-x+x-1．）解析：[解析] 因为y'cosy=(siny)'，令u=siny，则原微分方程化为u'+u=x．这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x-1．22.设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性微分方程y"+a(x)y'+b(x)y=f(x)该微分方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]）解析：[解析] 根据线性微分方程解的叠加原理及题中条件知函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)都是原方程所，所以函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)线性无关．根据线性微分方程解的结构知原方程的通解为y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]．23.已知(x-1)y"-xy'+y=0的一个解是y1=x，又知y=e x-(x2+x+1)，y*=-x2-1是(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2的两个解，则此方程的通解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1x+C2e x-x2-1）解析：[解析] 由非齐次方程(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2①的两个特解与y*可得它的相应的齐次方程(x-1)y"-xy'+y=0②的另一特解．事实上 y2=(e x-x)+x=e x也是②的一个解，又e x与x线性无关，因此非齐次方程①的通解为y=C1x+C2e x-x2-1．24.已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是微分方程(x2-2x)y"-(x2-2)y'+(2x-2)y=6x-6的解，则此方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3）解析：[解析] 根据解的结构定理，方程的通解为y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3．25.设二阶线性微分方程y"+p(z)y'+q(x)y=f(x)有三个特解y1=e x，y3=e x+e-x，则该方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为y2-y1，y3-y1是对应的齐次方程的解，代入齐次方程可求得，q(x)=，再将y1代入原方程可得f(x)=e x．．26.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-4y'+7y=0）解析：[解析] 由给定的两个线性无关的特解可知：该二阶常系数线性齐次方程对应的特征方程的特征根为．由根与系数的关系知：相应的特征方程为λ2-4λ+7=0．因此该二阶常系数线性齐次方程为：y"-4y'+7y=0．27.以y=(C1+C2x)e-x+x2e-x(其中C1，C2为任意常数)为通解的微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"+2y'+y=2e-x）解析：[解析] 设所求微分方程为y"+py'+qy=f(x)，其对应的齐次微分方程的特征方程的根为r1=r2=-1，因而特征方程为(r+1)2=0，即r2+2r+1=0，其对应的齐次微分方程为y"+2y'+y=0．非齐次微分方程对应的特解为y*=x2e-x，代入微分方程即得=2e-x．故所求微分方程为y"+2y'+y=2e-x．28.以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-y'-2y=-3sinx-cosx）解析：[解析] 由所给通解知二阶常系数线性微分方程的二特征根分别为λ1=-1与λ2=2，从而特征方程为(λ+1)(λ+2)=0，即λ2-λ-2=0，又方程的非齐次项f(x)=(sinx)"-(sinx)'-2sinx=-sinx-cosx-2sinx=-3sinx-cosx．故以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为y"-y'-2y=-3sinx-cosx．29.微分方程y"+2y'=12x2-10的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x）解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+2λ=0，所以特征根为λ=-2，λ=0．从而对应的齐次方程有二线性无关特解y*1=1与y*2=e-2x．设原方程的一个特解为y*=x(ax2+6x+c)，代入原方程得6ax+2b+2(3ax2+2bx+c)=12x2-10，不难求得：a=2，b=-3，c=-2．故非齐次方程有一个特解y*=2x3-3x2-2x．因此原方程的通解为：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x．30.微分方程y"+4y=cos2x的通解为y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+4=0，它的特征根为λ1，2=±2i．因此对应齐次方程二线性无关的特解为．设原非齐次方程的一个特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x)，代入原方程得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．所以A=0，．因此原方程的通解为．31.微分方程y"-3y'+ay=e-x有一特解为Axe-x，则a=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-4）解析：[解析] 将y=Axe-x代入方程y"-3y'+ay=e-x得A(a+4)xe-x-5Ae-x=e-x．所以a=-4．32.微分方程(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 令P(x，y)=2xsiny+3x2y，Q(x，y)=x3+x2cosy+y2，则它们在整个平面上都有一阶连续偏导数，且，故方程是全微分方程，它的通解为33.已知，及相应的齐次方程，分别有特解则方程满足y(0)=1的特解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为由y(0)=1C=-1．因此特解为三、解答题(总题数：29，分数：145.00)34.求微分方程xy'=y(1+lny-lnx)的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程可变形为，是一阶齐次微分方程．令，则原方程变为(*)(*)是变量可分离的微分方程，分离变量得．上式两端求不定积分得u=e Cx．从而原方程的通解为y=xe Cx．)解析：35.求微分方程(1+y2)dx+(x-arctany)dy=0的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程可变形为，这是一阶线性微分方程，其通解为)解析：36.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程两边同除以x，得当x＞0时，这是齐次微分方程．作变换，有，即．解之，得arcsinu=lnCx．再以代回，便得原方程的通解：，即y=xsin(lncx)．)解析：37.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程变形为，是齐次微分方程．令，则，两边积分得所以有即代回即得原方程通解为)解析：38.设求微分方程y(0)=0的连续解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当0≤x≤1时，微分方程为，这是一阶线性微分方程，通解为y=C1e-x+2；当x＞1时，微分方程为，这是变量可分离的微分方程，通解为y=C2e-x．根据y(x)的连续性知：，所以C2=C1+2e．故原方程的通解为由于y(0)=0，所以C=-2，故满足条件的特解为)解析：39.求微分方程y"-2y'-3y=3x+1+e-x+sin2x的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将方程右端作变形，得(1)特征方程λ2-2λ-3=0，特征根λ1=-1，λ2=3，则相应齐次微分方程通解(2)求原方程一个特解y*．因为有特解=ax+b；y"-2y'-3y=e-x有特解有特解=dcos2x+esin2x，所以其中a，b，c，d，e为待定系数．将y*代入原方程得待定系数于是(3)原方程通解为)解析：40.求微分方程y"+4y'+4y=cos2x满足条件y(0)=y'(0)=0的特解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先求方程对应的齐次方程的通解．特征方程为λ2+4λ+4=0，特征根为λ1=λ2=-2，所以对应的齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-2x．再求原方程的一个特解．设y*=acos2x+bsin2x是原方程的一个特解，代入原方程得：a=0，，因此是原方程的一个特解．从而原方程的通解为．又因为y(0)=y'(0)=0，代入通解可得C1=0，．所以满足初始条件的特解为)解析：41.求微分方程y"+4y=3|sinx|在[-π，π]（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当-π≤x≤0时，方程为y"+4y=-3sinx，可求得该方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x-sinx．当0＜x≤1T时，方程为y"+4y=3sinx，可求得此方程的通解为y=C3cos2x+C4sin2x+sinx．由于方程的解y(x)及其导函数y'(x)都在分段点x=0处连续，所以从而C1=C3，C2=C4+1．故原方程通解为又因为因此所求特解为)解析：42.求常数a，b，c，d的值，使得微分方程y"+ay'+by=(cx+d)e2x有一个解是y=e x+x2e2x．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将y=e x+x2e2x代入原方程得(1+a+b)e x+[2+(8+2a)x+(4+2a+b)x2]e2x≡(cx+d)e2x，从而)解析：43.求微分方程3y'-ysecx=y4tanx的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是伯努利方程．令z=y-3，于是原方程化为一阶线性方程上述方程的通解为因此原方程的通解为)解析：44.已知方程(6y+x2y2)dx+(8x+x3y)dy=0的两边乘以y3f(x)后便成为全微分方程，试求出可导函数f(x)，并解此微分方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(设P(x，y)=(6y4+x2y5)f(x)，Q(x，y)=(8xy3+x3y4)f(x)，由得(8y3+3x3y4)f(x)+(8xy3+x3y4)f'(x)=(24y2+5x2y4)f(x)．消去y3得 16f(x)-8xf'(x)+y[2x2f(x)-x3f'(x)]=0，有且全微分方程为(6y4+x2y5)C1x2dx+(8xy2+x3y4)C1x2dy=0，故微分方程的通解为 10x3y4+x5y5=C．)解析：45.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(这是欧拉方程，令x=±e t即t=ln|x|，方程变成(*)特征方程λ2+2λ+1=0，特征根λ1=λ2=-1．(*)的通解为y=e-t(C1t+C2)．因此，原方程的通解为，C1，C2常数．)解析：46.设f(x)在(-∞，+∞)上满足对任意x，y恒有f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，又f(x)在x=0处可导，且f'(0)=1，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由于对任意x∈(-∞，+∞)，由于f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，所以f(0)=0，因此=2f(x)+f'(0)cosx=2f(x)+cosx．从而得到f(x)满足的微分方程f'(x)-2f(x)=cosx．这是一阶线性微分方程，其通解为记所以从而．由f(0)=0，可得，所以)解析：47.设函数f(x)在[0，+∞)上可导，且f(1)=3，若f(x)的反函数g(x)满足求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限定积分的方程，两端对x求导得因为f(x)与g(x)互为反函数，所以gf(u)]=u，从而上式变为令x=e t-1，且f'(t)=e t-1，积分得f(t)=e t-1+C．由f(1)=3可得C=2，故f(x)=e x-1+2．)解析：48.设f(x)f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限积分的方程，且被积函数中含有参变量，所以应首先去掉被积函数中的参变量，化为被积函数中不含参变量的情况．令x-t=u，原方程变为，即．将以上方程求导两次可转化为微分方程为f"(x)=2+f(x)且f(1)=0，f'(1)=0．方程f"(x)=2+f(x)的通解为f(x)=C1e-x+C2e x-2．由f(1)=0，f'(1)=0可得：C1=e，C2=e-1．因此f(x)=e1-x+e x-1-2．) 解析：49.若y(x)是[0，1]上的连续可微函数，且满足条件求y(x)的表达式．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原方程两边关于x求导两次，得到分离变量后再积分，得．因为函数y(x)在点x=0处右连续，则所以方程的通解为将初始条件y(1)=2代入，得C=2e，故所求函数为)解析：50.设函数f(x)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足求f(t)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令x=rcosθ，r=sinθ，由可得所以f'(t)=4πt3f(t)+4t3，且f(0)=0，即，且f(0)=0．因此，将，f(0)=0代入可得C=0)解析：51.设函数u的全微分du=[e x+f'(x)]ydx+f'(x)dy，其中f在(-∞，+∞)内具有二阶连续的导数，且f(0)=4，f'(0)=3，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(，且由于f有二阶连续的导数，则u，即f"(x)-f'(x)=e x．方程的通解为 f(x)=C1+C2e x+xe x，由条件f(0)=4，f'(0)=3求得C1=2，C2=2．因而 f(x)=2+(2+x)e x．)解析：52.设f(x)在区间[0，+∞)上连续，且，求证：微分方程x→+∞时都趋于1．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是一阶非齐次线性微分方程，其通解为因为，所以存在X＞0，当x＞X时，．因此当x＞X时，．于是)解析：53.设f(x)二阶连续可导，且f(0)=0，f'(0)=1，求u(x，y)，使du=y[f(x)+3e2x]dx+f'(x)dy．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(，由Pdx+Qdy是u(x，y)的全微分知：，从而f"(x)-f(x)=3e2x，解此微分方程得f(x)=-e x+e2x．于是)解析：54.设当x＞0时，f(x)存在一阶连续导数，且f'+(0)存在，并设对于半空间x＞0内的任意光滑封闭曲面∑，恒有求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(根据高斯公式可得即 f(x)+xf'(x)-y+f(x)+2yz+y-2yz-x2=0，解得：．由于f'+(0)存在，所以C=0．)解析：55.作变换t=tanx y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于，，解之得：y=(C1+C2t)e-t+t-2．故原方程的通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2．)解析：56.若一曲线上任一点M(x，y)处的切线斜率为，且过点，求此曲线方程．又当x取何值时，．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(所求曲线方程为如下齐次微分方程定解问题的特解令，方程可化为，其通解为从而原方程的通解为，由得，故所求曲线方程为欲使即，解得y=x，代入曲线方程程得，即当时，切终斜率为1/4．)解析：57.在xOy平面的第一象限求一曲线，使由其上任一点P处的切线，x轴与线段OP所同成的三角形的面积为常数k，且曲线通过点(1，1)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设P点坐标为(x，y)，曲线方程为y=y(x)，该曲线在点P的切线方程为Y-y=y'(X-x)，它与x轴交点Q坐标为，从而所围成三角形的面积为这是以x为未知函数，并以y．由初始条件y(1)=1，可确定C=1-k，于是所求曲线为xy=(1-k)y2+k．)解析：58.对任意实数x＞0，设曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y[0，x2]上的平均值，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(25，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f'(x)(X-x)，它在y轴上的截距等于f(x)-f'(x)x．由题设可得：，即．上式两端求导数可得-x3f"(x)一2x2J。

文登考研数学--线性代数--习题集及其答案

第一章行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解. a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为a 12a 21a 33a 44.2. 排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.解. 排列i 1i 2…i n 可经过1 + 2 + … + (n －1) = n(n －1)/2 次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1. 3. 在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”. 4. 在函数xx x xxx f 21112)(---=中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察234222x x xx x x+-=--. 所以x 3前的系数为2.5. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 010100=---abb a.解. 0)(11010022=+-=--=---b a ab ba abb a. 所以a = b = 0.6. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.解.nn n n a a a a a a a a 2211212221110=7. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二．计算证明题1. 设4322321143113151||-=A计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ?, 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解. A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+ =62103202061=-- 2. 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解. 111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起，)1(2)1(1201201121--=--------n n n n n n n列每列加第 3. 计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥ 2).解. 当2>nn x x x n x x x nx x x D n n n n ++++++=222222111+n x x nx x nx x n n ++++++ 2121212211=nx x x x n x x x x nx x x x n n nn++++++33322221111+nx x x nx x x nx x x n n n++++++ 323232222111+n x x x n x x x nx x x n n n ++++++313131222111+n x x nx x nx x n n ++++++ 3213213212211=－n x x x nx x x n x x x n n n ++++++ 313131222111=－nx x x n x x x nx x x n n n+++ 111222111－nx x nx x n x x n n+++ 3131312211= 0当2=n2122112121x x x x x x -=++++4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: ||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.5. 试证: 如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n + 1个不同的x 值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x 0, x 1, …, x n . 将它们代入多项式, 得关于C i 方程组 00010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………010=++n n n n x C x C C系数行列式为x 0, x 1, …, x n 的范德蒙行列式, 不为0. 所以010====n C C C6. 设).(',62321)(232x F xx x x x xx F 求=解. x x x x x x x F 620321)(232==x x x x x x 3103211222=x x x x x x 310201222=xx x x x 3102101222=32220021012x xx x x x =26)('x x F =第二章矩阵一. 填空题1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A | = 2, |B | = 3, 则|A －3B | = ______. 解. βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2. 若对任意n ×1矩阵X , 均有AX = 0, 则A = ______.解. 假设[]m A αα 1=, αi 是A 的列向量. 对于j = 1, 2, …, m , 令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X , 第j 个元素不为0. 所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j = 1, 2, …, m ). 所以A = 0.3. 设A 为m 阶方阵, 存在非零的m ×n 矩阵B , 使AB = 0的充分必要条件是______.解. 由AB = 0, 而且B 为非零矩阵, 所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量, 满足Ab j = 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A | = 0;反之: 若|A | = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B , 满足AB = 0. 所以, AB = 0的充分必要条件是|A | = 0.4. 设A 为n 阶矩阵, 存在两个不相等的n 阶矩阵B , C , 使AB = AC 的充分条件是______. 解. 0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5. []42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = ______.解. []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a212221212111421216. 设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则= ______. 解. =2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633 + ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0212 21||*1==-B B B⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--11210 7. 设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则= ______.解. 由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+. 所以0|3||2|||≠-=+E E A A , 于是A 可逆. 由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A A E A +-==++--8. 设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解. =2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208, =+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100510161041)3(1E A)9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200010102 9. 设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3342122111131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110. 设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A , 则A 的逆矩阵1-A = ______.解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CAB A BC A －⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019 所以 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A二. 单项选择题1. 设A 、B 为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P , 使B AP P =-1 (C) 存在可逆矩阵C , 使B AC C T= (D) 存在可逆矩阵P 和Q , 使B PAQ = 解. 因为A 可逆, 存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,. 因为B 可逆, 存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以 A A AQ P = B B BQ P . 于是B Q AQ P P B A A B =--11令 A B P P P 1-=, 1-=B A Q Q Q . (D)是答案.2. 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于 (A) 12||||)2(--B A n(B) 1||||)2(--B A n (C) ||||2B A T - (D) 1||||2--B A解. 121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T. (A)是答案. 3. 设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆. (B) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆. (C) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆. (D) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆. 解. 若A 、B 均可逆, 则111)(---=A B AB . (B)是答案.4. 设n 维向量)21,0,,0,21( =α, 矩阵ααTE A -=, ααTE B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D) ααTE +解. AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E - + 2ααT －2ααT ααT= E . )21(=ααT(C)是答案.5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P , 设有P 2P 1A = B , 则P 2 =(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001 (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101 (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101 解. P 1A 表示互换A 的第一、二行. B 表示A 先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P 2 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案. 6. 设A 为n 阶可逆矩阵, 则(－A )*等于(A) －A * (B) A * (C) (－1)n A * (D) (－1)n －1A * 解. (－A )* =*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--. (D)是答案. 7. 设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥ 2), A *是A 的伴随矩阵, 则 (A) A A A n 1**||)(-= (B) A A A n 1**||)(+= (C) A A A n 2**||)(-= (D) A A A n 2**||)(+=解. 1*||-=A A AA A A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8. 设A 为m ×n 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 矩阵A 的秩为r 1, 矩阵B = AC 的秩为r , 则 (A) r > r 1 (B) r < r 1 (C) r = r 1 (D) r 与r 1的关系依C 而定解. n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,, 所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥= 又因为 1-=BC A , 于是r n C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111 所以 r r =1. (C)是答案.9. 设A 、B 都是n 阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A 和B 的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n , 一个等于n (D) 都等于n解. 若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则, 矛盾. 所以 n A r <)(. 同理n B r <)(. (B)是答案.三. 计算证明题1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B . 求: i. AB －BA ii. A 2－B 2 iii. B T A T 解. =-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641, =-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652. 求下列矩阵的逆矩阵i. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1 ii. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos αααα iii. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000 iv .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025解. i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000100001000011111111111111111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------10010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------110000110210210*********2200110011→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11000021210210210210212200110010100101→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1111002121021021021210400110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----41414141002121021021021210100110010101001⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 , ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1. 由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111000B A B A 得到: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100cos sin 0sin cos 1ααααA iii. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101. 由矩阵分块求逆公式: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001Aiv . 由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A得到: ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3. 已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα. 其中T)2,2,1(1=α, T )1,2,2(2-=α, T )2,1,2(3--=α. 试求矩阵A .解. 由本题的条件知: =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4. k 取什么值时, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆, 并求其逆. 解. 011100001||≠=-=k kA→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011kkA 5. 设A 是n 阶方阵, 且有自然数m , 使(E + A )m = 0, 则A 可逆. 解. 因为 0)(1=+==+∑∑==mi i im mi iimmA c E A cA E 所以 ∑=-=-mi i imE A cA 11)(. 所以A 可逆.6. 设B 为可逆矩阵, A 是与B 同阶方阵, 且满足A 2 + AB + B 2 = 0, 证明A 和A + B 都是可逆矩阵. 解. 因为022=++B AB A , 所以2)(B B A A -=+. 因为B 可逆, 所以0||)1(||22≠-=-B B n所以 0|||)(|2≠-=+B B A A . 所以B A A +,都可逆. 7. 若A , B 都是n 阶方阵, 且E + AB 可逆, 则E + BA 也可逆, 且 A AB E B E BA E 11)()(--+-=+解. A AB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+ =A AB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+ =E BA BA E =-+ 所以 A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8. 设A , B 都是n 阶方阵, 已知|B | ≠ 0, A －E 可逆, 且(A －E )－1 = (B －E )T , 求证A 可逆.解. 因为(A －E )－1 = (B －E )T , 所以(A －E )(B －E )T = E所以 E E B E B A TT=+--)(, TT B E B A =-)(由 |B | ≠ 0 知11)(--T B B ，存在. 所以 E B E B A TT=--1))((. 所以A 可逆.9. 设A , B , A + B 为n 阶正交矩阵, 试证: (A + B )－1 = A －1 + B －1.解. 因为A , B , A + B 为正交矩阵, 所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以 111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T10. 设A , B 都是n 阶方阵, 试证明:||E AB BEE A -=. 解. 因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E BE B E E A E A E E E 0000所以ABE B E B E E A E A E EE -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E B E B EE A n n --=-=⋅⋅-因为 n n )1()1(2-=-, 所以||E AB BEE A -=11. 设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k Bi. 试计算|E +AB |, 并指出A 中元素满足什么条件时, E + AB 可逆;ii. 当E + AB 可逆时, 试证明(E + AB )－1A 为对称矩阵.解. i. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 0000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka , 2341||kla AB E -=+ 所以当 2341a kl≠时, E + AB 可逆. ii. 11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E因为A , B 为实对称矩阵, 所以B A +-1为实对称矩阵, 所以(E + AB )－1A 为对称矩阵.12. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A , 求A n . 解. 使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222221020010100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ 假设 k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000则 1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k kk k kk k k k λλλλλλ 所以 n A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---n n n n n nn n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013. A 是n 阶方阵, 满足A m = E , 其中m 是正整数, E 为n 阶单位矩阵. 今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替,得到的矩阵记为A 0. 证明E A m=0.解. 因为A m = E , 所以1||=mA , 所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A所以 E E A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i. 证明: n ≥ 3时, E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii. 求A 100.解. i. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A = 所以 E A A A -+=-2233 假设 E A A A k k -+=-22则 =-+=-+A A A A k k 311A E A A A k --++-21=E A A k -+-+221）（所以 E A A A n n -+=-22 ii. =-+=E A A A 298100E A E A A4950222296-==-+-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10500150001 15. 当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时, A 6 = E . 求A 11. 解. 121232321||=-=A , 所以 ==-||*1A AA ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为 1112116--===EA A A A E A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116. 已知A , B 是n 阶方阵, 且满足A 2 = A , B 2 = B , 与(A －B )2 = A + B , 试证: AB = BA = 0. 解. 因为(A －B )2 = A + B , 所以 ))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=- 于是 2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-, 所以 BA AB =B A B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为 A 2 = A , B 2 = B , 所以 2AB = 0, 所以0==BA AB .第三章向量一. 填空题1. 设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk , 则k = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关. 解. 考察行列式110213118110521300001118215213000211142kkk-----=-----=-----316102038++-+--=k k = 13k +5 = 0. 135-=k 2. 设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα, 则t = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关. 解. 考察行列式424335550424333555100004230335211012---=----=----t t t t 0603020306020=--+++-=t t . 所以对任何t , α1, α2, α3, α4线性相关.3. 当k = ______时, 向量β = (1, k , 5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα 线性表示. 解. 考察行列式,012513211=--k 得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是21,,ααβ线性相关. 显然21,αα线性无关,所以β可用21,αα线性表示.4. 已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα, 则秩(α1, α2, α3, α4) = ______. 解. 将α1, α2, α3, α4表示成矩阵→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---13114152031210211201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21102550211002201201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------211052110211001101201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→2052000200001101201. 所以 r (α1, α2, α3, α4) = 3 5. 设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A , 则秩(A) = ______.解. →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631711614040921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550755110140800921 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→3510151011751015100921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→4100040300045000815100921所以 r (A ) = 3.6. 已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT矩阵A = α·β, 则秩(A ) = ______.解. A = α·β = ()→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-402020100000201020102101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0020000000002010所以 r (A ) = 1.7. 已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα, 且秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______.解. A = (α1, α2, α3, α4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 654654354324321 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=16630642032104321t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=7000000032104321t所以当t = 7时, r (A ) = 2.二. 单项选择题1. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是 (A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3 (C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1解. 由 0)()()(133322211=-+-+-ααααααk k k 得 0)()()(323212131=-+-+-αααk k k k k k因为向量组α1, α2, α3线性无关, 所以得关于321,,k k k 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131k k k k k k321,,k k k 的系数行列式为 01111011101=-=---. 所以321,,k k k 有非零解, 所以α1－α2, α2－α3, α3－α1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵A m ×n 的秩为R (A ) = m < n , E m 为m 阶单位矩阵, 下列结论正确的是 (A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零(C) 若矩阵B 满足BA = 0, 则B = 0 (D) A 通过行初等变换, 必可以化为(E m , 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A 变成(E m , 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为 BA = 0, 所以 0)()()()()(B r m m B r m A r B r BA r =-+=-+≥=. 所以)(B r = 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): TT T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组 (II):T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ, 则(A) (I)相关⇒(II)相关 (B) (I)无关⇒(II)无关 (C) (II)无关⇒(I)无关 (B) (I)无关⇔ (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案. 4. 设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关 (C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2 线性表示解. 因为β, α1, α2线性相关, 所以β, α1, α2, α3线性相关. 又因为β, α2, α3线性无关, 所以α1可用β, α2, α3线性表示. (C)是答案.5. 设A , B 是n 阶方阵, 且秩(A ) = 秩(B ), 则(A) 秩(A －B ) = 0 (B) 秩(A + B ) = 2秩(A) (C) 秩(A －B ) = 2秩(A) (D) 秩(A + B ) ≤秩(A ) + 秩(B )解. (A) 取B A ≠且|A | ≠ 0, |B | ≠ 0则A －B ≠ 0, 则r (A －B ) ≠ 0. 排除(A);(B) 取A =－B ≠ 0, 则秩(A + B ) ≠ 2秩(A); (C) 取A = B ≠ 0, 则秩(A －B ) ≠ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B ) ≤秩(A ) + 秩(B ). 所以(D)是答案.三. 计算证明题1. 设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时i. β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一; ii. β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一; iii. β不能由α1, α2, α3线性表示.解. )1(22221111112-=-=k k k k kki. 10≠≠k k 且时, α1, α2, α3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一; ii. 当k = 1 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121111111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* . 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一; iii. 当0=k 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→011011100101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100011100101 .系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以β不能由α1, α2, α3线性表示.2. 设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问 i. α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论; ii. α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论解. i. α1不一定能由α2, α3线性表出. 反例: T)1,1(1=α, T )0,1(2=α, T )0,2(3=α. 向量组α1, α2, α3线性相关, 但α1不能由α2, α3线性表出;ii. α4不一定能由α1, α2, α3线性表出. 反例: T )0,0,2(1=α, T )0,0,1(2=α, T )0,1,0(3=α, T)1,0,0(4=α. α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, α4不能由α1, α2, α3线性表出.3. 已知m 个向量α1, α2, …αm 线性相关, 但其中任意m －1个都线性无关, 证明: i. 如果存在等式k 1α1 + k 2α2 + … + k m αm = 0则这些系数k 1, k 2, …k m 或者全为零, 或者全不为零; ii. 如果存在两个等式k 1α1 + k 2α2 + … + k m αm = 0 l 1α1 + l 2α2 + … + l m αm = 0 其中l 1 ≠ 0, 则mm l k l k l k === 2211. 解. i. 假设k 1α1 + k 2α2 + … + k m αm = 0, 如果某个k i = 0. 则k 1α1 +…+ k i －1αi －1 + k i+1αi+1 … + k m αm = 0因为任意m －1个都线性无关, 所以k 1, k 2, …k i －1, k i+1, …, k m 都等于0, 即这些系数k 1, k 2, …k m 或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l 1 ≠ 0, 所以l 1, l 2, …l m 全不为零. 所以 m m l l l l ααα12121---= .代入第一式得: 0)(2212121=+++---m m m m k k l l l l k αααα 即 0)()(1122112=+-+++-m m m k k l l k k l l αα 所以 02112=+-k k l l , …, 011=+-m m k k l l 即mm l k l k l k === 2211 4. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a , b , c 满足什么条件a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1线性相关. 解. 假设 0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k 得 0)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k因为 α1, α2, α3线性无关, 得方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式 010110=---cb a时, 321,k k k 有非零解. 所以 1=abc 时, a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1线性相关.5. 设A 是n 阶矩阵, 若存在正整数k , 使线性方程组A k x = 0有解向量α, 且A k －1α ≠ 0, 证明: 向量组α, A α, ⋯, A k －1α是线性无关的.解. 假设 01110=+++--αααk k A a A a a . 二边乘以1-k A 得 010=-αk A a , 00=a由 0111=++--ααk k A a A a . 二边乘以1-k A 得011=-αk A a , 01=a ………………………………最后可得 011=--αk k A a , 01=-k a所以向量组α, A α, ⋯, A k －1α是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. )3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii. ).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα解. 解. i. →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------3763245113122141→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------34180039031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3200320031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→000032003192141所以 321,,ααα是极大线性无关组. 由 3322114ααααk k k ++= 得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-+323924332321k k k k k k 解得 2331-==k k , 212=k所以 3214232123αααα-+-= ii. →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1001424527121203121301→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220101103133021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220313301011021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→04000010001011021301所以 421,,ααα是极大线性无关组. 由 4322115ααααk k k ++= 得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401233231k k k k k 解得 21=k , 12=k , 03=k所以 421502αααα++= 由 4322113ααααk k k ++= 得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401333231k k k k k 解得 31=k , 12=k , 03=k所以 421303αααα++=7. 已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x yyy x y y y x A , 讨论秩(A)的情形. 解. i. 0==y x , 0)(=A rii. 0,00,0=≠≠=y x y x 或, 3)(=A r iii. 0≠=y x , 1)(=A r iv . 0≠-=y x , 3)(=A r iv . y x y x ±≠≠≠,0,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x yy y xA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→2222x xyxy xy x xy y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2222222200y x y xy y xy y x y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→y x yy y x y y x00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→)2(00y x x yy x yy x 所以, 当 y x 2-=时, 2)(=A r ; 当y x 2-≠时, 3)(=A r 8. 设三阶矩阵A 满足A 2 = E(E 为单位矩阵), 但A ≠ ± E , 试证明:(秩(A －E )－1)(秩(A + E )－1) = 0 解. 由第十一题知3)()(=-++E A r E A r又因为 A ≠ ± E , 所以 0)(≠+E A r , 0)(≠-E A r 所以 )(E A r +, )(E A r -中有一个为1所以 (秩(A －E )－1)(秩(A + E )－1) = 09. 设A 为n 阶方阵, 且A 2 = A , 证明: 若A 的秩为r , 则A －E 的秩为n －r , 其中E 是n 阶单位矩阵. 解. 因为 A 2 = A , 所以 0)(=-E A A 所以 n E A r A r E A A r --+≥-=)()())((0 所以 n E A r A r ≤-+)()(又因为 n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()()()( 所以 n E A r A r =-+)()(. 所以 r n E A r -=-)(10. 设A 为n 阶方阵, 证明: 如果A 2 = E , 则秩(A + E ) + 秩(A －E ) = n.解. 因为 A 2 = E , 所以 ))((0E A E A +-=所以 n E A r E A r E A E A r --++≥-+=)()()))(((0 所以 n E A r E A r ≤-++)()(又因为 n E r A E E A r A E r E A r E A r E A r ==-++≥-++=-++)2()()()()()( 所以 n E A r E A r =-++)()(.第四章线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组A m ×n x = 0中, 若秩(A) = k 且η1, η2, …, ηr 是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.解. k n r -=, 当n k =时, 方程组只有零解.2. 若n 元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r , 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.解. 假设该方程组为A m ×n x = b, 矩阵的秩r A r =)(.当n r =, 方程组有惟一解; 当n r <, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解, 则k 应满足的条件是______.解. 03011211≠k k , 53,0623≠≠--+k k k k 时, 方程组只有零解.4. 设A 为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A *x = 0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解. 因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r , 所以0)(*=A r , A *x = 0的基础解系所含解向量的个数为4－0 = 4.5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A , 则A x = 0的通解为______. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=000110101110110121112011121A 2)(=A r , 基础解系所含解向量个数为3－2=1.⎩⎨⎧=-=-003231x x x x , 取1,1123===x x x 则. 基础解系为(1, 1, 1)T .A x = 0的通解为k (1, 1, 1)T , k 为任意常数.6. 设α1, α2, …αs 是非齐次线性方程组A x = b 的解, 若C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs 也是A x = b 的一个解, 则C 1 + C 2 + … + C s = ______.解. 因为A b A i 且,=α(C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs ) = b, 所以b b C C s =++)(1 , 11=++s C C . 7. 方程组A x = 0以TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解. 方程组A x = 0的基础解系为TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη, 所以2)(=-A r n , 即2)(3=-A r , )(A r = 1.所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A , 假设),,(1312111a a a =α. 由 01=ηA , 得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a 由 02=ηA , 得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a 取 2,1,0111213-===a a a 得. 所以)1,1,2(1-=α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数). 8. 设A x = b, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A , 则使方程组有解的所有b 是______. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A , 0511221321||≠=-=A , 所以)(A r = 3.因为 A x = b 有解, 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b , 其中321,,k k k 为任意常数.9. 设A, B 为三阶方阵, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B , 且已知存在三阶方阵X , 使得B AX =, 则k = ___________.解. 由题设 B X A =⨯⨯3333, 又因为0110121211||=-=A , 所以0||||||==X A B , 即0266411202314=+--=--k k k, 2-=k .二. 单项选择题1. 要使ξ1 = (1, 0, 1)T , ξ2 = (－2, 0, 1)T 都是线性方程组0=Ax 的解, 只要系数矩阵A 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321 (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010 (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010 解. 因为21,ξξ的对应分量不成比例, 所以21,ξξ线性无关. 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A , 3)(,0112213321||=≠=A r A . 因为A 是三阶矩阵, 所以0=Ax 只有零解, 排除(A);(B) 2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A . 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－1)(=A r . 排除(B);(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A , 2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r . 排除(C); (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020010A , 1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－2)(=A r , (D)是答案.2. 设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成 (A) 321,,ξξξ的一个等阶向量组 (B) 321,,ξξξ的一个等秩向量组(C) 321211,,ξξξξξξ+++ (C) 133221,,ξξξξξξ--- 解. 由 0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k , 得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ. 因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 所以321,,ξξξ线性无关. 于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k , 所以0321===k k k , 则321211,,ξξξξξξ+++线性无关. 它也可以是方程组的基础解系. (C)是答案.(A) 不是答案. 例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价, 但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系. 3. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C) b Ax =有解 (D) 当0≠x 时, 0≠Ax , 其中Tn x x x ),,(1 = 解. 对(A), (B): 反例 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A , 不可逆; 对于(C) 假设A 为n ×n 矩阵, A 为A 的增广矩阵. 当n A r A r <=)()(时, b Ax =有无穷多解, 但A 不可逆; (D) 是答案, 证明如下: 当0≠x 时, 0≠Ax , 说明0=Ax 只有零解. 所以1,0||-≠A A 存在. 4. 设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r , 则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 ( A ) n r = ( B ) n r ≥ ( C ) n r < ( D ) n r > 解. ( C )为答案.5. 设n m A ⨯为矩阵, m n B ⨯为矩阵, 则线性方程组0)(=x AB ( A ) 当m n >时仅有零解. ( B ) 当m n >时必有非零解. ( C ) 当n m >时仅有零解. ( D ) 当n m >时必有非零解.解. 因为AB 矩阵为m m ⨯方阵, 所以未知数个数为m 个. 又因为n A r AB r ≤≤)()(, 所以,当n m >时,m n A r AB r <≤≤)()(, 即系数矩阵的秩小于未知数个数, 所以方程组有非零解. ( D )为答案.6. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A , 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量解. 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为 0*≠A , 所以 1)(-≥n A r ; 又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解, 所以 bAx =。

文登考研数学--高数--习题集及其答案

第一章函数·极限·连续一. 填空题 1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ϕϕ则定义域为___________.解.21)(sin )]([x x x f -==ϕϕ, )1arcsin()(2x x -=ϕ1112≤-≤-x , 2||,202≤≤≤x x2．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a taxx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e=a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2.3.⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n nn n n n n n +++++++++22221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n 所以 n n n n +++++221 <n n n n n n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n 212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =214. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1. 5.)3(lim n n n n n --+∞→=_______.解.nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n6. 设当x bxaxe xf xx 为时++-=→11)(,0的3阶无穷小, 则.___________,==b a解.3030301lim )1(1lim 11limx ax bxe e bx x ax bxe e x bx axe k xx x x x x x x --+=+--+=++-=→→→203lim x abxe be e x x x x -++=→ ( 1 )2062lim x bxe be e x x x x ++=→ ( 2 )由( 1 ): 01)(lim 0=-+=-++→a b a bxe be e x x x x 由( 2 ):021)2(lim 0=+=++→b bxe be e x x x x21,21=-=a b7.⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______. 解.616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x 8. 已知A n n n kkn =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______. 解.A kn n n n n k n k k n =+=---∞→∞→119901990lim )1(lim 所以 k －1=1990, k = 1991; 1991111===k A A k ，二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点解. (a) 反例 ⎩⎨⎧=01)(x ϕ 1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1(b) 反例⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1 (c) 反例 ⎩⎨⎧=01)(x ϕ 1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1(d) 反设 g(x ) =)()(x f x ϕ在(－∞, +∞)内连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(－∞, +∞)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数x e x x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案. 3. 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界(a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c ) (1, 2) (d) (2, 3) 解. 42sin )0(,42sin )0(,)(lim ,)(lim1-=-=+∞=∞=→→f f x f x f x x 所以在(－1, 0)中有界, (a) 为答案.4. 当11211,1---→x e x x x 函数时的极限 (a) 等于2 (b) 等于0 (c ) 为∞ (d) 不存在, 但不为∞解. ⎩⎨⎧-→+→∞+=+=---→-→0101)1(lim 11lim 1111121x x e x e x x x x x x . (d)为答案.5. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案. 6. 设8)1()1()1(lim502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 =502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim xx x ax x x x +++∞→ =5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 7. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531(d) 均不对解. (c)为答案. 8. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解.x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim 0+=+→x x x , 所以(b)为答案. 9. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.10. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =－4c, 所以(d)为答案.三. 计算题 1. 求下列极限(1)xxx e x 1)(lim ++∞→解.e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xx x =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim(2)x x xx )1cos 2(sinlim +∞→ 解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee yy yy yy y y y ==+-+→→(3)310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→3)sin 1(sin tan sin tan sin 10sin 1sin tan 1lim x x xx xx xx x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==30sin tan lim x xx x e -→=3)cos 1(sin limxx x x e-→=212sin 2sin lim32eexx x x =⋅→.2. 求下列极限(1)323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时,331~)11ln(--+x x ,323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x(2)⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 解. 方法1：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x x x x x x x x x →→++-=21122cos 2sin cos 4cos 2lim 220+++-→x x x x x x x =2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x=3232lim 440=→x xx 3. 求下列极限 (1))1(ln lim-∞→nn n nn解.n nn n n nn n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x (2)nxnxn e e --∞→+-11lim解.⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3)nn n n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0解.nnnn b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lima b c n x /,/1== xc xxx x x ae ca 2ln )1ln(lim 10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c c c x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim0 4. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解. 20200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('xx dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+ 0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xxx x x x320200)cos 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→-06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x xx x x x 所以0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.5. 求下列函数的间断点并判别类型(1)1212)(11+-=xxx f解.11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x x x x x f π 00>≤x x解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;11sinlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点;)2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→x x x k x cos 2)2(lim2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e xx x f 1sin )( 00≤>x x 在x = 0处的连续性.解. 当0≤α时)1sin (lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且 a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使nn c c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以xx f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 11. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0. 12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f x x x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→. 解.0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f x x x x x . 所以0)(3sin lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为 0)(3sin lim 20=+→xx f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033cos 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim3)(lim x x x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→=2923sin 3lim 0=→x x x02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x由293)(lim 20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章导数与微分一. 填空题 1 . 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.解. )('31)()(lim 0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf =所以31=k 2. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e yx 确定, 则=dxdy______. 解.0sin )'()'1(=+-++xy xy y y e y x , 所以xyx e e xy y y yx yx sin sin '--=++3. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______.解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =-所以k x f x f =-=)(')('004. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +5. xx x f +-=11)(, 则)()(x fn = _______. 解.1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f 6. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解.x x x f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x xf -=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫⎝⎛x f 7. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy= 8. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y e yx . 所以切线斜率2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为 x y 211=-, 即 x －2y + 2 = 0.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是(a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([! 解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以)()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x f n =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a(c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab解. b =0)0()(lim )0('0--=→x f x f f x =)1('1)1(1)1(1lim 0f ax f a x f a x =-+→, 所以=)1('f ab. (d)是答案注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导.3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.⎩⎨⎧=3324)(xx x f00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x 24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, x dyy x ∆-∆→∆0lim等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆x x o x dy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=b ax xx x f 1sin )(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(lim 1sinlim 020b ax x x x x +=-+→→, 所以b = 0.)0(')0('-+=f f , x ax xx x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案.三. 计算题 1.')]310ln[cos(2y x y ，求+=解.)310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x x x y +-=+⋅+-= 2. 已知f(u)可导,')][ln(2y x a x f y ，求++=解.='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a x x a x x a x f =22)][ln('xa x a x f +++3. 已知20sin cos 22y tdt dt e x yt +=⎰⎰, 求'y .解.22cos '2cos 2'2y yy x x y e y +=22cos 2cos 2'2yy ex x y y -=4. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctanln22=+确定的, 求'y . 解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+='四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=c bx ax x f x F 2)()( 0>≤x x 二阶可导. 解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 00x F x F x x +-→→=, 所以c = f (－0) = f (0);因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b =)0(')0('f f =-, 且⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x)0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以)0(''21f a =五. 已知)0(1)()(22n f xx x f ，求-=. 解.xx x f +⋅+-⋅+-=112111211)(11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n nn n x x n x f0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, …!)0(2n f k =, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n xn n x n x x n x x x f =121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n x n n所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n第三章一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x xx 11ln 112解.=-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 21 2.c x x x xd x x dx x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x xx x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解.c x x x xd x x dx x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.⎰+)1(8x x dx解. 方法一: 令tx 1=,c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 =c x +⎪⎭⎫⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878 =c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 815．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1⎰⎰⎰+++++--=dx x x dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121xd x x x x ⎰++++-=c xx x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121二. 求下列不定积分: 1.⎰+++22)1(22x x x dx解.⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰t t t dtsec tan cos 22=⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 22 2.⎰+241xxdx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dtxxdx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224=c x x x x+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-23211313.⎰++221)12(xxdx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++tt d dt t t t dt t t t x x dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12(=c xx c t ++=+21arctansin arctan4.⎰-222x a dx x (a > 0)解. 令t a x sin =⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dxx 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222=c x a a x a x a +⎪⎭⎫⎝⎛--2222arcsin 25.⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt tt dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432=⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83=c tt t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6.⎰-dx xx 421 解. 令tx 1=⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx xx 224224211111u t sin =令⎰-udu u 2cos sin=c xx c u +-=+33233)1(cos 31 7.⎰-+dx x xx 1122解. 令tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x xx sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222c xx x+-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1.⎰+-+dx e e e e x x xx 1243解.⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e xx x x x x x x x x x x x x )arctan(1)()(11222243 2.⎰+)41(2x x dx解. 令x t2=, 2ln t dtdx =c tt dt t tt t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x 1005)2(解.⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x xc x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(959697989923452.⎰+41xxdx解.⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令c x x c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分: 1.⎰xdx x 2cos 解.⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22 ⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412 c x x x x +++=2cos 812sin 41412 2.⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec3=⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan secc x x x x xdx +++=⎰|tan sec |ln 21tan sec 21sec 33.⎰dx x x 23)(ln解.⎰⎰⎰+-=-=dx x x x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx x x x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(lnc xx x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 234.⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln∴c x x xdx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln5.⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x xx dx xxx 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222六. 求下列不定积分:1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln(解.⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(x dx x dx x x x x=⎰+⋅---++dx x x x x x 222211112111)1ln(21t x tan =令 tdt tt x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰ =dt t tx x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln(=⎰---++t td x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c tt x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22=c xx xx x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(2222 2.⎰+dx xx x 21arctan解.⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx x x x xd dx xx x 2222211arctan 11arctan 1arctan =c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 122223.⎰dx e e x x2arctan解.dx e e e e e de e dx e e x x x xx x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctandx e e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x x x )1(121arctan 2122c x e e e dx e e e e e x x x xx x x x +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-xe x x x x xf )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(. 解.⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dxx x dx x f x )32()3)1ln(()(22⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x c x x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x 八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令t x e t x ln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)(=c x a b x b a x+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1.⎰++dx x xx )32(332解.⎰⎰+=+=++++c x d dx x xx xx xx 3ln 3)3(3)32(332332222.⎰-+-dx x x x)13()523(232解.)523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x xc x x ++-=252)523(513.dx xx x ⎰+++221)1ln(解.⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4.⎰+++++)11ln()11(222x x xxdx解.c x x xd x x xxdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十. 求下列不定积分: 1.⎰+dx x x x )1(arctan 2解.⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令 c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122c xx x x x aex +++++-=22141arctan 411tan 21 2.⎰+dx x x1arcsin解. 令t x t xx2tan ,1arcsin==+则⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t tdt t t t d t dx xxtan tan tan tan tan 1arcsin2222c x xx x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3.⎰-+⋅dxx x x x 22211arcsin解.⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t tx dx x x x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令 ⎰⎰⎰+++-=+-=c t tdt t t dt t tdt t 221cot cot cotc t t t t +++-=221|sin |ln cotc x x x x x +++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin4.dx x x x⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cotc x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十一. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x 234 解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令c t t td dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x x a x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xaa a x c at t a +--=+-=arccos tan 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos4. ⎰-dx xa xx2 (a > 0)解.⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8 =⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222=c t t a t t a t a+--cos sin 2cos sin 333222=c axa a x a xa a x a a x a a x a+----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a+-+-)2(232arcsin32十二. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u u u du u u |22|ln 2211)211(22c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112. ⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2tan 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt=c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343. ⎰+dx x x xx cos sin cos sin解.⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin =⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十三. 求下列不定积分: 1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x +--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e x x 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e xx x x x )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c ee e c t t t x x x +-++=+--=1arccos )1ln(|tan sec |ln 23.dx x x x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x ttan sec 2,sec ,1tan ,1arctan 22==-=-=⎰⎰⎰⎰-===--dt tt t dt t t dt t t t t t dx x x x 22222cos cos 12tan 2tan sec 2sec tan 1arctan 1 ⎰⎰⎰⎰--=-=-=222tan 2tan 2tan 22cos 2t dt t t t t t d t dt t dt ttc t t t t +-+=2|cos |ln 2tan 2c x x x x +-----=2)1(arctan ||ln 1arctan 12第三章一元函数积分学(定积分)一．若f(x)在[a ，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有0)()(=Φ⎰badx x x f , 则f(x) ≡ 0.证明: 假设f(ξ)≠ 0, a < ξ < b, 不妨假设f(ξ) > 0. 因为f(x)在[a ，b]上连续, 所以存在δ > 0, 使得在[ξ－δ, ξ + δ]上f(x) > 0. 令m =)(minx f x δξδξ+≤≤-. 按以下方法定义[a ，b]上Φ(x): 在[ξ－δ, ξ + δ]上Φ(x) =22)(ξδ--x , 其它地方Φ(x) = 0. 所以02)()()()(2>≥Φ=Φ⎰⎰+-πδδξδξmdx x x f dx x x f ba .和0)()(=Φ⎰badx x x f 矛盾. 所以f(x) ≡ 0.二. 设λ为任意实数, 证明:⎰+=20)(tan 11πλdx x I =4)(cot 1120ππλ=+⎰dx x . 证明: 先证:4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+2)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f令 t =x -2π, 所以=+⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰-+02)()(sin )(cos )(cos πt d t f t f t f= =+⎰20)(sin )(cos )(cos πdt t f t f t f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f于是=+⎰20)(cos )(sin )(sin 2πdx x f x f x f ++⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f=2)(cos )(sin )(cos )(sin 2020πππ==++⎰⎰dx dx x f x f x f x f所以4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+20)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f .所以⎰+=20)(tan 11πλdx x I 4)(sin )(cos )(cos cos sin 11220ππλλλπλ=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰x x x dx x x同理 4)(cot 112ππλ=+=⎰dx x I .三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y 都有|f(x)－f(y)| < M |x －y|, 证明n Mn k f n dx x f n k 21)(110≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰= 证明:∑⎰⎰=-=nk n kn k dx x f dx x f 111)()(,=∑=n k nkf n 1)(1dx nk f nk n kn k ∑⎰=-11)(。

考研高数历年真题答案解析

考研高数历年真题答案解析高等数学是考研数学一科目中的核心内容，也是备考过程中最重要的一部分。

为了更好地帮助考生提升高数考试的能力，本文将针对考研高数历年真题中的几道典型题目进行答案解析和讲解。

1. 题目一：已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-3, 1)$ 上连续，则函数 $F(x) = \int_{-3}^{x} \frac{f(t)}{t^2+5} dt$ 的连续点个数为几个？解析：根据题目中的条件，函数 $f(x)$ 在区间 $(-3, 1)$ 上连续，可以得出 $f(x)$ 在 $(-3, 1)$ 区间上的任意一点都存在极限。

那么 $F(x)$ 在 $(-3, 1)$ 区间上是连续的。

2. 题目二：设 $f(x)$ 为函数 $y = e^x$ 在点 $(1, e)$ 处的切线，则曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程为？解析：题目中要求给出函数 $y = f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程。

由题设可知，函数 $f(x)$ 在点 $(1, e)$ 处的切线方程为 $y = e^{x-1} + e$。

那么我们可以利用求导的方法得到函数$f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程。

首先求导：$f'(x) = e^x$，然后代入 $x = 2$，得到切线的斜率为 $f'(2) = e^2$。

由于切线经过点 $(2, ?)$，我们可以利用点斜式方程计算出切线方程为 $y - e= e^2(x - 2)$。

因此，曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程为 $y = e^2(x - 2) + e$。

通过以上两道题目的解析和讲解，我们可以看到高等数学在考研数学中的重要性和应用性。

不仅需要熟练记忆和理解相关公式和定理，还需要通过大量的实战训练和真题练习来提高解题能力。

在备考过程中，考生需要注重对真题的解析和讲解，深入理解题目的考点和解题的思路，培养灵活运用数学知识的能力。

高等数学基础习题集(含答案)

sin x
,则 f ( x ) 是（
）（C）周期函数（D）单调函数
（B）无界函数
【解题思路】把函数看成三个分函数，该指数函数无奇偶性， x 为非周期函数， tan x 无严格单调性. 【详解】 f ( x ) x tan x e
sin x
中， tan x 无界，另负无穷到正无穷都能取到，故整体无界.
n
7、已知极限 lim
x a
f ( x) f (a) 存在，则 lim f ( x) 是否存在？若存在，为多少？ x a xa f ( x) f (a) 0 中，分母趋向于 0，而此极限存在，故只能为型，因此分 xa 0
x a x a
【解题思路】考虑极限的类型. 2、设 f ( x) 0, 1,
x 1, x 1, g ( x ) e x ，求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] ，并作出这两个函数的图形. x 1,
x
x x 【解题思路】求 f [ g ( x)] 时，中间变量为 g ( x ) e ，利用函数 y e 的单调性质，考虑 e
【解题思路】利用数列的单调有界准则. 先求出 a2 , a3 ，易猜测数列是单调递减的，故只需证有下界即可. 【详解】由已知条件易得 an 0 ，利用基本不等式可得， an+1 = (an + 有下界；又因为 an +1 an = 限 lim an 存在. 证毕.
x a
子也以 0 为极限，故 lim f ( x) f (a) 0 ，所以 lim f ( x) 存在，为 f (a) .
1 2 ex sin x 8、极限 lim 2 x 0 1 e x ln(1 x)

考研高等数学真题及答案解析

考研高等数学真题及答案解析高等数学作为考研数学科目中的一部分，是一门相对较难的学科。

在考前复习过程中，做真题是非常重要的一步。

通过做真题，可以了解考点，熟悉考试形式，并锻炼解题能力。

本文将对考研高等数学真题及答案进行解析，帮助考生加深对高等数学知识的理解。

第一道题目是关于向量的问题。

题目如下：已知向量a = (1,2), b = (3,4)，求向量a + b的模长。

答案是√52。

解析：首先，根据向量的定义，向量a + b等于向量a的横纵坐标分别加上向量b的横纵坐标，即(1+3, 2+4)，得到向量c = (4, 6)。

接下来，根据向量的模长公式，向量c的模长等于√(4^2+6^2)，即√52。

这道题目主要考察了向量的加法和模长的相关知识。

通过计算过程可以看出，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

而向量的模长就是向量各个分量的平方和的平方根。

掌握了这些基本知识，就可以解答这类题目。

第二道题目是极限问题。

题目如下：求lim(x→0) ((sinx)/x)的值。

答案是1。

解析：这道题目是一个常见的极限问题。

根据极限的定义，当x趋向于0时，((sinx)/x)的极限等于1。

这是因为当x趋向于0时，函数sinx也趋向于0，而分子分母同时趋向于0，所以极限等于1。

这道题目涉及到极限的概念和性质。

在解答这类题目时，可以先观察函数的特点，然后运用极限的定义和基本性质进行推导。

熟练掌握这些概念和方法，可以迅速解决类似的问题。

第三道题目是微分问题。

题目如下：设函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果它在点x = 1处的切线斜率为3，求常数a和b的值。

答案是a=4，b=-3。

解析：根据微分的定义，函数在某点的导数等于该点切线的斜率。

对函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b求导，即求得一阶导数dy/dx = 6x^2 - 6x + 2a。

将x=1代入得到导数的值，即3 = 6 - 6 + 2a，解得a=4。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．B．一3x(1+x2)．C．D．正确答案：A解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)．知识模块：高等数学4．(96年)4阶行列式的值等于A．a1a2a3a4一b1b2b3b4B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)正确答案：D解析：按第1行展开所求行列式D4，得=(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．知识模块：线性代数5．(14年)行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+be(ad一bc)=一(ad一bc)2 知识模块：线性代数6．(87年)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于A．aB．C．an+1D．an正确答案：C解析：由AA*=|A|E两端取行列式，得|A||A*|=|A|n，因|A|=a≠0，得|A*|=|A|n-1=an-1．知识模块：线性代数7．(91年)设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即BCA=E．知识模块：线性代数填空题8．(06年)微分方程的通解是______．正确答案：y=Cxe-x．解析：ln|y|=ln|x|—x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x则y=Cxe-x．知识模块：高等数学9．(07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1e2+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2—4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学10．(08年)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学11．(09年)若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_______．正确答案：y=一xex+x+2．解析：由于y=(C1+C2x)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y’=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学12．(11年)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：e-xsinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e-∫dx[∫e-xcosx.e∫dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学13．(12年)若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_______。

专升本考研高数试题及答案

专升本考研高数试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知曲线y=x^2与直线y=4x-5相切于点P(a,b)，则a的值为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 53. 设f(x)=2x-1，g(x)=x^2+1，若f(g(x))=3x^2+x，则x的值为（）。

A. 0B. 1C. -2D. 24. 曲线y=x^3在点M(1,1)处的切线斜率为（）。

A. 0B. 1C. 3D. 25. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π]上的值域是（）。

A. [-1,1]B. [0,√2]C. [√2,2]D. [-√2,0]6. 已知等差数列{an}的前n项和为S(n)，若S(5)=50，a(3)=10，则a(1)的值为（）。

A. 2B. 4C. 6D. 87. 若f(x)=x^2+bx+c，且f(1)=f(3)，则f(-1)的值为（）。

A. -1B. 1C. 3D. 58. 设等比数列{bn}的首项为b1=3，公比为q=2，若b(5)=48，则b(3)的值为（）。

A. 6B. 12C. 24D. 489. 函数y=ln(x)的图像关于直线x=1对称，那么y=e^x的图像关于直线（）对称。

A. x=0B. x=1C. x=eD. x=ln(e)10. 若函数f(x)=x^2-4x+4，g(x)=x^2-4x+13，且f(x)-g(x)=-9，则x 的值为（）。

A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点为x0，则f'(x0)=______。

12. 设数列{an}的通项公式为an=3n-2，若Sn是其前n项和，则S5=______。

13. 已知曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程为y-(-1)=m(x-2)，则m的值为______。

文登复习指南答案 ★★★★★

高等数学习题一1．填空题⑴设，则常数__[解答]由题意可得即⑵__[解答]且又由夹逼原则可得原式⑶已知极限，则[解答]当时，由可得原式同理可得故原式⑷已知则__[解答] 原式⑸已知函数则__[解答] 又所以⑹__[解答] 原式⑺设函数有连续的导函数，，,若在处连续，则常数＿[解答]⑻设当时，=为的阶无穷小，则[解答]由此可得，⑼__[解答] 原式⑽已知，则＿，＿[解答] =若极限存在则得故2．选择题⑴设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则必有间断点必有间断点必有间断点必有间断点[解答]若连续，则也连续，与题设矛盾，所以应该选.⑵设函数则是偶函数无界函数周期函数单调函数[解答]因为，所以，又为无界函数，当任意给定一正数，都存在时，使得，于是，故为无界函数，所以应该选.⑶当时，函数的极限是等于等于为不存在但不为[解答]所以应该选.⑷若函数在处连续，则的值是[解答] ，则，所以应该选.⑸极限的值是不存在[解答] 原式，所以应该选.⑹设则值是均不对[解答] 原式解得所以应该选.⑺设则的值为，，，均不对[解答] 原式，由可得，所以应该选.⑻设则当时，是的等价无穷小与是同阶但非等价无穷小是比较低阶的无穷小是比较高阶无穷小[解答] 原式，所以应该选.⑼设则的值是[解答] 若原式极限存在，当时，由可得，所以应该选.⑽设其中则必有[解答] 原式可得，所以应该选.3．计算题⑴求下列极限①[解答] 原式②[解答] 原式③[解答] 原式④[解答] 原式又所以原极限⑵求下列极限①[解答] 原式②[解答] 原式1③[解答] 原式⑶求下列极限①[解答] 原式()②[解答] 原式③[解答] 原式④[解答] 原式且＞＞又，故由夹逼原则知原式⑤[解答] 当时，原式当时，原式当时，原式⑥其中[解答] 原式()4．设试讨论在处的连续性和可导性.[解答] ⑴由于是在处连续.⑵分别求在处的左、右导数所以在处连续且可导. 5．求下列函数的间断点并判别类型.①[解答] 为函数的间断点又所以为函数第一类跳跃间断点.②[解答] 当时，当时，当时，即，所以为函数第一类间断点.③[解答] 当时，所以为第一类跳跃间断点.当时，不存在，所以为第二类间断点.当时，所以为第一类可去间断点.当时，所以为第二类无穷间断点.6．试确定常数的值，使极限存在，并求该极限值.[解答] 原式存在由可得，即则原式同理由可得，即所以原式7．设，且是的可去间断点，求的值.[解答] 存在，由可得.原式存在，同理由可得.8．设求的值.[解答] 原式()由可得原式，即9．讨论函数在处的连续性.[解答] 当时，所以若时，在连续.若时，在为第一类跳跃间断点.当时，是的第二类间断点.10．设在的某邻域内二阶可导，且求及[解答]由可得所以第二章一、填空题7．设，则__[解答] 原式所以8．已知，则__[解答] 原式即令，则9．设为可导函数，，则__[解答] 原式10．设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为__[解答] 两边求导将代入可得故所求的方程为二．选择题1．设可导，，则是在处可导的充分必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件既非充分又非必要条件[解答]若在处可导，即，所以应该选.2．设是连续函数，且，则[解答] ，所以应该选.3．已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是[解答] ，由数学归纳法可得，所以应该选.4．设函数对任意均满足，且，其中为非零常数，则在处不可导在处可导，且在处可导，且在处可导，且[解答] ，故应选.7．设在处可导，则为任意常数为任意常数[解答] 由在连续可得由在可导得则，所以应该选.8．设，则在处可导的充要条件为存在存在存在存在[解答] 当时，～，则等价于，所以应该选.9．设函数在上可导，则当时，必有当时，必有当时，必有当时，必有[解答] 若设时，均错误，若设时，错误，故选.10．设函数在处可导，则函数在处不可导的充分条件是且且且且[解答] 令，由导数定义可得若，由的连续性及保号性可得，此时若，同理可得.故若不存在，则若，且，设，由于所以当时，，时，则故不存在，所以应该选.三．计算题1．，求.[解答]2．已知可导，，求.[解答]3．已知，求.[解答] 等式两边对求导可得化简可得4．设的函数是由方程确定的，求. [解答] 等式两边对求导可得化简得5．已知，求.[解答]6．设，求.[解答] 等式两边对求导可得可得又所以7．设函数二阶可导，，且，求.[解答]8．设曲线由方程组确定，求该曲线在处的曲率.[解答]，则四．已知，其中有二阶连续的导数，且⑴确定的值，使在点连续；⑵求.[解答] ⑴即当时，在处连续.⑵当时，有当时，由导数的定义有五．已知当时，有定义且二阶可导，问为何值时是二阶可导.[解答] 在处连续则即在处一阶可导，则有此时，在处二阶可导，则有六．已知，求.[解答]又在处的麦克劳林级数展开式为通过比较可得，当时，当时，七．设，求.[解答] ,,,通过递推公式可得当时，八．证明满足方程证明：化简可得得证.第三章1．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答] 原式⑶[解答] 原式⑷[解答] 原式⑸[解答] 设原式2．求下列不定积分.⑴[解答] 设原式⑵[解答] 设，原式⑶[解答] 设原式⑷[解答] 原式⑸[解答] 设原式⑹[解答] 设，则原式⑺[解答] 设，原式3．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答] 设，则原式4．求下列不定积分.⑴[解答] 设，原式⑵[解答] 设，原式5．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答]所以⑶[解答] 原式⑷[解答] 原式移项得⑸[解答] 原式6．求下列不定积分.⑴[解答] 原式再求设，则原式==所以原式⑵[解答] 设原式⑶[解答] 设原式7．设，求[解答] 当时当时因为在处连续，可得，所以8．设，(为不同时为零的常数)，求.[解答] 设，，则又所以即9．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答] 原式⑶[解答] 原式⑷[解答] 原式10．设当时，连续，求[解答] 原式11．设，求.[解答] 设，则所以12．求下列不定积分.⑴[解答] 设原式⑵[解答] 设原式⑶[解答] 设原式⑷[解答] 设原式13．下列不定积分.⑴[解答] 设原式⑵[解答] 设原式⑶[解答] 设，则原式⑷[解答] 设，原式14．求下列不定积分.⑴[解答] 原式⑵[解答] 原式⑶[解答] 原式15．求下列不定积分.⑴[解答] 设原式⑵[解答] 设原式⑶[解答] 设原式习题四（1）1．若在上连续，证明：对于任意选定的连续函数，均有则在上，证明：假设在上存在使得，令，由于在上连在上，使得.续，故存在又令则结论与题设矛盾，故假设不成立.2．设为任意实数，证明：证明：设，则所以即，得证.已知在连续，对任意都有证明：3．证明：在连续,则，又所以1．设为大于的正整数，证明：.证明：=即若，则于是这与推论矛盾，所以若，则于是这与推论矛盾，所以综上所述，有.1．设在上连续，且单调减少，，证明：对于满足的任何，，有证明：由积分中值定律有又，且单调递减，故当时，所以即2．设在上二阶可导，且证明：证明：由泰勒公式有又，则两边积分可得7．设在上连续，且单调不增，证明：任给，有证明：，所以又，，单调不增，当时，所以8．设在上具有连续的二阶导数，且，证明：在内存在一点，使证明：由泰勒公式有，其中具有二阶导数，设最大值为，最小值为，即则即，由介值定理可得，至少存在一点，使得即，得证.9．设连续，证明：证明：设，则10．设在上连续，在内存在且可积，，证明：证明: 由，可得，其中。

高数考研真题及答案

高数考研真题及答案考研是很多学子们为了继续深造而迈出的大步，而高数作为考研数学科目中的重点，是许多考生们的难点和挑战。

为了帮助考生更好地备战高数考试，本文将提供一些高数考研真题及答案，供考生们参考和复习。

一、选择题1. 已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x + 4，求其在 x = 2 处的导数。

A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解析：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 3x² - 6x + 2，将 x = 2 代入f'(x)，得到 f'(2) = 3(2)² - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2，故选 C。

2. 设数列 {an} 的通项公式为 an = 1/(2^n)，则该数列的收敛性为：A. 收敛B. 发散C. 无法判断答案：A解析：当 n 趋向于无穷大时，2^n 无穷大，所以 an = 1/(2^n) 趋向于0，故该数列收敛，选 A。

二、填空题1. 设 f(x) = 2x^2 - kx + 5，若 f(x) 恰有一个实根，则 k 的取值范围为______。

答案：[-5, 5]解析：对于 f(x) 恰有一个实根的情况，根据韦达定理可知Δ = k^2 -4ac = 0，即 k^2 - 4(2)(5) = 0，解得k = ±√40，故 k 的取值范围为 [-√40, √40]，约化后得到 [-5, 5]。

2. 设二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中 D 为x^2 + y^2 ≤ 4 的区域，求该二重积分的值为______。

答案：16π解析：将二重积分转换为极坐标形式，即∬D (x^2 + y^2) dxdy = ∫[0,2π] ∫[0, 2] (r^2)rdrdθ，计算积分得 16π。

三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的驻点和拐点。

高数历年考研真题答案

高数历年考研真题答案高等数学（简称“高数”）是考研复习过程中非常重要的一门科目。

通过历年考研真题的练习，可以帮助考生熟悉考题的类型和考点，有针对性地进行备考。

下面是对高数历年考研真题的答案解析与讲解。

2019年考研高数真题答案解析：1. 题目：计算极限lim(n->∞)((2n^3-3n^2+5)/(n^3+n^2+1))解答：由于该极限问题是一个分式，我们可以利用分子与分母同除以n^3，然后再取极限。

可得lim(n->∞)((2-3/n+5/n^3)/(1+1/n+1/n^3)。

当n->∞时，-3/n、5/n^3和1/n趋于0，所以这些项可以忽略。

最终lim(n->∞)((2-3/n+5/n^3)/(1+1/n+1/n^3) = 2/1 = 2。

2. 题目：设f(x)和g(x)是定义在[0,1]上的连续函数，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)。

若对于任意x∈[0,1]，都有f(x)≤g(x)，则下列结论一定成立的是()。

解答：根据题目条件可以知道，函数f(x)和g(x)在[0,1]上是连续函数，且在[0,1]的两个端点取值相等。

而题目给出的推论是对于任意x∈[0,1]，都有f(x)≤g(x)。

这意味着函数f(x)必然处于函数g(x)的下方。

因此，结论是“对于任意x∈[0,1]，都有f(x)≤g(x)”成立。

2018年考研高数真题答案解析：1. 题目：求极限lim(x->0) ((1-cos4x)/(sin^8x)解答：利用泰勒展开式近似计算，sinx = x - x^3/3! + x^5/5! + ...，cosx = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...。

将cos4x展开成泰勒级数表达式，可得cos4x=1-(4x)^2/2!+(4x)^4/4!-... = 1-8x^2/2!+16x^4/4!-... = 1-4x^2+8x^4/3!-...将泰勒展开式代入原极限表达式，得到lim(x->0) ((1-(1-4x^2+8x^4/3!-...))/(x - x^3/3! + x^5/5! + ...))^8 = lim(x->0) (4x^2-8x^4/3!+...) / ((x - x^3/3! + x^5/5! + ...))^8经过简化得到lim(x->0) (4 - 8x^2/3!+...) / (x^8 - x^6/3! + x^4/5!+ ...)当x->0时，高次项的影响会趋近于0，所以我们只保留最低次项，得到lim(x->0) (4 - 8x^2/3!)/x^8当x->0时，x^2比x^8小的多，所以在极限中忽略(x^2)的影响。

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第一章函数·极限·连续一. 填空题1. 已知 f ( x)sin x, f [ ( x)] 1 x 2 , 则 (x)__________, 定义域为 ___________.1 xax2．设 limate tdt , 则 a = ________.xx3. lim12n222=________.nnn 1 nn 2nn n1 | x | 1 4. 已知函数 f (x)| x | 1 0, 则 f[f(x)] _______.5.lim ( n3 nnn ) =_______.n6. 设当 x0 时, f (x)ex1ax为 x 的 3 阶无穷小 , 则 a _____, b ______ .1 bx7.lim cot x1 1=______.sin x xx 08. 已知 limn 1990A (0), 则 A = ______, k = _______.n k(n 1) kn二. 选择题1. 设 f(x)和 (x)在 (－ , + )内有定义 , f(x)为连续函数 , 且 f(x) 0, (x)有间断点 , 则(a) [ f(x)]必有间断点(b) [(x)]2必有间断点(c) f [(x)] 必有间断点 (d)( x)必有间断点f ( x)2. 设函数 f ( x) x tan xe sin x , 则 f(x) 是(a) 偶函数(b) 无界函数 (c) 周期函数(d) 单调函数3. 函数 f ( x)| x | sin( x 2) 在下列哪个区间内有界x( x 1)( x 2)2(a) ( － 1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3)1时, 函数x 21 4. 当 x1e x 1 的极限x 15. 极限lim352n12 的值是122222n2( n1)n23(a) 0(b) 1(c) 2(d)不存在( x1)95 ( ax1)56. 设lim2508 ,则a的值为x( x1)(a) 1(b) 2(c) 58(d) 均不对7.设lim ( x 1)( x 2)( x3)( x 4)( x 5)x(3x2), 则,的数值为(a)= 1,1(b)= 5,1(c)1(d) 均不对=== 5, =33358. 设f ( x) 2x3x 2 ,则当x0 时(a) f(x) 是 x 的等价无穷小(b) f(x) 是 x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x) 比 x 较低价无穷小(d) f(x) 比 x 较高价无穷小9.设lim (1 x)(12x)(13x)a 6 ,则a的值为x 0x(a)－1(b) 1(c) 2(d) 310. 设lim a tan x b(1 cos x)22，其中 a2c20 ,则必有x 0cln( 1 2x) d(1 e x)(a) b = 4d(b) b = － 4d(c) a = 4c(d) a =－4c三. 计算题1.求下列极限1(1)lim (x e x ) xx(2)lim (sin2cos1) x x x x1tan x1 lim x3(3)x 01sin x2.求下列极限(1)lim ln(1 3x1)(2) lim1 cot2 x x 0x 23. 求下列极限 (1) limn(n n 1)nln n1 e nx (2)lim nx n 1 eannn b(3) lim, 其中 a > 0, b > 0n22(1 cosx)x 0x 2 4.f (x) 1x1 x2 dt x 0x costf (x) 在x0 的性与可性 .5. 求下列函数的断点并判型1(1) f ( x)2 x 112 x 1x(2 x)x2 cos x(2) f (x)1sinx 021xx sin 1x 06. 函数 f ( x)xxe x在 x = 0 的性 .7. f(x) 在 [a, b] 上 , 且 a < x 1 < x 2 < ⋯ < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, ⋯ , n) 任意正数 , 在 (a, b) 内至少存在一个, 使f ( )c 1 f (x 1 ) c 2 f ( x 2 )c ncn .c 1 c 28. f(x) 在 [a, b]上 , 且 f(a) < a, f(b) > b, 在 (a, b)内至少存在一个 , 使 f( ) = .9. 设 f(x) 在 [0, 1] 上连续 , 且 0 f(x) 1, 试证在 [0, 1] 内至少存在一个, 使 f( ) = .10. 设 f(x), g(x) 在[a, b] 上连续 , 且 f(a) < g(a), f(b) > g(b),试证在(a, b)内至少存在一个, 使f( ) = g( ).11.证明方程x5－3x－2 = 0 在(1, 2) 内至少有一个实根 .12. 设 f(x) 在 x = 0 的某领域内二阶可导, 且lim sin 3x f ( x)0 ,求f (0), f ' (0), f ' '(0)及limf (x)3 x3x2x2.x 0x 0第二章导数与微分一. 填空题1 . 设lim f ( x0k x) f ( x0 )1f '( x0 ) ,则 k = ________.x0x32.设函数 y = y(x) 由方程e xy cos(xy)0确定 ,则 dy______.dx3.已知 f(－ x) =－f(x), 且f ' (x0 )k ,则 f ' ( x0 )______.4.设 f(x) 可导 ,f ( x0m x) f (x0n x)_______.则 limxx05. f ( x)1x ,则 f ( n ) ( x) = _______.1x6.已知df11, 则f '1_______. dx x2x27.设 f 为可导函数 ,y sin{ f [sindy_______.f ( x)]} ,则dx8.设 y = f(x) 由方程e2 x y cos( xy )e1所确定 , 则曲线 y = f(x) 在点 (0, 1)处的法线方程为 _______.二. 选择题1.已知函数 f(x) 具有任意阶导数 , 且f ' (x)[ f (x)] 2,则当 n 为大于 2 的正整数时 , f(x) 的 n 阶导数是(a) n![ f ( x)]n1(b)n[ f ( x)] n 1(c)[ f (x)] 2n(d)n![ f ( x)] 2n2.设函数对任意x 均满足 f(1 + x) = af(x),且 f ' (0)b,其中 a, b 为非零常数 , 则(a) f(x) 在 x = 1处不可导(b) f(x) 在 x = 1处可导 ,且 f ' (1) a(c) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1) b(d) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1)ab3.设 f ( x)3x3x 2| x |,则使 f ( n)(0) 存在的最高阶导数n 为(a) 0(b) 1(c) 2(d) 34.设函数 y = f(x) 在点 x 0处可导 , 当自变量 x 由 x 0增加到 x0 +y dyx 时 , 记 y 为 f(x) 的增量 , dy 为 f(x) 的微分 , lim等于x 0xx2 sin 1x05. 设f ( x)x x0ax b在 x = 0 处可导 , 则(a) a = 1, b = 0(b) a = 0, b 为任意常数(c) a = 0, b = 0(d) a = 1, b 为任意常数三. 计算题1.y ln[cos( 103x 2 )]，求 y'2. 已知 f(u) 可导 ,y f [ln( x a x2 )]，求 y'3.已知y e t 2dt x2costdt sin y2,求 y' .004.设 y 为 x 的函数是由方程ln x 2y2arctan y确定的 , 求y' . x四. 已知当 x0 时, f( x) 有定义且二阶可导 ,问 a, b, c 为何值时F ( x)f ( x)x0二阶可导 . ax2bx c x0五. 已知f ( x)x 2，求 f(n ) ( 0) .1x2六. 设y xln x ,求f( n) (1) .第三章一元函数积分学 (不定积分 )一. 求下列不定积分 : 1.1 2 ln 1 xdx 1 x 1 x1 1 x 1 x 1 x 1 1 22.x 1 x 2arctandx arctand arctanx 2arctanc1 x1 x1 1 x3.cos x sin x1 1 sin x dx(1 cos x)21 cos x4.dx x( x 8 1)1 111 sin x(1 sin x cosx)(sin x cosx)5．dx 222dx1 sin x cosx1 sin x cosx二. 求下列不定积分 :dx1.( x 1)2 x 2 2 x 2dx 2.x 4 1 x 23.dx1) 1 x 2(2x 2x 2dx 4.(a > 0)a 2 x 25.(1 x 2 ) 3 dx6.x 21dxx 4x 17.dxx2x21三. 求下列不定积分:e3x e xdx 1.e2xe4 x1dx2.2x (1 4 x)四. 求下列不定积分:x51.( x2)100dxdx2.x 1 x4五. 求下列不定积分:1.x cos2 xdx2.sec3 xdx3.(ln x)3dxx 24.cos(ln x)dxx cos4x1x cos4x1x1x sin 2x1sin 2xdx5.2dxx2dx xd sin 2sin 3 x8sin3 3 x828282cos221x sin 2 x1sin 2 x d x1x sin2x1cotxc824228242六. 求下列不定积分 :x ln( x1x 2 )2.x arctan x dx1x23.arctan e x dxe2 x七.x ln(1x 2 ) 3x0设 f ( x)22x 3)e x x, 求 f (x)dx .( x0八.设 f ' (e x ) a sin x b cos x, (a, b为不同时为零的常数), 求 f(x).九. 求下列不定积分:1.3x23x (2x3)dx32.(3x 22x5) 2(3x1) dx3.ln( x 1 x2 )dx1x2xdx4.(1 x2x21) ln(1x 21)十. 求下列不定积分:x arctan x1.(1x2)dx2.arcsinxdx 1 xarcsinx1x2 3.2dxx1x 2arctan x4.2(1x 2dxx)十一 . 求下列不定积分: 1.x34x 2 dxx2a22.x3.e x (1e x ) dx1e2 x4.xxdx (a > 0) 2a x十二 . 求下列不定积分:dx1.sin x 1cos x2.2sin x2dxcos x3.sin x cos x dxsin x cos x十三 . 求下列不定积分:x1.dx1 x x2.e x 1dxe x 13.x 1arctan x 1 dxx第三章一元函数积分学 (定积分 )b0 ,则f(x) 0.一．若 f(x) 在[a， b]上连续 , 证明 : 对于任意选定的连续函数(x), 均有f (x) ( x)dxa二. 设为任意实数 , 证明 :I21dx=21.0 1(tan x)0 1dx (cot x)4三．已知 f(x) 在 [0， 1]上连续 , 对任意 x, y 都有 |f(x) － f(y)| < M|x－y|, 证明f ( x)dx1n f k M1n k n2n01四.设 In4 tan n xdx , n为大于1的正整数,证明:1I n1.02(n1)2(n1)五. 设 f(x) 在[0, 1] 连续 , 且单调减少 , f(x) > 0,证明:对于满足0 << < 1 的任何, , 有f ( x)dx f ( x)dx六. 设 f(x) 在[a, b] 上二阶可导 , 且 f ' ' ( x) < 0,证明 :b f (x)dx (b a) fa ba2七. 设 f(x) 在[0, 1] 上连续 , 且单调不增 , 证明 : 任给 (0, 1), 有1 f ( x)dxf ( x)dx八. 设 f(x) 在[a, b] 上连续 ,f ' ( x) 在 [a, b]内存在而且可积 , f(a) = f(b) = 0, 试证 :| f ( x) |1b2 | f ' (x) | dx , (a < x < b)a九. 设 f(x) 在[0, 1] 上具有二阶连续导数f ' ' ( x) , 且 f (0) f (1) 0， f ( x) 0 , 试证 :1f ' ' ( x)dx 4f ( x)十. 设 f(x) 在[0, 1] 上有一阶连续导数 , 且 f(1) －f(0) = 1,试证 :1 2dx 1[ f ' (x)] 022十一 . 设函数 f(x) 在 [0, 2] 上连续 , 且f (x)dx = 0,xf ( x)dx = a > 0. 证明 :[0, 2], 使 |f( )| a.0 0第三章一元函数积分学(广义积分 )一. 计算下列广义积分:x2edx(1)10 (e x1)31(2)0( x21)( x24)dx(3)dx3 (1 x2 ) 21(4)sin(ln x)dx11dx (5)2 x x21 (6)arctan x3dx(1 x2 ) 2第四章微分中值定理一. 设函数 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上可微 , 对于 [0, 1] 上每一个 x, 函数 f(x) 的值都在开区间(0, 1)内 , 且 f ' ( x) 1, 证明 : 在 (0, 1)内有且仅有一个 x, 使 f(x) = x.1f ( x) dxf (0) . 证明 : 在(0, 1)内存在一个, 使 f ' ( ) 0 .二. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上连续 , (0, 1) 内可导 , 且 3 2 3三．设函数 f(x) 在[1, 2] 上有二阶导数 , 且 f(1) = f(2) = 0,又 F(x) =(x － 1)2f(x), 证明 : 在(1, 2)内至少存在一个 , 使 F ' ' ( ) 0 .四. 设 f(x)在 [0, x](x > 0) 上连续 , 在 (0, x)内可导 , 且 f(0) = 0, 试证 : 在(0, x) 内存在一个, 使f ( x) (1 ) ln(1 x) f ' ( ) .五. 设 f(x)在 [a, b]上可导 , 且 ab > 0, 试证 : 存在一个 (a, b), 使1b n a n [nf ( ) f '()] n 1f (b)b a f (a)六. 设函数 f(x), g(x), h(x)在 [a, b] 上连续 , 在(a, b)内可导 , 证明 :存在一个(a, b), 使f (a) g(a) h(a)f (b)g( b) h(b) 0f ' ( )g' ( )h' ( )七. 设 f(x)在 [x1, x2] 上二阶可导 , 且 0< x1 < x2 , 证明 : 在( x1 , x2)内至少存在一个, 使1e x1e x2 e x1e x2 f ( x1 )f ( ) f ' ( )f ( x2 )八. 若 x1x2 > 0, 证明 : 存在一个(x1, x2)或( x2, x1 ), 使x1e x2x2 e x1(1)e (x1x2 )九 .设f(x), g( x) 在 [a, b] 上连续 ,在(a,b) 内可导 ,且f( a) = f(b) = 0, g(x)0,试证:至少存在一个(a, b),使f ' ( ) g( ) g' ( ) f ( )十. 设 f(x) 在 [a, b] 上连续(0 a b) ,在(a, b)内可导,证明在(a, b)存在,2f ' ()使 f ' ( )ab.第五章一元微积分的应用一. 选择题1. 设 f(x) 在 (－, + )内可导 , 且对任意x1, x2 , x1 > x2时, 都有 f(x 1) > f(x 2), 则(a) 对任意 x, f '( x) 0(b) 对任意 x, f '( x)0(c) 函数 f( － x)单调增加(d) 函数－ f(－ x)单调增加1x 2x 1的渐近线有2. 曲线y e x2arctan( x 1)( x2)(a) 1 条(b) 2 条(c) 3 条(d) 4 条3. 设 f(x) 在 [－ , + ] 上连续 , 当 a 为何值时 , F (a)[ f (x) a cosnx ]2 dx 的值为极小值.(a) f ( x) cos nxdx(b)(c)2(d)f ( x) cosnxdx4. 函数 y = f(x)具有下列特征 :1f ( x) cosnxdx 1f ( x) cosnxdx 2f(0) = 1; f ' (0)0 ,当x0 时, f '( x)0x00 ; f '' ( x)x, 则其图形00(a)(b)(c)(d)11115. 设三次函数y f ( x) ax3bx 2cx d ,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于 y 轴对称(b) 关于原点对称(c) 关于直线 y = x 轴对称(d) 以上均错6.曲线 y x( x 1)(2 x) 与x轴所围图形面积可表示为21)( 2x)dx11)( 2x) dx21)( 2x)dx(a)x( x(b)x( x x( x00111)( 2x)dx21)(2x)dx21)(2x)dx(c)x(x x(x(d)x( x010二. 填空题x11. 函数F ( x)2dt (x > 0)的单调减少区间______.1t2. 曲线y x3x 与其在x13. 二椭圆x2y 21,x2y 21( a > b > 0)之间的图形的面积______. a2b2b2 a 24. x2+ y2= a2绕 x =－b(b > a > 0) 旋转所成旋转体体积_______.(5) 求心脏线= 4(1+cos ) 和直线= 0, =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.2三. 证明题xtf (t )dt0 时函数( x)01. 设 f(x) 为连续正值函数 , 证明当 x单调增加 .xf (t )dt2. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内f ' ' ( x)f ( x) f (a)0 ,证明 ( x)在 (a, b)内单增 .x a3. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内可导且f ' ( x)0 ,求证:F ( x)1xf (t )dt 在(a, b)内也 F ' ( x) 0 . x a a4. 设 f(x)在[ a, b] 上连续 , 且 f(x) > 0,又 F ( x)x x 1f ( t)dt dt .证明:a b f ( t)i. F ' ( x) 2, ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根.5. 明方程tan x 1 x 在(0, 1)内有唯一根.6.a1, a2, ⋯ , a n n 个数 , 并足a1a2(1) n 1a n0 .明:方程32n1a1 cos x a2 cos3x a n cos(2n1) x0在 (0,2) 内至少有一根 .四. 算1. 在直 x－y + 1=0 与抛物y x24x 5 的交点上引抛物的法, 求由两法及接两交点的弦所成的三角形的面.22f (x)] 2 dx 最小的直方程.2. 求通点 (1, 1)的直 y = f(x)中 , 使得[ x3. 求函数f ( x)x2(2 t)e t dt 的最大与最小. 04. 已知 (x－ b)2 + y2 = a2, 其中 b > a > 0, 求此 y 旋所构成的旋体体和表面.第六章多元函数微分学一. 考虑二元函数的下面 4 条性质( I ) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处连续;( II ) f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续; ( I II) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处可微;( IV ) f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在;若用 P Q 表示可由性质P推出性质Q,则有( A ) ( C )(II )(III )( I )(III )(IV )( I )( B )( D )( III )(II )( I )(III )(I )( IV )xy2,( x, y)(0,0)二. 二元函数f ( x, y)x2y0) 处在点 (0, 0,(x, y)(0,0)( A ) 连续 , 偏导数存在 ;( B ) 连续 , 偏导数不存在 ; ( C ) 不连续 , 偏导数存在 ;( D ) 不连续 , 偏导数不存在 .三. 设 f, g 为连续可微函数 , u f ( x, xy)， v g( x xy) ,求uv . x x四. 设x2z2y z, 其中为可微函数 , 求z .y y五. 设u f ( x, y, z)，又 y(x, t )， t( x, z)，求u. x六. 求下列方程所确定函数的全微分:1. f ( x y, y z, z x)0，求 dz ;2.z f ( xz， z y)，求 dz .七. 设z f ( e x sin y, x2y 2 ) ,其中f具有二阶连续偏导数, 求 2z.x y八.已知 z f (2 x, x )，求 zxx ' '， z yy ' ' . y九. 已知z f (xln,)' ' ,zxy' ' ,zyy' '.y x y ，求 z xx十. 设y y( x)， zx y z z20确定 , 求dy dz z(x)，由y2z z30， .x dx dx十一 . 设z xf (y)(y)，求 x2 2 z2xy 2 z y 2 2 zx x x 2x y y22十二 . 设z f [ x2y, ( xy)] ,其中f(u, v)具有二阶连续偏导数,(u) 二阶可导,求z. x y十三 . 设F ( x, y(x), z(x))P( x, y(x)) Q ( x, y( x)) z( x) ,其中出现的函数都是连续可微的F d F , 试计算.第七章二重积分一. 比较积分值的大小:1. 设I1D 结论正确的是x y x y 3xy{( x, y) | (x 1)2( y1)22},则下列dxdy, I2dxdy, I 3dxdy 其中D4D4D4( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C )I 1I 3I 2( D )I 3I 2I 12.设 I ie ( x2y2) dxdy, i1, 2，3, 其中 :D1{( x, y) | x 2y2r 2 } , D2{( x, y) | x2y 22r 2 } ,D iD 3{( x, y) | | x |r , | y |r } 则下列结论正确的是( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 13.设I1cos x 2y2,I 2cos(x 2y2 ), I 3cos(x 2y 2 ) 2其中 D{( x, y) | x2y 21} ,则下列D D D结论正确的是( A ) I1I 2I 3( B ) I2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 1二. 将二重积分I f ( x, y)d 化为累次积分(两种形式),其中D给定如下:D1. D: 由y28x 与 x28 y 所围之区域.2. D: 由 x = 3, x = 5, x －2y + 1 = 0 及 x －2y + 7 = 0 所围之区域 .3. D: 由x2y 2 1 , y x 及 x > 0 所围之区域 .4. D: 由 |x| + |y| 1 所围之区域 .三.改变下列积分次序 :a a2x21.dx a2x 2 f ( x, y)dy2a1x 233xf (x, y) dy2.dx0f (x, y)dy dx201002x 2f ( x, y)dy12x23.dxx dxxf ( x, y) dy10四. 将二重积分I f ( x, y)d 化为极坐标形式的累次积分, 其中 :D1.D: a2x2 +y 2b2 , y0, (b > a > 0)2.D: x 2+y2y, x03.D: 0x +y1, 0 x1五. 求解下列二重积分:2x 1.dx1x sinx42dy dx2y2xxsin dy1y 2 x2. dx e 2 dy003.y dxdy , D:由y = x4－x3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形Dx 64.xydxdy , D: y x及1 x2+ y22 x2y2D六. 计算下列二重积分 :x222y 21.yx 1 .1dxdy , D:22 Da b a b2.ln( x2y 2 )dxdy , D:2x 2y 21 , 并求上述二重积分当0 时的极限 .Dax f ' ( y)3.dxdy(a x)( x y)1 x 2y 24.2 2 dxdy , D: x 2 + y 2 1, x 0, y 0. D1 x y2七. 求证 :f ( xy)dxdy ln 2 f ( u) du , 其中 D 是由 xy = 1, xy = 2, y = x 及 y = 4x(x > 0, y > 0) 所围成之区域 .1Df ( x y)dxdy2 2f (u)du八 . 求证 :2 u x 2y 2121x2y 21t 2e2 dxdy a九 . 设 f(t)是半径为 t 的圆周长 , 试证 : f (t) e 2 dt2x 2 y2 a220m y n dxdy 0十 . 设 m, n 均为正整数 , 其中至少有一个是奇数, 证明xx 2y2 a2十一.设平面区域 D {( x, y) | x 3y 1, 1 x 1}, f (x) 是定义在 [ a, a] (a1) 上的任意连续函数试求: I 2 y[( x 1) f ( x) (x1) f ( x)] dxdyDLy x 3第八章无穷级数一. 填空题x 1n a n1(1) 设有级数a n, 若lim2a n 1, 则该级数的收敛半径为 ______.n 1n3(2) 幂级数n n3)n x2n 1的收敛半径为 ______.n 1 2((3) 幂级数x n的收敛区间为 ______. n 1n 1(4) 幂级数x n 1的收敛区间为 ______. n 1 n2n(5)幂级数(n1)x n的和函数为______.n1二. 单项选择题(1)设 a n0(n1,2,)，且a n收敛,常数(0,) ,则级数( 1)n (n tan ) a2 nn 12n 1n(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C)发散(D) 收敛性与有关(2)设 u n( 1)n ln(11) ,则n(A)u n与u n2都收敛. (B)u n与u n2都发散. (C)u n收敛,而u n2发散. (D)u n发散,u n2收敛.n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1(3)下列各选项正确的是(A) 若u n2与v n2都收敛 , 则(u n v n ) 2收敛n 1n 1n 1(B) 若| u n v n | 收敛,则u n2与v n2都收敛n 1n 1n 1u n 1(C) 若正项级数发散 ,则u nn 1n(D) 若级数u n收敛,且 u n v n ( n 1,2, ) ,则级数v n收敛.sin n1(4) 设为常数 , 则级数nn 1 n2(A)绝对收敛 . (B) 发散 . (C) 条件收敛 . (D) 敛散性与取值有关 .三. 判断下列级数的敛散性:11(1)sinn 1 ln( n 2)n(2)1( a 0) n 1 ( a n 1)( a n)( a n 1)3n n!(3)n 1 n nn2(4)n 1 ( n 1 / n) n( n! )2(5)n1 ( 2n)!(6)(1ln n)nn 1n四. 判断下列级数的敛散性n(1)( 1)n 2n1n 13n1(2)( 1)n n1n 1(n 1) n 1 1(3)sin( n)n 1n(4)( 1)n 1 tan1n 1n n五. 求下列级数的收敛域:( x2x1)n (1)n 1n( n1) (2)( 1)n x2 n 1n 12n 1 (3)2n 1 x2 n 1n 12n( x1)2 n(4)n 1n 9n六. 求下列级数的和:(1)( 1)n 1 x2 n 12n 1n 1(2)n(n 1)xn 1( x1)n (3)n 1n2nn七. 把下列级数展成x 的幂级数 :(1) f ( x)1ln1x1arctan x 21x2x ln(1x)(2) f ( x)x dx第九章常微分方程及差分方程简介一. 填空题1. 微分方程y' y tan x cos x 的通解为_________.2.微分方程 ydx( x24x)dy0的通解为 ________.3.微分方程 y' 'y 2 x 的通解为________.4.微分方程 y' ' 2 y' 2 y e x的通解为________.5.已知曲线 y f ( x) 过点(0,1),且其上任一点 (x, y) 处的切线斜率为x ln(1x2 ) ,则 f ( x) =_______.2二. 单项选择题2 x 1. 若函数 f (x) 满足关系式 f ( x)tf ( )dt ln 2 ,则 f (x) 等于(A)e x ln 2(B)e2 x ln 2(C)e x ln 2(D)e2 x ln 22.微分方程 y' 'y e x1的一个特解应具有形式(式中 a、 b 为常数 )(A)ae x b(B)axe x b (C) ae x bx(D) axe x bx三. 解下列微分方程:dy3( x 1) 2 (1 y 2 )1. dxy| x 012. (1y2 )dx x(1 x) ydy0dy13.1dx x y四. 解下列微分方程:yy1. y' e xx2.xdy ydx x2y 2 dxy y3. ( x y cos )dx x cos dy0x x五. 解下列微分方程:1.y' y cos x e sin x1x2.x2 y' y x2 e x3.xy' ln x y ax(ln x1)4.y' sin x cos x y sin3 x0六. 解下列微分方程:1.y' y tan x sec x， y(0)02.y' y cos x sin x cos x， y(0)13.y' x sin 2 y xe x2 cos2 y， y( 0)4七. 解下列方程 :1.y' ' 2 2 y' 2 y02.y' ' 2 y' 3y03.y' ' 2 y' 3y0八. 解下列方程 :x 23 )e2x 1. y' ' 4 y' 4y (1 x2.y' ' 3 y' 2y cos 2x3.y' ' 2 y' y5xe x4. 2 y' ' 2 y' 3 y x22x 15.y' ' y' x21第十章函数方程与不等式证明11aa n 1a n一. 证明不等式ln a( n 1) 21 1n 1 a n. (a > 1, n 1)n 2二. 若 a0, b 0, 0 < p < 1, 证明( ab) p a p b p三. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上有连续导数 , 满足 0f ' ( x) 1且 f (0)0. 求证1 213( x)dxf ( x)dxf四. 求证| a |p | b |p 21 p (| a | | b |) p , (0 < p < 1).五. 求证 : 若 x + y + z = 6,则 x2y 2 z 2 12 , (x 0, y 0, z0).六.证明 : 1 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上2 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上f ' ' ( x) 0，则 (b a) f ( a) f ( x) dx (b a)f (a)f (b)ba2f ' ' ( x) 0 ，则 ( b a) f (b) f ( x)dx ( b a) f (a) f (b)ba2x1x2x n x12x22x n2七. 证明 : 1n nx1x2x n nx1 x2x n2n八. 设f ' ' ( x)c[ a, b] , 且f (a)f (b) 0, 求证f (x) dx(b a) 3ba12a x b九. 若 f ' ( x) 在 [0, 2 ] 上连续 , 且 f ' (x)2 2[ f (2 ) f (0)]0, n(正整数 )有f ( x) sin nxdxn十. 设在 [a, b] 上 f ' ' ( x) 0 , a < x 1 < x 2 < b, 0 << 1, 试证 :f ( x 1 ) (1 ) f ( x 2 ) f [ x 1 (1) x 2 ]第十一章微积分在经济中的应用一．生产某产品的固定成本为10, 而当产量为 x 时的边际成本函数为 C ' 40 20 x3x 2, 边际收益为R'32 10x ,试求: ( 1 )总利润函数 ; ( 2 ) 使总利润最大的产量 .二. 设某商品的需求量Q 是单价 P(单位 : 元 )的函数 : Q = 12000 －80P; 商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数 : C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税 2 元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.三. 一商家销售某种商品的价格满足关系P = 7－ 0.2x(万元 / 吨), x 为销售量 ( 单位 :吨 ), 商品的成本函数C3x 1(万元). (1)若每销售一吨商品政府要征税 t ( 万元 ), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时 , 政府税收总额最大 .四 . 设某企业每月需要使用某种零件2400 件 , 每件成本为150 元, 每年库存费为成本的 6 , 每次订货费为100 元, 试求每批订货量为多少时, 方使每月的库存费与订货费之和最少, 并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).。

考研数学-陈文登复习指南习题详解

又，且单调递减，故当时， 47 所以即 2．设在上二阶可导，且证明：证明：由泰勒公式有又，则两边积分可得 7．设在上连续，且单调不增，证明：任给，有证明：，所以 48 又，，单调不增，当时，所以 8．设存在一点，使在上具有连续的二阶导数，且，证明：在内证明：由泰勒公式有，其中具有二阶导数，设最大值为，最小值为，即则 49 即，
[解答] 原式，由可得，所以应该选 . ⑻设则当时，是的等价无穷小与是同阶但非等价无穷小是比较低阶的无穷小是比较高阶无穷小 [解答] 原式，所以应该选 . ⑼设则的值是 [解答] 若原式极限存在，当时，由可得，所以应该选 . ⑽设其中则必有 [解答] 原式 6 可得，所以应该选 . 3．计算题 ⑴ 求下列极限 ① [解答] 原式 ② [解答] 原式 ③ [解答] 原式 ④ 7
在上可导，则当时，必有当时，必有当时，必有当时，必有 [解答] 若设时，均错误，若设时，错误，故选 . 10．设函数在处可导，则函数在处不可导的充分条件是 19 且且且且 [解答] 令，由导数定义可得若，由的连续性及保号性可得，此时若，同理可得 . 故若不存在，则若，且，设，由于所以当时，，
为第一类跳跃间断点. 不存在，所以为第二类间断点. 当时，所以为第一类可去间断点. 当时，所以为第二类无穷间断点. 13 6．试确定常数的值，使极限存在，并求该极限值. [解答] 原式存在由可得，即则原式同理由可得，即所以原式 7．设点，求的值. ，且是的可去间断 [解答] 存在，由可得 . 原式存在，同理由可得 . 8．设求的值. [解答] 原式 ( ) 14 由可得

高等数学考研复习试题及答案

高等数学考研复习题与答案一、填空题1．设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于对称。

2．若⎩⎨⎧<≤+<<-=20102sin 2x x x x y ，则=)2(πy . 3．极限limsinsin x x x x→=021。

4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____,=b _____。

5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂=。

7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。

8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z2 。

9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为和。

10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f .11.=⎰xdx x 2sin 2.12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π. 13．若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则_________=k 。

14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )14(22 15.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Dfdxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为____. 17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值围是.18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x . 19. 方程01122=-+-ydy xdx 的通解为20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为.21.当n=_________时，方程n y x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。

数学专业考研各科真题答案

数学专业考研各科真题答案在考研备考过程中，了解和掌握过去几年的真题是非常重要的。

通过研究真题，可以了解考试的出题风格和考点，帮助我们更好地备考。

本文将为大家提供数学专业考研各科的真题答案，希望对大家的备考有所帮助。

1. 高等数学高等数学是数学专业考研的第一门科目，也是数学基础学科。

它对于掌握数学的基本概念、理论和方法具有重要作用。

以下是一道高等数学真题及其答案：【题目】设函数 $f(x)=|x^3-3x|$1) 求 $f(x)$ 的定义域；2) 求数集 $\{x\in{\mathbb{R}}: f(x)>5\}$。

【答案】1) $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, 0) \cup (0,\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$；2) $\{x\in{\mathbb{R}}: f(x)>5\}=(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$。

2. 线性代数线性代数是数学专业考研的重要科目之一，它研究的是数学向量空间及其线性变换。

以下是一道线性代数真题及其答案：【题目】设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：当 $A$ 的秩为 1 时，$A$ 一定可以对角化。

【答案】证明：由于 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，故存在正交矩阵 $P$ 使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

设$$A=P^{-1}BP$$其中 $B=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$，$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ 是 $B$ 的特征值。

由于 $A$ 的秩为 1，故存在非零列向量 $x$ 和 $y$，使得 $A=xy^T$。

设非零向量 $z=y/||y||$，则有$$Az=xy^Tz$$易知 $y^Tz=||y||$，所以$$Az=(xy^Tz)y=\lambda z其中 $\lambda=y^Tx=||y||>0$。

考研数学一-高等数学(五)

考研数学一-高等数学(五)(总分：99.99，做题时间：90分钟) 一、填空题(总题数：10，分数：40.00)（分数：4.00）解析： [解析] 先作如下变形：解法一：用洛必达法则求这个极限其中解法二：用泰勒公式求这个极限相减得因此（分数：4.00）解析： [解析] 因为故则所以3.极限（分数：4.00）解析： [解析] 将分子变形为又，当x→0时，则（分数：4.00）解析： [解析] 所求极限为“∞-∞”型未定式，应首先通分化为“ ”型未定式后，再进行求解．（分数：4.00）解析： [解析] 解法一：属1 ∞型利用等价无穷小因子替换得即解法二：属1 ∞型，用求指数型极限的一般方法而即（分数：4.00）解析：1 [解析] 因故所求极限是“ ”型未定式，用分项求极限法可得(后一项的分子为有界变量，分母是无穷大量，故其极限为0)．7.设，则（分数：4.00）解析： [解析]因为，所以8.设f(x)在x=0处可导且f(0)=1，f"(0)=3，则数列极限（分数：4.00）解析：e 6 [解析] 这是指数型的数列极限，一般先进行变形，并转化为函数极限求解．又故I=e 6．（分数：4.00）解析： [解析]把看作函数在处的函数值，其中正好是将区间[0，1]n等分所得的第k个分点(k=1，2，…，n)，这时每个小区间的长度为．于是可看作定积分对应的和式极限其中又因为在[0，1]上连续，于是在[0，1]上可积，故10.设f(x)连续，且当x→0时，x 3等价的无穷小量，则f(0)= 1．（分数：4.00）解析： [解析] 由无穷小量的定义及洛必达法则，可得所以，二、解答题(总题数：15，分数：60.00)11.设f(x)在(x 0 -δ，x 0 +δ)有n阶连续导数，且f k (x 0 )=0，k=2，3，…，n-1；f (n) (x 0)≠0，当0＜|h|＜δ时，f(x 0 +h)-f(x 0 )=hf"(x 0 +θh)(0＜θ＜1)，求的值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f"(x 0 +θh)在x=x 0处展开成泰勒公式得代入原式得令h→0得所以12.设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，|f"(x)|≤M对-∞，+∞)成立，求证：f"(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f(x+1)与f"(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得为估计|f"(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．为估计|f"(x)|的大小，由式①+式②得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．13.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，f(0)=0，且x，t∈(-∞，+∞)满足试求f(x)在(-∞，+∞)内的导函数f"(x)．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当x≠0时，令xt=μ，可得于是，当x≠0时，，即由f(x)的连续性知可导，从而xf(x)可导，于是f(x)当x≠0时可导，且f(x)=xf"(x)+f(x)+2xsinx+x 2 cosx．由此可得f"(x)=-2sinx-xcosx，x≠0，求积分知，当x≠0时，利用f(x)在(-∞，+∞)内的连续性及f(0)=0，可得，得C=-1．于是f(x)=cosx-xsinx-1，不仅当x≠0时成立，而且对x=0也成立，即 f(x)=cosx-xsinx-1，x∈(-∞，+∞)，故 f"(x)=-2sinx-xcosx，x∈(-∞，+∞)．证明：（分数：4.00）(1).若f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈(a，b) 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a，b](b＞a)上的最大值和最小值，则有不等式两边同时除以(b-a)得到显然，介于函数f(x)的最大值和最小值之间．根据闭区间上连续函数的介值定理可知．在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点处的函数值与相等，即等式两边同时乘以(b-a)可得结论得证．(2).若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题知，至少存在一点η∈(2，3)，使得，又，所以有φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)．因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ1∈(1，2)，使得且至少存在一点ξ2∈(2，η)，使得再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2 )，使得14.设函数f(x)可导，且有f"(x)+xf"(x-1)=4，又求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对变限积分，需经过两次求导，方可得到f(x)的导数形式，而中含有x，需先换元再求导．可设u=xt，则所以即两边同时对x求导得再次对x求导得f"(x)+xf"(x-1)+2f(x-1)=24x 2 +6x，将f"(x)+xf"(x-1)=4代入得f(x-1)=12x 2 +3x-2，故15.设f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且满足求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=∫f"(x)e -x dx-∫f"(x)e -x dx．由于∫f"(x)e -x dx=f"(x)e -x+∫f"(x)e -x dx，所以∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=f"(x)e -x +C．对于方程令x=0得f"(0)=f"(0)=1．对两边求导，有(1+x)f"(x)+f"(x)-(1+x)f"(x)-f(x)+f(x)=0，即 (1+x)f"(x)-xf"(x)=0．令p=f"(x)，有即 lnp=x-ln(1+x)+lnC，所以，即又f"(0)=1，于是C=1，即，所以16.设质点P所受的作用力为F，其大小反比于点P到坐标原点O的距离，比例系数为k；其方向垂直于P、O的连线，指向如下图所示，试求质点P由点经曲线到点时，力F所做的功．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设点P坐标为P(x，y)，∠POB=θ，则故其中L为从点沿到点的一段．设，因故曲线积分①在第一象限与路径无关，可选择从A到B的直线段积分．所在的直线方程为，故17.求直线在平面π：x-y+2x-1=0上的投影直线L 0的方程，并求L 0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：经过L作平面π1与π垂直，则π1与π的交线就是L在π上的投影，L的方向向量s={1，1，-1}，π的法向量n={1，-1，2}是平面π1上的两个不共线向量，点p 0 (1，0，1)是L上一定点，设p 1(x，y，z)是平面π1上任一点，则共面，即即x-3y-2z+1=0．故L在π上的投影是为求L 0绕Y轴的旋转面，先把L 0表示为以Y为参数的形式，则旋转面的参数方程为消去θ得即旋转曲面的方程为4x 2 -17y 2 +4z 2 +2y-1=0．18.已知f(x，y)的2阶偏导存在且连续，且f(x，0)=1，f" yy(x，y)=x 2+2x+4，f" y(1，0)=-cos1，求f(x，y)的表达式．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：f" yy (x，y)=x 2 +2x+4两边对y积分得f" y (x，y)=(x 2 +2x+4)y+φ(x)，①式①两边对x求偏导得则对φ"(x)取积分得所以(C为任意常数)．代入点(1，0)得则，故对式②两边求积分：代入点(x，0)，f(x，0)=C 1 =1，所以f(x，y)在点(0，0)处的连续性以及可微性．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(1)因为sin(x 2 +y 2)≤x 2 +y 2，所以0≤|f(x，y)|≤|x+y|，且所以所以f(x，y)在点(0，0)处连续．(2)同理f" y (0，0)=1，因为所以式①为0，即f(x，y)在点(0，0)处可微．综上f(x，y)在点(0,0)处连续可微．4.00）(1). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(x，y)≠(0，0)时，(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?为什么? 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为又因此在点(0，0)处连续，故f(x，y)在点(0，0)处可微，且微分为零．设u=u(x，t)有二阶连续偏导数，并满足其中a＞0为常数．（分数：3.99）(1).作自变量代换ξ=x-at u对x，t的一、二阶偏导数与u对ξ，η的一、二阶偏导数的关系式．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由复合函数求导法求导得(2).导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足的方程．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题中的式①、②及题设条件得即(3).求u(x，t)．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：把式③写成，即与η无关，h(ξ)是连续可微的任意函数，再对ξ积分一次，并注意到积分常数可依赖η，于是将u=f(ξ)+g(η)用变量x，t表示得u(x，t)=f(x-at)+g(x+at)，其中，f(ξ)，g(η)是任意二阶连续可微的函数．20.已知一个三角形的周长为16，求使它绕自己的一边旋转时所构成旋转体体积最大时的三角形。

高等数学考研真题含答案

1...sin 12lim1.4/1/0+++→x xee x x x 求=+∞-∞+=-∞→,0)(lim ,),()(2.a xf e a xx f x bx、则常数且内连续在设函数00数一考研题⎩⎨⎧>≤=1(B)0(A)).()]}([{,1,0,1,1)(3.x f f f x x x f 等于则设01数二考研题b 满足00数二考研题).(<≥>≤>><<0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(b a D b a C b a B b a A [];;.;;;考研真题一.,}{),,2,1()3(,307.).(,00,,0,2arcsin 1)(6.112tan 并求此极限的极限存证明数列设则处连续在设函数n n n n x xx n x x x x a x x ae x xe xf =-=<<==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=+02数二考研题02数二考研题8.,lim ,1lim ,0lim }{},{},{9.则必有均为非负数列设n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→===且,03数一考研题)(.(D)(C)(B)(A);成立对任意n n n b a <;成立对任意n n n c b <;lim 不存在极限n n n c a ∞→.lim 不存在极限n n n c b ∞→._____sin 1)1(,0412=--→a x x ax x 是等价无穷小与时若则,03数二考研题.4)(3)(2)(1)(,)1(sin ,sin )1ln )cos 1(,05.213lim4.2212等于则正整数高阶的无穷小是比而高阶的无穷小是比时设当x n n x D C B A n e x x x x x x x x x xx -+-→=-++--→(01数二考研题01数二考研题;;;在__________.∞>≤>≤.1,11,0(D)1,01,1(C)x x ⎩⎨⎧x x ⎩⎨⎧;2..._________)(,1)1(lim)(10.2=+-=∞→x x f nx x n x f n 的间断点为则设04数二考研题12.设函数,11)(1-=-x xe xf 则( ).(A)1,0==x x 都是)(x f 的第一类间断点;(B)1,0==x x 都是)(x f 的第二类间断点;(C)0=x 是)(x f 的第一类间断点,1=x 是)(x f 的第二类间断点;(D)0=x 是)(x f 的第二类间断点,1=x 是)(x f 的第一类间断点.05数二考研题11.当0→x 时, 2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无, 则.________=k 穷小05数二考研题13.=-+→xx x x cos 1)1ln (lim.06数一、二考研题14.当+→0x 时,与x 等价的无穷小量是( ).(A)xe -1; xx-+11ln; 11-+x ; x cos 1-.(B)(C)(D)07数一、二考研题15.函数)(tan )()(1/1/e e x xe e xf x x -+=在],[ππ-上的第一类间断点是=x ( ).(A)2π-; 2π.(D)(C) (B)0; 1; 07数二考研题16.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界}{n x 是( ).(A)若收敛)}({n x f 收敛(B)若单调收敛;(C)若收敛(D)若收敛.为数列下列命题正确的则则收敛则单调则,,,,,,;;}{n x }{n x )}({n x f )}({n x f )}({n x f }{n x }{n x 08数一、二考研题17.设函数,sin 1ln )(-=x x xx f 则( ).(A)(B);;,,08数二考研题)(x f 有一个可去间断点一个跳跃间断点一个可去间断点一个无穷间断点3..(D)(C);.两个无穷跳跃间断点两个跳跃间断点18.当0→x 时,ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小,则( ).(A)61,1-==b a (B)61,1==b a (C)61,1-=-=b a (D)61,1=-=b a ;;;.19.函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点的个数,则( ).(A)3无穷多个(B)(C)21(D) ;;;.09数一、二考研题09数二考研题4..考研真题二)3)0(0)1ln )(2.)(,2)(1.)(20≥=+==+===n fn x x x x f d yy x x y y n x xy阶导数处的在求则所确定由方程设函数填空.((.00数二考研题00数二考研题0,5)(3.的某个邻域内满足关系式它在的连续函数是周期为已知=x x f )(8)sin 1(3)sin 1(α+=--+x x x f x f ,:0)(,0)0(5.)()1,0()(,1)cos )(4..)6(,6()(,1)(,0)(,2可导的充要条件为在点则设处的法线方程为在点则曲线所确定由方程设函数填空处的切线方程在点求曲线处可导在且高阶的无穷小时比是当其中α===-=-===→+(D)(C)(B)(A)x x f f x f y e xy e x f y f x f y x x f x x x y x )(.;cos 1(1lim2存在-→f h h h );sin (1lim 20存在-→h f h h h );)1(1lim 0存在-→e f hh h .)()2([1lim存在-→h f h f hh ]00数二考研题01数二考研题01数一考研题)()1(,1.0,1.01)(,)(7.).()0(,016)(6.22则的线性主部为相应的函数增量时处取得增量在当自变量可导设函数则所确定由方程设函数填空='∆-=∆-===''=-++=(D)(C)(B)(A)f y x x x x f y u f y x xy e x y y y .02数一考研题02数二考研题;1-;1.0;1.5.06,cos 18.求该曲线上对应于已知曲线的极坐标方程是πθθ=-=r 处的.切线与法线的直角坐标方程02数二考研题03数二考研题.______________)1,1()(,ln 2)(9.4处的切线方程是在点则曲线所确定由方程设函数x f y y x xy x f y ==+=.________1ln 10.垂直的切线方程为与直线曲线=+=y x x y 04数一考研题.),2()(),4()(,]2,0[,),()(11.2为常数其中都满足若对任意的上在区间上有定义在设函数+=-=+∞-∞k x kf x f x x x x f x f 04数二考研题;)0,2[)((1)上的表达式在写出-x f5...0)(,(2)处可导在为何值时问=x x f k 13.设,)sin 1(x x y +=则.__________|==πx d y 05数二考研题14.设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)1ln(22t y tt x 确定, 则曲线)(x y y =在3=x 处的法线与x 轴交点的横坐标是( ).(A)32ln 81+;32ln 81+-;32ln 8+-;32ln 8+.(B)(C)(D)05数二考研题12.设函数,||1lim )(3n n n x x f +=∞→则)(x f 在),(+∞-∞内(A) 处处可导;恰有一个不可导点;(C)恰有两个不可导点;至少有三个不可导点.( ).(B)(D)05数一、二考研题15.设函数)(x y y =由方程y xe y -=1确定则,0=x d xd y =.16.设函数)(x g 可微2,1(1),)()(1='='=+g h e x h x g 则(1),,g 等于(1)).((A)13ln -;(B)13ln --;(C)12ln --(D)12ln -.;06数二考研题06数二考研题17.设函数)(x f 在0=x 处连续,下列命题错误的是( ).(A)若xx f x )(lim 0→存在,则0)0(=f ;(C)若xx f x )(lim 0→存在,则)0(f '存在;若xx f x f x )()(lim--→存在,则)0(f '存在.(D)若x x f x f x )()(lim 0-+→存在,则0)0(=f ;(B)07数一、二考研题18.曲线⎩⎨⎧+=+=t y t t x sin 1cos cos 2上对应于4π=t 的点处的法线斜率为________.19.设函数321+=x y ,则=)0()(n y ____________.已知函数)(u f 具有二阶导数,且1)0(='f ,函数)(x y y =由方程20.07数二考研题07数二考研题6..11=--y xey 所确定.设)sin (ln x y f z -=,求.,220==x x d x z d d xd z 07数二考研题21.设函数⎰+=20)2ln()(x d t t x f 则)(x f '的零点个数( ).0;1;(B)2;(C)3(D).(A)22.曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程为_________.24.设),2)(1()(2--=x x x x f 求)(x f '的零点个数(A)0;1;2; 3.( ).(B)(C)(D),08数一考研题08数一、二考研题08数二考研题微分方程0)(2=-+-x d y d x e x y x 的通解是_________.23.08数二考研题25.设)(x y y =是方程1+=+x e xy y 确定的隐函数,则22=x d x y d =________.09数二考研题7..考研真题三时有且是恒大于零的可导函数设b x a x g x f x g x f x g x f <<<'-',0)()()()(,)(),(3.);()()()(x g a f a g x f (B)>);()()()(x g b f b g x f (A)>00数二考研题填空x xx x =+-→.)21ln(arctan lim1.3000数二考研题⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽填空2.曲线的斜渐近线方程为.⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽)(x y =-21e 1/x 00数二考研题则当出其类型求该函数的间断点并指记此极限为求极限.),(,sin sin lim8.sin sin -→x f x txt xx t 01数二考研题)(,1)1()1(,)(,)1,1()(6.)3()1(5.22(A)f f x f x f x x y ='='+---=则且严格单调减内有二阶导数在区间已知函数的拐点个数为曲线δδ;0(A);1(B);2(C).3(D);)()1,1()1,1(x x f <+-内均有和在δδ01数二考研题01数二考研题).((D)(C)(B);)()1,1()1,1(x x f >+-内均有和在δδ;)(,)1,1(,)(,)1,1(x x f x x f >+<-内在内在δδ.)(,)1,1(,)(,)1,1(x x f x x f <+>-内在内在δδ[]成立使存在唯一的内的任一对试证内具二阶连续导数且在设.2/1)(lim (2);)()0()(),1,0()(,0)1,1((1):,0)()1,1()(7.0='+=∈≠-≠''-=→x x x f x f x f x x x f x f y x θθθ01数一考研题).3)(0(0)1ln()(4.)(2n f n x x x x f n ≥=+=阶导数处的在求);()()()(b g b f x g x f (C)>).()()()(a g a f x g x f (D)>00数二考研题少则内具界且可导在设函数,),0()(9.+∞=x f y ;0)(lim ,0)(lim ='=+∞→+∞→x f x f (A)x x 必有时当02数一考研题( ).8...1ln ln 2,011..,,0)0()2()(,0)0(,0)0(0)(10..0)(lim ,)(lim ;0)(lim ,0)(lim ;0)(lim ,)(lim 220<--<+<<→-+≠'≠=='='=='='++++→→→→+∞→+∞→aba b a b b a a b a b a h h f h bf h af f f x x f x f x f (D)x f x f (C)x f x f (B)x x x x x x 证明不等式设试确定高阶的无穷小时是比在若的某个邻域内具有一阶连续导数且在设函数必有存在时当必有时当必有存在时当02数一考研题02数二考研题的值'0)(),()1(>x f b a 内在;;)(2)(,),()2(22⎰=-baf dxx f a b b a ξξξ使内存在点在)2(),()3(b a ηξ使相异的点中内存在与在)(),()(13两个极小值点和一个极大值点一个极小值点和两个极大值点有则内连续在设函数(B)(A)x f x f +-.∞其导,,∞)(03数一考研题数的图形如图所示.2高阶的无穷小是比h 02数二考研题;;三个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点(D)(C)14.03数一考研题;..______=lim 0→x cos x )(ln()1x 2+1Oxy.ln 4ln 44的交点个数与讨论曲线x x y k x y +=+=15.,),(,],[)(b a b a x f 且在开区间上连续在闭区间设函数16.内可导03数二考研题03数二考研题,)2(lim .0)('-->+→ax ax a x f x f 证明：存在若极限,0)0(,0)(12.≠=f x x f 且的某邻域内具有二阶连续导数在设函数)0()3()2()(,0,,,.0)0(,0)0(321321时使得当证明存在唯一的一组实数f h f h f h f h f f -++→≠''≠'λλλλλλ9..).0()()0,((D));0()(),0((C);)0,()((B);),0()((A)( ).,0,0)0(,)(17.f x f x f x f x x f x f f x f >-∈>∈->>'有对任意的有对任意的内单调减少在内单调增加在使得则存在且连续设函数δδδδδ04数一、二考研题).(4ln ln ,18.2222a b e a b e b a e ->-<<<证明设04数一、二考研题.)(2))(('22⎰-=-badx x f a a b f ξξη;)(,)(0;)()0,0(,)(0的拐点是曲线但的极值点不是的拐点不是曲线但的极值点是x f y x f x x f y x f x ====(B)(A))0,0(0;)()0,0(,)(0不是的拐点是曲线且的极值点是x x f y x f x ===(D)(C),)(的极值点x f .)()0,0(的拐点也不是曲线x f y =.13cos 21lim21.30-+→xx x x 求极限()[]04数二考研题._________)(,1313)(19.23取值范围为向上则曲线确定由参数方程设函数x x y y t t y t t x x y =⎩⎨⎧+-=++=04数二考研题|,)1(|)(20.则设x x x f -=( ).04数二考研题凸的22.曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为_________.05数一考研题24.曲线xx y 2/3)1(+=的斜渐近线方程为__________.05数二考研题23.已知函数)(x f 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且.1(1),0)0(==f f 证明:(1) 存在),1,0(∈ξ使得;1)(ξξ-=f (2) 存在两个不同的点),1,0(,∈ζη使得.1)()(=''ζηf f 05数一、二考研题25. 设函数)(x f y 具有二阶导数,且0)(,0)(>''>'x f x f ,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与d y 分别为)(x f 在点0x 处对应的增量与微分,若0>∆x ,则(A)y d x ∆<<0;(B)d y y <∆<0;( ).=06数一考研题(C)0<∆d y y ;(D)0<∆<y d y .<10..26. 设数列}{n x 满足),2,1(sin ,011 ==<<+n x x x n n π(1)证明1lim +n x 存在, 并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→.27. 曲线xx xx y cos 25sin 4-+=的水平渐近线方程为.28.证明:当π<<<b a 0时,a a a a Bb b b ππ++>++cos 2sin cos 2sin .06数一、二考研题06数一、二考研题06二考研题29.曲线)1ln 1x e x y ++=渐近线的条数为( ).(A)0;1;2;3.(B)(C)(D)(07数一、二考研题30.设函数)()(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有二阶导数且存在相等的最大值),()(),()(b g b f a g a f ==证明:存在),(b a ∈ξ使得)()(ξξg f ''=''.,,31.=-→30sin arctan limx xx x .07数一、二考研题07二考研题32.求极限.sin )]sin(sin [sin lim 40x xx x x -→33.)(x f 连续,1)()1()cos(1lim 0=--→x f e xf x x 则._________)0(=f ,34.求函数32)5()(xx x f -=的拐点__________.08数一、二考研题08数二考研题08数二考研题设2)(x 35.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,导,则存在()b a ,∈ξ使得()()a b f a f b f -'=-ξ)()(.证明:若函数)(x f 在0=x 处连续,在()()0,0>δδ内可导,且()A x f x ='+→0lim 则()0+'f 存在,且()A f ='+0.(2),36.曲线⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰--)2ln(22102t t y d ue x tu ,在)0,0(处的切线方程为________ .37.函数x x y 2=在区间]1,0(上的最小值为________.可09数一、二考研题09数二考研题09数二考研题11..38.若)(x f ''不变号,且曲线)(x f y =在点()11上的曲率圆为2,则在(1,内( ).(A)有极值点,无零点(B)无极值点,有零点(C)有极值点,有零点(D)无极值点,无零点,;;;.39.求极限xx x x x 40sin )]tan 1ln()[cos 1(lim+--→.区间2)09数二考研题09数二考研题12..,)()(lim ,1)(lim ,0)(,),0()(13.?,873,.0,,12..1)12(11..arctan :10..)(,)1ln()(ln 9.1100222e x f hx x f x f x f x f r K S x x d xd xe e d x xf xx x f x hh x xx且满足内可导在已知函数问雪堆全部融化需要多少小时小时内融化了其体积的堆在开始融化的的雪已知半径为假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状例常数比成正比其体积融化的速率与半球面面积一个半球体状的雪堆求求不定积分计算设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=>+∞>+++=→+∞→00数二考研题01数一考研题01数二考研题01数二考研题02数二考研题[]:7.:6.:5.:4..)(,ln )(,2ln )1(3.:2.222d x x x x f x x x f =-=-计算不定积分计算不定积分计算不定积分计算不定积分求且设计算不定积分ϕϕ.d x ..d x .d x 94数一考研题95数二考研题96数二考研题96数二考研题97数二考研题98数二考研题考研真题四:1.计算不定积分.32d xe x x 94数二考研题.:8.计算不定积分.d x 99数二考研题13..).(x f 求+.)1(23/2arctan d x x xe x计算不定积分14.03数二考研题.________)(,0)1(,)(15.==='-x f f xe e fx x 则且已知04数一考研题16.求d x.06数二考研题17.计算不定积分).0(11ln >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++x d x x x09数二考研题14..考研真题五2.1.填空填空2)7(2=-+∞+x x d x⎽⎽⎽⎽⎽⎽.2210=-d x x x ⎽⎽⎽⎽⎽⎽.00数一考研题00数二考研题,,0)(3.x f π且上连续在设函数,0)(0=d x x f π,0cos )(0=x d x x f π,)().0(:10,10),(4..0)()(,,),0(2121l D t S t t y x l y x y x D xOy f f 试求左下方部分的面积位于直线表示正方形若及直线平面上有正方形设使内至少存在两个不同的点试证在≥=+≤≤≤≤===ξξξξπ).0()(0x d t t S x ≥00数一考研题00数二考研题[]{});1(2)(2,)1((1),cos )(5.0n x S n n x n n d t t x S x 证时为正整数且当设函数+<≤+<≤=ππ./)(lim (2)x x S x 求+∞→00数二考研题cos )sin (6.22322x d x x x 填空=+-ππ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.01数二考研题).(.)().(,0)0(,,0)(7.2)(0x f e x d t t g x g f x f x x f 求若且其反函数为上可导在设函数==+∞;)((1),0)0(,)0(,)(8.=>-x f f a a a x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式写出上有二阶连续导数在区间设01数二考研题01数二考研题[)[]ln 9.2=∞+xx d xe填空⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.02数一考研题.)(3)(,,(2)3=''--d x x f f a a a a a使上至少存在一点证明在ηη[]cos 12cos 1cos 11lim10.=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n 填空πππ 02数二考研题⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.15..(D)(C),)(11.(B)(A)x f 则下列函数中必为偶函数的是连续设函数;)(20d t t f x ;)(20d tt fx 02数二考研题;)()(0--d t t f t f t x [].)()(0-+d t t f t f t x [].2lim ,,)0,0()(12.2arctan 0==∞→-n nf e y x f y n t x并求极限写出此切线方程处的切线相同在点与已知两曲线02数一考研题.)()(,1001,)1/(,2/32)(13.122的表达式求函数已知函数d tt f x F x x e xe x x x f x x x -=⎩⎨⎧≤≤<≤-++=02数二考研题,tan ,tan 402401(D)(C)(B)(A)d x xxI d x x xI ==则设ππ15.)(.;21I I >>;21I I >>.12I I >>12I I >>03数二考研题11;11d t .)(e eee na d x x a n n n n n n n ( ).1)11)1;1)11)1lim ,114.123/111-+++-++++=--∞→+-则极限设x ;;((((.=23/23/23/A)(C)(B)(D)(.)1(,21)(922ln 2112=+>⎪⎩⎪⎨⎧=+==x t u d x y d t d u u e y t x x y y 所确定由参数方程设函数16.求,03数二考研题( )..,,(D);,,(C);,,(B);,,(A)αγβγαββγαγβα04数一、二考研题( ).,,,tan ,cos 017.3022γβαd tt d t t d t t x x x 则正确的排列次序是使排在后面的是前一个的高阶无穷小排列起来时的无穷小量把==→+16..23.._________1)2(1022=--x x x d x 05数二考研题22.如图, 曲线C 的方程为),(x f y =点(3,2)是它的一个拐点, 直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线, 其交点为(2,4). 设函数)(x f 具有三阶连续导数, 计算积分.)()(302'''+d x x f x x 05数一、二考研题12341234OC l 1l 2y f (x )=yx24.设函数)(x f 连续, 且,0)0(≠f 求极限05数二考研题.)1(ln ;)1ln(2;ln 2;ln ( ).12111lnlim 18.2122121212222+++++∞→d x x d x x x d x x d x nn n nnn 等于 )()()(04数二考研题(D)(C)(B)(A).)()(;)()(,|sin |)(19.2的值域求为周期的周期函数是以证明设x f x f d t t x f x xII I =+ππ04数二考研题.__________120.12=-+∞x x d x 04数二考研题21.设)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数,”“N M ⇔表示M 必要条件是N ,则必有( ).(A))(x F 是偶函数)(x f ⇔是奇函数;(B))(x F 是奇函数)(x f ⇔是偶函数;(C))(x F 是周期函数)(x f ⇔是周期函数;(D))(x F 是单调函数)(x f ⇔是单调函数.”“05数一、二考研题的充分17..)(lim-→x d tt x f x 25.设函数⎪⎩=≠=0,0,sin )(2x a x d t t A x f 在0=x 处连续则,a =.26.广义积分=+∞+022)1(x x d x.27.设)(x f 是奇函数0=x 外处处连续0=x 除,,是其第一类间断点x d t t f 0)(是则,).((A)连续的奇函数(B)连续的偶函数;;(C)在0=x 间断的奇函数(D)在0=x 间断的偶函数.;28.已知曲线L 的方程为),0(4122≥⎩⎨⎧-=+=t tt y t x (1)讨论L 的凹凸性;(2)过点)1,1(-引L 的切线),,(00y x 求切点,并写出切线的方程;积.(3)求此切线与L 对应于0x x ≤及x 轴所围成的平面图形的面(的部分)06数二考研题06数二考研题06数二考研题06数二考研题29.=21131d xe x x ____________.30.如图,连续函数)(x f y =]2,3[--,]3,2[上的图形分别是半径为1的上、,在区间]2,0[],0,2[-的图形分别是直径为2的下、.设=x dt t f x F 0)()(,则下列结论正确的是( ).(A))2(43)3(--=F F ;)2(45)3(F F =;(C))2(43)3(F F =-;(D))2(45)3(--=-F F .(B)下半圆周1231-2-3-O xy上半圆周在区间07数一考研题上07数一、二考研题18..31.设函数),(y x f 连续,则二次积分1sin ),(x d y y x f d x( ).(A)+ππyd x y x f d y arcsin 10),(; -ππyd x y x f d y arcsin 10),(;(C)y d x y x f d arcsin 10),(;y d x y x f d arcsin 10),(.(B)(D)等于设)(x f 是区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的单调、,且满足,cos sin sin cos )(0)(01+-=-x x f d t tt tt td t t f其中1-f是f 的反函数,求)(x f .可导函数32.07数二考研题07数二考研题34.曲线方程为)(x f y =函数],0[a 上有连续导数'a d x x f x 0)(( ).(A)曲边梯形ABCD 面积(B)梯形ABCD 面积(C)曲边三角形形ACD 面积(D)三角形ABCD 面积.则定表示;;;,35.求积分d x.x x x -10221arcsin 08数二考研题08数二考研题33.函数)(x f 连续⎰=x d t t f x F 0,)()(证明)(x F 可导且);()(x f x F =',,08数一考研题(1)设(2)是周期为的连续函数证明也是周期为的周期函数)(x f 2,2.⎰=x d t t f x g 0,)()(2⎰-2d t t f 0)(xOxy)(x f y =D )(a B ,0)(a C ,0f ())(a A ,a f ()在区间积分题图34证明积分中值定理(1):36.使下式成立如果函数)(x f 在积分区间],[a b 上连续,则在],[a b 至少存在一个点ξ,:b a.)(d x x f ⎰=)(ξf )(a b ≤)(a b -ξ≤19..>>32,)()2(),1()2(d x x ϕϕϕϕ证明至少存在一点),3,1(∈ξ使得0.)(<''ξϕ(2)已知)(x ϕ有二阶导数且满足⎰08数二考研题,37.设函数)(x f y =在区间[]31-图形如右图所示则函数⎰=x d t t f x F 0)()(为( ).,)(x f O 1-2-123x,)(x F O1-2-123x1-(A))(x F O1-2-123x1-(B))(x F O1-2-123x1-1(C))(x F O1-2-123x1-1(D)38.已知1=⎰+∞∞-d x e xk,则k ________=.39.nx d x e x n sin lim1⎰-∞→________ .上的=09数一、二考研题09数二考研题09数二考研题20..)(,)0(3.)1((3,)1,1()(,)1),()(2.23/2223轴上方的无界图形的面下方位于曲线填空在直角坐标系下曲率公式为值计算之间的弧长于是该抛物线上介于点处的曲率半径上任一点是抛物线设x x xe y y y K d sd d s d M A x s s x y x M x y x x +<≤='+''=-=≥==-ρρρρρ(.∞.01数二考研题02数二考研题?最大体积是多少?转一周所得的旋转体体积最大00数二考研题积是(),.,,,4.当水面与闸门的上端相平所围成下部由二次抛闸门的上部为矩形为对称轴其中直线某闸门的形状与大小如图所示AB ABCD l 欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承lABCD物线与线段时,.,1)0,0(1.222该图形绕为何值时问围成一平面图形的直线与曲线和过坐标原点交于点与设曲线x a ax y A O A x y x a ax y =-=≥>=轴旋点)考研真题六的.20,,02;02,25.?)(,4:52221其中所围成的平面区域直线是由抛物线所围成的平面区域及和直线是由抛物线设米闸门矩形部分的高a a x y x y D y x a x x y D m h <<=======02数二考研题Oxy22x y =1D 2a2D 受的水压力之比为应为和.?(2);;(1)212211试求此最大值取得最大值为何值时试问轴旋转而成的旋转体的体积绕轴旋转而成的旋转体体积绕试求V V a V y D V x D +02数三考研题多少;(1).ln ,ln A D D x x y x y 的面积求平面图形及该切线与曲线的切线过坐标原点作曲线==6.轴围成03数一考研题21..):(?,(2)?,3(1).)20(表示长度单位米注汽锤至多能将桩打进地下多深若击打次数不限可将桩打进地下多深次后汽锤击打桩问m r r <<.)((1).,),(,21,22)(x f y x PQ Q y y x P x f y 的方程求曲线轴平分被且线段轴的交点为处的法线与其上任一点过点设位于第一象限的曲线==9.03数一考研题03数二考研题)(.)(,],0[sin (2)s x f y l l x y 的表示曲线试用上的弧长为在已知曲线==π弧长.(2)V e x D 直线旋转一周所得旋转体的体积绕求=,,,汽锤每次击打需用汽锤将桩打进土层某建筑工程打地基时8.都将.______20),0(7.的一段弧与极轴所围成的图形的面积为变到从则该曲线上相应于设曲线的极坐标方程为πθρθ>=a e a 03数二考研题,.),0,(根据设计方汽锤第一次击打将桩打进地下比例系数为a m k k >成正比要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度克服土层对桩的阻力而作功案.)()(lim(2);)()((1)).(),(),(,.0)0(,0210.t F t S t V t S t F t x t S t V x y t t x x e e y t xx +∞→-==>==+=计算极限的值求处的底面积为在侧面积为其体积为轴旋转一周得一旋转体该曲边梯形绕围成一曲边梯及与直线曲线04数二考研题形11.如图, 1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象, 过点(0,1)曲线3C 是一单调增函数的图象, 过2C 上任一点),(y x M 分别作垂直于x 轴y 轴的直线x l 和.y l 记21,C C 与x l 所围图形的面积为321,);(C C x S 与yl 的和22..所围图形的面积为).(2y S 如果总有),()(21y S x S =求曲线3C 的方程).(y x ψ=05数二考研题11Oyxl C C C y321l xM x y )(,设D 是位于曲线)0,1(2+∞<≤>=-x a a x y ax 下方、x .(Ⅰ)当区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积)(a V ;(Ⅱ)当a 为何值时,)(a V 最小?并求此最小值.界区域12.轴上方的无07数二考研题13.椭球面积1s 是椭圆13422=+y x 绕x 轴旋转而成,圆锥面积2s 是过点(),0,4且与椭圆相切的直线绕x 轴旋转而成.(1)求1s 及2s 的方程13422=+y x ;(2)求1s 与2s 之间的立体体积.09数一考研题23..考研真题七.)())0(,0(,)()0()(;)())0(,0()(;)()0()(;)()0()(( ).,0)0(,)()()(3.).?,.,2000,.,51999.3,6,2.000的拐点也不是曲线点的极值不是的拐点是曲线点极小值是极大值是则且满足方程设函数的浓度是均匀的设湖水中以内湖泊中污染物问至多需要经过多少年污水的浓度不超过限定排入年初起从为了治理污染超过国家规定指标的含量为年底湖中已知的水量为流的污水量为每年排入湖泊内含污染物某湖泊的水量为x f y f x f f D x f y f C x f f B x f f A f x x f x f x f A m A V m A m A V A V A V ==='='+''入湖泊内不含(,0)0(),(2)(),()()(),(7.___.11arcsin )0,21(6..____________,),)cos sin (5..1)(,0:)2();()1(,0)()()(,1)0(,),0[)(4.22121且满足设函数的曲线方程为且满足关系式过点则该方程为线性齐次微分方程的通解为某二阶常系数为任意常数设成立不等式时当证明求导数且满足等式上可导在函数f x f e x g x g x f x g x f x y x y C C x C x C e y x f e x x f d t t f x f x f f x f x x x x =-='='=-+'+=≤≤≥'=-+'=+∞-(00数二考研题00数二考研题00数二考研题01数一考研题01数二考研题流出湖泊的水量为6V ,湖泊中含的含量降至.__________031.的通解为微分方程y y x ='+''00数一考研题/.,)2(;)1().0,21/(,)0),(,8.围成的图形的面积最小以及两坐标轴所使该切线与位于第一象限部分的一条切线求的方程试求曲线经过点且轴上的截距距离恒等于该点处的切线在到坐标原点的其上任意一点是一条平面曲线设L L L L y x y x P L >(01数二考研题.])1()(1)([,2)0(02求d x x x f x x g g +-+=π01数二考研题24...2,1)(),(0)2(.13.( ).)()1ln(,0,0)0()0()(.12..)!3()1()2(2303旋转体体积最小轴旋转一周的轴所围成的平面图形绕以及与直线使得由曲线的一个解求微分方程的极限函数时则当的特解满足初始条是二阶常系数微分方程设的和函数的结果求幂级数利用x x x x x y y x y y d x y x x d y x y x x y y e qy y p y x y y n x x n n=====-++→='==+'+''=∑∞=;)()!3(!9!6!31)()1.11.____________21,10.10396302满足微分方程验证函数是满足初始条件微分方程e y y y x n x x x x x y y y y y y x nx x =+'+''+∞<<-∞++++++=='=='+''== (的特解.)()(,0',),()(的反函数是且内具有二阶导数在设函数==≠+∞-∞=x y y y x x y x y y 14.02数一考研题02数一考研题02数二考研题02数二考研题03数一考研题?,87/3,.0,,9.0问雪堆全部融化需要多少小小时内融化了其体积的的已知半径为假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状比成正比其体积融化的速率与半球面面积一个半球体状的雪堆r K S >例常数雪堆在开始融化的01数二考研题时件;)(不存在A ;2)(等于C .3)(等于D ;1)(等于B .23)0(',0)0((2);)(的解求变换后的微分方程满足初始条件所满足的微分方程变换为===y y x y y )((1)所满足的微分方程试将=y x x 0))sin (322=++d yd xx y d y x d ()(,)('ln 15.y xy x x y y xx y +==的表达式为则的解是微分方程已知ϕϕ25..y)(y x ϕ=yO-22x).,:(.)((2);)(,(1)).,表示时间单位分表示长度单位米注的方程求曲线之间的关系式与写出时刻液面的面积根据假设注入液体前y x y t t ϕϕ=容器内无液体03数二考研题(min /,min /3,.2),()0)(,23的速度均匀扩大液面的面积将以的速率向容器内注入液体时当以根据设计要求容器的底面圆的半径为如图的旋转曲面绕其内侧壁是由曲线有一平底容器m m m y y x πϕ≥=16.(轴旋转而成y ______.)0(02417.222的通解为欧拉方程>=++x y d xd y xd x y d x 04数一考研题/,?,).100.6(,,./700,9000.,,,,,18.6表示千米/小时表示千克注机滑行的最长距离是多少问从着陆点算起比例系数为总阻力与飞机的速度成正比减速伞打开后经测试着陆时的水平速度为的飞机现有一质量为使飞机迅速减速并停下以增大阻力飞机尾在触地的瞬间为了减少滑行距离某种飞机在机场降落时h km kg k h km kg ⨯=部张开减速伞04数一、二考研题.______56|02)(19.13的特解为满足微分方程==-+=x y x d y d x x y 04数二考研题(D)(C)(B)(A)( ).;22x y -;22x y ;22y x -.22y x 03数二考研题飞机所受的飞).(min m .cos (D);sin (C));cos sin ((B));cos sin ((A)( ).sin 120.22222x A c bx ax y x A c bx ax y x B x A c bx ax x y x B x A x c bx ax y x x y y +++=+++=++++=++++=++=+''****的特解形式可设为微分方程04数二考研题21.微分方程x x y y x ln 2=+'满足91(1)-=y 的解为_________.05数一、二考研题26..22.用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程,0)1(2=+'-''-y y x y x 并求其满足2|,1|00='===x x y y 的特解.05数二考研题验证0(1))(=+''uu f ;:)('u f 若0(1)=f 1='f , 求函数)(u f 的表达式(2)(1), .2222=∂∂+∂∂y z x z 24.设函数)(u f 在0∞内具有二阶导数)(22y x f z +=)(,且,系式25.函数x x x xe e C e C y ++=-221满足一个微分方程是( ).(A)x xe y y y 32=-'-''(B)x e y y y 32=-'-'';;(C)x xe y y y 32=-'+''(D)x e y y y 32=-'+''.;23.微分方程xx y y )1(-='的通解是.06数一、二考研题06数一、二考研题06数二考研题满足关26.二阶常系数非齐次线性微分方程xe y y y 2234=+'-''的通解为=y ____________.07数一、二考研题27.求微分方程y y x y '='+'')(2满足初始条件1)1()1(='=y y 的特解.07数二考研题微分方程0=+'y y x 满足条件1)1(=y 的解是=y _________.28.在下列微分方程中321321,,(2sin 2cos C C C x C x C e C y x ++=任意常数为通解的是;044=-'-''+'''y y y y 以( ).(A)(B)29.,)为;044=+'+''+'''y y y y ;044=+'-''-'''y y y y (C)(D).044=-'+''-'''y y y y 08数一考研题08数一、二考研题08数二考研题30.曲线)(x f y =在区间1.)0(=f 对于任意的t 该曲线与直线,0=x =t x 及0=y x 轴旋转一周生成一旋转体其体积为),(t V 侧面积为).(t S 如果)(x f 且,2)()(=t V t S 求曲线)(x f y =,,梯形绕二阶可导[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且∈[0,+∞),的表达式.围成一曲边27..31.若二阶常系数线性齐次微分方程=+'+''by y a y 的通解为()x e x C C y 21+=,则非齐次方程x by y a y =+'+''满足条件00(,2)0(='=y y 的解为=y .)___________32.设非负函数)0)(≥=x x y y 满足微分方程02=+'-''y y x ,当曲线)(x y y =过原点时,其与直线1=x 及0=y 围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.(33.设)(x y y =是区间),(ππ-内过)2,2(ππ-的光滑曲线,当0<<-x π时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤≤-x π时,函数满足0=++'x y y ,求)(x y 的表达式.09数二考研题09数二考研题09数一考研题28...1122112,1,11.都平行且过原点的平面及求与直线z y x t z t y x +=+=⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==考研真题八87数一考研题,11122:,130211:3..1,43,2:)1,2,1(2.21已知两条直线方程垂直的平面方程且与直线求过点zy x L z y x L t z t y t x L M =-=+--=-=-⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=-90数一考研题.(2);012:11111:(1)7..,824),2,3,6(6..00轴旋转一周而成的曲面方程绕直线的方程上的投影在平面直线求此平面方程垂直且与平面设一平面经过原点及点位置关系y L L z y x z y x L z y x =-+-∏-+==-=+--求直线96数一考研题98数一考研题0224:031020123:5.).()]()[(,2)(4.与平面试确定直线求设z y x z y x z y x L a c c b b a c b a =-+-∏⎩⎨⎧=+--=++++⋅+⨯+=⋅⨯95数一考研题95数一考研题.21的平面方程且平行于求过L L 91数一考研题的方程8.点012(到平面0543=++z y x 的距离z =.),,06数一考研题9.函数),(y x f z =的全微分为y d y x d x d z +=,则点(0,0)(A)不是),(y x f 的连续点(B)不是),(y x f 的极值点(C)是),(y x f 的极大值点(D)是),(y x f 的极小值点( ).;;;.09数二考研题29...,,,,1.2yx zg f x y g y x xy f z ∂∂∂+=求具有二阶连具有二阶连续偏导数其中设续导数00数一考研题()(),1)0,0(,3)0,0(,)0,0(),(2.则且的附近有定义在点设函数选择(A)f f y x f y x ='=';3)0,0(d y d x d z+=01数一考研题.)(),(,()(,3,2,1)1,1(,)1,1(),(3.13)1,1()1,1(求且处可微在点设函数x d xd x x f x f x yf xf f y x f z (D)(C)(B)x ==∂∂=∂∂===ϕϕ}1,1,3{)0,0(,0,0(),(的法向量为在点曲面f y x f z =);}3,0,1{0),(的切向量为在点曲线y y x f z ⎩⎨⎧==)0,0(,0,0(f );}1,0,3{0),(的切向量为在点曲线y y x f z ⎩⎨⎧==)0,0(,0,0(f ).).01数一考研题:4),(4.条性质的下面考虑二元函数选择y x f 02数一考研题( ).①;),(),(00处连续在点y x y x f ④③②;),(),(00处的两个偏导数连续在点y x y x f ;),(),(00处可微在点y x y x f ),(),(00处的两个偏导数存在.在点y x y x f 考研真题九.75),(}75),({,,5.2222小山的高度函数为其底部所占的区坐标面取它的底面所在的平面为设有一小山xy y x y x h xy y x y x D xOy +--=≤-+=,.;;;,④①③①④③①②③①③②则有推出性质表示可由性质若用(D)(C)(B)(A)Q P Q P ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒( ).域为30...,),((1)75,,,(2);),(),(?),(,),((1)22000000试确定攀登起点的位置达到最大值的点中的上找出使的边界线要在也就是说为此需要在山脚寻找一上山坡度最大现欲利用此小山开展攀登活动的试写出的方向导数最大在该点沿平面上什么方向问上一点为区域设y x g xy y x D y x g y x g y x h D y x M =-+,的点作为攀登的起点若记此方向导数的最大值为02数一考研题____.0426.22平行的切平面的方程是与平面曲面=-++=z y x y x z ,)0,0(),(7.且的某个领域内连续在点已知函数y x f 03数一考研题03数一考研题.),()0,0(;),()0,0(;),()0,0(;),()0,0(,1)(),(lim2220的极值点是否为根据所给条件无法判断点的极小值点是点的极大值点是点的极值点不是点则y x f (D)y x f (C)y x f (B)y x f (A)y x xyy x f y x =+-→→( )..),(,0182106),(8.222的极值点和极值求确定的函数是由设y x z z z yz y xy x y x z z ==+--+-=04数一考研题__________.3,2),(9.32=∂∂+∂∂+==-yz x z y e z y x z z z x 则确定由方程设函数04数二考研题,),,(10.22f e y x f z xy -=求具有连续二阶偏导数其中设表达式.,,2yx z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂04数二考研题11.设函数,181261),,(222z y x z y x u +++=单位向量},1,1,1{31=n 则.______)3,2,1(=∂∂nu 05数一考研题31..12.设有三元方程,1ln =+-xz e y z xy 根据隐函数存在定理, 存在点的一个邻域, 在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数),(y x z z =;(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z x y y =和),(y x z z =;(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(y x z z =;(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(z x y y =;1)( ).05数一考研题14.已知),(y x f z =的全微分,22y d y x d x d z -=并且.2)1,1(=f 求(f ),y x 在椭圆域}14|),{22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(05数二考研题13.设函数,)()()(),(+-+-++=y x yx d t t y x y x y x u ψϕϕ其中函数ϕ二阶导数, ψ具有一阶导数, 则必有( ).(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂;2222y u x u ∂∂=∂∂;222y uy x u ∂∂=∂∂∂;222x u y x u ∂∂=∂∂∂.具有(B)(C)(D)05数一、二考研题(0,1,(D)若0),(00≠'y x f x 则0),(00≠'y x f y .,(C)若0),(00≠'y x f x 则0),(00='y x f y ;,(B)若0),(00='y x f x 则0),(00≠'y x f y ;,(A)若0),(00='y x f x 则0),(00='y x f x ;,下列选项正确的是( ).,),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点15.设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数0),(≠'y x y ϕ. 已知且,06数一、二考研题16.设),(v u f 为二元可微函数,),(x y y x f z =,则=∂∂xz____________.07数一考研题求函数22222),(y x y x y x f -+=在区域}0,4|),{(22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值.17.18.设),(v u f 是二元可微函数,,,⎭⎫⎝⎛=y xx y f z 则,07数一考研题07数二考研题32..=∂∂-∂∂yz y x z x____________.19.二元函数),(y x f 在点)0,0(处可微的一个充分条件是( ).(A)0)]0,0(),([lim )0,0(),(=-→f y x f y x ;(B),0)0,0()0,(lim=-→x f x f x 且0)0,0(),0(lim 0=-→y f y f y ;(C)0)0,0(),(lim22)0,0(),(=+-→y x f y x f y x ;(D),0)]0,0()0,([lim 0='-'→x x x f x f 且0)]0,0(),0([lim 0='-'→y y y f y f .07数二考研题函数y xy x f arctan ),(=在点)1,0(处的梯度等于( ).i (A)i -(B)j (C)j -(D).20.;;;已知曲线C ,5302222⎩⎨⎧=++=-+z y x z y x 求曲线C 距离XOY .21.面最远点和最近22. 已知,y xx y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛=则._________)2,1(=∂∂x z.24.求函数222z y x u ++=存在约束条件22y x z ==和4=++z y x 的最大和最小值:点下08数一考研题08数一考研题08数二考研题08数二考研题设函数)(x y y =由参数方程+==20)1ln()(t du u y t x x 确定,其中)(t x 是初值问题==-=-0|020t x x te d t d x 的解,求.22d x y d ⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧23.08数二考研题25.设函数()v u f ,具有二阶连续偏导数,),,(xy x f z =则yx z∂∂∂2________.=26.求二元函数()y y y x y x f ln 2),(22++=的极值.27.设函数()y x f ,连续,则09数一考研题09数一考研题。