2016-2017学年高中数学苏教版必修5学案：3.2.2 一元二次不等式的应用 Word版含解析

第2课时一元二次不等式的应用

1．掌握含字母参数的一元二次不等式的解法．(重点)

2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．(难点)

3．会以一元二次不等式为数学模型，求解相应的实际问题．(重点)

[小组合作型]

(1)解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.

(2)解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)．

【精彩点拨】

【自主解答】(1)方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y ＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a<－1时，原不等式解集为{x|a－1时，原不等式解集为{x|－1

(2)原不等式可化为：

(ax＋1)(x－1)<0，

当a＝0时，x<1；

当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋1a (x －1)<0，

∴－1

a

当a ＝－1时，x ≠1；

当－11，⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋1a (x －1)>0，

∴x >－1

a 或x <1； 当a <－1时，－1

a <1， ∴x >1或x <－1

a .

综上，原不等式的解集是： 当a ＝0时，{x |x <1}； 当a >0

时，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－1a

⎩

⎨⎧⎭⎬⎫

x |x <1或x >－1a ；

当a <－1

时，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x <－1a 或x >1.

含字母参数的一元二次不等式分类讨论的顺序：

(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

[再练一题]

1．解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0(a ∈R )． 【解】 Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：

(1)当Δ<0，即－4

(2)当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为 x 1＝1

4(－a －a 2－16)， x 2＝1

4(－a ＋

a 2－16)．

当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4

时，原不等式的解集为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ⎪⎪⎪ x <1

4(－a －

a 2－16)，

⎭

⎬⎫

或x >1

4(－a ＋

a 2－16)；

当a ＝4时 ，原不等式的解集为 {x |x ∈R ，且x ≠－1}.

某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12

万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0

(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？

【精彩点拨】 (1)利用“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量”．

(2)解“y >(12－10)×10 000”即可．

【自主解答】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0

整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0

y －(12－10)×10 000>0，0

即⎩⎪⎨⎪⎧

－6 000x 2＋2 000x >0，0

解得0

3，

所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，13范围内．

解不等式应用题的一般步骤：

(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系； (2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化； (3)求解不等式； (4)还原实际问题．

[再练一题]

2．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

【解】 设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥1

2×800×600，整理得x 2－700x ＋

600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0

故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.

[探究共研型]

探究1 【提示】 ⎩⎪⎨⎪⎧

a >0，

Δ＝b 2

－4ac <0.

探究2 不等式f (x )≤a 恒成立，x ∈[m ，n ]的等价条件是什么？ 【提示】 f (x )≤a ，x ∈[m ，n ]恒成立⇔f (x )的最大值≤a ，x ∈[m ，n ]．

设函数f (x )＝mx 2－mx －1.

(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 【精彩点拨】 (1)分m ＝0和m ≠0两类，结合函数图象求解． (2)利用函数最值或分离变量m ，求范围． 【自主解答】 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0.

若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧

m <0，

Δ＝m 2

＋4m <0⇒－4

∴－4

(2)法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3

4m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．

令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －122＋3

4m －6，x ∈[1,3]．