数学+孟庆柏+作业1

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广东省廉江市实验学校北师大版四年级数学上册第12周周末作业

广东省廉江市实验学校北师大版四年级数学上册第12周周末作业

廉江市实验学校小学部2020-2021学年度第一学期四年级数学第14周周末作业班别:__________ 姓名:___________ 座号:___________ 得分:_________一、填空。

1、()个20是100,100÷20的商是()。

2、490里面有()个70。

560是( )个80。

3、158÷28的商的最高位在()位上。

4、计算354÷29时,可以把29看作()来试商;计算268÷52时,可以把52看作()来试商。

5、不计算,直接判断下面各题的商是几位数。

84032的商是()位数。

13869的商是()位数。

6、789□要使商是一位数,□里可以填();使商是两位数,□里可以填7()。

二、判断题。

1、4000÷50的商末尾有2个0。

()2、试商时,如果余数和除数相等,说明商小了。

()3、一个三位数除以一个两位数,商一定是一位数。

()4、756 ÷52,把52看作50来试商,得到的商偏大。

()5、被除数末尾有0,商的末尾一定也有0。

( )三、脱式计算。

320-(72-12×2) [ 576-(232+308) ] ÷9四、简便运算。

423+346+177 38×99+38 623-278-12223×23+23×77 25×125×32 49×10247×(100-2) 389×2×5 125×88五、解决问题。

两个工程队计划共同修一条公路,甲队每天修70米,乙队每天修80米,6天完成修路任务。

1.这条公路长多少米?2.按计划完成任务时,乙队比甲队多修了多少米?3.如果要提前一天完成任务,乙队修路速度不变,则甲队每天要修多少米?家长签字:年月日。

第二章-培优帮-章末总结高中数学必修第一册人教B版

第二章-培优帮-章末总结高中数学必修第一册人教B版
第二章 等式与不等式
培优帮 章末总结
例1 [教材改编P80练习B T3]已知 > 0, > 0, + = 1,求证:

1
+


1
+


25
.
4
【解析】∵ 1 = + ≥ 2
∴ +
1


1
+ ≥

2 2
,∴ 1 ≥ 4(当且仅当 = 时取等号).
4 +
1


1


=

,即

= + .
例8 (2022·全国高中数学联赛重庆赛区初赛)若不等式 + ≤ 5 + 对任意正

实数,都成立,则实数的最小值为____.

【解析】由柯西不等式的变形可知 5 + =
+
5+

30

,当且仅当 1
5
则的最小值为
5
30
因此⑨式成立,故原不等式成立.
命题点1 利用均值不等式求最值
例2 (2023·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)若不等式 + 2 + 2 ≥ + 对任


意满足 + ≥ 的正实数,,均成立,则实数 的最大值为_______.

【解析】由 + ≥ ,得
1

1
2
≥ +
15
1 =
16×4
1
4
⑥,当且仅当 = =
17
.
4
下面给出例1的其他证法,证法较难,技巧性较强.

2020新教材人教B版高中数学必修第一册精练:第二章单元质量测评含解析

2020新教材人教B版高中数学必修第一册精练:第二章单元质量测评含解析

第二章单元质量测评本试卷分第I 卷(选择题)和第U 卷(非选择题)两部分•满分150分,考试时 间120分钟.第I 卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的)i .方程竺尹一2xp =1的解集为() A. { — 17} B . {17} C . {4}D . {1}答案 A=6,系数化为1得,x =— 17,即其解集为{ — 17}.故选A.2 .方程x 2 + 50x — 600= 0的解集为( )B. {10,— 60}C. { — 20,30} 答案 B解析 原方程可变为(x — 10)(x + 60) = 0,即其解集为{10 , — 60}.故选B. 3. 已知关于x 的一元二次方程2x 2— kx + 3 = 0有两个相等的实根,则k 的值 为()A.6B . ±. 6C . 2 或 3 D. 2或 3答案 A解析 因为方程有两个相等的实根,所以 △= (— k )2—4X 2X 3= k 2— 24= 0, 即k = ± 6故选A.4. 已知X 1, X 2是关于x 的方程x 2 — ax — 2= 0的两根,下列解析通分得, 3x — 3 — 22x + 11,去分母,去括号得,3x — 9 — 4x — 2A . { — 10,60}D. {20,— 30} A . X 1M x 2C . X 1X 2>0结论一定正确的是()B. x1 + X2>0D. X1V0, X2V0答案A解析由根与系数的关系与已知,可得X1+ X2= a, X1X2= —2,所以x i与X2 异号,又△二(—a)2—4X i x (—2)= a2+ 8>0恒成立,即a取任意值且X I与池不等.故选A.5•若a, b, c€ R,且a>b,则下列不等式成立的是()A:1B. a2>b2a ba bC. c2+i>c+1D. a|c|>b|c|答案C1 i解析根据不等式的性质,知C成立;若a>0>b,则a>b,则A不成立;若a= 1, b= —2,则B不成立;若c= 0,贝U D不成立.故选C.X一16 .不等式---- >2的解集为()XA. [ —1,0)B. [ —1 ,+x)C. (",—1]D. (",—1] U (0,+x)答案A解析原不等式变形为X一1—2> 0即■1+X< 0.因为X M0,所以当X<0时,有X X1 + X>0即X>—1;当X>0时,有1 + X< 0即X<—1,矛盾.综上,原不等式的解集为[—1,0),故选A.7 .不等式X2—3X+ 2<0的解集是()A. (",—2)U (—1 ,+x)B. (", 1) U (2,+x )C. (1,2)D. (—2,—1)答案C解析不等式X2—3X+ 2<0可变为(X—1)(X— 2)<0,即其解集为(1,2).故选C.x + 2y + z = 64, 8. 方程组x — y = 2, 的解集为()x + 2z = 2y + 14A.{( — 12,16,18)} B . {(62 , — 12,14)}C .{(18,16,14)} D . {(14,16,18)}答案 Cx + 2y + z = 64, ①解析由已知x — y = 2,②x + 2z = 2y + 14, ③先消去未知数x ,由②得x =y + 2④,把④分别代入①和③得到关于 y 和z的二元一次方程组为y + 2 + 2y +z = 64,整理得3y +z = 62,解得尸©z = 14, x = 18,把y = 16代入④得x = 18,二原方程组的解为 y = 16, 即 z = 14, 其解集为{(18,16,14)}.故选C. y 2=2x ,方程组2 2c 的解集为(x — y = 8 9.B .{(4 , — 2)} {(4,2 .2), (4,— 2.2)} C . {(— 2,4)}{(2 .2, 4), (— 2 2, 4)} 答案 BD .y 2= 2x , ①解析由已知2 2 c 介x 2—宀8, ②把①代入②整理得x 2— 2x — 8= 0,••• y 2 = 2x >0,二 x2= — 2 舍去,••• x = 4,即(x — 4)(x + 2) = 0,二 X 1 = 4, X 2= — 2,把 x = 4代入①得 y 1 = 2.2, y 2= — 2 2,所以方程组的解为X 1 = 4, x 2 = 4, - y 匸2 2或乎一 2.2,即其解集为{(4'2 2), (4,—2 2)} •故选 B.10.若关于x 的一元二次不等式x 2+ mx + 1> 0的解集为R ,则实数m 的取 值范围是()A. (2] U [2,+x )B. [— 2,2]C. (",— 2)U (2,+x )D. (— 2,2) 答案 B2 2—^4》0,即x +m 2>^4 — 1的解集为R ,A . — 8B . 8C . 16D .— 16答案 B解析 ■/x>1 ,.•• x — 1>0,+ 5= x — 1 + ^^ + 6>/ x — 1 +x — 1 x — 1x — 1x + m 2+ 1 2所以牙--K 0,即—2< m < 2.故选 B.解析原不等式可化为 111.已知x>1,则x + + 5的最小值为( )x — 1=1时等号成立,故所求的最大值为1.故选B.12.设正实数 x , y , z 满足 x 2 —3xy + 4y 2 --z =l:的最大值为( )A . 0B .19C.4D .3答案 B解析xy xy1 一 1z = x 2 -3xy + 4y 2 = x + 皱—x4yy xy x1 _ —P+_y 0,则当¥取得最大值时,;+ 厶 入1 ——=凡=1,当且仅当x = —3 4 — 3 y — 1 2+ 1< 1,当且仅当y6 = 2+ 6= 8,当且仅当x = 2时等号成立.故选B.1 2 y —z2 =y =2 2 1 22y 时等号成立,此时z = 2y 2, ; + 土 — 2 = 入 y 厶第U卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分•将答案填在题中的横线上)513. 已知集合M= {x| —2<x—K2, x€ R} , P= x 帚》1,x€ Z ,则M A P等于 ________ .答案{x|—1<x<3, x€ Z}解析T M = {x|—1<x<3},P = {x|—1<x<4,x€ Z},二M A P = {x| —1<x< 3,x€ Z}.1c14. 若关于x的一元二次方程2x2—2mx—4m+ 1 = 0有两个相等的实数根,则(m —2)2—2m(m —1)的值为____ .答案71 1解析由已知可得△二(—2m)4—4X2X (—4m+ 1) = 0,即卩m2+ 2m—十 0,1 1 7m5+ 2m=2,故所求(m—2)2—2m(m—1)= —m2—2m+ 4=— + 4=g115. 当x>1时,不等式x+:>a恒成立,则实数a的最大值为.x—1 ------------- 答案 3…一 1 一,、一 1 1解析x+ > a 恒成立? x+ min > a. T x>1,••• x—1>0,••• x+ = x—1 x—1 5x—11 ’x—1+ +1x—1>2 x— 1 •—1+ 1 = 3(当x = 2 时取等号).•- a<3,即a的最大值为3.16. 设x,y为实数,若4x2+ y2+ xy= 1,则2x+ y的最大值是___________ .解析T4«+ y2+ xy= 1,• (2x + y)2—3xy= 1,即(2x+ y)2—§X 2xy= 1.:(2x5答案¥5+ y )2 — 3 •2X 2~y 2< 1,即(2x + y )2w 5 解得—2x + y < 2i5^.^ 2x + y 的最 大值是务10三、解答题(本大题共6小题,共70分•解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)117. (本小题满分10分)已知a>0,试比较a 与匚的大小.a 解 a —J 左亠a— 1 a+1. a a a因为a>0,a _1 a + 11所以当a>1时, - >0,有a>a ;aaa — 1 a +11当 0<a <1 时,一a —<°,有1 1 1综上,当 a>1 时,a>-;当 a = 1 时,a =-;当 0<a<1 时,a<-.a a a18. (本小题满分12分)已知a , b, c 为不等正数,且abc = 1,求证:.a + , b 厂1 1 1+ c<- + b + c. va b c证明 证法一::a , b , c 为不等正数,且abc = 1,••• _a + b + c = 丄+J故原不等式成立.证法二:••• a , b , c 为不等正数,且abc = 1,> .abc 2 + . a 2bc + 划 ab 2c当a = 1时,a — 1 a + 1a1111匚+ +_b c c av 〒 + 丁 + 1 1 + a b 1 1 1 --- =—+ — + — a +b +c =bc + ca +bc + ca ca + ab =++ab + be2=a + b + c.故原不等式成立.19. (本小题满分12分)求下列式子的解集:y —x = 1, x 2—xy — 2y 2 = 0;x 2 + y 2= 25,xy = 12;(4)x 2— (2 + c)x + 2c<0(c 为常数).1将①代入②得2x 2 + 5x + 2= 0,解得* = — -, X 2= — 2,将所得x 值代入①由①+②X 2得x 2 + 2xy +49.••• x + y =±7,将 x , y 看作 m 2 — 7m + 12 = 0 或 m 2 + 7m + 12 = 0 的两解,则m 1 = 3, m 2= 4或 m 3= — 4, m 4= — 3,x 1 = 3, x 2= 4, X 3= — 4, x 4= — 3.或 或 或y 1 = 4 y 2= 3 y 3= — 3 y 4= — 4.所求解集为{(3,4) , (4,3), ( — 4,— 3), (— 3,— 4)}.(4)x 2— (2 + c)x + 2c<0,即(x — 2)(x — c)<0.① 当c>2时,不等式(x — 2)(x — c)<0的解集为{x|2<x<c}; 3 — 2x⑶3+x >0;(1)由已知 y — x = 1,x 2 — xy — 2『=0,1x1 = — 2,x 2= — 2,或 即所求方程组解集为 y 2= — 1,2' —2,— 1⑵由x 2+ y 2=25, (3)原不等式可化为 2x — 3 x + 5 W 0,x + 5 工 0. 所以原不等式的解集为 一5,号.②当c<2时,不等式(x —2)(x—c)<0的解集为{x|c<x<2};③ 当c = 2时,不等式(x — 2)(x — c )<0的解集为?.所以所求解集为:当c>2时,(2, c );当c = 2时,?;当c<2时,(c,2).20. (本小题满分12分)已知正实数a ,b 满足a + b = 1,求a +3 4+ a的最小值.1 1解 a + 一 2+ b +1 2 a b=a 2 + b 2 + 古 + 古 + 41二(a 2 + b 2) 1 + 齐 + 42 1 = [(a + b)2 — 2ab] 1++ 4二(1 — 2ab) 1 + -2^2 + 4,由a + b = 1,得ab < b 2 =彳当且仅当a = b = 2时等号成立,1 1 1所以 1 — 2ab > 1 — 2 = 2,且 aV 》16, 3 1 25所以a +1 2 + b +1 2的最小值为字a b 221. (本小题满分12分)若关于x 的不等式x 2— ax — 6a<0的解集的区间长度 不超过5个单位,求实数a 的取值范围.解■/x 2 — ax — 6a<0 有解,方程 x 2— ax — 6a = 0 的判别式 △= a 2 + 24a>0,a>0 或 a< — 24.解集的区间长度就是方程x 2 — ax — 6a = 0的两个根x 1,x 2的差的绝对值,由 x 1 + x 2 = a ,x 1x 2= — 6a ,得(X 1 — x 2)2 = (x 1 + x 2)2 — 4x 1x 2 = a 2 + 24a.•.•|x 1 — x 2|<5,二(x 1 — X2)2W 25,a 2 + 24a w 25,— — 25 w a w 1.综上可得—25w a< — 24或0<a w 1,1 b +£1 1 1 25 所以 a + a 2+ b+1 2>(1 + 16)+ 4= "2",即a的取值范围是[—25,—24) U (0,1].22. (本小题满分12分)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意度为十;如果他买进该产品的单价为n元,则他的满意度为n+a.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2,则他对这两种交易的综合满意度为-h1h2.现假设甲生产A,B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A,B 两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A,B的单价分别为m A元和m B元,甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙3(1) 求h甲和h乙关于m A,m B的表达式;当m A=gm B时,求证:h甲=h乙;3(2) 设m A=5m B,当m A,m B分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3) 记(2)中最大的综合满意度为h o,试问能否适当选取m A,m B的值,使得h 甲》h o和h乙》h o同时成立,但等号不同时成立?试说明理由.解设m A= x,m B= y.12(1)甲买进产品A的满意度:h1甲二X+2;甲卖出产品B的满意度:h2 甲=燕;甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度:同理,乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度: h乙=亠x+ 12 y+ 512 亠20y312y+ 5—y+ 20 y+ 5,35V -- X100 w 9,当且仅当y = 10时,等号成立•当 y = y + 丁+25m B = 10时,甲、乙两人的综合满意度均最大,且最大的、 2综合满意度为2⑶由(2)知h o = 3. 12 _y ____ 匚 20x + 12 y + 5 x + 3 y + 2012 20 ,4 --------- • -------- W _ 36 100 9, x +一+ 15 y +一 + 25 x y2 2 2所以,当h 甲》2,h 乙》3时,有h 甲=h 乙=-. 因此,不能取到m A , m B 的值,使得h 甲》h o 和h 乙》h o 同时成立,但等号不 同时成立. h 乙= 20yy + 20 y + 5 '故h 甲=h 乙⑵当x =|y 时,由(1)知 h 甲=h 乙=20y y + 20y + 5, 10 时,x = 6.因此,当m A = 6, x 20 x + 3 y + 20 因为h 甲h 乙=。

老孟轴心数学 压轴题满分冲刺

老孟轴心数学 压轴题满分冲刺

老孟轴心数学压轴题满分冲刺一、仔细审题,正确填空。

(每空1分,计20分)1、八千五百亿零二万六千三百写作(),把它“万”后面的尾数省略,约是(),写成用亿作单位的近似数是()。

2、两个完全一样的梯形上底是2厘米,下底是6厘米,高是3厘米,把这两个梯形拼成一个平行四边形,拼成的平行四边形的底是()厘米,高是()厘米。

3、丁丁在班级座位是第2列第四行,用数对表示是(),小明座的位置用数对表示(3,6),他坐在第()列第()行。

4、在○里填上“<”“>”或“=”。

3000000○3万840÷8+16○840÷(8+16)(32+16)×25○32+16×2563000÷300○630÷35、一个等腰三角形的底角是65°,那么它的顶角是(),这个三角形也是()三角形。

6、从12时开始,时针按顺时针方向旋转180°后是()时,时针从3时到7小时,按()时针方向旋转了()°。

7、小军比小华多8张邮票,小军给()张小华,他们俩人的邮票就一样多了。

8、从一张长25厘米,宽20厘米的彩纸上剪下一个最大正方形,剪下的正方形的周长是()厘米,面积是()平方厘米。

二、认真分析,判断是非。

(正确的画“√”错误的画“×”)(10分)1.根据37÷4=9……1,所以370÷40=9……1。

()2.最大的八位数比最小的七位数多九千万。

( )3.长方形和正方形都是特殊的平行四边形。

( )4.(25×16)×4=25×4+16×4。

()5.三根长度分别是6厘米、6厘米、9厘米的小棒能拼成一个等腰三角形。

()三、反复比较,慎重选择。

(每题2分,计10分)1、一个三角形被遮住了两个角,露出的角是锐角,这个三角形是()三角形。

①锐角②钝角③不能确定2、哪道算式的得数与240÷6÷2相等?①240 ÷(6×2)②240×(6÷2)③240÷(6÷2)3、67500万中的“7”表示()①7亿②7千③7千万4、下面三组小棒不能围成三角形的是()。

周孟波数学模拟试题

周孟波数学模拟试题

(2) 真;∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(6 分)
假. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(8 分)
19. (6 分)化简: a(a-2b)-(a-b)2.
20. (6 分) 解方程:
a a
1 1
a2 a2
a 1
=1
21. (6 分)面积为 l 个平方单位的正三角形,称为单位正三角形.下面图中的每一个小三 角形都是单位正三角形,三角形的顶点称为格点.在图 1、2、3 中分别画出一个平行四边形、 梯形和对边都不平行的凸四边形,要求这三个图形的顶点在格点、面积都为 l2 个平方单位.
23. (8 分)已知线段 AC 与 BD 相交于点 O ,联结 AB、DC , E 为 OB 的中点, F 为 OC 的中点,联结 EF (如图所示).
(1)添加条件∠A=∠D, OEF OFE ,求证:AB=DC. (2)分别将“ A D ”记为①,“ OEF OFE ”记为②,“ AB DC ”记为③,
B.四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形
C.四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形
D.四边形 AMON 和四边形 ABCD 都是位似图形
12. 如图,某电信公司提供了 A,B 两种方案的移动通讯费用 y (元)与通话时间 x (元)

北师大八年级上第六章第二节一次函数——孟庆玲

北师大八年级上第六章第二节一次函数——孟庆玲

《八年级上第六章第二节一次函数》课下作业第1课时积累●整合 1、一、选择题1.下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的为( )=-2x =-x 2=-21-x =x x 12-2.下列各关系中,符合正比例关系的是( )A.正方形的周长P 和它的一边长aB.距离s 一定时,速度v 和时间tC.圆的面积S 和圆的半径rD.正方体的体积V 和棱长a 3.若y =(m -1)x22m -是正比例函数,则m 的值为( )B.-1 或-1 D.2或-24.若函数y =(3m -2)x 2+(1-2m )x (m 为常数)是正比例函数,则m 的值为( )>32<21 =32 =21 5.若5y +2与x -3成正比例,则y 是x 的( )A.正比例函数B.一次函数C.没有函数关系D.以上答案均不正确6、以下函数:①y =2x 2+x +1 ②y =2πr ③y =x1 ④y =(2-1)x ⑤y =-(a +x )(a 是常数) ⑥s =2t 是一次函数的是________.A 、②④⑤⑥B 、②⑤⑥C 、②④⑥D 、②④⑤7.若等腰三角形的周长为50厘米,底边长为x 厘米,一腰长为y 厘米,则y 与x 的函数关系式及变量x 的取值范围是( ) (A)y=50-2x (0<x<50) (B)y=50-2x (0<x<25)(C))50(21x y -=(0<x<50) (D))50(21x y -= (0<x<25)8、已知油箱中有油25升,每小时耗油5升,则剩油量P (升)与耗油时间t (小时)之间的函数关系式为( )=25+5t=25-5t=t525 =5t -25拓展●应用9、小红去商店买笔记本,每个笔记本元,小红所付买本款y (元)与买本的个数x (个)之间的关系.答:_____________________________________. 10、等腰三角形的周长是18,若腰长为y ,底边长为x ,则y 与x 之间的关系.并求出x 的取值范围. 答:_____________________________________11、有一个长为120米,宽为110米的矩形场地准备扩建,使长增加x 米,宽增加y 米,且使矩形的周长为500米,则y 与x 的关系.答_________________________________12、据测试:拧不紧的水龙头每秒钟会滴下两滴水,每滴水约毫升.小明同学在洗手时,没有把水龙头拧紧,当小明离开x 小时后水龙头滴了y 毫升水.y 与x 之间的关系. 答:__________________________________13、设某种储蓄的月利率为%,现存入a (a >0)元本金.(1)写出本息和y (元)与所存月数x (月)之间的函数关系式. (2)当a =20000时,计算10个月后的本息和是多少元?探索●创新14、容积为800公升的水池内已贮水200公升,若每分钟注入的水量是15公升,设池内的水量为Q (公升),注水时间为t (分).(1)请写出Q 与t 的函数关系式. (2)注水多长时间可以把水池注满? (3)当注水时间为小时时,池中水量是多少?15. 暑假里,我校组织部分学生去某地参加数学素质杯夏令营.已知该校距目的地240千米,如果乘车去,汽车行驶的速度为每小时40千米.(1)汽车出发后1小时、2小时、3小时……汽车分别行驶了多少千米?请填入下表:出发后行驶时间 1小时2小时3小时4小时5小时6小时行驶(2)如果汽车行驶x 小时(0≤x ≤6),行驶路程为y 千米,你能写出y 与x 的关系式吗?(3)如果汽车行驶x 小时(0≤x ≤6),距目的地还有y ′千米,你能写出y ′与x 的关系式吗? (4)以上两个关系式中y 与x , y ′与x 的次数分别是多少?这两个关系式从形式上有什么共同特点?** 参考答案6、A7、D8、B9、y =是一次函数,也是正比例函数10、y =9-21x (0<x <9)是一次函数,不是正比例函数 11、y =20-x 是一次函数,不是正比例函数 12、y =360x 是一次函数,也是正比例函数 13、(1)y =a (1+%x )或写成y =a +%ax (2)当a =20000,x =10时,y =20320 14、(1)Q =200+15t(2)注水40分钟可以把水池注满(3)当注水小时即12分钟时,池内有水380公升 15、(1)(2)y =40x (0≤x ≤6) (3)y ′=240-40x (0≤x ≤6)(4)x 与y ,x 与y ′的次数都是1,都可以写成y =kx +b (k ,b 为常数,k ≠0)的形式.。

北师大八年级上第二章第一节数怎么又不够用了课下作业——孟庆玲

北师大八年级上第二章第一节数怎么又不够用了课下作业——孟庆玲

《八年级上第二章第一节数怎么又不够用了》课下作业第1课时积累●整合1.下列数中是无理数的是( )A .••32B .2πC .0D .7222.下列说法中正确的是( )A .不循环小数是无理数B .分数不是有理数C .有理数都是有限小数D .是有理数3.下列语句正确的是( )A .是无理数B .无理数分正无理数、零、负无理数C .无限小数不能化成分数D .无限不循环小数是无理数4.在直角△ABC 中,∠C=90°,AC=23,BC=2,则AB 为( )A .整数B .分数C .无理数D .不能确定5.面积为6的长方形,长是宽的2倍,则宽为( )A .小数B .分数C .无理数D .不能确定6、22是……………………………………………………………………………( )A. 分数B. 小数C.有理数D. 实数7、下列说法正确的是…………………………………………………( )A. 无限小数都是无理数B. 无理小数是无限小数C. 无理数的平方是无理数D. 无理数的平方不是整数8、x 2=8则x 为 ( )A .整数B .分数C .无理数D .不能确定拓展●应用9、在,-32,…,…,0,-,…中,无理数的个数有______. 10、面积为3的正方形的边长______有理数;面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)11、一个高为2米,宽为1米的大门,对角线是______米,这个值是 数。

12、已知:在数-43,-••24.1,π,,32,0,42,n 2)1(-,-…中, (1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数;13、体积为3的正方体的边长可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?请说明你的理由. 探索●创新14、如图,在△ABC 中,CD ⊥AB ,垂足为D ,AC=6,AD=5,问:CD 可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?15、.设面积为5π的圆的半径为y ,请回答下列问题:y 是有理数吗?请说明你的理由;**参考答案1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6、D 7、B 8、C9、2 10、不是 不是 不是 11、5,有理数 12、(1)-43,-1.••24,,32,0,42,(-1)2n (2)π,-… (3)-1.••24<-…<-43<0<32<(-1)2n <π<<42 13、不可能 不可能 不可能 略 14、不可能 不可能 不可能 15(1)不是 略。

六年级数学《一圆和扇形》-单元测试9含解析

六年级数学《一圆和扇形》-单元测试9含解析

冀教版六年级数学上册《一圆和扇形》-单元测试9一、单选题(总分:25分本大题共5小题,共25分)1.(本题5分)我国数学家()是世界上第一个将圆周率的值精确到七位小数的人.A.陈景润B.祖冲之C.华罗庚D.刘徵2.(本题5分)用一张长是7分米,宽2分米的长方形剪出一个最大的圆,像这样的圆最多可以剪()个.A.1B.2C.3D.43.(本题5分)()确定圆的位置.A.半径B.直径C.周长D.圆心4.(本题5分)在一个长10cm,宽8cm的长方形中画一个最大的圆,这个圆的直径是()A.8cmB.10cmC.5cm5.(本题5分)分针和时针走过的路线都是一个圆,这两个圆是()A.周长相等B.同心圆C.同一个圆D.面积相等二、填空题(总分:40分本大题共8小题,共40分)6.(本题5分)用____cm长的铁丝可以围成半径是3cm的半圆.7.(本题5分)一半圆的半径为r,则周长为____或____.8.(本题5分)圆里有无数条直径、无数条半径.____.(判断对错)9.(本题5分)画圆时,固定的一点叫做____,从____到____任意一点的线段叫做半径,通过____并且两端都在圆上的线段叫做____.10.(本题5分)____确定圆的大小,____确定圆的位置.11.(本题5分)圆内的所有线段中,____最长.12.(本题5分)两端在圆上的线段,直径的长度最长.____(判断对错)13.(本题5分)用圆规画一个直径为10厘米的圆,圆规两脚间的距离为____厘米,这个圆的周长是____厘米.三、解答题(总分:35分本大题共5小题,共35分)14.(本题7分)用圆规画一个半径是2cm的圆,再算出它的面积.15.(本题7分)画一个半径为1厘米的圆,标出圆心和半径,并计算周长和面积各是多少?16.(本题7分)在下面的线段上画两个半径为1厘米的圆,并使两个圆心相距为2厘米.17.(本题7分)画一画,量一量.(1)在图中画出圆的半径和直径,标出圆心、半径和直径.(2)量出图中圆的半径.半径是____.18.(本题7分)(1)在下面的正方形中画一个最大的圆.余下部分画上阴影.(2)画出它的所有对称轴.(3)如果所画圆的周长是12.56cm,求阴影部分的面积.冀教版六年级数学上册《一圆和扇形》-单元测试9参考答案与试题解析1.【答案】:B;【解析】:解:我国数学家祖冲之是世界上第一个将圆周率的值精确到七位小数的人.故选:B.2.【答案】:C;【解析】:解:以长方形的宽边为圆的直径剪,最多可以剪:7÷2=3(个)…1;答:像这样的圆最多可以剪3个.故选:C.3.【答案】:D;【解析】:解:根据对圆的认识可知:圆心确定圆的位置.故选:D.4.【答案】:A;【解析】:解:这个圆的直径是8厘米;故选:A.5.【答案】:B;【解析】:解:因为分针和时针走过的路线都是一个圆,这两个圆是同心圆.故选:B.6.【答案】:24.84;【解析】:解:2×3.14×3÷2+2×3,=18.84+6,=24.84(厘米);答:24.84cm长的铁丝可以围成半径是3cm的半圆故答案为:24.84.7.【答案】:C=πr+2r;C=(π+2)r;【解析】:解:一半圆的半径为r,C=πr+2r或 C=(π+2)r.故答案为:C=πr+2r,C=(π+2)r.8.【答案】:√;【解析】:解:根据分析可知,在圆内半径和直径都有无数条.故答案为:√.9.【答案】:圆心;圆心;圆上;圆心;直径;【解析】:解:由题意知,根据画圆的方法,还有圆心、半径、直径的定义得:画圆时,固定的一点叫做圆心,从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径,通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,故答案为:圆心,圆心,圆上,圆心,直径.10.【答案】:半径;圆心;【解析】:解:由圆规画圆的方法可以得知,半径决定圆的大小,圆心可以确定圆的位置;故答案为:半径,圆心.11.【答案】:直径;【解析】:解:根据直径的含义可知:圆内的所有线段中,直径是最长的;故答案为:直径.12.【答案】:√;【解析】:解:根据题意,可画图如下:由图知,以上说法是正确的.故答案为:√.13.【答案】:5;31.4;【解析】:解:如图所示,即为所要求画的圆;圆的半径:10÷2=5(厘米),圆的周长:3.14×10=31.4(厘米);答:圆规两脚间的距离应取5厘米,所画圆的周长是31.4厘米.故答案为:5,31.4.14.【答案】:解:(1)以o为圆心,以2厘米为半径,画圆如右图所示:(2)根据S=πr2可得:3.14×2×2=12.56(厘米)答:这个圆的面积是12.56平方厘米.;【解析】:根据“直径=半径×2”,代入数字,求出直径;圆心用字母“o”表示;半径用字母“r”表示;直径用字母“d”表示,然后利用S=πr2即可解决.15.【答案】:解:(1)以点O为圆心,以1厘米为半径画圆如图所示:(2)周长:3.14×1×2=6.28(厘米),面积:3.14×12=3.14(平方厘米),答:这个圆的周长是6.28厘米,面积是3.14平方厘米.;【解析】:以点O为圆心,以1厘米为半径即可画出这个圆,再利用S=πr2和C=2πr解答即可.16.【答案】:解:画圆如下:;【解析】:在线段上截取2厘米的线段,分别以线段的两个端点为圆心,以1厘米为半径,即可画出符合要求的圆.17.【答案】:解:作图如下:故答案为:1.5厘米.;【解析】:根据题意,可利用设圆心为O,直径为d,半径为r,根据画圆的方法先确定圆心,然后根据直径、半径的含义画出圆的半径和直径,并标出圆的半径的长度即可;18.【答案】:解:(1)(2)正方形的中心为圆心,以正方形的边长为直径画圆,并画出它的所有对称轴,如下图所示;(3)圆的半径为:12.56÷3.14÷2=2(cm),圆的面积为:3.14×22=3.14×4=12.56(cm2);正方形的边长为:2×2=4(cm),正方形的面积为:4×4=16(cm2);所以阴影部分的面积为:16-12.56=3.44(cm2);答:阴影部分的面积是3.44cm2.;【解析】:(1)正方形内最大的圆,是以正方形的中心为圆心,以正方形的边长为直径的圆,据此即可画出;(2)一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就是轴对称图形,这条直线就是这个图形的对称轴.根据轴对称图形的定义,即可画出它的所有对称轴.(3)依据圆的周长公式求出圆的半径,然后依据圆面积公式求出圆的面积;再依据正方形的边长为圆的直径可求得正方形的边长,再利用正方形的面积公式求出正方形的面积,用正方形的面积减去圆的面积即为阴影部分的面积.。

北师大八年级上第六章第五节一次函数的应用第2课时课堂作业--孟庆玲

北师大八年级上第六章第五节一次函数的应用第2课时课堂作业--孟庆玲

《八年级上第六章第五节一次函数的应用》课堂作业第2课时1、函数y=kx+b(k <0,b >0)的图象可能是下列图形中的…………( ) y y y y o x o x o x o xA. B. C. D.答案;D2. 如图,不可能是关于)3(--=m mx y 的图象的是………………( )y y y yo x o x o x o xA. B. C. D.答案:C3.△ABC 中,∠A 与∠B 的平分线交于点O ,设∠C=x ,∠AOB=y ,当∠C 变化时,则y 与x 之间的函数关系式为 _______________ 。

答案:︒+=902x y ; 4、如图,在△ABC 中,∠B 与∠C 的平分线交于点P ,设∠A =x °,∠BPC =y °,当∠A 变化时,求y 与x 之间的函数关系式,并判断y 是不是x 的一次函数,指出自变量的取值范围.答案:y =90+21x (0<x <180);y 是x 的一次函数 5、某油箱中有油20升,油从管道中均匀流出10分钟可流尽,则油箱中剩油量G (升)与流出时间t (分)之间的函数关系式为______,自变量t 的取值范围是______.答案:Q =20-2t ,0≤t ≤106.某种国库券的年利率是%,则存满三年的本息和y 与本金x 之间的函数关系式为______. 答案:y =x +%×3x7.某林场现有森林面积为1560平方千米,计划今后每年增加160平方千米的树林,那么森林面积y (平方千米)与年数x 的函数关系式为______,6年后林场的森林面积为______.答案:y =160x +1560,25208、已知3y -与x 成正比例,且2x =时,7y =.(1)写出y 与x 之间的函数关系式;(2)画出图象,并写出图象与x 、y 轴的交点坐标;(3)根据图象回答当x 取何值时y >0;y 取何值时x >0.答案:图略.图象与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭,,与y 轴的交点坐标为(0,3). (3)当32x >-时,y >0;当y >3时,x >0. 9、某商店出售某商品时,在进价的基础上加一定的利润,其数量x 与售价y 的关系如下表所示.请根据表中所提供的信息,列出y 与x 的函数关系式并求出当数量是千克时的售价.答案:y =(8+x ,21。

初中数学列不等式(组)并解决简单2020年实际问题北京课标版师孟老师

初中数学列不等式(组)并解决简单2020年实际问题北京课标版师孟老师

列不等式(组)并解决简单实际问题北京课标版师孟老师1、如图是一个圆锥的主视图,则这个圆锥的全面积是shyshy;A.B.C.D.答案D 解析2、已知456456=23cute;acute;7cute;11cu 答案C 解析3、(2014?含山县一模)某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八九月份平均每月的增长答案D 解析试题分析:根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程.解:∵七月份生产零件50万个,设该厂八九月份平均每月的增长率为x,∴八月份的产量为50(1+x)万个,九月份的产量为50(1+x)2万个,∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196,故选D.点评:本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是能分别将8、9月份的产量表示出来,难度不大.4、(2011?临沂)不等式组的解集是()A.x≥8B.3<x≤8C.0<x<2D.无解答案B 解析5、1米长的标杆直立在水平的地面上,它在阳光下的影长为0.8米;在同一时刻,若某电视塔的影长为100米,则此电视塔的答案D 解析6、下图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图,那么这个立体图形不可能是(答案C 解析7、在中,分式的个数是()A 答案B 解析8、下列分解因式正确的是()A.x3–x="x(x2-1)" B.m2+m-6=(m+3) 答案B 解析9、如图,由几个相同小立方块所搭成的物体的俯视图是(; 答案D 解析10、计算-a-a的结果是A.0B.2aC.-2aD.答案C 解析11、阅读下面的文言文,完成下面5题。

李斯论;(清)姚鼐苏子瞻谓李斯以荀卿之学乱天下,是不然。

秦之乱答案【小题1】A【小题2】C【小题3】D【小题4】C【小题5】(1)秦国尝到(用)苛政(对人)的甜头并且认为严刑竣法是有利的已经很久了。

(2)他认为天下人将会谅解我对于我的国君的无可奈何(或没有办法),而不怪罪我。

北师大八年级上第七章第三节鸡兔同笼课下作业——孟庆玲

北师大八年级上第七章第三节鸡兔同笼课下作业——孟庆玲

《八年级上第七章第三节鸡兔同笼》课下作业第1课时积累●整合1、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务,该公司应按排几天精加工,几天粗加工?设安排x 天精加工,y 天粗加工.为解决这个问题,所列方程组正确的是( )A.14016615x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.14061615x y x y +=⎧⎨+=⎩C.15166140x y x y +=⎧⎨+=⎩D.15616140x y x y +=⎧⎨+=⎩2、某班共有学生49人.一天,该班某男生因事请假,当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x ,女生人数为y ,则下列方程组中,能正确计算出x 、y 的是( )A .⎩⎨⎧x –y = 49y =2(x +1)B .⎩⎨⎧x +y = 49y =2(x +1)C .⎩⎨⎧x –y = 49y =2(x –1)D .⎩⎨⎧x +y = 49y =2(x –1)3. 8个连续整数的和是28,则紧接这8个连续整数后的8个连续整数的和等于( )(A ) 36 (B ) 44 (C ) 56 (D ) 924、有大小两种笔记本,3个大的2个小的共售元,2个大的4个小的共售11元,大小笔记本售价各是( )(A ) 元, 元 (B ) 2元,1元(C ) 元,1元 (D ) 1元,元5、当今世界杯足球赛的积分方法如下:赢一场得3分,平一场得1分,输一场得0分.某小组4个队进行完全部单循环赛后,其中一队积7分.若该队赢了x 场,平了y 场,则(x ,y )是( )A .(1,4)B .(2,1)C .(0,7)D .(3,-2)6、方程组5221023323x y x y ⎧++=⎪⎨⎪-=-⎩,的解的情形是( ) A .有惟一解 B .无解 C .有两个解 D .有无数解7.一次考试共有选择题、填空题和解答题三类题型,满分100分.某同学答对了全部的选择题和填空题,而解答题只得了一半分,他的成绩是80分,则试卷中解答题的分值为( )A .30B .40C .50D .608、如图1是在同一坐标系内作出的一次函数的图象12l l ,,分别设其函数表达式为11y k x b =+,22y k x b =+,则方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩,,的解是( )A .22x y =-⎧⎨=⎩,B .33x y =-⎧⎨=⎩,C .23x y =-⎧⎨=⎩,D.34xy=-⎧⎨=⎩,拓展●应用9、某校有100名学生参加数学竞赛,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分,男同学比女同学多________人.10.有黑白棋子一堆,其中黑子的个数是白子个数的2倍,如果从这堆棋子中每次同时取出黑子4个,白子3个,那么取出________次后,白子余1个,而黑子余18个.11.学生买回4个篮球5个排球一共用185元,一个篮球比一个排球贵8元,篮球的单价是________元.12.小强爱好集邮,他用1元钱买了4分和8分的两种邮票,共20张.那么他买了4分邮票________张.13.松鼠妈妈采松子,晴天每天采20个,雨天每天可采12个,它一连采了112个,平均每天采14个,这几天中有________天是雨天.探索●创新14、某次数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分,问他做对几题?15.甲乙两人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10发,共命中14发,结算分数时,甲比乙多10分,问甲、乙各中几发?**参考答案1、D2、D3、D4、A5、B6、A7、B8、C9、40人 10、 8次 11. 25元 12. 15张 13. 6天题15、甲中8发,乙中6发.。

2020年数学一例 精彩千解(下)

2020年数学一例   精彩千解(下)

作者:败转头作品编号44122544:GL568877444633106633215458时间:2020.12.13一部用黄老哲学研究解题的数学书一部视解题如游戏的数学书哲学的视野与数学的神韵数学一例精彩千解(下)孟祥礼著哲学是望远镜,数学是显微镜例题、出处及对待课本上的例题的正确态度例题:过点P(1,2)作直线l与x轴的正半轴、y的正半轴分别交于 的面积最小时,求直线l的方程.,A B两点,当AOB出处:本题是普通高中课程标准教科书苏教版《数学必修5》第三章“不等式”第100页的例3.对待课本上的例题的态度:很多同学总觉得数学课本太简单,不重视课本上的例题的钻研。

笔者认为这是不恰当的。

重点都在课本里,这一点对于任何科目的学习都有指导作用。

“道生一,一生二,二生三,三生万物。

”(老子:《道德经》)数学课本就隐藏了数学之“道”,将课本上的例题反复钻研,换着法子演练,看穿例题的结构; 解题不在于多,而在于精,在于思考了多少(当然,大量的、自觉的、有反思的解题是有效的).“得道之本,握少以知多,得事之要,操正以正畸。

”“故能至素至精,浩弥无形,然后可以为天下正。

”(《黄帝四经》)本书给出了该例题的2000余种解法,这些解法将一些常见的知识、方法和技巧巧妙地排列组合,美轮美奂,真实体现数学解题的奇趣.解法探究题记-----图难于其易也,为大于其细也;天下之难作于易,天下之大作于细.(老子:《道德经》)解法系列8 从直线的参数方程入手解法1:设直线l 的倾斜角为()2πααπ<<,则直线l 的参数方程为1cos ,2sin .x t y t αα=+⎧⎨=+⎩在2sin y t α=+中,令0y =,得2sin t α=-. 将2sin t α=-代入1cos x t α=+,得 21tan x α=-,即 2(1,0);tan A α- 在1cos x t α=+中,令0x =,得1.cos t α=-将1cos t α=-代入2sin y t α=+,得2tan y α=- 即(0,2tan )B α-.由二元算术—几何均值不等式,得()1121412tan 2(tan )22tan 2tan 24,AOB S OA OB αααα∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=--=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥+=当且仅当4tan tan αα-=-,即tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”.因此,当AOB ∆的面积最小时,直线l 的方程为22(1)y x -=--, 即 240.x y +-=解法2:同解法12(1,0)tan A α-,(0,2tan )B α-.由二元算术—几何均值不等式,得()()1121212tan 12tan 22tan 2tan 4,AOB S OA OB αααα∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⋅=--=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥=当且仅当21,tan 2tan ,αα⎧=-⎪⎨⎪=-⎩即tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”.(余略)解法3:同解法1,得2(1,0)tan A α-,(0,2tan )B α-.由柯西(Cauchy)不等式,得()()21121212tan 12tan 22tan 2tan 114,2AOB S OA OB αααα∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⋅=--=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛≥= ⎝=,即tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”.(余略)解法4:同解法1,得2(1,0)tan A α-,(0,2tan )B α-. 由二元几何---调和均值不等式,得22,1122tan 1tan 2αα=+--当且仅当22tan 1tan 2αα--=,即tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”. ()212tan 8tan αα⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭,当且仅当arctan 2απ=-时,取“=”. ()11212tan 4,22tan AOB S OA OB αα∆⎛⎫∴=⋅=--≥ ⎪⎝⎭当且仅当arctan 2απ=-时,取“=”.(余略)解法5:同解法1,得2(1,0)tan A α-,(0,2tan )B α-.即sin 2cos 2cos sin (,0),(0,).sin cos A B αααααα-- 由二元算术—几何均值不等式,得211sin 2cos 2cos sin [sin (2cos )]22sin cos sin (2cos )4,AOBS OA OB αααααααααα∆--+-=⋅=⋅⋅=-≥=当且仅当sin 2cos αα=-,即tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”.(余略)解法6:同解法1,得2(1,0)tan A α-,(0,2tan )B α-.即 sin 2cos 2cos sin (,0),(0,).sin cos A B αααααα-- 由二元算术—几何均值不等式,得22211sin 2cos 2cos sin [sin (2cos )]22sin cos sin (2cos )[sin (2cos )]4,sin (2cos )2AOBS OA OB αααααααααααααα∆--+-=⋅=⋅⋅=-+-≥=+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦当且仅当sin 2cos αα=-,即tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”.(余略)解法7:同解法1,得2(1,0)tan A α-,(0,2tan )B α-.即 (12cot ,0)A α-,(0,2tan )B α-.由二元算术—几何均值不等式,得111(12cot )(2tan )2[(tan )(4cot )22224,AOB S OA OB αααα∆=⋅=⋅-⋅-=+-+-≥= 当且仅当tan 4cot αα-=-,即tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”. (余略)解法8:同解法1,得2(1,0)tan A α-,(0,2tan )B α-.即 (12cot ,0)A α-,(0,2tan )B α-.由二元算术—几何均值不等式,得作者:败转头作品编号44122544:GL568877444633106633215458 时间:2020.12.13111(12cot )(2tan )[1(2cot )][2(tan )]2224,AOB S OA OB αααα∆=⋅=⋅-⋅-=+-+-≥=当且仅当12cot ,2tan ,αα=-⎧⎨=-⎩即tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”.(余略)解法9:同解法1,得2(1,0)tan A α-,(0,2tan )B α-.即 (12cot ,0)A α-,(0,2tan )B α-.由柯西(Cauchy)不等式,得2111(12cot )(2tan )[1(2cot )][2(tan )]2221(14,2AOB S OA OB αααα∆=⋅=⋅-⋅-=+-+-≥==tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”.(余略)解法10:同解法1,得2(1,0)sin A α-,(0,2tan )B α-.即 (12cot ,0)A α-,(0,2tan )B α-.由二元几何---调和均值不等式,得22,112tan 12cot 2αα≥=+--当且仅当2tan 12cot 2αα--=,即tan 2α=-,也即arctan 2απ=-时,取“=”. (12cot )(2tan )8αα∴--≥,当且仅当arctan 2απ=-时,取“=”.11(12cot )(2tan )4,22AOB S OA OB αα∆∴=⋅=⋅-⋅-≥当且仅当arctan 2απ=-时,取“=”.(余略)解法提示:若令21sin a α=-,2tan b α=-,则容易得到121(1,2)a b a b +=>>.利用解法系列1的方法,可得解法11----解法130.注:本解法系列供参加数学竞赛或重点大学自主招生的同学参考.解法系列9 从直线的极坐标方程入手解法提示:如图9-1,以原点O 为极点、x轴为极轴建立极坐标系,则2).P设直线l 的倾斜角()2πααπ<<,则由正弦定理可得直线l的极坐标方程为ρ=,其中,θ为直线l 上任一点Q 的极角AOQ ∠.令0θ=,得arctan 2)sin 2cos 21,sin sin tan αααρααα--===-P 图9-1即 2(1,0).tan A α- 令2πθ=,得sin 2cos 2tan ,cos ααραα-==-=-即 2tan .OB α=-若令21sin a α=-,2tan b α=-,则容易得到121(1,2)a b a b +=>>.利用解法系列1的方法,可得解法1----解法120.注:本解法系列供参加数学竞赛或重点大学自主招生的同学参考.解法系列10 从直线的法线式方程入手解法1:如图10-1,设直线l 的法线的辐角为α(0)2πα<<,则直线l 的法线式方程为cos sin 0x y p αα+-=,其中,p 是原点O 到直线AB 的距离.直线AB 过点(1,2)P ,∴cos 2sin 0p αα+-= , ∴ cos 2sin p αα=+.∴ 直线AB 的法线式方程为cos sin cos 2sin x y αααα+--=令0y =,得12tan x α=+,即 (12tan ,0);A α+ 令0x =,得P 图10-112tan y α=+, 即 1(0,2).tan B α+由二元算术—几何均值不等式,得()1111112tan 224tan 22tan 2tan 24,AOB S OA OB αααα∆⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+=当且仅当14tan tan αα=,即1arctan 2α=时,取“=”. 因此,当AOB ∆的面积最小时,直线l0x y =, 即 240.x y +-=解法2:同解法1,得(12tan ,0)A α+,1(0,2).tan B α+由二元算术—几何均值不等式,得()11112tan 222tan 4,AOB S OA OB αα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭≥=当且仅当12tan ,12,tan αα=⎧⎪⎨=⎪⎩即1arctan 2α=时,取“=”.(余略)作者:败转头作品编号44122544:GL568877444633106633215458 时间:2020.12.13解法3:同解法1,得(12tan ,0)A α+,1(0,2).tan B α+由二元算术—几何均值不等式,得()211112tan 222tan (2tan 1)4,2tan AOB S OA OB αααα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭+=≥=当且仅当2tan 1α=,即1arctan2α=时,取“=”.(余略) 解法4:同解法1,得(12tan ,0)A α+,1(0,2).tan B α+由二元算术—几何均值不等式,得 ()22211112tan 222tan (2tan 1)(2tan 1)4,2tan 12tan 12AOB S OA OB αααααα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭++=≥=⨯+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当且仅当2tan 1α=,即1arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法5:同解法1,得(12tan ,0)A α+,1(0,2).tan B α+由基本不等式,得()211114tan 4tan 12tan 222tan 2tan 4tan 4tan 4,2tan AOBS OA OB αααααααα∆++⎛⎫=⋅=++= ⎪⎝⎭+≥= 当且仅当12tan α=,即1arctan2α=时,取“=”.(余略) 解法6:同解法1,得(12tan ,0)A α+,1(0,2).tan B α+由柯西(Cauchy)不等式,得 ()211112tan 222tan 114,2AOB S OA OB αα∆⎛⎫=⋅=++= ⎪⎝⎭⎛≥= ⎝=1arctan 2α=时,取“=”.(余略) 解法7:同解法1,得(12tan ,0)A α+,1(0,2).tan B α+由二元几何---调和均值不等式,得22,11112tan 2tan 2αα=+++ 当且仅当12tan 12tan 2αα++=,即1arctan 2α=时,取“=”. ()1112tan 24,2tan αα⎛⎫∴++≥⎪⎝⎭当且仅当1arctan 2α=时,取“=”.()11112tan 24,22tan AOB S OA OB αα∆⎛⎫∴=⋅=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当1arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法8:同解法1,得(12tan ,0)A α+,1(0,2),tan B α+(12tan ,0)A α+,(0,2cot ).B α+由二元算术—几何均值不等式,得()()()11112tan 2cot 24tan cot 22224,AOB S OA OB αααα∆=⋅=++=++≥+= 当且仅当4tan cot αα=,即1arctan2α=时,取“=”. 解法9:同解法2,得(12tan ,0)A α+,(0,2cot ).B α+由二元算术—几何均值不等式,得()()1112tan 2cot 224,AOB S OA OB αα∆=⋅=++≥= 当且仅当12tan ,2cot ,αα=⎧⎨=⎩,即1arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法10:同解法1,得(12tan ,0)A α+,(0,2cot ).B α+由柯西(Cauchy)不等式,得()()(211112tan 2cot 14,222AOB S OA OB αα∆=⋅=++≥==4πα=时,取“=”. (余略) 解法11:同解法1,得(12tan ,0)A α+,(0,2cot ).B α+由二元几何---调和均值不等式,得22,112cot 12tan 2αα≥=+++当且仅当2cot 12tan 2αα++=,即1arctan 2α=时,取“=”. ()()112tan 2cot 4,2αα∴++≥当且仅当1arctan 2α=时,取“=”. ()()1112tan 2cot 4,22AOB S OA OB αα∆∴=⋅=++≥当且仅当1arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法提示:若令11tan ,b 1tan a αα=+=+,则容易得到111(1,1).a b a b +=>> 利用解法系列1的方法,可得解法12----解法131.注:本解法系列供参加数学竞赛或重点大学自主招生的同学参考.解法系列11 从三角函数的定义入手解法1:如图11-2,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线PQ 、PR ,垂足分别为Q 、R ,连接OP ,则2PQ OR ==,1.PR OQ ==(0).2BOA παα∠=<<设2;tan tan PQ Rt PQA AQ PAQα∆==∠在中,,tan tan .Rt PRB RB PR BPR α∆=⋅∠=在中,2(1,0),tan A α∴+(0,2tan ).B α+ 由二元算术—几何均值不等式,得P图11-11121(2tan )22tan 142tan 24,2tan AOB S OA OB αααα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当4tan tan αα=,即arctan 2α=时,取“=”. 因此,当AOB ∆的面积最小时,直线l 的方程为22(1)y x -=--, 即 240.x y +-=解法2: 同解法1,得2(1,0),tan A α+ (0,2tan ).B α+作者:败转头作品编号44122544:GL568877444633106633215458 时间:2020.12.13由二元算术—几何均值不等式,得1121(2tan )22tan 4,AOB S OA OB αα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭≥≥=当且仅当21,tan 2tan ,αα⎧=⎪⎨⎪=⎩即arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法3:同解法1,得 2(1,0),tan A α+ (0,2tan ).B α+ 由二元算术—几何均值不等式,得21121(2tan )22tan (tan 2)4,2tan AOB S OA OB αααα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭+=≥=当且仅当tan 2α=,即arctan 2α=时,取“=”.(余略) 解法4:同解法1,得2(1,0),tan A α+ (0,2tan ).B α+由二元算术—几何均值不等式,得2221121(2tan )22tan (tan 2)(tan 2)4,2tan 2tan 2AOB S OA OB αααααα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭++=≥=+⎛⎫⎪⎝⎭当且仅当tan 2α=,即arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法5:同解法1,得2(1,0),tan A α+ (0,2tan ).B α+ 由基本不等式,得21121(2tan )22tan 4tan 4tan 4tan 4tan 4,2tan 2tan AOB S OA OB αααααααα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭+++=≥=当且仅当tan 2α=,即arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法6:同解法1,得2(1,0),tan A α+ (0,2tan ).B α+ 由柯西(Cauchy)不等式,得21121(2tan )22tan 114,2AOB S OA OB αα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭⎛≥= ⎝=arctan 2α=时,取“=”.(余略) 解法7:同解法1,得2(1,0),tan A α+ (0,2tan ).B α+ 由二元几何---调和均值不等式,得22,1122tan 1tan 2αα≥=+++当且仅当22tan 1tan 2αα++=,即arctan 2α=时,取“=”.121(2tan )4,2tan αα⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当arctan 2α=时,取“=”. 1121(2tan )4,22tan AOB S OA OB αα∆⎛⎫∴=⋅=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法8:同解法1,得2(1,0),tan A α+ (0,2tan )B α+,即(12cot ,0),A α+ (0,2tan ).B α+由二元算术—几何均值不等式,得()11112cot (2tan )2(tan 4cot )22224,AOB S OA OB αααα∆=⋅=++=++≥= 当且仅当tan 4cot αα=,即arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法9:同解法8,得(12cot ,0),A α+(0,2tan ).B α+由二元算术—几何均值不等式,得()1112cot (2tan )224,AOB S OA OB αα∆=⋅=++≥= 当且仅当12cot ,2tan ,αα=⎧⎨=⎩即arctan 2α=时,取“=”.(余略)解法10:同解法8,得 (12cot ,0),A α+(0,2tan ).B α+由柯西(Cauchy)不等式,得()(21112cot (2tan )22114,2AOB S OA OB αα∆=⋅=++≥==,即arctan2α=时,取“=”.(余略)解法11:同解法8,得(12cot,0),Aα+(0,2tan).Bα+由几何----调和均值不等式,得22,112tan12cot2αα≥=+++当且仅当2tan12cot2αα++=,即arctan2α=时,取“=”.()112cot(2tan)4,2αα∴++≥当且仅当arctan2α=时,取“=”.()1112cot(2tan)4,22AOBS OA OBαα∆∴=⋅=++≥当且仅当arctan2α=时,取“=”.(余略)解法提示:若令11,b1tantanaαα=+=+,则容易得到111(1,1).a ba b+=>>利用解法系列1的方法,可得解法12----解法131.解法系列12从三点共线(向量方法)入手解法1:如图12-1,设点,A B的坐标分别为(,0),(0,)a b(1,2)a b>>,则(1,2),(,0),(0,).OP OA a OBb===(,0)A a,(1,2)P,(0,)B b共线,且点P在线段AB的内部,(01,01,+=1)λμλμλμ∴=+<<<<且OP OA OB,即(1,2)(,0)aλ=+(0,)bμ,1,2,abλμ=⎧∴⎨=⎩1,2.a b λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩由二元算术—几何均值不等式,得2111()22224,AOBS OA OB ab λμλμλμμλλμ∆+=⋅===⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当λμμλ=,即12λμ==,也即2,4a b ==时,取“=”. 因此,当AOB ∆的面积最小时,直线l 的方程为124x y+=,即240.x y +-=解法2:同解法1,得1,2.a b λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由二元算术—几何均值不等式,得 211114,222AOB S OA OB ab λμλμ∆=⋅==≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭当且仅当12λμ==,即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法3:同解法1,得1,2.a b λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由二元几何---调和均值不等式,得222,112ba λμ≥==++ AxO图12-1当且仅当2ba =,即2,4a b ==时,取“=”. 142ab ∴≥, 当且仅当2,4a b ==时,取“=”. 114,22AOB S OA OB ab ∆∴=⋅=≥当且仅当2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法4:同解法1,得1,2.a b λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩01,01,+=1,λμλμ<<<<且∴由二元算术—几何均值不等式,得21,24λμλμ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭当且仅当12λμ==时,取“=”. 14,λμ∴≥ 当且仅当12λμ==时,取“=”. 1114,22AOB S OA OB ab λμ∆∴=⋅==≥ 当且仅当12λμ==,即2,4a b ==时,取“=”.(余略) 解法5:同解法1,得1,2.a b λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩01,01,+=1,λμλμ<<<<且∴ 令1111,(t )2222t t λμ=-=+-<< ,得 21111,2244t t t λμ⎛⎫⎛⎫=-+=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当0,t = 即12λμ==时,取“=”.14,λμ∴≥ 当且仅当12λμ==时,取“=”. 1114,22AOB S OA OB ab λμ∆∴=⋅==≥当且仅当12λμ==,即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法6:同解法1,得1,2.a b λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+=1,λμ∴构造关于t 的一元二次方程20.t t λμ-+=,λμ是此方程的二实根,∴由2(1)4λμ∆=--140λμ=-≥, 得14λμ≤,当且仅当12λμ==时,取“=”.作者:败转头作品编号44122544:GL568877444633106633215458 时间:2020.12.131114,22AOB S OA OB ab λμ∆∴=⋅==≥当且仅当12λμ==,即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法7:同解法1,得1,2.a b λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2+=1,1110,λμλμ∴⨯-⨯+=∴构造关于t 的一元二次方程20.t t λμ-+=1是此方程的一个实根,∴ 由2(1)4140λμλμ∆=--=-≥ , 得14λμ≤,当且仅当12λμ==时,取“=”. 1114,22AOB S OA OB ab λμ∆∴=⋅==≥当且仅当12λμ==,即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法8:同解法1,得1,2.a b λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩)2+=1,(11(1)0,λμλμ∴⨯-+⨯-+=∴构造关于t 的一元二次方程20.t t λμ++=1-是此方程的一个实根,∴ 由214140λμλμ∆=-=-≥ ,得14λμ≤,当且仅当12λμ==时,取“=”. 1114,22AOB S OA OB ab λμ∆∴=⋅==≥当且仅当12λμ==,即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法9:同解法1,得1,2.a b λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩01,01,+=1,λμλμ<<<<且∴ 令22sin ,cos (0),2παλαμα==<<得22211sin cos sin 2,44λμααα==≤当且仅当4πα=,即12λμ==时,取“=”.1114,22AOB S OA OB ab λμ∆∴=⋅==≥当且仅当12λμ==,即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法提示:由11,,1a b λμλμ==+=,得111(1,1).a b a b +=>>利用解法系列1的方法,可得解法10----解法129.解法系列13 从向量共线入手解法提示:如图13-1,设(,0),(0,)A a B b (1,2)a b >>,则(1,2),(1,2).PA a PB b =--=--PA 与PB 共线,P(1)(2)(1)(2)0a b ∴----⨯-=,(1)(2)2,a b ∴--=121.a b∴+= 利用解法系列1的方法,可得解法1----解法120.注:类似地,也可由PA 与AB 共线或PB 与AB 共线解题.解法系列14 从定比分点坐标公式入手解法1:如图14-1,设(,0),(0,)A a B b (1,2)a b >>,点(1,2)P 分有向线段AB 所成的比为(0)λλ>,则xA O图13-11,102,1a b λλλλ+⨯⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 21,2a b λλ∴=+=+.由二元算术—几何均值不等式,得111(1)1221224,AOB S OA OB ab λλλλ∆⎛⎫=⋅==++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当1λλ=,即1λ=,也即2,4a b ==时,取“=”. (余略)解法2:同解法1,得21,2a b λλ=+=+. 由二元算术—几何均值不等式,得111(1)1224,AOB S OA OB ab λλ∆⎛⎫=⋅==++ ⎪⎝⎭≥=当且仅当1,11,λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩即1λ=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法3:同解法1,得21,2a b λλ=+=+.由二元算术—几何均值不等式,得22111(1)122(1)4,AOB S OA OB ab λλλλλ∆⎛⎫=⋅==++ ⎪⎝⎭+=≥=当且仅当即1λ=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略)作者:败转头xOA BP图14-1作品编号44122544:GL568877444633106633215458 时间:2020.12.13解法4:同解法1,得21,2a b λλ=+=+.由二元算术—几何均值不等式,得222111(1)122(1)(1)4,112AOB S OA OB ab λλλλλλ∆⎛⎫=⋅==++ ⎪⎝⎭++=≥=⨯+⎛⎫⎪⎝⎭当且仅当即1λ=,也即2,4a b ==时,取“=”. (余略)解法5:同解法1,得21,2a b λλ=+=+. 由柯西(Cauchy)不等式,得2111(1)122114,AOB S OA OB ab λλ∆⎛⎫=⋅==++ ⎪⎝⎭⎛≥⨯+= ⎝当且仅当11=即1λ=,也即2,4a b ==时,取“=”. (余略)解法6:同解法1,得21,2a b λλ=+=+.由二元几何---调和均值不等式,得22,11111λλ=+++当且仅当111,1,λλλ+=+=即 也即2,4a b ==时,取“=”.()1114λλ⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当2,4a b ==时,取“=”.111(1)14,22AOB S OA OB ab λλ∆⎛⎫∴=⋅==++≥ ⎪⎝⎭当且仅当2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法7:同解法1,得21,2a b λλ=+=+.111(1)1,22AOB S OA OB ab λλ∆⎛⎫∴=⋅==++ ⎪⎝⎭2(2)10AOB S λλ∆∴+-+=.λ是正实数,∴ 由2(2)411(4)0AOB AOB AOB S S S ∆∆∆∆=--⨯⨯=-≥及0AOB S ∆>,得4AOB S ∆≥,当且仅当1λ=,即2,4a b ==时,取“= ”. (余略)解法8:同解法1,得21,2a b λλ=+=+.1111(1)12,22AOB S OA OB ab λλλλ∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2'221111.22AOBSλλλ∆-⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭ 2'22111.AOB S λλλ∆-∴=-= 令'0(0)AOB S λ∆=>,得 1.λ=当01λ<<时,'0AOB S ∆<;当1λ>时,'0.AOB S ∆>因此,AOB S ∆在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,)+∞上单调递增,当1λ=,即2,4a b ==时,AOB S ∆有最小值2. (余略)解法提示:由21,2a b λλ=+=+,容易得到121(1,2).a b a b+=>> 利用解法系列1的方法,可得解法9----解法128.注:本解法系列供参加数学竞赛或重点大学自主招生的同学参考.解法系列15 从正弦定理入手(1)解法1:如图15-1,连接OP ,则arctan 2.OP AOP =∠=设(0)2BAO παα∠=<<.在POA ∆中,由正弦定理,得,sin sin OP OAPAO OPA=∠∠即()sin sin arctan OA απαα=--()arctan 221.sin tan OA ααα+∴==+在POB ∆中,同理可得:()arctan 22tan .cos OB ααα+==+()1121412tan 2tan 22tan 2tan 24,AOB S OA OB αααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥=当且仅当4tan tan αα=,即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”. 因此,当AOB ∆的面积最小时,直线l 的方程为y,即240.x y +-=解法2:同解法1,得21tan OA α=+,2tan .OB α=+由二元算术—几何均值不等式,得()11212tan 22tan 4,AOB S OA OB αα∆⎛⎫∴=⋅=++ ⎪⎝⎭≥=当且仅当21,tan 2tan ,αα⎧=⎪⎨⎪=⎩即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法3:同解法1,得21tan OA α=+,2tan .OB α=+由二元算术—几何均值不等式,得()22112(2tan )12tan 22tan 2tan 4,2tan AOBS OA OB ααααα∆+⎛⎫∴=⋅=++= ⎪⎝⎭≥=当且仅当2tan α=,即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法4:同解法1,得21tan OA α=+,2tan .OB α=+由二元算术—几何均值不等式,得()222112(2tan )12tan 22tan 2tan (2tan )4,2tan 2AOB S OA OB αααααα∆+⎛⎫∴=⋅=++= ⎪⎝⎭+≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭当且仅当2tan α=,即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法5:同解法1,得 21tan OA α=+,2tan .OB α=+由基本不等式,得()21124tan 4tan 12tan 22tan 2tan 4tan 4tan 4,2tan AOB S OA OB αααααααα∆++⎛⎫∴=⋅=++= ⎪⎝⎭+≥=当且仅当2tan α=,即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法6:同解法1,得21tan OA α=+,2tan .OB α=+由柯西(Cauchy)不等式,得()211212tan 22tan 114,2AOB S OA OB αα∆⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭⎛≥= ⎝=即arctan2α=,也即2,4a b==时,取“=”.(余略)解法7:同解法1,得作者:败转头作品编号44122544:GL568877444633106633215458时间:2020.12.1321tanOAα=+,2tan.OBα=+由二元几何---调和均值不等式,得22,1122tan1tan2αα≥=+++当且仅当22tan1tan2αα++=,即arctan2α=,也即2,4a b==时,取“=”.()1212tan42tanαα⎛⎫∴++≥⎪⎝⎭,当且仅当2,4a b==时,取“=”.()11212tan4,22tanAOBS OA OBαα∆⎛⎫∴=⋅=++≥⎪⎝⎭当且仅当2,4a b==时,取“=”.(余略)解法8:同解法1,得21tanOAα=+,2tan,OBα=+12cotOAα=+即,2tan.OBα=+由二元算术—几何均值不等式,得()()()11112cot2tan2tan4cot22224,AOBS OA OBαααα∆∴=⋅=++=++≥=当且仅当tan4cotαα=,即arctan2α=,也即2,4a b==时,取“=”.(余略)解法9:同解法8,得12cotOAα=+即,2tan.OBα=+由二元算术—几何均值不等式,得()()1112cot 2tan 224,AOB S OA OB αα∆=⋅=++≥= 当且仅当12cot ,2tan ,αα=⎧⎨=⎩即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法10:同解法8,得12cot OA α=+即,2tan .OB α=+由柯西(Cauchy)不等式,得()()(21112cot 2tan 22114,2AOB S OA OB αα∆=⋅=++≥==,即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略) 解法11:同解法8,得12cot OA α=+即,2tan .OB α=+由二元几何---调和均值不等式,得22,112tan 12cot 2αα≥=+++当且仅当2tan 12cot 2αα++=,即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”. ()()112cot 2tan 4,2αα∴++≥当且仅当2,4a b ==时,取“=”. ()()1112cot 2tan 4,22AOB S OA OB αα∆∴=⋅=++≥当且仅当2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法12:同解法1,得()arctan 2sin OA αα+=,()arctan 2,cos OB αα+=sin 2cos sin 2cos ,.sin cos OA OB αααααα++==即由二元算术—几何均值不等式,得11sin 2cos sin 2cos 22sin cos 4,AOB S OA OB αααααα∆++=⋅=⨯⋅≥= 当且仅当sin 2cos αα=,即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法13:同解法1,得()arctan 2sin OA αα+=,()arctan 2,cos OB αα+=sin 2cos sin 2cos ,.sin cos OA OB αααααα++==即由二元算术—几何均值不等式,得22211sin 2cos sin 2cos 22sin cos (sin 2cos )(sin 2cos )4,sin 2cos sin 2cos 2AOB S OA OB αααααααααααααα∆++=⋅=⨯⋅++=≥=⨯+⎛⎫⎪⎝⎭当且仅当sin 2cos αα=,即arctan 2α=,也即2,4a b ==时,取“=”.(余略)解法提示:若令21tan a OA α==+,2tan ,b OB α==+则容易得到121(1,2).a b a b+=>> 利用解法系列1的方法,可得解法14----解法133.注:在Rt AOB ∆中,由tan OB OA PAO =⋅∠,也可得4cos OB παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.解法系列16 从正弦定理入手(2)解法提示:如图16-1,连接OP ,连接OP,则arctan 2.OP AOP =∠=设()4APO πααπ∠=<<. 在POA ∆中,由正弦定理,得,sin sin OP OAPAO APO =∠∠即sin(arctan 2)sin OA παα=-- ,5sin .sin 2cos OAαα∴==+在POB ∆中,同理可得:5sin .cos(arctan 2)2sin cos OB ααααα=-=+-若令5sin sin 2cos a ααα=+,5sin 2sin cos b ααα=-,则容易得到121(1,2).a b a b +=>>利用解法系列1的方法,可得解法1----解法120.P解法系列17 从正弦定理入手(3)解法提示:如图17-1,连接OP ,连接OP,则arctan 2.OP AOP =∠= 设(0)2PAO παα∠=<<,则arctan 2OPB α∠=+.在POA ∆中,由正弦定理,得,sin sin OP PAPAO AOP=∠∠即sin(arctan 2)PA =, 2.sin PA α∴=在POB ∆中,同理可得:1.cos PB α=21,sin cos 2cos 1,sin 2tan .tan AB PA PB OA AB OB AB αααααα∴=+=+∴=⋅=+=⋅=+若令21,b 2tan tan a αα=+=+,则容易得到121(1,2).a b a b +=>>利用解法系列1的方法,可得解法1----解法120.图17-1P解法系列18 从三角形的相似关系入手解法提示:如图18-1,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线PQ 、PR ,垂足分别为Q 、R ,则Rt PAQ Rt BPR ∆≅∆.设(,0)A a ,(0,)(1,2)B b a b >>,则1,2QA a RB b =-=-. 由Rt PAQ Rt BPR ∆≅∆,得,PQ QA BRPR=即 2121a b -=-, 121(1,2).a b a b∴+=>> 利用解法系列1的方法,可得解法1----解法120.注:类似地,利用Rt PAQ Rt BAO ∆≅∆或Rt BAO Rt BPR ∆≅∆也可解题.P 图18-1解法系列19 从割补法、等积法入手(1)解法提示:如图19-1,连接.OP 设点,A B 的坐标分别为(,0)A a ,(0,)(1,2)B b a b >>,则由AOB POA POB S S S ∆∆∆=+,得11121,222ab a b =⨯+⨯ 2,12 1.ab a b a b∴=+∴+= 利用解法系列1的方法,可得解法1----解法120.P解法系列20 从割补法、等积法入手(2)解法提示: 如图20-1,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线PQ 、PR ,垂足分别为Q 、R ,连接OP ,则1,1,OQ OR PQ PR QA a RB =====-=设(,0),(0,)(1,2)A a B b a b >>,则 由AOB OQPRPQA PRB S SS S ∆∆∆=++ ,得11112(1)2(2)1222ab a b =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ , 2,12 1.ab a b a b∴=+∴+= 利用解法系列1的方法,可得解法1----解法120.作者:败转头作品编号44122544:GL568877444633106633215458 时间:2020.12.13P。

绝密启用前高二数学文寒假卷B北师版数学

绝密启用前高二数学文寒假卷B北师版数学

绝密★启用前高二数学(文)寒假卷B北师版数学注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.若条件p :14x +≤,条件q :23x <<,则p 是q 的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既非充分条件也非必要条件 2. 在ΔABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 已知A =3π, 3=a , 1=b ,则=c ( )A. 1B. 2C. 3-1D. 33.在锐角△ABC 中,“3A π=”是“sin A =”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10:S 5=1:2,则S 15:S 5= ( ) A . 1:2 B . 1:3C . 2:3D . 3:45.设{}n a 是等差数列,且23415a a a ++=,则这个数列的前5项和5S =( ) A .10 B .15 C .20 D .256.一动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( ) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 7.椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线,则ab=( )A.1B.12C. D. 8.已知a 、b 、c 、d 是空间四条直线,如果,,,a c b c a d b d ⊥⊥⊥⊥,那么( )A .a//b 且c//dB .a 、b 、c 、d 中任意两条可能都不平行C .a//b 或c//dD .a 、b 、c 、d 中至多有一对直线互相平行9. 已知数列{a n }为等差数列,若a a 1110<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使S n >0的n 的最大值为A. 11B. 19C. 20D. 2110.已知向量a r =(x ,一1),b r =(y -1,1),x,,y ∈R +,若a r //b r ,则t=x+11y x y++的最小值是A 、4B 、5C 、6D 、8第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中的横线上11.不等式组4380,0,0x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标为 .12.已知双曲线29x -216y =1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3,则点P 到另一个焦点的距离为__________.13.在ABC ∆中,120A =o ,若7a =,8b c +=,则ABC ∆的面积是14.若x 、y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+009382y x y x y x ,,,则y x z 2+=的最大值为________.15..等差数列{}n a 中的前n 项和为n S ,已知2110m m m a a a -++-=,2138m S -=,则m =_________;评卷人 得分三、解答题三、解答题本大题共6小题,共75分。

2020衡水名师原创理科数学专题卷:专题15《算法、推理与证明、复数》

2020衡水名师原创理科数学专题卷:专题15《算法、推理与证明、复数》

2020衡水名师原创文科数学专题卷专题十五算法、推理与证明、复数考点49: 算法与程序框图(1-15题,31-35题)考点50 : 合情推理与演绎推理(16,17题,36,37题)考点51 : 直接证明与间接证明(18题)考点52 : 数学归纳法(19题)考点53 : 复数的概念与运算(20-30题,38-40题)一、选择题n ,则输出S的值为( )1.运行如图所示的程序框图,若输入4A.10B.11C.12D.92.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( )A.3B.11C.38D.1233.如图所示的程序框图中,输出S的值为( )A.10B.12C.15D.84.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( )A.-10B.6C.14D.185.执行如图所示程序框图,输出的k=( )A.3B.4C.5D.66.执行如图程序框图其输出结果是( )A.29B.31C.33D.35a 时,下面的程序段输出的结果是( )7.当3A.9B.3C.10D.68.若下列程序执行的结果是2,则输入的x的值是( )A.2B.-2C.2或-2D.09阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )A.B.C.D.10公元年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为( ) (参考数据:,,,)A.B.C.D.11.执行如图所示的程序框图,则输出S的值是值为( )A.4B.7C.9D.1612.运行下列程序,若输入的,p q 的值分别为70,30,则输入的p q -的值为( )A.61B.68C.75D.8213.为计算11111123499100S =-+-++-L ,设计了下侧的程序框图,则在空白框中应填入( )A. 1i i =+B. 2i i =+C. 3i i =+D. 4i i =+14执行下面的程序框图,为使输出的的值小于,则输入的正整数的最小值为( )A.5B.4C.3D.215.用三段论推理:“任何实数的绝对值大于0,因为a 是实数,所以a 的绝对值大于0”,你认为这个推理()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的16.用反证法证明“若0x y +≤则0x ≤或0y ≤”时,应假设( )A. 0x >或0y >B. 0x >且0y >C. 0xy >D. 0x y +<17.复数z 满足(1)35i z i -⋅=+则z = ( )A. 2B.C.D. 18.已知2zi i =-,则复数z 在复平面内对应的点的坐标是( )A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)19.已知复数满足()123i z iz +=+,则复数对应的点所在象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限20.复数z 满足34zi i =+,若复数z 对应的点为M ,则点M 到直线310x y -+=的距离为()A.B. 5C. 5D. 21.若复数()31x iz x R i +=∈-是实数,则x 的值为( )A. 3-B. 3C.D. 22.设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称, ()113z i i -=-,则2z = ( )B. 2i -C. 2i -+D. 2i --23.在复平面内,复数65i +,23i -+对应的点分别为,A B .若C 为线段AB 的中点,则OC u u u r (O 为坐标原点)对应的复数是( )A. 48i +B. 82i +C. 24i +D. 4i +24设复数满足,则( ) A. B.C.D. 25.若复数22z i =- (i 为虚数单位),则z z +在复平面内对应的点的坐标是( )A. (0,4)B. (0,4)-C. ()4,0D. ()4,0-26.设i 是虚数单位,复数321i i i+=+ ( )B. iC. 1-D. 127设有下面四个命题:若复数满足,则;:若复数满足,则;:若复数,满足,则:若复数,则.其中的真命题为( )A.,B.,C.,D.,二、填空题28.执行如图所示的程序框图,当输入1x=时,输出y的值为__________.ln229.根据以下伪代码,可知输出的结果b 为__________.30.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为__________.31.如图是一个输出一列数的算法流程图,则这列数的第三项是__________.32.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是__________. 33.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为__________. 34.已知a ,b R ∈,且1123a b i i i+=---,则数列{}an b +前100项的和为__________. 35.若12z a i =+,234z i =-,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为__________ 36.已知,a b R ∈, ()2i 34i a b +=+ (i 是虚数单位)则22a b +=__________, ab =__________。

东华六年级上学期第2周周测

东华六年级上学期第2周周测

2019-2020学年度六年级第一学期数学周测(2)编辑:WL 校验:HH 班级: 姓名: 学号 分数: 一、填空。

(每空1分,共24分)1.漫画书的本数比科技书多25 ,则漫画书的本数相当于科技书的( );杨树的棵数比梨树少34 ,则杨树的棵数是梨树的( )。

2.一个直角三角形的两条直角边分别是34 米和49 米,这个直角三角形的面积是( )㎡。

3. 比 45 吨少 15 的是( )吨 比45 吨少15 吨的是( )吨。

4.某车间计划加工180个零件,实际多加工了110 ,多加工了( )个,实际加工了( )个。

5.如果小明在小红东偏南30°的方向,距离50米;那么小红在小明( )的方向上,距离( )米。

6.( )是1的两个数互为倒数。

1的倒数是( ),( )没有倒数。

7. 310 的倒数是( ),523 的倒数是( ),0.25的倒数是( )。

8. 最小质数的倒数是( ),最小合数的倒数是( )。

9. 59 的倒数的13 是( ),23 与它的倒数的和是( )。

10 . 78 ÷4表示把78 平均分成( )份,求其中的一份是多少;也表示求78 的( )( )是多少,可以用乘法来计算,列式是( )。

11.一堆黄沙24吨,用去它的34,还剩这堆黄沙的( ),还剩( )吨。

二、能简算就简算。

(每题3分,共36分)。

415 + 415 ×78 43 ×( 58 - 14 ) 98×969745 + 815 ×916 56 ×119 ×56 198×200199713 ×(4-27 ) 45 ×16 +23 ×94 79 -79 ×413(34 + 79 )×36 3.6-2.1×57 (1118 +89 )×29 ×13三、填空。

(6分)1. A 号楼在花园( )的方向上,距离 ( )米;2. B 号楼在花园( )的方向上,距离 ( )米;3. C 号楼在花园( )的方向上,距离 ( )米;四、根据出事船只雷达搜索显示,在平面图上画出它们的位置。

北师大数学七上期末数学试题解析版B20

北师大数学七上期末数学试题解析版B20

北师大数学七上期末数学试题解析版B20一、选择题1.下列各数中,比2-小的数是( ) A .3- B .1- C .0 D .1【答案】 A 【解析】比2-小的数是应该是负数,且绝对值大于2的数;分析选项可得,只有A 符合.故选:A .2.1||2-的相反数是( ) A .2 B .12 C .12- D .2-【答案】 C 【解析】11||22-=,11()022+-=,1||2∴-的相反数是12-,故选:C .3.下列运算正确的是( )A .3(4)312x x --=--B .23326x x x +=C .651x x -=D .()0x x ---=【答案】 D 【解析】A 、3(4)312x x --=-+,故此选项错误;B 、232x x +,无法计算,故此选项错误;C 、65x x x -=,故此选项错误;D 、()0x x ---=,故此选项正确.故选:D .4.不少植物叶子在茎上的排布很有规律,从茎的顶端沿茎向下看,若相邻两片叶子的夹角是13728︒',那么这个角的补角等于( )A .4728︒'B .4272︒'C .4232︒'D .4332︒' 【答案】 C 【解析】13728︒'的补角度数为180137284232︒-︒'=︒'.故选:C .5.下列运用等式的基本性质变形,错误的是( ) A .若a b =,则11a b +=+ B .若33x y =-,则x y =-C .若44n m -=-,则0m n -=D .若43x =,则43x = 【答案】 D 【解析】A 、根据等式的性质1可知原变形正确,故此选项不符合题意;B 、根据等式的性质2可知原变形正确,故此选项不符合题意;C 、根据等式的性质1可知原变形正确,故此选项不符合题意;D 、根据等式的性质2可知原变形错误,正确的结果是34x =,故此选项符合题意.故选:D .6.下列四个图形中,能用1∠,AOB ∠,O ∠三种方法表示同一个角的是( )A .B .C .D .【答案】 B 【解析】A 、因为顶点O 处有四个角,所以这四个角均不能用O ∠表示,故本选项错误;B 、因为顶点O 处只有一个角,所以这个角能用1∠,AOB ∠,O ∠表示,故本选项正确;C 、因为顶点O 处有三个角,所以这三个角均不能用O ∠表示,故本选项错误;D 、因为顶点O 处有三个角,所以这三个角均不能用O ∠表示,故本选项错误.故选:B .7.在数轴上,点A ,B 在原点O 的两侧,分别表示数a 和2,将点A 向左移动1个单位长度得到点C ,若CO BO =,则a 的值为( ) A .3- B .2- C .1- D .1 【答案】 C 【解析】点C 在原点的左侧,且CO BO =,∴点C 表示的数为2-,211a ∴=-+=-.故选:C .8.某专家组针对某校数学测验得分展开研究,调查了全校1600名学生的得分,并从中抽取331名学生的得分进行分析,下面说法正确的是( )A .331名学生是样本B .1600名学生数学测验得分是总体C .每个学生是个体D .样本容量是1600 【答案】 B 【解析】A 、331名学生数学测验得分是样本,故A 错误;B 、1600名学生数学测验得分是总体,故B 正确;C 、每个学生的数学测验得分是个体,故C 错误;D 、样本容量是331,故D 错误;故选:B .9.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,书中有这样一题:以绳测井.若将绳三折测之,绳多四尺,若将绳四折测之,绳多一尺,求绳长、井深各几何?如图,如果设井深为x 尺,则可列方程为( )A .3(4)4(1)x x +=+B .3441x x +=+C .4134x x ++= D .4134x x --= 【答案】 A 【解析】依题意得:3(4)4(1)x x +=+.故选:A .10.周老师上课时,要求同学们在月历上圈出一横行或一竖列上相邻的三个数并求和.有四位同学小张、小李、小王、小刘分别给出答案27,33,40,60,周老师立刻指出有一位同学算错了,算错的同学是( )A .小张B .小李C .小王D .小刘 【答案】 C 【解析】设三个数中的中间数为x ,如果圈出一横行,则三个数的和为(1)(1)3x x x x -+++=;如果圈出一竖列,则三个数的和为(7)(7)3x x x x -+++=;当327x =时,9x =,符合题意;当333x =时,11x =,符合题意;当340x =时,403x =,不合题意;当360x =时,20x =,符合题意;故选:C .二、填空题11.如图,工人师傅在用方砖铺地时,常常打两个木桩拉线来铺砖,这样砖就铺的很整齐,这是根据 .【答案】经过两点有且只有一条直线 【解析】工人师傅在用方砖铺地时,常常打两个木桩拉线来铺砖,这样砖就铺的很整齐,这个事实说明的道理是:经过两点有且只有一条直线.故答案为:经过两点有且只有一条直线.12.单项式225x yπ-的次数是 .【答案】3【解析】单项式225x yπ-的次数是213+=,故答案为:3.13.一家进口药药商参加与国家医保局的谈判,企业的初始报价为a 元,经过两轮谈判,第一轮谈判降价10%,两周后进行第二轮谈判,又降价5%,则药价最终为 元. 【答案】0.855a【解析】由题意可得,两次降价后的价格可列代数式为(110%)(15%)0.855a a --=元.故答案为:0.855a .14.2019年商务部公示新增“国家电子商务示范基地”名单,肥东县电商产业园中国(肥东)互联网生态产业园入围榜单,该产业园首期投资10.8亿元,将“10.8亿”用科学记数法表示为 .【答案】91.0810⨯【解析】10.8亿91080000000 1.0810==⨯,故答案为:91.0810⨯.15.已知线段4AB cm =,在线段AB 的延长线上取一点C ,使53AC BC =,在线段AB 的反向延长线上取一点D ,使47BD DC =,若E 为DC 的中点,则BE 的长是 . 【答案】1cm【解析】 如图,53AC BC =,25AB AC ∴=,10AC cm ∴=,6BC cm ∴=,47BD DC =,37BC DC ∴=,14DC cm ∴=,E 为DC 的中点,7CE cm ∴=,1BE CE BC cm ∴=-=.故答案为:1cm .三、解答题 16.计算题:(1)455()(36)9612-+-⨯-; (2)4311[2(2)]2-+⨯+-.【答案】 见解析 【解析】 (1)455()(36)9612-+-⨯-455(36)(36)(36)9612=-⨯-+⨯--⨯-16(30)15=+-+1415=-+1=;(2)4311[2(2)]2-+⨯+-11[2(8)]2=-+⨯+-11(6)2=-+⨯-1(3)=-+-4=-.17.如图1,经过平面上的两个点可以画一条直线,如图2,图3,经过平面上三个点中任意两个点画直线,一共可以画一条或三条直线.那么经过平面上四个点中任意两个点画直线,一共可以画几条直线?请画图说明.【答案】 见解析 【解析】分三种情况讨论:①如图1,当四点在同一直线上时,可以画1条直线;②如图2,当只有三点在同一直线上时,可以画4条直线;③如图3,当任意三个点都不在同一直线上,可以画6条直线;综上所述,过同一平面内四个点中的任意两个点,可以画1条、4条或6条直线.18.解下列方程:23105128x x ++-=; 【答案】 见解析 【解析】(1)去分母得:4(23)(105)8x x +-+=,去括号得:8121058x x +--=,移项合并得:21x -=,解得:12x =-; 19.如图,已知2BOC AOB ∠=∠,OD 平分AOC ∠,若40AOB ∠=︒,求BOD ∠的度数.【答案】 见解析 【解析】40AOB ∠=︒,2BOC AOB ∠=∠,80BOC ∴∠=︒.120AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠=︒.OD 平分AOC ∠,60AOD ∴∠=︒.BOD AOD AOB ∴∠=∠-∠6040=︒-︒20=︒.20.先化简,再求值:22222(3)2()ab ab a b ab a b -+---,其中23a =-,9b =-. 【答案】 见解析 【解析】原式222222322ab ab a b ab a b a b =-+--+=,当23a =-,9b =-时,原式4(9)49=⨯-=-.21.某校为加强学生素质教育,丰富校园文化活动,决定开展课外体育活动,并要求每名学生必须且只能选择一种活动项目.为了解各项目学生人数,七(1)班同学随机选择了部分学生进行调查,并绘制出两幅统计图,根据统计图回答下列问题.(要求写出简要的解答过程)(1)这次活动一共调查了多少名学生? (2)补全条形统计图;(3)求扇形统计图中“篮球”部分的扇形的圆心角度数;(4)根据统计结果,如果你是体育老师,请你谈谈利用这些数据可以做什么?【答案】 见解析 【解析】(1)由题意可得,14035%400÷=(名),即这次活动一共调查了400名学生; (2)选择篮球的学生有:4001402080160---=(人),补全的条形统计图如下图所示;(3)由题意可得,160360144400︒⨯=︒,即扇形统计图中“篮球”部分的扇形的圆心角度数是144︒;(4)根据参加各个项目的人数,购买体育器材时,可以多购买篮球和足球,少购买排球和乒乓球;体育老师分配时,可以分配教篮球和足球的多些,教排球和乒乓球的老师少些.22.小杨同学在复习过程中,发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点的数的差”来表示,探索过程如下:如图1所示,线段AB ,BC ,CD 的长度可表示为:341AB ==-,54(1)BC ==--,3(1)(4)CD ==---,于是他归纳出这样的结论:如果点A 表示的数为a ,点B 表示的数为b ,当b a >时,AB b a =-,请你根据这个结论解决以下问题: (1)在数轴上表示数m 的点到表示20-和2020两数的点的距离相等,求m 的值; (2)如图2所示,点E 表示数x ,点F 表示数2-,点G 表示数28x +,且4FG EF =,求点E 和点G 分别表示的数;(3)根据(2)求得的结果,在数轴上,点E 的左侧或者点G 的右侧是否存在点P ,使3PF PG PE +=若存在,求出点P 所表示的数;若不存在,请说明理由.【答案】 见解析 【解析】(1)依题意有(20)2020m m --=-,解得1000m =,故m 的值为1000; (2)根据题意得,2EF x =--,28(2)210FG x x =+--=+,依题意有2104(2)x x +=--,解得3x =-,故点E 表示的数是3-,点G 表示的数是2(3)82⨯-+=;(3)设点P 所表示的数为a ,①点P 在点E 的左侧,即3a <-,2PF a =--,2PG a =-,3PE a =--,依题意有223(3)a a --+=--,解得9a =-;②点P 在点G 的右侧,即2a >,(2)PF a =--,2PG a =-,(3)PE a =--,依题意有23(3)a a =+,解得9a =-(舍去).综上所述,在点E 的左侧存在点P ,使3PF PG PE +=,点P 所表示的数是9-.。

【周练培优】北师大版六年级上册数学(第6周)

【周练培优】北师大版六年级上册数学(第6周)

【周练培优】北师大版六年级上册数学(第6周)一、选择题1.从左面看是的立体图形是()。

A.B.C.D.2.某小学有男生660人,男生人数比女生人数少325,女生有多少人?正确列式为()。

A.3660125⎛⎫⨯+⎪⎝⎭B.3660125⎛⎫÷-⎪⎝⎭C.3660125⎛⎫⨯-⎪⎝⎭D.3660125⎛⎫÷+⎪⎝⎭3.妈妈给妙想制作生日蛋糕,现在要完成最后的裱花工序,她3分完成了裱花工序的14,再过1分,就能完成裱花工序的()。

A.13B.34C.12D.1124.如图,半圆形的周长可以表示为()。

A.πr B.2πr C.πd+r D.πr+2r5.两个圆的半径相差1厘米,则周长相差()。

A.1厘米B.2厘米C.3.14厘米D.6.28厘米6.甲数的20%是5,乙数是5的20%,则()大。

A.甲数B.乙数C.一样D.无法确定7.男工人数的25%等于女工人数的30%,那么男工人数和女工人数相比()。

A.男工人数多B.女工人数多C.无法比较D.一样多8.把一个直径是4厘米的圆等分成若干份,然后把它剪开,按下图的样子拼起来,拼成的图形的周长比原来圆的周长增加了()厘米。

A.2B.4C.8D.169.六(1)班图书角共有故事书160本,科技书比故事书少15,科技书有( )本。

A .128B .32C .192D .20010.甲、乙两袋面粉一样重,甲袋用去13,乙袋用去13千克,( )用去的多。

A .甲袋B .乙袋C .一样多D .无法确定11.把10克糖放入100克水中,糖占糖水的( )。

A .90.91%B .10%C .9.09%D .110%12.一袋大米的25是8千克,这袋大米的的12是( )千克。

A .8B .10C .16D .20二、填空题13.一个立体图形从上面看是,从左面看是。

要搭成这样的立体图形,至少要用()个小正方体,最多可以用( )个小正方体。

14.一根木棒,截下的13正好是2m ,再截去1m 8,还剩( )m 。

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主题单元学习概述 函数是数学学习中的重要内容。而反比例函数又是三大基础函数之一,是以后的函数、方程、不等 式的学习的基础。本单元主要学习反比例函的概念、性质及应用。 这个主题单元主要分成三个专题:反比例函数的的概念,反比例函数的图象和性质,反比例函数的 应用。 主要的学习方式:采用探究式教学,让学生主动去探索,并分层教学将顾及到全体学生,达到优生 得到培养,后进生也有所收获的效果。同时在教学中将理论联系实际,让学生用所学的知识去解决身边 的实际问题。由于学生在前面已学过"变量之间的关系"和"一次函数"的内容,对函数已经有了初步的认 识。因此,在教这节课时,要注意和一次函数,尤其是正比例函数一反比例的类比。引导学生从函函数 的意义、自变量的取值范围等方面辨明相应的差别,在学生探索过程中,让学生体会到在探索的途径和 方法上与一次函数相似。对于所设置的两个问题为学生熟悉,尽量贴近学生生活,或者进入学生生活的 圈子里,让学生感受到亲切、自然,激发学生的学习兴趣,提高学生思考问题的积极主动性和解决问题 的能力,从而培养对数学学科的浓厚兴趣,使部分学生由不爱学变得爱学。让学生真正体会到:生活处 处皆数学,生活处处有函数。 预期的学习成果:学生理解反比例函数的意义,理解反比例函数的图象和性质,能用反比例函数解 决某些简单的实际问题。 主题单元规划思维导图
主题单元学习目标 知识与技能:使学生理解反比例的概念、图像和性质,并能用函数的方法表示生活中的一些变化 过程。 过程与方法:通过问题情景,引导学生运用归纳法写出表示现实生活中的一些变化过程的函数关 系式,培养学生解决实际问题的意识和能力。 情感态度与价值观:通过从实际生活问题中归纳出数学知识,然后运用数学知识解决实际问题这 一过程,很好地调动学生学习数学的积极性,让他们明白学习“生活中数学,学习有用的数学”的道理。
对应课标 理解反比例函数的概念,加深对函数概念的理解。掌握他的图象和性质能从实际问题中抽象出反比 例函数的解析式,学会用数形结合的数学思想解决相关的实际问题。理解反比例函数的概念,加深对函 数概念的理解。掌握他的图象和性质能从实际问题中抽象出反比例函数的解析式,学会用数形结合的数 学思想解决相关的实际问题。 1、 什么叫反比例函数? 主题单元问题 设计 2、 反比例函数的图象和性质是什么 3、 3、如何利用反比例函数解决实际问题?
可评价的学习要素 1、能否积极地主动合作交流 评价要点 2、能否领会反比例函数的意义 3、能否会求反比例函数解析式 4、解题过程的书写是否规范 专题二 „„ 反比例函数的图像和性质
专题一:反比例函数函数的意义 专题二:反比例函数的图象和性质
专题划分

1 课时)
( 2 课时) ( 1 课Hale Waihona Puke )专题三:反比例函数的应用
其中,专题 二
作为研究性学习
专题一 所需课时
反比例函数函数的意义
课内共用 1 课时,每周 5 课时
( 1 课时)
专题学习目标
1、知道反比例函数的意义。 2、会求反比例函数解析式,并根据解析式特点解决问题。
表 3-1
主题单元教学设计模板
主题单元标题 作者姓名 学科领域 (在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术
反比例函数 孟庆柏
内打√ 表示主属学科,打+ 语文 美术 生物 科学 表示相关学科) √数学 外语 历史 社区服务 体育 物理 地理 社会实践
其他(请列出) : 适用年级 所需时间
九年级
课内共用 4 课时,每周 5 课时
1、 什么是反比例函数? 本专题问题设 计
2、 反比例函数解析式的特点是什么 3、 怎样求反比例函数解析式?
所需教学环境和教学资源 1、信息化资源 2、常规资源 3、教学支撑环境 4、其 他 电脑及相关应用软件 教材 多媒体教室
学习活动设计
活动一:创设情境,发现新知 首先提出问题 问题 1:今天中午老师打的从焦作到学校讲课,总路程为 45 千米,那么的士的平均速度 V(千米/时)和时间 t(小时)之间的关系式为? 问题 2:我们知道,电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足关系式 U=IR,当 U=220V,(1)你能用 含有 R 的代数式表示 I 吗?(2)利用写出的关系式 (3)变量 I 是 R 的函数吗?为什么? 活动二:合作探究,获得新知 1.出示问:想一想,你还能举出类似的例子吗? 2.启发学生建构新知 反比例函数的定义:一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y=k/x(k 为常数, k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数。 反比例函数自变量不能为 0! 反比例函数的一般形式:y= k/x(k 为常数,k≠0) 反比例函数的变式形式:k=yx,x=k/y(k 为常数,k≠0) 活动三:反馈练习,应用新知
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