全国高考文科数学试题及答案福建卷
高考数学文(福建卷)WORD解析版
一．选择题1．复数z 1 2i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限【答案】 C【分析】此题考察的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．2．设点P( x, y)，则“x2且y 1 ”是“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”的（）A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】此题考察的知识点是逻辑中充要条件的判断．由于(2,1) 点代入直线方程，切合方x 2且 y 1 ”可推出“点P在直线 l : x y 1 0 上”；而点P在直线上，不必定程，即“就是 (2,1) 点，即“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”推不出“x 2且 y 1 ”．故“x 2且y1”是“点 P 在直线 l : x y 1 0 上”的充足而不用要条件．3．若会合A {1,2,3}, B {1,3,4} ，则A B的子集个数为（）A ． 2B ． 3 C． 4 D．16【答案】 C【分析】此题考察的是会合的交集和子集．由于 A B {1,3} ，有2个元素，因此子集个数为 22 4 个．4．双曲线x2 y2 1的极点到其渐近线的距离等于（）A ．1B．2C． 1 D ． 2 2 2【答案】 B【分析】此题考察的是双曲线的性质．由于双曲线的两个极点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个极点为(1,0) ，取一条渐近线为y x ，因此点 (1,0) 到直线 y x 的距离为2．25．函数 f ( x) ln( x21) 的图象大概是（）A ．B ．C．D．【答案】 A【分析】此题考察的是对数函数的图象．由函数分析式可知 f ( x) f ( x) ，即函数为偶函数，清除 C；由函数过(0,0) 点，清除 B,D ．x y 26．若变量x, y知足拘束条件x 1 ，则 z 2x y 的最大值和最小值分别为（）y 0A．4和 3 B．4和2 C．3和 2 D．2和0【答案】 B【分析】此题考察的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．y2O 1 2 x7．若2x 2 y 1，则 x y 的取值范围是（）A ．[0,2] B．[ 2,0] C．[ 2, ) D ．( , 2]【答案】 D【分析】此题考察的是均值不等式．由于 1 2 x 2y 2 2 x 2 y，即2x y 22，因此x y 2 ，当且仅当2x 2 y，即x y时取等号．8 ．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，假如输入某个正整数n 后，输出的S (10,20) ，那么 n 的值为（）A．3B．4C． 5D． 6【答案】 B【分析】此题考察的是程序框图．循环前：S 1, k 2 ；第 1 次判断后循环：S 3,k 3 ；第 2 次判断后循环：S 7, k 4 ；第3次判断后循环：S 15,k 5 ．故 n 4 ．9．将函数f ( x) sin(2x )(2 2) 的图象向右平移( 0) 个单位长度后获得函数 g (x) 的图象，若 f ( x), g( x) 的图象都经过点 P(0, 3) ，则的值能够是（）25 5C．D．A ．B．3 6 2 6【答案】 B【分析】此题考察的三角函数的图像的平移．把P(0, 3) 代入2f ( x) sin( 2x )(2)，解得，所以 g( x) sin( 2x 2 ) ，把2 3 3P( 0, 3) 代入得，k 或k ，察看选项，应选 B 2 610．在四边形ABCD中，AC (1,2), BD ( 4,2) ，则该四边形的面积为（）A ． 5 B．2 5 C． 5 D． 10【答案】 C【分析】此题考察的是向量垂直的判断以及向量的模长．由于ACBD 1(4) 22 0，因此AC BC，因此四边形的面积为|AC| |BD| 12 22 ( 4)2 222 25，应选C11．已知x与y之间的几组数据以下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4? a假定依据上表数据所得线性回归直线方程为y bx? ?．若某同学依据上表中前两组数据(1,0) 和 ( 2,2) 求得的直线方程为y b x a ，则以下结论正确的选项是（）A ．?? B．?? C．? ? D ．??b b , a a b b ,a a b b , a a b b , a a【答案】 C【分析】此题考察的是线性回归方程．画出散点图，可大概的画出两条直线（以下列图），由?两条直线的相对地点关系可判断 b b , a? a ．应选 Cy4321O123456x12．设函数 f ( x) 的定义域为R ， x0 ( x00) 是 f ( x) 的极大值点，以下结论必定正确的选项是（）A ．x R, f (x) f (x0 ) B．x0是f ( x)的极小值点C．x0是 f ( x)的极小值点D．x0是 f ( x) 的极小值点【答案】 D【分析】此题考察的是函数的极值．函数的极值不是最值， A 错误；由于 f ( x) 和 f (x) 关于原点对称，故x0是 f ( x) 的极小值点，D正确．二．填空题2x3 , x 013．已知函数 f ( x)tan x,0，则 f ( f ( )) x 42【答案】 2【分析】此题考察的是分段函数求值． f ( f ( )) f ( tan ) f ( 1) 2( 1)3 2 ．4 414．利用计算机产生0 ~ 1之间的均匀随机数 a ，则事件“3a 10 ”发生的概率为【答案】131，因此 P11 ． 【分析】此题考察的是几何概型求概率．3a 1 0 ，即 a331 3:x 2y 215．椭圆22 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，焦距为 2c ．若直线 与ab椭圆 的一个交点 M 知足 MF 1 F 2 2 MF 2F 1 ，则该椭圆的离心率等于【答案】3 1【分析】此题考察的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，MF 1F 2中，MF 1 2 MF 2 2 F 1 F 22(2c) 2MF 1 F 2 60 , MF 2 F 1 30 , F 1MF 290 ，因此有 MF 1 MF 2 2a，MF 23MF 1整理得 ec 3 1，故答案为3 1．a16．设 S,T 是 R 的两个非空子集，假如存在一个从S 到 T 的函数 y f ( x) 知足；（ i ） T { f ( x) | x S} ；（ ii ）对随意 x , x2S ，当 xx 时，恒有 f (x )f (x ) ．11212那么称这两个会合 “保序同构 ”．现给出以下 3 对会合： ① A N , BN * ；② A { x | 1 x 3}, B { x | 8 x 10} ；③ A { x | 0x1}, BR ．此中， “保序同构 ”的会合对的序号是 （写出全部 “保序同构 ”的会合对的序号）【答案】①②③【分析】此题考察的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域， T 为其所对应的值域，且函数 yf ( x) 为单一递加函数． 对于会合对①，可取函数 f (x) 2x( x N ) ，是 “保序同构 ”；对于会合对②，可取函数y 9 x 7 ( 1 x 3) ，是 “保序同构 ”；对于会合对2 2 ③，可取函数 ytan( x)(0 x 1) ，是 “保序同构 ”．故答案为①②③．2三．解答题17．（本小题满分 12 分）已知等差数列 { a n } 的公差 d 1 ，前 n 项和为 S n ．（1）若1, a1, a3成等比数列，求a1；（2）若S5a1a9，求a1的取值范围．本小题主要考察等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想、化归与转变思想．满分12 分．解：（ 1）由于数列{ a n}的公差d 1，且1,a1, a3成等比数列，因此 a12 1 (a1 2) ，即 a 2 a 2 0 ，解得 11或a1 2．1 1 a（ 2）由于数列{ a n} 的公差 d 1，且S5 a1a9，因此5a1 10 a12 8a1；即 a12 3a1 10 0 ，解得 5 a1 218．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，PD 面ABCD ，AB / /DC，AB AD，BC 5， DC 3，AD 4 ，PAD 60o．uuurABCD 的正视图.（要求标出（1）当正视图方向与向量AD的方向同样时，画出四棱锥P尺寸，并画出演算过程）；（2）若M为PA的中点，求证：DM / /面PBC；（3）求三棱锥D PBC 的体积．本小题主要考察直线与直线、直线与平面的地点关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考察空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考察数形联合能力、化归与转变思想，满分 12 分．解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点 C 作 CE AB ，垂足为由已知得，四边形ADCE 为矩形， AE CD 3E ，在 Rt BEC 中，由 BC 5， CE 4 ,依勾股定理得：BE 3，进而 AB 6又由 PD平面ABCD得，PD AD进而在 Rt PDA 中，由 AD 4 ，PAD 60 ,得PD 4 3正视图如右图所示：（Ⅱ）取 PB 中点 N ，连接 MN ， CN在 PAB中， M 是 PA中点，∴ MN PAB，MN 1 AB3 ，又CD PAB , CD 3 2∴ MN PCD，MN CD∴四边形 MNCD 为平行四边形，∴又 DM平面PBC，CN平面DM PCN PBC∴DM P平面 PBC（Ⅲ）V D PBC VP1DBC S DBC PD3又 s PBC 6 ， PD 4 3 ，因此 V D PBC 8 3解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取 AB 的中点 E ，连接 ME , DE在梯形 ABCD 中， BE PCD ，且 BE CD∴四边形 BCDE 为平行四边形∴ DE PBC ，又 DE 平面 PBC ， BC 平面 PBC∴ DE P平面 PBC ，又在 PAB中， ME PPBME 平面 PBC , PB 平面 PBC∴ ME P平面 PBC .又DE I ME E ,∴平面 DME P平面 PBC ，又 DM 平面 DME∴平面PBCDM P（Ⅲ）同解法一19．（本小题满分 12 分）某工厂有25 周岁以上（含25 周岁）工人 300 名， 25 周岁以下工人 200 名．为研究工人的日均匀生产量能否与年纪相关．现采纳分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日均匀生产件数，而后按工人年纪在“25周岁以上（含25 周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日均匀生产件数分红 5 组： [50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100) 分别加以统计，获得如图所示的频次散布直方图．（1）从样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中随机抽取 2 人，求起码抽到一名“25周岁以下组”工人的频次．（2）规定日均匀生产件数许多于80 件者为“生产好手”，请你依据已知条件达成 2 2 的列联表，并判断能否有90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组相关”？附表：本小题主要考察古典概型、抽样方法、独立性查验等基础知识，考察运算求解能力、应意图识，考察必定和或然思想、化归与转变思想等，满分12 分．解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25 周岁以上组工人 60 名， 25 周岁以下组工人40 名因此，样本中日均匀生产件数不足60 件的工人中， 25 周岁以上组工人有60 0.05 3（人），记为 A1， A2 ， A3；25周岁以下组工人有40 0.05 2 （人），记为B1 ， B2从中随机抽取 2 名工人，全部可能的结果共有10 种，他们是：(A1,A2)，(A1,A3)，(A2,A3)，(A1,B1)， (A1,B2 )， ( A2, B1)， (A2,B2 ) ， (A3 ,B1) ， ( A3 ,B2) ， (B1,B2)此中，起码闻名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有7 种，它们是：(A1, B1) ， (A1, B2 ) ，7( A2, B1) ， (A2, B2 ) ， (A3, B1) ， (A3, B2) ， (B1,B2) .故所求的概率：P10（Ⅱ）由频次散布直方图可知，在抽取的100 名工人中，“周岁以上组”中的生产好手2560 0.25 15（人），“25 周岁以下组”中的生产好手 40 0.375 15（人），据此可得 2 2 列联表以下：生产好手非生产好手共计25 周岁以上组15 45 6025 周岁以下组15 25 40共计30 70 100因此得： K 2 n(ad bc)2 100 (15 25 15 45)2 25 1.79(a b)(c d )( a c)(b d ) 60 40 30 70 14由于 1.79 2.706 ，因此没有 90%的掌握以为“生产好手与工人所在的年纪组相关”20（．本小题满分12 分）如图，在抛物线E : y2 4x 的焦点为 F ，准线l与 x 轴的交点为 A ．点C 在抛物线 E 上，以C为圆心OC为半径作圆，设圆C与准线l的交于不一样的两点M,N．（1）若点C的纵坐标为2，求MN；（2）若AF 2AM AN ，求圆C的半径．本小题主要考察抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的地点关系等基础知识，考察运算求解能力、推理论证能力，考察函数与方程思想、数形联合思想、化归与转变思想．满分12分．解：（Ⅰ）抛物线y 24x 的准线l的方程为x1，由点 C 的纵坐标为2，得点 C 的坐标为(1,2)因此点 C 到准线 l 的距离 d 2，又|CO| 5 ．因此 |MN | 2 |CO |2 d 2 2542.（Ⅱ）设y 2C 的方程为( xy2 2( y y0 ) 2y 4 2，C( 0 , y0 ) ，则圆0 ) 0 y04 4 16即 x2 y02 x y2 2y0 y 0 .2由 x 1，得y2 2y0 y 1 y02 02设 M ( 1, y1 ) ， N ( 1, y2 ) ，则：4 y02 4(1 y02 ) 2y02 4 02y02y1 y2 12由|AF |2 | AM | | AN | ，得 | y1 y2 | 4y021 4 ，解得 y0 6 ，此时0因此2因此圆心 C 的坐标为( 3 , 6)或( 3 , 6)2 2进而 |CO |2 33 ，|CO| 33 ，即圆 C 的半径为334 2 221 12分）如图，在等腰直角三角形OPQ 中，OPQ 90o， OP 2 2 ，（本小题满分点M 在线段 PQ上．（1）若OM 3 ，求PM的长；（ 2）若点N在线段MQ上，且MON 30o，问：当POM 取何值时，OMN 的面积最小？并求出头积的最小值．本小题主要考察解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考察推理论证能力、抽象归纳能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形联合思想、化归与转变思想．满分 12 分．解：（Ⅰ）在OMP 中， OPM 45 ， OM 5 ，OP 2 2 ，由余弦定理得， OM 2 OP2 MP 2 2 OP MP cos45 ，得 MP2 4MP 3 0 ，解得 MP 1或 MP 3 ．（Ⅱ）设POM ， 0 60 ，在 OMP 中，由正弦定理，得OM OP ，sin OPM sin OMP因此同理OM OP sin 45 ，sin 45ONOP sin45sin 75故S OMN 1 OM ON sin MON21 OP2 sin 2 454 sin 45 sin 751sin 45sin 45301sin 453sin 451cos 45221 3sin2451sin 45cos 452213 1 cos 90 21sin 9024413 3sin 21cos2444131sin 2 3042由于 060 ，30 2 30 150 ，因此当30 时，sin 2 30的最大值为 1，此时OMN 的面积取到最小值．即2POM30 时， OMN 的面积的最小值为 8 4 3 ．22（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) x1 aR ， e 为自然对数的底数） ．e x （ a（1）若曲线 yf (x) 在点 (1, f (1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；（2）求函数 f (x) 的极值；（3）当 a1 的值时，若直线 l : y kx 1与曲线 y f ( x) 没有公共点，求 k 的最大值．本小题主要考察函数与导数，函数的单一性、极值、零点等基础知识，考察推理论证能力、 运算求解能力， 考察函数与方程思想、 数形联合思想、 分类与整合思想、 化归与转变思想． 满 分14分．解：（Ⅰ）由 f x x 1a ，得 f x 1a ．exex又曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线平行于 x 轴，得 f 1 0 ，即 1 a0 ，解得 a e．e（Ⅱ） f x 1 a，e x①当 a 0 时， f x 0 ， f x 为, 上的增函数，因此函数 f x 无极值．②当 a 0 时，令 f x 0 ，得e x a ，x ln a ．x ,ln a ，f x 0； x ln a, ， f x 0 ．因此 f x 在,ln a 上单一递减，在ln a, 上单一递加，故 f x 在 x ln a 处获得极小值，且极小值为 f ln a ln a ，无极大值．综上，当 a 0 时，函数 f x 无极小值；当 a 0 ， f x 在 x ln a 处获得极小值ln a ，无极大值．（Ⅲ）当 a 1 时， f x x1 1e x令g x f x kx 1 1 k x 1 ，e x则直线 l ：y kx 1 与曲线y f x 没有公共点，等价于方程 g x0 在R上没有实数解．假定 k 1，此时 g 0 1 0 ，g111，k 1 1e k 1又函数 g x 的图象连续不停，由零点存在定理，可知g x 0 在R上起码有一解，与“方程 g x 0 在R上没有实数解”矛盾，故 k 1 ．又 k 1时，g x 10 ，知方程g x 0 在R上没有实数解．x因此 k 的最大值为e 1．解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当 a 1 时， f x x 1 1．xe直线 l ：y kx 1 与曲线y f x 没有公共点，等价于对于 x 的方程kx 1 x 1 1 在 R 上没有实数解，即对于x 的方程：e xk11 x在 R 上没有实数解． ex①当 k1 时，方程（ * ）可化为 1，在 R 上没有实数解．e x②当 k1 时，方程（ * ）化为1 xe x．k 1令 g x xe x ，则有 g x 1 x e x ．令 gx0 ，得 x1 ，当 x 变化时， g x的变化状况以下表：x, 11g xg x]1e（ * ）1,Z当 x1时，g x min1时， gx 趋于，同时当 x 趋于，e进而 gx 的取值范围为1,．e因此当1 ,1时，方程（ * ）无实数解，k 1e解得 k 的取值范围是1 e,1 ．综上，得 k 的最大值为 1．。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷，解析版）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ⋂等于（ ）A. {}x|2<x 3≤B. {}x|x 1≥C. {}x|2x<3≤D. {}x|x>2 【答案】A【解析】A B ⋂={}x|1x 3≤≤⋂{}x|x>2={}x|2<x 3≤,故选A. 【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题. 2．计算12sin 22.5-o的结果等于( )A.12B.22C.3D.3【答案】B【解析】原式=2cos 45=o,故选B. 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值.3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧．面积．．等于 ( ) A.3 B.2 C.23 D.6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为32434⨯⨯=3216⨯⨯=，选D.【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
4．i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A.i B .-i C.1 D.-1 【答案】C【解析】41i ()1-i+=244(1i)[]=i =12+,故选C. 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力.7．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.3B.2C.1D.0 【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
普通高等学校招生国统一考试数学文试题福建卷,含答案
卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，含答案〕第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1.复数〔2+i 〕2等于 A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，以下结论成立的是⊆M ∪N=M ∩N=N ∩N={2}3.向量a=〔x-1,2〕，b=〔2,1〕，那么a ⊥b 的充要条件是 A.x=-12B.x-1C.x=5D.x=0 4.一个几何体的三视图形状都一样，大小均等，那么这个几何体不可一世A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱5双曲线22x a -25y =1的右焦点为〔3,0〕，那么该双曲线的离心率等于C 32D 436阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于A-3B-10C0D-27.直线与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，那么弦AB 的长度等于A.8.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是A.x=4πB.x=2πC.x=-4πD.x=-2π,那么f(g(π))的值是A1B0C-1D π10.假设直线y=2x 上存在点〔x ，y 〕满足约束条件那么实数m 的最大值为 A.-1B.1C.3211.数列{a n }的通项公式，其前n 项和为S n ，那么S 2021等于 A.1006B.2021C.50312.f 〔x 〕=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f 〔a 〕=f 〔b 〕=f 〔c 〕=0.现给出如下结论：①f 〔0〕f 〔1〕＞0；②f 〔0〕f 〔1〕＜0；③f 〔0〕f 〔3〕＞0；④f 〔0〕f 〔3〕＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。
招生国统一考试数学文试题福建卷,含答案试题
2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，含答案〕 第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
{}13A x x =≤≤，{}2B x x =>，那么A B 等于A.{}23x x <≤ B.{}1x x ≥ C.{}23x x ≤< D.{}2x x > 2012sin 22.5-的结果等于A.12B.22C.33D.323.假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图，那么其侧面积．．．等于 A.3 B.2 C.234.i 是虚数单位，411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭等于,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最小值等于A.2B.3 C6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A.2B.3C.4D.5223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，的零点个数为A.3B.2C.1D.0(,3)()a x x R =∈，那么“4x =〞是“||5a =〞的9.假设某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，那么这组数据的中位数和平均数分别是()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位.假设所得图象与原图象重合，那么ω的值不．可能．．等于 A.4 B.6 CO 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，那么OP FP ⋅的最大值为A.2B.3 C|||S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①假设1m =，那么|1|S =；②假设12m =-，那么114l ≤≤；③假设12l =，那么202m -≤≤.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 假设双曲线2221(0)4x y b b -=>的渐近线方程式为12y x =±，那么ｂ等于 .14. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.假设第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，那么n 等于 .15. 对于平面上的点集Ω，假如连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，那么称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下〔阴影区域及其边界〕：其中为凸集的是 〔写出所有凸集相应图形的序号〕16. 观察以下等式：① cos 22cos 1αα=-;② 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+;③ 642cos 632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-;④ 8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+;⑤ 108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-. 可以推测，m – n + p = .三、解答题 ：本大题一一共6小题，一共74分.解容许写出文字说明；证明过程或者演算步骤.17. 〔本小题满分是12分 〕 数列{n a } 中1a ＝13，前n 项和n S 满足1n S +-n S ＝113n +⎛⎫ ⎪⎝⎭〔n ∈*N 〕. ( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ； 〔II 〕假设S 1, t ( S 1+ S 2 ), 3( S 2+ S 3 ) 成等差数列，务实数t 的值.18.〔本小题满分是12分〕设平顶向量m a ＝〔 m , 1〕, n b = ( 2 , n )，其中 m ，n ∈{1,2,3,4}.〔I 〕请列出有序数组〔 m ，n 〕的所有可能结果；〔II 〕记“使得m a ⊥〔m a -n b 〕成立的〔 m ，n 〕〞为事件A ，求事件A 发生的概率.19.〔本小题满分是12分〕抛物线C ：22(0)y px p =>过点A 〔1 , -2〕.〔I 〕求抛物线C 的方程，并求其准线方程；〔II 〕是否存在平行于OA 〔O 为坐标原点〕的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公一共点，且直线OA 与l 的间隔 55？假设存在，求直线l 的方程；假设不存在，说明理由. 20. 〔本小题满分是12分〕如图，在长方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1, D 1C 1上的点〔点E 与B 1不重合〕，且EH//A 1D 1. 过EH 的平面与棱BB 1, CC 1相交，交点分别为F ，G.〔I 〕证明：AD//平面EFGH ；〔II 〕设122AB AA a ==.在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE – D 1DCGH 内的概率为p.当点E ，F 分别在棱A 1B 1, B 1B 上运动且满足EF a =时，求p 的最小值.21．(本小题满分是12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(Ⅰ)假设希望相遇时小艇的航行间隔 最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(Ⅲ)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？假设存在，试确定v 的取值范围；假设不存在，请说明理由.22.〔本小题满分是14分〕函数321()3f x x x ax b =-++的图象在点(0,(0))P f 处的切线方程为32y x =-.(Ⅰ)务实数a,b 的值； (Ⅱ)设()()1m g x f x x =+-是[)2,+∞上的增函数. 〔i 〕务实数m 的最大值；(ii)当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线假设能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，那么这两个封闭图形的面积总相等?假设存在，求出点Q 的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本大题考察根底知识和根本运算．每一小题5分，满分是60分．1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考察根底知识和根本运算．每一小题4分，满分是16分．13．1 14．60 15．②③ 16．962三、解答题：本大题一一共6小题；一共74分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．本小题主要考察数列、等差数列、等比数列等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想、化归与转化思想．满分是12分．18．本小题主要考察概率、平面向量等根底知识，考察运算求解才能、应用意识，考察化归与转化思想、必然与或者然思想．满分是12分．解：(Ⅰ)有序数组(,)m n 的所有可能结果为：〔1,1〕，〔1,2〕，〔1,3〕，〔1,4〕，〔2,1〕，〔2,2〕，〔2,3〕，〔2,4〕，〔3,1〕，〔3,2〕，〔3,3〕，〔3,4〕，〔4,1〕，〔4,2〕，〔4,3〕，〔4,4〕，一共16个．(Ⅱ)由()m m n a a b ⊥-得221m m n o -+-=，即2(1)n m =-．由于,m n ∈｛1,2,3,4｝，故事件A 包含的根本条件为〔2,1〕和〔3,4〕，一共2个．又根本领件的总数为16，故所求的概率21()168P A ==．19．本小题主要考察直线、抛物线等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分是12分.所以符合题意的直线l 存在，其方程为210x y +-=.20．本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等根底知识，考察空间想象才能、推理论证才能、运算求解才能，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、必然与或者然思想。
招生国统一考试数学文福建卷,含答案试题
2021年普通高等招生全国统一考试数学文〔卷，含答案〕第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题。
每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．假设集合{}{}|0.|3A x x B x x =>=<，那么AB 等于A ．{|0}x x <B {|03}x x <<C {|4}x x >D R2. 以下函数中，与函数y x=有一样定义域的是 A ()ln f x x = B 1()f x x=C ()||f x x =D ()x f x e = 3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 组别(0,10](20,20] (20,30) (30,40) (40,50] (50,60] (60,70] 频数1213241516137那么样本数据落在(10,40)上的频率为B. 0.39 C4. 假设双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，那么a 等于3C.32D. 1 5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。
那么该集合体的俯视图可以是6. 阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A ．-1 B. 2 C. 3 D. 47. 锐角ABC ∆的面积为334,3BC CA ==，那么角C 的大小为A. 75°B. 60° B. 45°°8. 定义在R 上的偶函数()f x 的局部图像如右图所示，那么在()2,0- 上，以下函数中与()f x 的单调性不同的是A ．21y x =+ B. ||1y x =+C. 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩9.在平面直角坐标系中，假设不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩〔α为常数〕所表示的平面区域内的面积等于2，那么a 的值是A. -5B. 1C. 2D. 310. 设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线，那么//αβ的一个充分而不必要条件是A. 1////m l βα且B. 12////m l l 且nC. ////m n ββ且D. 2////m n l β且()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 那么()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭12.设a ，b ，c 为同一平面内具有一样起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不一共线， a ⊥c ∣a ∣=∣c ∣,那么∣b • c ∣的值一定等于A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B 以b ，c 为两边的三角形面积C ．a ，b 为两边的三角形面积D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积第II 卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
普通高等学校招生全国统一考试数学卷福建文含详解
2011福建文本试卷第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页。
满分150分。
注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据12,,,n x x x …的标准差 s =． 其中x 为样本平均数．柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中R 为球的半径．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．若集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ∩等于（ ）．A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 【解】{}0,1M N =∩．故选A ． 2．i 是虚数单位31i +等于（ ）.A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【解】31i 1i +=-．故选D ．3．若a ∈R ，则“1a =”是“1a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【解】当1a =时，有1a =．所以“1a =”是“1a =”的充分条件，反之，当1a =时，1a =±，所以“1a =”不是“1a =”的必要条件．故选A ．4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
2020年全国统一考试文科数学试卷+解析(福建卷,含解析)
2020年全国统一考试文科数学试卷+解析（福建卷，含解析）第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1+i)+(2-3i)=a+bi（a,b∈R,i是虚数单位），则a,b 的值分别等于（）A．3, -2 B．3, 2 C．3, -3 D．-1, 4【答案】A【解析】试题分析：由已知得3 - 2i =a +bi ，所以a = 3,b =-2 ，选A．考点：复数的概念．2．若集合M ={x -2 ≤x < 2}，N ={0,1, 2}，则M N 等于（）A．{0}B．{1}C．{0,1, 2}D{0,1}【答案】D考点：集合的运算．3.下列函数为奇函数的是( )A．y =x B．y =e x C．y = cos x D．y =e x -e-x【答案】D【解析】试题分析：函数y =x 和y =e x 是非奇非偶函数；y = cos x 是偶函数；y =e x -e-x 是奇函数，故选 D．考点：函数的奇偶性．4.阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为 1，则输出y 的值为（） A．2B．7 C．8 D．128【答案】C【解析】⎧2x , x ≥ 2,试题分析：由题意得，该程序表示分段函数 y = ⎨ ⎩9 - x , x < 2，则 f (1) = 9 -1 = 8，故选 C ．考点：程序框图．5．若直线 x + y= 1(a > 0,b > 0) 过点(1,1) ，则a + b 的最小值等于（ ）a bA ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C考点：基本不等式．6. 若sin α =-5，且α 为第四象限角，则tan α 的值等于（ ）13 A ． 12B ． - 12C ． 5D ． - 55 5 【答案】D【解析】1212试题分析：由sin α =- 5 ，且α 为第四象限角，则cos α = 1-sin2α =12，则tan α =sin α⎨ 1=- 51213，故选 D ．13cos α考点：同角三角函数基本关系式．7．设a = (1, 2)， b = (1,1) ， c = a + kb ．若b ⊥ c ，则实数k 的值等于（ ） A ． - 3 B ． - 5 C ． 5 D ． 32 3 3 2【答案】A考点：平面向量数量积．8. 如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1, 0) ．且点C 与点 D 在函数⎧x +1, x ≥ 0 f (x ) = ⎪ - x +1, x < 0的图像上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于 ⎪⎩ 2（ ）1A ． 61 B ． 43C ． 81 D ．2【答案】B考点：古典概型．9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ． 8 + 2B ．11+ 2C ．14 + 2 2D ．15yCxABF⎨【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1，2 ，直角腰长为1，斜腰为 ．底面积为2⨯ 1⨯3 = 3 ，侧面积为则其表面积为 22+2+4+2 2=8+2 ，所以该几何体的表面积为11+ 2，故选 B ．考点：三视图和表面积．⎧x + y ≥ 010.变量 x , y 满足约束条件⎪x - 2y + 2 ≥ 0 ，若 z = 2x - y 的最大值为 2，则实数m 等于（ ）⎪⎩mx - y ≤ 0 A ． -2 B ． -1 C ．1 D ． 2 【答案】C【解析】21112试题分析：将目标函数变形为 y = 2x - z ，当 z 取最大值，则直线纵截距最小，故当m ≤ 0 时，不满足题意；当 m > 0 时，画出可行域，如图所示， 其中 B (2, 2m) ．显然O (0, 0) 不是最优解，故只能 2m -1 2m -1B ( 2 , 2m ) 是最优解，代入目标函数得 4 - 2m = 2，解得m = 1，故选C ． 2m -1 2m -1 考点：线性规划．2m -1 2m -1x 2 y 211.已知椭圆 E : a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F ．短轴的一个端点为 M ，直线l : 3x - 4y = 0 交椭圆E 于 A , B 两点．若 AF + BF= 4 ，点 M 到直线l 的距离不小于 4，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ） 53 3 3 3A ． (0, 2 ]B ． (0, 4]C ．[ 2,1) D ．[ 4 ,1)【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．12.“对任意 x ∈π(0, ) 2 ， k sin x cos x < x ”是“ k < 1 ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件–4–3–2–1–123–2–3–42 =【答案】B考点：导数的应用．第 II 卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.13.某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45 的样本，则应抽取的男生人数为．【答案】25【解析】45 试题分析：由题意得抽样比例为1，故应抽取的男生人数为500⨯1= 25．考点：分层抽样．900 20 20 14．若∆ABC 中，AC =，A = 450 ，C = 750 ，则BC = ．【答案】【解析】试题分析：由题意得B = 1800 -A -C = 600 ．由正弦定理得3 ⨯ 2所以BC = 2 =．32ACsin B=BCsin A，则BC =AC sin A，sin B考点：正弦定理．15.若函数f (x) = 2 x-a (a ∈R) 满足f (1+x) =f (1-x) ，且f (x) 在[m, +∞) 单调递增，则实数m 的最小值等于．【答案】1【解析】试题分析：由f (1+x) =f (1-x) 得函数f (x) 关于x = 1 对称，故a = 1，则f (x) =2 x-1 ，由复合函数单调性得f (x) 在[1, +∞) 递增，故m ≥ 1，所以实数m 的最小值等于1．考点：函数的图象与性质．16.若a,b是函数f (x)=x2 -px +q(p >0, q >0)的两个不同的零点，且a,b, -2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q的值等于．【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分 12 分)等差数列{a n }中，a2 = 4 ，a4 +a7 =15．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b=2a n-2+n，求b+b+b+⋅⋅⋅+b的值．n 1 2 3 10【答案】（Ⅰ）a n =n + 2 ；（Ⅱ）2101 ．【解析】) ⎨ 试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得a 1, d ，进而求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列前 n 项和，首先考虑其 通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题b n = 2 + n ，故可采取分组求和法求其 n前 10 项和．试题解析：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ．⎧⎪a 1 + d = 4由已知得⎨(a + 3d ) +(a ， + 6d =15 ⎪⎩ 1 1 ⎧a 1 = 3解得 ．⎩d =1所以a n = a 1 +(n -1)d = n + 2 ．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分 12 分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播 2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号 分组频数 1[4,5)2（Ⅰ）现从融合指数在[4,5) 和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在[7,8]的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．9【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）6.05 ．解法一：（I）融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1 ，A2 ，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1 ，B2 ．从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家的所有基本事件是：{A1,A2}，{A1,A3}，{A2 ,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2 ,B1}，{A2 ,B2}，{A3 ,B1}，{A3 ,B2}，{B1,B2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1,A2}，{A1,A3}，{A2 ,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2 ,B1}，{A2 ,B2}，{A3 ,B1}，{A3 ,B2}，共9个．所以所求的概率P=9 ．10（II）这20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5⨯2+ 5.5⨯8+ 6.5⨯7+ 7.5⨯3= 6.05 ．20 20 20 20解法二：（I）融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1 ，A2 ，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1 ，B2 ．从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家的所有基本事件是：{A1,A2}，{A1,A3}，{A2 ,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A2 ,B1}，{A2 ,B2}，{A3 ,B1}，{A3 ,B2}，{B1,B2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1,B2}，共1个．所以所求的概率P= 1-1=9．10 10（II）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值．19．（本小题满分 12 分）已知点F 为抛物线E : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点，点A(2, m) 在抛物线E 上，且AF = 3 ．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点G(-1, 0) ，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）y2 =4x；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由AF=3可得2+p=3，可求p的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F 为圆心且与直线GA相切的圆，必2与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明∠A GF =∠B GF ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．试题解析：解法一：（I ）由抛物线的定义得 A F = 2 + p ．⎨y 2 = 4x2因为 A F = 3 ，即2 + p= 3，解得 p = 2 ，所以抛物线E 的方程为 y 2 = 4x ．2（II ）因为点 A (2, m ) 在抛物线E : y 2 = 4x 上，所以m = ±2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设A (2, 2 2 )． 由A (2, 2 2 )， F (1, 0) 可得直线A F 的方程为 y = 2 2 (x -1)．由⎧⎪y = 2 2 (x -1) ，得2x 2 - 5x + 2 = 0 ，⎪⎩解得 x = 2 或 x = 1 ，从而B ⎛ 1 , - 2 ⎫．2又G (-1, 0) ，⎝ 2 ⎪⎭2 2 - 0 2 2 - 2 - 0 2 2所以k G A = 2 -(-1) = 3 ， k G B = 12= - ， -(-1) 3所以k G A + k G B = 0 ，从而∠A GF = ∠B GF ，这表明点F 到直线G A ， G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点A (2, m ) 在抛物线E : y 2 = 4x 上，所以m = ±2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设A (2, 2 2 )．由A (2, 2 2 )， F (1, 0) 可得直线A F 的方程为 y = 2 2 (x -1)．2 (x -1)2 ，得2x - 5x + 2 = 0 ， ⎧⎪y = 2 由2 + 2 2 8 + 9 4 2172 + 2 28 + 94 2172 + 6 ⎪⎩⎨y 2 = 4x 解得 x = 2 或 x = 1 ，从而B ⎛ 1 , - 2 ⎫．2 ⎝ 2 ⎪⎭又G (-1, 0) ，故直线G A 的方程为2 2x -3y + 2= 0 ，从而r = =．又直线G B 的方程为2 2x + 3y + 2= 0 ，所以点F 到直线G B 的距离d === r ．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 20．（本题满分 12 分）如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于 A , B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO = OB = 1．（Ⅰ）若 D 为线段 AC 的中点，求证A C ⊥ 平面P D O ； （Ⅱ）求三棱锥 P - ABC 体积的最大值；（Ⅲ）若 BC =，点 E 在线段 PB 上，求CE + OE 的最小值．1 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ ） 3；（Ⅲ） ．2【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明A C ⊥ 平面P D O ，只需证明 AC 垂直于面P D O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明PO ⊥ A C ；又OA = O C ， D 为A C 的中点，可证明A C ⊥ O D ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥 P - ABC 中，高 PO = 1，要使得 P - ABC 体积最大，则底面 ABC 面积最大，又 AB = 2是定值，故当 AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥 P - ABC 体积；（Ⅲ）将侧面B C P 绕PB 旋转至平面B C 'P ，使之与平面ABP 共面，此时线段OC '的长度即为CE + OE 的最小值． 试题解析：解法一：（I ）在∆AO C 中，因为OA = O C ， D 为A C 的中点， 所以A C ⊥ O D ．又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO ⊥ A C ． 因为D O PO = O ， 所以A C ⊥ 平面P D O ．（II ） 因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥ AB 时， C 到 AB 的距离最大，且最大值为1． 又AB = 2，所以∆AB C 面积的最大值为 1⨯ 2⨯1 = 1．2又因为三棱锥P - AB C 的高PO = 1 ，故三棱锥P - AB C 体积的最大值为 1 ⨯1⨯1 = 1．33（III ）在∆POB 中， PO = OB = 1， ∠POB = 90 ，所以PB == ．同理P C = 2 ，所以PB = P C = B C ．在三棱锥P - AB C 中，将侧面B C P 绕PB 旋转至平面B C 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ， E ， C '共线时， C E + OE 取得最小值． 又因为OP = OB ， C 'P = C 'B ， 所以O C ' 垂直平分PB ， 即E 为PB 中点．从而O C ' = OE+E C ' = 2 + 6 = 2 + 6 ，2222 + 6 ． 亦即C E + OE 的最小值为+ 62解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中， PO = OB = 1， ∠POB = 90 ，所以∠OPB = 45 ， PB == ．同理P C = ．所以PB = P C = B C ，所以∠C PB = 60 ．在三棱锥P - AB C 中，将侧面B C P 绕PB 旋转至平面B C 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示． 当O ， E ， C '共线时， C E + OE 取得最小值． 所以在∆O C 'P 中，由余弦定理得：O C '2 =1+ 2 - 2⨯1⨯ 2 ⨯cos (45 + 60 )⎛ 2 1 2 3 ⎫ =1+ 2 - 2 2 2 ⨯ 2 - 2 ⨯ 2 ⎪⎝ ⎭= 2 +．从而O C ' = = 2 ． 2所以C E + OE 的最小值为2 + 6 ．2考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．21．（本题满分 12 分）f x =x x 2 x 已知函数 ( ) 10 3 sin cos +10cos ．2 2 2 （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期；（Ⅱ）将函数 f ( x ) 的图象向右平移 π个单位长度，再向下平移a （a > 0 ）个单位长度后得到函数 g (x ) 的 6图象，且函数 g (x ) 的最大值为 2． （ⅰ）求函数 g (x ) 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ，使得 g ( x 0 ) > 0 ．2 + 3；（Ⅱ）（ⅰ） g ( x ) = 10sin x - 8 ；（ⅱ）详见解析．【答案】（Ⅰ） 2π【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将 f (x ) 化为 f (x ) =10sin ⎛x + π ⎫+ 5 ，然后利⎝6 ⎪⎭用T =2π求周期；（Ⅱ）由函数 f ( x ) 的解析式中给 x 减 π，再将所得解析式整体减去a 得 g (x ) 的解析式ω6为 g ( x ) = 10sin x + 5 - a ，当sin x 取 1 的时， g (x ) 取最大值10 + 5 - a ，列方程求得a = 13 ，从而 g (x )的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ，使得 g (x 0 ) > 0 ，可解不等式 g ( x 0 ) > 0 ，只需解集的长度大于 1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ．试题解析：（I ）因为 f (x ) = 10 3 sin x cos x +10cos 2 x22 2= 5 3 sin x + 5cos x + 5⎛ π ⎫=10sin ⎝ x + 6 ⎪⎭+ 5．所以函数 f ( x ) 的最小正周期T= 2π ．（II ）（i ）将 f (x ) 的图象向右平移 π个单位长度后得到 y = 10sin x + 5 的图象，再向下平移a （ a > 0 ） 6个单位长度后得到 g (x ) = 10sin x + 5 - a 的图象． 又已知函数 g (x ) 的最大值为2 ，所以10 + 5 - a = 2 ，解得a =13． 所以 g ( x ) = 10sin x - 8 ．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x 0 ，使得 g ( x 0 ) > 0 ，就是要证明存在无穷多个互不相同的 正整数 x ，使得10sin x - 8 > 0 ，即sin x > 4．5由 4 <3知，存在0 < α < π，使得sin α = 4．5 2 03 05由正弦函数的性质可知，当 x ∈(α 因为 y = sin x 的周期为2π ，0 ,π -α0 )时，均有sin x > 4．5)（k ∈Z）时，均有sin x >4 ．所以当x ∈(2kπ+α , 2kπ+π-α=-()=⎨-<< 0 0因为对任意的整数k ，(2kπ+π-α5)-(2kπ+α)=π- 2α>π>1，0 0 0 3所以对任意的正整数k ，都存在正整数x ∈(2kπ+α, 2kπ+π-α)，使得sin x >4 ．k 0 0 k 5亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得g (x0 )>0 ．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 22．（本小题满分 14 分）(x -1)2已知函数f (x) ln x ．2(Ⅰ)求函数f (x)的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x > 1时，f (x)<x -1；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在x0 > 1，当x ∈ (1, x0 ) 时，恒有f (x)>k (x -1)．【答案】(Ⅰ) ⎛0,1+ 5 ⎫；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(-∞,1)． 2 ⎪⎝⎭【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数f '-x2 +x +1x ，解不等式fx' (x) > 0 并与定义域求交集，得函数f (x)的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数F(x)=f(x)-(x-1)，x∈(1,+∞)．欲证明f(x)<x-1，只需证明F (x) 的最大值小于0 即可；（Ⅲ）由（II）知，当k =1时，不存在x0 >1满足题意；当k >1时，对于x >1 ，有f (x)<x -1 <k (x-1)，则f (x)<k(x-1)，从而不存在x0 > 1 满足题意；当k < 1 时，构造函数G(x)=f (x)-k (x-1)，x ∈(0, +∞)，利用导数研究函数G(x) 的形状，只要存在x0 >1，当x ∈(1, G(x) > 0 即可．x)时'1 -x2 +x +1试题解析：（I）f (x)=-x +1 =，x ∈(0, +∞)．x x由f '(x)> 0 得⎧x > 0⎩1+ 5解得0 x ．2f ( x ) 的单调递增区间是⎛ 0,1+ 5 ⎫．故 1- k - 1- k + 4 2 ⎪ ⎝ ⎭（II ）令F ( x ) = f ( x ) -( x -1) ， x ∈(0, +∞) ．' 1- x 2则有F ( x )= ． x当 x ∈(1, +∞) 时， F '( x ) < 0 ， 所以F ( x ) 在[1, +∞) 上单调递减，故当 x > 1 时， F (x ) < F (1) = 0 ，即当 x > 1 时， f ( x ) < x -1． （III ） 由（II ）知，当k = 1时，不存在 x 0 > 1满足题意．当 k > 1时，对于 x > 1 ，有 f ( x ) < x -1 < k ( x -1) ，则 f ( x ) < k ( x -1) ，从而不存在 x 0 > 1满足题意． 当 k < 1时，令G (x ) = f ( x ) - k ( x -1) ， x ∈(0, +∞) ， ' 1-x 2 +(1- k ) x +1则有G (x ) = - x +1- k = ．x x 由G '(x ) = 0 得， -x 2 + (1- k ) x +1 = 0 ．解得 x 1 =2 < 0 ， x 2 = > 1． 2当 x ∈(1, x 2 ) 时， G '( x ) > 0 ，故G ( x ) 在[1, x 2 ) 内单调递增． 从而当 x ∈(1, x 2 ) 时， G (x ) > G (1) = 0 ，即 f (x ) > k (x -1) ， 综上， k 的取值范围是(-∞,1)．考点：导数的综合应用．1- k + 1- k+ 4。
普通高等学校招生国统一考试数学文试题福建卷,含答案 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，含答案〕本套试卷第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部，第I卷1至3页，第II卷4至6页。
总分值是150分。
本卷须知：“2.第I卷每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应的题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答题，在试题卷上答题，答案无效。
3.在考试完毕之后，考生必须将试题卷和答题卡一起交回。
参考公式：样本数据x1,x2.…，xn的HY差其中x为样本平均数柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积，h为高锥体公式V=1 3 Sh其中S为底面面积，h为高球的外表积、体积公式S=4πR2，V=43πR3其中R为球的半径第I卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一个项是符合题目要求的。
1.假设集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，那么M∩N等于A.｛0，1｝B.｛-1，0，1｝C.｛0，1，2｝D.｛-1，0，1，2｝2.i是虚数单位1+i3等于3.假设a∈R，那么“a=1”是“|a|=1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，在高一年级的学生中抽取了6名，那么在高二年级的学生中应抽取的人数为A.6B.8 C5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A.3B.11 C2+mx+1=0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞，-2)∪〔2，+∞〕D.〔-∞，-1〕∪〔1，+∞〕7.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，假设在矩形ABCD内部随机取一个点Q，那么点Q取自△ABE内部的概率等于A．14B.13C.12D.238.函数f 〔x 〕=20,1, 0x x x x >⎧⎨+≤⎩，。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题附答案(福建卷).doc
年高考数学福建卷文科一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）"tan 1"α=是""4πα=的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不而充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7-（5）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（6）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是 （A ）(1)1x y x x =≠+方 （B ）(1)1xy x x =≠-（C ）1(0)x y x x -=≠ （D ）1(0)xy x x-=≠（7）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ） （B （C （D （8）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种 （9）已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+=则b 等于 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1 （10）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（11）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（12）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高考卷,普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷·文科)(附答案,完全word版)
高考卷,普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷·文科）（附答案，完全word版）2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（福建卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于 A.{x|0＜x＜1} B.{x|0＜x＜3} C.{x|1＜x＜3} D.￠（2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（3）设|an|是等左数列，若a2=3,a1=13,则数列{an}前8项的和为（4）函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2,则f(-a)的值为 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. B. C. D. (6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 A. B. C. D. （7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为 A.-sinx C.-cosx (8)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B的值为 A. B. C.或 D.或 (9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 (10)若实数x、y满足则的取值范围是 A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞) （11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（12）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为 A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞] 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）（x+）9展开式中x2的系数是 .（用数字作答）（14）若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是 . （15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 . （16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集QM,则数集M必为数域; ④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知向量,且 (Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函数R)的值域. （18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响. (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. （19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点. (Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离. （20）（本小题满分12分）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1. (21)（本小题满分12分）已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称. (Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值. (22)（本小题满分14分）如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）. （Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M. (ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；(ⅱ)求△AMN面积的最大值. 2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（福建卷）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）A （2）C (3)C (4)B (5)C (6)D （7）A （8）A (9)A (10)D (11)A (12)B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分. （13）84 （14）（15）9（16）①④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0, 因为cosA≠0,所以tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得因为xR,所以. 当时，f(x)有最大值，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是（18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分. 解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有且A1，A2，A3相互独立. （Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有 B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3 彼此互斥于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3）＝＝. 答：恰好二人破译出密码的概率为. （Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D. D＝··，且，，互相独立，则有 P（D）＝P（）·P （）·P（）＝＝. 而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）. 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. （19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD. 又侧面PAD ⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC. 由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt △AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝, cos∠PBO=, 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为. (Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，在Rt△POC中，PC＝，所以PC＝CD ＝DP，S△PCD=·2=. 又S△= 设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，即×1×1＝××h，解得h＝. 解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz. 则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0）， D（0，1，0），P（0，0，1）. 所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），∞〈、〉=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），则n·＝0，所以-x0+ x0=0, n·＝0，-x0+ y0=0，即x0=y0=x0, 取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1). 又=(1,1,0). 从而点A到平面PCD的距离d＝（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1, 所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列. 故an=1+(a-1)×1=n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n 从而bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1 ＝=2n-1. 因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1) =-5·2n+4·2n =-2n＜0, 所以bn·bn+2＜b, 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为b2=1, bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b =2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1 ＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=… =2n（b1-2）=-2n〈0，所以bn-bn+2得x>2或x。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文科)(解析版)
3 33 4 4⎨ ⎩高考福建数学试题（文史类解析）第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题。
每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A={x|1 ≤ x ≤ 3} ， B={x|x>2}，则A ⋂ B 等于（） A ． {x|2<x ≤ 3} 【答案】AB ．{x|x ≥ 1}C ． {x|2 ≤ x<3}D ．{x|x>2}【解析】 A ⋂ B ={x|1 ≤ x ≤ 3}⋂ {x|x>2} ={x|2<x ≤ 3},故选 A ． 【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题．2. 计算1- 2 s in 22.5的结果等于()1 A.B ．22C ．D ．3 2【答案】B【解析】原式= cos 45=2 ,故选 B ．2【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值．3. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧．面．积．等于 ( )A.B ．2C ． 2D ．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为2 ⨯ ⨯ 4 = 2 4，侧面积为3⨯ 2⨯1 = 6 ，选 D ．【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识 图的能力、空间想象能力等基本能力。
4.i 是虚数单位, ( 1+ i )4等于 () 1-iA ．iB ．-iC ．1D ．-1【答案】C1+ i 【解析】( )4 1-i (1+ i)2 =[] =i =1 ,故选 C ． 2【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力．⎧x ≥ 1,5。
若 x ，y ∈R ，且⎪x - 2 y + 3 ≥ 0, ，则 z=x+2y 的最小值等于 ()⎪ y ≥ x , A.2B.3C.5D.923 336 . 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i 值等于()A.2B.3C.4D.57．函数 （f ⎧x 2 +2x-3,x ≤ 0 x)= ⎨ ⎩-2+ln x,x>0的零点个数为 ()A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】当 x ≤ 0 时，令 x 2+ 2x - 3 = 0 解得 x = -3 ；当 x > 0 时，令-2 + ln x = 0 解得 x = 100 ，所以已知函数有两个零点，选 C 。
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2009福建数学试题（文史类） 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}|0.|3A x x B x x =>=<，则A B I 等于A ．{|0}x x < B. {|03}x x << C. {|4}x x > D R解析 本题考查的是集合的基本运算.属于容易题. 解法1 利用数轴可得容易得答案B.解法2（验证法）去1验证.由交集的定义，可知元素1在A 中，也在集合B 中，故选B. 2. 下列函数中，与函数y=有相同定义域的是 A .()ln f x x = B.1()f x x= C. ()||f x x = D.()x f x e = 解析 由y=可得定义域是0.()ln x f x x >=的定义域0x >；1()f x x =的定义域是x≠0；()||f x x =的定义域是;()xx R f x e ∈=定义域是x R ∈。
故选A. 3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表则样本数据落在(10,40)上的频率为A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.64解析 由题意可知频数在(]10,40的有：13+24+15=52，由频率=频数÷总数可得0.52.故选C.4. 若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于C.32D. 1解析由22223123x y aa a+-===c可知虚轴3，而离心率e=a，解得1或3，参照选项知而应选D.5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。
则该集合体的俯视图可以是解析解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是12，知其是立方体的一半，可知选C.解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是21424Sπππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，高为1，则体积是4π；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是1111122V=⨯⨯⨯=，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是211144Vππ=⨯⨯=.故选C.6. 阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A．-1 B. 2 C. 3 D. 4解析当1,2n S==代入程序中运行第一次是1S=-，然后赋值此时2n=；返回运行第二次可得111(1)2S==--，然后赋值3n=；再返回运行第三次可得12112S==-，然后赋值4n=，判断可知此时2S=，故输出4n=，故选D。
7. 已知锐角ABC ∆的面积为334,3BC CA ==，则角C 的大小为 A. 75° B. 60° B. 45° D.30° 解析 由正弦定理得113··sin C 3343sin C sin C 222S BC CA =⇒=⨯⨯⨯⇒=，注意到其是锐角三角形，故60°，选B8. 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是 A ．21y x =+ B. ||1y x =+C. 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增。
而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数⎩⎨⎧++=0,10,123πφx x x x y 在（]0,∞-上单调递减，理由如下y ’=3x 2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=-0,0,πx e x e y x x ，有y ’x e -<0(x<0),故其在（]0,∞-上单调递减，不符合题意，综上选C 。
9. 在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 3 解析如图可得黄色即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当5时，则可行域不是一个封闭区域，当1时，面积是1；2时，面积是23；当3时，面积恰好为2，故选D.10. 设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是A. 1////m l βα且B. 12////m l l 且nC. ////m n ββ且D. 2////m n l β且 解析 要得到,//βα必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。
若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。
对于选项A ，不是同一平面的两直线，显既不充分也不必要；对于选项B ，由于1l 与2l 时相交直线，而且由于1l 可得α//2l ，故可得,//βα，充分性成立，而βα//不一定能得到1l ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B.对于选项C ，由于不一定的相交直线，故是必要非充分条件.对于选项D ，由2//l n 可转化为C ，故不符合题意。
综上选B.11. 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1xf x e =- D. ()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭解析 ()41f x x =-的零点为41,()2(1)f x x =-的零点为1, ()1xf x e =-的零点为0, ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为23.现在我们来估算()422xg x x =+-的零点，因为g(0)= -1(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。
12. 设→a ，→b ，→c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足→a 与→b 不共线，→a ⊥→c ∣→a ∣=∣→c ∣,则∣→b •→c ∣的值一定等于A ．以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以→b ，→c 为两边的三角形面积 C ．→a ，→b 为两边的三角形面积 D. 以→b ，→c 为邻边的平行四边形的面积解析 假设→a 与→b 的夹角为θ，∣→b •→c ∣=︱→b ︱·︱→c ︱·∣<→b ，→c >∣=︱→b ︱·︱→a ︱•∣(900±θ)∣=︱→b ︱·︱→a ︱•θ,即为以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积，故选A 。
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
13. 复数()2i 1+i 的实部是 -1 。
解析 ()2i 1+i 1,所以实部是-1。
14. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为 。
解析 如图可设1AB =,则1AB =,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23。
15. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .解析 由题意该函数的定义域0x >，由()12fx ax x'=+。
因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12f x ax x'=+存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1h x x=存在交点。
当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞ 或是{}|0a a <。
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程120ax x+=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02a x=-∈-∞ 16. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。
解析 这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次 17．(本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知142,16a a == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。
解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q由已知得3162q =，解得2q =（Ⅱ）由（I ）得28a =，532a =，则38b =，532b =设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11612b d =-⎧⎨=⎩从而1612(1)1228n b n n =-+-=- 所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-18．（本小题满分12分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。