同济版高等数学教案第五章定积分

第五章定积分

教学目的：

1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、定积分的概念

2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。

§5. 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1.曲边梯形的面积

曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.

求曲边梯形的面积的近似值:

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是:在区间[a,b]中任意插入若干个分点

a=x0

把[a,b]分成n个小区间

[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3],⋅⋅⋅, [x n-1,x n],

它们的长度依次为∆x1= x1-x0, ∆x2= x2-x1,⋅⋅⋅,∆x n= x n-x n-1.

经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξ i,以[x i-1,x i]为底、f (ξ i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2,⋅⋅⋅, n) ,把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即

A≈f (ξ 1)∆x1+ f (ξ 2)∆x2+⋅⋅⋅+ f (ξ n)∆x n∑

=∆

=

n

i

i

i

x f

1

) (ξ.

求曲边梯形的面积的精确值:

显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值,因此,要求曲边梯形面积A的精确值,只需无限地增加分点,使每个小曲边

梯形的宽度趋于零. 记

λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为

∑=→∆=n

i i i x f A 1

0)(lim ξλ.

2. 变速直线运动的路程

设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程:

我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点

T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,

把[T 1 , T 2]分成n 个小段

[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,

各小段时间的长依次为

∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.

相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为

∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .

在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即

∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).

于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即

∑=∆≈n

i i i t v S 1)(τ;

求精确值:

记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程

∑=→∆=n

i i i t v S 1

0)(lim τλ.

设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0

及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.

(1)用分点a =x 0

i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为