(完整版)平行线培优资料2(2)

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初一数学下寒假培优训练讲义--平行线

初一数学寒假培优训练一（余角 , 补角以及三线八角 , 平行线的判定）一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：① ∠ 1＋∠ 2=90 °，则∠ 1. ∠ 2 互余．反过来，若∠1，∠ 2 互余．则∠ 1+∠ 2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠ 2=90○，∠ 1+∠ 3= 90 ○，则∠ 2= ∠ 3 ．5．互为补角的有关性质：○互补，反过来，若∠ A. ∠ B互补，则∠ A+∠ B＝180 ○①若∠ A +∠B=180 则∠ A. ∠B ．②同角或等角的补角相等．如果∠ A ＋∠ C=18 0○，∠ A+∠ B=18 0 °，则∠ B=∠ C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、互为余角 . 互为补角 . 对顶角比较项目定义性质图形两个角和等于 90 （直角）互余角同角或等角的余角相等11 2 902两个角和等于 180 （平角）互补角同角或等角的补角相等21 2 180 1两直线相交而成的一个角两边对顶角相等对顶角1 2分别是另一角两边反向延长线 1 2三、经典例题剖析：例 1．如图所示， AOB是一条直线，AOC 90 , DOE 90 ，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？CD1 2 3 E4A O B（例 1）.练习：1. 如图所示， AOE 是一条直线，AOBCOD 90 ，则（1）如果1 30 ,那么 2，3=。

（ 2）和1 互为余角的角有和1相等的角有例 2． ∠ 1 和∠ 2 互余，∠ 2 和∠ 3 互补，∠ 1=63○，∠ 3=_ _ 练习：1. 如果一个角的补角是 150○，那么这个角的余角是 _________2. ∠ 1 和∠ 2 互余，∠ 2 和∠ 3 互补，∠ 3=153○，∠ l=_例 3. 若∠ l=2 ∠ 2，且∠ 1+∠ 2=90○则∠ 1=___，∠ 2=___．练习：1. 一个角等于它的余角的 2 倍，那么这个角等于它补角的（）A.2倍B.1倍 C.5 倍D.1倍25还少452.已知一个角的余角比它的补角的，求这个角。

北师大版七年级数学下册第二章：相交线与平行线培优讲义(含解析)

第二章相交线与平行线培优讲义如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对4321D CBA顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.DCBA看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图.（2）“Z ”字型中的内错角，如图.（3）“U”字型中的同旁内角.如图.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。

2021人教版七年级数学下册《第5章相交线与平行线》期末复习培优提升训练2(附答案)

2021人教版七年级数学下册《第5章相交线与平行线》期末复习培优提升训练2（附答案）1．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD．将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠CFD'的度数为．2．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN，MF交于点O．若∠E+60°＝2∠F，则∠AMF的大小是．3．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝30°，则∠2的大小为度．4．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝50°，则∠2﹣∠1＝．5．如图，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，∠DEF＝52°，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，则下列结论中，正确的序号是．①∠BFE＝52°；②∠BMG＝52°；③∠AEG＝76°；④∠BFH＝76°．6．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB．上的点，且DE∥AB，DF∥CA．（1）求证∠A＝∠FDE；（2）若∠A＝3∠B，∠C＝∠B+30°，求证：AB⊥AC．7．如图，AC∥EF，∠1+∠3＝180°．（1）判定∠F AB与∠4的大小关系，并说明理由；（2）若AC平分∠F AB，EF⊥BE于点E，∠4＝72°，求∠BCD的度数．8．如图，AD交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，∠F＝∠H，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．（1）求证：AD∥EF；（2）求证：AD是∠BAC的平分线．9．如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．（1）求证：AD∥BE；（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠DCE的度数．10．已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）求证：GD∥CA；（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠CGD的度数．11．如图，AC∥FE，∠1+∠2＝180°．（1）判定∠F AB与∠BDC的大小关系，并说明理由；（2）若AC平分∠F AB，EF⊥BE于点E，∠BDC＝76°，求∠BCD的度数．12．如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）若∠1＝50°，求∠BAD的度数；（2）若DG⊥AC，垂足为G，∠BAC＝90°，试说明：DG平分∠ADC．13．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2+∠FED＝180°．（1）证明：AD∥EF．（2）若EF⊥BF于点F，且∠FED＝140°．求∠BAC的度数．14．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．证EM∥FN；（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，直接写出∠GEH与∠EFD的数量关系．15．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC 的度数．16．如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．（1）求证：∠AFE＝∠ACB；（2）若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．17．如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．18．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；（2）若∠A﹣∠ABD＝31°，∠EDC＝76°，求∠A的度数．参考答案1．解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠2，∵∠1＝2∠2，设∠1＝2x，则∠AEF＝∠2＝∠FEA′＝x，∴4x＝180°，∴x＝45°，∴∠2＝45°，∴∠DFE＝180°﹣45°＝135°，∴∠D′FE＝135°，∴∠CFD'＝135°﹣45°＝90°．故答案为：90°．2．解：作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，∵EM是∠AMF的平分线，∴∠AME＝∠AMF，∵∠MEN＝∠1+∠2，∴∠MEN＝∠AMF+∠CNE，同理可得，∠F＝∠AMF+∠CNE，∴2∠F＝2∠AMF+∠CNE，∴2∠F﹣∠MEN＝∠AMF，∵∠MEN+60°＝2∠F，即2∠F﹣∠MEN＝60°，∴∠AMF＝60°，故答案为：40°．3．解：如图，延长F A，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝30°，∴∠4＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵CD∥BE，BE∥AF，∴∠ACD＝∠4＝120°，又∵AC∥BD，∴∠2＝180°﹣∠ACD＝180°﹣120°＝60°．故答案为：60．4．解：由题意可得：∠DEF＝∠GEF．∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝50°．∴∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝50°．∴∠1＝180°﹣∠GFD＝180°﹣100＝80°．∵AE∥BG，∴∠1+∠2＝180°．∴∠2＝100°．∴∠2﹣∠1＝100°﹣80°＝20°．故答案为：20°．5．解：四边形ABCD是长方形，∴∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝52°，①正确；∵AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝128°，由折叠得，∠DEF＝∠GEF，∠EFC＝∠EFH，∠G＝∠D＝90°，∠C＝∠H＝90°，∴∠BFH＝∠EFH﹣∠EFB＝128°﹣52°＝76°，④正确；∵∠H+∠BFH+∠HBC＝180°，∴∠HMC＝180°﹣90°﹣76°＝14°，∵∠BMG＝∠HMC，∴∠BMG＝14°，②错误；∵∠AEG+∠GEF+∠DEF＝180°，∴∠AEG＝180°﹣52°﹣52°＝76°，③正确．故答案为：①③④．6．（1）证明：∵DE∥BA，∴∠A+∠AFD＝180°，∵DF∥CA，∴∠FDE+∠AFD＝180°，∴∠FDE＝∠A；（2）∵∠A＝3∠B，∠C＝∠B+30°，由三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠B+∠B+∠B+30°＝180°，解得：∠B＝30°，∴∠A＝3∠B＝90°，∴AB⊥AC．7．证明：（1）∠F AB＝∠4．理由如下：∵AC∥EF，∴∠1+∠2＝180°，又∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝∠3，∴AF∥CD，∴∠F AB＝∠4；（2）∵AC平分∠F AB，∴∠2＝∠CAD，又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠CAD，又∵∠4＝∠3+∠CAD，∴72°＝2∠3，∴∠3＝36°，∵EF⊥BE，EF∥AC，∴∠FEC＝90°，∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣36°＝54°．8．证明：（1）∵∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠CDA＝180°，∴∠CEG＝∠CDA，∴AD∥EF；（2）∵∠EDH＝∠C，∴DH∥AC，∴∠H＝∠EGC，∵∠F＝∠H，∴∠F＝∠EGC，∵AD∥EF，∴∠BAD＝∠F，∠CAD＝∠EGC，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．9．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE，∵∠B＝∠D，∴∠DCE＝∠D，∴AD∥BE；（2）解：∵AB∥CD，∠2＝60°，∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∴∠EAC+∠BAC＝60°，∵∠BAC＝2∠EAC，∴∠EAC＝20°，∴∠BAC＝∠ACD＝40°，∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°．10．（1）证明：∵EF∥CD，∴∠1+∠ECD＝180°，又∵∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠ECD，∴GD∥CA．（2）解：由（1）得：GD∥CA，∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，∵DG平分∠CDB，∴∠2＝∠BDG＝40°，∴∠ACD＝∠2＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝80°，∵GD∥CA，∴∠ACB+∠CGD＝180°，∴∠CGD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°．11．解：（1）∠F AB＝∠BDC，理由如下：∵AC∥EF，∴∠1+∠F AC＝180°，又∵∠1+∠2＝180°，∴∠F AC＝∠2，∴F A∥CD，∴∠F AB＝∠BDC；（2）∵AC平分∠F AB，∴∠F AC＝∠CAD，∴∠F AD＝2∠F AC，由（1）知∠F AC＝∠2，∴∠F AD＝2∠2，∴∠2＝∠BDC，∵∠BDC＝76°，∴∠2＝×76°＝38°，∵EF⊥BE，AC∥EF，∴AC⊥BE，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠2＝52°．12．（1）解：∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝50°，∴∠BAD＝50°；（2）证明：∵DG⊥AC，∴∠DGC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DGC，∴AB∥DG，∴∠BAD＝∠ADG，由（1）得∠1＝∠BAD，∴∠1＝∠ADG，∴DG平分∠ADC．13．解：（1）∵∠1＝∠BDE，∴AC∥DE，∵∠2+∠FED＝180°，∴∠ADE+∠DEF＝180°，∴AD∥EF；（2）∵EF⊥BF，∴∠F＝90°，∵AD∥EF，∠FED＝140°，∴∠F AD+∠F＝180°，∠ADE+∠DEF＝180°∴∠DAF＝90°，∠ADE＝40°，∴∠2＝∠ADE＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠2﹣∠DAF＝50°．14．证明：（1）∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠MEF＝180°﹣∠1﹣∠2，∠EFN180°﹣∠3﹣∠4，∴∠MEF＝∠EFN，∴EM∥FN．（2）∠EFD＝2∠HEG，理由如下：∵EH平分∠AEM，EG平分∠MEF，∴∠AEH＝HEM．∠FEG＝∠MEG，∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠AEF，∵∠AEH＝∠HEM，∴∠AEF+∠FEH＝∠HEG+∠MEG，∴∠AEF＝∠HEG+∠FEG﹣∠FEH＝∠HEG+∠HEG＝2∠HEG，∴∠EFD＝2∠HEG．15．解：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB+∠DAC＝180°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝20°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB，∴∠FEC＝20°．16．（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，∴∠FDE＝∠2，∵∠3+∠FEC+∠FDE＝180°，∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠B＝∠3，∴∠FEC＝∠ECB，∴EF∥BC，∴∠AFE＝∠ACB；（2）解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，∴∠B＝50°，∵∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠2＝110°，∴∠ECB＝20°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．17．解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：∵CD∥AB，∠DCB＝70°，∴∠DCB＝∠ABC＝70°，∵∠CBF＝20°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°，∵∠EFB＝130°，∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°，∴EF∥AB；（2）∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵∠CEF＝70°，∴∠ECD＝110°，∵∠DCB＝70°，∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACB＝40°．18．解：（1）∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣45°＝15°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠EBC＝2∠ABD＝30°，∵DE∥BC，∴∠BED+∠EBC＝180°，∴∠BED＝180°﹣30°＝150°；（2）∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，∵∠ADE+∠EDB+∠BDC＝∠EDB+∠ADE+∠A+∠ABD＝180°，∴∠A+2∠ABD＝76°，又∵∠A﹣∠ABD＝31°，∴∠A＝46°。

(完整版)七年级数学培优-平行线四大模型

平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系（用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。

七年级下平行线专题培优讲义

平行线专题探究考考你：如图，把长方形ABCD沿直线EF折叠．若∠1=20∘，则∠2等于( )A. 80∘B. 70∘C. 40∘D. 20∘知识梳理：平行线的判定方法一同位角相等，两直线平行方法二内错角相等，两直线平行方法三同旁内角互补，两直线平行方法四垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五（平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行方法六（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行平行线的性质性质一：两条直线平行，同位角相等性质二：两条直线平行，内错角相等性质三：两条直线平行，同旁内角互补性质四：平行线间的距离处处相等【模块一】平行线的性质与判定【例1】如图，把长方形ABCD沿直线EF折叠．若∠1=20∘，则∠2等于( )A. 80∘B. 70∘C. 40∘D. 20∘【例2】如图所示，已知∠1+∠2=180∘，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．【例3】如图，已知∠CGD=∠CAB，∠1=∠2，求证AD∥EF．【模块二】拐点问题【例4】如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2=28∘，∠BPC=58∘，求∠1的度数．【例5】如图，AB∥EF，∠C=90∘，试探究：∠B，∠CDE，∠E之间的数量关系，并说明理由．【例6】如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系?为什么?【例7】如图，已知AB∥DE，∠BCD=30∘，∠CDE=138∘，求∠ABC的度数．【例8】（1）如图①，若AB∥DE，∠B=135∘，∠D=145∘．求∠BCD的度数；（2）如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗?请说明理由；（3）如图②，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数．本节课的收获：平行线的判定方法一同位角相等，两直线平行方法二内错角相等，两直线平行方法三同旁内角互补，两直线平行方法四垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五（平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行方法六（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行平行线的性质性质一：两条直线平行，同位角相等性质二：两条直线平行，内错角相等性质三：两条直线平行，同旁内角互补性质四：平行线间的距离处处相等。

第1章平行线全章复习与巩固(培优篇) 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练(含答案)

专题1.22 平行线（全章复习与巩固）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（）A．70°B．45°C．110°D．135°2．图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（）A．3，4B．4，7C．4，4D．4，53．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（）A．70°B．80°C．90°D．100°4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A．3B．2.5C．2.4D．25．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（）A．50°、130°B．都是10°C．50°、130°或10°、10°D．以上都不对6．如图，已知，于点，，，则的度数是（）A．B．C．D．7．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN PK，则∠KHD的度数为（）A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°8．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3（）A．70°B．180°C．110°D．80°9．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④10．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（）A．16B．24C．30D．40二、填空题11．如图，已知，，，则___度．12．如图，已知AD//BC，BD平分∠ABC，∠A＝112°，且BD⊥CD，则∠ADC＝_____．13．如图，A、B、C表示三位同学所站位置，C同学在A同学的北偏东方向，在B 同学的北偏西方向，那么C同学看A、B两位同学的视角______．14．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC 的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是_____．15．如图，已知A1B AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．16．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF 的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF 的度数为_____．17．线段AB和线段CD交于点O,OE平分∠AOC,点F为线段AB上一点(不与点A和点O重合)过点F作FG//OE,交线段CD于点G,若∠AOD=110°,则∠AFG的度数为_____°.18．如图，△ABC中，∠C=90︒，AC=5cm，CB=12cm，AB=13cm，将△ABC沿直线CB 向右平移3cm得到△DEF，DF交AB于点G，则点C到直线DE的距离为______cm．三、解答题19．如图，点，分别是，上的点，，.(1) 求证：；(2) 若比大，求的度数.20．按照下列要求完成画图及相应的问题解答．（1）画直线；（2）画；（3）画线段；（4）过点画直线的垂线，垂足为点；（5）点到直线的距离是线段的长度﹒21．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，，图中的余角是______把符合条件的角都填出来；如果，那么根据______可得______度；如果，求和的度数．22．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC．(1) 填空：BC与AD的位置关系为__________，BC与AD的数量关系为__________；(2) 点G，E都在直线BC上，，DF平分交直线BC于点F．①如图2，若G，E为射线CB上的点，，求的度数；②如图3，若G，E为射线BC上的点，，则__________（用含的式子表示）．23．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．24．（1）问题发现如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC∴∠C= ．∵EF∥AB，∴∠B= ，∴∠B+∠C= .即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°﹣∠BEC．（3）解决问题如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A= ．（直接写出结论，不用写计算过程）参考答案1．C【分析】根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a∥b，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．解：∵∠1与∠5是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，∴a∥b，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝70°，∴∠4=∠6＝110°．故答案为C．【点拨】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定，其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键．2．B【分析】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．解：，，，，，，，，，，则图中互余的角的对数为4对；，，点C是直线AB上一点，，，，又，，，，则图中互补的角的对数为7对，故选：B．【点拨】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．3．B解：因为AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB与∠AEC是对顶角，所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B．4．C【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故选：C．【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．5．C【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．解：∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补．设其中一角为x°，若这两个角相等，则x＝3x﹣20，解得：x＝10，∴这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补，则180﹣x＝3x﹣20，解得：x＝50，∴这两个角的度数是50°和130°．∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C．【点拨】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．6．C【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．7．D【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②当在下方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故选D．【点拨】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．8．C【分析】作AB∥a，先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2＝180°－∠1＋∠3，变形可得结果．解：作AB∥a，由直线a平移后得到直线b，所以，AB∥a∥b所以，∠2＝180°－∠1＋∠3，所以，∠2－∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110°．故选：C【点拨】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．9．D【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.解：∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，∴∠1=∠3，故①正确；∵，∴∠E=60，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故②正确；∵，∴，∵,∴∠3=∠B,∴,故③正确；∵，∴∠CFE=∠C，∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，∴∠1=∠E=,∴∠2=90-∠1=，故④正确，故选：D.【点拨】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.10．D【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，如图，∵图2中长方形的周长为48，∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∴AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，故选：D．【点拨】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．11．65°【分析】过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．解：过点作∥，如图：，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题12．124°【分析】先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．解：∵AD//BC∴∠ABC=180°-∠A=180°-112°=68°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=34°∵AD//BC∴∠ADB=∠DBC=34°∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC=90°+34°=124°．故答案为124°．【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的性质，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．13．【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．解：如图，作，，，，故答案为．【点拨】本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题关键．14．60°##60度【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，根据平行线的性质，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，如图所示：∵AD CE，∴AD FN BM CE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，∵∠F的余角等于2∠B的补角，∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），解得：x＝30，∴∠BAH＝60°．故答案为：60°【点拨】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．15．【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．解：如图，过点向右作，过点向右作,故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．16．45°或135°【分析】根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．解：如图1，过作，，，，，，，同理可得，由折叠可得：，，，如图2，过作，，，，，，，，由折叠可得：，，，综上所述：的度数为或，故答案为：45°或135°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF的度数．17．35°或145°．【分析】分两种情况讨论：点F在AO上，点F在OB上，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AFG度数．解：如图，当点F在AO上时，∵∠AOD＝110°，∴∠AOC＝70°，又∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝35°，∵FG∥OE，∴∠OGF＝35°，∴∠AFG＝∠AOD＋∠OGF＝110°＋35°＝145°；如图，当点F在OB上时，∵∠AOD＝110°，∴∠AOC＝70°，又∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝35°，∵FG∥OE，∴∠AFG＝∠AOE＝35°，故答案为35°或145°．【点拨】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．18．【分析】根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．解：如图，连接AD、CD，作CH⊥DE于H，依题意可得AD=BE=3cm，∵梯形ACED的面积，∴，解得；故答案为：．【点拨】本题考查的是图形的平移和点到直线的距离，解题的关键是注意图形平移前后的形状和大小不变，以及平移前后对应点的连线相等．19．（1）证明见分析（2）70°【分析】（1）根据平行线的性质得出，从而得到，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∠A+∠AED=180°，∠A=∠BFD，得到，结合条件比大，即可求出答案．解：（1）证明：（2）解：【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．20．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析；（5）CD【分析】（1）画直线AB即可；（2）画∠BAC即可；（3）画线段BC即可；（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D即可；（5）根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离．解：如图所示：（1）直线AB即为所求作的图形；（2）∠BAC即为所求作的图形；（3）线段BC即为所求作的图形；（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D，CD即为所求作的图形；（5）点C到直线AB的距离为线段CD的长．【点拨】本题考查了作图，作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，解决本题的关键是根据语句准确画出图形．21．（1）∠BOC、∠AOD（2）对顶角相等，160（3）26°试题分析：（1）根据互余两角和为90°，结合图形找出即可；（2）从图形中可知∠AOC和∠DOB为对顶角，直接可求解；（3）根据角平分线可求∠AOD的度数，然后根据对顶角和邻补角可求解.解：（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；（2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；（3）∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1=64°，∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°．22．(1)AD∥BC，AD=BC(2)①100°；②180°-2α【分析】（1）根据平移的性质和图形可得得，对应点连线互相平行且相等可得答案；（2）①利用平行线的性质和角平分线的定义得∠ADC=2∠GDF，从而得出答案；②由①同理可得答案．（1）解：∵将线段AB平移至DC，∴AD BC，AD=BC；（2）①∵AD BC，∴∠ADG=∠DGC，∵∠DGE=∠GDE，∴∠ADG=∠EDG，∵DF平分∠CDE，∴∠EDF=∠CDF，∴∠ADC=2∠GDF=2×40°=80°，∵AD BC，∴∠C+∠ADC=180°，∴∠C=100°；②∵AD BC，∴∠ADG=∠DGE，∵∠DGE=∠GDE，∴∠ADG=∠EDG，∵DF平分∠CDE，∴∠EDF=∠CDF，∴∠GDF=∠GDE-∠EDF=（∠ADE-∠CDE）=∠ADC，∴∠ADC=2α，∵AD BC，∴∠BCD+∠ADC=180°，∴∠BCD=180°-2α．【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义，角的和差等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性．23．（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．解：（1）∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=α＝30°，∴∠EOC=90°-30°=60°，∠AOD=180°-30°=150°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；故答案为：60，75；（2）当，．设当射线与射线重合时至少需要t秒，可得，解得：；答：当射线与射线重合时至少需要秒；（3）设射线转动的时间为t秒，由题意得：或或或，解得：或12或21或30．答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．【点拨】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．24．（2）∠B+∠C=360°﹣∠BEC；证明见分析；（3）20°．分析：利用平行线的性质求解.解：（1）∠CEF；∠BEF；∠BEF+∠CEF.（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC，EF∥AB，∴EF∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠BEC=360°，∴∠B+∠C=360°﹣∠BEC；（3）∠A=20°．【点拨】平行线的判定定理（1）同位角相等，两直线平行.（2）内错角相等，两直线平行.（3）同旁内角互补，两直线平行.平行线的性质定理：（1）两直线平行，同位角相等.（2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.平面几何中，判定定理和性质定理是成对出现的，定义也可以作为判定定理使用.。

浙教版七年级下数学平行线复习培优提高

浙教版七年级下数学平行线复习培优提高LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】EDC BA 平行线复习1、平行线的概念例题：判断对错：1）不相交的直线互相平行 2）不相交的线段互相平行3）不相交的射线互相平行4）有公共点的直线一定不平行 5）过两点有且只有一条直线6）在同一平面内两条不同的直线有且仅有一个公共点7）经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行8）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直9）过一点有且只有一条直线与已知直线平行10）过任意一点可作已知直线的一条平行线2、平行线的画法：一贴，二靠，三移，四画3、同位角，内错角，同旁内角例：分别判断下列各图中有几对同位角，内错角，同旁内角第1图第2图第3图4、平行线的判定；平行线的性质例：1）如图要判断AB DH EG BC ∥∥DC EF∥αββα2,,=∠+∠+∠=∠+∠=证明：D C B E A AB CD ∥ABE ∠CDE ∠F 140E ∠=︒BFD ∠2121//AC BD //AB CD E ∠=∠1F ∠=∠2AE CF O CF AE ⊥7、问题探究——平行线性质和判定综合1）已知：如图，△ABC ．求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°2）如图，∠B ＝∠D ，∠1＝∠3．求证：AD 题探究——平行线间的动点问题如图，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连接PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD ；（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立？（3）当动点P 落在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．。

（完整版）平行线知识点归纳及典型题目练习（含答案）.doc

（完整版）平行线知识点归纳及典型题目练习（含答案）.doc第五章相交线与平行线1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 _____________.2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________.3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互 _______.垂线的性质：⑴过一点 ______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________.5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有 ________与 _________两种 .7. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.8.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 .简单说成：_____________________________________. ⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 .简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：________________________________________.9. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .10.平行的性：⑴两条平行直被第三条直所截，同位角相等.成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直被第三条直所截，内角相等.成：__________________________________. ⑶两条平行直被第三条直所截，同旁内角互.成： ____________________________________ .11.判断一件事情的句，叫做 _______.命由 ________和 _________ 两部分成 .是已知事，是______________________. 命常可以写成“如果??那么??”的形式，“如果”后接的部分是＿＿＿＿＿，“那么”后接的部分是_________.如果成立，那么一定成立 .像的命叫做___________.如果成立，不能保一定成立，像的命叫做___________.定理都是真命 .12.把一个形整体沿某一方向移，会得到一个新形，形的种移，叫做平移，称_______.形平移的方向不一定是水平的 .平移的性：⑴把一个形整体平移得到的新形与原形的形状与大小完全______.⑵新形中的每一点，都是由原形中的某一点移后得到的，两个点是点. 接各点的段_________________.熟悉以下各：13.如，BC AC, CB 8cm, AC 6cm, AB10cm, 那么点A 到 BC 的距离是 _____，点B 到 AC 的距离是 _______，点 A、B 两点的距离是 _____，点C 到 AB 的距离是 ________．14. a 、b、c平面上三条不同直，a)若 a // b,b // c ，a与c的位置关系是_________；b)若 a b, b c ，a与c的位置关系是_________；c)若 a // b ， b c，a与c的位置关系是________．15.如图，已知 AB、 CD、EF 相交于点 O，AB⊥ CD， OG 平分∠ AOE，∠ FOD ＝28°，求∠ COE 、∠ AOE、∠ AOG 的度数．16.如图，AOC 与BOC 是邻补角，OD、OE分别是AOC 与BOC 的平分线，试判断 OD 与 OE 的位置关系，并说明理由．17.如图，AB ∥DE，试问∠ B、∠ E、∠ BCE 有什么关系．解：∠ B＋∠ E＝∠ BCE过点 C 作CF∥ AB，则B____（）又∵ AB∥ DE ，AB∥ CF，∴ ____________ （）∴∠ E＝∠ ____（）∴∠ B＋∠ E＝∠ 1＋∠ 2即∠ B＋∠ E＝∠ BCE．18.⑴如图，已知∠1＝∠ 2求证：a∥b．⑵直线a // b，求证：1 2 ．⑴∵∠ 1＝∠ 2又∵∠ 2＝∠ 3（对顶角相等）∴∠ 1＝∠ 3∴a∥ b（同位角相等两直线平行）⑵∵ a∥ b∴∠ 1＝∠ 3(两直线平行，同位角相等)又∵∠ 2＝∠ 3（对顶角相等）∴∠ 1＝∠ 2.19.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB∥ CD ，∠ 1＝∠ 2，试说明EP∥ FQ ．证明：∵ AB ∥CD ，∴∠ MEB ＝∠ MFD （）又∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ MEB －∠ 1＝∠ MFD －∠ 2，即∠MEP ＝∠ ______∴ EP∥ _____．（）20.已知DB∥FG ∥EC， A 是 FG 上一点，∠ ABD ＝60°，∠ ACE ＝36°， AP 平分∠ BAC，求：⑴∠ BAC 的大小；⑵∠ PAG 的大小 .21.如图，已知ABC ， AD BC 于D， E 为 AB 上一点， EF BC 于F， DG // BA 交CA 于 G.求证1 2 .22.已知：如图∠1=∠2，∠ C=∠ D，问∠ A 与∠ F 相等吗？试说明理由．参考答案1.邻补角2. 对顶角，对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行 .9.平行10.两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补 .11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15. 28°118° 59°16. OD ⊥OE 理由略17. 1（两直线平行，内错角相等）DE ∥ CF（平行于同一直线的两条直线平行）2 （两直线平行，内错角相等）. 18.⑴∵∠ 1＝∠ 2 ，又∵∠ 2＝∠ 3（对顶角相等），∴∠ 1＝∠ 3∴ a∥ b（同位角相等两直线平行）⑵∵ a∥ b ∴∠ 1＝∠ 3(两直线平行，同位角相等 )又∵∠ 2＝∠ 3（对顶角相等）∴∠ 1＝∠ 2. 19. 两直线平行，同位角相等MFQ FQ 同位角相等两直线平行20. 96°，12°.21.Q AD BC, FE BC EFB ADB 90o EF // AD 2 3Q DG // BA, 3 1 1 2. 22. ∠A＝∠ F.∵∠ 1＝∠ DGF （对顶角相等）又∠ 1＝∠ 2 ∴∠ DGF ＝∠ 2∴DB∥ EC（同位角相等，两直线平行）∴∠ DBA＝∠ C（两直线平行，同位角相等）又∵∠ C＝∠ D ∴∠ DBA＝∠ D ∴ DF ∥AC（内错角相等，两直线平行）∴∠A＝∠ F( 两直线平行 ,内错角相等 ).。

平行线分线段成比例专题培优提高训练(最新编写)

PQ 的长。
A
E
D
P
Q
B
F
C
专题二、定理及推论与中点有关的问题
【例4】（2007 年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE 1 AB ，
4
连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D ，则 BC _______.
CD
（2）如图（2），已知 ABC 中， AE : EB 1: 3 ， BD : DC 2 :1， AD 与 CE 相交于 F ，
3
A
F E
B
D
C
【例6】（宁德市中考题）如图， ABC 中， D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E ，
延长 AB 交 CE 的延长线于 P 。若 AD 2DE ，求证:
AP 3AB 。
A
B D
P
E
C
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC 中， BC a ，若 D1 ，E1
C
D
E
O
A
B
【习题2】在 ABC 中， BD CE ， DE 的延长线交 BC 的延长线于 P ，
求证： AD BP AE CP .
A
D
E
B
C
P
【习题3】如图，在 ABC 的边 AB 上取一点 D ，在 AC 取一点 E ，使 AD AE ，直线 DE 和 BC 的延长线相交于 P ，求证： BP BD
AD
（2）当 AE 1、1 时，求 AO 的值；
AC 3 4
AD
A
（3）试猜想 AE 1 时 AO 的值，并证明你的猜想.
AC n 1 AD

第五章平行线培优训练(含答案)

5.2平行线专题一平行线1.下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③平行于同一条直线的两条直线互相平行④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个2.在同一平面内有2013条直线a1，a2，…，a2013，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2013的位置关系是．专题二平行线的判定3.如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，∠DEF=∠EFC，那么下列结论正确的是（）A．EF∥AB B．DE∥BC C．DF∥AC D．∠EDF=∠C4.如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有对平行线．专题三平行线的性质5.如图，已知AB∥DC，AD∥BC，∠B=80°，∠EDA=40°，则∠CDO=（）A．80°B．70°C．60°D．40°6. 如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则图中与∠DFM相等的角（不含它本身）的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．87.如图有下面三个判断：①∠A=∠F，②∠C=∠D，③∠1=∠2，请你用其中两个作为条件，余下一个作为结论，编一道证明题并写出证明过程．答案1. C 【解析】①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故正确．④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．故答案为C．2.平行【解析】∵a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环．∴（2013﹣1）÷4=503，故答案为平行．3. B 【解析】∵∠DEF=∠EFC（已知），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．故选B．4. 5 【解析】∵∠BAG=∠AHE=72°，∴AB∥EI．∵∠BFC=∠FCD=72°，∴BG∥CD；∵∠CBF=∠BGA=72°，∴BC∥AH．∵∠EDI=∠CKD=72°，∴DE∥CF．∵∠AEH=∠EID=72°，故共有5对平行线．5. C 【解析】 ∵AB ∥DC ，∴∠DCO=∠B=80°．∵AD ∥BC ，∴∠ADC=∠DCO=80°．又∠EDA=40°，∴∠CDO=180°﹣∠EDA ﹣∠ADC=60°．故选C ．6. C 【解析】 ∵FM 平分∠EFD ，∴∠EFM=∠DFM=21∠CFE ． ∵EG 平分∠AEF ，∴∠AEG=∠GEF=21∠AEF ． ∵EM 平分∠BEF ，∴∠BEM=∠FEM=21∠BEF ． ∴∠GEF+∠FEM=21（∠AEF+∠BEF ）=90°．即∠GEM=90°，∠FEM+∠EFM=21（∠BEF+∠CFE ）． ∵AB ∥CD ，∴∠EGF=∠AEG ，∠DFE=∠AEF ，∴∠FEM+∠EFM=21（∠BEF+∠DFE ）=21（BEF+∠AEF ）=90°． ∴在△EMF 中，∠EMF=90°．∴∠GEM=∠EMF ．∴EG ∥FM ．∴与∠DFM 相等的角有：∠EFM 、∠GEF 、∠EGF 、∠AEG 以及∠GEF 、∠EGF 、 ∠AEG 三个角的对顶角．共7个．故选C ．7. 解：答案不唯一．下面举一例子作为参考．已知：如图：∠A=∠F ，∠C=∠D ，求证：∠1=∠2．证明：∵∠A=∠F ，∴DF ∥AC ，∴∠D=∠DBA ．∴∠C=∠DBA．∴DB∥CE．∴∠1=∠AMC．∵∠2=∠AMC，∴∠1=∠2．。

初一下数学培优辅导5(平行线与相交线2)

初一下数学培优辅导5平行线与相交线(2)例1：如图:已知直线a ∥b ，直线AB 交a 与b 于A 、B ，AC 平分∠1，CB 平分∠2. 试说明：∠C=090.例2：如图所示，已知AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=025，求∠C.例3：如图所示，1AA ∥2BA ，求∠1A -∠1B +∠2A 的值.例4：如图，已知AB ∥CD ，CM 平分∠BCD ，∠B =074，CM ⊥CN ，求∠NCE 的度数.例5：已知：如图CD ⊥AB 于D ，GF ⊥AB 于F ，∠1=∠2，试说明：DE ∥BC .21ba CBAF21EDC BAB 1A 1A 2BAN M EDC BA3G F21ED CB A例6：已知：如图∠B =0120，∠C =060,DF 平分∠ADC ,AG 平分∠EAB .试说明：DF ∥AG .例7：如图，AC AE 、是直线，∠1=∠2=∠A ，试说明：（1）∠A +∠0180ADF =；（2）∠ADF =∠ABF .例8：如图，AB ∥EF ,求∠A +∠ACE +∠E 的值.例9：已知：如图，AB∥CD，BE∥CF . 试说明：∠1=∠4.例10：已知：如图，BE∥DF，∠B=∠D . 试说明：AD∥BC .GF21E DCBAF 21ED CB A FE C BA3412EPQDCB Aba21D CBA DFCBEA3241C DBA一、选择题（3×10=30）1．互为余角的两个角的差是20o ，则这两个角中较小的那个角的补角是（） A ．105o B ．115o C ．135o D ．145o2．如果∠1与∠2是同旁内角，则∠1与∠2与的关系是（） A ．相等 B ．互补 C ．互余 D ．无法确定 3．如图，以下推理正确的是（）A ．因为∠1=∠2，所以PB ∥DQ （同位角相等，两直线平行） B ．因为∠1+∠3=∠2+∠4，所以P B ∥DQ （同位角相等，两直线平行）C ．因为∠3=∠4，所以P B ∥DQ （同位角相等，两直线平行）D ．因为∠1=∠4，所以P B ∥DQ （同位角相等，两直线平行）3题 4题 5题 4．如图，a ∥b ，若∠1=50o ，则∠2的度数为（） A ．15o B ．120o C ．130o D ．140o5．如图，在四边形ABCD 中，能使DC 与AB 平行的条件是（） A ．∠A 与∠B 互补 B ．∠A 与∠C 相等 C ．∠B 与∠C 互补 D ．∠B 与∠D 相等6．在同一平面内，四条直线的交点个数不能是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 7题 7．如图，C D ⊥AB ，CE ⊥CF ，则图中互补的角有（）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对8．如图，四条直线相交，∠1和∠2互余，∠3是∠1的余角的补角，且∠3=116o ，则∠4为（）A ．116oB ．154oC ．164oD ．126o 8题 9．下列说法正确的个数是（）①若∠1+∠2+∠3=180o ，则∠1与∠2，∠3互为补角②若两个角互为余角，且他们的度数之比为4：6，则这两个角的度数分别为40o 和60o ③一个锐角的余角比这个角大④一个锐角的补角比这个角大⑤EDFCBA F ED CBABA21CBAb aBCOA若两个角互余，则这两个角都是锐角⑥若两个角互补，则这两个角中一个是锐角，一个是钝角 A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个10．如果∠A 与∠B 互为补角，∠A ﹥∠B ，那么∠B 的余角为（） A ．21（∠A+∠B ） B ．21∠A C ．21（∠A-∠B ） D ．不能确定二、填空题（3×8=24）1．若∠A=30o 44’，则∠A 的余角为，∠A 的补角为2．如图，要使得A B ∥CD ，必须具备的条件是或或 3．互为补角的两个角之比为3：2，这个两个角的度数为和 4．如图，如果D E ∥BC ，则有∠AED= ，∠B+ =180o2题 4题 5题5．平面镜A 与B 之间夹角为120o ，光线经平面镜A 反射在平面镜B 上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=6．∠A 的余角与∠A 的补角互为补角，那么2∠A= 度 7．若∠A 和∠B 的两边分别平行，则∠A 和∠B 的数量关系为8．如图“回”字型的道路宽为1米，整个“回”字形的OA 8题长为8米，宽OC 长为7米，一个人从入口点A 沿着道路中央走到终点B ，他共走了三、作图题(尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法，4×2=8) 1．已知∠ABC ，求作∠A ’B ’C ’=2∠ABC2．已知线段a 和b ，a ﹥b ，求作线段AB=2b-a21F EDCBACEAB12GFE DCB A四、解答题（38分）1．已知：如图所示，∠BED=∠B+∠D,求证：A B ∥CD （5分）证明：过E 作直线EF ，使E F ∥AB∵E F ∥AB∴∠1= ( ) ∵∠EBD=∠B+∠D ( 已知 )∴∠2=∠D ( ) ∴EF ∥CD ( ) ∴AB ∥CD ( ) 2．一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的31，求这个角的度数？（6分）3．如图，从A 岛测得灯塔C 为北偏东70o ，从B 岛测得C 在南偏东40o ，求∠BCA 的度数（6分）北北北4．如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E ，F 。

5.2平行线及其判定培优训练-2020-2021学年人教版七年级数学下册

第五章相交线与平行线第2节《平行线及其判定》同步培优训练一、选择。

1．如图，下列条件：①，②，③，④，⑤中能判∠=∠∠+∠=∠=∠∠=∠∠=∠+∠13241804523623 l l的有( )断直线12A．5个B．4个C．3个D．2个2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠3 B．∠2+∠4=180°C．∠1=∠4 D．∠3=∠43．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )A ．∠1＝∠2B ．∠2＝∠4C ．∠3＝∠4D ．∠1＋∠4＝180°4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°D ．第一次右拐50°，第二次右拐50° 5．如图，下列能判断AB ∥CD 的条件有（）①∠B +∠BCD =180° ②∠1 = ∠2 ③∠3 =∠4 ④∠B = ∠5 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．若a ⊥b ，c ⊥d ，则a 与c 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对 7．如图下列推断错误的是（）A ．由12∠=∠，得AB CD ∥ B ．由1324∠+∠=∠+∠，得AE CN ∥C ．由56,∠=∠34∠=∠，得AB CD ∥ D ．由SAB SCD ∠=∠，得AB CD ∥8．如图，在四边形ABCD中，点E在线段DC的延长线上，能使直线AD∥BC的条件有（）（1）∠D＝∠BCE，（2）∠B＝∠BCE，（3）∠A+∠B＝180°，（4）∠A+∠D ＝180°，（5）∠B＝∠DA．1个B．2个C．3个D．4个9．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠410．如图，下列判断正确的是()A．∵∠1＝∠2，∴DE∥BFB．∵∠1＝∠2，∴CE∥AFC．∵∠CEF＋∠AFE＝180°，∴DE∥BFD．∵∠CEF＋∠AFE＝180°，∴CE∥AF二、填空。

平行线相交线培优

第5题 A FE C B D 第6题 E D CB A γβα平行线相交线培优1.如图， l 1∥l 2，∠1 = 105°，∠2 = 140°，则∠α = ．2.如图2，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2＝度.3.如图3，a b ∥，M N ，分别在a b ，上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=4.用等腰直角三角板画45AOB =∠，并将三角板沿OB 方向平移到如图4所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______.5.如图，将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC//DE ，则AFC 的度数为________第4题 6. 如图所示，已知AB//CD ，则α、β、γ之间的等量关系为_______________7.如图7，把长方形纸片沿EF 折叠，使D ，C 分别落在D '，C '的位置，若65EFB =∠，则AED '∠等于（）Ａ．50 Ｂ．BA CD EF G MNＣ．60 Ｄ．658.如图,把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,若∠EFG=50º, (1)找出图中也是50º的角;(2)说明∠FGM=2∠EFG=100º的理由.ab MP N 12 3第1题第2题第3题 BA CD EF G MN12O M B A 22 α9.如图，AB//CD ，试解决下列问题：⑴∠1＋∠2＝___ __；⑵∠1＋∠2＋∠3＝___ __； ⑶试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝ .10．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G11.如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P 落在某个部分时，连结PA 、PB ，构成∠PAC 、∠APB 、∠PBD 三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°) (1)当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD ；(2)当动点P 落在第②部分时，∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD 是否成立(直接回答成立或不成立)？(3)当动点P 落在第③部分时，全面探究∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.12.如图，四个矩形的长均为a ，宽均为b 。

初一下学期数学第二章平行线与相交线复习资料加答案

第二章：平行线与相交线考点1：余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、厦门，2分）已知：∠A= 30○，则∠A的补角是________度．解：150○点拨：此题考查了互为补角的性质．【考题1－2】（2004、青海，3分）如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：(30 分钟)1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（）A．两个互补的角中必有一个是钝角B．一个角的补角一定比这个角大C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D．相等的角一定互余4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A处观测到C处的方向为（）A．南偏西32○B．东偏南32○C．南偏西58○D．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．考点2：同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质一、考点讲解：1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．2．“三线八角”的识另：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．3．平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.二、经典考题剖析：【考题2－1】（2007贵阳）如图1―2―4，直线a ∥b，则∠A CB＝________解：78○点拨：过点C作CD平行于a，因为a∥b，所以CD∥b．则∠A CD＝2 8○，∠DCB=5 0○．所以∠ACB＝78○．【考题2－2】（2009、开福）如图1―2―5，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0○求∠2的度数．解：65○点拨：由AB∥CD，得∠BEF＝180○－∠1=130○，∠BEG=∠2．又因为EG平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=12∠BEF=65°（根据平行线的性质）三、针对性训练：( 40分钟)1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．l个B．2个C．3个D．4个2．下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。

人教版七年级数学下册 5.2.1 平行线培优训练(含答案)

人教版七年级数学下册5.2.1《平行线》培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．在同一平面内，下列说法中，错误的是()A．过两点有且只有一条直线B．过一点有无数条直线与已知直线平行C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是()A．平行公理B．等量代换C．等式的性质D．平行于同一条直线的两条直线互相平行3.下列生活实例中；①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线．其中属于平行线的有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可能是( )A．平行B．垂直或平行C．相交或平行D．相交或垂直5．下列说法正确的是( )A．同一平面内没有公共点的两条线段平行B．两条不相交的直线是平行线C．同一平面内没有公共点的两条直线平行D．同一平面内没有公共点的两条射线平行6.平面上有P、Q、R三点，以下说法正确的是()A．经过这三点，必有一条直线C．一定可以画三条直线，使它们两两相交于这三点D．经过这三点，至多能画两条平行直线7．过一点画已知直线的平行线，则( )A．有且只有一条B．可能有两条C．不存在D．不存在或只有一条8．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( )A．平行线的基本事实B．等量代换C．等式的性质D．平行于同一条直线的两条直线平行9．己知直线AB及AB外一点P，若过点P作一直线与AB平行，那么这样的直线()A．有且只有一条B．有两条C．不存在D．无数条10．如图，AB∥CD，EF∥AB，AE∥MN，BF∥MN，由图中字母标出的互相平行的直线共有() A．4组B．5组C．6组D．7组二．填空题（共8小题，3*8=24）11．下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有____________．12．在同一平面内，_______的两条直线叫做平行线．如图，AB平行于CD，可表示为_________．13．在同一平面内，直线a与b满足下列条件，写出其对应的位置关系：(1)a与b没有公共点，则a与b______；(2)a与b有且只有一个公共点，则a与b______；(3)a与b有两个公共点，则a与b______．14．如图，PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q在一条直线上．理由是___________________________．15．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，OB∥a，则与直线a相交的直线有( ) 条16．如图，若AB∥CD，经过点E可画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是___，其理由是________________________________________________________．17. 如图所示，直线AB，CD是一条河的两岸，并且AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点，现想过点E作河岸CD的平行线，只需过点E作________的平行线即可，其理由是________________________________．18．已知点P是直线AB外一点，CD、EF分别是过点P的两条直线，若AB∥CD，那么AB与EF 的关系是_______，理论依据是____________________________________________________________. 三．解答题（共6小题，46分）19．(6分) 如图，完成下列各题：(1)用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线，②经过点C画直线垂直于CD；(2)用符号表示上面①，②中的平行、垂直关系．20．(6分) 如图，P，Q分别是直线EF外两点，画图并回答问题：(1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；(2)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？21．(6分)观察如图所示的正方体，用符号表示下列两棱的位置关系：(1)AA1____AB；BB1____DD1；(2)A1C1____AC；AD1____BC1；(3)CC1____A1C1；B1C1____C1D1.22．(6分) 如图，直线AB，CD是一条河的两岸，并且AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点，若要过点E作河岸CD的平行线，则只需过点E作河岸AB的平行线即可，其理由是什么？这样的直线能作多少条？为什么？23．(6分) 如图，将一张长方形硬纸片对折，MN是折痕，把面ABNM平放在桌面上，另一个面CDMN 任意改变位置，试探索AB与CD的位置关系，并说明理由．24．(8分) 如图，在∠AOB的内部有一点P，∠AOB＝60°.(1)过点P作PC∥OA，PD∥OB；(2)量出∠CPD的度数，说出它与∠AOB的关系．25．(8分)在同一平面内，三条直线有多少个交点？甲：在同一平面内，三条直线有0个交点，因为a∥b∥c，如图①；乙：在同一平面内，三条直线只有1个交点，因为a，b，c交于同一点，如图②. 以上说法谁对谁错？为什么？参考答案1-5BDDCC 6-10 ADDAC11. ①③④12. 不相交，AB∥CD13. 平行，相交，重合14. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行15. 316. 平行，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行17. AB，平行于同一条直线的两条直线平行18. 相交，同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交19. 解：(1)如图所示，(2)AB∥EF，GC⊥CD.20. 解：(1)如图所示，(2)AB∥CD.理由：因为AB∥EF，CD∥EF，所以AB∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)21. 解：(1)⊥，∥(2)∥，∥(3)⊥，⊥22. 解：其理由是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；这样的直线只能作1条，因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行23. 解：因为MN为长方形纸片对折折痕，所以MN∥AB，MN∥CD，所以AB∥CD，理由：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(2)∠CPD＝60°或120°，它与∠AOB相等或互补25. 解：都不对，因为除了甲、乙两种说法外，在同一平面内，三条直线交点的个数还有两种情况，即有2个交点或3个交点，如图：，所以在同一平面内，三条直线有0个或1个或2个或3个交点。

初一数学下寒假培优训练讲义--平行线

初一数学寒假培优训练一（余角,补角以及三线八角,平行线的判定）一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质：① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1.∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○． ②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2=90○，∠1+∠ 3= 90○，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A.∠B 互补，反过来，若∠A.∠B 互补，则∠A+∠B ＝180○． ②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C ． 6．对顶角的性质：对顶角相等．二、互为余角.互为补角.对顶角比较三、经典例题剖析：例1．如图所示，AOB 是一条直线，︒=∠︒=∠90,90DOE AOC ，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？（例1）ABEOCD12 3 4练习：1. 如图所示，AOE 是一条直线，︒=∠=∠90COD AOB ，则（1）如果,301︒=∠那么=∠2 ，3∠= 。

（2）和1∠互为余角的角有和1∠相等的角有例2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=_ _ （练习1）练习：1. 如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是_________ 2. ∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_ 例3. 若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．练习：1. 一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（）A.2倍B.21倍 C.5倍 D.51倍 2. 已知一个角的余角比它的补角的135还少︒4，求这个角。

四、巩固练习：1．_______的余角相等，_______的补角相等． 2.一个角的余角（）A.一定是钝角B.一定是锐角C.可能是锐角，也可能是钝角D.以上答案都不对 3．下列说法中正确的是（）A ．两个互补的角中必有一个是钝角B ．一个角的补角一定比这个角大C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D ．相等的角一定互余 5．若两个角互补，则（）A.这两个都是锐角B.这两个角都是钝角C.这两个角一个是锐角，一个是钝角D.以上结论都不对 6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数． 7．下列说法中正确的是（） A.相等的角是对顶角B.不是对顶角的角不相等C.对顶角必相等D.有公共顶点的角是对顶角8．三条直线相交于一点，所成对顶角有（） A.3对B.4对C.5对D.6对9．下列说法正确的是（）A.不相等的角一定不是对顶角B.互补的两个角是邻补角C.两条直线相交所成的角是对顶角D.互补且有一条公共边的两个角是邻补角10.如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠ 1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○ B．∠1=∠3 C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75○30′11．为下面推理填写理由。

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