35.惟一确定分式线性映射的条件

G的 曲线, 则映射成
z , 其中k是待定常数. 由 则所求映射为 w k z
于 z 0 映射成 w 1 上的点, 所以
0 k k k 1. 0 iq z iq (Im 0). 设 k e (q 为实数), 则 w e z
方法二 解 实轴映射成单位圆周. 设上半平面中的点
z= 映射成圆心w=0, 由保对称性和 边界对应原理 , 对
定理 设D是z平 1 的对 关于实轴的对称点 映射成w=0关于 w
称点z=.
(z)
曲线C围成的区域,
y
(w) v C双方单值地映 并把
.
O
.
x
果 C的正向映射成 . uD映射成 O 的内部区域
(2) 分式线性映射对圆域的映射
问题 圆域内部被映射成什么区域?
结论: 在分式线性映射下, C 的内部不是映射
成像G的内部就是映射成像G的外部. 如果C或G中
有直线, 则按直线的某一侧来理解. 方法1 在圆周C内任取一点z0, 如果z0的像w0在
G内部, 则C 的内部映射 成G的内部; 如果z0的像 w0在G外部, 则C 的内部 映射G的外部.
y
.1 a
v
.
(w)
.a
O
x
O
u
解 在 z 1 内取一点z1= 0, 设z1的像为w1=0. 1 因为z1= 关于圆周 z 1 的对称点是 z2 , 而条件

(z)
y
.1 a
v
.
(w)
.a
O
x
O
u

要求分式线性映射把 z 1 映射成 w 1, 所以根据 1 分式线性映射的保对称性, z2 映射成w1=0关于
azk b wk ( k 1,2,3). czk d
( z z1 )(ad bc) w w1 (cz d )(cz1 d )
( z z2 )(ad bc) w w2 (cz d )(cz2 d )
( z3 z1 )(ad bc) w3 w1 (cz3 d )(cz1 d )
足要求. 但它们是平凡的, 没有实际意义.
例2
求把上半平面 Im z 0 映射成单位圆
内部 w 1 的分式线性映射.
(z)
y
v .i
. 1 . 1
O
(w)
. . 1 O
(方法一)
x
. 1 u
解 在 x 轴上取三点 z1 1, z2 0, z3 1, 使得 它们依次对应于 u 轴上三点 w1 1, w2 i , w3 1,
因为
2i w ( z ) R e , 2 (z i)
iq
iq
再由已知条件 w( i ) 0, 可见 e i , 即 q
所以要求的分式线性映射是
zi w Ri w0 . zi

2
.
例4
求把单位圆内部 z 1 映射成单位圆内
部 w 1 的分式线性映射.
(z)
C
. z3
w3 .
3
G
.w1 1 2 . w2 1 2
z1 .
.z 2
分式线性映射的典型例子
例1 求把上半平面 Im z 0 映射成上半平面
Im w 0 的分式线性映射.
(z)
y
(w)
v
O
1 O
.
.
x

.
.
1
u
解 在x轴上取三点 z1 1, z2 0, z3 , 使得 它们依次对应于u轴上三点 w1 , w2 0, w3 1,
解方程得 x1 0, x2 24 (或 x1 24, x2 0). 下面只考虑 x1 0, x2 24 的情形.
这时 w (0) 0, w( 24) , 于是所求的分式线 性映射的形式为
z wk (k为复常数). z 24
因为z=0在 C1 : z 3 9 和 C 2 : z 8 16 的内部, 由 w (0) 0 可知圆周C2映射成外边界 w 1. 在C2取 z 24, 则 w (24) 1, 于是

w 1 的对称点 w2 . 这样的分式线性映射为 z z w k k , 1 1 z z

其中 k k 是复常数.
z 1. 容易验证, 当 z 1 时, 1 z 因为 z 1映射成 w 1, 所以当 z 1 时,
( z3 z2 )(ad bc) w3 w2 (cz3 d )(cz2 d )
于是
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
从中可惟一地解出w, 得到分式线性映射. 如果 z1 , z2 , z3 和 w1 , w2 , w3 中含有无穷远点, 把无穷远点用模充分大的有限数代替, 得出形如
并且 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 的环绕方向相同.
于是所求的分式线性映射为
w 1 1 1 z 1 1 1 : : , w i 1 i z 注 同样, 如果选取其他三对不同点, 也能求出 满足要求, 但形式不同的的分式线性映射.
惟一决定分式线性映射的条件
(1) 分式线性映射的确定 分式线性映射
az b w (ad bc 0) cz d
含有a, b, c, d 四个常数，其中有三个是独立的常数,
因此, 给定三个条件就能惟一确定分式线性映射. 设 z1 , z2 , z3 是扩充z平面上三个互不相同的点，
w1 , w2 , w3 是扩充w平面上三个互不相同的点, 则
z z1 3 1. 于是 令 z 3 , 则 z 3 z2 w w1 w3 w1 z z1 : . w w2 w3 w2 z z2 w3 w1 如 w3 , 则 理解为1. w3 w2
w w1 如 w1 , 则 理解为1. w3 w1
C1 : z 3 9, C 2 : z 8 16
所围成的偏心圆环域D映射成中心在w=0的同心圆
环域G, 且使其外半径为1.
y ( z)
C1 C2
(w)
v
G2 G1 G
D
x O
O
u
解 设所求分式线性映射把z平面内两点z1和z2
分别映射成w平面内的w1=0和w2=. 由于w1和w2同
z k k w 1. 1 z
设 k e iq (q 为实数) , 则所求的分式线性映射为
z we (q 为实数). 1 z
iq
注 旋转映射 w e iq z (q 为实数)也满足要求. 但 它是平凡的, 没有实际意义.
例5 求一个分式线性映射, 把由两圆周
24 w (24) k 1. 24 24
2z 由此可得k 2e , 即 w e (q 为实数). z 24
iq
iq
上半平面映为单位圆内部的分式线性映射一般形式
zi 3 π 说明 取 i ,q . (与方法一相同) 时, w iz 1 2 zi . 取 i ,q 0 时, w zi
例3 求把上半平面 Im z 0 映射成圆域内部
w w0 R 的分式线性映射, 使 w( i ) w0 , w( i ) 0.
w w1 w3 w1 z z1 z3 z1 : : . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
的分式线性映射, 然后让该点趋于无穷远点, 即得
要证明的结论.
例如, 若z3= , 则用 z 3 代替 z3, 得到分式线性 映射，
z1 w w1 w3 w1 z z1 z3 : : . z2 w w2 w3 w2 z z2 z3
C
G
z00 z
w0 w0
方法2 在C 上取三个点 z1 , z2 , z3 , 如果环绕方 向 z1 z2 z3 与它们的像 w1 , w2 , w3 在 G上的环绕 方向 w1 w2 w3 相同, 则C的内部映射成G的内部; 如果环绕方向相反, 则C的内部映射成G的外部.
并且 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 的环绕方向相同. 于是所求的分式线性映射为
w 1 z 1 1 : : , w 0 1 0 z 0 0
化简可得
z w . z 1
注 如果选取其他三对不同点, 也能求出满足要
求, 但形式不同的的分式线性映射. w=az+b(a>0, b为实数), 即相似和平移映射也满
同时关于同心圆环域 G 的两个边界圆周对称, 由分
式线性映射的保对称性, z1和 z2 应同时关于圆周C1
和C2对称. 因此, z1和 z2 应在 C1和 C2的圆心连线上，
即在实轴上, 设 z1 x1 , z2 x2 . 根据对称性
( x1 3)( x2 3) 81, ( x1 8)( x2 8) 256,
存在惟一的一个分式线性映射, 将点 z1 , z2 , z3 依次
映射成 w1 , w2 , w3 .
事实上, 如果 z1 , z2 , z3 和 w1 , w2 , w3 都是有限 点, 设
az b w (ad bc 0) cz d
将 z1 , z2 , z3 依次映射成 w1 , w2 , w3 , 则
解 由例2中的解法二可知，映射
zi (q 为实数) e zi
iq
把上半平面 Im z 0 映射成单位圆内部 1. 再作相似映射与平移映射，得