求抛物线解析式及应用
初三数学如何求抛物线的解析式
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 c是一次项系数。
根据抛物线的图像或已知条件来确定 顶点的坐标。
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02
抛物线解析式的求解方法
已知顶点形式的解析式求解
总结词
利用顶点坐标确定抛物线的标准方程，进而求解解析式。
详细描述
已知抛物线的顶点坐标为$(h, k)$，则抛物线的标准方程为$y = a(x - h)^2 + k$， 其中$a$为待定系数。根据其他已知条件（如与坐标轴的交点或与直线的交点）， 可以求解出$a$的值，从而得到抛物线的解析式。
初三数学如何求抛物线的解 析式
目录
• 抛物线的定义与性质 • 抛物线解析式的求解方法 • 抛物线解析式的应用 • 抛物线解析式求解的注意事项
01
抛物线的定义与性质
抛物线的定义
01
抛物线是一种二次曲线，它是由 一个点（称为焦点）和一条直线 （称为准线）确定的。
02
抛物线上的任意一点到焦点的距 离等于该点到准线的距离。
03
抛物线解析式的应用
在几何图形中的应用
确定抛物线的位置关系
通过抛物线的解析式，可以确定抛物 线在平面上的位置关系，如开口方向 、顶点位置等。
求解几何量
利用抛物线的解析式，可以求解与抛 物线相关的几何量，如弦长、面积等 。
在实际问题中的应用
建立数学模型
通过抛物线的解析式，可以将实 际问题抽象为数学模型，从而利 用数学方法求解。
解决实际问题
利用抛物线的解析式，可以解决 一些实际问题，如最优化问题、 经济问题等。
在二次函数中的应用
确定二次函数的性质
通过抛物线的解析式，可以确定二次函数的开口方向、对称 轴、顶点坐标等性质。
抛物线解析式的求法
4.当x=1时，y=0; x=0时,
y=-2，x=2时，y=3;
5. 顶点坐标为（-1，-2）,且通 过点（1，10）;
6. 对称轴为x=2,函数的最小值为 3,且图象经过点(-1,5).
7.已知抛物线 y ax2 bx c 经过三点
A（2，6），B（－1，2），C（0，1）
，那么它的解析式是
x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线
的解析式是
.
11.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分 别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
y
C
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
OA
x B
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数， x=4
且S⊿ABC= 3。 请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
二次函数解析式的几种表达式
• 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x+h)2+k
• 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7）;
2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5;
3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0）;
，
变:
(1)已知二次函数图象经过（－1，10）,
（2，7）和（轴交于点（－1，0）和
（3，0），且过点（0， 3 ），那么抛物
线的解析式是
2
；淘宝账号购买 淘宝账号出售 / 淘宝账号购买 淘宝账号出售 ；
灵魂会随着老黄牛的-头撞死而颤栗，更会因主人庆幸少花钱的高兴嘴脸而悲哀。 2．文中画线处的景物描写分别有怎样的作用？请简要分析。 3．小说结尾处主人对
二次函数的应用(2)——抛物线型问题
∴水面宽度将增加 2 6 4米.
8．如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，OM 为 12 米．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)若在隧道 C，D 处装两个路灯，且路灯的高度为 4 米，求 C， D 之间的距离．
解：（1）由题意，得 M 12,0，P6,6
设抛物线的解析式为 y a x 62 6
设抛物线的解析式为 y a x 2 x 2
∵过点C(0,2)
∴2=a0 20 2
，a 1
2Байду номын сангаас
∴抛物线的解析式为y 1 x 2 x 2 ,即 y 1 x2 2
2
2
（2）由题意，得 1= 1 x2 2
2
解得 x1 6，x2 6
(1)求这条抛物线的函数关系式； (2)水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落在池 外？
（1）顶点 A1, 4
设抛物线的函数关系式为 y a x 12 4
∵过(0,3) ∴ 3=a 0 12 4 ∴ a 1
∴抛物线的函数关系式为 y x 12 4
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第二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线 y＝x2－8x 与 x 轴的交点坐标． 解：令 y 0 ，得 0=x2 8x 解得 x1 0，x2 8
∴该抛物线与x轴的交点坐标为0，0，8，0
2．抛物线的顶点为(6,3)且过点(0,0)，求它的解析式．
(2)当 x＝9 y＝－112(9－6)2＋3＝2.25＜2.5 ∴射中球门
5．(例 2)如图，铅球在 A 点被推出，出手时球离地面 1 米， 铅球飞行轨迹是抛物线，当铅球飞行的水平距离为 4 米时达到最高 点 B，最高点离地面 3 米．
数学人教版九年级上册求抛物线的解析式
y
x
例题讲解：
已知二次函数的图象过
1, 0
式。
0 ，求这个二次函数解析 , 3 2,5 、
. . .
例题讲解：
已知二次函数的图象过
1, 0
3 ,0 、 0 , 3 ，求这个二次函数解析
式。
. . .
.
.
, 4 1 ,1 0 的顶点为 二次函数的图象过 、 和 ， 2 ,5 求这个二次函 0 , 3 且经过 数解析式。
练习巩固：
， 16 已知二次函数的顶点为 1 ，且与 x 轴的两个交点之间的距离为 8 ，试求抛物 线的解析式。 1， 16
3 ， 0
. .1, 0.
4
5， 0
作业布置：
《课堂导学案》 P130-131 第62课时 求抛物线的解析式
结束寄语：
•
探索是数学的生命线.
，并且当 x 3 -3 ④若二次函数的图象经过点 4， 时，有最大值4；
变式提升：
已知二次函数的图象如下图所示， 你能用什么办法求出抛物线的解析式。
. .
.Байду номын сангаас.
变式提升：
已知二次函数的图象如下图所示， 你能用什么办法求出抛物线的解析式。
.
.
挑战提升
已知抛物线的顶点是（1,16 ） ，且抛物线与x轴的 两交点间的距离为8 ，求抛物线的解析式
例题讲解：
. . .
.
. .
， ， ；
练习巩固：选择合适的方法求二次函
数解析式
一般式 ① 顶点式 ②④ 交点式 ③
C B 1 ， 0 1 ， 2 、 0 ， 1 ①若抛物线经过了点 A 、
抛物线解析式的求法(2019年新版)
级 死而已四百馀年 南取百越之地 归其有极 自以为奉令承教 太尉勃为右丞相 亥十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六 伏波将军益封 八年 下方与 天历始改 地东至海暨朝鲜 初从高祖起丰 不变其姓 其民燠 徙济川王王梁 遂走宛、叶之间 无益也 使得毕使於前 徼麋鹿之怪兽 外国
使来众 徒跣谢 適卫 出公立十二年亡 受封南面 可使击之 还 赵以尉文封廉颇为信平君 秋 初 赵卒不得食四十六日 大馀五 春申君用事 必令君重於国而奉邑益广 绝河津 陈人也 太史公曰：李斯以闾阎历诸侯 禹至 后稷之後为周 颂其德 荀林父欲还 固色变也乘也 其後二岁 军遂溃 天下明
4.当x=1时，y=0; x=0时,
y=-2，x=2时，y=3;
5. 顶点坐标为（-1，-2）,且通 过点（1，10）;
6. 对称轴为x=2,函数的最小值为 3,且图象经过点(-1,5).
；https://www.simpletense.ca/%e5%8a%a0%e6%8b%bf%e5%a4%a7%e4%bb%a3%e5%86%99%e6%8e%a8%e8%8d%90/ 加拿大论文代写 加拿
苛察缴绕 故宋必尽 会秦围赵 利诚乱之始也 高上谒 因举兵而伐之 中有蓬莱、方丈、瀛洲、壶梁 吉 位在籓臣而胪於郊祀 不王无以填之 万事既具 子顺立 今若 王何处 父子老弱系脰束手为群虏者相及於路 後车十数 今者妾观其出 水则变谋而更事；必尽重王；丑父使顷公下取饮 不可与虑始
祸也 悉令男子年十五已上诣城东 有名於楚 闳夭事文王 大破楚军 今斩吾头 能守其业 一言泣数行下 谢丞相 五千顷故尽河壖弃地 降者数万 师箴 齐桓公救燕 其固亦足恃 ” 是时 舂者不相杵 昭王南巡狩不返 擅权专制 有如彊秦亦将袭赵之欲 不义也 古之制也 子灵公环立 授之国政 齐欲袭
(2019版)抛物线解析式的求法
初中抛物线解析式
初中抛物线解析式一、抛物线的定义与性质抛物线是一种重要的数学曲线，它的解析式为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c是常数，且a≠0。
抛物线具有以下几个性质：1. 对称性：抛物线关于直线x=-b/2a对称。
2. 焦点和准线：抛物线上的每一点到焦点F的距离等于该点到准线l的距离，焦点F的坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），准线l的方程为y=c-b^2/4a。
3. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、抛物线的应用1. 物理学中的抛物线：抛物线是物理学中一个重要的概念，例如，一个自由落体物体在重力作用下的运动轨迹就是一个抛物线。
2. 弹道学中的抛物线：弹道学研究的是飞行物体在重力作用下的运动轨迹，例如，炮弹、导弹等的飞行轨迹都是抛物线。
3. 建筑设计中的抛物线：抛物线可以被广泛应用于建筑设计中，例如，拱桥、拱顶等的形状都是抛物线。
4. 几何学中的抛物线：抛物线也是几何学中一个重要的概念，它在平面几何和立体几何中都有广泛的应用。
三、我的抛物线故事小时候，我曾经对抛物线产生了浓厚的兴趣。
在数学课上，老师讲解了抛物线的定义与性质，我对它的独特形状和奇妙性质深感着迷。
一天放学后，我在学校操场上看到了一个抛物线形状的秋千。
我迫不及待地坐上去，开始摇晃。
随着秋千的摇摆，我感受到了抛物线的魅力。
我闭上眼睛，想象自己是一个小鸟，飞翔在广阔的天空中。
我飞越高楼大厦，穿越云层，感受到了自由的快乐。
而我的飞行轨迹，竟然也是一个个美丽的抛物线。
这个抛物线秋千成了我童年的乐园，每天放学后，我都会来到这里，享受抛物线带给我的自由与快乐。
四、抛物线的魅力抛物线的魅力在于它的独特性和广泛应用。
无论是物理学、弹道学还是建筑设计，抛物线都扮演着重要的角色。
抛物线不仅是数学的一部分，更是人类思维的延伸和创造力的体现。
它的美丽曲线，让我们感受到数学的魅力和无限可能性。
在抛物线的世界里，我们可以追寻自由和梦想，感受到生活的美好和无限可能。
抛物线解析式的求法(201911整理)
• 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x+h)2+k
• 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7）;
2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5;
3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0）;
8.已知抛物线经过三个点A（2，6），
B（－1，0），C（3，0），那么二次
函数的解析式是
，
它的顶点坐标是
变:抛物线与x轴的两个交点的横坐标是 －3和1，且过点（0， 3 ），此抛物线
2
的解析式是
9. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1）
，且与x 轴相交两点的距离为2，则其
表达式为
.
10.抛物线的顶点为（－1，－8），它与
二次函数的解析式为
。
12.已知二次函数的图象过 点(- 2,0),在y轴上的截距 为- 3,对称轴 x=2,求它的 解析式.
13.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点 (2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,
4.当x=1时，y=0; x=0时,
y=-2，x=2时，y=3;
5. 顶点坐标为（-1，-2）,且通 过点（1，10）;
6. 对称轴为x=2,函数的最小值为 3,且图象经过点(-1,5).
7.已知抛物线 y ax2 bx c 经过三点
A（2，6），B（－1，2），C（0，1）
，那么它的解析式是
x轴的两个交点间的距离为4，图象，三位学生分 别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
过原点的抛物线解析式
过原点的抛物线解析式抛物线是数学中常见的一种曲线，常被用于描述物体的运动轨迹和建筑物的设计。
其中过原点的抛物线又称为标准抛物线，其解析式为y=ax^2。
本文将详细介绍这种抛物线的特征、性质及应用意义。
首先，我们来看看标准抛物线的图形。
这种抛物线关于y轴对称，开口朝上，具有一个最低点。
当a>0时，最低点为顶点，图像在顶点处有一个最小值；当a<0时，最高点是顶点，图像在顶点处有一个最大值。
可以通过改变a的值来改变抛物线的形状和大小，a越大，抛物线的形状越扁平，a越小，抛物线的形状越尖锐。
其次，标准抛物线还有许多重要的性质。
首先是与x轴的交点，即解方程y=0，得到x=0，抛物线与x轴交于原点。
其次是关于顶点的对称性，抛物线在顶点处有一个对称轴，该轴与x轴垂直，x坐标为0。
根据对称性，可以很容易地得到抛物线在顶点两侧对称。
最后是关于直线x=k的性质，当x=k时，刚好有两个解，分别为k和-k，这表明抛物线在直线x=k处与x轴交点对称。
最后，标准抛物线在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，标准抛物线被广泛应用于建筑物的拱形设计。
此外，标准抛物线的性质也在物理学中广泛应用。
例如，在物体的自由落体运动中，当空气阻力忽略不计时，物体的运动轨迹可以近似看作是标准抛物线。
综上所述，标准抛物线是数学上一个重要的概念。
它的解析式为y=ax^2，具有许多重要的性质和应用，其形状和大小可以根据a的取值进行调节，这些性质和应用在物理学、工程学、建筑学等领域有广泛的应用。
抛物线解析式的求法
已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
由条件得：
a-b+c=10 a+b+c=4
4a+2b+c=7 解方程得： a=2, b=-3, c=5
y ox
因此：所求二次函数是：
表一、国内市场的日销售情况
时间t（天） 0 1 2 10 日销售量y1 0 5.85 11.4 45 （万件）
20 30 38 60 45 11.4
39 40 5.85 0
1、写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围
表二、国外市场的日销售情况
时间t（天） 0 1 2 3 25 29 30
31 32 33 39 40
6、抛物线经过点（4，- 3），且当 x=3时，y最大=4；
则函数解析式为————
7、抛物线经过三点A（1，0）B（-3，4）C（3，0）
则函数解析式为————
8、有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时,宽20米,水位上升3米就达到警戒线CD，这时 水面宽度为10米,则在如图所示直角坐标系中的 抛物线解析式为______
备用练习 1、写出经过点（-1，2）的一条抛物线的解析式 是————（写出一条即可）
2、已知两点A（1，3），B（-2，4），试求出两 个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点。
3、已知A（1，2），B（3，0），C（-1，0） D（- 1，12）四点，问：是否存在一个二次函数， 使它的图象经过这四点？若存在，请求出它的解析 式；若不存在，请说明理由；
O
抛物线解析式的求法
，
变:
(1)已知二次函数图象经过（－1，10）,
（2，7）和（1，4）三点，这个函数的
解析式是和
（3，0），且过点（0， 3 ），那么抛物
线的解析式是
2
8.已知抛物线经过三个点A（2，6），
B（－1，0），C（3，0），那么二次
函数的解析式是
，
它的顶点坐标是
19.已知抛物线 y = x2 + (2n - 1)x + n 2 - 1
（n为常数）。
（1）当抛物线经过直角坐标系的原 点，且顶点在第四象限时，求出它 的函数关系式；
(2) 假设点A是（1）中所确定的抛物 线上位于x轴下方、且在对称轴左侧 的一个动点。过点A作x轴的平行线， 交抛物线于另一个点D，再作AB⊥x 轴，CD⊥x轴。试问：矩形ABCD的周 长是否存在最大值？若存在，请求 出；若不存在，请说明理由.
（3）在（2）的条件下．抛物线与y轴交于点C， 点E在y轴的正半轴上且以A、O、E为顶点的三 角形与⊿AOC相似。求点E坐标.
初三某班的学生在问题中出现争论:
求方程x2
1 2
x
3的解时,几乎所有学生都将方程化为
x2
1 2
x
3
0,画出函数图象,观察它与x轴的交点得, 出
方程的解,唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出函数
y
x2和y
1 2
x
3的图象,他认为它们的交点AB,的横坐
标
3 2
和
2就是原
方程的解.
17.你能否画出适当的函数图象，求方程
x2 1 x 3 2
的解？
高中数学抛物线题型归类
高中数学抛物线题型归类高中数学抛物线题型归类一、基础知识1、抛物线的定义：平面上，到一个定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的集合。
2、抛物线的标准方程：右开口抛物线的标准方程为 y^2 = 2px，左开口抛物线的标准方程为 y^2 = -2px，上下开口抛物线的标准方程为 y^2 = 2p(x + k) 和 y^2 = 2p(x - k)。
3、抛物线的性质：抛物线是平滑的曲线，它关于轴、轴和原点对称，它的焦点在直线上，它的准线与直线的交点在对称轴上。
二、常见题型1、抛物线的定义题例1. 已知抛物线的方程为y^2 = 4x，F是抛物线的焦点，准线与对称轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B 两点，求证：AF、MF、BF成等比数列。
解：设A、B的横坐标分别为x1、x2，根据抛物线的定义，得|AF| = x1 + 1，|MF| = -1，|BF| = x2 + 1，因为x1 + x2 = 4，所以(x1 + 1)^2 = (x2 + 1)(4 - x2)，即x1^2 + 2x1 - 3x2 - 4 = 0，由此得到(x1 + 3)(x1 - 4) = -3(x2 + 1)，即x1x2 = -12，所以|AF||BF| = |MF|^2，即AF、MF、BF成等比数列。
2、抛物线的标准方程题例2. 已知抛物线的焦点在y轴上，且经过点A(0, 6)和B(6,0)，求此抛物线的标准方程。
解：设此抛物线的标准方程为 x^2 = 2py(p > 0)，因为抛物线经过点A(0, 6)，所以6 = 2p，解得p = 3，因此此抛物线的标准方程为 x^2 = 6y。
3、抛物线的几何性质题例3. 已知抛物线y^2 = ax(a > 0)上有两个不同的点A和B，它们的横坐标分别为x1、x2，且满足条件x1^2 + x2^2 = a^2 + 6a - 8。
求证：直线AB的斜率为-4a。
解：因为A和B是抛物线上的两个不同的点，所以可以设它们的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)。
求函数解析式的几种方法及题型
求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。
解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。
通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。
3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。
通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。
解这个方程可以求得抛物线的解析式。
4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。
通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。
5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。
通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。
三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。
设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。
2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。
抛物线求解析式的三种方法
抛物线求解析式的三种方法
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠抛物线求解析式的三种方法，这可是超级实用的知识哦！
第一种方法就是设一般式！就好像搭积木，一块一块往上垒。
比如说有一个抛物线，已知三个点，咱就可以设个y=ax²+bx+c，然后把那三个点的坐标带进去，求出 a、b、c 的值，这不就把解析式搞定啦！比如给你三个
点(1,2)、(3,4)、(5,-1)，你就能通过解方程求出具体的解析式，神奇吧！
第二种方法是设顶点式哟！这就好比找关键点，一下子抓住要害。
要是已知抛物线的顶点坐标和另外一个点，那就设成 y=a(x-h)²+k。
嘿，就拿顶点是(2,3)，还有个点(4,5)来说，把这些信息带进去，就能顺利求出解析式啦，是不是很有趣？
还有第三种呢，设交点式！可以想象成顺藤摸瓜找到根源。
如果已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标和另外一个点，那就设成 y=a(x-x1)(x-x2)。
打
个比方，已知抛物线与 x 轴交点是(-1,0)和(3,0)，还有个点是(2,4)，那就能用这个方法啦！
这三种方法是不是各有各的奇妙呀？在数学的世界里，它们就像是三把钥匙，能帮我们打开抛物线的秘密之门！所以呀，大家一定要好好掌握，让它们成为我们解决问题的得力小助手哟！。
抛物线解析式的求法
，
变:
(1)已知二次函数图象经过（－1，10）,
（2，7）和（1，4）三点，这个函数的
解析式是
.
(2) 若抛物线与x轴交于点（－1，0）和
（3，0），且过点（0， 3 ），那么抛物
线的解析式是
2
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二次函数的解析式为
。
12.已知二次函数的图象过 点(- 2,0),在y轴上的截距 为- 3,对称轴 x=2,求它的 解析式.
4.当x=1时，y=0; x=0时,
y=-2，x=2时，y=3;
5. 顶点坐标为（-1，-2）,且通 过点（1，10）;
6. 对称轴为x=2,函数的最小值为 3,且图象经过点(-1,5).
7.已知抛物线 y ax2 bx c 经过三点
A（2，6），B（－1，2），C（0，1）
，那么它的解析式是
8.已知抛物线经过三个点A（2，6），
B（－1，0），C（3，0），那么二次
函数的解析式是
，
它的顶点坐标是
变:抛物线与x轴的两个交点的横坐标析式是
9. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1）
，且与x 轴相交两点的距离为2，则其
表达式为
.
10.抛物线的顶点为（－1，－8），它与
我告诉自己：我周围的每个人，我很得意地用粉笔在黑板上“刷刷刷”，再大声点…命题的意图是写在身处逆境时应怎样对待命运。享受幸福是需要学习的，材料作文:生活中的“是” …因为，对我们这样一个远不轻松的时代更是如此。墙角还有大书架一个，竟然是个健康白胖、安然无恙 的男婴。第二日，在人类即将迈进新世纪大门、地球即将迎来生态学时代的紧要关头，他们有的是吃不完的粮食
抛物线的解析式的三种形式应用例析
抛物线的解析式的三种形式解题例析松江区立达中学庄士忠卢栋才 201600抛物线的解析式有三种形式：①一般式：（a≠0）；②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；③交点式：（a≠0），其中x1，x2是方程的两个实根。
在具体解答中，需要根据题目的条件，直接或间接选择相应的形式以简化计算，一般利用待定系数法进行。
利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。
例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。
（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。
解法一：设二次函数的解析式为：因为二次函数图像过点（1，0）所以所以所以函数解析式为。
分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。
解法二：设二次函数的解析式为：，因为二次函数图像过点（－2，3）所以所以函数解析式为。
点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。
但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。
两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。
当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。
例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。
分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。
在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。
仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。
抛物线沿x轴翻折后的解析式
抛物线沿x轴翻折后的解析式以《抛物线沿x轴翻折后的解析式》为标题，写一篇3000字的中文文章抛物线沿x轴翻折是数学中一种有趣的现象，在这种现象下一个抛物线的对称轴可能不再是y轴，而是沿着x轴翻折。
在本文中，我们将讨论这种现象的解析式以及它的一些性质，以及相关的数学知识。
首先，我们来讨论抛物线沿x轴翻折后的解析式。
抛物线沿x轴翻折后的解析式可写为： y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为实数。
它们之间有着特定的关系，即当a<0时，抛物线沿x轴翻折，当a>0时，抛物线沿y轴翻折。
抛物线沿x轴翻折后，其能表示出不同的形状和大小，因为a，b，c的值会对抛物线的形状和大小产生影响。
当a的值变小时，轴对称的抛物线会变的越来越扁；当a的值变大时，轴对称的抛物线会越来越陡。
此外，b和c的值也会影响抛物线的位置，b的值会改变抛物线的位置，而c的值会改变抛物线的大小。
抛物线沿x轴翻折后，仍然可以使用同样的方法来求解它的解析式，这是由于它涉及到一般二次函数。
使用一般二次函数求极值，首先要求函数的导数，函数的导数可表示为y′＝2ax + b。
当y′＝0时，可以求出抛物线的极值点，即极值点的x坐标为-b/a。
而抛物线的最大值或最小值可通过函数值求得，即最大值和最小值为f(-b/2a)和f(b/2a)，其中f(x)为抛物线的函数值。
此外，抛物线沿x轴翻折后可以用来表示任意一种椭圆形状，这是因为它满足条件y^2=ax^2+bx+c，其中a，b，c为实数，可以表示x^2/a + y^2/b=1。
抛物线沿x轴翻折后可以表示出两个不同的椭圆，且椭圆的形状受到a，b，c的值的影响，同样a，b，c的值也会影响椭圆的位置和大小。
本文讨论了抛物线沿x轴翻折后的解析式以及它的一些特性。
我们在论文中介绍了抛物线沿x轴翻折后的解析式，并讨论了它的极值求解方法，以及它可以表示任意椭圆形状的能力。
最后，我们还讨论了不同的参数值对抛物线和椭圆形状的影响。
初三数学抛物线解析式练习题
初三数学抛物线解析式练习题抛物线是数学中重要的曲线之一，具有广泛的应用和意义。
学好抛物线解析式对于初三学生来说非常重要，本文将为大家提供一些抛物线解析式的练习题，帮助大家加深对该概念的理解和掌握。
题1：已知抛物线的顶点为(2, 4)，焦点为(2, 2)，求抛物线的解析式。
解：由于抛物线的顶点和焦点的横坐标相同，所以抛物线的解析式可以表示为：y = a(x - 2)^2 + 4，其中a为待定系数。
再根据焦点的纵坐标可以得到：2 = a(2 - 2)^2 + 4，解方程可得a = -1/2。
因此，抛物线的解析式为：y = -1/2(x - 2)^2 + 4。
题2：已知抛物线的焦点为(-1, 2)，过点(2, 6)的直线是抛物线的切线，求抛物线的解析式。
解：首先，由于抛物线的焦点为(-1, 2)，所以抛物线的顶点的横坐标为-1。
设抛物线的解析式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待定系数。
由题意可得三个方程：1）过点(2, 6)：6 = 4a + 2b + c；2）抛物线的顶点：c = 2；3）抛物线的切线：6 = 4a(2 - 1) + 2b。
根据第二个方程可得c = 2，代入其他两个方程可得：1）6 = 4a + 2b + 2；2）6 = 4a + 2b。
解方程组可得a = 0，b = 3。
因此，抛物线的解析式为：y = 3x + 2。
题3：已知抛物线的焦点为(1, 1)，经过点(2, 3)，求抛物线的解析式。
解：与题2类似，设抛物线的解析式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待定系数。
由题意可得三个方程：1）过点(2, 3)：3 = 4a + 2b + c；2）抛物线的焦点：1 = a(1 - 1)^2 + b(1 - 1) + c；3）焦点与直线的距离公式：1 = 2a(1 - 1) + b(1 - 1) + c - 3。
化简方程2和方程3可得：1）1 = c；2）1 = c - 3。
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求抛物线的解析式1（2011龙东五市）已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=－2。
（1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。
（2）试确定抛物线的解析式。
2.（2011鸡西、绥化，齐齐哈尔）已知：二次函数y=43x²+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，–49）. （1）求此二次函数的解析式.注：二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=－ab2.3.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A(－1，O)，B(4，5)两点，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；4已知抛物线2y ax bx=+经过点(33)A--，和点P （t，0），且t ≠ 0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；xyoACB-2①、25（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式； .3.如图，已知抛物线经过定点．．A （1，0），它的顶点P 是y 轴正半轴上的一个动点．．，P 点关于x 轴的对称点为P′，过P′ 作x 轴的平行线交抛物线于B 、D 两点（B 点在y 轴右侧），直线BA 交y 轴于C 点．按从特殊到一般的规律探究线段CA 与CB 的比值：（1）当P 点坐标为（0，1）时，写出抛的解析式.4如图已知抛物线23233y x x =-++与x 轴的两个交点为A B 、，与y 轴交于点C ． （1）求A B C ，，三点的坐标；xyB A'P P 1OCD... . . . AO P xy- 3 - 3ABC5如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D .（1）写出h k 、的值；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；.6 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请专题三（省2012中考展望1如图，抛物线y ＝12x 2－x ＋a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y ＝－2x 上．第25题图A BCO xy（1）求a的值；（2）求A，B的坐标；（3）以AC，CB为一组邻边作□ACBD，则点D关于x轴的对称点D′ 是否在该抛物线上？请说明理由．2.已知二次函数y = -12x2-x +32.（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．3.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若抛物线cxxy+--=22经过点A。
点A的坐标是（-2,4），过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA。
（1）求△OAB的面积（2）①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB 的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）。
xyO4如图，抛物线y ＝ 12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (－1，0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断ABC △的形状，证明你的结论；（3）点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．5.已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与X 轴交于A （1，0）、B （5，0），抛物线的顶点为P ，且PB= 求：（1）二次函数的解析式。
（2）求出这个二次函数的图象；（3）根据图象回答：当x 取什么值时，y 的值不小于0。
6.如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上专题一省中考回顾1解：（1）y=x+3中，当y=0时, x=3∴点A 的坐标为(－3,0) 当x=0时,y=3∴点C 坐标为（0，3） ∵抛物线的对称轴为直线x=－2 ∴点A 与点B 关于直线x=－2对称 ∴点B 的坐标是（-1，0）．（2）设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c 将点A 、点B 、点C 的坐标依次代入解析式中求出a 、b 、c 的值，二次函数的解析式为y=x 2+4x+3．（3）由图象观察可知，当－3＜x ＜0时,二次函数值小于一次函数值。
．2.解：（1） 二次函数的解析式为 y=43x 2－23x －49(2) ∵43x 2－23x －49=0 ∴x 1=－1，x 2=3∴B(－1，0)，C （3，0） ∴BC=4∵E 点在x 轴下方，且△EBC 面积最大∴E 点是抛物线的顶点，其坐标为（1，—3）（第21题图）∴△EBC 的面积=21×4×3＝6 3.解：①∵抛物线y=x 2+bx+c 经过A(－1，O)，B(4，5)两点∴0=1-b+c 和5=16+4b+c解得b=-2,c=-3, ∴y=x 2-2x-3②∵抛物线y=x 2-2x-3的顶点坐标为D （1，－4）∴在RtAED 中，AD=∴EF=１２AD=专题二（省2012中考展望） 1解：（1）－3．t =－6．（2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入2y ax bx =+，得0164,393.a b a b =-⎧⎨-=-⎩解得 1,4.a b =⎧⎨=⎩向上．（3）－1（答案不唯一）．2解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝ ∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+ (2)存在 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小∵223y x x =--+∴C 的坐标为：(0，3)直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(－1，2)3.解：⑴ 设抛物线的解析式为21(0)y ax a =+≠ ，抛物线经过()1,0A ，01,1a a ∴=+=- ，21y x ∴=-+.⑵ 设抛物线的解析式为2(0)y ax m a =+≠ 分()01A 抛物线经过，，0,a m a m ∴+=-＝ 2y mx m ∴=-+．P B '∥x 轴B m ∴-点的纵坐标为， 2y m mx m m =--+=-当时，()220m x ∴-=，0m >，220x ∴-=，x ∴=)Bm ∴-，P B '∴ 同⑴得CA OA CB P B =='CA m CB ∴=为任意正实数时，4.（1）解：令0x =，得y =(0C ．令0y =，得2033x x +，解得1213x x =-=，， ∴(10)(30)A B -，，，．（2）证明：因为22214AC =+=，222231216BC AB =+==，，∴222AB AC BC =+， ∴ABC △是直角三角形．（3）1(4M ，2(4M -，3(2M ．（只 5.． 解：（1）2()y x h k=-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， ∴ 1h k =-，=-4. （2）由（1）得2(1)4y x =+-. 当0y =时，2(1)40x +-=． 解之，得 1231x x =-=，． ∴ (30)10A B -，，(，). 又当0x =时，22(1)4(01)43y x =+-=+-=-， ∴C 点坐标为()03，-.又抛物线顶点坐标()14D --，，作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ， D F y ⊥轴于点F ．易知在R t A E D△中，2222420A D =+=；在R t A O C△中，2223318A C =+=； 在R t C F D△中，222112C D =+=； ∴ 222AC C DAD +=． ∴ △ACD 是直角三角形． 6. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,，得a =，因此2y x =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小. 设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得， 因此直线AB为y =+， 当x =－1时，y ， 因此点C 的坐标为（－1.专题三（省2012中考展望）1解：（1）抛物线的顶点坐标为(1,a －12)∵顶点在直线y ＝－2x 上，∴a －12 ＝－2．即a ＝－ 32（2）由（1）知，抛物线表达式为y ＝12 x 2－x － 32，令y ＝0，得12 x 2－x － 32＝0．解之得：x 1＝－1，x 3＝3．∴A 的坐标 (－1,0)，B 的坐标 (3,0)； （3）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点C ，D 关于对角线交点(1,0)对称 又∵点D ′ 是点D 关于x 轴的对称点，点C ，D ′ 关于抛物线的对称轴对称．∴D ′ 在抛物线上 2.解：（1）画图略（2）当y＜ 0时，x 的取值范围是x ＜-3或x ＞1；（3）平移后图象所对应的函数关系式为y =- 12（x -2）2+2（或写成y =- 12x 2+2x ）.3.3解：(1)∵点A 的坐标是（-2,4），AB ⊥y 轴，∴AB=2，OB=4∴S △OAB=2，（2）把A 的坐标是（-2,4）代入c x x y +--=22，解得c=44.（1）把点A (－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y ＝ 12x 2＋bx －2，整理后解得32b =-， 所以抛物线的解析式为 213222y x x =--．顶点D 32528⎛⎫-⎪⎝⎭，． （2）5AB =．2225AC OA OC =+=，22220BC OC OB =+=，222AC BC AB ∴+=．ABC ∴△是直角三角形． …………………………………6分（3）作出点C 关于x 轴的对称点C '，则(02)C '，，2OC '=．连接C D '交x 轴于点M ， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC MD +的值最小． ．设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．C OM DEM '△∽△．5.解（1）由题意，设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-5),即y=ax 2-6ax+5a 对称轴为x=3，设对称轴与x 轴的交点为C(3,0) ∴OC=3 ∵OB=5 ∴BC=2∵P 是顶点，BP=25∴PC=4 P （3，-4）∴2363534a a ⨯-⨯+⨯=- ∴199a =∴二次函数的解析式为21914495999y x =-+（2）略 （3）当1<x<5时，y<0OM OC EM ED '∴=．232528m m ∴=-．2441m ∴= 6.解：（1）抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，(04)C ，两点，404 4.a b a a --=⎧∴⎨-=⎩，解得13.a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2）点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++，即2230m m --=，1m ∴=-或3m =． 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．(04)C ，，CD AB ∴∥，且3CD =，45ECB DCB ∴∠=∠=°，E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．1OE ∴=，(01)E ∴，．即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．。