有界弱连续算子的性质
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证 明 对 Ｖ 厂 ∈Ｅ ， 设 ‘ ， ∈ （ ｍ ＝１ ， ２ ， …） ， 且 ‘ 弱 收 敛 于 。 ． 有
ｌ ／ ｔ Ｆ （ ‘ ’ ） ］ 一 ， ［ Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ≤ｌ Ｆ （ ’ ） ］ 一 Ｆ （ ’ ） ］ ｌ ＋
Ｆ ｌ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＋Ｉ Ｆ （ 。 ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ １ ．
有 界 弱连 续算 子 的性 质
韩 松 霞
（ 西 华 大 学 数 学 与 计 算机 学 院 ， 四川 成 都 ６ １ ０ ０ ３ ９ ）
摘 要 ： 主要 对弱连 续算 子进行 研 究 ， 给 出了弱连 续 算子的 线性性 质和有界 弱连 续算 子的极
限性质 ， 并证 明 了有界 弱连 续算子所 构成 的 空间为 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间． 关 键词 ： 弱连 续 ； 有界 弱连 续算 子 ； 一 致收敛 ； Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间
设 Ｆ ， Ｆ∈Ｂ （ 力）
．
上一 致 收敛于 Ｆ ．
２ 主 要 结果
定理 １ 设 Ｆ， Ｇ是 映 入 Ｅ 的弱连续 算子 ， 则 Ｆ＋Ｇ， Ｆ在 上仍 为弱 连续算 子． 其中 Ｏ ／ 为 常数． 证 明 Ｆ， Ｇ是 映 入 Ｅ 。 的弱连 续算子 ， 对Ｖ ， 。 ∈ ， 弱收敛 于 。 ， 则有
第３ ２卷 第 ５期
２ ０ １ ３年 ９月
许 昌 学 院 学报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＸＵＣＨＡＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ
Ｖ０ １ ．３ ２． ＮＯ ．５
Ｓ ｅ ｐ． ２ ０１ ３
文章编号： １ ６ ７ １— ９ ８ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ ２ ０— ０ ３
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２—０ ６—２ ９
作者简介 ： 韩松霞（ １ ９ ７ ８ 一 ）， 女， 河 南汝 州人 ， 讲师， 硕士， 研 究 方向 ： 泛 函 分析
第３ ２卷 第 ５期
＝
韩松 霞 ： 有界 弱连 续 算子 的性质
２ １
１ ｉ ｍ Ｉ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ Ｉ
由 于 厂为 有 界 线 性 泛 函 ，
＿ ｌ 。
１ ／ ｔ Ｆ （ ‘ ｍ ） ］ 一 Ｆ（ ‘ ｍ ） ］ ｌ ≤Ｉ ｌ ｆ １ １ ・ ｌ Ｉ Ｆ （ ‘ ｍ ） ］ 一 Ｆ （ ‘ ） Ｉ ｌ ＜ 詈， Ｆ ｌ （ 。 ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ Ｉ ≤＿ ｌ ， ｌ ｌ ・ｌ ｌ Ｆ （ 。 ） 一 Ｆ （ 。 ） ｌ ＜ ÷，
由于 ｎ 一。 。 时 Ｉ Ｉ Ｆ 一Ｆ ｌ ｌ 一０ ， 对Ｖ ｓ＞ ０ ， 总存在 正整 数 Ｎ， ｎ＞Ｎ时 ， 对 Ｖ ∈力
ｌ ｌ Ｆ
当 然 有
）ｌ Ｉ＜
，
ｌ １ Ｆ （
）一 Ｆ（
）ｌ ｌ＜
，
和
（ 。 ） 一 Ｆ （ 。 ） ｌ ＜
＝
ｌ ｉ ｍ Ｆ ｌ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ
ｌ ｉ ｍ １ ｌ Ｆ ｌ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０ ，
＝Baidu Nhomakorabea
所以 ， ａ Ｆ为弱 连续算 子．
定理 ２ 设 ｛ Ｆ ｝ 是 上 一致 收敛 于 Ｆ的有 界 弱连续 算子 列 ， 则 Ｆ在 上也 是弱 连续算 子
即 有
ｌ ｉ ｍ （ Ｉ Ｆ＋ Ｇ ） （ ） ］ 一 （ Ｆ＋ Ｇ ） （ 。 ） ］ ｛ ＝ ０ ，
所 以， Ｆ＋Ｇ是弱 连续算 子．
因为 Ｆ为弱连续算子 ， 有ｌ ｉ ｍ ｌ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０ ， 而 ｌ ｉ ｍ ｌ ｆ Ｅ （ Ｆ ） （ ） ］ 一 （ Ｆ ） （ 。 ） ］ ｌ
＝
Ｉ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ＋ Ｇ （ ） ］ 一 ， ［ Ｆ （ 。 ） ＋ Ｇ （ 。 ） ］ ｌ
＝
ｌ ｆ ［ Ｆ （ ） ］ 一 ／ ［ Ｆ （ 。 ） ］ ＋ 厂 ［ Ｇ （ ） ］ 一 ｆ ［ Ｇ （ 。 ） ］ ｌ
≤ｌ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］＋ Ｇ （ ） ］ 一 ｆ Ｅ Ｇ （ 。 ） ］ Ｉ 一０ ．
ｌ ｉ ｍ ｌ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０ ，
ｌ ｉ ａ ｒ Ｊ ｆ Ｅ Ｇ （ ） ］ 一 Ｇ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０ ．
（ Ｆ＋Ｇ ） （ ） ＝Ｆ（ ）＋ Ｇ（ ） ， ｆ为有 界线性 泛 函． 则有
（ ｌ Ｆ＋ Ｇ ） （ ） ］ 一 ｆ Ｅ （ Ｆ＋ Ｇ ） （ 。 ） ］ ｌ
ｌ ｉ ｍ ｌ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０
定义 ２
（ Ｖ ｆ ｅ Ｅ ） ．
（ ｎ＝１ ， ２ ， …） ． 若 ｎ 一 ∞时 ｌ ｌ Ｆ 一 Ｆ Ｉ Ｉ 一０ ， 则称 ｛ Ｆ ｝ 当ｎ 一 ∞时在
若 Ｆ在 力 内每一点 均是 弱连续 的 ， 则 称 Ｆ在 上弱连 续．
中图分 类号 ： ０１ ７ ７ ． ３ 文献标 识码 ： Ａ
１ 预 备 知 识
设 Ｅ， Ｅ。 为Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间 ， ＯＣ Ｅ； 。 （ ） 表示 映 入 Ｅ 的所有 有界 算子构 成 的集 ； （ 力） 表 示 映 力 人
．
Ｅ 的所有 有界 弱连续 算子构 成 的集． 定义 １ 称算 子 Ｆ： 一Ｅ 。 在 点 。 ∈ 力 弱连续 ， 是指 ： 若对 于任何 弱 收敛 于 。的序 列 ｛ ｝ Ｃ ｎ， 都 有
ｌ ／ ｔ Ｆ （ ‘ ’ ） ］ 一 ， ［ Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ≤ｌ Ｆ （ ’ ） ］ 一 Ｆ （ ’ ） ］ ｌ ＋
Ｆ ｌ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＋Ｉ Ｆ （ 。 ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ １ ．
有 界 弱连 续算 子 的性 质
韩 松 霞
（ 西 华 大 学 数 学 与 计 算机 学 院 ， 四川 成 都 ６ １ ０ ０ ３ ９ ）
摘 要 ： 主要 对弱连 续算 子进行 研 究 ， 给 出了弱连 续 算子的 线性性 质和有界 弱连 续算 子的极
限性质 ， 并证 明 了有界 弱连 续算子所 构成 的 空间为 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间． 关 键词 ： 弱连 续 ； 有界 弱连 续算 子 ； 一 致收敛 ； Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间
设 Ｆ ， Ｆ∈Ｂ （ 力）
．
上一 致 收敛于 Ｆ ．
２ 主 要 结果
定理 １ 设 Ｆ， Ｇ是 映 入 Ｅ 的弱连续 算子 ， 则 Ｆ＋Ｇ， Ｆ在 上仍 为弱 连续算 子． 其中 Ｏ ／ 为 常数． 证 明 Ｆ， Ｇ是 映 入 Ｅ 。 的弱连 续算子 ， 对Ｖ ， 。 ∈ ， 弱收敛 于 。 ， 则有
第３ ２卷 第 ５期
２ ０ １ ３年 ９月
许 昌 学 院 学报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＸＵＣＨＡＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ
Ｖ０ １ ．３ ２． ＮＯ ．５
Ｓ ｅ ｐ． ２ ０１ ３
文章编号： １ ６ ７ １— ９ ８ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ ２ ０— ０ ３
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２—０ ６—２ ９
作者简介 ： 韩松霞（ １ ９ ７ ８ 一 ）， 女， 河 南汝 州人 ， 讲师， 硕士， 研 究 方向 ： 泛 函 分析
第３ ２卷 第 ５期
＝
韩松 霞 ： 有界 弱连 续 算子 的性质
２ １
１ ｉ ｍ Ｉ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ Ｉ
由 于 厂为 有 界 线 性 泛 函 ，
＿ ｌ 。
１ ／ ｔ Ｆ （ ‘ ｍ ） ］ 一 Ｆ（ ‘ ｍ ） ］ ｌ ≤Ｉ ｌ ｆ １ １ ・ ｌ Ｉ Ｆ （ ‘ ｍ ） ］ 一 Ｆ （ ‘ ） Ｉ ｌ ＜ 詈， Ｆ ｌ （ 。 ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ Ｉ ≤＿ ｌ ， ｌ ｌ ・ｌ ｌ Ｆ （ 。 ） 一 Ｆ （ 。 ） ｌ ＜ ÷，
由于 ｎ 一。 。 时 Ｉ Ｉ Ｆ 一Ｆ ｌ ｌ 一０ ， 对Ｖ ｓ＞ ０ ， 总存在 正整 数 Ｎ， ｎ＞Ｎ时 ， 对 Ｖ ∈力
ｌ ｌ Ｆ
当 然 有
）ｌ Ｉ＜
，
ｌ １ Ｆ （
）一 Ｆ（
）ｌ ｌ＜
，
和
（ 。 ） 一 Ｆ （ 。 ） ｌ ＜
＝
ｌ ｉ ｍ Ｆ ｌ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ
ｌ ｉ ｍ １ ｌ Ｆ ｌ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０ ，
＝Baidu Nhomakorabea
所以 ， ａ Ｆ为弱 连续算 子．
定理 ２ 设 ｛ Ｆ ｝ 是 上 一致 收敛 于 Ｆ的有 界 弱连续 算子 列 ， 则 Ｆ在 上也 是弱 连续算 子
即 有
ｌ ｉ ｍ （ Ｉ Ｆ＋ Ｇ ） （ ） ］ 一 （ Ｆ＋ Ｇ ） （ 。 ） ］ ｛ ＝ ０ ，
所 以， Ｆ＋Ｇ是弱 连续算 子．
因为 Ｆ为弱连续算子 ， 有ｌ ｉ ｍ ｌ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０ ， 而 ｌ ｉ ｍ ｌ ｆ Ｅ （ Ｆ ） （ ） ］ 一 （ Ｆ ） （ 。 ） ］ ｌ
＝
Ｉ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ＋ Ｇ （ ） ］ 一 ， ［ Ｆ （ 。 ） ＋ Ｇ （ 。 ） ］ ｌ
＝
ｌ ｆ ［ Ｆ （ ） ］ 一 ／ ［ Ｆ （ 。 ） ］ ＋ 厂 ［ Ｇ （ ） ］ 一 ｆ ［ Ｇ （ 。 ） ］ ｌ
≤ｌ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］＋ Ｇ （ ） ］ 一 ｆ Ｅ Ｇ （ 。 ） ］ Ｉ 一０ ．
ｌ ｉ ｍ ｌ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０ ，
ｌ ｉ ａ ｒ Ｊ ｆ Ｅ Ｇ （ ） ］ 一 Ｇ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０ ．
（ Ｆ＋Ｇ ） （ ） ＝Ｆ（ ）＋ Ｇ（ ） ， ｆ为有 界线性 泛 函． 则有
（ ｌ Ｆ＋ Ｇ ） （ ） ］ 一 ｆ Ｅ （ Ｆ＋ Ｇ ） （ 。 ） ］ ｌ
ｌ ｉ ｍ ｌ ｆ Ｅ Ｆ （ ） ］ 一 Ｆ （ 。 ） ］ ｌ ＝ ０
定义 ２
（ Ｖ ｆ ｅ Ｅ ） ．
（ ｎ＝１ ， ２ ， …） ． 若 ｎ 一 ∞时 ｌ ｌ Ｆ 一 Ｆ Ｉ Ｉ 一０ ， 则称 ｛ Ｆ ｝ 当ｎ 一 ∞时在
若 Ｆ在 力 内每一点 均是 弱连续 的 ， 则 称 Ｆ在 上弱连 续．
中图分 类号 ： ０１ ７ ７ ． ３ 文献标 识码 ： Ａ
１ 预 备 知 识
设 Ｅ， Ｅ。 为Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间 ， ＯＣ Ｅ； 。 （ ） 表示 映 入 Ｅ 的所有 有界 算子构 成 的集 ； （ 力） 表 示 映 力 人
．
Ｅ 的所有 有界 弱连续 算子构 成 的集． 定义 １ 称算 子 Ｆ： 一Ｅ 。 在 点 。 ∈ 力 弱连续 ， 是指 ： 若对 于任何 弱 收敛 于 。的序 列 ｛ ｝ Ｃ ｎ， 都 有