2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(北京卷)
2004年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学
普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文史类)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3至9页.共150分.考试时间120分钟. 第I 卷（选择题 共40分） 注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：三角函数的积化和差公式sin cos [sin()sin()]αβαβαβ=++-12 cos sin [sin()sin()]αβαβαβ=+--12cos cos [cos()cos()]αβαβαβ=++-12sin sin [cos()cos()]αβαβαβ=-+--12正棱台、圆台的侧面积公式 S c c l 台侧=+12(')其中c ’，c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长球体的表面积公式S R 球=42π其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则M N ⋂等于 （ ）A. {|}x x 12<<B. {|}x x -<<21C. {|}x x 12<≤D.{|}x x -≤<212．满足条件||||z i =+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D.椭圆3．设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n //④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ//其中正确命题的序号是 （ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④4．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是 （ ）A. ab ac >B. c b a ()-<0C. cb ab 22<D.ac a c ()->05．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中， 以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则mn等于 （ ）A. 0B. 14C. 12D.346．如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与 直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线7．函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ） A. a ∈-∞(,]1 B. a ∈+∞[,)2 C. a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 D . a ∈[,]12 8．函数f x x x P x x M(),,=∈-∈⎧⎨⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅③若P M R ⋃=，则f P f M R ()()⋃=④若P M R⋃≠，则f P f M R ()()⋃≠其中正确判断有 （ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D.0个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．函数f x x x ()sin cos =的最小正周期是______________. 10．方程lg()lg lg x x 223+=+的解是______________.11．圆x y 2211++=()的圆心坐标是______________，如果直线x y a ++=0与该圆有公共点，那么实数a 的取值范围是______________.12．某地球仪上北纬30 纬线的长度为12πcm ，该地球仪的半径是__________cm ，表面积是______________cm 2.13．在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________. 14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，且这个数列的前21项和S 21的值为______________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分） 在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求tgA 的值和∆ABC 的面积 16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝2，AA 12=，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M ，求：（I ）三棱柱的侧面展开图的对角线长; （II ）该最短路线的长及A MAM1的值; （III ）平面C MB 1与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小1C17．（本小题满分14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x y11,），B（x y22,）均在抛物线上。
2004年高考全国卷(4)文科数学
2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅳ）文科数学(甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,3,5}M =，{1,4,5}N =，则()U MC N =A ．{5}B ．{0,3}C ．{0,2,3,5}D ．{0,1,3,4,5} 2．函数)(2R x e y x ∈=的反函数为A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45角，则此三棱柱的体积为 A ．26 B ．6 C ．66 D ．36 4．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于A ．1B ．2C ．3D ．45．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度 6．等差数列}{n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知函数14log y x =与y kx =的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则kA ．41-B ．41C ．21- D ．218．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 A ．210种 B ．420种 C ．630种 D ．840种 10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于A ．3-B ．2-C ．1- D．11．已知球的表面积为20π，球面上有,,A B C 三点.如果AB AC BC ===， 则球心到平面ABC 的距离为A ．1B ．2C ．3D ．2 12．ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边.如果,,a b c 成等差数列，30B ∠=，ABC ∆的面积为23，那么b =A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A = . 15．向量a 、b 满足()(2)4a b a b -+=-，且2a =，4b =，则a 与b 夹角的余弦值等于 .16．设y x ,满足约束条件：10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且sin 4α=，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等比数列，26a =，5162a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明2211n n n S S S ++⋅≤. 19．（本小题满分12分）已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积. 20．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学得300分的概率； （Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. 21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，8AB =，AD =侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60. （Ⅰ）求四棱锥P ABCD -的体积； （Ⅱ）证明PA BD ⊥. 22．（本小题满分14分）双曲线22221x ya b-=（1a >，0b >），的焦点距为2c ，直线l 过点(,0)a 和(0,)b ，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥.求双曲线的离ABCDP心率e 的取值范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 B C A D D B A D B C A B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．28 14．23 15．21- 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=当α为第二象限角，且415sin =α时 41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．（本小题主要考查等比数列的概念、前n 项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分.解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4. a 1q=6, 依题意，得方程组a 1q 4=162. 解此方程组，得a 1=2, q=3. 故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n －1.（II ） .1331)31(2-=--=n n n S.1,113231332313231)33(3212122222122222212≤⋅=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S 即19．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分. 解：y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b所以直线l 2的方程为.92231--=x y（II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(-l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S20．本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件)3,2,1(=i A i ，则 P （A 1）=0.8，P （A 2）=0.7，P （A 3）=0.6. （Ⅰ）这名同学得300分的概率 P 1=P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=P （A 1）P （2A ）P （A 3）+P （1A ）P （A 2）P （A 3） =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228.（Ⅱ）这名同学至少得300分的概率P 2=P 1+P （A 1A 2A 3）=0.228+P （A 1）P （A 2）P （A 3） =0.228+0.8×0.7×0.6 =0.564.21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分.解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD. 作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯（Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅ 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.能过计算可得EO=3，AE=23， 又知AD=43，AB=8， 得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.22．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分.解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e。
2004年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至5页，第II 卷6至16页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共21题每题6分共126分）注意事项：1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
在下列各题的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：原子量：H1 C12 N14 O16 Mg24 P31 Cl 35.5 K39 Cu 641．在以下描述中，可以将病毒与其他微生物相区别的是（）A．能够使人或动、植物患病B．没有细胞核，仅有核酸C．具有寄生性D．由核酸和蛋白质装配进行增殖2．新生儿小肠上皮细胞通过消耗ATP，可以直接吸收母乳中的免疫球蛋白和半乳糖。
这两种物质分别被吸收到血液中的方式是（）A．主动运输、主动运输B．内吞、主动运输C．主动运输、内吞D．被动运输、主动运输3．人类21三体综合症的成因是在生殖细胞形成的过程中，第21号染色体没有分离。
若女患者与正常人结婚后可以生育，其女女患该病的概率为（）A．0 B．1/4 C．1/2 D．14．在相同光照和温度条件下，空气中CO2的关系如图所示。
理论上某种C3植物能更有效地利用CO2，使光合产量高于m点的选项是（）A．若a点在a,b点b2时B．若a点在a1，b点在b1时C．若a点在a2，b点在b1时D．若a点在a1，b点在b2时5．转基因抗虫棉可以有效地用于棉铃虫的防治。
在大田中种植转基因抗虫棉的同时，间隔种植少量非转基因的棉花或其他作物，供棉铃虫取食。
这种做法的主要目的是（）A．维持棉田物种多样性B．减缓棉铃虫抗性基因频率增加的速度C．使食虫鸟有虫可食D．维持棉田生态系统中的能量流动6．糖类、脂肪和蛋白质是维持人体生命活动所必需的三大营养物质。
2004年高考全国卷(2)文科数学
2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅱ）文科数学适用：四川、吉林、黑龙江、云南等地一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合MN =A ．{|2}x x <-B ．{|3}x x >C ．{|12}x x -<< D.{|23}x x << 2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是 A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点(1,1)-处的切线方程为A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y 4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为 A ．1)1(22=++y x B ．122=+y x C ．1)1(22=++y x D ．1)1(22=-+y x 5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是A ．6π-B ．6πC ．12π- D ．12π6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 A ．75 B ．60 C ．45 D ．30 7．函数x e y -=的图象A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称 8．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x9．已知向量a 、b 满足：1a =，2b =，2a b -=，则a b +=A ．1B ．2C ．5D ．6 10．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为A ．31B ．33C ．32D ．3611．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 12．在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．已知a 为实数，10)(a x +展开式中7x 的系数是15-，则=a .14．设y x ,满足约束条件：021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心的原点的椭圆与双曲线22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a ，29a =，521a =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n a n b 2=，求数列}{n b 的前n 项和n S . 18．（本小题满分12分） 已知锐角三角形中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （Ⅰ）求证B A tan 2tan =； （Ⅱ）设3AB =，求AB 边上的高. 19．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支. 求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，1AC =，CB =侧棱11AA =，侧面11AA B B 的两条对角线交点为D ，11B C 的中点为M . （Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面1B BD 与面CBD 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围. 22．（本小题满分14分）给定抛物线C ：24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. （Ⅰ）设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；（Ⅱ）设FB AF λ=，若[4,9]λ∈，求l 在y 轴上截距的变化范围.ABC DMA 1B 1C 12004年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题 C A B C A C D B D B B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．21- 14．5 15．1222=+y x 16．②④ 三、解答题17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，依题意得方程组⎩⎨⎧=+=+,214,911d a d a 解得.4,51==d a所以}{n a 的通项公式为.14+=n a n（Ⅱ）由,21414+=+=n n n b n a 得所以}{n b 是首项512=b ，公式42=q 的等比数列.于是得}{n b 的前n 项和 .15)12(3212)12(24445-⨯=--⨯=n n n S 18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分12分.（Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A.2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（Ⅱ）解：ππ<+<B A 2，,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ，.62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD. 则AB=AD+DB=.622tan tan +=+CDB CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7148354815=+C C C C故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=-解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C（Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21481533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为.2120．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=.2 ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B. ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3又BB 1=1，A 1B=2. ∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点， ∴CD=21A 1B=1，CD=CC 1，又DM=21AC 1=22，DM=C 1M.∴△CDM ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°，即CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平在BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM.（Ⅱ）设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG//CD ，FG=21CD. ∴FG=21，FG ⊥BD. 由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D 知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形. 于是B 1G ⊥BD ，B 1G=.23∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角， 又 B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+（2)22=23， ∴ .332123223)21()23(2cos 221212211-=⋅⋅-+=⋅-+=∠FGC B F B FG G B GF B即所求二面角的大小为.33arccos-π 解法二：如图，以C 为原点建立坐标系.（Ⅰ）B （2，0，0），B 1（2，1，0），A 1（0，1，1）， D （)21,21,22，M （22，1，0），),21,21,0(),1,1,2(),21,21,22(1-=--==DM A 则,0,01=⋅=⋅A ∴CD ⊥A 1B ，CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD 中点为G ，连结B 1G ，则 G （41,41,423），22(-=、21、21），),41,43,42(1--=B .,.,0111面角等于所求的二面角的平与又θB BD CD G B BD B ∴⊥⊥∴=⋅∴.33||||cos 11-=⋅=∴G B CD θ 所以所求的二面角等于.33arccos-π 21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数)(x f 的导数 .1)(2-+-='a ax x x f 令0)(='x f ，解得),1(,)1,1(,)1,()(,211,),1()(,211.11+∞---∞>>-+∞≤≤--==a a x f a a x f a a a x x 在内为减函数在上为增函数在函数时即当不合题意上是增函数在函数时即当或为增函数.依题意应有 当.0)(,),6(,0)(,)4,1(>'+∞∈<'∈x f x x f x 时当时 所以 .614≤-≤a 解得.75≤≤a 所以a 的取值范围是[5，7].22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。
2004年高考全国卷(1)文科数学
2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅰ）文科数学适用：河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,5}B =，则()U A C B =A ．{2}B ．{2,3}C ．{3}D ．{1,3}2．已知函数1()lg1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -= A ．b B ．b - C ．1b D ．1b - 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么3a b += A.7 B ．10 C ．13 D ．44．函数1y =（1x ≥）的反函数是A ．222y x x =-+（1x <）B ．222y x x =-+（1x ≥）C ．22y x x =-（1x <）D ．22y x x =-（1x ≥）5．73)12(x x -的展开式中常数项是A ．14B ．14-C ．42D ．426．设(0,)2πα∈，若3sin 5α=)4πα+= A ．75 B ．15 C ．72D ．4 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =A ．23B ．3C ．27 D ．4 8．设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A ．11[,]22- B ．[2,2]- C ．[1,1]- D ．[4,4]- 9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H .设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST 等于 A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中，随机抽取3个不同的数字，则这三个数字之和为偶数的概率为A ．59B ．49C ．1121D ．102112．已知221a b +=，222b c +=，222c a +=，则ab bc ca ++的最小值为A 12B ．12．12--．12+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．不等式30x x +≥的解集是 .14．已知等比数列{}n a 中，满足33a =，10384a =，则{}n a 的通项n a = .15．由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠= ，则动点P 的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线 ④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）等差数列{}n a的前n项和记为n S，已知满足1030a=，2050a=.（Ⅰ）求通项na；（Ⅱ）若242nS=，求n.18．（本小题满分12分）求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值. 19．（本小题满分12分）已知函数32()31f x ax x x=+-+在R上是减函数，求a的取值范围.20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测试，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35.试求：（Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD-，PB AD⊥，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120.（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离，（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小.22．（本小题满分14分）设双曲线C：2221(0)xy aa-=>与直线l：1x y+=相交于两个不同的点A、B.（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且512PA PB=，求a的值.PA BCD。
2004年春季高考试题——数学文(北京卷)(附解答)
2004年普通高等学校春季招生考试数学（文史）（北京卷）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在函数y x y x y x y tg x====sin sin cos 22，，，中，最小正周期为π的函数是（ ） A. y x =sin2 B. y x =sin C. y x =cos D. y tg x=22. 当m <1时，复数z m i =+-21()在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 双曲线x y 22491-=的渐近线方程是（ ） A. y x =±32B. y x =±23 C. y x =±94D. y x =±494. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 75︒5. 已知sin()cos()θπθπ+<->00，，则下列不等关系中必定成立的是（ ） A. sin θ<0，cos θ>0 B. sin cos θθ><00， C.sin cos θθ>>00，D. sin cos θθ<<00，6. 在抛物线y px 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ） A.12B. 1C. 2D. 47. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： <1>若ab bc ad >->00，，则c a d b ->0； <2>若ab c a db>->00，，则bc ad ->0 <3>若bc ad c a db->->00，，则ab >0 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ） A.77cmB. 72cmC. 55cmD. 102cm9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，恰有1件次品的不同取法的种数是（ ） A. C C 61942B. C C 61992C. P P 61942D. C C 1003943-10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M:N 为（ ）A.4041B. 1C.4140D. 2二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上11. 直线x y a -+=30（a 为实常数）的倾斜角的大小是_________12.sin()sin()cos ααα+︒--︒3030的值为____________13. 若fx -1()为函数f x x ()lg()=-1的反函数，则fx -1()的值域是_______14. 若直线mx ny +-=30与圆x y 223+=没有公共点，则m ，n 满足的关系式为____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆x y 22731+=的公共点有_________个三. 解答题：本大题共6小题，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分13分） 解不等式21x x ->-16. （本小题满分13分） 在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a c ac bc 22-=-，求∠A 的大小及b Bcsin 的值17.（I （II18. （本小题满分14分） 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行F为一个焦点的椭圆示，椭圆中心在原点近地点A 距地面200km （I ）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；（II ）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日56105⨯km （结果精确到1km/s ）（注：km/s 即千米/秒）19. （本小题满分15分） 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件（I ）设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P f x =()的表达式；（II ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本）20. （本小题满分14分） 下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数 （I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史）（北京卷）参考解答 一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分1. A2. D3. A4. C5. B6. C7. D8. C9. A 10. B二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分11. 30︒ 12. 1 13. ()1，+∞ 14. 0322<+<m n2三. 解答题：本大题共6小题，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分13分 解：原不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：210201x x -≥-<⎧⎨⎩() 或2102021222x x x x -≥-≥->-⎧⎨⎪⎩⎪()()解不等式组(1)得解集{|}x x 122≤< 解不等式组(2)得解集{|}x x 25≤< 所以原不等式的解集为{|}x x 125≤<16. 本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分13分解：（I ） a b c ，，成等比数列 ∴=b ac 2 又a c ac bc 22-=- ∴+-=b c a bc 222在∆ABC 中，由余弦定理得c o sA b c a bc bc bc =+-==2222212∴∠=︒A 60 （II ）解：在∆ABC 中，由正弦定理得sin sin B b Aa=b ac A 260=∠=︒， ∴=︒=︒=b Bc b ca sin sin sin 260603217.满分15分底面ABCD 是正方形 ∴⊥BC DC SD ⊥底面ABCD ∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影 由三垂线定理得BC SC ⊥（II ）解： SD ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形∴可以把四棱锥S ABCD -补形为长方体A B C S ABCD 111-，如图2 面ASD 与面BSC 所成的二面角就是面ADSA 1与面BCSA 1所成的二面角，SC BC BC A SSC A S⊥∴⊥，//11 又SD A S ⊥1 ∴∠C S D 为所求二面角的平面角本小题主要考查椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分 解：（I ）设椭圆的方程为x a y b22221+= 由题设条件得a c OA OF F A a c OB OF F B -=-==+=+=+==+=||||||||||||22226371200657163713506721解得a c ==664675， 所以a 244169316= b a c a c a c 2226721657144163691=-=+-=⨯=()()所以椭圆的方程为x y 2244169316441636911+= （注：由4416369166455768≈.得椭圆的方程为x y 22226646664561+=.，也是正确的） （II ）从15日9时到16日6时共21个小时，合21×3600秒减去开始的9分50秒，即9×60＋50＝590（秒），再减去最后多计的1分钟，共减去590＋60＝650（秒） 得飞船巡天飞行的时间是 21360065074950⨯-=（秒） 平均速度是600000749508≈（千米/秒） 所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s 19. 本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力满分15分 解：（I ）当0100<≤x 时，P =60当100500<≤x 时，P x x =--=-600021006250.() 所以P f x x xx x N ==<≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪∈()()6001006250100500 （II ）设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，则L P x x x x x x x N =-=<≤-<≤∈⎧⎨⎪⎩⎪()()4020010022501005002当x =450时，L =5850因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元20. 本小题主要考查等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分14分解：（I ）a 4549=（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： a j j 1431=+-() 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a j j 2751=+-() ……第i 行是首项为431+-()i ，公差为21i +的等差数列，因此a i i j ij i jij =+-++-=++4312112()()()要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得22008ij i j++=所以jii=-+ 200821当i=1时，得j=669所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列。
2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)
2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（ U B ）=（ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ． {1，3}2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若 （ ）A ．21B ．－21 C ．2D ．－2 3．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11>+-=x x y 的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57B ．51C ．27D ．47．椭圆122=+y x 的两个焦点为F 、F ，过F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[- B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于 （ ）A ．91 B ．94C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 （ ）A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x +x 3≥0的解集是 .14．已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = .15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离；（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.22．（本小题满分14分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥0} 14．3·2n －3 15．422=+y x 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组 ⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分 （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；………………9分………………6分（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x 由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分. 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD所成二面角的平面角，………………4分 ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分 （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥等于所求二面角的平面角，…………10分 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG=23， 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan23.…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率第 11 页 共 11 页 分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122ΛΛY Θ+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a a aa e （II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得Θ……8分 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222ΛΛΛ=>=----=--=a a a a x a a x a a x。
2004年普通高等学校招生全国统一考试
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）北京卷考试说明（北京教育考试院编）Ⅰ.考试性质普通高等学校招生全国统一考试是为高校招生而进行的选拔性考试。
考试的指导思想是：有助于高等学校选拔新生，有助于中学实施素质教育，有助于培养学生的创新精神与实践能力。
试题应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。
Ⅱ.考试要求数学科高考旨在考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及分析和解决问题的能力。
根据原国家教育委员会1990年颁布的《全日制中学数学教学大纲（修订本）》和有关中学数学教学内容的调整意见，对考试内容的知识要求和能力要求说明如下：1．知识要求对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求。
了解、理解、掌握为对知识的基本要求（详见Ⅳ.考试内容），灵活和综合运用不对应具体的考试内容：（1）了解（A）：对所列知识内容有初步的认识，会在有关的问题中进行识别和直接应用。
（2）理解（B）：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列知识解决简单问题。
（3）掌握（C）：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题。
（4）灵活和综合运用（D）系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复杂的或综合性的问题。
2．能力要求（1）逻辑思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能够合乎逻辑、准确、清晰地进行表述。
（2）运算能力：会根据概念、公式、法则正确地对数、式、方程进行变形和运算；能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计，并能进行近似计算。
（3）空间想象能力：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形。
2004年高考.全国卷Ⅰ.文科数学试题及答案(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)
2004年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)文科数学（必修+选修I ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（ U B ）= （ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ． {1，3}2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若 （ ）A ．21B ．－21 C ．2D ．－2 3．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57B ．51C ．27D ．4球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[- B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于 （ ）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 （ ）A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x +x 3≥0的解集是 .14．已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = .15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 22．（本小题满分14分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值.2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥0} 14．3·2n －3 15．422=+y x 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组 ⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分（Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；………………9分………………6分（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x 由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分. 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD所成二面角的平面角，………………4分 ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分 （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥等于所求二面角的平面角，…………10分 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG =23，又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan23.…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a aa a e（II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 ……8分 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222 =>=----=--=a a a a x a a x a a x。
2004年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学试题及答案
2004 年一般高等学校招生北京卷文史类数学试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第 I 卷1至2页第 II 卷 3 至 9 页共 150 分 考试时间 120 分钟第 I卷（选择题共40分）注意事项：1. 答第 I 卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2. 每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案，不可以答在试题卷上3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并回收参照公式：三角函数的积化和差公式s i n cos1[sin()sin()]2cos sin1[sin()sin()]2cos cos1 )cos()][cos(2s i n s i n1[ c o s () cos()]2正棱台、圆台的侧面积公式S 台侧1(c' c) l2l 表示斜高或母线长此中 c ’， c 分别表示上、下底面周长，球体的表面积公式 S4 R 2球此中 R 表示球的半径一. 选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的（1）设 M{ x| 2 x 2} ， N{ x| x 1} ，则 M N 等于A. { x|1 x 2}B. { x| 2 x 1}C. { x|1 x 2}D. { x| 2x 1}（ 2）知足条件 |z| |34i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆（ 3）设 m 、 n 是两条不一样的直线，, , 是三个不一样的平面，给出以下四个命题：①若 m ， n / / ，则 mn②若/ / ， / / ， m ，则 m③若 m / / ， n / / ，则 m / / n ④若，，则/ /此中正确命题的序号是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④（ 4）已知 a 、 b 、c 知足 c b a ，且 ac 0 ，那么以下选项中必定建立的是A. abacB. c(b a) 0C. cb 2ab 2D. ac (a c) 0（ 5）从长度分别为 1，2，3，4 的四条线段中，任取三条的不一样取法共有 n 种，在这些取法中，以拿出的三条线段为边可构成的三角形的个数为m ，则m等于11 3 nA. 0C.B.2D.44（ 6）如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1 中， P 是侧面 BB 1 C 1C 内一动点，若P 到直线 BC 与直线 C 1 D 1 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是D 1C 1AB 11PDCABA. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线（ 7）函数 f (x) x 22ax 3 在区间［ 1， 2］上存在反函数的充足必需条件是A. a( ,1] B. a [ 2, )C. a( ,1] [ 2, ) D. a [ 1,2]（ 8）函数 f ( x)x, x P，此中 P 、 M为实数集 R 的两个非空子集，又规定x, x Mf ( P) { y|yf ( x), x P} ， f ( M ){ y|y f ( x), xM } ，给出以下四个判断：①若 P M ，则 f ( P) f ( M )②若 PM，则 f ( P)f ( M )③若 P M R ，则 f ( P)f ( M ) R④若 P M R ，则 f ( P)f ( M )R此中正确判断有A.3 个B.2个C. 1个D. 0个二.填空题：本大题共（ 9）函数f (x)6 小题，每题 5 分，共sin x cosx 的最小正周期是30 分把答案填在题中的横线上______________（ 10）方程lg( x 22)lg x lg 3的解是______________（ 11）圆x2( y1)21的圆心坐标是______________，假如直线x y a0 与该圆有公共点，那么实数 a 的取值范围是______________（ 12）某地球仪上北纬30 纬线的长度为12cm ，该地球仪的半径是__________cm ，表面积是______________cm2（ 13）在函数 f (x)ax2bx c 中，若a，b，c 成等比数列且 f (0) 4 ，则 f ( x)有最 ______________值（填“大”或“小” ），且该值为 ______________（14）定义“等和数列” ：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列 { a n } 是等和数列，且a1 2 ，公和为5，那么 a18的值为______________，且这个数列的前21 项和S21的值为 ______________三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分 14 分）在ABC 中， sin A cos A2，AC2， AB 3 ，求tgA的值和ABC 的面积2（16）（本小题满分 14分）如图，在正三棱柱ABC A1 B1C1中，AB＝2， AA1 2 ，由极点 B 沿棱柱侧面经过棱 AA1到极点 C1的最短路线与AA1的交点记为M，求：（ I）三棱柱的侧面睁开图的对角线长（ II ）该最短路线的长及A1M 的值AM（ III ）平面C1MB与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小A1C1 B1MCAB（ 17）（本小分14 分）如，抛物对于x 称，它的点在座原点，点P（1，2），A（x1, y1），B（x2, y2）均在抛物上（ I）写出抛物的方程及其准方程（ II ）当 PA 与 PB 的斜率存在且斜角互，求y1y2的及直AB 的斜率yPO xAB（ 18）（本小分14 分）函数 f ( x) 定在［0，1］上，足 f ( x) 2 f ( x) 且 f (1) 1，在每个区 (1,1] 22i2i1（ i 1，2⋯⋯）上，y f ( x) 的象都是平行于x 的直的一部分（ I）求f (0)及f (1)，f (1)的，并出 f (1)(i 1,2,) 的表达式242i1，x1，x 及y f ( x) 的象成的矩形的面a（i1，（ II ）直 x2i2i12⋯⋯），求a1, a2及lim( a1a2a n ) 的n（ 19）（本小分12 分）某段城路上挨次有 A 、B 、 C 三站， AB=15km ，BC=3km ，在列运转刻表上，定列 8 整从 A 站， 8 07 分抵达 B 站并停 1 分， 812 分抵达 C 站，在运转中，假列从 A 站正点，在 B 站逗留 1 分，并内行以同一速度vkm / h 匀速行，列从 A 站抵达某站的与刻表上相之差的称列在站的运转差（ I）分写出列在B、C 两站的运转差（ II ）若要求列在B， C 两站的运转差之和不超 2 分，求v的取范（ 20）（本小分12 分）定有限个正数足条件T：每个数都不大于50 且和 L ＝ 1275 将些数按以下要求行分，每数之和不大于150 且分的步是：第一，从些数中一些数构成第一，使得 150 与数之和的差r1与所有可能的其余对比是最小的，r1称第一余差；而后，在去掉已入第一的数后，余下的数按第一的方式构成第二，的余差 r2；这样构成第三（余差r3）、第四（余差 r4）、⋯⋯，直至第N （余差 r N）把些数所有分完止（ I）判断r1,r2,,r N的大小关系，并指出除第N 外的每起码含有几个数（ II ）当构成第n （ n<N ）后，指出余下的每个数与r n的大小关系，并明150n Lrn 1n 1（ III ）任何足条件T 的有限个正数，明：N112004 年一般高等学校招生北京卷文史类数学试题参照答案一. 选择题：本大题主要考察基本知识和基本运算每题 5分，满分40 分（ 1）D（2）C（3） A（ 4）A（ 5）B（6）D（7） C（ 8）B二. 填空题：本大题主要考察基本知识和基本运算每题 5分，满分30 分（ 9）（10）x11, x2 2（ 11）（ 0， -1），12 a 1 2（12）4 3192（13）大-3（14）352三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（ 15）本小题主要考察三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考察运算能力满分14分解法一：s i nA2 c o sA2 c o sA( 45 )2c o sA(1 45 )2又0A 180A 45 60 ,A 105t g A tg(45132 3 60 )31s i nA s i n105s i n45(60 )s i n45cos60cos4526 sin 604S ABC 1AB sin A12636) AC234( 2224解法二：s i nA cos A2（ 1）2(sin A cos A) 212 2 sin A cos A120A 180 , sin A 0,cos A 0( s i nA cos A) 21 2 sin A cos A32s i nA cos A6（ 2）2（ 1）+（ 2）得：sin A264（ 1）－（ 2）得：cos A264t g A s i nA26 423c o sA426（以下同解法一）（ 16）本小题主要考察直线与平面的地点关系、棱柱等基本知识，考察空间想象能力、逻辑思想能力和运算能力满分 14分解：（ I ）正三棱柱 ABCA 1B 1C 1 的侧面睁开图是长为 6，宽为 2 的矩形其对角线长为62 22210（ II ）如图， 将侧面 AA 1B 1 B 绕棱 AA 1 旋转 120 使其与侧面 AA 1C 1 C 在同一平面上， 点B 运动到点 D 的地点，连结 DC 1 交 AA 1 于 M ，则 DC 1 就是由极点 B 沿棱柱侧面经过棱 AA 1 到极点 C 1 的最短路线，其长为DC 2 CC 1 2 42222 5D M A C 1MA 1，AM A 1MA 1 M 1故AMA1C1B1MD A CB（ III ）连结 DB ，C1B，则 DB 就是平面C1MB与平面 ABC 的交线在 DCB中DBC CBA ABD 603090CB DB又 C1C 平面 CBD由三垂线定理得C1B DBC1 BC 就是平面 C1 MB 与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）侧面 C1 B1 BC 是正方形C1 BC45故平面 C1 MB 与平面ABC所成的二面角（锐角）为45（17）本小题主要考察直线、抛物线等基本知识，考察运用分析几何的方法剖析问题和解决问题的能力，满分 14 分解：（ I ）由已知条件，可设抛物线的方程为y 2 2 pxyPO xAB点 P（ 1， 2）在抛物线上222p 1，得p2故所求抛物线的方程是y 24x准线方程是 x1（ II ）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为 k PB则 k PAy 12 (x 1 1) ， k PB y 2 2( x 2 1)x 1 2 x 2 1PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补kPAkPB由 A （ x 1 , y 1 ）， B （ x 2 , y 2 ）在抛物线上，得y 124x 1 （1）y 2 24x 2（ 2）y 1 2y 221y 1211 y2 2 1 44 y 1 2 ( y 2 2) y 1y 24由（ 1） -（ 2）得直线 AB 的斜率y 2 y 1 44 k ABx 1y 1 y 21(x 1 x 2 )x 24（ 18）本小题主要考察函数、数列等基本知识，考察剖析问题和解决问题的能力满分14 分解：（ I ）由 f (0) 2 f (0) ，得 f ( 0) 0由 f (1)1 1，得 f (1 1 12 f () 及 f (1)2)f (1)222同理， f ( 1 )1f ( 1) 442 2概括得 f ( 1 )1 (i 1,2, )2i2i（II ）当1x1时， f ( x)12i2i 12i1a 12 1 a 28a i1 ( 1 1 112,) i 1i 1 2i )2i 1 (i22因此 { a n } 是首项为1，公比为1的等比数列2412 因此 lim( a 1 a 2a n )2n1314（ 19）本小题主要考察解不等式等基本知识， 考察应用数学知识剖析问题和解决问题的能力满分 12分解：（ I ）列车在 B ， C 两站的运转偏差（单位：分钟）分别是|3007| 和 |48011|vv（ II ）因为列车在 B ， C 两站的运转偏差之和不超出 2 分钟，因此300 7| |48011| 2（ *）|vv当 0v300 300 480 11 2时，（ * ）式变形为v7v7解得 39v3007300480300 480 当v11 时，（* ）式变形为 7vv 11 27解得3004807v11当 v480时，（ * ）式变形为 700 11 480 211vv解得480 195 11v4195综上所述， v 的取值范围是 [39 ，]4（ 20）本小题主要考察不等式的证明等基本知识， 考察逻辑思想能力、 剖析问题和解决问题的能力 满分 12 分解：（ I ） r 1 r 2r N 除第 N 组外的每组起码含有150 3 个数50（ II ）当第 n 组形成后，因为 nN ，因此还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差 r n ，余下数之和也大于第n 组的余差 r n ，即L [(150 r 1 ) (150 r 2 ) (150 r n )] r n由此可得 r 1 r 2 rn 1150nL因为 ( n 1)r n 1r 1 r 2150nLr n 1，因此 r n 11n（ III ）用反证法证明结论，假定N 11 ，即第 11 组形成后，还有数没分完，由（I ）和（ II ）可知，余下的每个数都大于第11 组的余差 r 11 ，且 r 11 r 10r1115011 1275 （ * ）故余下的每个数r1010375.2004年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学试题及答案因为第 11组数中起码含有 3 个数，因此第11 组数之和大于375. 3 1125.此时第 11组的余差 r11150 第11组数之和 150 112.5 37.5这与（ * ）式中r11375. 矛盾，因此N11新疆奎屯市第一高级中学王新敞。
2004年春季高考.北京卷.文科数学试题及答案
2
3
C. y 9 x 4
D. y 4 x 9
4. 一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A. 30
B. 45
C. 60
D. 75
5. 已知 sin( ) 0， cos( ) 0 ，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A. sin 0 ， cos 0
在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）
A. 77cm
B. 7 2cm
C. 5 5cm
D. 10 2cm
9. 在 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，恰有 1 件次品的不同取法的种数是（ ）
A. C61C924
B. C61C929
C. P61 P924
D.
C3 100
C934
<2>若 ab 0， c d 0 ，则 bc ad 0 ab
<3>若 bc ad 0， c d 0 ，则 ab 0 ab
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，
14. 若直线 mx ny 3 0 与圆 x 2 y 2 3 没有公共点，则 m，n 满足的关系式为____________；以
x2
（m，n）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆
y2
1 的公共点有_________个。
73
三. 解答题：本大题共 6 小题，共 84 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 1页 （共 8页）
10. 期中考试以后，班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M，如果把 M 当成一个同学的分数，
2004年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学
2004年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂= （ ）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x } 2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ ） A ．)0(51≠-=x x yB ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xyD ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为 （ ）A ．1)1(22=++y x B ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式 V=334R π， 其中R 表示球的半径5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 7．函数xe y -=的图象（ ）A ．与x e y =的图象 关于y 轴对称B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称C ．与x ey -=的图象关于y 轴对称D ．与xey -=的图象关于坐标原点对称8．已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x 9．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |= （ ）A ．1B ．2C ．5D ．610．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则 球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 （ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有 （ ）A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知a 为实数，10)(a x +展开式中7x 的系数是－15，则=a .14．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心的原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知等差数列{n a }，.21,952==a a （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）令na nb 2=，求数列}{n b 的前n 项和S n .18．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高.19．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支. 求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间（1，4）内为减函数，在区间 （6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.22．（本小题满分14分）给定抛物线C ：,42x y =F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）设l 的斜率为1，求与夹角的大小；（Ⅱ）设]9,4[,∈=λλ若，求l 在y 轴上截距的变化范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题C A B C A CD B D B B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．21- 14．5 15．1222=+y x 16．②④ 三、解答题17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，依题意得方程组⎩⎨⎧=+=+,214,911d a d a 解得.4,51==d a所以}{n a 的通项公式为.14+=n a n（Ⅱ）由,21414+=+=n n n b n a 得所以}{n b 是首项512=b ，公式42=q 的等比数列. 于是得}{n b 的前n 项和 .15)12(3212)12(24445-⨯=--⨯=n n n S 18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分12分. （Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A Θ .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（Ⅱ）解：ππ<+<B A 2Θ，,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD. 则AB=AD+DB=.622tan tan +=+CDB CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用 数学知识解决问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7148354815=+C C C C故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=-解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C （Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21481533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为.2120．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=.2∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形，又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B. ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3又BB 1=1，A 1B=2. ∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点， ∴CD=21A 1B=1，CD=CC 1，又DM=21AC 1=22，DM=C 1M.∴△CDM ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°，即CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平在BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG//CD ，FG=21CD. ∴FG=1，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D 知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形. 于是B 1G ⊥BD ，B 1G=.23∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角， 又 B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+（2)22=23， ∴ .332123223)21()23(2cos 221212211-=⋅⋅-+=⋅-+=∠FGC B FB FG G B GF B即所求二面角的大小为.33arccos -π 解法二：如图，以C 为原点建立坐标系.（Ⅰ）B （2，0，0），B 1（2，1，0），A 1（0，1，1），D （)21,21,22，M （22，1，0），),21,21,0(),1,1,2(),21,21,22(1-=--==DM B A CD 则,0,01=⋅=⋅DM CD B A CD ∴CD ⊥A 1B ，CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G （41,41,423），22(-=BD 、21、21），),41,43,42(1--=G B .,.,0111面角等于所求的二面角的平的夹角与又θG B BD BD CD G B BD G B BD ∴⊥⊥∴=⋅∴.33||||cos 11-=⋅=∴G B CD θ 所以所求的二面角等于.33arccos-π 21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运解：函数)(x f 的导数 .1)(2-+-='a ax x x f 令0)(='x f ，解得),1(,)1,1(,)1,()(,211,),1()(,211.11+∞---∞>>-+∞≤≤--==a a x f a a x f a a a x x 在内为减函数在上为增函数在函数时即当不合题意上是增函数在函数时即当或为增函数.依题意应有 当.0)(,),6(,0)(,)4,1(>'+∞∈<'∈x f x x f x 时当时所以 .614≤-≤a 解得.75≤≤a所以a 的取值范围是[5，7].22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷全国卷I文
2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n(k)=C knP k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.（1）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（ U B ）=（A ）{2}（B ）{2，3}（C ）{3}（D ） {1，3}（2）已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg)(a f a f x x x f 则若（A ）21（B ）－21（C ）2 （D ）－2（3）已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（A ）7（B ）10（C ）13（D ）4 （4）函数)1(11>+-=x x y 的反函数是（A ）)1(222<+-=x x x y （B ）)1(222≥+-=x x x y（C ）)1(22<-=x x x y （D ）)1(22≥-=x x x y （5）73)12(xx -的展开式中常数项是（A ）14（B ）－14（C ）42（D ）－42（6）设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（A ）57 （B ）51 （C ）27（D ）4（7）椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（A ）23（B ）3（C ）27（D ）4（8）设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（A ）]21,21[-（B ）[－2，2] （C ）[－1，1] （D ）[－4，4]（9）为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（A ）向右平移6π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度（D ）向左平移3π个单位长度（10）已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（A ）91（B ）94（C ）41 （D ）31（11）从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（A ）95 （B ）94 （C ）2111 （D ）2110（12）已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （A ）3－21 （B ）21－3 （C ）－21－3 （D ）21+3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）不等式x +x 3≥0的解集是 . （14）已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项na = .（15）由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 . （16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）等差数列{na }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a（Ⅰ）求通项na ；（Ⅱ）若S n =242，求n. （18）（本小题满分12分）求函数x xx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.（19）（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. （20）（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求：（I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. （21）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离；（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.（22）（本小题满分14分）设双曲线C：1:)0(1222=+>=-yxlayax与直线相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且.125=求a的值.。
2024普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)-数学
数学（北京卷）第1页（共6页）2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合M ={x |－3＜x ＜1}，N ={x |－1≤x ＜4}，则M N（A ）{x |－1≤x ＜1}（B ）{x |x ＞－3}（C ）{x |－3＜x ＜4}（D ）{x |x ＜4}（2）已知z i=－1－i ，则z ＝（A ）－1－i （B ）－1＋i （C ）1－i（D ）1＋i（3）圆22260x y x y 的圆心到20x y 的距离为（A（B ）2（C ）3（D）（4）在 4x 的展开式中，3x 的系数为（A ）6（B ）－6（C ）12（D ）－12（5）设a ，b 是向量，则“(a +b )·(a －b )=0”是“a =－b 或a =b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件数学（北京卷）第2页（共6页）（6）设函数 sin 0f x x ，已知 11f x ， 21f x ，|x 1－x 2|的最小值为，则（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（7）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S ，N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（A ）3N 2=2N 1（B ）2N 2=3N 1（C ）N 22=N 13（D ）N 23=N 12（8）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=22，则棱锥的高为（A ）1（B ）2（C ）2（D ）3（9）已知 11,x y ， 22,x y 是函数2x y 图象上两个不同的点，则（A ）12122log 22y y x x （B ）12122log 22y y x x （C ）12212log 2y y x x （D ）12212log 2y y x x （10）若M = 2,|(),01,12x y y x t x x t x 是平面直角坐标系中的点集．设d 是M中两点间的距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（A ）3d ，1S （B ）3d ，1S （C ）10d ，1S （D ）10d ，1S数学（北京卷）第3页（共6页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2004年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生北京卷理工农医类数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷1至2页第II卷3至9页共150分考试时间120分钟第I卷（选择题共40分）注意事项：1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c’，c分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长球体的表面积公式其中R表示球的半径一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设全集是实数集R，，，则等于A. B.C. D.（2）满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆（3）设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④（4）如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线（5）函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A. B. C. D.（6）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中一定成立的是A. B. C. D.（7）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于A. B. C. D.（8）函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：①若，则②若，则③若，则④若，则其中正确判断有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第II卷（非选择题共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上（9）函数的最小正周期是___________（10）方程的解是___________________（11）某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，表面积是______________cm2（12）曲线C：（为参数）的普通方程是__________，如果曲线C 与直线有公共点，那么实数a的取值范围是_______________-- （13）在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________三. 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）在中，，，，求的值和的面积如图，在正三棱柱中，AB＝3，，M为的中点，P是BC 上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N，求：（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长（II）PC和NC的长（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）（17）（本小题满分14分）如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分（I）求及，的值，并归纳出的表达式（II）设直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值（19）（本小题满分12分）某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围（20）（本小题满分13分）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、……，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止（I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数（II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：2004年普通高等学校招生北京卷理工农医类数学试题参考答案一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题5分，满分40分（1）A （2）C （3）A （4）D（5）D （6）C （7）B （8）B（8）函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：①若，则②若，则③若，则④若，则其中正确判断有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个分析：∵函数∴＝≠＝≠当时，有且只有{0}∴0∈，故②正确.当P∩M＝时，可以列举P、M，的某些或全部元素有可能在P中，故①错.当时，可以列举P、M，或若，则, ∴.故③错.当时，存在，则从而故④正确.综上，正确判断有2个，故选B.二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题5分，满分30分（9）（10）（11）（12）（13）大-3（14）3 当n为偶数时，；当n为奇数时，三. 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力满分13分解法一：又解法二：（1）（2）（1）+（2）得：（1）－（2）得：（以下同解法一）（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分14分解：（I）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为（II）如图1，将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上，点P运动到点的位置，连接，则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到点M的最短路线设，则，在中，由勾股定理得求得（III）如图2，连结，则就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H，又平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，AB CA1B 1C1PNMP 1H就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）在中，在中，故平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小为（17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力满分14分解：（I）当时，又抛物线的准线方程为由抛物线定义得，所求距离为（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为由，相减得故同理可得由PA，PB倾斜角互补知即所以故设直线AB的斜率为由，相减得所以将代入得，所以是非零常数（18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分14分解：（I）由，得由及，得同理，归纳得（II）当时所以是首项为，公比为的等比数列所以的定义域为1，当时取得最小值（19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力满分12分解：（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是和（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以（*）当时，（*）式变形为解得当时，（*）式变形为解得当时，（*）式变形为解得综上所述，的取值范围是[39，]（20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分13分解：（I）除第N组外的每组至少含有个数（II）当第n组形成后，因为，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差，余下数之和也大于第n组的余差，即由此可得因为，所以（III）用反证法证明结论，假设，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差，且故余下的每个数（*）因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于此时第11组的余差这与（*）式中矛盾，所以。
北京市2004年高级中等学校招生统一考试数学试卷
北京市2004年高级中等学校招生统一考试数 学 试 卷第I 卷（共48分）一. 选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
选择相应的答案填在括号里。
1. 31-的倒数是（ ） A. 3B. -3C.31D. 31-2. 下列运算中正确的是（ ） A.5151=-B. -（-2）=-2C. 3-2=9D. 81)21(3=- 3. 下列运算中正确的是（ ） A. a 2·a 3=a 5 B. （a 2）3=a 5C. a 6÷a 2=a 3D. a 5+a 5=2a 104. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 平行四边形5. 稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源的总储藏量约为1 050 000 000吨，是全世界稀土资源最丰富的国家。
将1 050 000 000吨用科学记数法表示为（ ） A. 1.05×1010吨 B. 1.05×109吨 C. 10.5×108吨 D. 0.105×1010吨6. 计算4m 42m 12-++的结果是（ ） A. m+2 B. m-2 C.2m 1+D.2m 1- 7. 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，作EF//BC ，交AC 于点F ，如果EF=4，那么CD 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 88. 如果两个圆的公切线共有3条，那么这两个圆的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切9. 不等式5x21+≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠P=50°，那么∠ACB 等于A. 40°B. 50°C. 65°D. 130°11. 如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于（ ）A. 24πcm 2B. 12πcm 2C. 12cm 2D. 6πcm 212. 如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是（ ） A. a ＞b ＞c B. a=b=c C. c ＞a ＞b D. b ＞c ＞a第II 卷（共72分）二. 填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 在函数2x 1y -=中，自变量x 的取值范围是 。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(老课程)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（老课程）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷参考公式：三角函数的和差化积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题（1）设集合(){}22,1,,M x y x y x R y R =+=∈∈，(){}2,0,,N x y x y x R y R =-=∈∈， 则集合M N I 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 （2）函数sin 2x y =的最小正周期是（ ） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π (3) 记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ）A ． 2B ． 2-C ． 3D ． 1-(4) 等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ． 120C ．168D ． 192 (5) 圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A ．20x -= B ．40x +-= 正棱台、圆台的侧面积公式 l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长 台体的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径C ． 40x +=D ． 20x -+=(6) 61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ） A ． 15 B ． 15- C ． 20 D ． 20-(7) 设复数z 的幅角的主值为23π，则2z =（ ）A ． 2--B ． 2i -C ． 2+D ． 2i (8) 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 5B ．C ．D ． 54 (9) 不等式113x <+<的解集为（ ）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4-UC ． ()4,0-D ． ()()4,20,2--U(10) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ． 3D ．(11) 在ABC V 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ． 32D ．(12) 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.(13) 函数)1(log 21-=x y 的定义域是 .(14) 用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .(15) 函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . (16) 设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）解方程.012242=--+x x(18) （本小题满分12分） 已知α为锐角，且αααααα2cos 2sin sin cos 2sin ,21tan -=求的值.(19) （本上题满分12分）设数列}{n a 是公差不为零的等差数列，S n 是数列}{n a 的前n 项和，且,9221S S = 244S S =，求数列}{n a 的通项公式.20．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。
2004年高考数学试题——北京卷.理科
2004年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟． 第I 卷（选择题 共40分） 注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式sin cos [sin()sin()]αβαβαβ=++-12 cos cos [cos()cos()]αβαβαβ=++-12s i n s i n [c o s ()cos()]αβαβαβ=-+--12正棱台、圆台的侧面积公式 S c c l 台侧=+12(')其中c’，c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长球体的表面积公式S R 球=42π其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集是实数集R ，M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则M N 等于（ ）A ．{|}x x <-2B ．{|}x x -<<21C ．{|}x x <1D ．{|}x x -≤<21 2．满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A ． 一条直线B ． 两条直线C ． 圆D ． 椭圆 3．设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ// 其中正确命题的序号是（ ） A ．①和② B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和④4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）1A CA ．直线B ．圆C ． 双曲线D ． 抛物线5．函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ）A ．a ∈-∞(,]1B ．a ∈+∞[,)2C ．a ∈[,]12D ． (,1][2,)a ∈-∞+∞6．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 （ ） A ．ab ac > B ． c b a ()-<0C ． cb ab 22<D ． 0)(<-c a ac7．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取 法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则mn等于 （ ）A ．110B ． 15C ． 310D ． 258．函数,(),x x Pf x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定(){|(),}f P y y f x x P ==∈，(){|(),}f M y y f x x M ==∈，给出下列四个判断：①若P M =∅ ，则()()f P f M =∅ ②若P M ≠∅ ，则()()f P f M ≠∅ ③若P M R = ，则()()f P f M R =④若P M R ≠ ，则()()f P f M R ≠其中正确判断有 （ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________．10．方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________ ．11．某地球仪上北纬30纬线的长度为12πcm ，该地球仪的半径是__________cm ，表面积是______________cm 2． 12．曲线C ：x y ==-+⎧⎨⎩cos sin θθ1（θ为参数）的普通方程是__________，如果曲线C 与直线x y a ++=0有公共点，那么实数a 的取值范围是_______________．13．在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________．14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求tgA 的值和∆ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝3，AA 14=，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：（I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长; （II ）PC 和NC 的长;（III ）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）1NCB17．（本小题满分14分）如图，过抛物线y px p220=>()上一定点00(,)P x y（y>），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y，22(,)B x y（I）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离（II）当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y yy12+的值，并证明直线AB的斜率是非零常数x18．（本小题满分14分）函数f x()是定义在［0，1］上的增函数，满足f x fx()()=22且f()11=，在每个区间(,]12121i i-（i=1，2……）上，y f x=()的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（I）求f()0及f()12，f()14的值，并归纳出f ii()(,,)1212= 的表达式;（II）设直线xi=12，xi=-121，x轴及y f x=()的图象围成的矩形的面积为ai（i=1，2……），记S k a a ann()lim()=+++→∞12，求S k()的表达式，并写出其定义域和最小值19．（本小题满分12分）某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB =5km ，BC =3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站．在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．（I ）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差;（II ）若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围． 20．（本小题满分13分）给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50且总和L ＝1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r 1与所有可能的其他选择相比是最小的，r 1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r 2；如此继续构成第三组（余差为r 3）、第四组（余差为r 4）、……，直至第N 组（余差为r N ）把这些数全部分完为止．（I ）判断r r r N 12,,, 的大小关系，并指出除第N 组外的每组至少含有几个数; （II ）当构成第n （n <N ）组后，指出余下的每个数与r n 的大小关系，并证明r n Ln n ->--11501;（III ）对任何满足条件T 的有限个正数，证明：N ≤11．2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． 1．A 2．C 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． 9．π 10．x x 1201==, 11．43 192π 12．x y 2211++=()1212-≤≤+a13．大 -3 14．3 当n 为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力．满分13分．解法一：.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180A <<,.323131)6045(.105,6045--=-+=+=∴==-∴tg tgA A As i ns i n s i n ()s i n cos cos sin A ==+=+=+105456045604560264．S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin () 解法二： s i n cos A A +=22, （1） .0c o s ,0s i n ,1800,21c o ss i n 2,21)c o s (s i n 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A (s i ncos )sin cos A A A A -=-=21232, ∴-=s i n cos A A 62, （2） （1）+（2）得：sin A =+264, （1）－（2）得：cos A =-264, ∴==+⨯-=--t g A A A s i n c o s 26442623． （以下同解法一）16．本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分14分．解：（I ）正三棱柱ABC A B C -111的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为949722+=．（II ）如图1，将侧面BB C C 11绕棱CC 1旋转120使其与侧成AA C C 11在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC x =，则P C x 1=，在Rt MAP ∆1中，由勾股定理得()322922++=x求得x =2．.54,52.2111=∴====∴NC A P C P MA NC C P PC（III ）如图2，连结PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH PP ⊥1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，CH PP ⊥1．A∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角） 在Rt PHC ∆中， ∠=∠=PCH PCP 12601, 12PCCH ∴==． 在Rt NCH ∆中，tg NHC NC CH ∠===45145,故平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小为arctg45． 17．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．满分14分． 解：（1）当y p =2时，x p=8,又抛物线y px 22=的准线方程为x =-2． 由抛物线定义得，所求距离为p p p8258--=()．（2）设直线P A 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=,相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-． 故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()．同理可得k py y x x PB =+≠22020()．由P A ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-, 即221020p y y py y +=-+, 所以y y y 1202+=-, 故y y y 1202+=-．设直线AB 的斜率为k AB由y px 2222=，y px 1212= 相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-, 所以k y y x x py y x x AB =--=+≠212112122()． 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数．18．本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．满分14分． 解：（I ）由f f ()()020=，得f ()00=由f f ()()122=及f ()11=，得f f ()()2212==．同理，f f ()()1412124==1．归纳得f i i i ()(,,)121212== ．（II ）当12121i i x <≤-时,f x k x i i ()()=+---121211a k i i i i i i i =++------121212121212121111[()]()=-1=-()(,,)1421221k i i ．所以{}a n 是首项为1214()-k ，公比为14的等比数列,所以S k a a a k k n n ()lim()()()=+++=--=-→∞121214142314． S k ()的定义域为0<≤k 1，当k =1时取得最小值12．19．本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分． 解：（I ）列车在B ，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 ||3007v -和||48011v-． （II ）由于列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以||||3007480112v v-+-≤． （*） 当03007<≤v 时，（*）式变形为3007480112v v -+-≤, 解得393007≤≤v ; 当300748011<≤v 时，（*）式变形为7300480112-+-≤v v, 解得300748011<≤v ; 当v >48011时，（*）式变形为700114802-3+-≤v v , 解得480111954<≤v ． 综上所述，v 的取值范围是[39，1954]20．本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．满分13分．第11页 共11页 解：（I ）r r r N 12≤≤≤ ．除第N 组外的每组至少含有503=个数 （II ）当第n 组形成后，因为n N <，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r n ，余下数之和也大于第n 组的余差r n ，即L r r r r n n --+-++->[()()()]150******** ,由此可得r r r n L n 121150+++>-- ．因为()n r r r r n n -≥+++--11121 ，所以r n L n n ->--11501． （III ）用反证法证明结论，假设N >11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I ）和（II ）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r 11，且r r 1110≥,故余下的每个数>≥>⨯-=r r 111015*********375. ． （*） 因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37531125..⨯=． 此时第11组的余差11150r =-第11组数之和150112.537.5<-=这与（*）式中r 11375>.矛盾，所以N ≤11．。
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2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.
1
21{|}
x x
<≤{|}
x x
-≤<
21
12
{|}
-<<
x x
12
x x
<<{|}
2．满足条件||||
34的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）
z i
=+
A. 一条直线
B. 两条直线
C. 圆
D. 椭圆
3．设m、n是两条不同的直线，αβγ
,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n//α，则m n
⊥②若αβ
//，βγ//，m⊥α，则m⊥γ
③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ
//
其中正确命题的序号是
（ ） A. ①和② B. ②和③
C. ③和④
D. ①和④
4．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是 （ ）
A. ab ac >
B. c b a ()-<0
C. cb ab 22<
D. ac a c ()->0
5．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，
6 7
8}，
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．函数f x x x ()sin cos =的最小正周期是______________. 10．方程lg()lg lg x x 2
23+=+的解是______________.
11．圆x y 2211++=()的圆心坐标是______________，如果直线x y a ++=0与该圆有公共点，那么实
数a 的取值范围是______________.
12．某地球仪上北纬30 纬线的长度为12πcm ，该地球仪的半径是__________cm ，表面积是
______________cm 2
.
13．在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最______________
14 15
16 C 1 （II ）该最短路线的长及
A M A M
1的值;
（III ）平面C M B 1与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小
1
M
17．（本小题满分14分）
如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x y
11
,），B（x y
22
,）均在抛物线上。
（I）写出该抛物线的方程及其准线方程;
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y y
12
的值及直线AB的斜率
y
P
O
A
B
a
2
及
19．（本小题满分12分）
某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站.在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h
/匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差;
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围.
20
2；
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数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
15
解法二：
s i n c o s
A A
+=
2
2
（1）
.
0c o s ,0s i n ,18002
1c o s s i n 22
1)c o s (s i n 2
<>∴<<-
=∴=
+∴A A A A A A A
2
3c o s s i n 21)c o s (s i n 2=
-=-A A A A ,
16 D 故
A M
11=.
A 1 C 1
.满
点P （1，2）在抛物线上, ∴=⨯2212
p ，得p =2. 故所求抛物线的方程是y x 2
4=, 准线方程是x =-1.
（II ）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ,
则k y x x PA =--≠111221()，k y x x PB =--≠222211().
PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,
∴=-k k PA PB .
a 218=
, )2,1(21)2121
(21111 ==
-=-2--i a i i i i i . 所以{}a n 是首项为1
2，公比为14的等比数列.
所以lim ()n n a a a →∞+++=-=121
2114
2
3 .
19．本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分. 解：（I ）列车在B ，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是
||300
7v
-和||48011v -
12 因为()n r r r r n n -≥+++--11121 ，所以r n L n n ->--11501.
（III ）用反证法证明结论，假设N >11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I ）和（II ）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r 11，且r r 1110≥,
故余下的每个数>≥>⨯-=r r 111015011127510375. . （*）
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37531125..⨯=,
此时第11组的余差r
11
1501501125375
11
=-<-=
第组数之和..,
这与（*）式中r
11
375
>.矛盾，所以N≤11.。