2017届中考数学一轮复习第15讲二次函数与一元二次方程导学案
二次函数与一元二次方程导学案解读
xy( ,( ,Oxy( ,OxyO二次函数与一元二次方程关系探究(一二次函数与一元二次方程之间的关系如图26-2-2,以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h (单位:m 与飞行时间t (单位:s 之间具有关系:2205h t t =-。
考虑以下问题:⑴球的飞行高度能否达到15m ?如能,需要多少飞行时间? ⑵球的飞行高度能否达到20m ?如能,需要多少飞行时间? ⑶球的飞行高度能否达到20.5m ?为什么?⑷球从飞出到落地需要多少时间?通过以上问题的解决,我知道了二次函数与一元二次方程有如下关系:一般地:已知二次函数y =ax 2+bx +c 的函数值为m,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程ax 2+bx +c =m 又可以看作已知二次函数___________________的值为______时自变量x 的值。
探究(二二次函数的图象与x 轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系 2.观察二次函数的图象,写出它们与x 轴的交点坐标: 函数 322--=xx y 962+-=x x y 322+-=x x y 图象交点与x 轴交点坐标是与x 轴交点坐标是与x 轴交点坐标是3.对比第1题各方程的解,你发现了什么?于是,我知道了:⑴如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点(x 0,0,那么就是方程20ax bx c ++=的一个根。
⑵抛物线与x 轴的三种位置关系:_____公共点,有______公共点,有______公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况:_____实数根,有________的实数根,有______的实数根。
(3二次函数与一元二次方程的关系如下:(一元二次方程的实数根记为21x x 、二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax与x 轴有个交点⇔ac b 42- 0,方程有的实数根与x 轴有个交点;这个交点是点⇔ac b 42- 0,方程有实数根与x 轴有个交点⇔ac b 42- 0,方程实数根.(4二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 例题1. (2011年襄阳已知函数y=(k ﹣3x 2+2x+1的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( A 、k <4 B 、k ≤4 C 、k <4且k ≠3 D 、k ≤4且k ≠3例题 2.关于x 的二次函数 y=(k-1x 2-3x-1的图像全部位于x 轴的下方,则k 的取值范围是 ;例题3.抛物线y=x 2+x-6 与x 轴交于(-3,0、(2,0两点,当x 为何值时,y>0?当x 为何值时,y<0?活动三,运用新知1. 二次函数232+-=x x y ,当x =1时,y =______;当y =0时,x =______.2.抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是 ;3.二次函数642+-=x x y ,当x =________时,y =3.4.如图,一元二次方程02=++c bx ax 的解为。
二次函数与一元二次方程(导学案)
二次函数与一元二次方程（导学案）【学习目标】1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．2．理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
【教学重点】理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根。
【教学难点】理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标【学习过程】一：预学课前热身、耐心填一填1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。
它的图象是一条抛物线。
它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（, ）2. 二次函数的解析式中的一般式是: ;顶点式：;交点式.3. 抛物线y=x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______,顶点坐标是___________.4. 抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.5.已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0)，并经过点M(0,1),则此抛物线的解析式为_______________二：互学1. 看教材第43页由第1问及第2问你分别知道了什么？第3问有几种解决方法？2.．分别求出二次函数y=x2+2x, y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标，并快速作出草图。
y=0时这个方程的解,（1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？（2）一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?（3）验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?（4）说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?3．归纳整理a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)、有两个交点,(2)、有一个交点,(3)、没有交点b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根c.完成下列表格，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程2【例】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t＋19.6t 来表示．其中（s）表示足球被踢出后经过的时间．（1）当t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）经过多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?三：评学1.开拓创新：已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么? 2．课堂小结3.随堂检测（1）．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为_______（2）．抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为个．（3）．抛物线y=2x2＋8x＋m与x 轴只有一个交点，则m= ____________。
6.3 二次函数与一元二次方程(一)导学案
6.3 二次函数与一元二次方程(一)学习目标：通过本课的学习,掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系，感受数形结合的数学思想。
学习过程：一、知识回顾1、怎样利用根的判别式来判定一元二次方程根的情况？2、不解方程，判别根的情况。
⑴x2－3x＋1＝0 ⑵－x2＋x－1＝0 ⑶4y2＋4y＋1＝0二、探索活动1、（1）二次函数y=x2－2x－3与一元二次方程x2―2x―3＝0有怎样的关系？(P21) （2）结论：)2、观察二次函数y=x2－6x+9的图象和二次函数y=x2－2x+3的图象。
(P21（1）观察两个函数图象，它们与x轴的公共点个数有几个？（2）利用图象写出一元二次方程x2－6x+9=0和x2－2x+3=0的根的情况。
3、试总结二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系：三、典型例题1、判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由。
（1）y=x2－x （2）y=－x2+6x－9 （3）y=3x2+6x+112、已知二次函数y=kx2－x－1的图象和x轴有交点，求k的取值范围。
四、巩固练习1、不画图象，你能说出函数y=－x2+x+6的图象与x轴的交点坐标吗？2、关于x的一元二次方程x2―x―n=0没有实数根，则抛物线y=x2-x-n顶点在哪一个象限内？五、小结：这节课我学会了________________________________________巩固练习1、二次函数y=x2－3x的图象与x轴两个交点的坐标是（）A. (0, 0), (0, 3)B. (0, 0),(0,－3)C.（0，0），（－3，0）D.（0，0），（3，0）2、已知二次函数y=x2－2ax+(b+c)2，其中a、b、c是△ABC的边长，则函数图象与x轴（）A.无交点B.有一个交点C.有两个交点D.交点个数无法确定3、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=－1,与x轴的一个交点为(x1，0)，且0＜x1＜1，下列结论：①9a－3b+c＞0；②b＜0；③a－2b+4c＜0。
《二次函数与一元二次方程》导学案
备课时间：2017、8、28 授课时间：2017、9、4备课人：郭艳玲（主备）母东文课型：新授课 教具:多媒体课件 教法：启发式 学法：自主合作探究22.2 二次函数与一元二次方程导学目标：1、理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握方程与函数间的转化。
2、会利用数形结合的方法判断抛物线与x 轴的交点个数。
3、培养合作意识和探索数学知识间联系的好习惯，体验二次函数的应用。
导学重点：探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x 轴交点情况。
难点：函数→方程→x 轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
导学方法:先由学生自学课本，经历自主探究总结的过程，并独立完成自主学习部分，然后学习小组交流讨论，形成知能，最后完成当堂训练题。
导学过程:一、创设情境，引入新课二次函数的223y x x =--的图象如图所示。
根据图象回答：（1）x 为何值时, 0y =？（2）你能根据图象，求方程2230x x --=的根吗？（3）二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？二、自主学习，固知提能1、二次函数与一元二次方程之间的关系【探究】教材P43问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。
考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？（4）球从飞出到落地需要多少时间？【归纳】二次函数与一元二次方程有如下关系：二次函数与一元二次方程之间有如下关系①函数2y ax bx c =++,当函数值y 为某一确定值m 时,对应自变量x 的值就是方程2ax bx c m ++=的根.②特别是0y =时，对应自变量x 的值就是方程20ax bx c ++=的根。
(中考复习)第15讲 二次函数概念及其解析式
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浙派名师中考
题组一
用一般式求函数解析式
【例1】(2013· 佛山)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，
解得 a＝－1，b＝2.
∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3. (2)存在．
由y＝－x2＋2x＋3得，D点坐标为(1，4)，对称轴为x＝1，
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x，y)， 根据勾股定理得x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2，即y＝4－x， 又P点(x，y)在抛物线上，∴ 4－x＝－x2＋2x＋3，即 x2－3x＋ 1＝0.
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3± 5 3－ 5 解得 x＝ ， 小于 1，应 舍 去 ． 2 2 3＋ 5 ∴x＝ ， 2 3＋ 5 5－ 5 5－ 5 ∴ y＝4－x＝ ，即点 P 坐标为 . ， 2 2 2 ②若以 CD 为一腰，∵点 P 在 对 称 轴 右 侧 的 抛 物 线 上 ，由抛物 线 对 称 性 知 ，点 P 与点 C 关 于 直 线 x＝1 对称，此时 P 点 的 坐 3＋ 5 3＋ 5 标为(2，3)，∴符 合 条 件 的 点 P 的坐标为 ， 或 (2， 2 2 3)．
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否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合 条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数与一元二次方程导学案1
二次函数与一元二次方程导学案班级：_______ 姓名：_______学习目标1．探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标．一、知识回顾1一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式当△＞0时当△﹤0时当△=0时2一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程_______，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程_______的解．二、探究新知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？函数：①y＝x2＋2x ②y＝x2－2x＋1 ③y＝x2－2x＋2图像：一元二次方程：⑴x2＋2x＝0 ⑵x2－2x＋1＝0 ⑶x2－2x＋2＝0一元二次方程根的形式：⑴△__0有_______ ⑵△__0 有_______⑶△__0 有_______ 一元二次方程的解：⑴___________ ⑵___________ ⑶___________函数与x轴交点的个数：①___________ ②___________ ③___________函数与x轴交点的坐标：①___________ ②___________ ③___________说一说：（1）结合一元二次方程根的形式和函数与x轴交点的个数得出的结论是：（2）结合一元二次方程的解和函数与x轴交点的坐标得出的结论是：(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？三.典例讲解例题1. 已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A、k＜4 B、k≤4 C、k＜4且k≠3 D、k≤4且k≠3变式：已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围？例题2.抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．思考：与X轴交于(2,0)、(-5,0)的抛物线可表示为_________________例题3.关于x的二次函数y=(k-1)x2-3x-1的图像全部位于x轴的下方，则k的取值范围是；例题4.抛物线y=x2+x-6 与x轴交于（-3，0）、（2，0）两点，当x为何值时，y>0？当x为何值时，y<0？例题5.已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．四、课堂小结1.学到的数学知识：（二次函数与一元二次方程的关系）2.学到的数学思想：（数形结合）1.下列函数中与x 轴没有交点的抛物线是（ ） A. y = 2x 2 – 3 B. y=－2 x 2 + 3 C. y= －x 2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －32.若抛物线 y = ax 2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x 轴交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定3. 如果关于x 的一元二次方程 x 2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m= ，此时抛物线 y=x 2－2x+m 与x 轴有 个交点.4.已知抛物线 y=x 2 – 8x + c 的顶点在 x 轴上，则 c =5.抛物线 y=2x 2－3x －5 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点6.一元二次方程 3 x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2 ，x 2=5/3，那么二次函数 y= 3 x 2+x －10与x 轴的交点坐标是7.已知抛物线y = ax 2+bx+c 的图象如图,则关于x 的方程ax 2 + bx + c －3 = 0根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个异号的实数根C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根8.已知关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++ 求当函数图像与X 轴满足以下关系时m 的取值范围（1）没有交点 （2）有一个交点 （3）有两个交点课后巩固练习第1题. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个第2题. 关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠ Ｃ．116m =-Ｄ．116m >-且0m ≠ 第3题. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c第4题. 下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ） Ａ．2y x =Ｂ．24y x =+ Ｃ．2325y x x =-+Ｄ．2351y x x =+-第5题. 二次函数256y x x =-+与x 轴的交点坐标是（ ）Ａ．（2，0）（3，0） Ｂ．（2-，0）（3-，0） Ｃ．（0，2）（0，3） Ｄ．（0，2-）（0，3-） 第6题. 抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（ ）Ａ．没有交点Ｂ．只有一个交点 Ｃ．有且只有两个交点Ｄ．有且只有三个交点第7题. 二次函数25106y x x =-+的图像与x 轴有 个交点． 第8题. 已知二次函数212y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程2102x bx c -++=的两个实 根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为 第9题. 抛物线2283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为．第10题. 已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点； （2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．。
二次函数与一元二次方程 导学案
九年级数学上册导学案1.二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点．2.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3.求二次函数图象y＝x2－3x＋2与x轴的交点A，B的坐标．结论：方程x2－3x＋2＝0的解就是抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．即：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)．从上表可知,下列说法正确的个数是( )①(-2,0)为抛物线与x轴的一个交点; ②抛物线与y轴的交点为(0,-2);③抛物线的对称轴是x=1; ④在对称轴左侧,y随x的增大而增大.A.1B.2C.3D.44.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠-1),其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.45.若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是.6.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是.7.(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象;(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点);(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根(精确到0.1).8.已知关于x的二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有2个交点.(1)求k 的取值范围;(2)若与x 轴交点的横坐标为x 1,x 2,且它们的倒数之和是-32,求k 的值.9．已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，（1）试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点； （2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？10．已知二次函数62-+=x x y ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．（1）方程062=-+x x 的解是什么？（2）x 取什么值时，函数值大于0？x 取什么值时，函数值小于0？。
二次函数与一元二次方程导学案
学
习
研
讨
活动一：阅读分析课本70页内容：回答下列问题
( 1 ) h和t的关系式是什么？
（2）图象上的每一个点的横、纵坐标分别代表什么含义？
( 3 )小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
1．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为_____
2．抛物线y=x2－2x＋3与x轴的交点个数为个．
3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=______
4．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围．
5．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过象限．
3、理解一元二次方程ax +bx+c=h（a、b、c、h是常数，a≠0）的根就是二次函数y=ax +bx+c的图象与直线y=h的交点的横坐标。
学习
重点、难点
重点：1、体会方程与函数之间的联系，理解何时一元二次方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有根。2、理解一元二次方程ax +bx+c=h（a、b、c、h是常数，a≠0）的根就是二次函数y=ax +bx+c的图象与直线y=h的交点的横坐标。
难点：探索方程与函数之间的联系，理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
学习过程
学习内容
学案整理
知
识
链
接
1.抛物线y = x + 2x - 4的对称轴是_______,开口方向是______,顶点坐标是___________.
二次函数与一元二次方程(第2课时)导学案
第二章 二次函数《二次函数与一元二次方程（第2课时）》教学设计说明一、教学目标知识与技能目标：利用二次函数的图象求一元二次方程近似解. 二、教学重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解教学难点：用逼近法求一元二次方程近似解 三、教学过程分析一、课前检测，回顾迎新1.若方程02=++c bx ax 的根为21-=x 和32=x ，则二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点坐标是 .2.二次函数x x y 22+=的图象如图所示，则一元二次方程 022=+x x 的解为 .注：课前的训练让学生用已有的知识研究二次函数与一元二次方程的精确解，为新课研究近似解提供研究思路.二、合作交流，探索新知你能利用二次函数的图象估计一元二次方程01022=-+x x 的根吗？ 1.自主探索（1）观察二次函数的图象，抛物线与x 轴的交点的横坐标约 为________________.（2）由图象可知，方程01022=-+x x 有 个根， 一个根在 和 之间，另一个根在 和 （填两个整数）.1022-+=x x y（3）估计方程01022=-+x x 的近似根是 （精确到0.1）注：此处以问题串的形式引导学生探索近似解的研究方法. 2.小结反思（小组合作交流，解决问题） （1）用什么方法验证你的结果是否正确？（2）利用二次函数c bx ax y ++=2的图象求一元二次方程02=++c bx ax 的近似根的一般步骤.步骤一：____________________________________________________ 步骤二：____________________________________________________ 步骤三：____________________________________________________注：①作二次函数c bx ax y ++=2的图象.②观察估计二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标. ③确定一元二次方程ax 2+bx+c=0的解.3.及时强化试用二次函数的图象估计下列方程的近似根 （1）2822=-+x x ，（2）11022=-+x x .1022-+=x x yO xyAx = 2B你是如何解决这一问题的，在小组内交流你们的解法.注：（1）2822=-+x x 是对案例01022=-+x x 作了简单的变形，学生可以按照上述的三个步骤操作，也可以将方程2822=-+x x 直接转化为方程01022=-+x x ，进而应用例题的结论，引导学生多方面多角度研究问题.（2）11022=-+x x 可以转化为一般式进行常规研究，也可以引导学生作直线1=y 与二次函数的交点，研究横坐标，引导学生学会知识的迁移.三、运用提高，形成技能1.二次函数1422++-=x x y 的图象如图所示，则一元二次方程01422=++-x x 的近似根是 （精确到0.1）2. 如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3）D ．（4，3）3.利用二次函数的图象求一元二次方程01522=-+x x 的近似根.1. 如图，一个圆形喷水池的中央竖立安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径流下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m) 与水平距离x (m)之间的关系式是4722++-=x x y （x >0）.柱子OA 的高度为多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？(结果保留根号)注：此处的练习层次分明，在让学生形成成就感的同时，有利于培养学生的研究习惯.四、小结提升，作业布置将你本节课学到的方法与同伴交流，小组小结本课所学知识.注：要给予学生时间进行小结和反思，并鼓励小组进行交流，最后通过学生的发言判断学生本课学习的情况.。
中考复习：二次函数与一元二次方程
第15讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
命题角度： 1. 二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标， 与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系； 2. 图象上的特殊点与a，b，c的关系． 例4 [2012·重庆] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象如图15－4所示， 对称轴x＝－ .下列结论中，正确的 是( D )
第15讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 二次函数与一元二次方程 命题角度： 1．二次函数与一元二次方程之间的关系； 2．图象法解一元二次方程； 3．二次函数与不等式(组)．
例1 抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1， (3，0) 0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
c＝0 c>0 c<0
第15讲┃ 考点聚焦
考点3
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－ h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均 可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1 ：
图15－1
第15讲┃ 考点聚焦
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点 式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
2个
1个 没有
Δ>0
Δ＝0 Δ<0
第15讲┃ 考点聚焦
考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、 b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特 征 开口向上 开口向下 对称轴为y 轴 对称轴在y 轴左侧 对称轴在y 轴右侧
a
a>0 a<0 b＝0
b
第15讲 二次函数的实际应用-中考数学一轮复习知识考点习题课件
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(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向 某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的 利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围. 3≤m≤6.
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10.(202X·青岛)某公司生产A型活动板房，成本是每个425元.图1表示A型活动
润w(元)最大，最大利润是19 200元．
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(2)当月利润为8 750元时，每千克水果售价为多少元？
解：设每千克水果售价为x元． 由题意，得(x－40)[500－10(x－50)]＝8 750， 解得x1＝65，x2＝75. 答：每千克水果售价为65元或75元．
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(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元． 由题意，得y＝(m－40)[500－10(m－50)]＝－10(m－70)2＋9 000， ∴当m＝70时，y有最大值，最大值为9 000. 答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大．
(1)求y与x的函数解析式；(不求自变量的取值范围)
解：设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
把x＝4，y＝10 000和x＝5，y＝9 500代入，得
4k b 10 000, 5k b 9500,
解得
k b
500, 12 000,
∴y＝－500x＋12 000.
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解：设小丽出发第x min时，两人相距s m， 则s＝(－180x＋2 250)－(－10x2－100x＋2 000)＝10x2－80x＋ 250＝10(x－4)2＋90， ∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90. 答：小丽出发第4 min时，两人相距最近，最近距离是90 m．
【2019年度】精编中考数学一轮复习第15讲二次函数与一元二次方程导学案
【2019年度】精编中考数学一轮复习第15讲二次函数与一元二
次方程导学案
一、知识梳理
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－
4ac的符号之间的关系
＝
＝
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图
二、题型、技巧归纳
考点1二次函数与一元二次方程
例1 抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
技巧归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线
y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
考点2二次函数的图象的平移
例2 将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
技巧归纳：
1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点。
人教版初中初三年级九年级数学上册 二次函数与一元二次方程 精品导学案
第二十二章二次函数22.2 二次函数与一元二次方程学习目标：1.通过探索,理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.难点：通过探索,理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.一、知识链接1.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程20ax bx c++=(a≠0)根的情况.2.写出二次函数223y x x=--的图象的顶点坐标、对称轴,并画出它的图象.然后观察图象,x 为何值时,y=0？二、要点探究探究点1：二次函数与一元二次方程的关系问题如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力,球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h=20t－5t2,考虑以下问题：(1) 球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？(2) 球的飞行高度能否达到20m？如果能,需要多少飞行时间？(3) 球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(4) 球从飞出到落地要用多少时间？要点归纳：一般地,当y取定值且a≠0时,二次函数为一元二次方程.典例精析例1 如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线26810105xy x=-++运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.自主学习课堂探究(1) 当铅球离地面的高度为2.1m时,它离初始位置的水平距离是多少？(2) 铅球离地面的高度能否达到2.5m,它离初始位置的水平距离是多少？(3) 铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程思考观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有,公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1)y=x2－x+1；(2) y=x2－6x+9；(3)y=x2+x－2.要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2－4ac二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点有两个交点有两个不相等的实数根b2－4ac＞0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2－4ac=0没有交点没有实数根b2－4ac＜0例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值．【变式题】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时,抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2的平方和为3,求a的值．探究点3：利用二次函数求一元二次方程的近似解例3 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).方法总结：一元二次方程x²－2x－2=0 的根就是抛物线y=x²－2x－2 与x轴的交点的横坐标,因此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫做图象法.例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为()A．x1≈－2.1,x2≈0.1B．x1≈－2.5,x2≈0.5C．x1≈－2.9,x2≈0.9D．x1≈－3,x2≈1方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根,再根据对称性计算出另一个根,估计值的精确程度,直接关系到计算的准确性,故估计尽量要准确．探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图①,那么：方程ax2+bx+c=0的根是；不等式ax2+bx+c>0的解集是；不等式ax2+bx+c<0的解集是.图① 图①拓广探索：函数y=ax2+bx+c的图象如图①,那么：方程ax2+bx+c=2的根是______________；不等式ax2+bx+c>2的解集是___________；不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.问题2 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数,那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有个交点,坐标是.方程ax2+bx+c=0的根是.问题3 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？试一试：利用函数图象解下列方程和不等式.(1) ①－x2+x+2=0；①－x2+x+2>0；①－x2+x+2<0.(2) ①x2－4x+4=0；①x2－4x+4>0；①x2－4x+4<0.(3) ①－x2+x－2=0；①－x2+x－2>0；①－x2+x－2<0.要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系：二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点 a ＞0a ＜0有两个交点x 1,x 2 (x 1＜x 2)y ＜0,x 1＜x ＜x 2； y ＞0,x ＞x 2或x ＜x 1y ＞0,x 1＜x ＜x 2； y ＜0,x ＞x 2或x ＜x 1.有一个交点x 0y ＞0,x 0之外的所有实数；y ＜0,无解y ＜0,x 0之外的所有实数；y ＞0,无解. 没有交点 y ＞0,所有实数； y ＜0,无解y ＜0,所有实数； y ＞0,无解三、课堂小结判别式Δ=b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根 x 1；x 2 x 1=x 2＝-2ba没有实数根不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的解集 x <x 1或x >x 2x ≠ -2ba 的一切实数 所有实数不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集 x 1<x <x 2 无解无解1.根据下列表格的对应值：x 3.23 3.243.253.26y =ax 2+bx +c－0.06 －0.020.03 0.09 判断方程 ax 2+bx +c =0 (a ≠0,a ,b ,c 为常数)一个解x 的范围是( )A. 3< x < 3.23B. 3.23< x < 3.24C. 3.24 <x < 3.25D. 3.25 <x < 3.26 2.若一元二次方程20x mx n -+=无实根,则抛物线2y x mx n =-+的图象位于( )A.x 轴上方B.第一、二、三象限C.x 轴下方D.第二、三、四象限 3.二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( )A.k <3B.k <3且k ≠0C.k ≤3D.k ≤3且k ≠04.若二次函数y =－x 2+2x +k 的部分图象如图所示,且关于x 的一元二次方程 －x 2+2x +k =0的一个解x 1=3,则另一个解x 2= .当堂检测5.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ,x2=53,那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是.6.已知二次函数268y x x=-+的图象,利用图象回答问题：(1)方程2680x x-+=的解是什么？(2) x取什么值时,y>0 ？(3) x取什么值时,y<0 ？7.已知函数y＝(k-3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点,求k的取值范围．8.某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时距地面209米,与篮框中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中？(2)此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功？参考答案自主学习知识链接1.当b 2－4ac ＞0时,方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac =0时,方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时,方程无实数根.2.解：y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,则y =x 2-2x -3的图象的顶点坐标为（1,-4）,对称轴为直线x =1,画图略,当x =3或-1时,y =0. 课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数与一元二次方程的关系 问题 解：（1）解方程：15=20t -5t 2,t 2-4t +3=0,t 1=1,t 2=3.①当球飞行1s 或3s 时,它的高度为15m. （2）解方程：20=20t -5t 2,t 2-4t +4=0,t 1=t 2=2.当球飞行2s 时,它的高度为20m.（3）解方程：20.5=20t -5t 2,t 2-4t +4.1=0,因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m.(4)0=20t -5t 2,t 2-4t =0,t 1=0,t 2=4.当球飞行0s 和4s 时,它的高度为0m 即0s 时小球从地面飞出,4s .例1 解 ：（1）由抛物线的表达式得268 2.1,10105x x -++=即x 2-6x +5=0,解得x 1=1,x 2=5. 即当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是1m 或5m.（2）由抛物线的表达式得268 2.5,10105x x -++=即x 2-6x +9=0,解得x 1=x 2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m 时,它离初始位置的水平距离是3m.（3）由抛物线的表达式得2683,10105x x -++=即x 2-6x +14=0,因为Δ=(-6)2-4×1×14＜0,所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程 思考 解：（1）y =x 2－x +1的图象与x 轴无交点,则相应的一元二次方程为x 2－x +1=0无实数根.(2) y =x 2－6x +9的图象与x 轴有1个交点,交点的横坐标为3,则相应的一元二次方程为 x 2－6x +9=0,其根为x 1=x 2=3.(3) y =x 2+x －2的图象与x 轴有2个交点,交点的横坐标分别为-2,1,则相应的一元二次方程为x 2+x －2=0,其根为x 1=1,x 2=-2.例2 (1)证明：①m ≠0,①Δ＝(m ＋2)2－4m ×2＝m 2＋4m ＋4－8m ＝(m －2)2. ①(m －2)2≥0,①Δ≥0,①此抛物线与x 轴总有交点.(2)解：令y ＝0,则(x －1)(mx －2)＝0,所以 x －1＝0或mx －2＝0,解得 x 1＝1,x 2＝2.m当m 为正整数1或2时,x 2为整数,即抛物线与x 轴总 有两个交点,且它们的横坐标都是整数．所以正整数m 的值为1或2.【变式题】(1)证明：①Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0,①不论a 取何值时,抛物线y ＝x 2＋ax ＋a －2与x 轴都有两个不同的交点.(2)解：①x 1＋x 2＝－a ,x 1·x 2＝a －2,①2212x x +＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝a 2－2a ＋4＝3,①a ＝1.探究点3：利用二次函数求一元二次方程的近似解例3 解：画出函数 y =x ²-2x -2 的图象（如下图）,由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是-0.8或-0.7,利用计算器进行探索,见下表：观察上表可以发现,当x 分别取-0.8和-0.7时,对应的y 由负变正,可见在-0.8与-0.7之间肯定有一个x 使y =0,即有y =x 2-2x -2的一个根,题目只要求精确到0.1,这时取x =-0.8或x =-0.7都符合要求.但当x =-0.7时更为接近0.故x 1≈-0.7. 同理可得另一近似值为x 2≈2.7. 例4 B探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 问题1 x 1=-1,x 2=3 x ＜-1或x ＞3 -1＜x ＜3 拓广探索： x 1=-2,x 2=4 x ＜-2或x ＞4 -2＜x ＜4 问题2 1 （2,0） x =2问题3 0 （1）当a >0时, ax 2+bx +c <0无解;（2）当a ＜0时, ax 2+bx +c <0的解集是一切实数.试一试：解：（1）①x 1=-1 , x 2=2 ①-1 ＜ x ＜2 ①x ＜-1或 x ＞2 （2）①x 1= x 2=2 ①x ≠2的一切实数 ① x 无解 （3）①x 无解 ①x 无解 ① x 为全体实数 当堂检测1.C2.A3.D4.-15.（-2,0）,5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭6.解：（1）x 1=2,x 2=4; （2）x <2或x >4; （3）2<x <4.7.解：当k ＝3时,函数y ＝2x ＋1是一次函数．①一次函数y ＝2x ＋1与x 轴有一个交点, ①k ＝3；当k ≠3时,y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1是二次函数．①二次函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点,①Δ＝b 2－4ac ≥0.①b 2－4ac ＝22－4(k －3)＝－4k ＋16,①－4k ＋16≥0.①k ≤4且k ≠3.综上所述,k 的取值范围是k ≤4.8. 解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A 200,9⎛⎫ ⎪⎝⎭, B (4,4),C (7,3).其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －4)2＋4,将点A 的坐标代入,可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入上式,得左边＝3,右边＝－19(7－4)2＋4＝3,左边＝右边,即点C 在抛物线上．所以此球一定能投中.(3) 将x ＝1代入函数关系式,得y ＝3.因为3.1＞3,所以盖帽能获得成功．。
《二次函数与一元二次方程导学案新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2．4 二次函数二次函数与一元二次方程学习目标1、学生看书思考竖直向上抛物体的高度与运动时间的关系式及在坐标系中的图像特点。
2、观察二次函数y=x2+2x ，y=x2-2x+1， y=x2-2x+2的图像特点。
3、说出二次函数图像与X轴的交点情况4、说出二次函数y=ax2+bx+c的图像和X轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系自主学习：1、目标：通过自学，总结二次函数图像与X轴的交点坐标，并探索之间的关系2、内容：课本71“议一议”。
3、方法：利用课本中的坐标系，找出各图像与X轴的交点坐标，并做在课本上。
4、时间：10分钟5检测题1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是。
2抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A 两个交点B 一个交点C 没有交点D 画出图象后才能说明预设问题：二次函数与一元二次方程的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来合作探究：我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.达标练习：1 抛物线y=x2-4x+4与轴有个交点，坐标是2不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。
谈收获：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
当△﹥0方程根的情况是：；当△=0时，方程；当△﹤0时，方程作业布置： A课本第55页习题。
《二次函数与一元二次方程(1)》导学案2
3.7 二次函数与一元二次方程（1）学习目标:体会二次函数与方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h(h是实数)图象交点的横坐标．学习重点:本节重点把握二次函数图象与x轴(或y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．学习难点:应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．学习方法:讨论探索法．学习过程:一、实例讲解：我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=－5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1)h和t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流．二、议一议：在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2－2x+1,y=x2－2x+2的图象并回答下列问题：(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程? x2+2x=0,x2－2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2－2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?三、例题：【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)，对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．【例3】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式．四、随堂练习：1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．(1)y=x2－2x；(2)y=x2－2x－3．2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？。
二次函数与一元二次方程(导学案)九年级数学上册系列(人教版)
22.2 二次函数与一元二次方程导学案1 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
2 通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：核心知识二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：思维导图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间？[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间？[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？[问题四]球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能，需要多少时间？[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.【问题】以下二次函数图象与x轴有公共点吗？如果有公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？1)y=x2+x-2 2)y=x2-6x+9 3)y=x2-x+1.【问题】利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根（结果保留小数后一位）。
典例分析典例1．若抛物线y=(k−1)x2−2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．【针对训练】1．已知抛物线y=2mx2−4mx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(x2,0)两点，则B点的横坐标x2＝．2．抛物线y=x2−3x−4与x轴的交点坐标为．3．若对称轴为直线x=−2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点(1,0)，则一元二次方程ax2+bx+c= 0的根是．典例2．抛物线y=−x2−3x+3与y轴交点的坐标为．【针对训练】1．抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为个．2．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+8与y轴的交点为B点，则OB=．例3．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是，方程x2+bx+c＝0的解是．【针对训练】1．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，则方程x2+bx+c=0的解是_______________典例4．根据下面表格中的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是()【针对训练】1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的一个解x的范围是（）A．3<x<3.23B．3.23<x<3.24C．3.24<x<3.25D．3.25<x<3.262．根据抛物线y=x2+3x−1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（）A．x2+3x−1=0B．x2+3x+1=0C．3x2+x−1=0D．x2−3x+1=0典例5．已知抛物线y=x2+(m−1)x+m−3（m为常数），求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点．【针对训练】1．若二次函数y=x2+(b−1)x+4的图象与x轴只有一个交点，求b的值．典例6．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．(1)求该图象的解析式；(2)求AC长．【针对训练】1．已知关于x的一元二次方程x2−4x+m=0．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围．(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求二次函数y=x2−4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离．1．（2023·湖南郴州真题）抛物线y=x2−6x+c与x轴只有一个交点，则c=．2．（2022·黑龙江大庆中考真题）已知函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为．1.本节课学了哪些主要内容？2.简述二次函数与一元二次方程的联系？【参考答案】以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间？解：当h=15时，20t-5t2=15，解得，t1=1，t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间？当h=20时，20t-5t2=20，解得，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？飞行高度达到20m时，小球正好运动到抛物线的顶点。
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第15讲二次函数与一元二次方程
一、知识梳理
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
＝
＝
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图
二、题型、技巧归纳
考点1二次函数与一元二次方程
例1 抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
技巧归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
考点2二次函数的图象的平移
例2 将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
技巧归纳：
1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．
2．平移的变化规律可为：
(1)上、下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k＋m；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k－m.
(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系
式为y＝a(x－h－n)2＋k.
例3 如图把抛物线y＝0.5x2平移得到抛物线m. 抛物线m经过点A(－6,0)和原点(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝0.5x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．
考点3二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图15－4所示，对称轴x＝
1
2
.下列结
论中，正确的是( )
A．abc>0 B．a＋b＝0
C．2b＋c>0 D．4a＋c<2b
技巧归纳：二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
考点4二次函数的图象与性质的综合运用
例5如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
技巧归纳：
(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．
(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．
(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．
三、随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A.y=2x2– 3
B.y= - 2 x2 + 3
C.y= - x2– 2x
D.y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线
y=x2-2x+m与x轴有＿个交点.
3.已知抛物线 y=x2– 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿＿.
5.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿＿＿＿ ,与x轴交于点.
6.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解
是 .
8.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A.无交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.不能确定
参考答案
例1、(3，0) 例2、B 例3、272
例4、D.
例5、解：(1)∵四边形OCEF 为矩形，OF ＝2，EF ＝3， ∴点C 的坐标为(0，3)，点E 的坐标为(2，3)．
把x ＝0，y ＝3；x ＝2，y ＝3分别代入y ＝－x 2
＋bx ＋c 中， 得3423
b c
c =-++⎧⎨
=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，
∴抛物线所对应的函数解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3； (2)∵y ＝－x 2
＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4， ∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)， ∴△ABD 中AB 边的高为4， 令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3， 所以AB ＝3－(－1)＝4， ∴△ABD 的面积＝
1
2
×4×4＝8； (3)△AOC 绕点C 逆时针旋转90°，CO 落在CE 所在的直线上， 由(2)可知OA ＝1，
∴点A 对应点G 的坐标为(3，2)， 当x ＝3时，y ＝－32
＋2×3＋3＝0≠2， 所以点G 不在该抛物线上． 随堂检测 1、 D 2、 1，1 3、 16
4、 (0，2 ) (1，0)(2，0)
5、(0，5) ( 5
2
, 0 ) (-1，0)
6、(-2，0)( 5
3
, 0)。