3.3 二维连续型随机变量及其分布

1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)

3x(1 x4 0,其它
),0

x

1,
当0 y 1时，fY ( y)

f (x, y)dx


0
y
6xydx

3x2 y
|x
x0
y

3y 2 , 故得
fY
(
y)

3y2,0 0,其它.
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x

2x
2

2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y


f
x，
ydx

1 0

x2

1 3
xy dx

1 3

1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y

1 3
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
0 x2

0 x 0 或 x 1
(2) f X (x) f (x, y)dy x

6dy 6(x x2 ) 0 x 1
x2
y
内的位置无关。
例3.3.2.设G {( x, y) | y sin x,0 x , y 0},
随机变量 ( X ,Y )在G上服从均匀分布，求 Y大于 2 X的概率。

解：G的面积A


sin xdx cosx | 2,
0
0
故得( X ,Y )的联合密度
解 (1)区域G的面积为1
y
1
y=2x
G
G1
G2
1 (x, y) G
O
0.5 1 x
f (x, y) 0 (x, y) G
11 1
(2) 区域G1的面积为 AG1 P(Y<2X) AG1 1 AG 4
(3)F(0.5,0.5)=P(X≤0.5,Y≤0.5)
1 22 4
y
f (x, y) 0
其它
y=x
1
(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y≤1)。
解 (1)

f (x, y)dxdy 1
11
( kx2 ydy)dx 1

0x
O
x+y=1
1
x
1 (1 kx2 1 kx4 )dx 1
02
2
(1 kx3 6
1 kx5 ) 10
f
( x,
y)

1 2
,
( x,
y)
G,
0, 其 它.
于是，设D G {(x, y) | y 2 x}，则有

P(Y

2

X
)


D
f
( x,
y)dxdy


D
1dxdy 2
1 (1 1 ) 4 (用几何概率更简单)
2 22 8
练习 设(X,Y)服从如图区域G上的 均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P(Y<2X)； (3)求F(0.5,0.5)。
分必条件是有f(x，y)、 fx(x)、 fy(y)的一切公共连续
点处有
f (x, y) fX (x) fY ( y)
推广：设X1，X2，…，Xn为n 个连续型随机变量， 且X1，X2，…，Xn相互独立，则在一切公共连续 点处有 f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)。
由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与r无关， 说明r不同，得到的二维正态分布也不同，但 其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一 确定联合分布的，即使X,Y都是服从正态分布 的随机变量， (X,Y)不一定是服从二维正态分 布。
二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之 不真。
3.3.4 独立性
f
(x,
y)

Axy, (x, 0, 其 它
y)

G,
(1)求A的 值 ；
（2）计算概率P( X 1 ,Y 1). 22
解：由题设，有
1＝
＋
＋
f
(x,
y)dxdy

11
dx
Axydy
－ －
0
x2
A 1 x. 1(1 x4 )dx A
02
6
故A 6
(2).P( X

1 2
,Y

1) 2

6xydxdy
D
(其中D G {(x, y) | x 1 , y 1}) 22

1
2 dx
1
2 6xydy 3
1 2
x(
1

x4
)dx
0
x2
04
11 128
练习：设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
kx2 y 0 x y 1
FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区 域内的概率。
y
y
y
O
x
x
O
x
定理 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x,y), 则X的边缘密度为

fX (x) f (x, y)dy,
Y的边缘密度为

fY ( y) f (x, y)dx,
x , y ,
y)

x
x y
f
(u, v)dvdu

y
f
(x, v)dv
2F(x, y) xy

y

y
f

(x, v)dv

f
(x, y)
例3.3.1.设G表 示 由 曲 线y x2及 直 线y 1围 成 的图形在第一象限内的部分，设( X ,Y )的联合 (2)P(X 1)
2
1
2
fX
(x)dx

1
2 3x(1 x4 )dx
0
47 128
P(Y 1)
2

1 fY ( y)dy
2
1 1 2
3y2dy

7 8
y
(1,1)
练习：设(X,Y)的概率密度为
y x
c x2 y x f (x, y) 0 其它

1 6
y
0 y2
0
其它
fX

x

2x2

2 3
x
0
f

x,
y

x 2

1 3
xy
0 x 1, 0 y 2
0
其它
0 x 1 其它
由于当0<x<1，0<y<2时，
f x， y fX x fY y
所以，随机变量X与Y不独立。
例: 设随机变量（X ,Y）的概率密度为：
xye(x y) , x 0, y 0
f
(x,
y)

0,
其它
问X与Y是否独立？
解 ： 当X 0时 ，X有 边 缘 密 度 ：
P( X ,Y ) G f (x, y)dxdy.
G
另外：对任意的平面曲线L，有
P( X ,Y ) L 0.
(4) 若f (x, y)在(x0,y0) 处连续，则有
2F (x, y)
xy
f (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
事实上
F (x, x
分布函数 F(x,y)=P({Xx}∩{Yy})=P(Xx,Yy)
xy
f (u,v)dudv
联合密度f(x, y)的性质
(1)非负性：f(x,y)0，(x,y)R2;
(2)归一性：

f (x, y)dxdy 1F(,)

(3) 设G是平面上一个区域，则二维连续型随机变量 (X,Y)落在G内的概率是概率密度函数f(x, y)在G上的 积分，即
F(x1,...xn ) FX1 (x1)FX2 (x2 )....FXn (xn )
则称X1,X2,...Xn 相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。
对连续型随机变量有下面的定理：
定理：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度
为f(x，y)，边缘密度fx(x)，fy(y)，则X与Y独立的充
由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分 布函数的关系（注意总结）
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x,)
FY ( y) P(Y y) P(X ,Y y) F(, y)
边缘分布的几何意义
FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域 内的概率；
1 0
1
D
:
x 0

y x
1 1
解得k=15
1
(2) P(X Y 1)
f
(x,
y)dxdy

2
1
x
15x
2
ydydx
x y1
0 x

15 5 192 64
x y 1 x
D:
0

x

1 2
3.3.2 二维连续型随机变量的常用分布
(1,1)
y x y x2
O
x

0 y 0 或 y 1
fY (y) f (x, y)dx y

6dx 6( y y) 0 y 1
y
p(Y 1) 2

1 fY ( y)dy
2
1
1 6(
2
y y)dy
定理: 设(X,Y) N(1, 2; 12 ,22;r)，则X及Y 的边缘分布有XN(1,12)， YN(2,22)

区 域G2的 面 积 区 域G的 面 积

1
4 1

1 4
（2）二元正态分布(了解)
定义：设 二维随机变量 X， Y 的密度函数为
f x， y
1
2 1 2 1 r 2

exp
2
1
1
r
2
x

1 2

2 1

2rx
1y
1 2
例3.3.3.在例3.3.（ 1 P51)中，求
（1）.X及Y的边缘密度；
（2）.计算概率P( X 1 )及P(Y 1 ).
2
2
解 （1） 由 例3.3.1知
f
( x,
y)

6xy, (x, 0, 其 它
y)
G,
当0 x 1时，f X (x)

f (x, y)dy
例 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为
f
x，
y
x2

1 3
xy
0 x 1，0 y 2
0
其它
试判断随机变量X与Y是否相互独立？
解： 当0 x 1时，

fX x f x， ydy

2 x2 1 xy dy 2x2 2 x
bd
P(a X b,c Y d) a c f (x, y)dxdy
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
记(X, Y)～ f (x, y)， (x, y)R2
3.3.3 边缘分布
二维随机变量的边缘分布函数(联系离散型) 二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有联合分布
函数F(x,y)，而X和Y都是随机变量，各自也有它们 的分布函数，记
X的分布函数为FX(x)，称为随机变量(X,Y)关于 X的边缘分布函数；
Y的分布函数为FY(y)，称为随机变量(X,Y)关于 Y的边缘分布函数。
(1).二维均匀分布
设G为xoy平面上的有界区域，G的面积为A，若二维 随机变量(X, Y)的联合密度函数为
f
(x,
y)


1 A
(x, y) G
0 其 它
则称二维随机变量(X, Y)在G上服从均匀分布。
实质上就是2维的几何概型。
即结：论此：概若率GP仅1(是与XG,GY内1)的面G面1积积为有G1A关f1(的x(,成子y)正d区x比d域y)，，AA则而1 与G1在G

2

y
2 2

2 2

则称随机变量
X，
Y
服从参数为
1，
2，
12，

2 2
r
的正态分布，记作
X， Y ~ N
1，
2，
12，

2 2
,
r
i i 1， 2 i 0 i 1， 2 1 r 1
3.3 二维连续型随机变量及其分布
3.3.1、二维联合密度及联合分布函数 3.3.2、二维均匀分布及二维正态分布 3.3.3、二维连续型随机变量的边际分布
3.3.1二维联合密度及联合分布函数
定义: 对于二维随机变量 ( X,Y ) , 如果存在非负可积 函数 f (x , y )，使得对于任意的实数a<b, c<d，有：