3.3 二维连续型随机变量及其分布
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3.3条件分布
,
i 1,2,L
为Y y j条件下 X 的条件分布律.
X
x1
P{X xi |Y yj }
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p1 j p• j
x2 p2 j p• j
xi pij p• j
条件分布
同理
P{Y
yj
|X
xi }
P{X xi ,Y P{X xi }
yj}
pij pi•
, j 1,2,L
为 X xi 条件下Y 的条件分布律.
Y
y1
P{Y y j | X xi }
pi 1 pi•
y2 pi 2 pi•
yj pij pi•
注意：
P{X
xi | Y
yj} 0； P{X
i 1
xi |Y
yj}
i 1
pij p• j
p• j p• j
1.
条件分布
例 1 设袋中装有 4 个白球、5 个红球，现从袋中随机地无放回地抽取两次，定义随机变量
X | Y FX|Y ( x | y)
条件分布函数
条件分布
二、二维离散型随机变量的条件分布
设 ( X ,Y ) 是 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ， 对 于 固 定 的 j ， 若
P{Y yj } 0，称
P{ X
xi
二维连续型随机变量及其概率分布
x y
则称f(x,y)为二维随机变量(ξ,η)的联合概率密度函 数(简称密度函数)，同时称(ξ,η)为二维连续型随机 变量。
联合密度函数具有的性质：
(1) f ( x, y ) ≥ 0 (2) ∫ ∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy = 1
反之，满足这两个条件的函数f(x,y)都可以作为某个 连续型二维随机变量的密度函数。
F ( x, y ) =
∑∑
{( i、j )|满足x i ≤ x , y j ≤ y }
P{ξ = xi ,η = y j }
3.2.2 联合密度函数和边缘密度函数
定义3.4 设F(x,y)是(ξ,η)的联合分布函数，如果存 在一个函数f(x,y)，使得对于任意的x和y恒有
F ( x, y ) = ∫ ∞ ∫ ∞ f (u , v)dudv
若存在某个函数f(x1, x2,…, xn)，对一切实数x1, x2,…, xn，总有
F ( x1 , x2 ,..., xn ) = 和Fξi ( xi ) =
xi x1 x 2 x 3 ∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫ ... f (t ,..., t
1 i
Biblioteka Baidu
n
)dt1 ...dt n
∞
∫ fξ (t )dt , i = 1,2,3,..., n
+∞
∫ x ∫ y 6e 3u 2 v dudv, x > 0, y > 0 0 0 F ( x, y ) = ∫ ∫ f (u , v)dudv = 其它 ∞ ∞ 0,
则称f(x,y)为二维随机变量(ξ,η)的联合概率密度函 数(简称密度函数)，同时称(ξ,η)为二维连续型随机 变量。
联合密度函数具有的性质：
(1) f ( x, y ) ≥ 0 (2) ∫ ∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy = 1
反之，满足这两个条件的函数f(x,y)都可以作为某个 连续型二维随机变量的密度函数。
F ( x, y ) =
∑∑
{( i、j )|满足x i ≤ x , y j ≤ y }
P{ξ = xi ,η = y j }
3.2.2 联合密度函数和边缘密度函数
定义3.4 设F(x,y)是(ξ,η)的联合分布函数，如果存 在一个函数f(x,y)，使得对于任意的x和y恒有
F ( x, y ) = ∫ ∞ ∫ ∞ f (u , v)dudv
若存在某个函数f(x1, x2,…, xn)，对一切实数x1, x2,…, xn，总有
F ( x1 , x2 ,..., xn ) = 和Fξi ( xi ) =
xi x1 x 2 x 3 ∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫ ... f (t ,..., t
1 i
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n
)dt1 ...dt n
∞
∫ fξ (t )dt , i = 1,2,3,..., n
+∞
∫ x ∫ y 6e 3u 2 v dudv, x > 0, y > 0 0 0 F ( x, y ) = ∫ ∫ f (u , v)dudv = 其它 ∞ ∞ 0,
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
随机变量是概率论中的一种重要概念，指的是某个随机事件所对应的数值。二维连续型随机变量指的是有两个自变量的随机变量，每个自变量都属于某个连续区间。这种随机变量的分布函数和概率的计算是概率论研究的一个重点。
对于一个二维连续型随机变量(X,Y)，其概率密度函数f(x,y)满足以下条件：
1. 对于所有的实数(x,y)，f(x,y)>=0。
2. 对于任意两个实数a和b(a<b)，有P(a<X<=b)=∫[a,b]∫f(x,y)dxdy。
3. ∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)f(x,y)dxdy=1。
f(x,y)独立于自变量的选取，并且可以看做点(x,y)在随机平面上的高度函数，表示(x,y)点上的概率密度。
定义随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=P{X<=x,Y<=y}。它满足以下条件：
1. F(x,y)是一个单调不减的函数。对于所有的x和y，有
F(x,y)<=F(x+δx,y)<=F(x+δx,y+δy)<=F(x,y+δy)，其中δx和δy是任意正数。
2. F(x,y)是一个右连续的函数。对于无穷小的正数h，有lim F(x+h,y)=F(x,y)。
3. F(x,y)的边界值为lim F(±∞,y)=lim F(x,±∞)=0，lim F(±∞,±∞)=1。
此外，二维连续型随机变量的分布函数F(x,y)的偏导数f(x,y)即为概率密度函数。也就是说，f(x,y)=∂F(x,y)/∂x∂y。
§3.3 二维连续型随机变量及其分布
1 f ( x, y) = ⋅ exp − ⋅ 2 2 2πσ 1σ 2 1 − r 1− r ( x − µ1 )2 ( x − µ1 )( y − µ2 ) ( y − µ 2 )2 − 2r + 2 σ2 , σ 1σ 2 σ 2 1 − ∞ < x , y < +∞ . 1
3)F ( −∞ ,−∞ ) = F ( −∞ , y ) = F ( x ,−∞ ) = 0, F ( +∞ ,+∞ ) = 1;
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
O
x
G
2.4.3 边缘分布 定义2.4.4 设二维随机变量 设二维随机变量(X,Y)(包括离散 定义 包括离散 及非离散型)的分布函数为 及非离散型 的分布函数为F(x,y)，对任意有 ， 的分布函数为 序实数(x,y)，定义 ， 序实数
FX ( x ) = F ( x ,+∞ ), FY ( y ) = F ( +∞ , y ),
分别为X及 的边缘分布函数. 称 FX ( x ), FY ( y ) 分别为 及Y的边缘分布函数
3)F ( −∞ ,−∞ ) = F ( −∞ , y ) = F ( x ,−∞ ) = 0, F ( +∞ ,+∞ ) = 1;
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
O
x
G
2.4.3 边缘分布 定义2.4.4 设二维随机变量 设二维随机变量(X,Y)(包括离散 定义 包括离散 及非离散型)的分布函数为 及非离散型 的分布函数为F(x,y)，对任意有 ， 的分布函数为 序实数(x,y)，定义 ， 序实数
FX ( x ) = F ( x ,+∞ ), FY ( y ) = F ( +∞ , y ),
分别为X及 的边缘分布函数. 称 FX ( x ), FY ( y ) 分别为 及Y的边缘分布函数
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
个参数无关, 由此得
正态分布的边缘分布仍为正态分布
边缘分布不能确定联合分布
联合分布比边缘分布包含更多的信息
1 6
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
P{X ,Y y}
xx y
y
lim F(x, y) x
F (, y)
x
5
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第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
例1 已知随机向量(X,Y)的联合分布函数为
F ( x,
y)
1
2
(
2
arc tan x)(
2
arctan y)
求 (1) 联合密度函数f(x,y)；
1x2 1 dy
1x2
2
1 x2
y 1 x2
2
f X ( x)
1 x2
1 x 1
不是均匀分布
0
其它
1
4
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第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
例5 设(X，Y)服从N(μ1,μ2 ,σ12,σ22,ρ)，求边缘密度.
正态分布的边缘分布仍为正态分布
边缘分布不能确定联合分布
联合分布比边缘分布包含更多的信息
1 6
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第2节 二维随机变量的边缘分布
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
P{X ,Y y}
xx y
y
lim F(x, y) x
F (, y)
x
5
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第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
例1 已知随机向量(X,Y)的联合分布函数为
F ( x,
y)
1
2
(
2
arc tan x)(
2
arctan y)
求 (1) 联合密度函数f(x,y)；
1x2 1 dy
1x2
2
1 x2
y 1 x2
2
f X ( x)
1 x2
1 x 1
不是均匀分布
0
其它
1
4
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第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
例5 设(X，Y)服从N(μ1,μ2 ,σ12,σ22,ρ)，求边缘密度.
二维连续型随机变量的函数分布-最新文档
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二维连续型随机变量的函数分布
一、引言
在实际问题中，有时需要研究二维连续型随机变量的函数分布.例如打靶问题中，如何计算弹落点与靶心的距离的分布.又例如已知飞机飞行时在横坐标上的飞行速度，以及飞行时在纵坐标的的飞行速度，那么如何确定此时该飞机在空中飞行的合速度呢？这些都是已知二维连续型随机变量中的联合分布或其概率密度函数，如何去求它们相互作用下的函数分布，本文将针对所给出函数的不同形式，运用不同的方法来解决上述问题.
二、预备知识
定义1：设是二维随机变量，对于任意实数二元函数
称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量的联合分布函数.
性质：是变量和的不减函数，即对于任意固定的，当时，；对于任意固定的，当时，.
，对于任意固定的，对于任意固定的
对于变元和均右连续：即；
对于任意下述不等式成立
定义2：对于二维随机变量的分布函数，存在非负函数使得对于任意有则称是二维连续型随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度或称为随机变量的联合概率密度，具有以下性质：
非负性：
规范性：
设是平面上的区域，点落在内的概率为：
若在点连续，则
定义3：设二维连续型随机变量的联合分布函数为，概率密度为则有：
关于的边际密度为：
关于的边际密度为：
三、解题方法
下面将分别用分布函数法、换元法、变量变换法和增补变量法来依次解决相关的问题，对不同形式的函数采用不同的方法可以使解题更加简明、容易.
1.分布函数法
已知二维连续型随机变量的概率密度函数为则二维随机变量函数：的概率密度函数，可先求出的分布函数：
3.3二维连续型随机变量及其的分布
性质 2 规范性 + + f (x, y)dxdy 1；
性质 3 设 A 为 xOy 平面上的区域，点(X，Y)落入 A 内的 概率为：
P{(x, y) A} f (x, y) dxdy.
A
第3章 连续型随机变量
3.3.1 概率密度
性质 3 设 A 为 xOy 平面上的区域，点(X，Y)落入 A 内的 概率为：
P{(X，Y)∈A}＝A 的面积/d.
第3章 连续型随机变量
3.3.2 均匀分布
例 3.10 设(X，Y)服从圆 域 x2+y2≤4 上的均匀分 布，计算 P{(X，Y)∈A}，这 里 A 是图 3-11 中阴影部分的 区域．
解:圆域 x2+y2≤4 面积 d ＝4π；区域 A 是 x＝0， y＝0 和 x+y＝1 三条直线所围成的 三角区域，并且包含在圆域 x2+y2≤4 之内，面积＝0.5．
fX (x)
0,
其他 .
关于 Y 的边缘密度函数为
1
1dx 1 y,
y
fY ( y)
f
(x,
y)dx
1
1dx
y
1
y,
0,
0 y 1 1 y 0.
其他
第3章 连续型随机变量
ห้องสมุดไป่ตู้
3.3.3 二维正态分布
性质 3 设 A 为 xOy 平面上的区域，点(X，Y)落入 A 内的 概率为：
P{(x, y) A} f (x, y) dxdy.
A
第3章 连续型随机变量
3.3.1 概率密度
性质 3 设 A 为 xOy 平面上的区域，点(X，Y)落入 A 内的 概率为：
P{(X，Y)∈A}＝A 的面积/d.
第3章 连续型随机变量
3.3.2 均匀分布
例 3.10 设(X，Y)服从圆 域 x2+y2≤4 上的均匀分 布，计算 P{(X，Y)∈A}，这 里 A 是图 3-11 中阴影部分的 区域．
解:圆域 x2+y2≤4 面积 d ＝4π；区域 A 是 x＝0， y＝0 和 x+y＝1 三条直线所围成的 三角区域，并且包含在圆域 x2+y2≤4 之内，面积＝0.5．
fX (x)
0,
其他 .
关于 Y 的边缘密度函数为
1
1dx 1 y,
y
fY ( y)
f
(x,
y)dx
1
1dx
y
1
y,
0,
0 y 1 1 y 0.
其他
第3章 连续型随机变量
ห้องสมุดไป่ตู้
3.3.3 二维正态分布
二维连续随机变量2
2 F ( x , y) f ( x , y). 这个公式非常重要！ xy
40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为： P{( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy.
G
第三章 二维随机变量及其分布
§1 二维连续随机变量
P{( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy.
这表明，X ~ N 1， 12
同理有
e
du
1 2 1
x 1 2
0 0
1
2
第三章
二维随机变量及其分布
§3 二维连续随机变量
y
P X Y 1
12 dx
0
x y 1 1
f x， y dxdy
x+y=1
1
12 dx e
1 0
1 x
e 3 x 4 y dy
3 x 4 y
而与 D1 的形状以及 1在D中的位置无关。 D
y
D2 D1
D x
第三章
多维随机变量及其分布
§1 二维随机变量
设 二维随机变量 X， Y 的密度函数为
f x， y 1 2 1 2 1 r 2 x 1 2 2r x 1 y 2 y 2 2 1 exp 2 2 2 1 2 2 2 1 r 1
二维连续随机变量及其概率分布
§3.2 二维连续随机变量及其概率分布 一.二维随机变量的联合分布及其边缘分布
定义 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x，y 令 F(x, y)=P{X x, Y y}
则称 F(x, y)为（X, Y）的联合分布函数。 分布函数的几何意义
如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的角形区域的概率
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx.
例3 设随机变量X 和Y 具有联合分布
f
(
x,
y)
6, 0,
求X 和Y 边缘密度
x2 y x 其他
解：
f X (x)
f (x, y)dy
x
6dy x2
y
y=x 24 y( 3 2 y y2 ),
52
2
0
1
x
0 y 1
即
f
X
(
x)
12 5
x
2
(2
Baidu Nhomakorabea
x),
0,
0 x1 其它
fY ( y)
24 5
y( 3 2 y 2
y2 ),
定义 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x，y 令 F(x, y)=P{X x, Y y}
则称 F(x, y)为（X, Y）的联合分布函数。 分布函数的几何意义
如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的角形区域的概率
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx.
例3 设随机变量X 和Y 具有联合分布
f
(
x,
y)
6, 0,
求X 和Y 边缘密度
x2 y x 其他
解：
f X (x)
f (x, y)dy
x
6dy x2
y
y=x 24 y( 3 2 y y2 ),
52
2
0
1
x
0 y 1
即
f
X
(
x)
12 5
x
2
(2
Baidu Nhomakorabea
x),
0,
0 x1 其它
fY ( y)
24 5
y( 3 2 y 2
y2 ),
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 二维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量的概念 §3.2 二维离散型随机变量及其分布 §3.3 二维连续型随机变量及其分布 §3.4 随机变量的独立性 §3.5 二维随机变量函数的分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第2页
§3.1 二维随机变量的概念
X 的密度函数为 ：
p(x) p(x, y)dy
Y 的密度函数为 ：
p(y) p(x, y)dx
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注 意 点 (1)
第25页
由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息.
23 April 2012
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
第1页
第三章 二维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量的概念 §3.2 二维离散型随机变量及其分布 §3.3 二维连续型随机变量及其分布 §3.4 随机变量的独立性 §3.5 二维随机变量函数的分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第2页
§3.1 二维随机变量的概念
X 的密度函数为 ：
p(x) p(x, y)dy
Y 的密度函数为 ：
p(y) p(x, y)dx
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注 意 点 (1)
第25页
由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息.
23 April 2012
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
303 二维连续型随机变量的联合分布密度以及边缘密度
12e −(3 x+4 y) , x > 0, y > 0;
f ( x, y) =
0
;其他.
求 P ( X ≤ 1, Y ≤ 2).
Baidu Nhomakorabea
例子: 设 ( X ,Y )的概率密度函数为
12e −(3 x+4 y) , x > 0, y > 0;
f ( x, y) =
0
;其他.
求 P ( X ≤ 1, Y ≤ 2). y 2
教学要求 掌握二维连续型随机变量的联合分布函数与密度函数 的联系以及边缘分布(密度)问题的求解。
一、联合分布(密度)函数
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数为 F ( x, y),
若存在 f ( x, y) ≥ 0 对任意的 ( x, y) 都有
x
y
∫ ∫ F ( x, y) = dxu f (ux, vy))ddvy
F(x, y) =
0
;其他.
求 FX ( x). 思考 f X ( x)?
y
解:
FX ( x)
=
lim F ( x,
y → +∞
y)
当 x ≤ 0 时, FX ( x) = 0.
x
当
x
>
0
时,FX ( x)
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量是概率论和数理统计中非常重要的概念，它们在现实生活中的各
种场景中都有着广泛的应用。本文将重点讨论二维连续型随机变量的分布函数及概率的计
算问题，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先我们来谈谈什么是二维连续型随机变量。在概率论中，一维随机变量是指其取值
为实数的随机变量，而二维随机变量则是指其取值为二维平面上的点的随机变量。具体来说，设随机变量(X, Y)的可能取值为D，则称(X, Y)为二维随机变量。在实际问题中，很多情况下都会涉及到两个或多个变量之间的关系，因此二维随机变量的概念具有很强的实用性。
在讨论二维随机变量的分布函数和概率计算之前，我们先来了解一下二维随机变量的
分布函数是如何定义的。设(X, Y)为二维随机变量，其概率密度函数为f(x, y)，则(X, Y)的分布函数定义为：
F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) = \iint_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u, v)dudv
(-\infty, x) \times (-\infty, y)为二维空间上的一个区域，f(u, v)为(X, Y)的概率密度函数。在这个定义中，我们可以看到二维随机变量的分布函数是通过概率密度函数
进行积分求得的。
有了分布函数的定义，我们就可以开始计算二维随机变量的概率了。对于(X, Y)属于
某个区域的概率可以通过分布函数的求导来得到。具体来说，假设我们要计算(X, Y)属于
区域D的概率，可以通过以下公式得到：
2.3.3 二维连续型随机变量的分布密度及常用分布
市场现状分析
例1 若(X,Y)的分布密度
p(
x,
y)
k (6
x
y), 0,
试求：
(1 )参数 k ；
0 x 2,2 y 4 其它
(2)P{( X ,Y ) 的区域；
D1
},
D1是由x
1,
y
3所确定
(3)P{( X ,Y 区域。
)
D2
},
D2是 由x
y
3所确定的
*
第二章
3
市场现状分析
第三二节维连续型随机变量的分布密度及常用分布
解：（1）
1 p(x ,y )dxdy 4 2k(6 x y )dxdy
20
k （4 10 - 2y)dy 8k 2
k
1 8
(2)P{(X ,Y ) D1} p(x ,y )dxdy
2
其中 , , , , 均为参数
0,
0, 1
1
则称 , 服从参数为 , , , , 的二维正态分布
*
第二章
7
第三二节维连续型随机变量的分布密度及常用分布
市场Leabharlann Baidu状分析
第二章
2)均匀分布
3.3 二维连续型随机变量及其概率密度
几乎处处成立.此处“几乎处处成立”的含义是：在平
面上除去“面积”为零的集合外处处成立.
31
例9 设二维随机变量 (X ,Y)在 x 2 y 2 r 2 上服从均匀 分布，问 X 与 Y 是否相互独立？
解：
例10 设二维随机变量 (X ,Y) 具有概率密度
f
(x,
y)
2e(2 0,
x
y)
,
x
0、y
则称 (X1, X 2 , , X m )是相互独立的.
43
若对于所有的 x1, x2 , , xm ; y1, y2 , , yn
有 F(x1, x2 , , xm , y1, y2 , yn )
F1(x1, x2 ,L , xm )F2 ( y1, y2 ,L , yn )
其中 F, F1, F2 依次为随机变量 ( X1, X 2 , , X m ), (Y1,Y2 , ,Yn和) (X1, X 2 , , X m ,Y1,Y2 , ,Yn )
解：
15
例5 设二维随机变量 (X,Y)的概率密度函数为
4.8y(2 x), 0 x 1, 0 y x
f (x, y) 0,
,
其它
求边缘概率密度.
解：
17
例6 设二维随机变量 (X ,Y)的联合概率密度为
f (x, y)
1
3.2二维连续型随机变量及其概率分布
称为已知Y＝y条件下，X的条件分布函数。
若已知(X, Y)～f (x, y), (x, y)∈R2, 则由于
F X |Y ( x
|
y)
=
lim
Δy→ 0+
P{X ≤ x, P{ y ≤
y≤Y ≤ Y ≤ y+
y + Δy} Δy}
∂F ( x, y)
= lim F ( x , y + Δ y ) − F ( x , y ) = Δy→ 0+ FY ( y + Δ y ) − FY ( y )
P{X=xi}=pi. P{Y=yj}=p.j
i=1,2,…… j=1,2,……
若对一切i,j有P{X=xi,Y=yj}= P{X=xi} .P{Y=yj},即
pij=pi. p.j 则称X和Y相互独立
对于连续型随机变量的情形 fY(y定)分理别1为设X(与X,YY的)～边f缘(x密, y度),，(x则, yX)与∈RY2相, 互fX(独x)立, 等 价于
f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)
几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。 定理2 设(X1,X2, …, Xn )与(Y1, Y2,…， Yn )相互
独立，则Xi (i=1, 2, …, m)与Yj (j=1, 2, …, n)相互独 立；又若h, g是连续函数，则h(X1,X2, …, Xn ) 与 g(Y1, Y2,…, Yn ) 相互独立.
若已知(X, Y)～f (x, y), (x, y)∈R2, 则由于
F X |Y ( x
|
y)
=
lim
Δy→ 0+
P{X ≤ x, P{ y ≤
y≤Y ≤ Y ≤ y+
y + Δy} Δy}
∂F ( x, y)
= lim F ( x , y + Δ y ) − F ( x , y ) = Δy→ 0+ FY ( y + Δ y ) − FY ( y )
P{X=xi}=pi. P{Y=yj}=p.j
i=1,2,…… j=1,2,……
若对一切i,j有P{X=xi,Y=yj}= P{X=xi} .P{Y=yj},即
pij=pi. p.j 则称X和Y相互独立
对于连续型随机变量的情形 fY(y定)分理别1为设X(与X,YY的)～边f缘(x密, y度),，(x则, yX)与∈RY2相, 互fX(独x)立, 等 价于
f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)
几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。 定理2 设(X1,X2, …, Xn )与(Y1, Y2,…， Yn )相互
独立，则Xi (i=1, 2, …, m)与Yj (j=1, 2, …, n)相互独 立；又若h, g是连续函数，则h(X1,X2, …, Xn ) 与 g(Y1, Y2,…, Yn ) 相互独立.
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的结果。而在实际问题中，往往
会涉及到多个随机变量的联合分布问题，这时就需要引入多维随机变量的概念。在本文中，我们将重点讨论二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算方法。
一、二维连续型随机变量的概念
我们来了解一下二维连续型随机变量的概念。二维连续型随机变量可以用一个二元组(X, Y)来表示，其中X和Y都是连续型随机变量。其分布函数可以表示为F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)，而密度函数则可以表示为f(x, y) = ∂^2F(x, y)/∂x∂y。需要注意的是，对于二维连续型随机变量来说，概率密度函数并不是概率，而是通过其在某个区域上的积分来
得到概率。
对于二维连续型随机变量的分布函数，我们可以按照以下步骤进行计算：
1. 确定联合密度函数f(x, y)。
2. 然后，计算边际密度函数f1(x)和f2(y)，其中f1(x) = ∫f(x, y)dy，f2(y) =
∫f(x, y)dx。
3. 根据边际密度函数，计算联合分布函数F(x, y)，其中F(x, y) = ∫∫f(u,
v)dudv。
举个例子来说明，假设有一个二维连续型随机变量(X, Y)，其联合密度函数为f(x, y) = 2xy，且定义域为0<x<1，0<y<1。那么我们可以按照上述步骤计算其分布函数：
通过以上步骤计算得到了二维连续型随机变量的分布函数F(x, y) = x^2y。这样，我们就可以用这个分布函数来计算各种概率。
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P( X ,Y ) G f (x, y)dxdy.
G
另外：对任意的平面曲线L，有
P( X ,Y ) L 0.
(4) 若f (x, y)在(x0,y0) 处连续，则有
2F (x, y)
xy
f (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
事实上
F (x, x
2
y
2 2
2 2
则称随机变量
X，
Y
服从参数为
1，
2，
12，
2 2
r
的正态分布，记作
X， Y ~ N
1，
2，
12，
2 2
,
r
i i 1， 2 i 0 i 1， 2 1 r 1
例3.3.3.在例3.3.（ 1 P51)中，求
（1）.X及Y的边缘密度；
（2）.计算概率P( X 1 )及P(Y 1 ).
2
2
解 （1） 由 例3.3.1知
f
( x,
y)
6xy, (x, 0, 其 它
y)
G,
当0 x 1时，f X (x)
f (x, y)dy
FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区 域内的概率。
y
y
y
O
x
x
O
x
定理 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x,y), 则X的边缘密度为
fX (x) f (x, y)dy,
Y的边缘密度为
fY ( y) f (x, y)dx,
x , y ,
由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分 布函数的关系（注意总结）
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x,)
FY ( y) P(Y y) P(X ,Y y) F(, y)
边缘分布的几何意义
FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域 内的概率；
(2).P( X
1 2
,Y
1) 2
6xydxdy
D
(其中D G {(x, y) | x 1 , y 1}) 22
1
2 dx
1
2 6xydy 3
1 2
x(
1
x4
)dx
0
x2
04
11 128
练习：设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
kx2 y 0 x y 1
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x
2x
2
2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y
1 3
例: 设随机变量（X ,Y）的概率密度为：
xye(x y) , x 0, y 0
f
(x,
y)
0,
其它
问X与Y是否独立？
解 ： 当X 0时 ，X有 边 缘 密 度 ：
1 6
y
0 y2
0
其它
fX
x
2x2
2 3
x
0
f
x,
y
x 2
1 3
xy
0 x 1, 0 y 2
0
其它
0 x 1 其它
由于当0<x<1，0<y<2时，
f x， y fX x fY y
所以，随机变量X与Y不独立。
3.3.3 边缘分布
二维随机变量的边缘分布函数(联系离散型) 二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有联合分布
函数F(x,y)，而X和Y都是随机变量，各自也有它们 的分布函数，记
X的分布函数为FX(x)，称为随机变量(X,Y)关于 X的边缘分布函数；
Y的分布函数为FY(y)，称为随机变量(X,Y)关于 Y的边缘分布函数。
分必条件是有f(x，y)、 fx(x)、 fy(y)的一切公共连续
点处有
f (x, y) fX (x) fY ( y)
推广：设X1，X2，…，Xn为n 个连续型随机变量， 且X1，X2，…，Xn相互独立，则在一切公共连续 点处有 f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)。
y
f (x, y) 0
其它
y=x
1
(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y≤1)。
解 (1)
f (x, y)dxdy 1
11
( kx2 ydy)dx 1
0x
O
x+y=1
1
x
1 (1 kx2 1 kx4 )dx 1
02
2
(1 kx3 6
1 kx5 ) 10
f
(x,
y)
Axy, (x, 0, 其 它
y)
G,
(1)求A的 值 ；
（2）计算概率P( X 1 ,Y 1). 22
解：由题设，有
1＝
＋
＋
f
(x,
y)dxdy
11
dx
Axydy
－ －
0
x2
A 1 x. 1(1 x4 )dx A
02
6
故A 6
bd
P(a X b,c Y d) a c f (x, y)dxdy
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
记(X, Y)～ f (x, y)， (x, y)R2
分布函数 F(x,y)=P({Xx}∩{Yy})=P(Xx,Yy)
xy
f (u,v)dudv
联合密度f(x, y)的性质
(1)非负性：f(x,y)0，(x,y)R2;
(2)归一性：
f (x, y)dxdy 1F(,)
(3) 设G是平面上一个区域，则二维连续型随机变量 (X,Y)落在G内的概率是概率密度函数f(x, y)在G上的 积分，即
f
( x,
y)
1 2
,
( x,
y)
G,
0, 其 它.
于是，设D G {(x, y) | y 2 x}，则有
P(Y
2
X
)
D
f
( x,
y)dxdy
D
1dxdy 2
1 (1 1 ) 4 (用几何概率更简单)
2 22 8
练习 设(X,Y)服从如图区域G上的 均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P(Y<2X)； (3)求F(0.5,0.5)。
1 0
1
D
:
x 0
y x
1 1
解得k=15
1
(2) P(X Y 1)
f
(x,
y)dxdy
2
1
x
15x
2
ydydx
x y1
0 x
15 5 192 64
x y 1 x
D:
0
x
1 2
3.3.2 二维连续型随机变量的常用分布
(1,1)
y x y x2
O
x
0 y 0 或 y 1
fY (y) f (x, y)dx y
6dx 6( y y) 0 y 1
y
p(Y 1) 2
1 fY ( y)dy
2
1
1 6(
2
y y)dy
定理: 设(X,Y) N(1, 2; 12 ,22;r)，则X及Y 的边缘分布有XN(1,12)， YN(2,22)
1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)
3x(1 x4 0,其它
),0
x
1,
当0 y 1时，fY ( y)
f (x, y)dx
0
y
6xydx
3x2 y
|x
x0
y
3y 2 , 故得
fY
(
y)
3y2,0 0,其它.
y)
x
x y
f
(u, v)dvdu
y
f
(x, v)dv
2F(x, y) xy
y
y
f
(x, v)dv
f
(x, y)
例3.3.1.设G表 示 由 曲 线y x2及 直 线y 1围 成 的图形在第一象限内的部分，设( X ,Y )的联合密度：
区 域G2的 面 积 区 域G的 面 积
1
4 1
1 4
（2）二元正态分布(了解)
定义：设 二维随机变量 X， Y 的密度函数为
f x， y
1
2 1 2 1 r 2
exp
2
1
1
r
2
x
1 2
2 1
2rx
1y
1 2
3.3 二维连续型随机变量及其分布
3.3.1、二维联合密度及联合分布函数 3.3.2、二维均匀分布及二维正态分布 3.3.3、二维连续型随机变量的边际分布
3.3.1二维联合密度及联合分布函数
定义: 对于二维随机变量 ( X,Y ) , 如果存在非负可积 函数 f (x , y )，使得对于任意的实数a<b, c<d，有：
解 (1)区域G的面积为1
y
1
y=2x
G
G1
G2
1 (x, y) G
O
0.5 1 x
f (x, y) 0 (x, y) G
11 1
(2) 区域G1的面积为 AG1 P(Y<2X) AG1 1 AG 4
(3)F(0.5,0.5)=P(X≤0.5,Y≤0.5)
1 22 4
y
1
(2)P(X 1)
2
1
2
fX
(x)dx
1
2 3x(1 x4 )dx
0
47 128
P(Y 1)
2
1 fY ( y)dy
2
1 1 2
3y2dy
7 8
y
(1,1)
练习：设(X,Y)的概率密度为
y x
c x2 y x f (x, y) 0 其它
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
0 x2
Baidu Nhomakorabea
0 x 0 或 x 1
(2) f X (x) f (x, y)dy x
6dy 6(x x2 ) 0 x 1
x2
y
例 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为
f
x，
y
x2
1 3
xy
0 x 1，0 y 2
0
其它
试判断随机变量X与Y是否相互独立？
解： 当0 x 1时，
fX x f x， ydy
2 x2 1 xy dy 2x2 2 x
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
F(x1,...xn ) FX1 (x1)FX2 (x2 )....FXn (xn )
则称X1,X2,...Xn 相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。
对连续型随机变量有下面的定理：
定理：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度
为f(x，y)，边缘密度fx(x)，fy(y)，则X与Y独立的充
内的位置无关。
例3.3.2.设G {( x, y) | y sin x,0 x , y 0},
随机变量 ( X ,Y )在G上服从均匀分布，求 Y大于 2 X的概率。
解：G的面积A
sin xdx cosx | 2,
0
0
故得( X ,Y )的联合密度
(1).二维均匀分布
设G为xoy平面上的有界区域，G的面积为A，若二维 随机变量(X, Y)的联合密度函数为
f
(x,
y)
1 A
(x, y) G
0 其 它
则称二维随机变量(X, Y)在G上服从均匀分布。
实质上就是2维的几何概型。
即结：论此：概若率GP仅1(是与XG,GY内1)的面G面1积积为有G1A关f1(的x(,成子y)正d区x比d域y)，，AA则而1 与G1在G
由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与r无关， 说明r不同，得到的二维正态分布也不同，但 其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一 确定联合分布的，即使X,Y都是服从正态分布 的随机变量， (X,Y)不一定是服从二维正态分 布。
二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之 不真。
3.3.4 独立性
G
另外：对任意的平面曲线L，有
P( X ,Y ) L 0.
(4) 若f (x, y)在(x0,y0) 处连续，则有
2F (x, y)
xy
f (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
事实上
F (x, x
2
y
2 2
2 2
则称随机变量
X，
Y
服从参数为
1，
2，
12，
2 2
r
的正态分布，记作
X， Y ~ N
1，
2，
12，
2 2
,
r
i i 1， 2 i 0 i 1， 2 1 r 1
例3.3.3.在例3.3.（ 1 P51)中，求
（1）.X及Y的边缘密度；
（2）.计算概率P( X 1 )及P(Y 1 ).
2
2
解 （1） 由 例3.3.1知
f
( x,
y)
6xy, (x, 0, 其 它
y)
G,
当0 x 1时，f X (x)
f (x, y)dy
FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区 域内的概率。
y
y
y
O
x
x
O
x
定理 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x,y), 则X的边缘密度为
fX (x) f (x, y)dy,
Y的边缘密度为
fY ( y) f (x, y)dx,
x , y ,
由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分 布函数的关系（注意总结）
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x,)
FY ( y) P(Y y) P(X ,Y y) F(, y)
边缘分布的几何意义
FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域 内的概率；
(2).P( X
1 2
,Y
1) 2
6xydxdy
D
(其中D G {(x, y) | x 1 , y 1}) 22
1
2 dx
1
2 6xydy 3
1 2
x(
1
x4
)dx
0
x2
04
11 128
练习：设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
kx2 y 0 x y 1
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x
2x
2
2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y
1 3
例: 设随机变量（X ,Y）的概率密度为：
xye(x y) , x 0, y 0
f
(x,
y)
0,
其它
问X与Y是否独立？
解 ： 当X 0时 ，X有 边 缘 密 度 ：
1 6
y
0 y2
0
其它
fX
x
2x2
2 3
x
0
f
x,
y
x 2
1 3
xy
0 x 1, 0 y 2
0
其它
0 x 1 其它
由于当0<x<1，0<y<2时，
f x， y fX x fY y
所以，随机变量X与Y不独立。
3.3.3 边缘分布
二维随机变量的边缘分布函数(联系离散型) 二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有联合分布
函数F(x,y)，而X和Y都是随机变量，各自也有它们 的分布函数，记
X的分布函数为FX(x)，称为随机变量(X,Y)关于 X的边缘分布函数；
Y的分布函数为FY(y)，称为随机变量(X,Y)关于 Y的边缘分布函数。
分必条件是有f(x，y)、 fx(x)、 fy(y)的一切公共连续
点处有
f (x, y) fX (x) fY ( y)
推广：设X1，X2，…，Xn为n 个连续型随机变量， 且X1，X2，…，Xn相互独立，则在一切公共连续 点处有 f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)。
y
f (x, y) 0
其它
y=x
1
(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y≤1)。
解 (1)
f (x, y)dxdy 1
11
( kx2 ydy)dx 1
0x
O
x+y=1
1
x
1 (1 kx2 1 kx4 )dx 1
02
2
(1 kx3 6
1 kx5 ) 10
f
(x,
y)
Axy, (x, 0, 其 它
y)
G,
(1)求A的 值 ；
（2）计算概率P( X 1 ,Y 1). 22
解：由题设，有
1＝
＋
＋
f
(x,
y)dxdy
11
dx
Axydy
－ －
0
x2
A 1 x. 1(1 x4 )dx A
02
6
故A 6
bd
P(a X b,c Y d) a c f (x, y)dxdy
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
记(X, Y)～ f (x, y)， (x, y)R2
分布函数 F(x,y)=P({Xx}∩{Yy})=P(Xx,Yy)
xy
f (u,v)dudv
联合密度f(x, y)的性质
(1)非负性：f(x,y)0，(x,y)R2;
(2)归一性：
f (x, y)dxdy 1F(,)
(3) 设G是平面上一个区域，则二维连续型随机变量 (X,Y)落在G内的概率是概率密度函数f(x, y)在G上的 积分，即
f
( x,
y)
1 2
,
( x,
y)
G,
0, 其 它.
于是，设D G {(x, y) | y 2 x}，则有
P(Y
2
X
)
D
f
( x,
y)dxdy
D
1dxdy 2
1 (1 1 ) 4 (用几何概率更简单)
2 22 8
练习 设(X,Y)服从如图区域G上的 均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P(Y<2X)； (3)求F(0.5,0.5)。
1 0
1
D
:
x 0
y x
1 1
解得k=15
1
(2) P(X Y 1)
f
(x,
y)dxdy
2
1
x
15x
2
ydydx
x y1
0 x
15 5 192 64
x y 1 x
D:
0
x
1 2
3.3.2 二维连续型随机变量的常用分布
(1,1)
y x y x2
O
x
0 y 0 或 y 1
fY (y) f (x, y)dx y
6dx 6( y y) 0 y 1
y
p(Y 1) 2
1 fY ( y)dy
2
1
1 6(
2
y y)dy
定理: 设(X,Y) N(1, 2; 12 ,22;r)，则X及Y 的边缘分布有XN(1,12)， YN(2,22)
1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)
3x(1 x4 0,其它
),0
x
1,
当0 y 1时，fY ( y)
f (x, y)dx
0
y
6xydx
3x2 y
|x
x0
y
3y 2 , 故得
fY
(
y)
3y2,0 0,其它.
y)
x
x y
f
(u, v)dvdu
y
f
(x, v)dv
2F(x, y) xy
y
y
f
(x, v)dv
f
(x, y)
例3.3.1.设G表 示 由 曲 线y x2及 直 线y 1围 成 的图形在第一象限内的部分，设( X ,Y )的联合密度：
区 域G2的 面 积 区 域G的 面 积
1
4 1
1 4
（2）二元正态分布(了解)
定义：设 二维随机变量 X， Y 的密度函数为
f x， y
1
2 1 2 1 r 2
exp
2
1
1
r
2
x
1 2
2 1
2rx
1y
1 2
3.3 二维连续型随机变量及其分布
3.3.1、二维联合密度及联合分布函数 3.3.2、二维均匀分布及二维正态分布 3.3.3、二维连续型随机变量的边际分布
3.3.1二维联合密度及联合分布函数
定义: 对于二维随机变量 ( X,Y ) , 如果存在非负可积 函数 f (x , y )，使得对于任意的实数a<b, c<d，有：
解 (1)区域G的面积为1
y
1
y=2x
G
G1
G2
1 (x, y) G
O
0.5 1 x
f (x, y) 0 (x, y) G
11 1
(2) 区域G1的面积为 AG1 P(Y<2X) AG1 1 AG 4
(3)F(0.5,0.5)=P(X≤0.5,Y≤0.5)
1 22 4
y
1
(2)P(X 1)
2
1
2
fX
(x)dx
1
2 3x(1 x4 )dx
0
47 128
P(Y 1)
2
1 fY ( y)dy
2
1 1 2
3y2dy
7 8
y
(1,1)
练习：设(X,Y)的概率密度为
y x
c x2 y x f (x, y) 0 其它
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
0 x2
Baidu Nhomakorabea
0 x 0 或 x 1
(2) f X (x) f (x, y)dy x
6dy 6(x x2 ) 0 x 1
x2
y
例 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为
f
x，
y
x2
1 3
xy
0 x 1，0 y 2
0
其它
试判断随机变量X与Y是否相互独立？
解： 当0 x 1时，
fX x f x， ydy
2 x2 1 xy dy 2x2 2 x
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
F(x1,...xn ) FX1 (x1)FX2 (x2 )....FXn (xn )
则称X1,X2,...Xn 相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。
对连续型随机变量有下面的定理：
定理：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度
为f(x，y)，边缘密度fx(x)，fy(y)，则X与Y独立的充
内的位置无关。
例3.3.2.设G {( x, y) | y sin x,0 x , y 0},
随机变量 ( X ,Y )在G上服从均匀分布，求 Y大于 2 X的概率。
解：G的面积A
sin xdx cosx | 2,
0
0
故得( X ,Y )的联合密度
(1).二维均匀分布
设G为xoy平面上的有界区域，G的面积为A，若二维 随机变量(X, Y)的联合密度函数为
f
(x,
y)
1 A
(x, y) G
0 其 它
则称二维随机变量(X, Y)在G上服从均匀分布。
实质上就是2维的几何概型。
即结：论此：概若率GP仅1(是与XG,GY内1)的面G面1积积为有G1A关f1(的x(,成子y)正d区x比d域y)，，AA则而1 与G1在G
由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与r无关， 说明r不同，得到的二维正态分布也不同，但 其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一 确定联合分布的，即使X,Y都是服从正态分布 的随机变量， (X,Y)不一定是服从二维正态分 布。
二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之 不真。
3.3.4 独立性