幻方
幻方
分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好，最后做如下交换：
○1 B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换
○2 D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素 交换
○3 交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)
心得与体会
生活经验
学习经验与体会
这次研究让我们意识到，在生活 中，要有不怕困难，迎难而上的 心理。只要肯探索肯定会成功。
完成了本次的综合实践活动，我体会 到了团队合作的的重要性。若这次活 动没有团队成员的贡献，我想，如果 只有我一个人也许不会很快就解决问 题的。
*（^-^） *
幻方
——课题研究报告
一、幻方的历史
二、幻方的定义
三、研究幻方
三阶
四阶
四、得出结论：幻方的构五造阶方法 五、研究成果展示
六、心得与体会
目录
幻方的历史
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。宋代 数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2,这n2个自 然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种巧 妙的性质：在各种几何形状的表上排列适当的数字，对这些数字 进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或 积都是完全相同的。
2. 偶数阶
n=4×m+2, m为自然数
1) 将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列： B C D A
∵n×n=4×(2×m+1) ×(2×m+1), ∴u= n=2×m+1,分为 1~u×u2,u×u+1~2×u×u,2×u×u+1~3×u×u,3×u×u+1~4×u×u
幻方原理及方法
幻方原理及方法
1. 你知道幻方原理多奇妙吗？就像变魔术一样！就拿三阶幻方来说，每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
比如说常见的九宫格，1、2、3、4、5、6、7、8、9 填入九宫格中，经过巧妙排列，就能实现神奇的相等和哦，是不是很有趣？
2. 要想了解幻方方法，那可得好好琢磨一番呢！好比搭积木，要一块一块恰到好处地放。
比如试着将奇数阶幻方用“罗伯法”来填，一步步地，按照规则，嘿，一个完美的幻方就出现啦！难道你不想试试吗？
3. 幻方原理其实并不难理解呀！就如同解开一个复杂的谜题。
想想看，把一些数字摆来摆去，就能找到那神奇的规律。
比如四阶幻方，通过特定的算法和步骤，哇，最终的成果会让你惊叹不已呢，难道不是吗？
4. 幻方方法可是有很多窍门的哟！好像寻找宝藏的钥匙。
比如说五阶幻方，运用特定的策略，一点点地推进，嘿嘿，就能得到让人惊喜的结果啦！这多让人兴奋呀！
5. 幻方原理真的超级神奇的呢！可以类比成音乐的旋律，有节奏有规律。
比如六阶幻方，尝试着去感受那数字的排列，就如同聆听美妙的音乐，太赞了吧！
6. 想要掌握幻方方法，就得像探险家一样勇敢尝试哦！好比在未知的领域探索。
像七阶幻方，大胆地去实践，不断调整，哇塞，那成功后的满足感简直爆棚啦！总之，幻方就是这么神奇又有趣！。
幻方的口诀顺口溜
幻方的口诀顺口溜
1. 幻方真奇妙，口诀要记牢，一居上行正中央，这个例子很明了，就像找到了宝藏的钥匙哟！比如3×3 的幻方，数字1 不就放在最上面一行的正中央嘛！
2. 依次斜填切莫忘，哎呀呀，可别小看它呀！就像走迷宫有了方向一样。
你看那个 4 不就斜着填下去嘛！
3. 上出框时往下填，这多有意思呀，就好比球弹到了地上又弹起来。
像 7 超出框了，不就往下填嘛！
4. 右出框时往左填，嘿，是不是很好玩呀，如同汽车拐弯换了个道儿。
数字 9 不就这样填嘛！
5. 排重便在下格填，哇塞，这感觉就像纠错一样呢！要是碰到重复的数字，不就往下一格填嘛，就像避开障碍。
6. 右上排重一个样，可不是嘛，就像遇到同样的困难有同样的解决办法。
比如右上有数字了，也得这样处理呀！
7. 幻方口诀真好用，绝对让你大不同，你想想，用了口诀解幻方多轻松呀！
8. 记住口诀不慌张，仿佛有了定海神针呀！不管遇到啥样的幻方都不怕啦！
9. 轻松玩转幻方界，哎呀呀，那感觉就像武林高手称霸江湖一样呢！
10. 幻方口诀顺口溜，大家一定要记熟，真的超级有用处哟！就像拥有了神奇的魔法棒！
我的观点结论：幻方的口诀顺口溜真的太重要啦，能让我们快速掌握幻方的技巧，大家一定要好好记住呀！。
幻方量化 简介
幻方量化1. 引言幻方是一种特殊的正方形矩阵，其中每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
幻方在古代就被广泛研究，并且具有一些神秘的数学性质。
近年来，幻方也被引入到量化交易领域，用于构建量化交易策略。
本文将介绍幻方的基本概念和性质，以及如何将其应用于量化交易。
2. 幻方的基本概念2.1 正常幻方正常幻方是指每个数字都是唯一且不重复的幻方。
最简单的3阶正常幻方如下：8 1 63 5 74 9 22.2 奇阶幻方和偶阶幻方根据幻方的阶数（即矩阵的行数和列数），可以将幻方分为奇阶幻方和偶阶幻方。
奇阶幻方是指阶数为奇数的幻方，而偶阶幻方是指阶数为偶数的幻方。
奇阶幻方和偶阶幻方具有不同的构造方法和性质。
2.3 非正常幻方非正常幻方是指其中的数字可以重复的幻方。
非正常幻方也可以用于量化交易中的策略构建。
3. 幻方的性质3.1 幻方的对称性幻方具有多种对称性，包括水平对称、垂直对称、主对角线对称和副对角线对称。
这些对称性可以用于幻方的构造和分析。
3.2 幻方的旋转和镜像幻方可以通过旋转或镜像操作得到新的幻方。
这些操作可以改变幻方中数字的位置和排列方式，从而产生不同的幻方。
3.3 幻方的数学性质幻方具有一些有趣的数学性质，包括： - 幻方的数字之和等于幻方的阶数乘以幻方的中间数字 - 幻方的数字之和等于每行、每列和对角线上数字之和的平均数 - 幻方的每个数字都可以表示为其他数字的和或差4. 幻方在量化交易中的应用4.1 幻方信号生成幻方可以用于生成量化交易的信号。
通过将幻方中的数字映射到交易品种的价格或指标上，可以构建出一系列的交易信号。
这些信号可以用于判断交易的买入和卖出时机。
4.2 幻方的组合及优化幻方可以与其他技术指标和交易策略进行组合和优化。
通过将幻方的信号与其他指标的信号进行叠加或加权，可以得到更加准确和可靠的交易信号。
4.3 幻方的参数优化幻方中的数字可以作为交易策略的参数进行优化。
通过对幻方的数字进行调整和优化，可以找到最佳的参数组合，从而提高交易策略的盈利能力。
初中数学幻方的解法
1.暴力搜索法幻方解题的最初方法是暴力搜索法。
这种方法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
2.加1法加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
3.线性代数法线性代数法是基于矩阵和行列式的组合在内的线性代数来计算幻方。
它使用比"加1法"更加复杂的算法来解决幻方，但是在解决复杂的幻方问题方面非常有效。
线性代数法的基本思路是将幻方转化为一个矩阵，然后对该矩阵进行一系列操作，计算出其行列式，最终得到解决幻方的结果。
a.构造幻方矩阵首先，需要将幻方构造成一个矩阵。
对于一个n阶幻方，矩阵的大小也是n×n。
将幻方中的每个数字都与一个矩阵中的元素相对应，这些元素的值就是幻方中每个数字的值。
b.求出幻方矩阵的行列式然后，需要计算矩阵的行列式。
行列式是一种数学工具，用来计算一个矩阵的性质。
对于一个n阶矩阵，行列式可以用一个n×n的矩阵来表示。
该矩阵的元素是由原矩阵中对应位置的子矩阵的行列式组成的。
c.计算幻方矩阵的行列式的值通过计算幻方矩阵的行列式的值，可以得到该幻方的解题结果。
如果幻方矩阵的行列式的值等于0，则该幻方无解。
如果幻方矩阵的行列式的值为非零数，则可以使用行列式展开式来计算幻方的解题结果。
总体来说，线性代数法是一种非常有效的幻方解题方法。
它比暴力搜索法和加1法更加高效，并且可以解决大多数幻方问题。
但是，这种方法需要使用高级数学知识，需要较高的数学水平才能应用。
4.对称性法对称性法是基于幻方的对称性的一种解题方法。
人教初中数学七年级 上册一元一次方程数学沃土中长出的奇葩----幻方
数学沃土中长出的奇葩----幻方一、幻方的由来幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹治水时，有年夏天，大禹凿开了龙门，伊河在龙门南形成的湖水流入了洛河。
待湖水渐渐变浅时，从湖底浮出一个足有磨盘大的乌龟。
大禹的手下见了，忙挥剑去砍，被大禹拦住了。
大禹看这只龟对百姓也从没做过坏事，便把它放入洛河。
过了不久，有一天，整个洛阳城都被大雾笼罩，大禹率领手下到洛河岸边察看水情。
忽然，在大雾茫茫的洛河里升起了一束五彩宝光，随之，罩在空中的大雾也烟消云散。
大禹仔细一看，那宝光升起的地方，浮出一只乌龟，那宝光也正是从乌龟背上的一块玉版放出来的。
原来，当日的乌龟为报答大禹，特将此玉版献上，并称这块玉版为“洛书”。
如图1所示：“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的圆圈用数目表示出来，得到九个数。
这九个数就组成了一个纵横图。
这个图实际上就是将1-9这九个数字写成三行三列，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都等于15，如图2所示，这样的3×3的图我们称为三阶幻方。
由于此图共有九个数字，所以汉代的徐岳把他称为九宫算(或九宫图)。
九宫算在汉代之后又有很大的扩展，成为纵横均为ｎ行的纵横图也就是n阶幻方。
这就是幻方的由来.二、三阶幻方中的规律根据幻方成立的条件，我们知道三阶幻方具有如下规律：1、每一行，每一列，每一条对角线上的三个数的和相等，我们不妨把这个相等的和值叫做三阶幻方的幻和.2、中心数处于幻方最中间的数称为中心数，且幻和=3×中心数.3、含中心数的行，列，对角线上的三个数中，其余两个数的和是中心数的2倍.证明：设三阶幻方的幻和为S，对角线的三个数为a,b,c，其中b是中心数，根据幻方知道：a+b+c=S,S=3b,所以a+c=2b.4、和任何一个角上的数同横行，同竖列，同对角线上的其余两个数的和相等.如图3，以数a为例，则有d+e=b+c=f+g.证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+d+e=S, a+ f+g =S,所以d+e=b+c=f+g.5、和周边三数的中间数同横行，同竖列的两个数的和相等.如图3，以数b为例，则有a+c=p+f.6、任何一个角上的数都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数之和的一半. 证明：设三阶幻方的幻和为S，根据幻方知道：a+b+c=S, a+f+g=S, p+ f+b =S, g+ h+c =S,所以a+b+c+a+f+g+p+f+b+g+h+c=4S，所以2（a+b+c）+2f+2g+p+h=4S，所以2S+2（S-a）+p+h=4S，即2S+2S-2a+p+h=4S,所以p+h=2a.三、三阶幻方的构造1、已知九数，构造幻方例1 用11，13，15，17，19，21，23，25，27这九个数构造一个广义的三阶幻方.分析：当已知九个数构造幻方时，关键是确定幻方的中心数，构造幻方的主要方法是-阶梯法，也就是把正方形从四周向外扩展成阶梯状，然后把数按照由小到大的顺序排列好，从最左边阶梯开始，按照从小到大的顺序依次斜置于阶梯上，后把拓展出的正方形内的数按照左右更替放置，上下更替放置的方式，把正方形外的数移到正方形内部，完成三阶幻方的构造.解：因为中心数为19，构造阶梯如图4，所以三阶幻方如图有图所示.2、已知幻和，构造幻方例2 自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行，每列和每条对角线上的三个数的和都等于45.分析：根据幻和与中心数之间的关系，我们可以确定出中心数的大小，然后利用等差方式依次向前确定四个数，向后确定四个数，利用阶梯法可以完成构造.解：因为幻和为45，所以中心数为15，按照依次差5方式确定数如下：-5，0，5，10和20，25，30，35，构造阶梯法如图5所示，所以三阶幻方如图5右图所示.3、已知同横行的三数，构造幻方例3 在图6所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、求幻和：S=3+4+（-1）=6；2、求中心数：6÷3=2；3、根据幻和，确定3，2所在对角线上空缺的数；4、根据幻和，确定4，2所在竖列上空缺的数 5、依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图6中的右图所示.4、已知同横行的两数，和与行有公共空角在列中的一个数，构造幻方例4 在图7所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律4确定右下角中的数：4+8=2+x；2、根据规律3确定中心数：（4+x）÷2；3、根据对角线上的三数可以确定幻和；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图7中的右图所示.5、已知同横行的两数，和与某数在一条对角线上的一个数，构造幻方例5 在图8所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律4确定最右边竖列中的空缺数：2+9=10+x，x=1；2、根据规律3确定中心数：（2+10）÷2=6；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：2+6+10=18；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图8中的右图所示.6、已知正方形角上的一个数，和与这个数同行，同列且相邻的两个数，构造幻方例6 在图9所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律6确定最右下角中的空缺数：[（-11）+(-5）]÷2=-8；2、根据规律3确定中心数：[（-6）+(-8）]÷2=-7；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：（-6）+(-8）+（-7）=-21；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图9中的右图所示.7、已知正方形角上的两个数，和与这个数夹行，夹列中的一个数，构造幻方例7 在图10所示的广义的三阶幻方中给出了3个数，你能将其余的六个数全填上吗？分析：分析：根据条件，我们的解题思路是：1、根据规律5确定中心数：4+8=5+x，x=7；2、根据规律3确定另一角上的数：8+x=14，x=6；3、根据对角线上的三数可以确定幻和：6+8+7=21；4、根据幻和，依次确定其余空缺的数.解：符合题意的三阶幻方如图10中的右图所示.。
幻方
幻方（一）李明亮幻方是我国古代研究的算术内容之一，在中国，至少已有两千多年的历史了。
它最早被称为“洛书”（就是三行幻方）。
据说，大禹治水时，在洛水看到一只神龟背上有奇特的图案，这就是“洛书”——《周易》称：“河出图，洛出书。
”幻方就是由“洛书”与“河图”发展而来的。
在甄鸾（公元六世纪北周人）注的《数术记遗》一书中，称幻方为“九宫算”。
南宋的杨辉把幻方叫做“纵横图”，并对幻方进行了深入的研究，例如，他构造三行幻方的方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。
”他还进一步研制出了四至十行的幻方。
在幻方里，每一横行（以下简称行）、每一竖行（以下简称列）、每一对角线上的数的和都相等。
我们把幻方中的这个相等的和称为幻方定数。
组成幻方的数一般是等差数列（按顺序排列的一列数，每相邻的两个数的差都相等）。
如用1、3、5、……15、17这九个数可以制成一个三行幻方。
把n2个数按一定的顺序排成n行n列的方阵，如果每一行、每一行、每一对角线上的数都成等差数列，那么，用这n2个数就可以制成n行幻方。
如用2、4、6，9、11、13，16、18、20也可以制成三行幻方。
一、幻方的制法（一）行数为奇数的幻方的制法（以七行幻方为例）１．选1、2、3、……49这４９个数，把它们按顺序排成７行７列的斜方阵。
排好后，在中间画一个正方形（以中间数２５为中心），使斜方阵中间行（22、23、24、25、26、27、28这一行）和中间列（4、11、18、25、32、39、46这一列）的数都正好落在正方形的对角线上；再把这个正方形平均分成４９个方格，其中２４个是空方格（制n行幻方时，有（n2－１）÷2个空方格）。
如图２．２．把正方形外面的数填入空格。
每个数都填入它所在行或所在列中离它最远的空格中；同一行或同一列中，如果正方形外面有两个或两个以上的数，就先填靠近正方形的数，如先填9和41，后填1和49。
幻方
• 相传在公元前23世纪大禹治水的时候，在 黄河支流洛水中，浮现出一个 大乌龟，甲 上背有9种花点的图案，人们将图案中的花 点数了一下，竞惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排列也相当奇 妙，后来人们就称这个图案为洛书。 • 洛书给出的9个数所排成的方阵具有绝妙的 性质，横的3行、纵的3列以及两对角线上 各自的数字之和都为15。
幻
方
• • • • •
幻方的定义 幻方的历史 奇阶幻方 偶阶幻方 幻方的神奇
• 幻方又称为魔方，它是由1到n的平方,这n 的平方个自然数按照一定的规律排列成N行、 N列的一个方阵。 • 它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状 的表上排列适当的数字，如果对这些数字 进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条 路线，最后得到的和都是完全相同的 • 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。
4
9
2
8
5
1
7
6
• 人们因它的性质之独特而大感兴趣，对其 进行了多方面的研究。我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书，把图２叫“九宫算”， 又叫九宫图，宋朝数学家杨辉把类似于 “九宫图”的图形叫“纵横图”，国外数 学家把它叫做“幻方”。
• 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
13 21 1 19 25 2 20
14 22
15
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12 9
8
3 2
5
双偶数阶幻方的编排方法 --------中心对称交换法
幻方的填法
幻方的填法幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。
n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
1、奇数阶幻方n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
幻方解法归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“”、“”，又叫“”。
1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方n 为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
口诀：1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例）① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二)图二（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312aa ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2na ＝）(如图三)图三（因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)：图四不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数）④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。
幻方
洛书
• 流传夏禹治水时（距今 四千多年），洛水河中 浮出一只神龟，龟背上 有一张象征吉祥的图案 称为「洛书」，就是一 个三阶幻方. 我国汉代一 本叫《数术记遗》的书， 称三阶幻方图为“九宫算”， 又叫“九宫图”。宋朝数学 家杨辉的《续古摘奇算 法》的上卷记录了一些 幻方成果，杨辉称幻方 为“纵横图”。 1975年上 海人民出版社出版的自 然辩证法丛书《自然科 学大事年表》，对于幻 方作了特别的述说：“公 元前一世纪，《大戴礼》 记载，中国古代有象征 吉祥的河图洛书纵横图， 即为九宫算，被认为是 现代‘组合数学’最古 老的发现。 洛书被世界 公认为组合数学的鼻祖， 它是中华民族对人类的 伟大贡献之一。”
2003年潘凤雏构造的 4096阶6次幻方
64阶内第一个平方幻方 和三次幻方世界纪录表
64阶内第一个平方幻方 和三次幻方世界纪录表
潘凤雏李文首创的平方 幻方和三次幻方成果
4m阶,mn阶平方幻方的 构造
潘凤雏发表在《大学数 学》上的二次幻方论文
潘凤雏发表在《大学数 学》上的三次幻方论文
08年发表在美国数学月 刊的高次幻方论文
奇数阶幻方的构造
双偶阶幻方的构造
单偶阶幻方的构造
二阶子阵元素集Z4的 单偶阶幻方递推构造
4阶广义幻方例子
幻方的存在性与构造
• • • • • 三阶以上的幻方全部存在。 构造分三类： 奇数阶构造n=2k+1； 双偶数阶构造n=4k； 单偶数阶构造n=4k+2。
• 我个人的判断，应该很早以前 就已经有人解决，只是很难考 证。
近代幻方研究的发展
• 一：幻立方：费尔马第一个提出 幻立方的概念,幻线总数:3n2+4， • 完美幻立方:3n+6个剖面都是广义 幻方，幻线总数:3n2+6n+4。 • 泛对角线完美幻立方：13n2根幻 线. • 多维幻体。 • 二：平方幻方bimagic square • A German naturalized Frenchman Georges Pfeffermann, built the first bimagic square in 1890. • 高次幻方(t次幻方,t>0的整数). • 三：多维高次幻方
小四数学第14讲：幻方
第十四讲幻方--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
3、比较法利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
4、掌握好3阶幻方中的规律。
三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍。
(参考课件)幻方
耆那幻方是在印度哈周拉合市的 耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是 12－13世纪的产物。它的任何2×2的 方块内的4个数字和也是34。这个幻 方是一个泛对角幻方（完美幻方）。
7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4
28
五、思考题：
在4×4格中，每行、每列、对
阅读材料：
幻方
1
一、幻方的起源： 幻方是一个高深莫测的数学迷宫
和高智力游戏,起源于《易》，古称 九宫（龟文）或纵横图，后来飘洋过 海，东传日本，西播欧美，有了很大 的发展，又以新的方式传回中国，叫 做幻方。中国的《洛书》中记载了世 界上最古老的幻方。
2
二，即二
12
比比看，谁更快！
下图中已填 入了3至18这16个 数中的一些数， 请将剩下的数填 入空格中，使每 行、每列、每条 对角线上各 数 的和相等。
138 4 5 165 7 183 192 10 11 192 183 14 165 16 17 138
13
3、五阶幻方 第一步：画一 个9×9的方格。 如右斜着填数
16
三 、 美 丽 的 幻 方
17
这幅九阶完美幻圆由1至81自然数列填 成，具有如下组合性质： （1）九条圆半径上各九数之和等于369； （2）九个圆周上各九数之和等于369； （3）九条左旋螺线上各九数之和等于369 ；
它是一个全等组合,即“半径=圆环=螺 线”，因此是一个最优化组合幻圆，堪为 一件稀世珍宝。
3
64 法 9 7 5一
10 8
11
6 11 4 579 10 3 8
6
4 92 35 7
81 6
6 11 4
法 二
579
幻方的定义
幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
[编辑本段]n阶幻方与高阶幻方n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等。
例子：（三阶幻方，幻和为15，）4 9 23 5 78 1 6三阶幻方中间必填5高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。
[编辑本段]幻方的历史:幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
所谓纵横图，它是由1到n^2,这n^2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。
它具有一种厅妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
大约两千多年前西汉时代,流传夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.他们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
趣味数学-幻方
泛对角线幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条泛 对角线上的数字之和相等。
正交幻方
将数字按照一定的规律填 充到格子中，使得每条正 交线上的数字之和相等。
03 幻方的数学原理
数学基础
代数基础
幻方是在一定规则下，将数字填 入一个正方形网格中，每个数字 代表一个坐标，通过代数运算找
出对应的数字。
04 幻方的应用与拓展
幻方在游戏中的应用
数独
这是一种基于幻方原理的数字游戏，玩家需要将数字1-9填入一个3x3的格子中， 使得每行、每列以及每个3x3的子格中都包含这9个数字。
棋盘游戏
一些棋盘游戏如井字游戏（Tic Tac Toe）和连珠（Gomoku）也可以视为幻方 在游戏中的应用，玩家需要在棋盘上放置棋子，使得满足特定的排列规则。
趣味数学-幻方
目录
• 幻方简介 • 制作幻方的方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的应用与拓展 • 趣味数学与幻方
01 幻方简介
幻方的定义
01
幻方是一种将数字、图形或符号 按照特定规则排列在正方形网格 中的数学游戏。
02
幻方要求每一行、每一列以及对 角线上的数字或符号之和都相等 ，或者遵循特定的数学关系。
偶数阶幻方的构造公式
将n阶幻方看作是一个n×n的矩阵，矩 阵中的元素可以用坐标表示，通过代数 运算和矩阵变换，可以得出偶数阶幻方 的构造公式。
幻方的数学证明
奇数阶幻方的。
偶数阶幻方的证明
通过数学归纳法和代数运算，可 以证明偶数阶幻方的构造方法是 正确的。
幻方的历史与起源
幻方最早可以追溯到中国的洛书， 据传为黄帝时期的大臣洛所创。
在中世纪，幻方逐渐传播到欧洲， 成为数学家和哲学家们研究的对
人教版小学四年级数学第14讲：幻方(学生版)
第十四讲幻方------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
幻方ppt课件
偶数阶幻方的构造方法
偶数阶幻方中最常用的是四阶和八阶幻方。四阶幻方的构 造方法是将1放在第一行中间，然后按顺序将其它数字填入 ，每行从左到右填入数字，每列也从左到右填入数字，保 证每个数字都不重复。
单人幻方游戏
九宫格幻方
将1至9的数字填入3x3的九宫格中，使得每行、每 列以及对角线的数字之和都相等。
16格幻方
将数字1至16填入4x4的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
25格幻方
将数字1至25填入5x5的方格中，使得每行、每列 、两条对角线以及四个角落的数字之和都相等。
奇数阶幻方
由奇数个数字组成的幻方，通常为3×3、5×5等。这类幻 方构造相对简单，但也有一定的难度。
偶数阶幻方
由偶数个数字组成的幻方，如4×4、6×6等。这类幻方构 造较为复杂，需要遵循一定的规律和技巧。
广义幻方
不仅限于数字，还可以用字母、符号等代替数字，甚至可 以是非线性的矩阵。这类幻方更加灵活多变，具有更广泛 的用途。数学中的规律美 Nhomakorabea规律之美
幻方中的数字按照一定的规律排 列，这种规律美是数学中非常重
要的美学特征之一。
逻辑之美
幻方的构造过程需要遵循一定的 逻辑，这种逻辑美也是数学中非
常重要的美学特征之一。
统一之美
幻方中的数字虽然千变万化，但 都遵循着统一的规律和逻辑，这 种统一美也是数学中非常重要的
美学特征之一。
数学中的逻辑美
多人幻方挑战赛
团队赛
01
多个团队同时进行幻方挑战，以最快完成且符合规则的团队为
趣味数学-幻方
三、四阶幻方
五阶幻方
六阶幻方
3、探究幻方的规律（1）：
49 2 35 7 8 16
1、所有行、列、对角线上的数 之和均为15；
2、偶数位于角上，奇数在中间；
3、5位于中心点，相对的两个端 点数和为10。因为9个数之和是45， 所以中间的数的5。
3、探究幻方的规律（2）：
49 2 35 7 8 16
276+951+438= 1665 672+159+834= 1665
2762+9512+4382= 1172421 6722+1592+8342= 1172421
4）每列看成的三位数和 =它逆转之后的三位数。
5）每列看成的三位数的平方和 =它逆转之后的三位数平方和
行也成立
3、探究幻方的规律（3）：
24-8-7=9
10 9 5
24-9-5=10 24-10-8=6
本课小结
每行、每列、对角线上的三个数的和都相 等方格，叫“幻方”。 所有行、列、对角线上的数之和均为15。 偶数位于角上；奇数在中间。
5位于中心点，相对的两个端点数和为10。
49 2 35 7 8 16
357+753= 1100 951+159= 1100
456+654= 1100 852+258= 11700
6）每列每行每一条对角线上看成的三位数 和它逆转之后的三位数之和相等。
（7）幻和=九个数之和÷3， （8）中间数=幻和÷3. （9）C=(A+B)÷2 （如右图）
13 14 15 16 第四行和=58 多了24
第 第第 第 一 二三 四 对角线和=34 列 列 列 列 和 和和 和
数与代数——神奇的幻方
数与代数——神奇的幻方相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟曾献给大禹一本洛书，书中有副奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，也就是在3×3的方阵中填入1~9，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等。
幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。
基本幻方的定义：是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的纵横均有n个数，而把每行、每列、有时还包括两条对角线的数加起来，它们的和都是相等，这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图，或n阶幻方。
幻和：每行、每列、两条对角线的数字和；基本幻方的幻和：n (n2+1) ÷2现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在3×3的方阵图中，每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等，就称它为三阶幻方。
可以证明三阶基本幻方具有以下基本性质：（1）在3×3的方格中填入9个不同的数，使得各行各列及两条对角线上3个数的和都相等，且为S，若中间一个数位m，则S=3m；（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方；（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方；注：其实三阶基本幻方还有一个有趣的性质：数学家哈尔莫斯、巴尔布尤把基本三阶幻方每行（列）数字组成一个三位数，并写出它们的逆序数，就得到下列美妙的等式：492+357+816=618+753+2944922+3572+8162=6182+7532+2942438+951+276=672+159+8344382+9512+2762=6722+1592+8342例1、请将-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4，这9个数字分别填入图中方阵的9个空格，使得三行、三列、两条对角线上的3个数的和都是0。
分析：利用三阶基本幻方以及性质2可以得到；例2、如图，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：图中左上角的数是多少？分析：虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关，故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数。
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幻方
将1到2n 的自然数排列成纵横各有n 个数的正方形，使每行、每列、有时还包括两条主对角线的n 个数的和（或连乘积）都相等[等于)1(21
2 n n ]，这种排列称为n 阶幻方，也叫n 阶纵横图。
纵横图的起源可以追溯到公元前2200多年。
相传，我国大禹治水时，发现一个神龟，背上刻有图案，称“为洛书”（图2），表示神赐给他的一种旨意。
与此有关的传说具有很强的神秘色彩。
上面的这个图案用阿拉伯数码表示，就是一个如下的三阶纵横图：
图2
中国东汉学者郑玄（127-200）注易纬《乾凿度》中有“太一取其数以行九宫，四正四维皆合于十五”，大意是：太一神依照一定顺序巡行于九宫，九个位置的图案所显示出的数字表明太一神巡行的次第。
因此古代中国人也称三阶纵横图为九宫数或九宫图。
如北周学者甄鸾（535年左右）注《数术记遗》中说：“九宫者，二、四为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”。
与前面的龟文暗合。
我国历代学者对纵横图都有过许多研究。
“纵横图”一词最早出现在南宋杨辉（约十三世纪中叶）所著的《续古摘奇算法》（1275）之中。
杨辉在书中还给出了三至十阶的纵横图及其变体共13种。
中世纪的阿拉伯学者对纵横图也有研究。
1956年，西安出土了1278年阿拉伯学者扎马鲁丁为西安王推算历法期间用“东阿拉伯数字”所做的铁制六阶纵横图，见图3。
用现代的阿拉伯数码表示如图4：
图3 图4
在欧洲，纵横图的造法大约开始于14世纪。
1514年，德国著名的大画家兼数学家丢勒（A. Dürer，1471-1528）雕刻了一副名为《忧郁》的钢板画，画中有一个四阶幻方，如下：
这个纵横图不但行、列、对角线上的各个数字之和都是34（欧洲人称之为神秘的常数），而且把这个幻方四等分后，得到的每一部分的四个小方图的数字之和也等于34。
此外，丢勒还独具匠心，精心巧妙地设计了一个小秘密，即在方图的最下面中间两个数15，14，连在一起恰好是绘画的年代1514，实在是“幻中之幻”。
1878年这个四阶纵横图在英国人傅兰雅传入中国。
事实上，200多年前中国的数学家杨辉就已经得到了这个纵横图。
数学家欧拉（L. Euler，1707-1783）和凯莱（A. Cayley，1821-1895）都曾指出，纵横图不仅仅是一种数学游戏，也有研究价值。
现在，人们已经发现各种各样的纵横图，如广义幻方，双重幻方、同心幻方、分块幻方、质数幻方、三维幻方等等。
中国古人对纵横图的研究是组合数学发展初期的重要内容，现在，纵横图仍然是组合数学的研究课题。