【名师推荐资料】新2020版高考数学一轮复习第四章平面向量第1讲平面向量及其线性运算课时作业理

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高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数

A.12a ＋12b
B.12a ＋13b
C.14a ＋12b
D.12a ＋14b
解析：∵在△ABC 中，BE 是边 AC 上的中线，
∴―A→E ＝12―A→C .∵O 是边 BE 的中点，
∴―A→O ＝12(―A→B ＋―A→E )＝12―A→B ＋14―A→C ＝12a ＋14b .
答案：D
2．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2
第二节
平面向量的基本定理及坐标表示
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课前双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基础知识
1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a ＝_λ_1e_1_＋__λ_2e_2_. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b
课堂考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一平面向量基本定理及其应用 [考什么·怎么考]
高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表示其他向量，一般多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.
1.如图，在△ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是边 BE 的中点，若―A→B ＝a ，―A→C ＝b ，则―A→O ＝( )
2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a －b ＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa ＝ (λx1，λy1) ，|a |＝___x_21＋__y_21__.

(教师用书)2020届高考数学第一轮复习第四篇平面向量细致讲解练理新人教A版

第四篇平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算[最新考纲]1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1．向量的有关概念2.向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .辨析感悟1．对共线向量的理解(1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同． (×) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(3)(2013·郑州调研改编)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝－12.(√)(4)(2013·陕西卷改编)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．(√)2．对向量线性运算的应用 (5)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(√)(6)(教材习题改编)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．(√) 学生用书第69页[感悟·提升]1．一个区别两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．2．两个防范一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考点一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中真命题的序号是________．解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 ②③规律方法对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．【训练1】设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 答案 D考点二平面向量的线性运算例2】如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ， OB →＝b ，B M →＝13BC →， CN →＝13CD →.试用a ，b表示OM →， O N →及MN →.解由题意知，在平行四边形OADB 中， BM →＝13B C →＝16 BA →＝16( OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ，则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．【训练2】 (1) (2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λ AO →，则λ＝________.(2)(2013·泉州模拟)已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，那么一定有 ( )． A.PB →＝2CP →B.CP →＝2PB → C.AP →＝2PB →D.PB →＝2AP →解析 (1)∵AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.(2)∵PA →＋PB →＋PC →＝AC →＝PC →－PA →， ∴PB →＝－2PA →＝2AP →. 答案 (1)2 (2)D考点三向量共线定理及其应用【例3】 (2013·郑州一中月考)设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．审题路线 (1)由向量的加法，得BD →＝BC →＋CD →⇒用a ，b 表示BD →⇒得到BD →与AB →的关系式⇒由向量共线定理，得BD →与AB →共线⇒再看是否有公共点⇒得到证明的结论．(2)假设存在实数k ⇒利用向量共线定理⇒列出方程⇒根据a ，b 是两个不共线的向量⇒得出方程组⇒解得k 值．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ，b 是两不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线.学生用书第70页【训练3】－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为_____．解析由于c 与d 同向，所以c ＝k d (k ＞0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又因为k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案 11．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．2．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b ＝λa ，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算【典例】 (2012·浙江卷)设a ，b 是两个非零向量．( )． A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |[一般解法] (排除法)选项A ，若b ＝－a ，则等式|a ＋b |＝|a |－|b |成立，显然a ⊥b 不成立；选项B ，若a ⊥b 且|a |＝|b |，则|a |－|b |＝0，显然，|a ＋b |＝2|a |≠0，故|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ，若b ＝a ，则|a |－|b |＝0，显然，|a ＋b |＝2|a |≠0，故|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．综上，A ，B ，D 都不正确，故选C.[优美解法] (数量积法)把等式|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方，得(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即2a ·b ＝－2|a |·|b |，而a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b >，所以cos<a ，b >＝－1.又因为<a ，b >∈[0，π]，所以<a ，b >＝π，即a ，b 为方向相反的共线向量．故C 正确．[反思感悟] 部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a ＋b |＝|a |－|b |”在处理过程中误认为“|a ＋b |＝|a －b |”，从而得到“a ⊥b ”这个错误的结论．【自主体验】在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝ ( )． A.a ·a －b|a －b |B.a ·b －a|a －b |C.a ·a －b|a －b |2D.a ·b －a|a －b |2解析由AD →＝λAB →，∴|AD →|＝λ|AB →|.又∵|AD →|＝|a |cos A ＝|a |·a ·a －b |a ||b －a |＝a ·a －b |b －a |，|AB →|＝|b －a |，∴λ＝a ·a －b |b －a |2＝a ·a －b|a －b |2.故选C. 答案 C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE → 解析由图可知EF →＝OF →－OE →.答案 B 2.(2014·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )． A ．0 B.BE →C.AD →D.CF →解析因为ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案 D3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．答案 A4．(2014·开封模拟)下列命题中，正确的是( )． A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b B ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 C ．若k a ＝0，则k ＝0或a ＝0D ．若a ，b 都是非零向量，则|a ＋b |＞|a －b |解析对于A ，显然不能得知a ＝b 或a ＝－b ，因此选项A 不正确；对于B ，易知不正确；对于C ，易知正确；对于D ，注意到(a ＋b )2－(a －b )2＝4a ·b ，显然a ·b 与零的大小关系不确定，因此选项D 不正确．综上所述，选C. 答案 C5．(2014·兰州质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )． A.15 B.25 C.35 D.45 解析设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C 二、填空题6．(2014·湖州月考)给出下列命题： ①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中不正确命题的序号是________．解析 ①中，∵向量AB →与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案 ②④⑤7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．解析由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案－14a ＋14b8．(2014·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.答案－1 三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 10．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λ(t b －a )＝λt b －λa .又∵a 与b 为不共线的非零向量， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛ 12OA →＋12OB →＋⎭⎫2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )． A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案 B2．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，则实数x 的取值范围是( )． A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0,1)解析设BO →＝λ BC →(λ＞1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λ BC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →，又AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，所以x AB →＋(1－x )AC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →.所以λ＝1－x ＞ 1，得x ＜0.答案 A 二、填空题3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．答案直角三角形三、解答题 4.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .学生用书第70页[最新考纲]1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.辨析感悟1．对平面向量基本定理的理解(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (√) (3)(2013·广东卷改编)已知a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c .(√)②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；(√)③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； (√) ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc . (×) 2．平面向量的坐标运算(4)(教材习题改编)已知点A (2,1)，B (－1,3)，则AB →＝(－3,2)．(√)(5)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(6)(2013·湘潭调研改编)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为－4.(√)[感悟·提升]1．向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．2．两个防范一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)．二是注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0，如(5).考点一平面向量基本定理的应用【例1】如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解法一设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ，① b ＝AM →＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a .② 将②代入①，得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ， ∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，③将③代入②，得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．法二设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c ，b ＝232c －d，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【训练1】在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若A B →＝λAM→＋μAN →，则λ＋μ＝( )． A.15 B.25 C.35 D.45解析因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.答案 D考点二平面向量的坐标运算【例2】已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M 的坐标为(0,20)．又CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N 的坐标为(9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．规律方法向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．【训练2】 (1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )． A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)学生用书第72页(2)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析 (1)12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)． (2)由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案 (1)D (2)B考点三平面向量共线的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．审题路线 (1)分别求出(a ＋k c )与(2b －a )的坐标⇒利用向量平行的充要条件列方程⇒解关于k 的方程；(2)设d 的坐标⇒根据已知条件列出方程组⇒解方程组，得到d 的坐标．解 (1)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．规律方法 a ∥b 的充要条件有两种表达方式： (1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．【训练3】 (1)(2014·衡水中学一检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.12 B.14C ．1D ．2(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析 (1)由于a ＋λb ＝(1＋λ，2)，故(a ＋λb )∥c ⇒4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12，故选A.(2)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2 AB →. 设点D 的坐标为(x ，y )，则 DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案 (1)A (2)(2,4)1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．思想方法3——方程思想在平面向量线性运算中的应用【典例】 (2013·北京卷)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，所以a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC→＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb可得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4. 答案 4[反思感悟] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)利用向量共线建立方程组，用方程的思想求解．【自主体验】1．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基底a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .又a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.又e 1，e 2是平面内一组基向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －132．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________.解析 a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4. 答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·华东师大附中模拟)如图，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )． A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④解析 ①中AD →与AB →不共线，可作为基底；②中DA →与BC →为共线向量，不可作为基底；③中CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；④中OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．综上，只有①③中的向量可以作为基底，故选C. 答案 C2．(2014·揭阳二模)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )． A ．(7,4) B ．(7,14) C ．(5,4) D ．(5,14) 解析设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.答案 D 3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋y OB →，且BP →＝2 PA →，则( )． A ．x ＝23，y ＝13 B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2 PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.答案 A4．(2013·惠州模拟)已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，a ∥(a ＋b )，则m ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．－3 D ．3解析 a ＋b ＝(2，m ＋1)，由a ∥(a ＋b )，得(－1)×(m ＋1)－2×1＝0，解得m ＝－3. 答案 C5．(2014·许昌模拟)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2P C →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )． A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)解析 BC →＝3 PC →＝3(2 PQ →－PA →)＝6 PQ →－3 PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．答案 B 二、填空题6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案 127．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．解析由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.答案 m ≠548．(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2 AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案 12三、解答题9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，法一当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1 OA →＋t 2 AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0， (2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2 AB →， ∴AM →与AB →共线，又它们有公共点A ， ∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·保定模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )．A ．30° B．60° C．90° D．120°解析由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B 2.(2014·中山模拟)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝m OA →＋n OB →，则m ＋n 的取值范围是( )． A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0)解析由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λ BA →(λ＞1)，则 OD →＝OB →＋λ BA →＝λ OA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μ OC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．答案 D 二、填空题3．(2014·南京质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值为________．解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0， ∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝12，a ＝14时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8.答案 8 三、解答题 4.如图，已知点A (1,0)，B (0,2)，C (－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．解以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①▱ABCD ；②▱ADBC ；③▱ABDC . 设D 的坐标为(x ，y )， ①若是▱ABCD ，则由AB →＝DC →，得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )，即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，∴x ＝0，y ＝－4.∴D 点的坐标为(0，－4)(如题图中所示的D 1)． ②若是▱ADBC ，由CB →＝AD →，得(0,2)－(－1，－2)＝(x ，y )－(1,0)，即(1,4)＝(x －1，y )，解得x ＝2，y ＝4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D 2)． ③若是▱ABDC ，则由AB →＝CD →，得 (0,2)－(1,0)＝(x ，y )－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x ＋1，y ＋2)．解得x ＝－2，y ＝0. ∴D 点的坐标为(－2,0)(如题图中所示的D 3)，∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0).学生用书第73页第3讲平面向量的数量积[最新考纲]1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ 叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21. (3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．辨析感悟1．对平面向量的数量积的认识(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量．(×)(2)(2013·湖北卷改编)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为－322.(×)(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．(×) 2．对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4)a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.(×) (5)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×) (6)a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .(×) [感悟·提升]三个防范一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a ，b 的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，b 在a 的方向上投影为|b |，当θ＝180°时，b 在a 方向上投影为－|b |，如(2)；当θ＝0°时，a ·b ＞0，θ＝180°，a ·b ＜0，即a ·b ＞0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b ，如(4)．考点一平面向量数量积的运算【例1】 (1)(2014·威海期末考试)已知a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1)，则a ·b ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(2)(2013·江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析 (1)∵a ＝(1,2)，2a －b ＝(3,1) ∴b ＝2a －(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)． ∴a ·b ＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5. (2)由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2 ＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的射影为|a |·cos<a ，b >＝a ·b |b |＝52. 答案 (1)D (2)52学生用书第74页规律方法的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．【训练1】 (1)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )．A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为______．解析 (1)8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝30，即18＋3x ＝30，解得x ＝4.故选C. (2)∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0，∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)|AB →||AC →|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.答案 (1)C (2)712考点二向量的夹角与向量的模【例2】 (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． (2)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________. 解析 (1)等式平方得|a |2＝9|b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，则|a |2＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |cos θ，即0＝4|b |2＋4·3|b |2cos θ，得cos θ＝－13.(2)因为|2a －b |2＝(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4a 2＋b 2＝4＋4＝8，故|2a －b |＝2 2. 答案 (1)－13(2)2 2规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2)|a |＝a ·a 常用来求向量的模．【训练2】 (1)(2014·长沙模拟)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(2)若平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |≤1，且以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积为12，则a 和b 的夹角θ的取值范围是________．解析 (1)由|2a －b |＝10平方得， 4a 2－4a ·b ＋b 2＝10，即|b |2－4|b |cos 45°＋4＝10，亦即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝32或|b |＝－2(舍去)． (2)依题意有|a ||b |sin θ＝12，即sin θ＝12|b |，由|b |≤1，得12≤sin θ≤1，又0≤θ≤π，故有π6≤θ≤5π6.答案 (1)3 2 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6考点三平面向量的垂直问题【例3】已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α(其中k 为非零实数)．审题路线证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证⇒由模相等，列等式、化简求β－α.(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，|k a ＋b |＝k 2＋2k cos β－α＋1， |a －k b |＝1－2k cos β－α＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)．又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.规律方法 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算a·b ＝0⇔a⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a⊥b .【训练3】已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．(1)证明 ∵a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ， ∴c ·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b ) ＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＝0. 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a ·b ＝0， ∴c ·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0， ∴k ＝f (t )＝t 3－3t4(t ≠0)．1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.学生用书第75页教你审题5——数量积的计算问题【典例】(2012·上海卷)在矩形ABCD中，设AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．[审题] 一审：抓住题眼“矩形ABCD ”；二审：合理建立平面直角坐标系，转化为代数问题解决．解析如图，以A 点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝k (0≤k ≤1)，则点M 的坐标为(2，k )，点N 的坐标为(2－2k,1)，则AM →＝(2，k )，AN →＝(2－2k,1)，AM →·AN →＝2(2－2k )＋k ＝4－3k ，而0≤k ≤1，故1≤4－3k ≤4. 答案 [1,4][反思感悟] 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多．【自主体验】(2012·江苏卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析法一以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)，∴AF →＝(x,2)，AB →＝(2，0)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝2x ＝2，解得x ＝1，∴F (1,2)，∴AE →·BF →＝ 2. 法二 AB →·AF →＝|AB →||AF →|cos ∠BAF ＝2，∴|AF →|cos ∠BAF ＝1，即|DF →|＝1，∴|CF →|＝2－1，AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE →·BC →＝2×(2－1)×(－1)＋1×2×1＝ 2. 答案 2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·湛江二模)向量a ＝(1,2)，b ＝(0,2)，则a ·b ＝( )． A ．2 B ．(0,4) C ．4 D ．(1,4) 解析 a ·b ＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4. 答案 C2．(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为( )．A.14B.12C ．1D ．2解析如图所示，AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1.答案 C3．(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )． A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1解析由题意知(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0. 所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 答案 A4．(2014·浙江五校联盟)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，且(2a ＋b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( )． A.2π3 B.π6 C.π3 D.5π6解析由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋|b |2＝0. ∴2|b |2·cos<a ，b >＋|b |2＝0，∴cos<a ，b >＝－12，又<a ，b >∈[0，π]，∴<a ，b >＝2π3.答案 A5．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )． A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10。

2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章第一节平面向量的概念及其线性运算含答案

答案A
1．(配合例2使用)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，| |＝| |＝| |＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
解析由| |＝| |得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－( ＋ )＝－2 ，所以PD＝ AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由| |＝2，PD＝1可得| |＝，则| |＝2 ，所以△ABC的面积为 ×2×2 ＝2 。故选B。
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
答案(1)A(2)D
考点三共线定理及应用微点小专题
方向1：共线定理
【例3】已知e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝( )

【名师金典】(教师用书)版高考数学大一轮复习第四章平面向量第四章平面向量

第四章平面向量第四章平面向量第一节平面向量的基本概念及线性运算[考情展望] 1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则.2.以四种命题及充分必要条件为知识载体，考查向量的有关概念.3.借助共线向量定理探求点线关系或求参数的值．一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”．三、平面向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .巧用系数判共线 OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．1．化简OP →－QP →＋MS →＋QM →的结果为( ) A.OM → B.SM → C.PS → D.OS → 【答案】 D2．下列给出的命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．相等的向量必是共线向量【答案】 D3．设a ，b 为不共线向量，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )A.AD →＝BC →B.AD →＝2BC →C.AD →＝－BC →D.AD →＝－2BC →【答案】 B4．(2014·福建高考)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 【答案】 D5．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |【答案】 C6．(2013·四川高考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝ .【答案】 2考向一 [071] 平面向量的有关概念给出下列四个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D规律方法1 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键：(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性；(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．对点训练给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C考向二 [072] 平面向量的线性运算(1)在△ABC 中，若D 是AB 边上一点，且AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23(2)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →【答案】 (1)A (2)A规律方法2 1.解答本例(1)的关键是利用向量的加法与减法把CD →用CA →、CB →表示出来．解答本例(2)的关键是OB →＋OC →＝2OD →.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．对点训练 (1)(2014·课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →(2)(2015·南京质检)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为．【答案】 (1)C (2)－2考向三 [073] 共线向量定理的应用设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线． (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A 、C 、F 三点共线，求k 的值．【尝试解答】 (1)AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2，又CD →＝－8e 1－2e 2，所以CD →＝－2AC →，∴AC →与CD →共线，又∵AC →与CD →有公共点C ， ∴A 、C 、D 三点共线．(2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2. ∵A 、C 、F 三点共线，∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2，又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.所以实数k 的值为2.规律方法3 1.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．对点训练 (1)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向(2)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 (1)D (2)A易错易误之八忽视零向量的特殊性致误 —————————— [1个示范例] ——————下列命题正确的是( )A ．向量a 、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．向量a 、b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线【解析】 A 不正确，当a ＝b ＝0时，有无数个实数λ满足b ＝λa . 此处在求解时，常因忽视“共线向量定理中的条件a ≠0”而致误． B 不正确，在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.此处在求解时，常因混淆向量与数量的关系致误，0是向量，其模为0，而0是数量，没有方向．C 不正确，当b ＝0时，不等式|a |≤|a |≤|a |显然成立．此处在求解时，常受代数不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |的影响，而忽略了向量中0的作用导致错误．D 正确．∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D.【防范措施】 (1)共线向量定理中，b ＝λa 要求a ≠0，否则λ值可能不存在． (2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数． (3)应熟练掌握向量不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件．———————— [1个防错练] ———————下列说法不正确的有．①若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反； ②若λa ＝0，则λ＝0； ③相反向量必不相等；④若a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，λ∈R ，且λ≠0，则a ∥b 的充要条件是e 2＝0. 【解析】 ①不正确，如a ＝0. ②不正确，λa ＝0，则λ＝0或a ＝0. ③不正确，0＝－0.④不正确，当e 1∥e 2时该命题也成立．【答案】 ①②③④课时限时检测(二十五) 平面向量的基本概念及线性运算(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 【答案】 B3．如图4－1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图4－1－1A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →【答案】 D4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝－13bB ．a∥bC ．a ＝2bD ．a⊥b【答案】 A5．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 【答案】 C6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图4－1－2所示，向量a －b ＝ (用e 1，e 2表示)．图4－1－2【答案】 e 1－3e 28．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是．【答案】 [3,13]9．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是 (将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)．【答案】 ①②三、解答题(本大题共3小题，共35分) 10．(10分)设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值．(3)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ， AC →＝OC →－OA →＝－a －2b .所以AC →＝－AB →，又因为A 为公共点，所以A 、B 、C 三点共线． (2)设8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧8＝λk ，k ＝2λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，λ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，λ＝－2，所以实数k 的值为±4.(3)AC →＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ，因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →与CD →共线．从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －k b )，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．(12分)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．图4－1－3【解】如题图所示，AP →＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP →＝kBN →， ∴AP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →，因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811，则m ＝1－k ＝311.12．(13分)设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心； ④△ABC 的垂心．【解】如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC→|AC →|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC ，∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →，∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．第二节平面向量基本定理及坐标表示[考情展望] 1.考查用平面向量的坐标运算进行向量的线性运算.2.考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算.3.以向量的坐标运算及共线向量定理为载体，考查学生分析问题和解决问题的能力．一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．二、平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示 1．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12|.(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． 2．向量平行的坐标表示(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.共线向量的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】 A2．若a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则2b －a 的坐标是( ) A ．(3，－4) B ．(－3,4) C ．(3,4) D ．(－3，－4)【答案】 D3．已知a ＝(4,5)，b ＝(8，y )且a ∥b ，则y 等于( ) A ．5 B ．10 C.325D ．15 【答案】 B4．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 【答案】 B5．(2013·广东高考)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B6．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图4－2－1所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝ .【答案】 4考向一 [074] 平面向量基本定理及其应用(1)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE→＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝ .图4－2－2(2)如图4－2－2，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝ (用向量a 和b 表示)．【答案】 (1)43 (2)23a ＋13b规律方法1 1.解答本例(1)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组． 2．(1)利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．对点训练 (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为．【答案】 12考向二 [075] 平面向量的坐标运算已知O (0,0)，A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．【尝试解答】 a ＝AB →＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b ＝BC →＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c ＝CA →＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)由a ＝m b ＋n c ，得(5，－5)＝(－6m ，－3m )＋(n,8n ) ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)． ∴MN →＝(9，－18)．规律方法2 1.向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．对点训练(1)(2014·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝( ) A．(－2,1) B．(2，－1)C．(2,0) D．(4,3)(2)(2014·北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝( )A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)【答案】(1)B (2)A考向三 [076] 平面向量共线的坐标表示(1)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a的坐标为．(2)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a∥b ，则cos 2α＝( ) A ．－13 B.13 C ．－79 D.79【答案】 (1)(－4，－2) (2)D规律方法3 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．对点训练 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是．【答案】 (1)B (2)m ≠12思想方法之十二待定系数法在向量运算中的应用根据向量之间的关系，利用待定系数法列出一个含有待定系数的恒等式，然后根据恒等式的性质求出各待定系数的值或消去这些待定系数，找出原来那些系数之间的关系，从而使问题得到解决．—————————— [1个示范例] ——————如图4－2－3所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，图4－2－3OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，利用a 和b 表示向量OM →.【解】设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝12b －a .因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数λ，使AM →＝λAD →，即(m －1)a ＋n b ＝－λa ＋λ2b .所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－λ，n ＝λ2，消去λ，得m ＋2n ＝1，①同理CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ，因为C 、M 、B 三点共线，所以存在实数t ，使CM →＝tCB →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －14a . 所以⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t ，n ＝t ，消去t ，得4m ＋n ＝1，②联立①②，得m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .,———————— [1个对点练] ———————如图4－2－4所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图4－2－4【解】因为AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，所以由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得 (AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0，所以AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又因为A ，N ，B 三点共线，C ，M ，N 三点共线，由平面向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，所以λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0. 所以(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.所以CM →＝－NM →＝MN →，CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .课时限时检测(二十六) 平面向量基本定理及坐标表示(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)【答案】 A2．(2013·陕西高考)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0【答案】 C3．已知向量m ＝(2,0)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.在△ABC 中，AB →＝2m ＋2n ，AC →＝2m －6n ，D 是BC边的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】 A4．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 【答案】 C5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6) 【答案】 D6．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3 C.π2 D.2π3【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为．【答案】 128．在△ABC 中，若点D 是边AB 上靠近点B 的三等分点，若CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →等于．【答案】 23a ＋13b9．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为．【答案】 1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)设坐标平面上有三点A ，B ，C ，i ，j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A ，B ，C 三点共线．【解】法一假设满足条件的m 存在，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →， ∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，即i －2j ＝λ(i ＋m j )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2.∴当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．法二假设满足条件的m 存在，根据题意可知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)．∴AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC →＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →，故1·m －1·(－2)＝0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．11．(12分)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )，问： (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．【解】 (1)∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)， ∴OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在第二、四象限角平分线上，则 1＋3t ＝－(2＋3t )，t ＝－12.(2)OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，即⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解．所以四边形OABP 不可能为平行四边形．12．(13分)如图4－2－5，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．图4－2－5(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示； (2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．【解】 (1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)证明一方面，由(1)，得 OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λyOB →；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.②而OA →，OB →不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＝13，λy ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3(定值)．第三节平面向量的数量积[考情展望] 1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．一、平面向量的数量积1．数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则向量a 与b 的数量积是数量|a ||b |cos θ，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．向量的投影：设θ为a 与b 的夹角，则向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ；向量b 在a 方向上的投影是|b |cos θ.3．数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．二、平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a ；2．数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； 3．分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 三、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．1．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )a 等于( )A ．(26，－78)B ．(－28，－42)C ．－52D ．－78 【答案】 A2．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【答案】 C3．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b |【答案】 B4．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8【答案】 B5．(2013·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152【答案】 A6．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝ .【答案】 2考向一 [077] 平面向量数量积的运算(1)(2012·浙江高考)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝ .(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为；DE →·DC →的最大值为．【答案】 (1)－16 (2)1 1规律方法1 1.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算．2．要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例(1)中用AM →、MB →表示AB →、AC →等．注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．对点训练 (1)(2013·江西高考)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为．(2)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝ . 【答案】 (1)52 (2)－14考向二 [078] 平面向量的夹角与垂直(1)(2013·安徽高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a与b 夹角的余弦值为．(2)(2013·山东高考)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为．【答案】 (1)－13 (2)712规律方法2 1.当a ，b 以非坐标形式给出时，求〈a ，b 〉的关键是借助已知条件求出|a |、|b |与a·b 的关系．2．(1)非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)本例(2)中常见的错误是不会借助向量减法法则把BC →表示成AC →－AB →，导致求解受阻．对点训练 (1)(2014·重庆高考)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152(2)(2015·青岛质检)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值是．【答案】 (1)C (2)712考向三 [079] 平面向量的模及其应用(1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10 【答案】 B(2)已知OP →＝(cos θ，sin θ)，OQ →＝(1＋sin θ，1＋cos θ)，其中0≤θ≤π，求|PQ →|的取值范围及|PQ →|取得最大值时θ的值．【尝试解答】 ∵PQ →＝OQ →－OP →＝(1＋sin θ－cos θ，1＋cos θ－sin θ)，∴|P Q →|2＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋cos θ－sin θ)2＝4－4sin θcos θ＝4－2sin 2θ. ∵0≤θ≤π，∴－1≤sin 2θ≤1， ∴|PQ →|2∈[2,6]，∴|PQ →|∈[2，6]．当sin 2θ＝－1，即θ＝3π4时，|PQ →|取得最大值．规律方法3 1.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)共线的充要条件，而后者是它们垂直的充要条件．2．求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑：(1)利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2)利用公式|a |＝a·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a·b ＋|b |2把长度问题转化为数量积的运算问题解决．对点训练 (1)(2014·江西高考)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝ .(2)(2014·四川高考)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 【答案】 (1)3 (2)D易错易误之九忽略向量共线条件致误—————————— [1个示范例] ——————(2014·广州模拟)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为．【解析】 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－53，当a 与 a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ，此处在求解时，常因忽略“a 与a ＋λb 共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为a·b ＞0与〈a ，b 〉为锐角等价．即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m 2＋λ＝2m，∴λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．综上可知，λ的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ＞－53且λ≠0 【防范措施】 1.a ，b 的夹角为锐角并不等价于a·b ＞0，a·b ＞0等价于a 与b 夹角为锐角或0°.2．依据两向量的夹角θ求向量坐标中的参数时，要注意θ＝0°或180°的情形．其中cos 0°＝1＞0，cos 180°＝－1＜0.———————— [1个防错练] ———————已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是．【解析】由a·b ＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜32.又当a∥b 时，λ＝－6，故所求λ的范围为λ＜32且λ≠－6.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ＜32且λ≠－6 课时限时检测(二十七) 平面向量的数量积(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·辽宁高考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 【答案】 A2．(2013·大纲全国卷)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【答案】 B3．若向量a, b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】 D4．已知|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －b |＝( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．8 【答案】 A5．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22 C.1±102D.－3±222 【答案】 A6．已知平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π4 C.π5 D.π6【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为．【答案】－2558．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为．【答案】 29．设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于．【答案】 5三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)， (1)若(2a ＋b )∥(a －b )，求x 的值；(2)若2a ＋b 与a －b 的夹角是锐角，求x 的取值范围．【解】 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)， ∴2a ＋b ＝(2＋x,5)，a －b ＝(1－x,1)．由(2a ＋b )∥(a －b )可知 2＋x ＝5－5x . 解得x ＝12.(2)由题意可知(2a ＋b )·(a －b )＞0且2a ＋b 与a －b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧＋x －x ＋5＞0，x ≠12，∴－1－292＜x ＜－1＋292且x ≠12. 即所求x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－292，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1＋292.11．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．图4－3－1(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【解】 (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM →＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)．∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714.(2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP →＝(λt ，3λ)， OA →－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)，若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM →＝0，即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在，若t ≠32，则λ＝122t －3，∵t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32，5，故λ∈(－∞，－12)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫127，＋∞. 12．(13分)已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值．【解】 ∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． (1)|AC →|＝|BC →|， ∴θ－2＋cos 2θ＝θ2＋θ－2，化简得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12，∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5.(2)OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)，∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1. ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θ·cos θ＝－38.第四节平面向量应用举例[考情展望] 1.用向量的方法解决某些简单的平面几何证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题，体现向量运算的工具性．一、向量在平面几何中的应用1．平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．2．用向量解决常见平面几何问题的技巧1．向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． 2．向量在速度的分解与合成中的应用．3．向量的数量积在合力做功问题中的应用：W ＝f ·s .1．已知三个力f 1，f 2，f 3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f 1＝(2,2)，f 2＝(－2,3)，则|f 3|为( )A ．2.5B ．4 2C ．2 2D ．5 【答案】 D2．已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．重心 C ．外心 D ．垂心【答案】 D3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形【答案】 D4．已知两个力F 1、F 2的夹角为90°，它们的合力F 的大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为．【答案】 5 N5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 【答案】 A6．(2014·山东高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为．【答案】 16考向一 [080] 向量在平面几何中的应用(1)在△ABC中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB→|AB →|·AC→|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形(2)设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a 与b 不共线，a⊥c ，|a|＝|c |，则|b·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形面积C ．以a ，b 为两边的三角形面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积(3)已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为．【答案】 (1)A (2)D (3)9规律方法1 1.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状；二是借助模、数量积等分析几何图形的面积；三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值．2．平面几何问题的向量解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．对点训练 (1)已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC→＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝ .【答案】 (1)C (2)2考向二 [081] 平面向量在解析几何中的应用(2015·苏州模拟)已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最大值．【尝试解答】 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →) ＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →) ＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 2＝16－4y 23，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因为y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19.规律方法2 1.平面向量与解析几何交汇的题目，向量多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．2．向量工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法．对点训练 (2014·安徽高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R【答案】 A考向三 [082] 向量在三角函数中的应用(2013·辽宁高考)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【尝试解答】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.。

【与名师对话】高考数学一轮复习第四章平面向量阶段整合课件文

已知函数f(x)＝2acos x＋bsin
π 1 f4＝ . 2
2
xcos
3 3 x－ 2 ，且f(0)＝ 2 ，
(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间； (3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称？【思路启迪】先求出f(x)的解析式，再求解．
a b (ωx＋φ)(ห้องสมุดไป่ตู้os φ＝ 2 2，sin φ＝ 2 2)的形式来求． a ＋b a ＋b
(2014· 潍坊模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0， π ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示． 2
(1)求f(x)的解析式； π2 π π (2)设g(x)＝fx－ 12 ，求函数g(x)在x∈－ 6 ， 3 上的最大值，并确定此时x的值．
二、解三角形以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理及面积公式转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180° ，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值．
(2014· 辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a， 1 → → b，c，且a>c.已知BA· BC＝2，cos B＝3，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．【思路启迪】 (1)结合向量数量积、余弦定理列方程组求解；(2)利用正弦定理结合两角差的余弦公式求解．
【解】 3 故a＝ 2 .
3 3 3 (1)由f(0)＝ 2 ，得2a－ 2 ＝ 2 ，
π 1 由f4＝2，得
3 b 3 1 2 ＋2－ 2 ＝2，所以b＝1.

第一节平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考

平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制．知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝；λ(a ＋b )＝知识点三共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得．知识点四平面向量的数量积 1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝；③(a ＋b )·c ＝．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。

2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算【课件】

√
考点考法：虽然近两年在本讲没有直接命题，但在考查其他知识点时，经常涉及向量的加法、减法运算，数乘运算以及它们的几何意义.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
必备知识自主排查
核心考点师生共研
必备知识自主排查
01
1.向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的____.
√
√
解析：选选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为与共线，且有公共点，所以，，三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项，，，，是不共线的点，，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确.
A. B. C. D.
解析：选D.对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以错误.对于B，两个向量不能比较大小，所以错误.对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，所以错误.对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是 ,所以正确.
√
2.设，都是非零向量，则下列四个条件中，使成立的充分条件是( )
×
（3）若向量与向量是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在中，点在边上， .记 , ，则 ( )
A. B. C. D.
（2）零向量：长度为___的向量，其方向是任意的.
（3）单位向量：长度等于_____________的向量.

2020届高考数学一轮课件：4.1 平面向量的概念及运算

=-12 (�� + ��)
=12
��
−
1 4
��
=12
��
−
1 4
(��
−
�� )
=34
��
−
1 4
�� .
考情概览
��的夹角为 45°.若��=m��+n��(m,n∈R),则 m+n= 3 .
解析由 tan α=7 可得 cos α=512,sin α=572,
则1
52
=
��·�� |��|·|��|
C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 解析对于A,C,D,都有e1∥e2,故选B. 5.(2019·全国3,文13,5分,难度★)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则
2
cos<a,b>= - 10 .
解析 cos<a,b>=|��|·|��| =
A.34
��
−
1 4
��
C.34
��
+
1 4
��
B.14
��
−
3 4
��

高三数学,一轮复习人教A版, 第四章第1讲,平面向量的概念,及线性运算课件

2．三点共线的等价关系 → → → → → A，P，B 三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)· OA＋tOB(O → → → 为平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
1.教材习题改编如图，D，E，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( D ) → → A．EF＝CD → → B．AB与DE共线 → → C．BD与CD是相反向量 → 1→ D．AE＝ |AC| 2
1 1 A． a＋ b 2 2
1 1 B． a－ b 2 2
1 1 1 1 C．－ a－ b D．－ a＋ b 2 2 2 2 1 1 → 1→ 1 [解析] MD＝ BD＝ (b－a)＝－ a＋ b，故选 D. 2 2 2 2
4.教材习题改编已知 a， b 是非零向量，命题 p： a＝b，命题 q： |a＋b|＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的( A ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3.两个向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ， b＝λa 使得__________ ．
1．辨明两个易误点 (1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则 λ 可能不存在，也可能有无数个．
[解析] 因为 e1 与 e2 不共线，且 a＝e1－e2 与 b＝－2e1＋λe2 共线，所以存在 μ∈R，使 e1－e2＝μ(－2e1＋λe2)＝－2μe1＋μλe2，
1＝－2μ 得，所以－1＝μλ

2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量基本定理及坐标表示》专题汇编(学生版)

《平面向量基本定理及坐标表示》专题一、相关知识点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝xi ＋yj ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 5．常用结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.(3)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33题型一平面向量基本定理及其应用1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－343．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝_______.5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A ．12a ＋12bB ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b9．在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→ D ．－13AB ―→＋23AD ―→10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.4511．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝_______.12．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．13．在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶514．已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋23315．在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋1μ的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．题型二平面向量的坐标运算1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________.2．如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝3．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于4．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝8．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________.9．已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫－12，－5D.⎝⎛⎭⎫12，－510．已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，3511．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝12．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．14．平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．题型三平面向量共线的坐标表示1．已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( )A ．b ＝(2，－2)B ．b ＝(－2,2)C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________．6．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.7已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝________.8．已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是9．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为____.10．向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝11．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝12．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ＝13．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(－3,1)且(2a ＋b )∥b ，则实数m 的值为14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．15．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)16．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .19．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．。

人教版2024年高考数学一轮复习高考频点《第01讲平面向量的概念及其线性运算知识点必背》

第01讲平面向量的概念及其线性运算知识点必背1、向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法:向量AB 或a ;模||AB 或||a .(2)零向量:长度等于0的向量,方向是任意的,记作0.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量,常用e 表示.特别的:非零向量a 的单位向量是||a a . (4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,a 与b 共线可记为λ=a b ; 特别的:0与任一向量平行或共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作=a b .(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量,记作=-a b .2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量a ,我们规定00a a a +=+=.②向量加法的三角形法则(首尾相接,首尾连)已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB a =,BC b =,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a b +,即a b AB BC AC +=+=.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则(作平移,共起点,四边形,对角线)已知两个不共线向量a ,b ,作OA a =,OB b =,以OA ,OB 为邻边作OACB ,则以O 为起点的向量OC (OC 是OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义:向量a 加上b 的相反向量,叫做a 与b 的差,即()a b a b -=+-. ②向量减法的三角形法则(共起点,连终点,指向被减向量)已知向量a ,b ,在平面内任取一点O ,作OA a =,OB b =,则向量a b BA -=.如图所示如果把两个向量a ,b 的起点放在一起,则a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a λ.它的长度与方向规定如下:①||||||a a λλ=②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=.3、共线向量定理①定义:向量b 与非零向量a 共线,则存在唯一一个实数λ,b a λ=.②向量共线定理的注意问题:定理的运用过程中要特别注意0a ≠;特别地,若0a b ==,实数λ仍存在,但不唯一.4、常用结论4.1向量三角不等式①已知非零向量a ,b ,则||||||||||||a b a b a b -≤+≤+(当a 与b 反向共线时左边等号成立;当a 与b 同向共线时右边等号成立);②已知非零向量a ,b ,则||||||||||||a b a b a b -≤-≤+(当a 与b 同向共线时左边等号成立;当a 与b 反向共线时右边等号成立);记忆方式:(“符异”反向共线等号成立;“符同”同向共线等号成立)如||||||||||||a b a b a b -≤+≤+中,||||||||a b a b -≤+中间连接号一负一正“符异”,故反向共线时等号成立;右如:||||||||||||a b a b a b -≤+≤+中|||||||a b a b +≤+中间链接号都是正号“符同”,故同向共线时等号成立;4.2中点公式的向量形式: 若P 为线段AB 的中点,O 为平面内任意一点,则2OP OA OB =+.4.3三点共线等价形式:OA OB OB λμ=+(λ,μ为实数),若A ,B ,C 三点共线⇔1λμ+=。

高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算课件

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触类旁通平面向量线性运算的一般规律
(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．
(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
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考向平面向量的线性运算
命题角度 1 向量加减法的几何意义
例 2 [2017·全国卷Ⅱ]设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a
－b|，则( )∥b
D．|a|＞|b|
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解析解法一：∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b. 故选 A.
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【变式训练 2】已知 O，A，B 是不共线的三点，且O→P ＝mO→A＋nO→B(m，n∈R)．
(1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：m＋n＝1.
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证明 (1)若 m＋n＝1，则O→P＝mO→A＋(1－m)O→B＝O→B＋m(O→A－O→B)， ∴O→P－O→B＝m(O→A－O→B)，即B→P＝mB→A，∴B→P与B→A共线．又∵B→P与B→A有公共点 B，∴A，P，B 三点共线．
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解法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|A→C|＝|D→B|，从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB⊥AD，故 a⊥b. 故选 A.

平面向量高三一轮复习(完整版)

题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1）（2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2）试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。

2020年高考数学理科一轮复习讲义：第4章平面向量第1讲 Word版含解析

第四章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算[考纲解读] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2020年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得□01b ＝λa .1．概念辨析(1)在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，则AE →＝14(AC →＋AB →)．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥b D ．若|a |＝0，则a ＝0答案 C解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量不能比较大小；C 正确，若a ＝b ，则a 与b 方向相同，故a ∥b ；D 错误，若|a |＝0，则a ＝0.(2)如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A.AP →＝13AB →B.AQ →＝23AB →C.BP →＝－23AB →D.AQ →＝BP →答案 D解析由题意得，AQ →＝－BP →，故D 错误．(3)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA →＝a ＋2b ，BC →＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析因为BA →＝a ＋2b ，所以AB →＝－a －2b ，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－a －2b )＋(4a －4b )＝3a －6b ＝－3(－a ＋2b )＝－3CD →.所以AC →∥CD →，所以A ，C ，D 三点共线．(4)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC →＝AB →，OC →＝－OA →＝－a ，所以DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－a －b .题型一平面向量的基本概念1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列叙述错误的是________(填序号)．①若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同； ②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ； ④AB →＋BA →＝0； ⑤若λa ＝λb ，则a ＝b . 答案 ①②③④⑤解析对于①，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同．对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0时，λ不存在．对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.对于⑤，当λ＝0时，无论a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b .故①②③④⑤均错误．有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．1．给出下列说法：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四个点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等；④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中正确说法的序号是( )A ．①④B ．③④C ．②③D ．①② 答案 A解析 ①④正确；②错误，因为a ，b 的方向不一定相同；③错误，AB →＝－BA →.2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中正确命题的序号为________．答案 ②解析 ①错误，例如△ABC 中，AB →与CB →有公共终点，但不是共线向量；②正确；③错误，若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0或a ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，但a 与b 不一定共线．题型二向量的线性运算1．下列四个结论： ①AB →＋BC →＋CA →＝0； ②AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝0； ③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝0. 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①正确；②错误，AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →≠0；③正确，AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →－AC →)＋(BD →＋DC →)＝CB →＋BC →＝0，④正确，NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0.2．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a|>|b| 答案 A解析解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2. ∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b . ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.条件探究1 把举例说明3的条件改为“点D 在BC 边上且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ”，试用AB →，AC →表示CE →.解由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得 CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →－AC →＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13(AC →－AB →)－AC →＝29AB →－89AC →.条件探究2 把举例说明3的条件改为“D 为AB 的中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0”，试用AB →，CD →表示AE →.解因为D 为AB 的中点，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋12AB →，所以AC →＝12AB →－CD →.又因为2CE →＋BE →＝0，所以2(AE →－AC →)＋(AE →－AB →)＝0，所以3AE →＝2AC →＋AB →，所以AE →＝23AC →＋13AB →＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－CD →＋13AB →＝23AB →－23CD →.1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．向量线性运算的两个常用结论(1)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)，如举例说明3.(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0.1．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( )A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB → C ．2OA →－OB → D ．－OA →＋2OB →答案 C解析因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.2．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析连接CD ，OC ，由题意得∠CDA ＝∠BAD ＝∠CAD ，所以CD ∥AB ，CD ＝AC ，易证△AOC 为等边三角形，所以AC ＝12AB ，所以CD →＝12AB →，所以AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋12AB →＝b ＋12a ＝12a ＋b .题型三共线向量定理的应用角度1 证明向量共线或三点共线1．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以PC →＝－2P A →，所以A ，P ，C三点共线，且P 是线段AC 的三等分点(靠近A )．角度2 由向量共线求参数的值2．(2018·贵州适应性测试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB →＝e 1＋m e 2，AC→＝n e 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1 答案 A解析因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB →＝λAC →，所以有e 1＋m e 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩⎨⎧1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．(5)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对答案 C解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，所以AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．2．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解 (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →.又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2，∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，∴BF →＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，∴⎩⎨⎧ λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.。

2020年高考数学一轮复习第四章第1节平面向量的概念及其线性运算

2020年高考数学一轮复习第四章第1节平面向量的概念及其线性运算1.给出以下六个命题：①两个向量相等，那么它们的起点相同，终点相同；②假设|a|＝|b|，那么a＝b；③假设AB＝DC，那么四边形ABCD为平行四边形；④在▱ABCD中，一定有AB＝DC；⑤假设m＝n，n＝p，那么m＝p；⑥假设a∥b，b∥c，那么a∥c，其中不．正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5解析：两向量起点相同，终点相同，那么两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，因此a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，假设b＝0，那么a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的选项是③④⑤.答案：B2．以下四个命题，其中正确的个数有()①关于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb②关于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na③假设ma＝mb(m∈R)，那么有a＝b④假设ma＝na(m，n∈R，a≠0)，那么有m＝nA．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有③不正确，∵a≠b，m＝0时，ma＝mb也成立，其余①②④均成立．答案：C向量的线性运算3.假设A、B、C、D是平面内任意四点，给出以下式子：①AB＋DC＝BC＋DA；②AC＋BD ＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是－DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立．答案：C4．如下图，D 是△ABC 的边AB 的中点，那么向量CD ＝ ( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BA C ．BC －12BA D. BC ＋12BA 解析：CD ＝CB ＋BD ＝－BC ＋12BA . 答案：A5．(2018·安徽高考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分不是边CD 和BC 的中点．假设AC ＝λAE ＋μAF ，其中，λ，μ∈R ，那么λ＋μ＝________.解析：如图，∵ABCD 为▱，且E 、F 分不为CD 、BC 中点．∴AC ＝AD ＋AB＝(AE －DE )＋(AF －BF )＝(AE ＋AF )－12(DC ＋BC ) ＝(AE ＋AF )－12AC ， ∴AC ＝23(AE ＋AF )， ∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 答案：436．如图，假设四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分不是DC ，AB 的中点，＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，DN ＋CN .解：AB ＝BA ＋AD ＋DC ＝－a ＋b ＋c .∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ， MN ＝MC ＋CB ＋BN ，∴2MN ＝MD ＋DA ＋AN ＋MC ＋CB ＋BN ＝DA ＋CB ＝－AD ＋CB ＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c ，∴MN ＝12a －b －12c . DN ＋CN ＝DM ＋MN ＋CM ＋MN＝2MN ＝a －2b －c .7.(2018·湖南高考)关于非零向量 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＋b ＝0明白a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立. 由a ∥b 知a ＝λb.λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立．答案：A8．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 1、b ＝－e 1＋e 2，那么向量e 1＋e 2能够表示另一组基向量a 、b 的线性组合，那么e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：设e 1＋e 2＝xa ＋yb ，即e 1＋e 2＝(x －y )e 1＋(2x ＋y )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋y ＝1.∴x ＝23，y ＝－13. 答案：23 －139.平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .假设OA －4OB ＋3OC ＝0，那么AB BC ＝________A.13B.12 C ．2 D ．3解析：∵OA －4OB ＋3OC ＝0，∴(OA －OB )－3OB ＋3OC ＝0，即OA －OB ＝3(OB －OC )，∴BA ＝3CB ，∴AB BC ＝3.答案：D 10．非零不共线向量OA 、OB ，且2OP ＝x OA ＋y OB ，假设PA ＝λAB (λ∈R)，那么点Q (x ，y )的轨迹方程是 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ) OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ消去λ得x ＋y ＝2. 答案：A11．(2018·湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．假设AD ＝x AB ＋y AC ，那么x ＝________，y ＝________.解析：法一：以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2.那么AB ＝(2,0)，AC ＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F ，由得DF ＝BF ＝3，那么AD ＝(2＋3，3)．∵AD ＝x AB ＋y AC ，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )．即有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎨⎧ x ＝1＋32，y ＝32.法二：过D 作DF ⊥AB 交DB 的延长线为F .由可求得BF ＝DF ＝32AB ， AD ＝AF ＋FD＝(1＋32)AB ＋32AC ，因此x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 3212．(文)如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP ＝QA ，试确定λ的值．解：∵AP ＝NP －NA ＝12(BN －CN ) ＝12(BN ＋CN )＝12BC ， QA ＝MA －MQ ＝12BM ＋λMC ，又∵AP ＝QA ，∴12BM ＋λMC ＝12BC ，即λMC ＝12MC ，∴λ＝12. (理)如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD的中点，过点G 任作一直线MN 分不交AB 、AC 于M 、N 两点，假设AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求1x ＋1y的值．解：设AB ＝a ，AC ＝b ，那么AM ＝xa ，AN ＝yb ，AG ＝12AD ＝14(AB ＋AC )＝14(a ＋b )．∴MG ＝AG －AM ＝14(a ＋b )－xa ＝(14－x )a ＋14b ， MN ＝AN －AM ＝yb －xa ＝－xa ＋yb .∵MG 与MN 共线，∴存在实数λ，使MG ＝λMN . ∴(14－x )a ＋14b ＝λ(－xa ＋yb )＝－λxa ＋λyb . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧ 14－x ＝－λx ，14＝λy .消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1y为定值．。

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