人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解
二次函数复习知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而
b c
，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。（①含自变量的代数式是整式，
②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）
⑵a b c
，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. y＝ax2的性质：
2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）
3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）
4. y ＝a (x －h)2
＋k 的性质：
5. y ＝ax
2
+bx+c 的性质：
三、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a.
(a 决定了抛物线开口的大小和方向)
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a
②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）
.抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线a
b
x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
初三数学二次函数知识点总结
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.
当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则二次函数图像的开口越小.
1、决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0 ）,对称轴在y轴右.
事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.
2、决定二次函数图像与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点.
二次函数图像与y轴交于（0，c)
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
=++（a b c
y ax bx c
，，是常数，0
a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0
a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2
=++的结构特征：
y ax bx c
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a b c
，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
=的性质：
y ax
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2
=+的性质：上加下减。
人教版九年级数学《二次函数》知识点梳理与总结(超经典)
九年级《二次函数》知识梳理与总结
一、二次函数的概念
1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2、注意点：
（1）二次函数是关于自变量x 的二次整式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，
而b 、c 为任意实数。 （2）当b=c=0时，二次函数2
ax y =是最简单的二次函数。
（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数
（c bx ax ++2
为整式）
3、三种函数解析式：
（1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0），
对称轴：直线x=a
b
2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， ) （2）顶点式：()k h x a y +-=2
（a ≠0），
对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）
（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）,
对称轴:直线x=
2
2
x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).
二、二次函数的图象
1、二次函数 c bx ax y ++=2
的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2
；
③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2
.
注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到
3、二次函数c bx ax y ++=2
的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
人教版数学九年级上册 第二十二章《二次函数》章节知识点归纳复习总结
人教版数学九年级上学期《二次函数》
章节知识点归纳总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：
（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。 （2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二
次函数的定义域(x)是全体实数．
2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
3. 二次函数解析式的几种形式
（1）一般式：y=ax 2
+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2
+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]
（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)
[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]
其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a
在三种形式的互相转化中，有如下关系:
h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；
(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
、向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到 、向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到
、向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到 、向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到
考点四：二次函数y＝ax2＋bx＋c及图象的认识
【例1】与抛物线 的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）
第三讲二次函数的图像与性质
一、知识点梳理：
1、二次函数的图像及其性质：二次函数的图像是一条抛物线。是轴对称图形。
2、函数性质（函数增减性）：当 >0时，且 >h， 随 的增大而增大（对称轴右边的图象从左自右上升），当 <h， 随 的增大而减小（对称轴左边的图象从左自右下降），函数有最小值 最小值=k。当a<0时，且 >h， 随 的增大而减小（对称轴右边的图象从左自右下降），当 <h， 随 的增大而增大（对称轴左边的图象从左自右上升）函数有最大值： 最大值=k
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
【例1】在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－ (x－1)2 的图象大致是( )
【例2】在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致如图（）
考点六：二次函数与一元二次不等式
【例1】若A ，B ，C 为二次函数y＝x2＋4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
(完整版)九年级上册数学二次函数知识点汇总
点
2. 二次函数 y ax h2 k 的图象与性质
（1）二次函数基本形式 y ax2 的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小
（2） y ax2 c 的图象与性质：上加下减
1
（3） y ax h2 的图象与性质：左加右减
y=a(x-h)2
【 【 (h>0)【 【 【 (h<0)【 【 【 |k|【 【 【
【 【 (k>0)【 【 【 (k<0)【 【 【 |k|【 【 【
【 【 (h>0)【 【 【 (h<0)【 【 【 |k|【 【 【
【 【 (k>0)【 【 【 (k<0)【 【 【 |k|【 【 【
y=a(x-h)2+k
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：
.已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
②顶点式：
.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
③交点式：
.已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式.
（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法： y ax 2 bx c a x b 2 4ac b2 ，∴顶点是（ b ，4ac b2 ），对称轴
Ax1，0，Bx2，0，由于 x1、 x2 是方程 ax 2 bx c 0 的两个根，故
人教版数学九年级上册 第二十二章《二次函数》章节知识点归纳复习总结
人教版数学九年级上学期《二次函数》
章节知识点归纳总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：
（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。 （2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二
次函数的定义域(x)是全体实数．
2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
3. 二次函数解析式的几种形式
（1）一般式：y=ax 2
+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2
+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]
（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)
[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]
其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a
在三种形式的互相转化中，有如下关系:
h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；
(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；
第二十二章《二次函数》知识点总结人教版数学九年级上册
《二次函数》知识点总结
【知识点1 二次函数的表达式】
1. 一般式： . 顶点坐标： . 对称轴： .
2. 顶点式： .顶点坐标： . 对称轴： . 【知识点2 二次函数的图象与性质】 1. 二次项系数a 决定抛物线的 开口方向 ；
①当0>a 时，抛物线的 ； ②当0<a 时，抛物线的 ； ③ ||a 越大，抛物线的开口 .
3.常数项c 决定抛物线 与y 轴 交点的位置 . ①当0=c ，抛物线与y 轴交于 ； ②当0>c ，抛物线与y 轴交于 ； ③当0<c ，抛物线与y 轴交于 .
5.根据a 、b 、c 的符号，画出二次函数的草图:
①已知 a <0、b <0、c <0 ②已知 a>0、b <0、c >0 6.描述下面二次函数c bx ax y ++=2
的增减性： 【知识点3 抛物线与坐标轴的交点】 1. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数，即02=++c bx ax . ①当 ，抛物线与
x 轴有两个交点； ②当 ，抛物线与x 轴有1个交点； ③当 ，抛物线与x 轴有没有交点；
2.求抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴的交点的过程： 3.求抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴的交点的过程：
4.函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，那么 ①方程 ax 2 + bx + c =2 的根是 ______________;
2.系数a 和b 共同决定抛物线 对称轴的位置 . ①a 和b 同号，对称轴在原点的 ； ②a 和b 异号， .
人教版九年级数学上册知识点总结：第二十二章二次函数
人教版九年级数学上册知识点总结 第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数2
ax y =的性质
（1）抛物线2
ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2
ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；
②当0
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2
ax y =）（0≠a .
3.二次函数 c bx ax y ++=2
的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.
4.二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成：
()
k h x a y +-=2
的形式，其中a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①2ax y =；②k ax y +=2；③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2
.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0
a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
人教版九年级上册数学二次函数知识点总结
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2
人教版九年级上册数学二次函数知识点总结
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如
（
是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而
可以为零．二次函数的定义域是全体实
数． 2. 二次函数
的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：
的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的性质：2.
上加下减。
的性质：
.
3 左加右减。
：
的性质.
4 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随
的增大而减小；时，有最小值． 向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值
． 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随
的增大而减小；时，有最小值． 向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
四、
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标
；
⑵ 保持抛物线
的形状不变，将其顶点平移到
处，具体平移方法如下：
向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
九年级上册数学二次函数知识点汇总
新人教版九年级上二次函数知识点总结
知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义：
一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数． 其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点
2. 二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质
（1）二次函数基本形式2y ax =的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小
（2）2y ax c =+的图象与性质：上加下减
（3）()2
y a x h
=-的图象与性质：左加右减
（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质
3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质
（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，． 当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a
=-时，y 有最小值
2
44ac b a
-．
（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，． 当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
=-时，y 有最大值
2
44ac b a
-．
4. 二次函数常见方法指导
（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
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初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.
当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则二次函数图像的开口越小.
1、决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a
与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右.
事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.
2、决定二次函数图像与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点.
二次函数图像与y轴交于（0，c)
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
=++（a b c
y ax bx c
，，是常数，0
a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2
=++的结构特征：
y ax bx c
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a b c
，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳
人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳
知识点1 二次函数的概念和一般形式
1.概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中， x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
【注意】（1）自变量x的最高次数是2，a≠0，b，c可以为0；（2）含自变量x 的代数式是整式而不是分式或根式。
2.一般式：y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）
知识点2 二次函数的图像和性质
1.二次函数的图像：是一条平滑的曲线叫做抛物线。
2.二次函数图像的画法：①列表；②描点；③连线。
3.二次函数的解析式（4种形式）
（1）y = ax 2（a≠0）
（2）y = ax 2+k（a，k是常数，a≠0）
（3）y = a（x-h）2（a，h是常数，a≠0）
（4）y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠0
4.二次函数的图像和性质：
分别从五种图像（4种特殊+1个一般式）和7个性质（顶点特点、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、形状和大小等7个方面研究）。如下图：
二次函数的图像与性质a <0
5.图像平移后的解析式：y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠0）
平移规则：左加右减，上加下减。
知识点3 用待定系数法求二次函数的解析式：一般式、顶点式、交点式。（1）已知抛物线上普通的3点的坐标，一般选用一般式；
（2）顶点在原点，可设y = ax 2
（3）顶点在x轴上，若抛物线与x轴有一个交点，可设y = a（x-h）2；若抛物线与x轴有两个交点，可设y=a（x-x1）（x-x2）；
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.
当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则二次函数图像的开口越小.
1、决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号?
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右.
事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.
2、决定二次函数图像与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点.
二次函数图像与y轴交于（0，c)
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
=++（a b c
y ax bx c
，，是常数，0
a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0
，可
a≠，而b c 以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2
=++的结构特征：
y ax bx c
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a b c
，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
=的性质：
y ax
a 的
绝对Array值越
大，
抛物
线的
开口
越
小。
2.
2
y ax c
=+
的性质：上加下减。
人教版数学九年级上册 第二十二章《二次函数》章节知识点归纳总结
《二次函数》章节知识点归纳总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的
函数，叫做二次函数。（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．
2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x
的二次式，x 的最高次数是2．（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
3. 二次函数解析式的几种形式
（1）一般式：y=ax 2
+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2
+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]
（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)
[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]
其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a 在三种形式的互相转化中，有如下关系:
h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y ＝a(x-h)2
+k ，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h ＝0时，抛物线y ＝ax 2
+k 的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线a(x-h)2
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初三数学二次函数知识点总结
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.
当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则二次函数图像的开口越小.
1、决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0 ）,对称轴在y轴右.
事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.
2、决定二次函数图像与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点.
二次函数图像与y轴交于（0，c)
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
=++（a b c
y ax bx c
，，是常数，0
a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0
a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2
=++的结构特征：
y ax bx c
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a b c
，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
=的性质：
y ax
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2
=+的性质：上加下减。
y ax c
3. ()2
=-的性质：左加右减。
y a x h Array 4. ()2
=-+的性质：
y a x h k
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配
方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++
⎪⎝
⎭，其中2
424b ac b h k a a
-=-=
，．
五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，． 当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b
x a
=-时，y 有最小值
244ac b a -．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，． 当2b
x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a
>-时，y 随x 的增大而减小；
当2b
x a
=-时，y 有最大值
244ac b a -．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数
都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．