数学分析课件9.4任意项级数483.50KB

由定理的条件(i),即对一切 n 成立
u n 1 u n 0 ,所以数列 S 2 m
为单调增加的数列.另一方面
S 2 m u1 u 2 u 3 u 2 m 2 u 2 m 1 u 2 m u1
【数学分析课件】
可见数列 S 2 m 是有界的.按照单调有界数列必有极限的定 lim 理,数列S 2 m 极限存在 m S 2 m S
n 1

k n 1
a
k
bk
a
i 1
m
ni
bn i
0 ,存在 N ,使当 n N 时,对不论怎样的正整数
b n 1 b n 2 b n p
p
,成立
因而,可以取这个 为引理中提到的数 M ,于是当 n N
时,对任何正整数m,应用引理,有
(ii)数列 a n 单调趋于0, 则级数 a n bn 收敛.
n 1
【数学分析课件】
证明 仍旧应用阿贝尔引理来估计和数 件 ii a 时,有
n
nm
a k b k .由条
0 n , ,则对任何给定正数

k n 1
,存在N ,当 n N
an
n

的
u n 1 u n n 1, 2 ,3, ;
则 1. 级数
1n 1 u n
n 1

收敛
2. 它的余和 rn 的符号与余和第一项的符号相同,并且 余和的绝对值不超过余和的第一项的绝对值: rn u n 1 .
【数学分析课件】
证明
1n 1 u n 设级数
对于奇数个项的部分和数列 S 2 m 1 有 S 2 m 1 S 2 m 再由定理的条件(ii),得到
m m m
u 2 m 1
lim S 2 m 1 lim S 2 m lim u 2 m 1 S
证明了对数列 S n 而言,它的两个子列S 2 m 及 S 2 m 1 都收 敛于 S ,不难证明数列 S n 本身亦应收敛于S .
M a1 2 a m

利用阿贝尔变换
S
ab
i 1
i i

a
i 1
m 1
i
a i 1 B i a m B m
由于每一个 a i a i 1 i 1, 2 ,3, , m 1都是同号的,
B i M i 1, 2 ,3, , m
m
m 1
i
a i 1 Bi a m B m ,
就是阿贝尔变换.
【数学分析课件】
阿贝尔引理
如果
(i) a i i 1, 2 ,3, , m 为单调的；
(ii) B i i 1, 2 ,3, , m 有界， B i
M,
则
证明
m
S
ab
i 1
m
i i
un

的级数,其中 u n
0 n 1, 2 ,3,
,称 1n 1 u n 为交错级数
n 1
【数学分析课件】
莱布尼茨定理 如果一个交错级数 1n 1 u n n 1 项满足以下两个条件: (i) 单调减少 (ii)
lim u n 0 ,
个级数的第一项的符号相同,其和的绝对值将不超过第一
项的绝对值.
【数学分析课件】
第二个论断:因为莱布尼茨型级数 1n 1 u n 的余和
rn
k n 1

1k 1 u n
n 1
也是一个莱布尼茨型级数,所以余和 rn 的
rn u n 1
符号与余和的第一项的符号相同.并且
为发散时,只能判定 u 非绝对收敛,而不能判定它必为发
n
散.我们判断出级数 u 为发散时,还得进一步重新判断 级数 u 的收敛性,若它为收敛,就是条件收敛.
n

n 1
n
n 1
二
交错级数
凡正负项相间的级数,也就是形如
u 1 u 2 u 3 u 4 1
n 1
6M
这就证明了级数 a n bn 的收敛性.
n 1
【数学分析课件】
例1
判别级数 1
n 1

n
1 n
x
n
x 0
的敛散性.
例2
例3
级数



1n 1
n
s
考虑级数
n 1
s 0 n

例4
都收敛.
若级数 u n
n 1
收敛,则级数 u , u , nu
三
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔变换
S
对下面的和数
ai 1Biblioteka mi bi a1b1 a 2 b2 a m bm ,
阿贝尔给出了一个初等的变换.设:
B1 b1, B 2 b1 b2 , B 3 b1 b2 b3 , ,
B m b1 b2 bm ,
n m k n 1
a k bk a n 1 2 a n m


3K
这样便证明了级数 a n bn 收敛.
n 1
【数学分析课件】
狄利克雷判别法 如果(i)级数 b n 的部分和 B n有界, B n
n 1
M n 1, 2 ,3, ,
§4.任意项级数
【数学分析课件】
一 绝对收敛和条件收敛 u ,如果其每一项加上绝对值后所组成的 对于级数
n
正项级数
n 1

un
n
发散但 u 却是收敛的,则称级数 u 为条件收敛. 1n 1 就是一个 条件收敛的级数是存在的,例如级数 n n 1 条件收敛级数
m
m
B
m 1

a 1 a 2 B 1 a 2 a 3 B 2 a m 1 a m B m 1 a m B m

a
i 1
m 1
i
a i 1 B i a m B m ,
这个变换式
a b a
i i i 1 i 1
此外,由于条件(i),显然有 时,对
b n 1 b n 2 b n p B n p B n 2 M
于是引理中的数 M 就是这里的2 M ,所以当 n N 任何正整数 m 成立

nm
k n 1
a
k
bk 2 M
a n 1
2 anm

n n 1
n 1
收敛,则称级数 u 为收敛级数.如果
n n 1
n 1


un
n 1
定理 绝对收敛级数必为收敛级数.但反之不然.
【数学分析课件】
证明 设级数 u 为绝对收敛,也就是级数 u 收敛.按 照柯西收敛原则,对于任意 0 ,存在N ,当 n N 时,对
n n n 1
n 1
n
s
s 0, 0
n
n
n 1
n
n 1
n1
例5
若数列 a n 单调趋于0,那么级数
a
n 1

n
sin nx
和
a
n 1

n
cos nx
x 2 k
前者对任何 x 都收敛,后者对任何
x 2 k
都收敛.而当
时,需根据 a n 的性质进一步判别之.
根据柯西收敛原理,级数 u 为收敛.
n

定理的第二个论断:反之不然,可以由
n 1
知.


1n 1
n
得
n 1
【数学分析课件】
从定义可见,判别一个级数 u 是否绝对收敛,实际就
n

是判别一个正项级数
n 1

un
n 1
的收敛性.但注意,当级数
n 1

un
n 1
【数学分析课件】
对于莱布尼茨型的级数 1n 1 u n
0

必有
1
n 1

n 1
u n u1
n 1
1n u n 的级数,只要上式乘上一个 同样的,对于形如
n 1

的因子,就得到
u1
1
n 1

n
un 0
获得一个重要的事实:莱布尼茨型的级数,其和的符号与这
n 1

的部分和为 S n ,现在考察由偶
数个项所组成的部分和数列 S 2 m 及由奇数个项所组成的
部分和数列 S 2 m 1 对于偶数个项的部分和数列 S 2 m 有
S 2 m u1 u 2 u 3 u 4 u 2 m 1 u 2 m S 2 m 2 u1 u 2 u 3 u 4 u 2 m 1 u 2 m u 2 m 1 u 2 m 2
【数学分析课件】
【数学分析课件】
于是
b1 B1 , b2 B 2 B1 , b3 B 3 B 2 , , bm B m B m 1
这样,就可以把和数 S 写为
S
ab
i i 1
1 1
m
i
a B a B B
2 2
1
a B
3
3
B
2