文数二轮复习专题一 突破高考客观题常考问题 -数学(文科)-全国卷地区专用
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2m＋n＝9， m＝2， 解得 故 m－2n＝－8， n＝5，
m－n＝－3.
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技法篇 选择题、填空题常用解法
核 心 知 识 聚 焦
变试题 1．若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足(a ＋b)2－c2＝4，且 C＝60°，则 ab 的值为( ) 4 2 A.3 B．8－4 3 C．1 D.3
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技法篇 选择题、填空题常用解法
核 心 知 识 聚 焦
[答案] (1)A
(2)2
[解析] (1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图 1 所示的 △ABC 内部及其边界，当直线 y＝2x＋z 过 A 点时 z 最大， 又 A(1，1)，因此 z 的最大值为－1.
图1
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技法篇 选择题、填空题常用解法
[解析] (1)如数列为 1，2，3，4，去掉第 3 项，得 1，2，4 为 a1 等比数列，显然有 d ＝1.若改换成数列 4，3，2，1Hale Waihona Puke Baidu去掉第 2 a1 项，得 4，2，1 为等比数列，则 d ＝－4，所以选 A.
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技法篇 选择题、填空题常用解法
核 心 知 识 聚 焦
4 ．设 a>b>1 ，则 logab ， logba ， logabb 的大小关系是 ______________．
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技法篇 选择题、填空题常用解法
1 1 例 1 (1)[2015· 重庆卷] 若 tan α ＝3， tan(α＋β)＝2， 则 tan β ＝( ) 1 1 5 5 A.7 B.6 C.7 D.6 (2)[2015· 江苏卷] 已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________．
[答案] A
[解析] 由(a＋b)2－c2＝4 得 a2＋b2＋2ab－c2＝4， 又 C＝60°， a2＋b2－c2 4－2ab 1 4 ∴cos C＝ 2ab ＝ 2ab ＝2，解得 ab＝3.
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技法篇 选择题、填空题常用解法
核 心 知 识 聚 焦
1 2．若 f(x)＝ x ＋a 是奇函数，则 a＝________． 2 －1
核 心 知 识 聚 焦
(2)f(x)＝4cos 2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin －|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.令 f(x)＝0， 得 sin 2x＝|ln(x＋ 1)|.在同一坐标系中作出函数 y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)| 的大致图像，如图 2 所示． 观察图像可知，两个函数的图像有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点．
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技法篇 选择题、填空题常用解法
方法一 直接法 直接解法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、 性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结 果．直接法是求解填空题的常用方法．在用直接法求解选择 题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算 和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些 常用的性质、典型的结论，以提高解题速度．
[答案] C
[解析] 由 f(1＋x)＝f(1－x)知，函数 y＝f(x)的图像关于直线 x ＝1 对称．又 f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以 f(x)在[1，＋∞) 上单调递减．设点 A(x1，0)，B(x2，0)，因为 x1<x2，且 x1＋ 3 x2＝3，则点 A 在点 B 的左侧，且 AB 的中点为(2，0)．结合 图像(图略)可知，f(x1)>f(x2)．
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技法篇 选择题、填空题常用解法
[分析] (1) 从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值 大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下 更能成立，所以不妨对 a，b 取特殊值处理，如 a＝1，b＝e. (2)正常来说分析不等式 ksin xcos x<x 成立的条件很复杂， 也 没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对 x 取特殊值进 行分析，这样既快又准确．
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技法篇 选择题、填空题常用解法
[分析] (1)虽然已知 α，α ＋β 的正切值，但还是不能确定 α， tan α ＋tan β α ＋β 的大小，由于 tan(α＋β)＝ ，在这个公 1－tan α tan β 式中，唯一不知道的就是 tan β 的值，所以直接使用此公式 就可求解． (2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量 m，n 的值．
2x
2x x²2cos 2－1
图2
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技法篇 选择题、填空题常用解法
核 心 知 识 聚 焦
变试题 5．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 x，都 有 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f(x)在(－∞，1]上单调递增．若 x1<x2，且 x1＋x2＝3，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)>f(x2) D．不能确定
技法篇 选择题、填空题常用解法
方法四 验证法 所谓验证法， 就是从选项出发， 将答案逐一代入题中去验证， 看看是否满足题设的条件，而从中选出正确答案的方法．
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技法篇 选择题、填空题常用解法
例 4 (1)点(4，0)关于直线 5x＋4y＋21＝0 的对称点是 ( ) A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8) (2)过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线与抛物线交于 M， N两 点，则 MN 中点的轨迹方程是( ) A．y2＝2x－1 B．y2＝2x－2 C．y2＝－2x＋1 D．y2＝－2x＋2
方法二 特例求解法 在解决选择题和填空题时， 可以取一个(或一些)特殊数值(或 特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊 图形等)来确定其结果，这种方法称为特值法．特值法由于 只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、烦 琐演算的过程，提高了解题的速度．特值法是考试中解答选 择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到 “四两拨千斤”的功效．
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技法篇 选择题、填空题常用解法
[分析] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的 x，y 的 值，从约束条件中不可能解出对应的 x，y 的值，所以只有 通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出 目标函数的最大值． (2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困 难，所以进一步转化为求两函数的图像的交点，所以作出两 函数的图像确定交点个数即可．
1 [答案] 2
1 [解析] ∵f(x)＝ x ＋a， 2 －1 1 2x ∴f(－x)＝ －x ＋a＝ ＋a. 2 －1 1－2x 又 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 2x 1 即 ＋a＝－( x ＋a)， 1－2x 2 －1 1 解得 a＝2.
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π
π
π
π
技法篇 选择题、填空题常用解法
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变试题 3．a1，a2，a3，a4 是各项不为零的等差数列且公差 d≠0， 若将此数列删去某一项得到的数列 ( 按原来的顺序 ) 是等 a1 比数列，则 d 的值为( ) A．－4 或 1 B．1 C．4 D．4 或－1
[答案] A
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例 2
(1)[2015· 陕西卷] 设 f(x)＝ln x，0<a<b，若 p＝ a ＋b 1 f( ab)，q＝f( 2 )，r＝2(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正 确的是( ) A．q＝r<p B．q＝r>p C．p＝r<q D．p＝r>q π (2)[2015· 福建卷] “对任意 x∈(0， 2 )，ksin xcos x<x”是 “k<1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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核 心 知 识 聚 焦
π 6． 定义在区间(0， )上的函数 y＝6cos x 的图像与 y＝5tan 2 x 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y＝sin x 的图像交于点 P2，则线段 P1P2 的长为 ________．
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核 心 知 识 聚 焦
[答案] (1)A
(2)－3
1 tan α＋tan β 3＋tan β 1 [解析] (1)tan(α＋β)＝ ＝ ＝ ，解得 1 2 1－tan αtan β 1－3tan β 1 tan β＝7. (2) 因 为 ma ＋ nb ＝ (2m ＋ n ， m － 2n) ＝ (9 ， － 8) ， 所 以
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技法篇 选择题、填空题常用解法
[分析] (1)据垂直、平分的条件可得出点(4，0)关于直线 5x＋ 4y＋21＝0 的对称点坐标，但运算量较大，不可取．注意到 对称点已出现在选项中，所以只需代入验证即可． (2)显然焦点(1，0)一定是弦 MN 在某种状态下的中点，即在 所求轨迹上，可代入选项中进行验证，并结合其他一些条件 进行判断．
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技法篇 选择题、填空题常用解法
核 心 知 识 聚 焦
2 [答案] 3
[解析] 如图所示，设 P(x，y)，线段 P1P2 的长即为 sin x 的值， π 2 且其中的 x 满足 6cos x＝5tan x，x∈(0， 2 )解得 sin x＝3.故线 2 段 P1P2 的长为3.
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专题一
突破高考客观题常考问题
技法篇 第1讲 第2讲 第3讲
选择题、填空题常用解法 集合与常用逻辑用语 平面向量与复数 不等式与线性规划
第4讲
算法、推理与证明
技法篇 选择题、填空题常用 解法
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技法篇 选择题、填空题常用解法
■ 技法概述 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有 80 分，因此， 探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要 的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是 答案就在给出的选择项中．而填空题是一种只要求写出结 果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所 以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题 时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的 特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．
[答案] logabb<logab<logba
[解析] 考虑到三个数的大小关系是确定的， 不妨令 a＝4， b＝2， 1 1 1 1 则 logab ＝ 2 ， logba ＝ 2 ， logabb ＝ 3 ， 显 然 3 < 2 <2 ， ∴ logabb<logab<logba.
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技法篇 选择题、填空题常用解法
核 心 知 识 聚 焦
[答案] (1)C
(2)B
[解析] (1)根据条件， 不妨取 a＝1， b＝e， 则 p＝f( e)＝ln e＝ 1＋e 1 1 1 1 ， q ＝ f( )>f( e ) ＝ ， r ＝ (f(1) ＋ f( e )) ＝ 2 2 2 2 2，在这种特例情 况下满足 p＝r<q，所以选 C. (2)若对任意 x∈(0， 2 )，ksin xcos x<x 成立，不妨取 x＝ 4 ， 代入可得 k< 2 ，不能推出 k<1，所以是非充分条件；因为 x ∈(0， 2 )，恒有 sin x<x，若 k<1，则 kcos x<1，一定有 ksin xcos x<x，所以选 B.
方法三 数形结合法 数形结合法是一个将数学问题从“数”与“形”两个方面相 互联系的一种思想方法．在解答选择题的过程中，可以先根 据题意，作出草图，然后参照图形的形状、位置、性质，综 合图像的特征， 得出结论． 对于一些含有几何背景的填空题， 若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中 思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断得出正确 的结果．
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技法篇 选择题、填空题常用解法
例 1 (1)[2015· 安徽卷] 已知 x，y 满足约束条件 x－y≥0， x＋y－4≤0，则 z＝－2x＋y 的最大值是( ) y≥1， A．－1 B．－2 C．－5 D．1 π 2x (2)[2015· 湖北卷] 函数 f(x)＝4cos 2· cos( 2 －x)－2sin x－ |ln(x＋1)|的零点个数为________．
m－n＝－3.
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变试题 1．若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足(a ＋b)2－c2＝4，且 C＝60°，则 ab 的值为( ) 4 2 A.3 B．8－4 3 C．1 D.3
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[答案] (1)A
(2)2
[解析] (1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图 1 所示的 △ABC 内部及其边界，当直线 y＝2x＋z 过 A 点时 z 最大， 又 A(1，1)，因此 z 的最大值为－1.
图1
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[解析] (1)如数列为 1，2，3，4，去掉第 3 项，得 1，2，4 为 a1 等比数列，显然有 d ＝1.若改换成数列 4，3，2，1Hale Waihona Puke Baidu去掉第 2 a1 项，得 4，2，1 为等比数列，则 d ＝－4，所以选 A.
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4 ．设 a>b>1 ，则 logab ， logba ， logabb 的大小关系是 ______________．
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1 1 例 1 (1)[2015· 重庆卷] 若 tan α ＝3， tan(α＋β)＝2， 则 tan β ＝( ) 1 1 5 5 A.7 B.6 C.7 D.6 (2)[2015· 江苏卷] 已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________．
[答案] A
[解析] 由(a＋b)2－c2＝4 得 a2＋b2＋2ab－c2＝4， 又 C＝60°， a2＋b2－c2 4－2ab 1 4 ∴cos C＝ 2ab ＝ 2ab ＝2，解得 ab＝3.
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1 2．若 f(x)＝ x ＋a 是奇函数，则 a＝________． 2 －1
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(2)f(x)＝4cos 2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin －|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.令 f(x)＝0， 得 sin 2x＝|ln(x＋ 1)|.在同一坐标系中作出函数 y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)| 的大致图像，如图 2 所示． 观察图像可知，两个函数的图像有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点．
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方法一 直接法 直接解法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、 性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结 果．直接法是求解填空题的常用方法．在用直接法求解选择 题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算 和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些 常用的性质、典型的结论，以提高解题速度．
[答案] C
[解析] 由 f(1＋x)＝f(1－x)知，函数 y＝f(x)的图像关于直线 x ＝1 对称．又 f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以 f(x)在[1，＋∞) 上单调递减．设点 A(x1，0)，B(x2，0)，因为 x1<x2，且 x1＋ 3 x2＝3，则点 A 在点 B 的左侧，且 AB 的中点为(2，0)．结合 图像(图略)可知，f(x1)>f(x2)．
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[分析] (1) 从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值 大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下 更能成立，所以不妨对 a，b 取特殊值处理，如 a＝1，b＝e. (2)正常来说分析不等式 ksin xcos x<x 成立的条件很复杂， 也 没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对 x 取特殊值进 行分析，这样既快又准确．
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[分析] (1)虽然已知 α，α ＋β 的正切值，但还是不能确定 α， tan α ＋tan β α ＋β 的大小，由于 tan(α＋β)＝ ，在这个公 1－tan α tan β 式中，唯一不知道的就是 tan β 的值，所以直接使用此公式 就可求解． (2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量 m，n 的值．
2x
2x x²2cos 2－1
图2
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变试题 5．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 x，都 有 f(1＋x)＝f(1－x)，且 f(x)在(－∞，1]上单调递增．若 x1<x2，且 x1＋x2＝3，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( ) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)>f(x2) D．不能确定
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方法四 验证法 所谓验证法， 就是从选项出发， 将答案逐一代入题中去验证， 看看是否满足题设的条件，而从中选出正确答案的方法．
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例 4 (1)点(4，0)关于直线 5x＋4y＋21＝0 的对称点是 ( ) A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8) (2)过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线与抛物线交于 M， N两 点，则 MN 中点的轨迹方程是( ) A．y2＝2x－1 B．y2＝2x－2 C．y2＝－2x＋1 D．y2＝－2x＋2
方法二 特例求解法 在解决选择题和填空题时， 可以取一个(或一些)特殊数值(或 特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊 图形等)来确定其结果，这种方法称为特值法．特值法由于 只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、烦 琐演算的过程，提高了解题的速度．特值法是考试中解答选 择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到 “四两拨千斤”的功效．
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[分析] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的 x，y 的 值，从约束条件中不可能解出对应的 x，y 的值，所以只有 通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出 目标函数的最大值． (2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困 难，所以进一步转化为求两函数的图像的交点，所以作出两 函数的图像确定交点个数即可．
1 [答案] 2
1 [解析] ∵f(x)＝ x ＋a， 2 －1 1 2x ∴f(－x)＝ －x ＋a＝ ＋a. 2 －1 1－2x 又 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 2x 1 即 ＋a＝－( x ＋a)， 1－2x 2 －1 1 解得 a＝2.
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π
π
π
π
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变试题 3．a1，a2，a3，a4 是各项不为零的等差数列且公差 d≠0， 若将此数列删去某一项得到的数列 ( 按原来的顺序 ) 是等 a1 比数列，则 d 的值为( ) A．－4 或 1 B．1 C．4 D．4 或－1
[答案] A
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例 2
(1)[2015· 陕西卷] 设 f(x)＝ln x，0<a<b，若 p＝ a ＋b 1 f( ab)，q＝f( 2 )，r＝2(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正 确的是( ) A．q＝r<p B．q＝r>p C．p＝r<q D．p＝r>q π (2)[2015· 福建卷] “对任意 x∈(0， 2 )，ksin xcos x<x”是 “k<1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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π 6． 定义在区间(0， )上的函数 y＝6cos x 的图像与 y＝5tan 2 x 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y＝sin x 的图像交于点 P2，则线段 P1P2 的长为 ________．
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[答案] (1)A
(2)－3
1 tan α＋tan β 3＋tan β 1 [解析] (1)tan(α＋β)＝ ＝ ＝ ，解得 1 2 1－tan αtan β 1－3tan β 1 tan β＝7. (2) 因 为 ma ＋ nb ＝ (2m ＋ n ， m － 2n) ＝ (9 ， － 8) ， 所 以
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[分析] (1)据垂直、平分的条件可得出点(4，0)关于直线 5x＋ 4y＋21＝0 的对称点坐标，但运算量较大，不可取．注意到 对称点已出现在选项中，所以只需代入验证即可． (2)显然焦点(1，0)一定是弦 MN 在某种状态下的中点，即在 所求轨迹上，可代入选项中进行验证，并结合其他一些条件 进行判断．
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2 [答案] 3
[解析] 如图所示，设 P(x，y)，线段 P1P2 的长即为 sin x 的值， π 2 且其中的 x 满足 6cos x＝5tan x，x∈(0， 2 )解得 sin x＝3.故线 2 段 P1P2 的长为3.
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第4讲
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■ 技法概述 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有 80 分，因此， 探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要 的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是 答案就在给出的选择项中．而填空题是一种只要求写出结 果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所 以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题 时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的 特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．
[答案] logabb<logab<logba
[解析] 考虑到三个数的大小关系是确定的， 不妨令 a＝4， b＝2， 1 1 1 1 则 logab ＝ 2 ， logba ＝ 2 ， logabb ＝ 3 ， 显 然 3 < 2 <2 ， ∴ logabb<logab<logba.
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[答案] (1)C
(2)B
[解析] (1)根据条件， 不妨取 a＝1， b＝e， 则 p＝f( e)＝ln e＝ 1＋e 1 1 1 1 ， q ＝ f( )>f( e ) ＝ ， r ＝ (f(1) ＋ f( e )) ＝ 2 2 2 2 2，在这种特例情 况下满足 p＝r<q，所以选 C. (2)若对任意 x∈(0， 2 )，ksin xcos x<x 成立，不妨取 x＝ 4 ， 代入可得 k< 2 ，不能推出 k<1，所以是非充分条件；因为 x ∈(0， 2 )，恒有 sin x<x，若 k<1，则 kcos x<1，一定有 ksin xcos x<x，所以选 B.
方法三 数形结合法 数形结合法是一个将数学问题从“数”与“形”两个方面相 互联系的一种思想方法．在解答选择题的过程中，可以先根 据题意，作出草图，然后参照图形的形状、位置、性质，综 合图像的特征， 得出结论． 对于一些含有几何背景的填空题， 若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中 思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断得出正确 的结果．
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例 1 (1)[2015· 安徽卷] 已知 x，y 满足约束条件 x－y≥0， x＋y－4≤0，则 z＝－2x＋y 的最大值是( ) y≥1， A．－1 B．－2 C．－5 D．1 π 2x (2)[2015· 湖北卷] 函数 f(x)＝4cos 2· cos( 2 －x)－2sin x－ |ln(x＋1)|的零点个数为________．