2017九年级数学解直角三角形应用举例4.doc
九年级数学解直角三角形应用举例4
应用举例【学习目标】1．了解仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离、水位等在测量中有用的概念，并弄清它们的意义．2．能够利用解直角三角形的有关知识，解决与仰角、俯角、水平距离、垂直距离、倾斜角、坡度、坡角等有关的问题；并能解决与等腰三角形、等腰梯形有关的简单实际问题．【主体知识归纳】 1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角．(如图6—23)．2．方位角指从起始位置，绕原点旋转到终止位置所成的角． 3．坡角与坡度坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i 表示，即i=lh． 如果把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么i=lh=tan α．(如图6—24)【基础知识讲解】1．要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系，要根据题意，画出正确的示意图，利用已学过的图形的性质，作(画)出必要的辅助线，把有关的实际问题转化为解直角三角形的问题．2．在解决有关斜三角形、四边形等问题时，常常把它们转化为解直角三角形的问题，而转化的关键是如何添加辅助线，添加辅助线的过程必须在解的过程中写清楚；添加辅助线后，要指出在哪个直角三角形中，选用什么关系式来进行求解．【例题精讲】例1：如图6—25，小山上有一电视塔CD ，由地面上一点A ，测得塔顶C 的仰角为30°；由A 点向小山前进100米到B 点，在B 点测得塔顶C 的仰角为60°．已知CD ＝20米，求小山的高度DE ．剖析：由题意可知AB ＝100米，CD=20米，∠ACB ＝∠CBE －∠A ＝60°－30°＝30°，可知BC ＝AB ＝100米，要求DE ，只要求得CE 即可．解：∵∠CBE 是△ABC 的一个外角，∴∠ACB ＝∠CBE －∠A ＝60°－30°＝30°，∴∠ACB ＝∠A ． ∴BC ＝AB ＝100（米)．在Rt △BCE 中，sinCBE ＝BCCE， ∴CE ＝BC ·sinCBE ＝100×sin60°＝350． ∴DE ＝CE －CD ＝503－20．例2：如图6—26，一电线杆AB 的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5 m,此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3 m ，落在墙上的影子CD 的高为2 m,小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高．请你计算电线杆AB 的高．剖析：如果没有墙，知道AB 影子的长，又知道1米直杆的影长，我们会容易算出AB 的高．那么，我们能否把问题转化为上述情况呢？怎样转化呢？通过观察我们知道，如果AB 少2 m 的话，那么它的影子的长恰好是3 m ．所以我们可以过点C 作CE ⊥AB,垂足为E ，连结AC ．显然CE=BD=3 m ．问题转化成了我们常见的、会解决的情形．解：过点C 作CE ⊥AB,垂足为E ，连结AC ． ∴EC=BD=3 m,EB=CD=2 m,AE=AB －BE=AB －2．∵21132,211=-∴=AB CE AE ,解之，得AB=8．答：电线杆AB 的高为8 m ．说明：遇到新问题要注意分析，观察特点，找出解决问题的途径，解决这类问题，常常是把它们转化为我们熟悉的、常见的、容易解决的问题．例3：如图6—27，某船向正东航行，在A 处望见某岛C 在北偏东60°，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°．已知在该岛周围6海里内有暗礁．问若该船继续向东航行，有无触礁危险?请说明理由．剖析：过点C 向AB 所在的直线作垂线段CD ，若CD 的长大于6海里，船继续航行就无触礁的危险；若CD 的长不大于6海里，就有触礁的危险．因此，问题就转化为如何求CD 的长．解：由题意可知，∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60∴AB ＝BC ＝6．在Rt △CBD 中，sinCBD ＝BCCD， ∴CD ＝BC ·sinCBD ＝6×sin60°＝33． ∵33＜6，∴船继续向东航行，有触礁的危险．例4：为了加固一段长江大堤，需要运来砂石和土将堤面加宽1 m ，使坡度由原来的1：2变成1：3(如图6—28所示)，已知原来背水坡长BC ＝12 m ，堤长100 m ，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据3≈1.7，5≈2.2)剖析：本题需要计算的是加宽部分的体积，因而需要先计算加宽部分的横断面面积，横断面是个梯形，因此过梯形上底两端点作下底的高，从而把梯形问题化归为解直角三角形问题．解：过C 、D 两点作CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ． 在Rt △CBE 中，i BC21=BE CE ． ∴BE ＝2CE ，又BC ＝12 （m ），BC 2=BE 2+CE 2,即5CE 2=144．∴CE ＝5512（m)，BE ＝5524（m ） ∵四边形CDFE 为矩形，∴DF ＝CE ． 在Rt △ADF 中，i AD ＝553633,31===∴=CE DF AF AF DF ，（m)， ∴AB ＝AF ＋EF －BE ＝（5512＋1）（m ） ∴S 梯形ABCD ＝()55127225512)25512(2+=⨯+=⋅+CE AB CD (m 2）．∴Ｖ＝S 梯形ABCD ×100＝551272+×100≈1968（m 3)． 答：需运来砂石和土1968 m 3例5：如图6—29，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点P 从点A 开始向点C 、再沿CB 向点B 匀速运动，点Q 从点A 开始沿AB 向点B 、再沿BC 向C 匀速运动，若P 、Q 两点同时从A 点出发，则可同时到达点C ．(1)如果P 、Q 两点同时从点A 出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q 移动到BC 边上(Q 与C 不重合)时，求作以tanC tanQPA 为根的一元二次方程．(2)如果P 、Q 两点同时从点A 出发，以原速度按各自的移动路线到某一时刻停止移动，当S △PBQ ＝512时，求PA 的长．解：设点P 的速度为v ，则点Q 的速度为2v ，tanQCA ＝43，sinQCA ＝53，t 秒后P 、Q 位置如图6—29所示，则PA ＝vt ，QC ＝16－2vt ．(1)过Q 作QD ⊥AC ，垂足为D ，则有QD ＝QC ·sinC ，CD ＝QC ·cosC ，∴QD ＝53 (16－2vt)，CD ＝54（16－2vt ）． ∴DP ＝CD －PC ＝54（16－2vt ）－（8－vt ）＝53（8－vt ）．∴tanQPD ＝tanQPA ＝)8(53)216(53vt vt DPQD --=＝2．即tanQPA ＋tanQCA ＝411243=+，tanQPA ·tanQCA ＝2×43＝23∴ 以tanQPA 、tanQCA 为根的一元二次方程为x 2－23411+x ＝0，即4x 2－11x ＋6＝0．(2)由题意，知S △PBQ ＝512，∵S △PBQ ＝S △ABC －S △ABP －S △CPQ ．∴53)8)(216(216216821512⨯---⨯-⨯⨯=vt vt vt 即(vt ）2－11vt ＋28＝0 解之，得vt ＝7或vt ＝4．故当S △BPQ ＝512时，PA ＝7或PA ＝4．说明：本题中运用整体的思想的求解策略，即这里只要求出vt 即可，没有必要分别求出v 与t ． 【同步达纲练习】 1．选择题(1)等腰三角形底角为30°，底边长为23，则腰长等于 A ．4B ．23C ．2Ｄ．23(2)如图6—30，在离铁塔150米的A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30°，又知测角仪高1．50米，则塔高BE 为A ．76.5米B ．75米C ．（753＋1.5）米Ｄ．（503＋1.5）米(3)在高为h 的山坡上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑的高是A ．41h B ．32h C ．21h Ｄ．31h (4)两条宽度为1的带子以α角交叉重叠，如图6—31，重叠部分(阴影部分)的面积是A ．sin αB ．αsin 1 C ．αcos 11-Ｄ．α2sin 1(5)如图6—32，C 是AB 上一点，AC ＝21BC ＝2 cm ，以AC 、CB 为边在AB 同旁作等边△ACD 和等边△CBE ，则DE 的长为A ．3cmB ．23cmC ．33cmＤ．3cm(6)菱形的较大角是较小角的3倍，并且高为4cm ，那么这个菱形的面积为 A ．82cm2B ．3332cm 2C ．162cm2Ｄ．32cm 2(7)如图6—33，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADB ＝∠BCD ＝90°，AD ＝9，BD ＝12，则BC 的长为A ．7B ．536C ．9.6 Ｄ．6(8)一出租车从立交桥头直行了500米到达立交桥上25米高处，那么这段斜坡路的坡度是 A ．1：20B ．20：1C ．399：1Ｄ．1：399(9)如图6—34，从山顶A看地面B、C两点，它们的俯角分别是30°和60°，如果BC＝50米，则山高AD等于A．50米B．252米C．253米Ｄ．25（3＋1）米10）如图6—35，为测河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点16 m的C（AC与河对岸平行），测得∠ACB=46°，则A、B间的距离为A．16sin46°m B．16tan46°m C．16cos46°mD．16cot46°m(11)如图6—36，一缉查船上的警察在A处看一艘可疑船只在北偏东60°方向，这只缉查船以28海里/时的速度向正东航行半小时到达B处，在B处看见可疑船只M在北偏东15°方向，此时两船的距离是A．72海里B．7海里C．142海里Ｄ．14海里2．填空题(1)已知在一段坡面上，铅直高度为3，坡面长为23，则坡度i＝__________，坡角α＝_________；(2)等腰三角形的腰和底之比为1：2，则底角为_________，顶角为_________；(3)如图6—37，已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面的水平宽度为33m，CD＝4m，∠B＝60°，则①斜坡AD的铅直高度是_________；②斜坡AD的长是_________；③堤坝底AB的长是_________；④坡角A的度数是_________；⑤斜坡BC的长是_________；(4)如图6—38，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在山的另一侧同时施工，从AC上一点B，取∠ABD＝150°，BD＝200米，∠D＝60°．当开挖点E选在离D_________米时，就能使A、C、E在一条直线上．(5)一气球在离地面55米的上空，此时一观测器测得它的仰角为30°，则观测器与气球间的距离是_________．3．如图6—39，一轮船位于灯塔P的北偏东60°方向的A处，它沿正南方向航行70海里后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，轮船所在的B处距离灯塔P有多远?4．如图6—40，两座楼房AB和CD间的水平距离BD是78米，从一楼顶A测得另一楼顶C和楼底D的俯角分别是30°和45°，求这两座楼的高度．5．等腰三角形的底边长为20cm ，面积为33100cm 2，求各角的度数．6．某乡需筑建横断面为等腰梯形的水库堤坝400米，横断面的尺寸如图6—41(单位：米)，计算在平地上筑此堤坝共需多少土方?7．为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1．2米，下底宽为2米，1：0.8的渠道(其横断面为等腰梯形)，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米(如图6—42)．求：(1)渠面宽EF ；(2)修200米长的渠道需挖的土方数．8．如图6—43，城市规划期间，欲拆除一电线杆AB ，已知距电线杆AB 水平距离14米的D 处有一大坎，背水坡CD 的坡度i ＝2：1，坎高CF 为2米，在坎顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间的宽为2米的人行道．试问在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在此面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)．（3≈1.732，2≈1.414)9．如图6—44，一同学在高AB为36米的建筑物的顶部A处，测得对面另一建筑物的顶部D点的俯角α为45°，测得底部C点的俯角β为60°．求另一建筑物的高CD(不取近似值)．10．如图6—45，某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所A，值班人员发现，有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来．哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了15海里到达C处，此时哨所第二次发出紧急危险信号．（1）若轮船收到第一次危险信号后，为避免触礁，航向改变角度应至少为东偏北α度，求sinα的值．（2）当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度?11．如图6—46，在山顶上有一座电视塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角为β=45°,已知塔高BC=60米，求山高．(结果精确到1米)12．如图6—47，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为20°40′的山坡前进1200米到B ，再次测得山顶D 的仰角为65°，求山高CD(结果精确到1米)．13．如图6—48，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．如果受到影响，已知拖拉机的速度为24千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？参考答案【同步达纲练习】1．（1）C (2)D (3)B （4）B （5）B （6）C （7）B （8）D （9）C （10）B （11）A2．（1）33 30° （2）45° 90° （3）①3 ②6 ③4（1＋3） ④30° ⑤23 （4）100 （5）110米3．353海里．4．AB ＝78米，CD ＝（78－263）米． 5．30°，30°，120°．6．1．584×105米3． 7．(1)作FG ⊥BG 交BC 的延长线于G ，则FG ＝1.2＋0.6＝1．8(米)，CG ＝ih ＝1.8×0.8＝1．44(米)． EF ＝BC ＋2CG ＝2＋2×1.44＝4.88(米)．(2)作DH ⊥CG 交CG 于H ，则CH ＝1.2×0.8＝0.96(米)，AD ＝BC ＋2CH ＝2＋2×0.96＝3.92（米）．Ｓ梯形ABCD ＝21DH ·（AD ＋BC ）＝21×1.2×（3.92＋2）＝3.552（米2） 土方数＝3.552×200＝710.4（米3）8．不需将此人行道封上(如下图）．过C 点作CH ⊥AB 于H ，得矩形HBFC ． ∵12=DF CF ，CF ＝2，∴DF ＝1．∴HB ＝CF ＝2，HC ＝BF ＝15．在Ｒｔ△AHC 中，AH ＝HC ·ｔａｎ30°＝53 ∴AB ＝AH ＋HB ＝53＋2≈10.66．∵BE ＝BD －ED ＝12．∴AB ＜BE ．9．过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则∠AED ＝90°．根据题意，得∠ADE ＝45°，∠ACB ＝60°，∠ABC ＝90°，AB ＝36（米）． BC ＝AB ·c ｏｔACB ＝36×c ｏｔ60°＝123（米）． DC ＝BE ＝AB －AE ＝（36－123）米10．(1)ｓｉｎα＝31， (2)东偏南30°．11．∵AD=CD ．即31BDCD =．解之，BD=3CD=CD+BC即DC ×(3－1)=BC ， DC=30(3+1)．12．山高CD约为1733米．13．受影响，影响时间为5秒．。
初中九年级数学 解直角三角形及其应用
0.1m)?
B
A
D
C
3海里内有暗礁，一艘客轮以每小
时9海里的速度由西向东航行，行
至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,
继续行驶20分钟后，到达B处，又
测得灯塔P在它的北偏东45°,问客
轮不改变方向，继续前进有无触礁
解：过P的点作危P险D垂？直于AB，交AB的延
P
长∵线∠于1＝D60∠2＝45°∴
在R°t△BDP∠PBD∠=P4AD=30°,∠PBD=45°
例l3.一铁路路基的l 横断面是等腰梯 形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为 5.8米,斜坡与地面所成的角A为60 度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
❖ 练习：热气球的探测器显示，从热 气球看一栋高楼顶部的仰角为30°， 看这栋高楼底部的俯角为60°，热 气球与高楼的水平距离为120m，这 栋高楼有多高？（结果精确到
3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走 60米，则他
（目标3） 上升 米，坡度是
D
C
4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面
的水平宽度为
A
B
3√3米，DC=4米，B=600，则
（1）斜坡AD 的铅直高度是
（2）斜坡AD 的长是 （3）坡角A的
（目标3） 6 如图从山 顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时 A
α
练习： 如图，某飞机于空中A 处探测到目标C，此时飞行高 度AC=1200米，从飞机上看低 平面控制点B的俯角α=16031／，
练习 某人在A处测得大厦的仰角∠BAC
为300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角 ∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.
B
A 300
450
D
解直角三角形及其应用
o
F
A
E
B
例2：计算6tan45 -2cos60
o
o
一般地，当ɑ，β为任意角时，sin(ɑ+β)与 sin(ɑ-β)的值可以用下面的公式求得： sin(ɑ+β)=sinɑ cosβ+cosɑ sinβ sin(ɑ-β)=sinɑ cosβ-cosɑ sinβ 例如： o o o o o o sin90 =sin(60 +30 )=sin60 cos30 +cos60 sin o 30 = 3 3 1 1 =1
A F H B C
A F H B E G
C
D
2 3
5 3
10 5
5 5
2 2 2 2
类似的可以求得sin15 的值是
o
例3：某市在创建文明城市活动中，对道路进 行美化。如图，道路两旁分别有两个高度相同 的路灯AB和CD，两个路灯之间的距离BD长为 24米，小明在点E(B,E,D,G在一条直线上）处 o 测得路灯AB顶部A点的仰角为45 ,然后沿BE方 向前进8米到达点G处，测得路灯CD顶端的C 点仰角为30。已知小明的两个观测点F,H距离 地面的高度EF,GH均为1.6米，求路灯AB的高 度。(精确到0.1米，参考数据 2≈1.41， 3≈ 1.73）
1、由直角三角形中已知的边和角，计算出未 知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。
2、锐角三角函数：我们把正弦、余弦、正切 统称为“锐角三角函数”。
3、正弦=对边/斜边 余弦=邻边/斜边 正切=对边/邻边 （特殊三角函数值的记忆）
例1：如图，在Rt∆ABC中，∠C=90 ， o ∠A=30 ,E为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC 于点F,连接FB，则tan∠CFB=
九年级数学解直角三角形应用
AB
AB
tan A BC , tan B AC
AC
BC
A
C
B
返回
（
返
3、在解直角三角形中，经常接触的名称：
回 ）
）
d
D
k
Dd
2tg
(为斜角 )
h
i
h
tg
( 为坡角 )
铅
视线
垂 线
） 仰角 ） 俯角
水平线
视线
一、基础题
1、在Rt △ABC中， ∠ C=90°，∠A的正切等
于2，BC=6，则这个三角形的面积等于____________, 斜边AB=_______________ 。
求AC和AB的长。
Байду номын сангаас
A
B
DC
[评析]在解斜三角形、等 腰三角形、梯形等一些图
形的问题时，可以适当地
添加辅助线构造直角三角形，然后利用解直角三角形，使
问题得以解决。设未知数得到相关的方程，是解本题的一
个关键步骤，应用了方程的思想，将几何图形的计算转化
为解代数方程。
[类题训练]
1、已知：等腰△ABC的底边长为4，底角正弦为55， 求它的腰长。
2、某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 2 米， 则此人的垂直高度增加了____________米。
3、已知堤坝的横断面是等腰梯形ABCD，上底 CD的宽为a，下底AB的宽为b，坝高为h，则堤坝的坡 度i=_______________（用a,b,h表示）。
例1：
已知： △ABC中，∠A=105°，∠C=45°，BC=8，
外链代发 / 外链代发
2、 在 ABC 中, C Rt , 有下列的边角关系 :
解直角三角形典型应用20例子
解直角三角形.典型应用题20例1.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽 CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆 绳AC ,求山的高度及缆绳 AC 的长（答案可带根号）•2•已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮 继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ？（精确到0.1海里，J 3止1.732）3.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在45°.点D 到地面的垂直距离 DE =3J2m ，求点B 到地面的垂直距离 BC •4.已知：如图，小明准备测量学校旗杆 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上， 上的影长CD = 8m ,太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐 角为30°,求旗杆 AB 的高度（精确到1m ） •A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶D 点.已知/ BAC = 60°,/ DAE=AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB测得水平地面上的影长 BC = 20m ,斜坡坡面北A5.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为60°.求山高CD （精确到0.01米）.5.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一 根2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m ,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的 长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m .问路灯高度为多少米 ？运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了 500 30°方向走了 500m ，到达目的地 C 点.求IIIA 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达6.已知：如图，在一次越野比赛中,到达B 点，然后再沿北偏西北n(1)A 、C 两地之间的距离；⑵确定目的地C 在营地A 的什么方向？已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤.大堤高5m ,坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡都是坡度为1 : 1的等腰梯形.现要将大堤加高坡度改为1 : 1.5.已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米， 多少立方米的土石？(1)BC 的长； ⑵△ ABC 的面积.(1)求AB 的长；a⑵求证：—一si n ot7. 1m ,背水坡完成工程需已知：如图，在△ ABC 中, 9. 已知：如图，在△ ABC 中, AC = b , BC = a ,锐角/ A = Ct ,/ B =P .__b sin P . A拓展、探究、思考AB = c , AC = b ,锐角/ A = Ct .RRt △ ADC 中，/ D = 90°,/ A=a ,/ CBD = P , AB = a.用含a 及P的三10.已知：如图，在角函数的式子表示CD的长.11.已知：△ ABC 中，/ A = 30°, AC = 10,12.已知：四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、=a (0 °v a v 90° )，求此四边形的面积. BD 相交于 E 点，AC = a , BD = b , / BEC13 ..已知：如图, 长.(精确到 AB = 52m , / DAB = 430.01m),/ CAB = 40°,求大楼上的避雷针 CD 的□□□□□□□□□ □□口□□口口口口口□□口口□□口口14.已知：如图， 知测角仪AB 的高为在距旗杆 25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°,已BC =5J2，求 AB 的长.4 1如图，△ ABC 中，AC = 10, si nC=-,si nB=-,求 AB .3如图，在O O 中，/ A =/ C ,求证：AB = CD （利用三角函数证明）.如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE 丄AC 于E , PF 丄BD 于F , AC18.已知：如图，一艘渔船正在港口 A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到 A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60 ° 方向，且在B 的北偏西45°方向.问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速 度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港（精确到1小时）（该船在C 岛停留半个小时"（丁㊁止1.41, J 3 7.73, J 6 止 2.45）15 .已知:16.已知:17.已知：=15, BC = 8，求 PE + PF.C19.已知：如图，直线y = —x+ 12分别交X轴、y轴于A、B点，将△ AOB折叠，使A 点恰好落在0B的中点C处，折痕为DE .(1)求AE 的长及sin / BEC 的值; ⑵求△ CDE 的面积.20..已知：如图，斜坡 PQ 的坡度i = 1 ： J 3，在坡面上点0处有一根1m 高且垂直于水平面的水管0A ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的 抛物线落下，水流最高点 M 比点A 高出1m ,且在点A 测得点M 的仰角为30°, 以0点为原点，OA 所在直线为 标系•设水喷到斜坡上的最低点为(1) 写出A 点的坐标及直线 PQ 的解析式; (2) 求此抛物线AMC 的解析式；⑶求 I X C — X B I ； ⑷求B 点与C 点间的距离.y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为X 轴建立直角坐 B ，最高点为C.。
九年级数学-解直角三角形及其应用
第26讲 解直角三角形及其应用知识导航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形边角之间的关系：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有：(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)∠A ＋∠B ＝90°；(3)sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a． 3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板块一】解直角三角形及实际应用方法技巧1．灵活运用边角关系求边与角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决； 3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解． ▶题型一 可直接解直角三角形【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝2，∠A ＝30°； (2)a ＝b ＝9； (3)∠A ＝2∠B ，c －b ＝4．【解析】(1)∵∠A ＝30°，∠B ＝60°．∴a ＝c sin ∠A ＝2×12＝1．b ＝c cos ∠A ＝2(2)由勾股定理得c＝tan ∠A ＝ab．∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．(3)∵∠A ＝2∠B ，∠A ＋∠B ＝90，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°．∴c ＝20，c －b ＝4．∴b ＝4，c ＝8．∴a＝【点评】在已知条件中，如有针边，用正弦或余孩，无针边时用正切，求边时，要灵活运用三角函教和勾股定理．▶题型二 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解【例 2】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，∠B ＝120°，ADAB ＝6，点E 是边AB 上一动点，且∠DEC ＝120°，求AE 的长．【解析】过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，则CH ＝AD∵∠ABC ＝120°，∴∠CBH ＝60°，∴BH ＝tan CH CBH ∠＝1，BC ＝cos CH CBH ∠＝2，又AB ＝6,∴CD ＝AH ＝7．易证△BCE ∽△ED C ．∴BE EC ＝CEDC，∴CE 2＝BE ·DC ，设BE ＝x ．∴CE 2＝7x ．在Rt △CEH 中，CE 2＝EH 2＋CH 2＝(x ＋1)2＋2＝7x ，∴解得x ＝1或4．当x ＝1时，AE ＝5；当x ＝4时，AE ＝2．∴AE 的长为5或2． ▶题型三 “化斜为直“解斜三角形【例3】在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，求BC 的长．EDCBAHABCDE【解析】当△ABC是钝角三角形时，如图1，作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝4．∴BH＝Rt△AHC中．HC＝3．∴BC＝3．当△ABC是纯角三角形时，如图2，同上可求得BC＝3．综上所述，BC＝3或3．【点评】1．解斜三角形时，要结合已知条件恰当地引垂线，构造可解的直角三角形；2．已如三角形的两边及某中一边的对角(为锐角)，注意分类讨论．▶题型四方位角、俯角、仰角、坡角等的应用【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，岛礁P正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)【解析】过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q．过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，在直角△AQP 中．∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1．5＋BQ＝90＋BQ，所以BQ＝PQ－90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ·tan30PQ，所以PQ－90PQ，所以PQ＝45(3，所以MN＝PQ＝45(3，在直角△BMN中．∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90(3，所以t＝(90375＝小时)．【占评】1．将实际问题转化为数学模型，再将数学模型转化为解直角三角形问题；2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处调得真立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB行走13米至放顶B处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D处，涂料面AB的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin36°≈0．59，cos36°≈0．81，tan36°≈0．73)图2图1H HCABAB C避风港北PA BMNMBAPQ北避风港EDCBA ABCDEF【解析】过点B作BF⊥AE于点F，则FE＝BD＝6米，∴DE＝BF，∵鞋面AB的放度i＝1：2：4，∴AE ＝2．4BF．设BF＝x米，则AF＝2．4x米，在RT△ABF中，由勾股定理得x2＋(2．4x)2＝132，解得x＝5，∴DE＝BF＝5米，AF＝12米．∴AE＝AF＋FE＝18米，在Rt△ACE中，CE＝AE·tan36°＝18×0．73＝13．14米．CD＝CE－DE＝13．14－5≈8．1米．针对练习11．如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD＝4，∠DAC＝30°，解Rt△AB C．解：∵AD平分∠CAB，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝30°，∠CAB＝60°，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝4，∴在Rt△ACD中，CD＝12AD＝2，∴AC＝AD cos30°＝AB＝2AC ＝BC＝BD＋CD＝6．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，点D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，求AD的长．解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DG⊥AM于点G，设CM＝a，∵AB＝AC，∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝AMCM＝2，∴AM＝2a，AC＝a，S△BDC＝12BC·DH＝BAPDCBADCBA12·2a ·DH ＝10，∴DH ＝10a ，易证四边形DHMG 为矩形，△ADC ≌△CDH ，∴DG ＝DH ＝MG ＝10a，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AM ＝AG ＋MG ，即2a ＝a ＋10a ＋10a，∴a 2＝20，在Rt △ADC中，AD 2＋CD 2＝AC 2，又AD ＝CD ，∴2AD 2＝5a 2＝100，AD ＝4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB 和D C ．(结果取整数)(参考数据：tan 48°≈1．11，tan 58≈1．60)解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，则∠AED ＝∠BED ＝90°，由题意可知BC ＝78m ，∠ADE ＝48°，∠ACB ＝58°，∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°，可得四边形BCDE 为矩形，∴ED ＝BC ＝78m ，DC ＝E B ．在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝ABBC ，∴AB ＝BC ·tan 58≈78×1．60≈125(m )． 在Rt △AED 中，tan ∠ADE ＝AEED，∴AE ＝ED ·tan 48°≈78×1．11≈87(m )．∴EB ＝AB －AE ＝125－87＝38(m )，∴DC ＝EB ＝38m答：甲建筑物的高度约为125m ，乙建筑物的高度约为38m ．5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D 处竖直放置标杆CD ，并在地面上水平放置一个平面镜E ，使得点B ，E ，D 在同一水平线上，如图所示。
4.4解直角三角形的应用课件九年级数学上册
感悟新知
水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯 角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参 考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的 延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
课堂新授
2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下 表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
课堂新授
续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果 精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
感悟新知
课堂新授
例2
课堂新授
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的 直角三角形.
课堂新授
课堂新授
计算结果必须根据 题目要求进行保留.
课堂新授
方法点拨 解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中 各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关 系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅 助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.
初中九年级数学 解直角三角形 解直角三角形
复习回顾
Ｂ
直角三角形中常见的边角关系:
c
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）
a
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
Ａ
Ｃ
b
sinA＝ a c
b
cosA＝
c
a c
c sin a
A tanA＝
a b
sin A
b c cos A b
c b cotA＝ a
在电线杆离地面8米高的地方向地面拉 一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在 距离电线杆底部多远的地方？
B
你能求出图中的∠A、Leabharlann ∠B的度数吗？8米
10米
?
C
A
新知探究
明确概念
在直角三角形中，由已知元素求出未知 元素的过程，叫做解直角三形 ；
说明：任何一个三角形都有六个元素，三条边、 三个角，在直角三角形中，已知一个角是直角， 剩余的还有五个元素。
(3)a= 2 3 ， b=6 ； (4)a=1， ∠B=30°.
A
C思考：如果知道直B 角三角形的几个元素就可以求其他的元 素？有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
例2、 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ A=30°，
BD是∠ABC的平分线，AD=20，求BC的长。
B
C
D
A
变式：在△ABC中，已知AB=6, ∠C=60°， ∠B＝45°,求BC的长（结果保留根号）。
A
B
D
C
1、直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
九年级数学教案-解直角三形应用举例
数学教案－解直角三形应用举例1．知识结构：2．重点和难点分析重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.3．教法建议本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．一、教学目标1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.二、重点·难点·疑点及解决办法1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.三、教学过程1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．解：在中,∴?（米）．答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．3．巩固练习P．25．如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？答：已知，求AB．这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.【例2】?如图所示，已知A两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.解：过A作，于是，在中，∴?（米）..∴?（米）.∴?（米）.（米）.答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）. 要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.探究活动一、望海岛如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。
九年级数学解直角三角形应用
AB
tan A BC , tan B AC
AC
BC
A
C
B
返回
（
3、在解直角三角形中，经常接触的名称：
返 回
）
）
d
D
k D d 2tg
(为斜角)
h
i
h
tg
(为坡角)
铅 垂
） 仰角 ） 俯角
水平线
线
一、基础题
1、在Rt △ABC中， ∠ C=90°，∠A的正切等
B
A B (图1)
例1：
已知： △ABC中，∠A=105°，∠C=45°，BC=8，
求AC和AB的长。
A
B
DC
[评析]在解斜三角形、等
腰三角形、梯形等一些图
形的问题时，可以适当地
添加辅助线构造直角三角形，然后利用解直角三角形，使
问题得以解决。设未知数得到相关的方程，是解本题的一
个关键步骤，角形应用
执教人：古贲中学 周宏梅
2、 在ABC中, C Rt, 有下列的边角关系:
三边的关系 : AB2 AC 2 BC 2
内角间的关系: A B C 90 边与角之间的关系:
sin A cosB BC , cos A sin B AC
AB
为解代数方程。
[类题训练]
1、已知：等腰△ABC的底边长为4，底角正弦为 求它的腰长。
5，
5
2、已知： △ABC中，AB=AC,BD为△ABC的一条高线， D为垂足，且BD= AB=1 1,求tanC的值。
2
3、已知： △ABC中，D为AB的中点，∠ACB=135°，
人教版九年级下册数学：解直角三角形的应用举例
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=
m
tan
B
┌
A
C
合作学习
在视线与水平线所成的角中，
视线在水平线上方的角叫做仰角；
视线在水平线下方的角叫做俯角；
视线 铅
垂
线
仰角
水平线
俯角
视线
解直角三角形的实际应用 题型研究： 仰角、俯角
例题讲解
中考链接
方法指导 中考模拟 课堂小结
B
BH=16.3米
C
30°
A
60°
DH
中考模拟
（中考模拟3） 如图，从地面上的点A看一山坡上的电
线杆PQ，测得杆顶点P的仰角是45°，向前走6米到
达B点，测得杆顶点P和杆底点Q的仰角分别是60°和
30°，求该电线杆PQ的高度（计算结果精确到0.1米，
参考数据：
）
P
PQ 9.5米
Q
A
B
课堂小结
1．转化（化归）思想. 2．数学建模和数形结合思想. 3．方程思想.
a
(3)边角之间的关系:
sinA＝ a
c
cosA＝
b
c
Ａ
tanA＝
a
b
bＣ
3.特殊角的三角函数值
sinα cosα tanα
30°
1 2
3 2
3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2
1 2
3
温故而知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， （1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3 （2）若∠B=60°，AC=3，则BC= 3
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初三代数教案
第六章：解直角三解形
第10课时：解直角三角形应用举例(四)
教学目标:
1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
教学难点：
解决有关坡度的实际问题．
教学重点：
理解坡度的有关术语．
教学过程:
一、新课引入:
1、讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评．
2、创设情境，导入新课．
例同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33，
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．
二、新课讲解:
1、坡度与坡角
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，坡角α______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：
(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．
(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．
答：(1)
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，
(2)
与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tgα
引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE 和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
α≈18°26′
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB 的长约为72.7米．
3．巩固练习
(1)教材P．44．
由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题．
(2)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题．
2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD？
3．土方数=S·l
∴AE=1.5×0.6=0.9(米)．
∵等腰梯形ABCD，
∴FD=AE=0.9(米)．
∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
总土方数=截面积×渠长
=0.8×100=80(米3)．
答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
三、课堂小结:
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．
1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
四、布置作业
1．看教材P．13-P．44，培养看书习惯，作本章小结．
2．预习实习作业．
3．教材P．46A组6.7．
有能力同学可做P．47B组1、2．。