第5章点的复合运动

小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那
么M点相对于静系的绝对加速度应是 多少呢？
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选点M为动点，动系固结与圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动
ve wR, ae w 2 R
vr 有vr 常数, ar R
2
ve ae a r
（方向如图）
相对运动为匀速圆周运动， （方向如图）
由速度合成定理可得出
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因牵连运动为平动，故有
aa ae a r ar
n
n
将上式向n轴投影，得
j
n
aa sinj ae cosj ar
2 4 v aa (ae cosj a r n )/sinj ( a0 cos60 0 )/sin60 3R
得
3 8 v0 a AB a a ( a0 ) 3 3 R
3
前一章我们研究点的运动，一般都是以地面为参考系的， 即：是研究点对一个坐标系（参考系）的运动。然而在实际问 题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物 体的运动，即：点的运动涉及到两个坐标系， 例如，无风下 雨时从行驶的汽车上看下雨的雨点是向后斜落的。根据这种关
系可以把点的复杂运动分解为两种简单运动来研究。
a a 并不
ae 和相对加速度 ar 的矢量和。那么他们
之间的关系是什么呢？ 2w vr 又是怎样出现的呢？它是什么 呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点
的加速度合成定理。
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2.牵连运动为转动时的加速度合成定理
(1)动系：O'x'y'z'；静系：Oxyz， 动系以ω、ε绕z轴转动，动点M相 对于动系沿AB运动。 ①动点的相对速度及相对加速度
解：取杆AB上的A点为动点，
动系固连在凸轮上。
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（1）求
vr
va ：va = ? , 方位：AB ； ve ：ve=v0 , 方向 ： → 。
vr
：vr = ? , 方位CA;
由 va ve vr , 作速度□如图示：
ve v0 2 vr v0 o sin j sin 60 3
2
[注意]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平 衡方程的投影关系不同.
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[例3] 图示具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构。已知圆弧半径为
R，曲柄OA以匀w绕水平轴O转动，OA=R。求当曲柄与水平成
j 角时滑道CD的速度和加速度。 v a
解：取曲柄上的滑块A为动点， 动系固连在滑道CD上。 （1）求 vCD ve
② 不是随便一点，而是在该瞬时动系上与动点重合的那一点。
9
下面举例说明以上各概念：
动点：AB杆上A点 动系：固结于凸轮Ｏ'上 静系：固结在地面上
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绝对运动： 直线
相对运动： 曲线（圆弧）
牵连运动： 直线平动
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绝对速度 ：va
相对速度 ： v r
牵连速度 ：v e
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绝对加速度：aa 相对加速度：ar 牵连加速度：ae
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(其中 i ' , j' , k ' 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它 di ' dj ' dk ' 们的方向不变，是常矢量，所以 0, 0, 0 ） dt dt dt
dvO ' d 2 x' d 2 y' d 2 z' 又 aO ' ae , ar 2 i ' 2 j ' 2 k ' dt dt dt dt
ve
vr
va ：va = w· OA= w·R,
方向：⊥OA 与w一致 ve ：ve=？ , 方位 ：水平。
vr ：vr = ? , 方位O1A;
由 va ve vr , 作速度□：
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由图知：∠ABE=∠BAE =90°-j vr va wR, ve 2va cos(90 j ) 2wR sin j (0 j 90) （2）求 aCD ae
１．绝对运动：动点相对于静系的运动。
例如： P点相对于地面的运动。 ２．相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动
例如：P点相对于飞机机身的运动。
３．牵连运动：动系相对于静系的运动。 例如：飞机相对于地面的运动。 可见（1）没有牵连运动，相对运动和绝对运动是相同的。 （2）绝对运动是相对运动和牵连运动的合成。
va
方向：A→O
ve
aa ：aa=aa
n=Rw2,
E
vr
ae ：ae=？ ,
B
方位：水平，指向：假设
ae
aa
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ar : arτ =? 方位O1A，指向：假设
2 v 2 r an R w r R
方向：A→O1
由牵连运动为平动的加速度合成定理：
aa ae ar ar
h j ae j
（3）分析三种速度 （4）由 va ve vr 作速度平行四边形
va 要位于ve 与 vr之间 注意：
（5）由速度平行四边形求解
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§5-3 点的加速度合成定理 一、牵连运动为平动时点的加速度合成定理
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z' 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z' 相对静系Oxyz平动。 由于牵连运动为平动，故
ve w r ' , ae r 'w ve
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(2)由速度合成定理 v
a
ve vr
得
dva dve dvr aa ——（*） dt dt dt dve d(w r ' ) dw dr ' r 'w dt dt dt dt
d(r oo' ) r 'w dt dr r 'w r 'w va dt
va ve vr wR vr 常数
即绝对运动也为匀速圆周运动，所以 2 va 2 ( Rw vr ) 2 vr 2 aa Rw 2wvr ae ar 2wvr R R R 方向指向圆心Ｏ点。
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可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 等于牵连加速度
MM 1 M1 M MM lim lim lim t t 0 t t 0 t t 0
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vr
va
ve
va ve vr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。
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①点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元
r 'w ve w vr ae w vr
aa ae ar —牵连运动为平动时点的加速度合成定理
即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度
与相对加速度的矢量和。
a a a n
∴一般式可写为：
a
n a a a
a
n e ae ar
ar
n
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[例2] 已知：凸轮半径 R,vo ,ao
求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。
1
第五章 点的复合运动
（或称点的合成运动）
§5–1 绝对运动、相对运动和牵连运动
§5–2 点的速度合成定理 §5–3 点的加速度合成定理
2
本章重点：
运动的分解，点的速度合成定理和加速度合成定 理及其应用。 本章难点： 点的牵连速度和牵连加速度的概念和计算，动点 动系的选择，点的加速度合成定理的应用。

n
a r a rn
将上式向h轴投影，得
aa cos2j ae cosj ar
n
aa
即：Rw 2 cos2j ae cosj Rw 2 2 Rw (cos2j 1) ae cosj 2Rw 2 cosj aCD
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二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理
1.牵连运动为转动时的加速度合成定理与牵连运动为平动时 有何不同？ 前面我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理， 那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还 适用呢？下面我们来分析一特例。 设一圆盘以匀角速度w 绕定轴Ｏ顺 时针转动，盘上圆槽内有一点M以大
ve vO ' , ae aO '
由速度合成定理
va ve vr
dx ' dy ' dz ' 而 vr i' j' k' dt dt dt
dx' dy ' dz ' va vO i j k dt dt dt
dva dvO d 2 x' d 2 y' d 2 z' i' j' k' 对t求导：aa 2 2 2 dt dt dt dt dt
j
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（2）求 a AB
aa
aa : aa=?, 方位：AB，指向：假设 ae : ae=a0 , 方向：→
ar : arτ =? 方位CA
指向：假设
2 2 4 v v r an 0 r R 3R
方向：A→C
注意：①不同于速度， 加速度的指向一般为假 设；②加速度图要与速 度图分开画
j
dx' dy ' dz ' vr i ' j ' k' dt dt dt d 2 x' d 2 y' d 2 z' ar 2 i ' 2 j ' 2 k ' dt dt dt