2019_2020学年高中数学第2章平面向量22.1向量的加法学案北师大版必修4

2.1 向量的加法

向量求和法则及运算律

思考：根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c )

[提示] ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，∴AD →

＝(a ＋b )＋c ，

又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)，

∴AD →

＝a ＋(b ＋c )，∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．

1．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )

A ．30 N

B ．60 N

C ．90 N

D ．120 N

[答案] B

2．在△ABC 中，必有AB →＋CA →＋BC →

等于( ) A ．0 B ．0

C ．任一向量

D ．与三角形形状有关 [答案] B

3．化简下列各向量： (1)AB →＋BC →

＝________. (2)PQ →＋OM →＋QO →

＝________.

(1)AC → (2)PM →

[根据向量加法的三角形法则及运算律得： (1)AB →＋BC →＝AC →.

(2)PQ →＋OM →＋QO →＝PQ →＋QO →＋OM →＝PO →＋OM →＝PM →.]

4．在正方形ABCD 中，|AB →|＝1，则|AB →＋AD →

|＝________. [答案]

2

【例1】 (2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .

[解] (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →

＝a ＋b .

(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →

＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →

＝a ＋b .

用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置.两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用.

1．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .

[解] 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →

＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →

＝a ＋b ＋c .

【例2】 (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.

[思路探究] 所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．

[解] (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →

.

(2)DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋BC →)＋CD →＝DC →＋CD →＝0或DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋CD →)＋BC →＝(CD →＋DB →)＋BC →＝CB →＋BC →

＝0.

(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AC →＋CD →＋DF →＋FA → ＝AD →＋DF →＋FA → ＝AF →＋FA → ＝0.

向量加法运算律的应用原则及注意点

(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.

(2)注意点：

①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；

②向量的和仍是向量；

③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的.

2.如图：在平行四边形ABCD 中．

(1)AB →＋AD →

＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →

＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →

＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →

＝________.

(1)AC → (2)AO → (3)AD →

(4)0 [(1)由平行四边形法则知

AB →＋AD →＝AC →.

(2)AC →＋CD →＋DO →＝AD →＋DO →＝AO →. (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (4)∵BA →＝CD →，

∴AC →＋BA →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →

＝0.]

[探究问题1．如何计算两个向量的和？

[提示] 两个向量相加，其和仍是一个向量．计算两个向量的和需利用三角形法则或平行四边形法则，在使用三角形法则时，应注意“首尾相连”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．

2．共线的两向量相加，其结果怎样？

[提示] (1)向量a 与b 同向(如图①所示)，即向量a ＋b 与a (或b )方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.

① ②

(2)向量a 与b 反向(如图②所示)，且|a |<|b |时，a ＋b 与b 方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |.

【例3】 在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．

[思路探究] 速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．

[解] 作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知

v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，

在Rt △ACD 中，

|CD →|＝|AB →

|＝v 水＝10 m/min ，