一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

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一道高中数学竞赛题的证明及推广——圆锥曲线切线的一个性质

一道高中数学竞赛题的证明及推广——圆锥曲线切线的一个性质圆锥曲线是微积分中的一个重要概念，它是由一系列交替曲线和抛物线组成的曲线，它的特性是曲线的单调性和切线的统一性。

在高中数学竞赛中，圆锥曲线切线的一个性质是：圆锥曲线上任意一点的切线都是相同的，也就是说，它们的斜率是相同的。

这个性质有着重要的意义，可以帮助我们解决许多关于圆锥曲线的问题。

为了证明这个性质，我们需要使用微积分理论。

首先，我们将圆锥曲线表示为参数方程：x = at^2 + bt + c y = dt + e其中a，b，c，d，e都是常数，t是参数。

接下来，我们来求解圆锥曲线上任意一点的切线的斜率。

我们用t来代表圆锥曲线上任意一点，那么圆锥曲线上这一点的切线斜率就是：斜率=dy/dx=dy/dt*dt/dx=d/a*2at+b可以看出，不管t取什么值，圆锥曲线上任意一点的切线斜率都是d/a*2at+b，也就是说，圆锥曲线上任意一点的切线都是相同的，因此，圆锥曲线的一个性质就是：圆锥曲线上任意一点的切线都是相同的，也就是说，它们的斜率是相同的。

此外，圆锥曲线的这个性质也可以推广到更多的曲线，比如椭圆曲线，参数方程为：x = a cos t y = b sin t椭圆曲线上任意一点的切线斜率为：斜率=dy/dx=-a/b*cot t可以看出，不管t 取什么值，椭圆曲线上任意一点的切线斜率都是-a/b*cot t，也就是说，椭圆曲线上任意一点的切线都是相同的，因此，椭圆曲线也具有圆锥曲线的这一性质：圆锥曲线上任意一点的切线都是相同的，也就是说，它们的斜率是相同的。

综上所述，我们完成了高中数学竞赛中的一道题：证明圆锥曲线切线的一个性质，并且我们还推广了这个性质到椭圆曲线上。

这是一个非常重要的性质，它可以帮助我们解决很多圆锥曲线和椭圆曲线的问题。

圆锥曲线的性质及推广应用

圆锥曲线的性质及推广应用圆锥曲线的性质及推广应用摘要：在高中阶段，学生对圆锥曲线性质的掌握及应用，是现今我国高考数学的考查重点。

作为高中数学教师，我们要积极探究圆锥曲线在解析几何下的分类，然后利用这些平面解析几何的知识以及数形结合的数学思考模式，对圆锥曲线的基本性质及推广应用进行总结、证明，并将其应用于对学生的解题教学中。

关键词：高中数学;圆锥曲线;性质;推广;应用;解题圆锥曲线是解析几何的重要内容，其对于几何问题的研究却是利用代数的解题方法。

而且，对于高中生来说，圆锥曲线的性质掌握及其推广应用是目前我国高考数学的重点考查内容。

从更深层次来讲，加强对于圆锥曲线分类与性质的研究，在一定程度上可以帮助学生打开解题思路、提高解题技巧，同时培养学生以数学思维能力、创新能力为代表的综合能力。

因此，为了使学生能够更好地掌握圆锥曲线的性质及其的推广应用，且进一步提高学生的数学学习素质，作为高中数学教师的我们，就要积极探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，注重对学生圆锥曲线性质及其推广应用的教学。

一、圆锥曲线的定义对于圆锥曲线在解析几何下的分类及性质的研究前提，是对于圆锥曲线定义的了解及掌握。

本文，笔者从三个方面介绍圆锥曲线的定义。

1、从几何的观点出发。

我们说，如果用一个平面去截取另一个平面，然后两个平面的交线就是我们所要研究的圆锥曲线。

严格来讲，圆锥曲线包含许多情况的退化，由于学生对于数学知识学习的局限性，对于圆锥曲线的教学，我们通常包含椭圆、双曲线和抛物线，这三类的知识内容。

2、从代数的观点出发。

在直角坐标系中，对于圆锥曲线的定义就是二元二次方程的图像。

高中生在其的学习中，可以根据其判别式△的不同，分为椭圆、双曲线、抛物线以及其他几种退化情形。

3、从焦点-准线的观点出发。

在平面中有一个点，一条确定的直线与一个正实常数e,那么所有到点与直线的距离之比都为e的点，所形成的图像就是圆锥曲线。

学生在具体的圆锥曲线学习中可以了解到，如果e的取值不同，这些点所形成的具体的图像也不同。

一道数学竞赛解析几何试题的探究及推广

２ｃｏｓ２ｍ， α，ｐｐ所以ｔ则ｔｔｔＡ＋Ｂ＝ＡＢ＝－２２ｓｉｎｓｉｎ α α
２（ｔｔｔｔｔｔ｜Ａ－Ｂ｜＝槡Ａ＋Ｂ）－４ＡＢ
４２ｂｍｓｉｎ２ α ＝｜（２２２２２２｜ａ－ｂ）ｓｉｎ２ａｂ α＋４
４２ｂｍ２２．（）ａ－ｂ以上问题的研究全部统一到利用直线的参数２
方程求解，借助直线参数方程的几何意义来求一些与线段的长度有关的计算问题，往往能简化计算过程，从而提高运算的准确性．（）收稿日期：２０１２－０７－２０
｛
１中ｔ．２＝ｋ２
２同理可得Ｎ（ｔｔｔ．ｐｐ２－ｎ２＋ｍ，２）２（）当ｎ＝０时，），，１Ｅ（ｍ，０Ｍ（ｔｔｐｐ１）１＋ｍ，２２，ｔｔｔＮ（ＥＭ｜＝｜１＋ｔＮ｜｜｜Ｅｐｐｐ２＋ｍ，２）１｜槡１，
｛
ｂｍｓｉｎ α 同理可得ｔＮ＝－２２２２．ａｃｏｓｉｎ α＋ｂｓ α ，又因为直线ＡＢ与直线ＣＤ垂直所以Ｓ△ＥＭＮ＝
１１ＭＥ ·ＮＥ＝｜ｔｔＮＭ｜２２
２
２２ｔｓｉｎｃｏｓｔｍ＝０． α－２ α－２ｐｐ
２２４ａｂ，那么，当｜ｓｉｎ２ α ｜＝２２２ ≤ １（）ａ－ｂ
Ｓ四边形ＡＣＢＤ＝
１ＡＢ ·ＣＤ２
２ａｂ时，ＭＮ的面积最大，最大值 △Ｅ２２ａ｜－ｂ｜

圆的性质在圆锥曲线中的推广

圆的性质在圆锥曲线中的推广胡㊀丽(息烽县乌江复旦学校ꎬ贵州贵阳５５１１００)摘㊀要:圆与圆锥曲线有密切的联系.文章对圆的垂径定理㊁圆周角为直角㊁切线性质㊁两垂直割线等性质在圆锥曲线中进行推广.关键词:圆ꎻ圆锥曲线ꎻ推广中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－００４３－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:胡丽ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀在新课程标准下利用向量和圆来研究圆锥曲线的特征与性质ꎬ并且在高考中考查圆的性质在圆锥曲线中的推广而得出相应的结论也加强了对能力的考查[１]ꎬ所以我们在平时教学中对圆性质的应用应该加以重视.１垂径定理的推广圆中有一条性质叫垂径定理 :若ＡＢ为圆Ｏ的一条弦ꎬＰ为ＡＢ的中点ꎬ则ｋＯＰｋＡＢ＝－１.结论１㊀若点Ｐ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的不平行于对称轴且不过椭圆中心Ｏ的弦ＡＢ的中点ꎬ则ｋＯＰｋＡＢ＝－ｂ２ａ２.证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１.两式相减ꎬ得ｘ２１－ｘ２２ａ２＋ｙ２１－ｙ２２ｂ２＝０.即(ｘ１－ｘ２) ２ｘ０ａ２＝－(ｙ１－ｙ２) ２ｙ０ｂ２.所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２ｙ０ｘ０＝－ｂ２ａ２.故ｋＯＰｋＡＢ＝－ｂ２ａ２.结论２㊀若点Ｐ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的不平行于对称轴且不过曲线中心Ｏ的弦ＡＢ的中点ꎬ则ｋＯＰｋＡＢ＝ｂ２ａ２.从两个结论可以看出ꎬ椭圆中的垂径定理ｋＯＰｋＡＢ＝－ｂ２ａ２与双曲线中的垂径定理ｋＯＰｋＡＢ＝ｂ２ａ２虽然没有圆中的垂径定理ｋＯＰｋＡＢ＝－１那么完美ꎬ但直线ＯＰ的斜率ｋＯＰ与弦ＡＢ的斜率ｋＡＢ的积也是常数.这一结论指出了二次曲线中弦与径的关系ꎬ为应用提供了理论依据.２圆周角为直角的推广在圆中有一条必须熟记的就是直径所对的圆周角为９０ʎꎬ即若ＡＢ为圆Ｏ的直径ꎬＰ为圆上异于３４ＡꎬＢ的任一点ꎬ则有ｋＰＡｋＰＢ＝－１ .这一结论可以在圆锥曲线中进行推广.结论３㊀若ＡＢ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的任一条过中心Ｏ的弦ꎬ点Ｐ为椭圆上异于ＡꎬＢ的任一点ꎬ则ｋＰＡｋＰＢ＝－ｂ２ａ２.证明㊀设Ａ(－ｘ１ꎬ－ｙ１)ꎬＢ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１.于是ｘ２１－ｘ２０ａ２＋ｙ２１－ｙ２０ｂ２＝０.即－ｙ１－ｙ０－ｘ１－ｘ０ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＝－ａ２ｂ２.故ｋＰＡｋＰＢ＝－ｂ２ａ２.结论４㊀若ＡＢ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的任一条过中心Ｏ的弦ꎬ点Ｐ为双曲线上异于ＡꎬＢ的任一点ꎬ则ｋＰＡｋＰＢ＝ｂ２ａ２.３切线性质的推广３.１圆的性质推广１ＡＢ为圆Ｏ非直径的任一弦ꎬ圆Ｏ在ＡꎬＢ两点的切线交于点Ｐꎬ则ＯＰ过弦ＡＢ的中点.这一性质在圆锥曲线中可以作如下推广.结论５㊀若ＡＢ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)不过中心Ｏ的任意的一条弦ꎬ并且在椭圆ＡꎬＢ两点处的切线相交于点Ｐꎬ则ＯＰ过弦ＡＢ中点Ｍ(如图１).证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１求导可得２ｘａ２＋２ｙｙᶄｂ２＝０.即ｙᶄ＝－ｂ２ｘａ２ｙ.因此ꎬ椭圆在点Ａ和点Ｂ的切线方程为图１㊀圆的性质推广１图ｙ－ｙ１＝－ｂ２ｘ１ａ２ｙ１(ｘ－ｘ１)ꎬｙ－ｙ２＝－ｂ２ｘ２ａ２ｙ２(ｘ－ｘ２).ìîíïïïïï化简ꎬ得ａ２ｙ１ｙ＋ｂ２ｘ１ｘ＝ａ２ｙ２１＋ｂ２ｘ２１＝ａ２ｂ２ꎬａ２ｙ２ｙ＋ｂ２ｘ２ｘ＝ａ２ｙ２２＋ｂ２ｘ２２＝ａ２ｂ２.{所以ｙｘ＝－ｂ２(ｘ１－ｘ２)ａ２(ｙ１－ｙ２)＝－ｂ２ａ２１ｋＡＢ.即ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２１ｋＡＢ.另一方面ꎬ由结论１知ｋＯＭｋＡＢ＝－ｂ２ａ２.所以ｋＯＭ＝ｋＯＰ.即ＯꎬＭꎬＰ三点共线.结论６㊀若ＡＢ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)不过中心Ｏ的任一弦ꎬ双曲线在ＡꎬＢ两点处的切线相交于点Ｐꎬ则ＯＰ过弦ＡＢ的中点Ｍ.结论７㊀若过点Ｐ作抛物线ｙ２＝２ｐｘ的两条切线ＰＡꎬＰＢꎬ过点Ｐ作直线ＰＭ平行于ｘ轴交弦ＡＢ于点Ｍꎬ则点Ｍ平分ＡＢ(如图２).图２㊀结论７图３.２圆的性质推广２设定点Ｐ到圆Ｏ上的点Ａ的距离是点Ｐ到圆４４的距离ꎬ则圆Ｏ在点Ａ处的切线与ＡＰ垂直.这一性质推广如下.结论８㊀设定点Ｐ(ａꎬｂ)到圆锥曲线Ｃ上的点Ａ的距离是点Ｐ到曲线Ｃ距离ꎬ则曲线Ｃ在点Ａ处的切线与ＡＰ垂直.证明㊀设Ａ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ圆锥曲线在点Ｐ附近的单调曲线段为一个函数ｙ＝ｆ(ｘ)ꎬ则ＡＰ＝(ｘ０－ａ)２＋(ｙ０－ｂ)２＝(ｘ０－ａ)２＋ｆ(ｘ０)－ｂ[]２.令ｙ＝(ｘ－ａ)２＋ｆ(ｘ)－ｂ[]２ꎬ则ｙᶄ＝２(ｘ－ａ)＋２ｆ(ｘ)－ｂ[] ｆᶄ(ｘ).由于定点Ｐ(ａꎬｂ)到圆锥曲线Ｃ上的点Ａ的距离是点Ｐ到曲线Ｃ距离ꎬ所以ｙᶄｘ＝ｘ０＝０.从而ｆᶄ(ｘ０)＝－ｘ０－ａｆ(ｘ０)－ｂ.又ｋＡＰ＝ｆ(ｘ０)－ｂｘ０－ａꎬ所以ｆᶄ(ｘ０) ｋＡＰ＝－１ꎬ故命题成立.４两垂直割线的推广我们知道圆内接直角三角形的斜边恒过一定点(圆心)ꎬ通过特例的检验㊁大胆猜想㊁合理的证明ꎬ我们可以将这一性质推广到圆锥曲线上.结论９㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)是抛物线ｙ２＝２ｐｘ上一定点ꎬＡꎬＢ是抛物线上两点ꎬ且满足ＰＡʅＰＢꎬ则ＡＢ过点(２ｐ＋ｘ０ꎬ－ｙ０).证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)是抛物线上两点ꎬ由ＰＡʅＰＢꎬ得(ｘ０－ｘ１)(ｘ０－ｘ２)＋(ｙ０－ｙ１)(ｙ０－ｙ２)＝０.化简可得(ｙ０＋ｙ１)(ｙ０＋ｙ２)＝－４ｐ.所以ｙ１ｙ２＝－４ｐ－(ｙ１＋ｙ２)ｙ０－２ｐｘ０.另一方面ꎬ当ｘ１ʂｘ２时ꎬｋＡＢ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２(ｘ１－ｘ２)ꎬ故ＡＢ所在直线方程为ｙ－ｙ１＝２ｐｙ１＋ｙ２(ｘ－ｘ１).化简整理ꎬ得ｙ＝２ｐｘｙ１＋ｙ２＋ｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２.从而ｙ＝２ｐｙ１＋ｙ２(ｘ－２ｐ－ｘ０)－ｙ０.所以直线ＡＢ恒过定点(２ｐ＋ｘ０ꎬ－ｙ０)(经检验当ｘ１＝ｘ２时也成立).结论１０㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上的一定点ꎬＡꎬＢ是椭圆上任意两点ꎬ且满足ＰＡʅＰＢꎬ则ＡＢ过定点ａ２－ｂ２ａ２＋ｂ２ｘ０ꎬｂ２－ａ２ｂ２＋ａ２ｙ０æèçöø÷.结论１１㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上一定点ꎬＡꎬＢ是双曲线上任意两点且满足ＰＡʅＰＢꎬ则ＡＢ过定点ａ２＋ｂ２ａ２－ｂ２ｘ０ꎬｂ２＋ａ２ｂ２－ａ２ｙ０æèçöø÷.通过对圆的重要性质的推广ꎬ我们不难发现ꎬ圆的一些重要性质在解决圆锥曲线的问题时ꎬ使某些比较复杂难解的问题简单化㊁明朗化ꎬ使学生对书本上的知识更容易理解ꎬ开拓了学生的数学眼界[２].在高中数学教学中引导学生去探究这些统一性质ꎬ学生在解圆锥曲线题的过程中可以得心应手ꎬ也能培养学生对数学的探究热情ꎬ更使学生在探究数学的过程中提升自己的数学素养.参考文献:[１]唐宜钟.２０２２年全国高考圆锥曲线大题新特点综述及教学建议[Ｊ].中学数学杂志ꎬ２０２３(０１):６０－６３.[２]孙宏安.数学学科核心素养视角下的数学文化:学习«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０２２(２５):４－６.[责任编辑:李㊀璟]５４。

一道圆锥曲线问题的溯源与推广_项卫华

M（ x1 ，y1 ）、N（ x2 ，y2 ），联立直线 l 与抛物线 C 的方程，得
y2 － 2pmy － 2pt = 0．
于是，y1 + y2 = 2pm，y1 y2 = － 2pt，可得 kPM + kPN = y1 + y2 x1 + t x2 + t = x2 y1 + x1 y2 + t（ y1 + y2 ）（ x1 + t）（ x2 + t） = 2my1 y2 + 2t（ y1 + y2 ）（ x1 + t）（ x2 + t） = 2m·（－ 2pt） + 2t·2pm （ x1 + t）（ x2 + t） = 0，
于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，则在
( ) x 轴上存在定点 P
a2 t
，0
，使得
∠OPM
=
∠OPN．
证明设直线 l： x = my + t（ m ≠ 0），
M（ x1 ，y1 ）、N（ x2 ，y2 ），联立直线 l 与椭圆 C 的
方程，得
（ a2 + b2 m2 ） y2 + 2b2 mty + b2 （ t2 － a2 ） = 0．
（ 2） y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动
时，总有 ∠OPM = ∠OPN？说明理由．
试题 3 （ 2013 年陕西高考题）已知动圆
过定点 A（ 4，0），且在 y 轴上截得的弦 MN 的
长为 8．
（ 1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；
（ 2）已知点 B（－ 1，0），设不垂直于 x 轴

蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广

蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广摘要从蝴蝶定理及其证明的过程中，发现禁锢“蝴蝶”的条件，适当地变换条件，拓广适用范围，将圆内的蝴蝶飞出圆外.最后将蝴蝶定理在圆锥曲线上进行推广，并给出简洁证明.关键词蝴蝶定理；圆锥曲线；衍变推广The Proof and Promotion in Conical Curveof Butterfly TheoremAbstract Finding constraint condition of the Butterfly Theorem application basing the course of this proof, has properly transformed condition and spread applicable scope. Providing concise proof and applying the theorem to Conical Curve, one can reach a new level which widens its scope of application. AbstractKey words the Butterfly Theorem;Conical Curve; Development and generalization蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广一引言蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。

由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容是：蝴蝶定理过圆O 的AB 弦中点M 引任意两弦CD 和EF ，连结CF 和ED ，交AB 弦于P 、Q 两点，则有：PM=MQ. （如图一）1944年2月《美国数学月刊》，直接以“蝴蝶定理”的美名进行征解，随后“蝴蝶定理”的名称广为流传.蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法.蝴蝶定理出现在《美国数学月刊》、《中学数理》、《数学难题》、《找到了》等等,至今它仍在遍布全球的数学百花园中.1946年蝴蝶定理曾成为美国普特南大学数学竞赛的试题.由于蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣.在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明.1985年, 在我国河南省《数学教师》创刊号上, 杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题, 载文向国内介绍蝴蝶定理, 从此蝴蝶定理在国内广泛传开，证法不枚胜举.二蝴蝶定理的一个证明下面提供一个不添助线且较简单的直接证法]1[. 证明：由图二易见，有四对相等的角，分别用字母,αβ,,γδ表示(如图二).如图二，不妨设题目的图形酷似一只蝴蝶，因此被后人称为“蝴蝶定理”.蝴蝶定理是平面几何中构图最优美、引起的关注也最多的定理之一. 据说后来有一不知名的诗人数学家发现这个问题的图形像蝴蝶的翅膀，于是称之为“蝴蝶定理”.当时是为寻求解答而设制的、一直以来，始终吸引着人们去探求新的更优美简捷的证法，探求她的多种形式的推广.（图一）MQ PM ≤ (1)则22)()(MQ PM ≤由相交弦定理得CP ·PF ≥DQ ·QE QB AQ PA PB ⋅≥⋅由相交弦定理得QE DQ PF CP ⋅≥⋅ (2)又由正弦定理得PM CP *=αδsin sin , PM PF *=βγsin sin ; MQ DQ *=βδsin sin , MQ QE *=αγsin sin . 将它们代入（2）式，即有22)()(MQ PM ≥,∴MQ PM ≥ (3)由(1)、（3），得MQ PM =.三蝴蝶定理的推广蝴蝶定理及其证明的过程中，发现禁锢 “蝴蝶”的条件，解除枷锁，从而得到蝴蝶定理的几个推广.由图一所示，我们可以看到蝴蝶的两个翅膀被封锁在圆中，我们发现“蝴蝶定理”的内容要求CF 与ED 与弦AB 在圆内要有交点，这就限制了弦CD 与EF 的范围，为了把“蝴蝶定理”进行推广，就必须打开限制，让蝴蝶飞出圆外.不但如此,如果弦AB 变成圆外的一条直线,这只蝴蝶将可以飞到圆外去,而且仍然保证等量关系不变.而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果.如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立]3[.所以 2222)()()()(MQ BM PM AM -≥- ))((PM AM PM AM -+))((MQ BM MQ BM -+≥ 即（图二）解除了“蝴蝶”身上的枷锁，使蝴蝶真正地飞上了天空. 四蝴蝶定理在圆锥曲线上的推广]4[我们都知道圆与椭圆、双曲线等圆锥曲线有一定的联系，我开始有了将蝴蝶定理推广到圆锥曲线上的想法.圆锥曲线与圆的联系非常紧密，所以我们将“蝴蝶定理”在圆锥曲线上进行推广，则蝴蝶定理在圆锥曲线上仍然成立.那么，蝴蝶定理在抛物线上又是什么样子呢？即有Q O P O .证明跟下面图七的证明相似. 关于蝴蝶定理在圆锥曲线上的证明方法有很多种，下面给蝴蝶定理在双曲线上的推广给出一个证明.“设L 圆外的是定直线，自定圆中心O 作OM ⊥L 于M ，过M 任作两条直线分别交圆O 于C 、D ，E 、F ，再连DE 、CF 并延长交直线L 于P 、Q ，则M 是PQ 的中点.”（如图四）显然，当直线L 于圆相交时，正是原先的蝴蝶定理；当L 与圆不相交时，如图四所示，所得结论又何其相似. (图四)“经弦AB 的中点M 的两条弦CD 、EF 分别交圆O于C 、D 、E 、F ，再连接DF 、CE,并延长交弦AB 的延长线于P 、Q ，则有MP=MQ.”（如图三）适当地变换条件，拓广适用范围将原来已知的中点M 改成等价的垂足.（图三）如图五，将前面蝴蝶定理的图一中的圆变成椭圆，我们会发现蝴蝶定理依然成立，即MP=MQ.证明同前面蝴蝶定理的证明极其相似. 蝴蝶定理在椭圆上的推广,其中△MEC 与△MDF 很像蝴蝶的两个翅膀，并且和圆上的蝴蝶定理有相似的性质.如图六，将原来的圆换成不封闭的曲线抛物线，将蝴蝶定理做进一步的推广。

一道圆锥曲线高考题的推广与拓展

数学问题—遒圜推曲钱'考推广张圣官2017年高考全国I卷理科第20题如下#已知椭圆C:^J+g(a>6>0)，四点a〇1l(1，1)，l2(〇，1)，13 (-1，槡（l4(i，槡)中恰有三点在椭圆c上.(1) 求C的方程；(2)设直线Z不 I#点且与C相交于A，B，若直线1#A与直线的斜率的和为一1，证明：直线Z.分析（1)根据椭圆对称性可得，11(1，1)，13(—1，槡)不可能同时在椭圆上，因此可得椭圆经过I#(0, 1 )，1& (-1，槡)，14 (1，槡)，代人方程可得1，1+7(1/"=2,故而可得椭圆的标准方程为f+y=1.()由题意可得直线1#A与直线的斜率一定存在，不妨设直线1#A为i=々x+1，12B 为1=(1一々）x+1.f^y(^x+1，联立* x2/(7)*2 "1)%2*+8)%1了"3#(1A，B之一的横坐标为变量建立A的函数表达式，具体如下：另法1:设A (%1，％ )，B (%#，％ )，由6 6 ^+1 —％1(A(%2 —1)，…A F=$ F6知 * —得U1(—$32，x#^1—%1+1，代入椭圆方程有32:’1 一%1------2(―P)—h2又 31 (1—2，解得 $(—2%1 +3.因为％丄$ ,—槡，槡]，故$$ [3 —2槡，3 + 2 槡"].法2:考虑到F为椭圆的右焦点，故A F_a一ex1 _ 2 一%1B F a一ex2 2 一%2*又 1一($(%2—1)，即％工（1一$(%21) 解 $•考虑到％2 $ [—槡，^一2%槡]，故 $$[3 —2 槡，3 +2，].变式2已知A B是椭圆2+32(1上的两点，；1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若F2A($F2B，且 $$ [ —2，—1]，求F1A •F-的取值范围.变式变式 ^77，7).36 New University Entrance Examination问题^, / ~8) n l 9(1+)) (3)将橢圆上顶点换成其他三个顶点41)2+1’）2+1(5'7(1+»2+1’ 可得#1 一 7(1+))2、^24(1+))#+1)，结论3:直线z 不经过椭圆7+y (1上直线45的斜率为：( 2 _一1 (JO # >X 11 一 4(1 + ))2 1 一 7)24(1+))2+1 一 4)2+1_ 18(1+)) —9k ( 一 (1 + 2))2'4(1+))2+1 7k 2+1① 若k =—1，4,5两点重合，不合题意；②若）％ —1，直线为 y = — (1+12k)# •%+」k +1一72 = 一 1 %一2)(4k 2+1)4k 2+1 (1 + 2k )2 ^一1，因此直线Z 恒过定点（2，一1).这主要考查解析几何的基本知识、基本思想以及运算能力理能力，难度适中，区分度好，而涵着的学习价值.我们不能只停留在题目的解答上，而应进一步深层次的数学内涵，通过变式揭示数学本!! 一题多变，揭示本质(1)本题的逆命题正确吗？结论1设直线Z:：y = k (：r — 2) — 1不经过椭圆C :7 + /=1的上顶点尸（〇，1)，且与椭圆交于两点A ，5,则直线P A 与直线 P 5的斜率之和为定值一1.为()将斜率之和为一1换成任意实数入，可:结论2:直线Z 不经过椭圆7 + /=1上一点P (〇，1)且与椭圆交于两点A ，5,若直线P A 与户5斜率之和为定值A ，则当A = 0 时直线Z 斜率为）当A %0时直线Z 过定点(-2，1).点P (0，一 1)且与椭圆交于两点A ，5,若直线P A 与P 5的斜率之和为A ，则当A = 0时直线Z 斜率为0*当A %0时直线Z 过定点(一2，1).结论7直线z 不经过椭圆7+/ = 1上点P (2,0)且与椭圆交于两点A ，5,若直线P A 与P 5的斜率之和为A ，则当A = 0时直线Z 斜率不存在*当A %0时直线Z 过定点（，-1).结论5 :直线Z 不经过椭圆7 + /=1上点尸（一2,0)且与椭圆交于两点A ，5,若直线P A 与P 5的斜率之和为A ，则当A = 0时直线Z 斜率不存在；当A %0时直线Z 过定()将椭圆方程一般化，同样可得：结论6:直线Z 不经过椭圆%2 + ^ = 1上a #一点P (0，#)且与椭圆交于两点A ，5,若直线凡4与户5斜率之和为定值A ，则当A = 0 时直线Z 斜率为0*当A %0时直线Z 过定结论：直线Z 不经过椭圆%2 + ^ = 1上a #点P (0，一#)且与椭圆交于两点A ，5,若直线P A 与P 5的斜率之和为A ，则当A = 0时直线Z 斜率为0*当A %0时直线Z 过定结论8:直线Z 不经过椭圆%2 + ^ = 1上a #点P (a ，0)且与椭圆交于两点A ，5,若直线 P 4与P 5的斜率之和为A ，则当A = 0时直New University Entrance Examination37数学问题线Z斜率不存在*当A%0时直线Z过定点("，—")•<直线D不 &p点P(—"，0)且与椭圆交于两点A，B，若直线P A k P B的斜率之和为A，则当$(0时直线D斜率不存在；当$%0时直线D过定(5 )将点P换为椭圆上任意一点，可得：结论1〇:直线d不经过椭圆％#+y#=i 上点P(X0，y。

一道全国高中数学预赛题的推广

戈・慨ｚ＝扣（脚２）．
戈仁：：｛ｐｚ．戈仁２２７一・
…）
１２Ｊ（１２）Ｌ
过点Ｒ，则Ｄ点的运动轨迹恰好就是椭圆等＋篓：１．
旷
０一
由椭圆联想到双曲线，于是提出问题２．
问题２：过双曲线≤一芸＝１（血＞ｏ，ｂ＞ｏ）ｆｆ蜮点Ｅ作
旷
０一
由（１晰口（１１）可佩奶＝等．
由（１０）、（１１）和（１２）得ｙ啦＝＿ｐ２．
将（１０）代入抛物线的方程严＝劲戈，整ｆ…＂ｅｌｌ
（１０）２ｘ２印（肛｝
于是Ｄ点的轨迹方程就是椭圆等＋ｉｙＺ＝１．
ａ－０一
２）肼知张ｏ。
显然，ｋ≠０．
定理１：过椭圆三＋芒：１（血＞６＞ｏ）的左焦点Ｆ作一直
ａ－０一
线与椭圆交于４、Ｂ两点，Ｄ为一动点，连接ＡＤ、ＢＤ，分别与椭圆的左准线交于点Ｍ、Ｎ，若以ＭＮ为直径的圆恰好
ｘｏｙｏ（Ｘｌｙ２＋戈巧１）彤商伍２）］＿０．（１）假设直线ＡＢ的斜率存在，可设其方程为产盎（戈＋ｃ）．（２）
答案是血＝５，即Ｄ（５，ｏ）是椭圆等＋篆＝１的右顶点，若
无为“ＤＲ右侧一点”的限制，则Ｄ还可为椭圆的左顶＋６ｚ）戈ｚ＋
２ｅ觑‰＋如氇２一编２＝０．
＼ｃ
ｃ２卜筹＋案＋鼍２２焉２
２
２＋丝兰兰些１＋
。＼以２＋６２觑２＋６
２
觑２＋
２ｂ２
１＝０＇化简缈∽＋厂“……一…～
（８）７５
Ｌ戈２一ＸＯＪｃ
Ｘ２－－Ｘ０
／
１）Ｘ０２＋ａ２Ｄ４（矗２＋１）ｙ０２＝ａ２ｂ６（矗２＋１）．
高中版十・？毒：｝＝・－ｇ
万方数据
鍪蓁誊解法探究
凼确６（矗２＋１）≠０，故司在（８）两端剐除以编６（矗２＋１），

圆锥曲线竞赛中的常见题型

专业精心策划Ｓ高二数学爱好者数学爱好者课余揽胜▲湖南李生茂近几年的全国高中数学联赛中，对圆锥曲线这部分内容考查，一般是一个解答题再加一个选择题或填空题，分值大约是２６分或２９分，其题型比较稳定．解决的策略主要是以坐标法为切入点，运算技能则是解决这方面问题的关键点．一、探求轨迹问题例１已知过点（０，１）的直线ｌ与曲线Ｃ：ｙ＝ｘ＋１ｘ（ｘ＞０）交于两个不同点Ｍ和Ｎ．（１）求证：与曲线Ｃ相切于点（ｘ０，ｙ０）的切线斜率ｋ＝１－１ｘ０２；（２）求曲线Ｃ在点Ｍ、Ｎ处切线的交点轨迹．分析由直线与曲线相切知，通过联立两方程成方程组后，消元得到的一元二次方程，根据判别式及韦达定理，进而可求得斜率的值．第二问则可以按交轨法求得．解析（１）设相切于点（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则由已知得ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｙ＝ｋｘ＋ｂ"$$$#$$$%．消去ｙ，得ｘ＋１ｘ＝ｋｘ＋ｂ，即（ｋ－１）ｘ２＋ｂｘ－１＝０，因为直线与曲线相切，则上述方程有两相等正实数根，且这个根就是ｘ０，可知ｋ≠１，所以Δ＝ｂ２＋４（ｋ－１）＝０，且ｘ０＝－ｂ２（ｋ－１），即ｂ＝－２ｘ０（ｋ－１），消去ｂ得ｋ＝１－１ｘ０２；（２）设交点Ｍ、Ｎ分别为（ｘ１，ｙ１）和（ｘ２，ｙ２），曲线Ｃ在点Ｍ、Ｎ处的切线分别为ｌ１、ｌ２，其交点Ｐ的坐标为（ｘｐ，ｙｐ）．若直线ｌ的斜率为ｋ，则ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１．由方程组ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｙ＝ｋｘ＋"$$$’$$$%１消去ｙ，得ｘ＋１ｘ＝ｋｘ＋１，即（ｋ－１）ｘ２＋ｘ－１＝０．由题意知，该方程在（０，＋∞）上有两个相异的实根ｘ１、ｘ２，故ｋ≠１，且Δ＝１＋４（ｋ－１）＞０，①ｘ１＋ｘ２＝１１－ｋ＞０，②ｘ１ｘ２＝１１－ｋ＞０，③由此解得３４＜ｋ＜１，由（１）知，直线在（ｘ１，ｙ１）和（ｘ２，ｙ２）点处的切线斜率分别是ｋ１＝１－１ｘ１２，ｋ２＝１－１ｘ２２，于是直线ｌ１的方程为ｙ－ｙ１＝１－１ｘ１２()（ｘ－ｘ１），即ｙ－ｘ１＋１ｘ１(*＝１－１ｘ１２+*（ｘ－ｘ１），圆锥曲线竞赛中的常见题型ｃｈａｎｇｊｉａｎｔｉｘｉｎｇ$%&专业精心策划高二数学爱好者Ｓ数学爱好者课余揽胜化简后得到直线ｌ１的方程为ｙ＝１－１ｘ１２!"ｘ＋２ｘ１，④同理可求得直线ｌ２的方程为ｙ＝１－１ｘ２２!"ｘ＋２ｘ２，⑤④－⑤得１ｘ２２－１ｘ１２!"ｘＰ＋２ｘ１－２ｘ２＝０，因为ｘ１≠ｘ２，故有ｘＰ＝２ｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２，⑥将②、③两式代入⑥式得ｘＰ＝２．④＋⑤得２ｙＰ＝２－１ｘ１２＋１ｘ２２!"$%ｘＰ＋２１ｘ１＋１ｘ２!"，⑦其中１ｘ１＋１ｘ２＝ｘ１＋ｘ２ｘ１ｘ２＝１，１ｘ１２＋１ｘ２２＝ｘ１２＋ｘ２２ｘ１２ｘ２２＝（ｘ１＋ｘ２）２－２ｘ１ｘ２ｘ１２ｘ２２＝ｘ１＋ｘ２ｘ１ｘ２!"２－２ｘ１ｘ２＝１－２（１－ｋ）＝２ｋ－１，代入⑦式得２ｙＰ＝（３－２ｋ）ｘＰ＋２，而ｘＰ＝２，得ｙＰ＝４－２ｋ．又由３４＜ｋ＜１得２＜ｙＰ＜５２，即点Ｐ的轨迹为（２，２）、（２，２．５）两点间的线段（不含端点）．点评此题是典型的直线与圆锥曲线的位置关系问题，常用的解题策略是设而不求，变式消元，利用韦达定理沟通坐标与参数的关系．在求轨迹方程时应该注意曲线的完备性和纯粹性．二、求参数的取值范围例２平面直角坐标系ｘＯｙ中，给定三点Ａ０，４３!"、Ｂ（－１，０）、Ｃ（１，０），点Ｐ到直线ＢＣ的距离是该点到直线ＡＢ、ＡＣ距离的等比中项．（１）求点Ｐ的轨迹方程；（２）直线ｌ经过三角形ＡＢＣ的内心（设为Ｄ），且与Ｐ点的轨迹恰好有３个公共点，求ｌ的斜率ｋ的取值范围．分析第一问利用直接法便可求得轨迹方程．第二问求取值范围，根据直线与曲线相交问题转化为方程的问题来解．解（１）直线ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的方程依次为ｙ＝４３（ｘ＋１），ｙ＝－４３（ｘ－１），ｙ＝０．点Ｐ（ｘ，ｙ）到ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的距离依次为ｄ１＝１５４ｘ－３ｙ＋４，ｄ２＝１５４ｘ＋３ｙ－４，ｄ３＝ｙ，依题有ｄ１ｄ２＝ｄ３２，得１６ｘ２－（３ｙ－４）２＝２５ｙ２，即１６ｘ２－（３ｙ－４）２＋２５ｙ２＝０，或１６ｘ２－（３ｙ－４）２－２５ｙ２＝０，即Ｐ的轨迹方程为圆Ｓ：２ｘ２＋２ｙ２＋３ｙ－２＝０与双曲线Ｔ：８ｘ２－１７ｙ２＋１２ｙ－８＝０；（２）由（１）知，点Ｐ的轨迹包含两部分：圆Ｓ：２ｘ２＋２ｙ２＋３ｙ－２＝０，①和双曲线Ｔ：８ｘ２－１７ｙ２＋１２ｙ－８＝０．②因为Ｂ（－１，０）和Ｃ（１，０）是适合题设条件的点，所以点Ｂ和点Ｃ在点Ｐ的轨迹上，且点Ｐ的轨迹曲线Ｓ与Ｔ的公共点只有Ｂ、Ｃ两点．三角形ＡＢＣ的内心Ｄ也是适合题设条件的点，由ｄ１＝ｄ２＝ｄ３，解得Ｄ０，１２!"，且知它在圆Ｓ上．直线ｌ经过Ｄ，且与点Ｐ的轨迹有３个公共点，所以ｌ的斜率存在，设ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１２，③（ｉ）当ｋ＝０时，ｌ与圆Ｓ相切，有唯一的公共点Ｄ；此时，直线ｙ＝１２平行于ｘ轴，表明ｌ与双曲线有不同于Ｄ的两个公共点，所以ｌ恰好与点Ｐ的轨迹有３个公共点．（ｉｉ）当ｋ≠０时，ｌ与圆Ｓ有两个不同的交点，这时，ｌ与点Ｐ的轨迹恰有３个公共点，只能下面两种情况：情况１：直线ｌ经过点Ｂ或点Ｃ，此时ｌ的斜率ｋ＝±１２，直线ｌ的方程为ｘ＝±（２ｙ－１）．代入方程②得ｙ（３ｙ－４）＝０，解得Ｅ５３，４３!"或Ｆ－５３，４３!"．()*专业精心策划Ｓ高二数学爱好者数学爱好者课余揽胜表明直线ＢＤ与曲线Ｔ有２个交点Ｂ、Ｅ；直线ＣＤ与曲线Ｔ有２个交点Ｃ、Ｆ．故当ｋ＝±１２时，ｌ恰好与点Ｐ的轨迹有３个公共点．情况２：直线ｌ不经过点Ｂ和Ｃ（即ｋ≠±１２），因为ｌ与Ｓ有两个不同的交点，所以ｌ与双曲线Ｔ有且只有一个公共点，即方程组８ｘ２－１７ｙ２＋１２ｙ－８＝０，ｙ＝ｋｘ＋１２"$$$#$$$%有且只有一组实数解，消去ｙ并化简得（８－１７ｋ２）ｘ２－５ｋｘ－２５４＝０，该方程有唯一实数解的充要条件是８－１７ｋ２＝０，④或（－５ｋ）２＋４（８－１７ｋ２）２５４＝０，⑤解方程④得ｋ＝±２３４&１７，解方程⑤得ｋ＝±２&２．综上可得：直线ｌ的斜率ｋ的取值范围是有限集０，±１２，±２３４&１７，±２&２’(．点评本题主要先是通过直接法求曲线的方程，然后用方程的思想去解决直线和圆锥曲线的交点问题，对直线的斜率及方程根的分布要进行分类讨论则是本题的难点，在思想方法上体现了方程的思想、分类讨论思想及数形结合思想．三、探求有关的性质例３设Ａ、Ｂ分别为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）和双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的公共的左、右顶点，Ｐ、Ｑ分别为双曲线和椭圆上不同于Ａ、Ｂ的动点，且满足Ａ)*Ｐ＋Ｂ)*Ｐ＝λ（Ａ)*Ｑ＋Ｂ)*Ｑ）（λ∈Ｒ，λ＞１）．设直线ＡＰ、ＢＰ、ＡＱ、ＢＱ的斜率分别为ｋ１、ｋ２、ｋ３、ｋ４．（１）ｋ１＋ｋ２＋ｋ３＋ｋ４是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，则说明理由；（２）设Ｆ１、Ｆ２分别为椭圆和双曲线的右焦点，若ＰＦ２∥ＱＦ１，求证：ｋ１２＋ｋ２２＋ｋ３２＋ｋ４２＝８．分析本题是探求定值问题，有两个已知方程，Ａ、Ｂ点的坐标可表示出来，再设两个Ｐ、Ｑ两个坐标参数，可把四条直线的斜率一一表示出来，然后计算斜率的关系．解（１）设Ｐ、Ｑ两点的坐标分别为Ｐ（ｘ１，ｙ１）、Ｑ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１２ａ２－ｙ１２ｂ２＝１，ｘ２２ａ２－ｙ２２ｂ２＝１．则ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１＋ａ＋ｙ１ｘ１－ａ＝２ｘ１ｙ１ｘ１２－ａ２＝２ｂ２ａ２·ｘ１ｙ１，①同理可得ｋ３＋ｋ４＝－２ｂ２ａ２·ｘ２ｙ２，②设Ｏ为原点，则２Ｏ)*Ｐ＝Ａ)*Ｐ＋Ｂ)*Ｐ＝λ（Ａ)*Ｑ＋Ｂ)*Ｑ）＝２λＯ)*Ｑ，所以Ｏ)*Ｐ＝λＯ)*Ｑ，Ｏ、Ｐ、Ｑ三点共线，于是得ｘ１ｙ１＝ｘ２ｙ２．由①、②得ｋ１＋ｋ２＋ｋ３＋ｋ４＝０；（２）由点Ｑ在椭圆上，有ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１．由Ｏ)*Ｐ＝λＯ)*Ｑ，得（ｘ１，ｙ１）＝λ（ｘ２，ｙ２）．所以ｘ２＝１λｘ１，ｙ２＝１λｙ１，即ｘ１２ａ２＋ｙ１２ｂ２＝λ２，③又由点Ｐ在双曲线上，有ｘ１２ａ２－ｙ１２ｂ２＝１，④由③、④得ｘ１２＝λ２＋１２ａ２，ｙ１２＝λ２－１２ｂ２，因为ＰＦ２∥ＱＦ１，所以ＯＦ２＝λＯＦ１，所以λ２＝ａ２＋ｂ２ａ２－ｂ２，ｘ１２ｙ１２＝（λ２＋１）ａ２（λ２－１）ｂ２＝ａ４ｂ４，由①得（ｋ１＋ｋ２）２＝４ｂ４ａ４·ｘ１２ｙ１２＝４，同理可得（ｋ３＋ｋ４）２＝４，另一方面ｋ１ｋ２＝ｙ１ｘ１＋ａ·ｙ１ｘ１－ａ＝ｂ２ａ２．类似地，ｋ３ｋ４＝－ｂ２ａ２，故ｋ１２＋ｋ２２＋ｋ３２＋ｋ４２＝（ｋ１＋ｋ２）２＋（ｋ３＋ｋ４）２－２（ｋ１ｋ２＋ｋ３ｋ４）＝８．点评坐标法是解析几何中的最基本也是最重要的方法，它的思维较简单，只是需要计算便可达到目的，另外本题中巧妙地抓住了各点的“对称性”，简化了计算．()*。

圆锥曲线中一类问题的推广及应用

垒：旦
（＋１ｋ）一ｅ‘
（ｙ＋ｍｂＹ＋ｔ一ａ）＝．６ｍ＋ａ）２２ｔｂ（Ｏ
由韦达定理知
、
．
一；
例１已知椭圆ｃ：＋＝１０＞ｂ＞ｏ的离ｘ（）
＝
等
心率为，右焦点Ｆ且斜率为后＞过０的直线与Ｃ
相交于点ＡＢ若：，％，．３则：
Ａ．１Ｂ．ＣＤ．２
（
）
又由：ＴｉＡ— 导Ｂ＇（一，Ｙ）＝Ａ（２，２，ｔ１一１一ｔＹ）于是＝一Ａ因为．
２ｔ２ｍｂ
．
（００年全国数学高考试题）２１
线中的这一类问题．命题１过点（，）ｔ￡０（ ≠０且ｔ ±ａ，率 ≠ ）斜
即
（（ｓ ’ ｔ一ａ）ａｋ＋ｂ）
＝．
推论１过离心率为ｅ的椭圆ｃ＋＝１：
ａＤ
（ｂ＞０的左焦点Ｆ（一Ｃ０（右焦点Ｆ（，ａ＞），）或Ｃ
口（）一ｃ一后＋１
４ｅ
解得
故选Ａ．
ｅ＿．＝１
（）一ｅ‘ 后＋１
例４已双曲：一１口ｏ６０知线ｃ告＝（＞，＞）
ＡＢ若：一则Ｃ的离心率为，．４ＢＦ
，
例３已知Ｆ是椭圆Ｃ的一个焦点，是短轴的一个端点，段Ｂ线Ｆ的延长线交Ｃ于点Ｄ，且
—ｋｔ‘ ２
，
则椭圆的离心率等于

山东省高考22题——一个圆锥曲线性质的推广

山东省高考２２题一个圆锥曲线性质的推广苏凡文(山东省泰安宁阳一中㊀２７１４００)摘㊀要:山东省高考２２题蕴含着丰富的内涵ꎬ本文基于此题ꎬ推广得到圆锥曲线的几个性质.关键词:高考ꎻ圆锥曲线ꎻ推广中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００２７－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:苏凡文(１９７７.１１－)ꎬ男ꎬ山东省泰安人ꎬ大学ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀(山东高考２２)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的离心率为２２ꎬ且过点Ａ(２ꎬ１).(１)求Ｃ的方程ꎻ(２)点ＭꎬＮ在Ｃ上ꎬ且ＡＭʅＡＮꎬＡＤʅＭＮꎬＤ为垂足.证明:存在定点Ｑꎬ使得｜ＤＱ｜为定值.解析㊀(１)ｘ２６＋ｙ２３＝１.(２)①直线ＭＮ不垂直于ｘ轴时ꎬ设ＭＮ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).由ｘ２６＋ｙ２３＝１ꎬｙ＝ｋｘ＋ｍ{消去ｙ可得(２ｋ２＋１)ｘ２＋４ｋｍｘ＋２ｍ２－６＝０.由韦达定理可得ｘ１＋ｘ２＝－４ｋｍ２ｋ２＋１ꎬｘ１ｘ２＝２ｍ２－６２ｋ２＋１ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｍ２ｋ２＋１ꎬｙ１ｙ２＝ｍ２－６ｋ２２ｋ２＋１.由ＡＭʅＡＮ得ＡＭңʅＡＮңꎬ所以ＡＭң ＡＮң＝０ꎬ(ｘ１－２ꎬｙ１－１) (ｘ２－２ꎬｙ２－１)＝０ꎬ所以ｘ１ｘ２－２(ｘ１＋ｘ２)－(ｙ１＋ｙ２)＋ｙ１ｙ２＋５＝０ꎬ即４ｋ２＋８ｋｍ＋３ｍ２－２ｍ－１＝０ꎬ(２ｋ＋３ｍ＋１)(２ｋ＋ｍ－１)＝０ꎬ所以ｍ＝－２３ｋ－１３或ｍ＝１－２ｋ.㊀ｍ＝－２３ｋ－１３时ꎬＭＮ:ｙ＝ｋ(ｘ－２３)－１３ꎬ直线ＭＮ过定点Ｔ(２３ꎬ－１３)ꎻｍ＝１－２ｋ时ꎬＭＮ:ｙ＝ｋ(ｘ－２)＋１ꎬ直线ＭＮ过定点Ａ(２ꎬ１)ꎬ舍.因为ＡＤʅＭＮꎬＤ为垂足ꎬ所以Ｄ在以ＡＴ为直径的圆上.取ＡＴ中点为Ｑꎬ则Ｑ(４３ꎬ１３)ꎬ且｜ＤＱ｜＝(２－４３)２＋(１－１３)２＝２２３ꎬ为定值.②直线ＭＮ垂直于ｘ轴时ꎬ设Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＮ(ｘ０ꎬ－ｙ０)且ｘ０ʂ２.由ＡＭʅＡＮ得ＡＭңʅＡＮңꎬ所以ＡＭң ＡＮң＝０ꎬ于是得(ｘ０－２ꎬｙ０－１) (ｘ０－２ꎬ－ｙ０－１)＝０ꎬ即ｘ２０－４ｘ０－ｙ２０＋５＝０.因为ｙ２０＝３－ｘ２０２ꎬ所以３ｘ２０－８ｘ０＋４＝０ꎬ(３ｘ０－２)(ｘ０－２)＝０.因为ｘ０ʂ２ꎬ所以ｘ０＝２３ꎬ因为ＡＤʅＭＮꎬ所以Ｄ(２３ꎬ１)ꎬ满足｜ＤＱ｜＝２２３.综上可得存在定点Ｑ(４３ꎬ１３)ꎬ使得｜ＤＱ｜为定值.推广一㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与椭圆分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).证明㊀过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬ交椭圆于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＡＢ的斜率存在时ꎬ令ＡＢ所在直线为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬＰＡң(ｘ１－ｘ０ꎬｙ１－ｙ０)ꎬＰＢң＝(ｘ２－ｘ０ꎬｙ２－ｙ０).因为ＰＡңʅＰＢңꎬ得ＰＡң ＰＢң＝０ꎬ所以(ｘ１－ｘ０) (ｘ２－ｘ０)＋(ｙ１－ｙ０) (ｙ２－ｙ０)＝０ꎬ即有ｘ１ｘ２－(ｘ１＋ｘ２)ｘ０＋ｘ２０＋ｙ１ｙ２－(ｙ１＋ｙ２)ｙ０＋ｙ２０＝０①.７２联立直线ＡＢ与椭圆方程得(ｂ２＋ｋ２ａ２)ｘ２＋２ｋｍａ２ｘ＋(ｍ２ａ２－ａ２ｂ２)＝０ꎬ由韦达定理有ｘ１＋ｘ２＝－２ｋｍａ２ｂ２＋ｋ２ａ２②ꎬｘ１ｘ２＝ｍ２ａ２－ａ２ｂ２ｂ２＋ｋ２ａ２③.又Ａ㊁Ｂ都在直线ＡＢ上ꎬ则有ｙ１＝ｋｘ１＋ｍꎬｙ２＝ｋｘ２＋ｍꎬ两式相加得ｙ１＋ｙ２＝ｋ(ｘ１＋ｘ２)＋２ｍ＝２ｍｂ２ｂ２＋ｋ２ａ２④ꎬ两式相乘得ｙ１ｙ２＝ｋ２ｘ１ｘ２＋ｋｍ(ｘ１＋ｘ２)＋ｍ２＝ｍ２ｂ２－ｋ２ａ２ｂ２ｂ２＋ｋ２ａ２⑤.将②③④⑤代入①得ａ２[(ｋｘ０＋ｍ)２＋ｂ２(ｘ２０ａ２－１)]＋ｂ２[(ｙ０－ｍ)２＋ｋ２ａ２(ｙ２０ｂ２－１)]＝０.因为点Ｐ在椭圆上ꎬ则ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬ即有ｘ２０ａ２－１＝－ｙ２０ｂ２ꎬｙ２０ｂ２－１＝－ｘ２０ａ２ꎬ于是有ａ２[(ｋｘ０＋ｍ)２－ｙ２０]＋ｂ２[(ｙ０－ｍ)２－ｋ２ｘ２０)]＝０ꎬ即有ａ２(ｋｘ０＋ｍ＋ｙ０) (ｋｘ０＋ｍ－ｙ０)＋ｂ２(ｙ０－ｍ＋ｋｘ０) (ｙ０－ｍ－ｋｘ０)＝０.因Ｐ不在直线ＡＢ上ꎬ则ｋｘ０＋ｍ－ｙ０ʂ０ꎬ所以有ａ２(ｋｘ０＋ｍ＋ｙ０)＝ｂ２(ｙ０－ｍ＋ｋｘ０)ꎬ整理得ｍ＝(ｂ２－ａ２)(ｋｘ０＋ｙ０)ａ２＋ｂ２ꎬ代入直线ＡＢ得ｙ＝ｋｘ＋ｍ＝ｋｘ＋(ｂ２－ａ２)(ｋｘ０＋ｙ０)ａ２＋ｂ２ꎬ即有ｙ－(ｂ２－ａ２)ｙ０ａ２＋ｂ２＝ｋ(ｘ－(ａ２－ｂ２)ｘ０ａ２＋ｂ２).所以直线ＡＢ过定点((ａ２－ｂ２)ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ(ｂ２－ａ２)ｙ０ａ２＋ｂ２)ꎬ即(ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).②若直线ＡＢ垂直于ｘ轴ꎬ即ＡＢ的斜率不存在ꎬ令直线ＡＢ为ｘ＝ｍ(－ａ<ｍ<ａ)ꎬ则Ａ(ｍꎬ－ｂａ２－ｍ２ａ)ꎬＢ(ｍꎬｂａ２－ｍ２ａ)ꎬＰＡң＝(ｘ０－ｍꎬｙ０＋ｂａ２－ｍ２ａ)ꎬＰＢң＝(ｘ０－ｍꎬｙ０－ｂａ２－ｍ２ａ).因为ＰＡңʅＰＢңꎬ得ＰＡң ＰＢң＝０ꎬ所以(ｘ０－ｍ)２＋ｙ２０－ｂ２(ａ２－ｍ２)ａ２＝０ꎬ即(ａ２ｙ２０－ａ２ｂ２＋ｂ２ｍ２)＋ａ２(ｘ０－ｍ)２＝０ꎬｂ２(－ｘ２０＋ｍ２)＝－ａ２(ｘ０－ｍ２).因为ｘ０ʂｍꎬ所以ｍ＝(ａ２－ｂ２)ｘ０ａ２＋ｂ２.显然此时ＡＢ过点((ａ２－ｂ２)ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ(ｂ２－ａ２)ｙ０ａ２＋ｂ２)ꎬ即(ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).综上ꎬ直线ＡＢ过定点(ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).推广二㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆为ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与椭圆分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(－ｃ２ｘ０ａ２＋ｂ２ꎬｃ２ｙ０ａ２＋ｂ２).推广三㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０ꎬａʂｂ)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与双曲线分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(ｃ２ｘ０ａ２－ｂ２ꎬ－ｃ２ｙ０ａ２－ｂ２).推广四㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０ꎬａʂｂ)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与双曲线分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(－ｃ２ｘ０ａ２－ｂ２ꎬｃ２ｙ０ａ２－ｂ２).推广五㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为有心圆锥曲线ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与椭圆分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点((ｍ－ｎ)ｘ０ｍ＋ｎꎬ(ｎ－ｍ)ｙ０ｍ＋ｎ).推广六㊀点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上任意一点ꎬ过点Ｐ作ＰＡʅＰＢꎬＰＡ㊁ＰＢ与抛物线分别交于异于点Ｐ的点Ａ㊁Ｂꎬ则直线ＡＢ过定点(ｘ０＋２ｐꎬ－ｙ０).㊀㊀参考文献:[１]吉沙娟.仔细探索规律ꎬ准确确定范围[Ｊ].新世纪智能ꎬ２０１８(３５):２９－３０.[责任编辑:李㊀璟]８２。

一道2020年高考圆锥曲线试题的探究与推广

一道２０２０年高考圆锥曲线试题的探究与推广喻秋生(广东省深圳实验学校高中部㊀５１８０５５)摘㊀要:本文对２０２０年高考(北京卷)圆锥曲线试题进行探究ꎬ并将椭圆中发现的一般性结论推广到其它圆锥曲线中.关键词:椭圆ꎻ动直线ꎻ中点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)１０－０００４－０２收稿日期:２０２１－０１－０５作者简介:喻秋生ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ广东省特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁问题的提出２０２０年高考(北京卷)第２０题是求值问题ꎬ该试题如下:试题㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１过点Ａ(－２ꎬ－１)ꎬ且ａ＝２ｂ.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)过点Ｂ(－４ꎬ０)的直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮꎬ直线ＭＡꎬＮＡ分别交直线ｘ＝－４于点ＰꎬＱ.求ＰＢＢＱ的值.略解㊀(１)椭圆Ｃ的方程为ｘ２８＋ｙ２２＝１.(２)如图１ꎬ直线ｌ的斜率存在ꎬ设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ(ｘ＋４)ꎬ由ｙ＝ｋ(ｘ＋４)ꎬｘ２８＋ｙ２２＝１ꎬ{消去ｙ化简ꎬ得(４ｋ２＋１)ｘ２＋３２ｋ２ｘ＋６４ｋ２－８＝０ꎬ设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝－３２ｋ２４ｋ２＋１ꎬｘ１ｘ２＝６４ｋ２－８４ｋ２＋１ꎬ直线ＡＭ:ｙ＋１＝ｙ１＋１ｘ１＋２(ｘ＋２)ꎬ令ｘ＝－４ꎬ得点Ｐ的纵坐标ｙＰ＝－ｘ１－２ｙ１－４ｘ１＋２ꎬ同理ꎬ得点Ｑ的纵坐标ｙＱ＝－ｘ２－２ｙ２－４ｘ２＋２ꎬʑｙＰ＋ｙＱ＝－ｘ１－２ｙ１－４ｘ１＋２＋－ｘ２－２ｙ２－４ｘ２＋２.把ｙ１＝ｋ(ｘ１＋４)ꎬｙ２＝ｋ(ｘ２＋４)代入上式化简ꎬ得ｙＰ＋ｙＱ＝－(４ｋ＋２)[ｘ１ｘ２＋３(ｘ１＋ｘ２)＋８]ｘ１ｘ２＋２(ｘ１＋ｘ２)＋４ꎬȵｘ１ｘ２＋３(ｘ１＋ｘ２)＋８＝６４ｋ２－８４ｋ２＋１＋３－３２ｋ２４ｋ２＋１＋８＝０ꎬʑｙＰ＋ｙＱ＝０ꎬ则ＰＢＢＱ＝１.在这道试题中ꎬ椭圆Ｃ是给定的椭圆ꎬ点Ａ㊁Ｂ分别是椭圆Ｃ㊁ｘ轴上的特殊点ꎬ通过计算发现点Ｂ为ＰＱ的中点.如果椭圆Ｃ是任意的椭圆ꎬ点Ａ㊁点Ｂ分别是椭圆Ｃ㊁ｘ轴上的任意点ꎬ是否仍然有对任意过点Ｂ的直线ｌꎬ都使得点Ｂ为ＰＱ的中点这一结论呢?问题㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ上ꎬ过点Ｂ(ｍꎬ０)(ｍʂｘ０)的动直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮꎬ直线ＭＡꎬＮＡ分别交过点Ｂ且垂直于ｘ轴的直线于点ＰꎬＱ.当且仅当点Ａ㊁Ｂ的坐标满足怎样的关系时ꎬ点Ｂ为ＰＱ的中点?㊀㊀二㊁问题的探究当直线ｌ垂直于ｘ轴且与椭圆有交点时ꎬ点ＰꎬＱ即为ＭꎬＮꎬ点Ｂ为ＰＱ的中点.当直线ｌ不垂直于ｘ轴时ꎬ设动直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ(ｘ－ｍ)ꎬ联立ｙ＝ｋ(ｘ－ｍ)ꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ{消去ｙ并整理ꎬ得(ａ２ｋ２＋ｂ２)ｘ２－２ｍａ２ｋ２ｘ＋ａ２ｋ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０ꎬ设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)㊁Ｎ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｍａ２ｋ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬｘ１ｘ２＝４ａ２ｋ２ｍ２－ａ２ｂ２ａ２ｋ２＋ｂ２.①直线ＡＭ的方程为ｙ－ｙ０＝ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０(ｘ－ｘ０)ꎬ令ｘ＝ｍꎬ得点Ｐ的纵坐标为ｙＰ＝ｙ０＋ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０(ｍ－ｘ０)ꎬ同理ꎬ点Ｑ的纵坐标为ｙＱ＝ｙ０＋ｙ２－ｙ０ｘ２－ｘ０(ｍ－ｘ０)ꎬ则ｙＰ＋ｙＱ＝２ｙ０＋(ｍ－ｘ０)(ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＋ｙ２－ｙ０ｘ２－ｘ０)ꎬ对任意动直线ｌꎬ要使点Ｂ为ＰＱ的中点ꎬ即对任意实数ｋꎬ要使ｙＰ＋ｙＱ＝０ꎬȵｍ－ｘ０ʂ０ꎬ２ｙ０ꎬｍ－ｘ０为常数ꎬʑｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＋ｙ２－ｙ０ｘ２－ｘ０的值必须为定值ꎬȵｙ１＝ｋ(ｘ１－ｍ)ꎬｙ２＝ｋ(ｘ２－ｍ)ꎬʑｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＋ｙ２－ｙ０ｘ２－ｘ０＝２ｋｘ１ｘ２－(ｋｍ＋ｋｘ０＋ｙ０)(ｘ１＋ｘ２)＋２ｋｍｘ０＋２ｘ０ｙ０ｘ１ｘ２－ｘ０(ｘ１＋ｘ２)＋ｘ０２ꎬ将①式代入上式化简ꎬ得ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＋ｙ２－ｙ０ｘ２－ｘ０＝２ｙ０ａ２(ｘ０－ｍ)ｋ２＋２ｂ２(ｍｘ０－ａ２)ｋ＋２ｘ０ｙ０ｂ２ａ２(ｍ－ｘ０)２ｋ２＋ｂ２(ｘ０２－ａ２)ꎬ②由于②式中分母没有ｋ的一次项ꎬ要使ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＋ｙ２－ｙ０ｘ２－ｘ０的值为定值ꎬ②式中分子的ｋ的一次项系数必须为０ꎬ即ｍｘ０＝ａ２.当ｍｘ０＝ａ２时ꎬｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＋ｙ２－ｙ０ｘ２－ｘ０＝２ｘ０ｙ０[ａ２(ｘ０２－ａ２)ｋ２＋ｘ０２ｂ２](ｘ０２－ａ２)[ａ２(ｘ０２－ａ２)ｋ２＋ｘ０２ｂ２]＝２ｘ０ｙ０ｘ０２－ａ２ꎬ则ｙＰ＋ｙＱ＝２ｙ０＋(ａ２ｘ０－ｘ０) ２ｘ０ｙ０ｘ０２－ａ２＝０.接下来我们研究ꎬ当ｍｘ０＝ａ２时ꎬ直线ＡＢ与椭圆Ｃ的位置关系:因为点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上ꎬ所以椭圆Ｃ在点Ａ处的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ令ｙ＝０ꎬ得ｘ＝ａ２ｘ０.当ｍｘ０＝ａ２时ꎬｍ＝ａ２ｘ０ꎬ点Ｂ的坐标为(ａ２ｘ０ꎬ０)ꎬ此时直线ＡＢ与椭圆Ｃ相切.因此ꎬ我们得到结论:结论１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ上ꎬ过点Ｂ(ｍꎬ０)(ｍʂｘ０)的动直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮꎬ直线ＭＡꎬＮＡ分别交过点Ｂ且垂直于ｘ轴的直线于点ＰꎬＱ.当且仅当ｍｘ０＝ａ２ꎬ即直线ＡＢ为椭圆Ｃ的切线时ꎬ点Ｂ为ＰＱ的中点.在结论１中ꎬ点Ｂ在ｘ轴上ꎬ如果点Ｂ在ｙ轴上ꎬ可以得出下面的结论ꎬ证明过程略.结论２㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ上ꎬ过点Ｂ(０ꎬｍ)(ｍʂｙ０)的动直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮꎬ直线ＭＡꎬＮＡ分别交过点Ｂ且垂直于ｙ轴的直线于点ＰꎬＱ.当且仅当ｍｙ０＝ｂ２ꎬ即直线ＡＢ为椭圆Ｃ的切线时ꎬ点Ｂ为ＰＱ的中点.在圆中ꎬ经研究也有类似的结论:结论３㊀已知圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２＝ｒ２ꎬ点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在圆Ｃ上ꎬ过点Ｂ(ｍꎬ０)(ｍʂｘ０)的动直线ｌ与圆Ｃ交于ＭꎬＮꎬ直线ＭＡꎬＮＡ分别交过点Ｂ且垂直于ｘ轴的直线于点ＰꎬＱ.当且仅当ｍｘ０＝ｒ２ꎬ即直线ＡＢ为圆Ｃ的切线时ꎬ点Ｂ为ＰＱ的中点.㊀㊀三㊁问题的推广如果曲线Ｃ为双曲线或抛物线ꎬ经研究也有类似的结论:结论４㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ꎬ点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在双曲线Ｃ上ꎬ过点Ｂ(ｍꎬ０)(ｍʂｘ０)的动直线ｌ与双曲线Ｃ交于ＭꎬＮꎬ直线ＭＡꎬＮＡ分别交过点Ｂ且垂直于ｘ轴的直线于点ＰꎬＱ.当且仅当ｍｘ０＝ａ２ꎬ即直线ＡＢ为双曲线Ｃ的切线时ꎬ点Ｂ为ＰＱ的中点.结论５㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ꎬ点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在双曲线Ｃ上ꎬ过点Ｂ(０ꎬｍ)(ｍʂｙ０)的动直线ｌ与双曲线Ｃ交于ＭꎬＮꎬ直线ＭＡꎬＮＡ分别交过点Ｂ且垂直于ｙ轴的直线于点ＰꎬＱ.当且仅当ｍｙ０＝－ｂ２ꎬ即直线ＡＢ为双曲线Ｃ的切线时ꎬ点Ｂ为ＰＱ的中点.结论６㊀已知抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘꎬ点Ａ(ｘ０ꎬｙ０)在抛物线Ｃ上ꎬ过点Ｂ(ｍꎬ０)(ｍʂｘ０)的动直线ｌ与抛物线Ｃ交于ＭꎬＮꎬ直线ＭＡꎬＮＡ分别交过点Ｂ且垂直于ｘ轴的直线于点ＰꎬＱ.当且仅当ｍ＋ｘ０＝０ꎬ即直线ＡＢ为抛物线Ｃ的切线时ꎬ点Ｂ为ＰＱ的中点.上面三个结论的证明与结论１的证明类似ꎬ证明过程略.㊀㊀参考文献:[１]喻秋生.一道２０１９年高考圆锥曲线试题的探究与发现[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０１９(１５):１２－１３.[责任编辑:李㊀璟]５。

一道高中数学竞赛题的证明及推广——圆锥曲线切线的一个性质

一道高中数学竞赛题的证明及推广——圆锥曲线切线的一个性质袁京生;郭璋【摘要】2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题第13题是一道解析几何综合题，它全面考查了解析几何的基础知识和基本方法，技巧性强，最为重要的是它是一道有圆锥曲线切线背景的解析几何题．本文拟对其进行证明及推广．【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2008(000)011【总页数】3页(P33-35)【关键词】全国高中数学联赛;曲线切线;数学竞赛题;圆锥;证明;解析几何题;性质;几何综合题【作者】袁京生;郭璋【作者单位】朝阳区教育研究中心,北京100028【正文语种】中文【中图分类】G633.62007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题第13题是一道解析几何综合题，它全面考查了解析几何的基础知识和基本方法，技巧性强,最为重要的是它是一道有圆锥曲线切线背景的解析几何题.本文拟对其进行证明及推广.1 证明原题过点Q(-1，-1)作已知直线的平行线，交双曲线于点M,N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：3条直线l，l1，l2相交于同一点；(3)设点P为直线l上一动点，过点P作双曲线的切线PA，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上.(2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题)图1证明 (1)如图1，直线MN的方程为代入双曲线方程得3x2+6x-25=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的2个根，从而x1+x2=-2，于是故Q(-1，-1)是线段MN的中点.(2)如图1，双曲线的过点M，N的切线方程分别为l1：l2：两式相加,并将x1+x2=-2，y1+y2=-2代入得这说明，直线l1，l2的交点在直线上，即3条直线l,l1，l2相交于同一点.(3)如图1，设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则PA，PB的方程分别为和因为点P在这两条直线上，所以和这表明，点A，B都在直线上,即直线AB的方程为又代入整理得显然，无论x0取什么值(即无论点P为直线l上哪一点)，点Q(-1，-1)都在直线AB上.这个题目的第(2)小题说明，当定点为弦的中点时，弦平行于切线交点的轨迹；第(3)小题说明，在双曲线中，过定点弦的2个端点的切线交点的轨迹是一条直线.针对以上两种情况，在一般的双曲线、椭圆和抛物线中进行实验，发现都能成立，于是得到圆锥曲线切线的一个性质.下面对有心圆锥曲线和无心圆锥曲线分别给出证明.2 推广定理1 设有心圆锥曲线方程为αx2+βy2=1(α>0，β>0或α，β异号)，点M(x0，y0)是不在圆锥曲线上的任意一点，过点M的直线与有心圆锥曲线相交于A，B两点，过点A，B的圆锥曲线的切线相交于点P，则(1)点P的轨迹是一条直线；(2)若点M是弦AB的中点，则弦AB平行于点P的轨迹.证明 (1)如图2，设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则圆锥曲线在点A处的切线为αx1x+βy1y=1，(1)在点B处的切线为αx2x+βy2y=1.(2)因为A，B，M三点共线，不妨设AM=λMB,又A，B是不同的2个点，从而λ≠-1,所以(3)(4)式(1)+λ式(2),得α(x1+λx2)x+β(y1+λy2)y=1+λ.(5)将式(3)，式(4)代入式(5),得α[(1+λ)x0]x+β[(1+λ)y0]y=1+λ,所以αx0x+βy0y=1.这说明，圆锥曲线在点A处和点B处的切线的交点P的轨迹是一条直线.图2 图3(2)如图3所示，因为点M是线段AB的中点，所以由第(1)小题知,点P的轨迹方程是αx0x+βy0y=1,得①当点P的轨迹的斜率存在(即直线1不垂直于x轴)时，直线的斜率为因为所以α(x1-x2)(x1+x2)=β(y2-y1)(y2+y1).1°若y2-y1=0，则弦AB∥x轴，同时由y2-y1=0得x0=0，从而αx0x+βy0y=1变为βy0y=1，即点P的轨迹也平行于x轴，因此弦AB平行于点P的轨迹；2°若y2-y1≠0，由y2+y1≠0，得x1-x2≠0,从而由α(x1-x2)(x1+x2)=β(y2-y1)(y2+y1),可得即kP=kAB,因此弦AB平行于点P的轨迹.②当点P的轨迹的斜率不存在(即直线时，有y2+y1=0，则弦AB⊥x轴,所以弦AB平行于点P的轨迹.综上所述，当点M是弦AB的中点时，弦AB平行于点P的轨迹.说明 (1)当α=β>0时，方程αx2+βy2=1表示圆；(2)当α>0，β>0，α≠β时，方程αx2+βy2=1表示椭圆；(3)当α，β异号时，方程αx2+βy2=1表示双曲线.上面证明解决了以上3种情况.定理2 设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，点M是不在抛物线上的任意一点，过点M的直线与抛物线相交于A，B两点，过点A，B的抛物线切线相交于点P,则(1)点P的轨迹是一条直线；(2)若点M是弦AB的中点，则弦AB平行于点P的轨迹.证明 (1)如图4，设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则抛物线在点A处的切线为y1y=p(x1+x)，(1)在点B处的切线为y2y=p(x2+x).(2)因为A，B，M三点共线，不妨设AM=λMB,又A，B是不同的2个点，从而λ≠-1,所以(3)(4)式(1)+λ式(2),得(y1+λy2)y=p(x1+x2)+px(1+λ).(5)将式(3)，式(4)代入式(5),得(1+λ)y0y=p(1+λ)x0+px(1+λ),所以y0y=px0+px,即y0y=p(x+x0).故点P的轨迹为直线.图4 图5(2)如图5，因为点M是线段AB的中点，所以由第(1)小题知,点P的轨迹方程是y0y=p(x+x0).①当点P的轨迹的斜率存在(即直线不垂直于x轴)时，直线的斜率为又两式相减得所以(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1).因为y2-y1≠0(否则过点M的直线与抛物线只有一个交点)，且y2+y1≠0，从而x2-x1≠0,所以即kP=kAB,故弦AB平行于点P的轨迹.②当点P的轨迹的斜率不存在(即直线垂直于x轴)时，有y2+y1=0，则弦AB⊥x 轴,故弦AB平行于点P的轨迹.综上所述，当点M是弦AB的中点时，弦AB平行于点P的轨迹.参考文献【相关文献】[1] 徐胜林.2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题[J].中等数学，2008(2)：24-30.[2] 袁京生.有心圆锥曲线切线的性质[J].数学通报，2008(4)：50-51.。

一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广(2)

优秀学习资料欢迎下载一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广1991 年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题 .原题：如图 1，设O 是 ABC 的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是O 与A BC、 CA 和 AB 的切点，若OD 与 EF 交于 K ，求证： AK 平分 BC.贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了B DC此题，给出了纯几何证法的证明文1 .湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作《平FK E面几何证明方法全书》三次O证明此题，方法是三角法、射影变换法、应用张角定理.由此我们可以看出此题是一道有背景的重要的几何题.我们拟给出解析证法，并把它推广到圆锥曲线中去 .在证明过程中，要用到以下引理文2：图1222P引圆的两条切线方程为：（ 1 ） . 若点P( x0, y0)为圆x y R外一点，过点( x0 x y0 y R2 )2(x02y02R2 )( x2y2R2)；切点弦的方程为：x0 x y0 y R2.（2）.若点 P(x0, y0 )x2y 21(a b0) 外一点，过点P引椭圆的两条切线方程为：为椭圆b2a2(xxy0 y1)2( x02y021) ( x2y21) ；a2b2a2b2a2b2切点弦的方程为：x0 x y0 y1.a2b2（3）.x2y21(a0, b0) 外一点，过点P引双曲线的两条切线方程为：若点 P(x0 , y0 ) 为双曲线b2a2x0 x y0 y2x02y02x2y21) ；(2b 21)(2b21) (2b2a a a切点弦的方程为：x0 x y0 y1. a2b2（4）.若点 P(x0 , y0 ) 为抛物线 y22px ( p0)外一点，过点P引抛物线的两条切线方程为：y0 y p( x0222 px0 ) ( y2 2 px) ；x)( y0切点弦的方程为：y0 y p( x x0 ) .1.竞赛题的解析证法证明：如图2，以旁切圆的圆心O 为原点，直线OD为y 轴，过O 点垂直于OD的直线为x 轴.建立直角坐标系，设旁切圆方程为x2y2R2，则点 D 的坐标为（0，R），直线BC的方程为y R .设点A 的坐标为( x0 , y0 ) ，则有切点弦EF 的方程为x0 x y0 y R2⋯⋯⋯①优秀学习资料欢迎下载两条切线 AF 、 AE 的方程为( x0 x y0 y R2 )2(x02y02R2 )( x2y2R2)⋯②在方程①中，令x 0 ，得 y R2，则点K 的坐标为(0, R2) .y0y0R2y0R2y0直线 AK 的方程为： y x ⋯⋯③.y0x0将 y R 代入方程③解得xxR. y0R设 AK与BC交于点 M ，点 M 的坐标为(xR, R) . y0R把 y R 代入方程②并整理得：( y02R2 ) x22x0 R( y0R) x( y0 R R2 )20 .设点B 、 C 的坐标分别为( x1, R),( x2, R)，由韦达定理得x1x22x0 R( y0R)2xR， BC 中点的横坐标为x1x2x0 R， BC 的中点坐标为(xR,R) .与点M的y02R2y0R2y0 R y0 R 坐标相同 .所以点 M 为 BC 的中点，即直线AK 平分 BC.2.竞赛题在圆锥曲线中的推广定理x2y 21(a b0) 旁切于ABC 的 BC 边外，D、E、F分别是椭圆与、和 AB 1：如图 3，椭圆b2BC CA a2的切点，若 OD 与 EF 交于 K ，则有 AK 平分 BC.证明：设点 A 坐标为( x0, y0)相交于点，点 D坐标为(m, n)， AK与 BC M.则过点 D的切线方程为：mxny1⋯⋯⋯①a2b2由引理 2 可知过点 A 的两切线方程为：优秀学习资料欢迎下载x0 x y0 y2x02y02x2y2(a2b21)(a2b21)(a2b21) ⋯⋯⋯②切点弦 EF的方程为xxy0 y1⋯⋯⋯③a2b2直线 DO的方程为：y nx ⋯⋯⋯④m联立③、④可得 K 点坐标为：a2 b2m,a2b2n) .( 222mx02b mx0a ny0b a ny0直线 AK的方程为：y a2b2 n b2 mx0 y0a2ny02x a2 b2 my0 a2b2nx0⋯⋯⋯⑤a2b2 m b2 mx02a2 nx0 y0a2 b2m b2mx02a2nx0 y0联立①⑤可得点 M的横坐标：x M a2b4mx02a4b4 m a4b2nx0 y0a4b2 mny0 a4b2 n2 x04 22 4 22 4 2 22a2 2242.a n y0 ab n b m x0 b mnx0 y0 a b m设点 B、C的横坐标为x B、x C， B、 C 的中点横坐标为 x中，联立①②可得关于 x 的一元二次方程：(a4 n2 y02a4b2 n2b4 x02 m22a2b2 mnx0 y0a2b4 m2 ) x2(2a4b4m2a2b4mx022a4 b2 x0 y0n2a4 b2 mny02a4b2 n2 x0 ) x(a4b4 x02a6b4a4b2n2 x02a6 y02 n22a6 b2ny0 ) 0.由韦达定理可得x中x B x C a2b4mx02a4b4m a4b2 nx0 y0 a4b2mny0a4b2n2 x02a4 n2 y02a4 b2 n2b4m2 x022a2b2mnx0 y0 a 2b4 m2点 M 与 B、C 中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一优秀学习资料欢迎下载点，所以 M为线段 BC的中点，即直线 AK 平分 BC.定理 2：如图4，双曲线x2y21(a 0, b 0)旁切于 ABC 的 BC 边外， D 、E、 F 分别是双曲线a2b2与 BC 、CA 和 AB 的切点，若 OD 与 EF 交于 K ，则有 AK 平分 BC.定理 2 的证明与定理 1 的证明类似，由于篇幅所限，不再赘述 .定理：如图，抛物线 y2 2 px ( p0) 旁切于△ ABC 的 BC 边35外， D、E、 F 分别是抛物线与 BC、CA 和 AB 的切点，过点D 作 x 轴的平行线与 EF 交于点 K ，则有 AK 平分 BC.证明：设点 A 坐标为( x0, y0)，点 D坐标为 ( x1 , y1 ) ，AK与BC相交于点 H.则有 y12 2 px1，过点D的切线方程为：y1 y p( x1x) ⋯⋯⋯①由引理 2 可知过点 A 的两切线方程为[ y0 y p( x0x)] 2( y02 2 px0 )( y 2 2 px) ⋯⋯⋯②切点弦 EF的方程为y0y p(x0x) ⋯⋯⋯③y y1可求得点K 坐标为：(y0 y1x0, y1) ，联立p( x0x)p y0 y进而可得直线 AK方程为：y p( y0y1 )x px0 y0pxy1y2y1⋯⋯④2px0y0 y1 2 px0y0 y1联立①④可得点 H的横坐标：x H px0 y0 y1px0 y12y02 y12 2 p2 x0 x1px1 y0 y12 p2 x 2 py y py20101px0 y0 y1px0 y12y02 y12 2 p2 x0 x1px1yy1 .2 p2 x0 2 p2 x1 2 py0 y1设点 B、 C的横坐标为B、C，、的中点横坐标为x中，x x B C联立①②可得关于 x 的一元二次方程：p( y12 2 px0 2 y0 y1 ) x2[4 p2x0 x12p( x0 y0 y1x1 y0 y1x0 y12 ) 2 y02 y12 ] x p[( x0 y1 )22x0 x1y0 y12 px0 x12 ]0.由韦达定理可得 x B x C2( px0 y0 y1px0 y12px1 y0 y1y02 y12 2 p2 x0 x1) ,2 p2 x0 2 py0 y1py12优秀学习资料欢迎下载即 x中x x px y y px y2px y y y 2 y2 2 p2 x x BC0 0 10 110 10 10 1 .2 2 p2 x0 2 py0 y1py12点H 与B、C 中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以 H 为线段 BC的中点，即直线 AK 平分 BC.若O 是ABC 的内切圆，其他条件不变，结论依然成立，用解析法证明的步骤完全相同.这是证明一类三角形旁切圆、内切圆问题的方法之一.这种方法的优点是思路统一,可以推广到圆锥曲线中.。

竞赛专题_圆锥曲线（附答案）（精华）

竞赛专题圆锥曲线(附答案)(2006XX 集训)1．过椭圆C ：12322yx上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ |=λ｜PH |(λ≥1)。

当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值X 围为（ C ）A ．]33,0(B ．]23,33(C ．)1,33[D ．)1,23(解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。

又∵HQ=λPH ，所以11PQHP ，所以由定比分点公式，可得：y y xx 11)1(3，代入椭圆方程，得Q点轨迹为123)]1(3[222yx ，所以离心率e=)1,33[321322322。

故选C 。

(2007XXB)2．已知椭圆2214xy上一点A 到左焦点的距离为3，则点Ａ到直线433x的距离为（ C ）A ．2B ．2(233)3C ．2(433)3D ．4333(2009XX)3. 已知椭圆192522yx上一点P 到点（4, 0）距离等于4，则P 点到直线425x 的距离为（ C ）。

A．4 B ． 6 C ．152D ．54(2009全国)4.椭圆22221x y abab 上任意两点P ，Q ，若OPOQ，则乘积OP OQ 的最小值为．【答案】22222a ba b【解析】设cos sinP OP OP ，，ππcossin 22Q OQ OQ ，．由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP ①222221sincos abOQ②①+②得22221111abOPOQ．于是当22222a bOP OQab时，OP OQ 达到最小值22222a b ab．三. 解答题【解】如图，记双曲线在x 轴上的两顶点为A(1, 0)，B(-1, 0)，G 为21F PF 的内切圆在边21F F 上的切点，H 为21F PF 的内切圆在边2PF 上的切点，K 为21F PF 的内切圆在边1PF 上的切点。

竞赛中的圆锥曲线问题

( 西安市西光中学 , 陕西 710043)
随着数学竞赛内容向课本的靠近 , 解析几何中的圆锥曲线在高中数学联赛中的位置更加突出 . 从
1997 年到 2001 年 , 联赛一试中都有三个左右的圆锥
证明如下 :
2 设 B ( t2 1 , t 2 ≠1 ) , 则直 1 , 2 t1 ) , C ( t2 , 2 t2 ) ( t1 ≠
45
1 1 ∴当 0 < a ≤ 时 , a a - a2 ≤ a 1 - a2 ; 3 2 1 1 1 当 < a < 时 , a a - a2 > a 1 - a2 . 3 2 2
转化为研究方程组解的个数问题 .
1) 由
x 2 2 + y =1, a y = 2 ( x + m) , x 2 + 2 a2 x + 2 a2 m - a2 = 0 ( 1)
化简得 x 0 +
1
x0
= 4 . 解得 x 0 = 2 - 3 .
当0< a< 示) .
故 Q (2 - 3 , 2 + 3) , R (2 + 3 , 2 - 3) . 说明对于第 1) 小题 , 之所以想到证明 △PQ R
讲解可将曲线 C1 与 C2 的公共点的个数问题
2002 年第 12 期数学通讯
3 , 左准线为 5 25 25 x= . 如图 1 , 过点 B 作左准线 x = 的垂线 , 3 3 25 | B F| 3 垂足为 N , 则 | B N | = x + , = e= , 从而 3 | BN| 5 5 | B N | = | B F| . 3 5 所以 | A B | + | B F| 3 = | AB| + | BN| .

一道高考圆锥曲线试题的推广及拓展

一道高考圆锥曲线试题的推广及拓展
黄旭东
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)010
【摘要】一、试题还原与分析2015年北京高考理科第19题：已知椭圆C：
x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的离心率为√2/2，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线黝交x轴于点M.
【总页数】2页(P23-24)
【作者】黄旭东
【作者单位】湖北省黄石市第一中学，435000
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.圆锥曲线的一个完美性质——一道2013年江西高考试题的推广 [J], 张国良
2.圆锥曲线焦点、准线的一个关联性质及其推广——由一道高考试题引发的探究[J], 翁少雄
3.圆锥曲线的“圆幂定理”——一道高考试题的探究与推广 [J], 郑观宝
4.一道2020年高考圆锥曲线试题的探究与推广 [J], 喻秋生
5.一道2020年高考圆锥曲线试题的探究与推广 [J], 喻秋生
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