高二重点之——求轨迹方程
高二数学求曲线的方程2
思考2
例2、已知 ABC 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲
线 y 3x2 1上移动，求 ABC 的重心轨迹方程。
例3、已知G是 ABC 的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上
有一点M满足 MA MC ,GM AB( R). 求点C的
轨迹方程。
轨迹方程为
。
例 1.△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
x1 y1
x 2 y 2
(B) (x 3)2 y 2 1
(C) (2x 3)2 4 y 2 1
(D) (x 3)2 y 2 1
2
2
2.点 M (x, y) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8 的距离
的比为 1 ,则动点 M 的轨迹方程为( D )
2
(A) x2 y2 1
B A 则 由方xy 程xy11组22xy22
设直线
y kx x2 y2
l
6
的方程为
x 4 y 10
y
0
kx
消去 y 得 (1 k 2 )x2 (6 4k)x 9 0
M
0
C
x
∴
x y
3 1
k
x1
2k k2 3 2k
6 4k x2 1 k 2
消去参数
, k
x1 得
高中轨迹方程
PART 1
学过哪些轨迹？
PART 2
如何建立轨迹方程？
圆的轨迹方程
y
P(x,y)
建 立直角坐标系
设
x
动点坐标
限
制条件,列等式
代 入坐标 化
简方程
x y r
2 2
2
圆的标准 方程
椭圆的轨迹方程
限制条件
y
P(x,y)
PF PF2 2a 1
代入化简
X
F1
(-c,0)
y C
A
O
B
X
经验槽
LV 1
Level
UP!
修炼：LV2
已知：圆A的方程( x 3) 2 y 2 64、点B(3,0)； M是圆A上的一动点； 线段MB的中垂线和直线 相交于点P, N为垂足。 AM 求：动点P的轨迹方程
解: 设P(x,y) 限制条件? PM+PB=MA ···
经验值+50
O
F2 (c,0)
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b
椭圆的标 准方程
椭圆的轨迹方程
限制条件
y
P(x,y)
PF PF2 2a 1
X
F1
(-c,0)
求轨迹方程的关键是找到____ 代入化简 _______. O
(c,0)
F2
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b
经验槽
LV 2
修炼：LV2
如图, 一动圆P与圆M : x 2 ( y 3) 2 4外切,同时与 圆N : x 2 ( y 3) 2 100相内切, 求圆心P的轨迹方程 .
高二数学第二十五讲 轨迹问题
轨迹问题一、知识要点1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法.二、基础训练1．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（ ） ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线2． 若0|3|)1()3(22=+---++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹是（ ）()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线3．点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是4．一动圆与圆221x y +=外切，而与圆22680x y x +-+=内切，则动圆圆心的轨迹方程是5．已知椭圆13422=+y x 的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹方程是 ．三、例题分析（一）、定义法例1. ⊙C ：16)3(22=++y x 内部一点A （3，0）与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2.已知A （0，7）、B （0，－7），C （12，2），以C 为焦点的椭圆经过点A 、B ，求此椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程.（二）、直接法例3.线段AB的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动，且||2，求AB的中点P的轨AB a迹方程。
常见轨迹方程的求法2023届新高考数学
设 A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，M(x，y)，由韦达定理得 x1＋x2＝4＋k，x1x2＝
6.
7
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
∴x＝x1＋2 x2 ＝4＋2 k ，y＝kx＝4k＋2 k2 . 由yx＝＝44k＋2＋2k， k2， 消去 k 得 y＝2x2－4x. 又 2x＝x1＋x2＝4＋k，所以 x(－∞，－ 6 )∪( 6 ，＋∞). ∴点 M 的轨迹方程为 y＝2x2－4x，x(－∞，－ 6 )∪( 6 ，＋∞).
课堂练习
课后练习
利用椭圆、抛物线、双曲线的定义求轨迹方程的方法．
例 4 一个动圆 M 与圆 F1：x2＋y2＋6x＋5＝0 相外切，同时与圆 F2：x2 ＋y2－6x－91＝0 相内切，求动圆的圆心轨迹方程．
12
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
【解】设动圆半径为 r，依题意： |MF1|＝2＋r，|MF2|＝10－r. 两式相加得|MF1|＋|MF2|＝12. 所以 M 的轨迹是以 F1(－3，0)，F2(3，0)为焦点，长半轴长为 6 的椭圆， 方程为3x62 ＋2y72 ＝1.
【答案】 B
18
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
4. (2019 新课标Ⅱ理)已知点 A(－2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线
AM 和 BM 的斜率之积为－12 ，记 M 的轨迹为曲线 C. 求 C 的方程，并说明 C 什么曲线.
例 2 过原点作直线 l 和抛物线 y＝x2－4x＋6 交于 A，B 两点，求线段
AB 的中点 M 的轨迹方程．
【解】由题意分析知直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程 y＝kx.把它
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程六种常用技法轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。
1．直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率，直线斜率由有化简，整理得点轨迹方程为练习：1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。
3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。
例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。
解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。
所以由可得故重心轨迹方程是练习：4．方程表示曲线是〔〕A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法，其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦中点坐标满足，且直线斜率为，由此可求得弦中点轨迹方程。
例3．椭圆中,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。
高二数学求曲线的轨迹方程 教案
高二数学求曲线的轨迹方程刘明华一. 教学内容：求曲线的轨迹方程二. 学习目标求曲线的方程是解析几何中的重点，也是难点，是解答题取材的源泉。
求曲线的轨迹方程的常用方法很重要。
三. 考点分析1、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法、交轨法。
（1）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x,y）＝0，此法是求轨迹的最基本的方法。
（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系，从而求出轨迹方程。
注：①用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确定方程的类型。
②步骤：列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。
③利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。
（3）代入法（相关点法或转移法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成的轨迹的动点P（x,y）却随着另一动点Q（x1,y1）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x1,y1表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程。
（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程（6）交轨法：求两动曲线交点的轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
高二数学轨迹问题的求法
故P点的轨迹方程为：
即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0 2、定义法
［例2］如图，1 在△ABC中边BC=a，若三内角满足 sinC－ sinb= 2 sinA，求点 A的轨迹方程。
移动，且，BE CF DG
BC CD DA
P为GE与OF的交点（如图），问是
否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求
出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
解：根据题意，首先求出点P 坐标满足的方程， y
根据此判断是否存在两定点，使得
DF
点P到两定点的距离和为定值。
P
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
……（1）
………（2）
解得
代入①得a2=2|x|
当 x＞ 0时得（x— 5）2＋ y2=9 当x＜0时得（x＋5）2＋y2=9
由2＜a＜4，知2＜|x|＜8
故所求轨迹为半径为3，分别以（5，0）及（－5，0）〕圆心
的两个圆。
2003年高考第22题：已知常数a>0,在矩形ABCD中，
AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上
整理得
x2 ( y a)2
1
1
a2
当a2=
1 2
时，点2 P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；
距当离a之2≠和为12 定时值，；点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的
2 1
高二选修2-1求轨迹方程的方法总结
求轨迹方程的方法总结在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．求曲线的方程是这一部分的难点，总结一下这一部分求轨迹的步骤及方法 步骤：(1)建系——建立适当的坐标系； (2)设点——设轨迹上的任一点P(x ，y)； (3)列式——列出动点P 所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 方法一直接法 二定义法 三代入法（相关点法） 四消参法 例题及练习：一直接法：设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；1．已知()1,0A -， ()2,0B ，动点(),M x y 满足12MA MB=.设动点M 的轨迹为C . 求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； 由直接法，设出点坐标列方程即可P(x,y) （1()2221122x y x y ++=-+， 化简可得： ()2224x y ++=，轨迹C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆 练习：1已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12-，点M 的轨迹为曲线E .求E 的方程； 二 定义法:根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程 例2．1.动点P (x ，y )()()2222228x y x y -+++=.试确定点P 的轨迹．试题分析：题目中()222x y -+是(),x y 到()2,0的距离，()222x y ++是(),x y 到()2,0-的距离，根据题目意思，几何椭圆定义就可以确定点P 的轨迹。
解析：设A (2,0)，B (－2,0)， 则()222x y -+表示PA ，()222x y -+表示PB ，又AB ＝4，∴PA ＋PB ＝8＞4，∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．2已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．试题分析：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，有|MA |＋|MB |＝8，由此知轨迹为椭圆，进而可得方程. 试题解析：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. ∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是＋＝1.练习1在直角坐标系xOy 中， 已知定圆()22:136M x y ++=，动圆N 过点()1,0F 且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程；2 ．已知动点(),P x y (其中0x ≥)到y 轴的距离比它到点()1,0F 的距离少1. 求动点P 的轨迹方程；三 代入法 设所求点的坐标为(),x y ，找出所求点与已知点的等量关系，借助已知点所满足的方程求出所求，例3 已知点A 的坐标为()2,0-，圆C 的方程为224x y +=，动点P 在圆C 上运动，点M为AP 延长线上一点，且AP PM =．求点M 的轨迹方程． 试题解析：（1）设(),M x y ，点A 的坐标为()2,0-，动点P 在圆C 上运动，点M 为AP 延长线上一点，且AP PM =，则点P 为A ， M 的中点，所以得2,22x y P -⎛⎫⎪⎝⎭代入圆C 的方程()22224216x y x y +=-+=，得．练习1已知圆422=+y x 上一定点A(2,0),P 为圆上的动点.求线段AP 中点的轨迹方程. 例4 消参法，把x,y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；设椭圆方程为2214y x，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足，)(21B O A O P O+=点 N 的坐标为11(,)22，当直线l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.分析：由直线l 过点M （0，1），可设其斜率为k （斜率不存在时要讨论），则直线l 的方程可表示出来，根据直线l 的斜率变化直接影响动点P 的轨迹，所以，只要求出点P 的横、纵坐标与斜率k 的关系，然后消去参数k 即可求得点P 的轨迹方程.（1）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，由直线l 过点M （0，1），则l 的方程为1ykx .记点A 、B 的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、,由题设可得点A 、B 的坐标1122(,)(,)x y x y 、是方程组141{22=++=y x kx y 的解. 将1ykx 代入2214y x，并化简得，所以1212122228, ()2.44kx x y y k x x kk于是.)(21B O A O P O +==()44,4()2,2222121kk k y y x x ++-=++ 设点P 的坐标为(,)x y ,则{222444k y k k x +=+-= 消去参数k , 得2240xy y ；练习1.设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点P 的轨迹方程为。
高考数学重要知识点轨迹方程的求解
高考数学重要知识点轨迹方程的求解高考数学中，轨迹方程是一个非常重要的知识点。
轨迹方程主要讲述了一个点随着一些条件的变化而形成的轨迹。
在解题过程中，我们常常需要根据给定的条件，确定点的坐标，并通过数学方法得出其轨迹方程。
下面我将详细介绍一下轨迹方程的求解方法。
轨迹方程的求解方法主要分为以下几种情况：1.直线轨迹：在数学中，直线是一种常见的轨迹形式。
当我们需要求解一些点在直线上的轨迹方程时，一般需要两个条件来限定点的坐标。
通过解方程可以得到轨迹方程。
例如，设点P(x,y)在直线l上，且满足条件2x-3y=6，那么可以通过解方程2x-3y=6得到轨迹方程。
2.抛物线轨迹：另一个常见的轨迹形式是抛物线。
对于求解抛物线上一点的轨迹方程，我们一般需要给出点的横坐标或纵坐标，并通过一定条件和关系推导出轨迹方程。
例如，设点P(x,y)在抛物线y = ax^2 + bx + c上，且满足条件P(1,2)，那么可以通过代入条件，解出a、b、c，并得到轨迹方程。
3.圆轨迹：圆是另一种常见的轨迹形式。
当我们需要求解点在圆上的轨迹方程时，一般需要给出点到圆心的距离或者给出边缘点的坐标，通过数学关系来求解出轨迹方程。
例如，设点P(x,y)在圆上，且与圆心A(a,b)的距离等于r，那么可以通过点到圆心的距离公式，得到轨迹方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^24.椭圆和双曲线轨迹：椭圆和双曲线也是常见的轨迹形式。
当我们需要求解点在椭圆或双曲线上的轨迹方程时，一般需要给出点到中心的距离或者给出边缘点的坐标，并通过数学关系来求解出轨迹方程。
例如，设点P(x,y)在椭圆上，且与中心O(0,0)之间的距离的和恒定为d，那么可以通过代入条件，解得轨迹方程。
在实际的解题过程中，我们需要根据题目给出的具体条件，选择合适的方法和数学工具来求解轨迹方程。
另外，我们还需要注意数学推导过程的准确性和严密性，避免漏解或者得出错误的轨迹方程。
除了上面介绍的常见情况，还有一些其他的轨迹形式，例如双曲线的渐近线、追踪问题等，都需要根据具体情况进行推导和求解。
高考数学理科必考点：轨迹方程
高考数学理科必考点：轨迹方程
高考数学理科必考点：轨迹方程
轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述，是高考数学的重要学问点，一起来复习下吧：
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;
⒉写出点M的集合;
⒊列出方程=0;
⒋化简方程为最简形式;
⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的'有直译法、定义法、相关点法、参数
法和交轨法等。
⒈直译法：干脆将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：假如能够确定动点的轨迹满意某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满意的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方
程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的干脆关系难以找
到时，往往先找寻x、y与某一变数t的关系，得再消去
参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
直译法：求动点轨迹方程的一般步骤
①建系建立适当的坐标系;
②设点设轨迹上的任一点P(x，y);
③列式列出动点p所满意的关系式;
④代换依条件的特点,中学英语，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;
⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
高二上数学知识点轨迹方程
高二上数学知识点轨迹方程高二上数学知识点——轨迹方程数学是一门抽象而精确的学科，其中轨迹方程是高中数学中一个非常重要的知识点。
通过学习轨迹方程，我们可以揭示事物运动的规律，并在实际问题中应用数学知识。
本文将详细介绍高二上数学中与轨迹方程相关的知识点，帮助读者全面理解该内容。
1. 直线的轨迹方程在平面几何中，直线是我们最常见的事物之一。
学习直线的轨迹方程，我们可以了解直线的运动规律和性质。
以直线y = kx + b为例，其中k是斜率，b是截距。
通过变化k和b的值，我们可以获得不同斜率和截距下的直线。
这样的轨迹方程可以描述一系列平行或相交的直线的运动轨迹。
2. 圆的轨迹方程圆是数学中一种特殊的曲线，由平面上到一定距离的点构成。
学习圆的轨迹方程，我们可以揭示圆的运动规律和特性。
以圆的标准方程x²+ y²= r²为例，其中r代表圆的半径。
通过改变r的值，我们可以绘制出不同半径的圆的轨迹方程。
同时，通过平移、旋转等变换操作，我们还可以得到其他形状的轨迹方程。
3. 抛物线的轨迹方程抛物线是一种常见的曲线，在物理学、工程领域都有广泛应用。
学习抛物线的轨迹方程，我们可以了解抛物线的形状和特性。
以抛物线的标准方程y = ax² + bx + c为例，其中a、b、c分别代表抛物线的形状参数。
通过改变a、b、c的值，我们可以得到不同形状的抛物线的轨迹方程。
同时，通过平移、缩放等变换操作，我们还可以获得其他变形的轨迹方程。
4. 椭圆的轨迹方程椭圆是一种很特殊的曲线，在天文学、机械制造等领域有广泛应用。
学习椭圆的轨迹方程，我们可以了解椭圆的运动规律和特性。
以椭圆的标准方程x²/a² + y²/b² = 1为例，其中a、b是椭圆的半长轴和半短轴。
通过改变a和b的值，我们可以绘制出不同形状和大小的椭圆的轨迹方程。
同时，通过平移、缩放等变换操作，我们还可以得到其他变形的轨迹方程。
专题：轨迹方程的求法
专题 轨迹方程的求法例1、 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.例2、已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线例3、【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
M(x,y)B(a,0)A(-a,0)oyx例4、已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．例5、【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。
证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
例6、过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.122=+y x MQ ()0>λλ例7、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线例8、[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.例9、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程例10、如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
人教版数学高二-备课资料轨迹方程的求法
轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.本文结合具体实例对求曲线的轨迹方程的常用方法作一归纳。
一．直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.例1．AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图），则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝a 2，设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有||||OM OP ＝||||MN PQ . ∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2＝｜OM ｜·｜PQ ｜.∴x 2+y 2＝a ｜y ｜， 即 x 2＋（y ±2a ）2＝（2a ）2.轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆. 二．定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.例2．某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r,则|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x －21)2+34y 2=1② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r=73)1412()149(2322=+-，故所求圆柱的直径为76 cm. 三．代入法 如果轨迹动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程.此法称为代入法.例3．如图所示，已知P(4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x,y)，则在Rt △ABP 中，|AR|=|PR|.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36O y A BP Q M N C D－(x 2+y 2) 又|AR|=|PR|=22)4(y x +-，所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=20,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.点评：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.四．参数法 如果轨迹动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.例4．过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y=k （x －1），代入y 2=4x ，得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点，∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 根据韦达定理，有x 1+x 2=22)2(2k k +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k 4. 设△AOB 的重心为G （x ，y ），则12120303x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，消去k ，得x=32+34（43y ）2， ∴y 2=34x －98.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x - 98， 因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －98. 五．交轨法 所求动点是两条动直线（或动曲线）的交点且两动直（曲）线能用同一参数表示。
高二数学 上学期巧用直接法求轨迹方程例题解析
巧用直接法求轨迹方程 用直接法求轨迹方程就是根据轨迹的条件，能够直接找到动点坐标之间的关系，从而得到所求的轨迹方程.其步骤为：建立坐标系，写出动点P （x,y ）的坐标，然后根据已知条件写出等式，得出x 、y 之间的关系，化简后即得所求的轨迹方程，而已知条件是指题设的要求，有时要借助平面几何的有关定理，分析出数量关系.一、代入题设中的已知等式若动点的规律由题设中的已知等式明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹.例1 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？解：∵|P A |=2222)3(||,)3(y x PB y x +-=++代入2||||=PB PA 得222222224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++ 化简得（x －5）2+y 2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.二、列出符合题设条件的等式有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程.例2 动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？解 以C 为原点，AB 上的高线CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系设动点P （x,y ），则A （3,hh ），B （3,hh -）列出等式222222222)3()()3()(y x h y h x h y h x PC PB PA +=++-+-+-⇒=+ 化简得22234)2(h y h x =+- 三、运用有关公式有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程. 例3 △ABC 的两顶点是B （－3，0），（3，0），两底角B 、C 之和恒为135°，求第三顶点A 的轨迹方程.解 ∵∠B +∠C =135°，∴∠P =45°，3,3-=+=x y k x y k PC PB 代入二直线交角公式2296 33133tg45y x yx y x y x y x y +-=+⋅-++--=︒化简得)0(18)3()0(18)3(2222 y y x y y x =-+=++或轨迹是两条优弧，B 、C 两点是轨迹的极限点.四、借助平几中的有关定理和性质有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.例4 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？解 由平几的中线定理：在直角三角形AOB 中，OM=,22121a a AB =⨯=22222,a y x a y x =+=+∴M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周.。
高二数学选修1 轨迹问题
课 题轨迹问题 备课时间 上课时间 总课时数 课程目标 知识与 技能 学会根据条件，选择适当的方法求轨迹方程．并能充分利用图形，运用数形结合的思想方法求轨迹方程． 过程与 方法 启发式,讲练结合 情感态度与价值观培养学生的学习兴趣 教学重点学会根据条件，选择适当的方法求轨迹方程 教学难点 运用数形结合的思想方法求轨迹方程．教学过程 二次备课一、夯实双基 1．方程()()0122=-+-xy y x 的曲线是（ ）2．点M 到定点F （0，－4）的距离比它到直线y=5的距离少1，则点M 的轨迹方程是（ ）3．曲线4422=+y x 关于点M （3，5）对称的曲线方程是（ ）4．动点A 、B 在直线x=－１上移动，设P(－4，0)，∠APB=060，则⊿APB 外心的轨迹是 （ ）5．由圆上任意一点向x 轴作垂线，求垂线夹在圆周和x 轴间的线段中点的轨迹方程．二、例题讲解例1．求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．分析 因题没有直角坐标系，故需按建系、设点、列式、代换、化简、证明直接来求轨迹方程．解 以两不同定点A ，B 所在的直线为x 轴，ＡＢ的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．设Ｐ（x ，y ）是轨迹上任一点，A(－a ，0)，B(a ，0)，（a ＞０）．由题设得PB PA λ=，即()()2222y a x y a x +-=++λ，∴()()()021122222=++++-ax a y x λλ当1=λ时，方程x=0表示一条直线．当1≠λ时，方程为2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++λλλλa y a x ，表示一个圆．所以当1=λ时，点的轨迹是一条直线；当1≠λ时，点的轨迹是一个圆．点评 题中没有坐标系，因此要根据条件建立坐标系，一般要利用题中的有关定点、定直线、和图形的对称性来建立．例2 已知△ABC 的两个顶点坐标分别是A （－2，0）、B （0，－2），第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 的重心轨迹方程．分析 可设重心坐标为（x ，y ），顶点C 的坐标为（0x ，0y ），根据已知条件将0x 、0y 用x ，y 表示，再代人曲线132-=x y 的方程，求轨迹方程．点评 本题是用转移代人法求轨迹方程．若动点M 随着已知曲线上的动点()11,y x P 作有规律的运动，又可将点P 的坐标表示为()()y x g y y x f x ,,,11==，则需要将()()y x g y y x f x ,,,11==代入已知曲线的方程，整理便得所要求的轨迹方程．例3已知动圆过点相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析 根据已知条件动圆与定圆相外切则两圆心之间的距离等于两圆的半径之和，又动圆过定点．根据双曲线的定义，可直接判断动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，从而求得动圆圆心的轨迹方程．点评 由条件及圆锥曲线的定义能判断所求轨迹是什么曲线，再利用圆锥曲线的标准方程来求轨迹方程是一个简化的过程．三、当堂反馈1．P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2 外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ ）2．圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准 线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）3．求抛物线上各点和点(10，0)所连的线段中点的轨迹方程．4．已知动点P到定点(－3，0)的距离比它到直线的距离大2，求动点P的轨迹方程．四、课堂小结求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．求圆锥曲线的轨迹方程问题，用定义解题能简化解题过程．多个动点的轨迹方程问题，用相关点法，参数法求解．解决轨迹问题要注意曲线上的点和方程的解之间的关系，曲线上的点的X围或解的X围既不能缩小也不能扩大．五、作业：完成《新课程新一轮》课堂卷附：板书设计例题练习投影教学后记：主备人程怀宏。
高二轨迹方程练习题
高二轨迹方程练习题首先，我们先回顾一下高中数学中的轨迹方程概念。
轨迹方程是一种用来描述运动物体路径的数学表达式。
在数学中，轨迹方程通常由一组函数或方程组成，用来表示物体在平面内的移动轨迹。
在高二数学中，我们经常遇到求解轨迹方程的问题。
下面就让我带你一起解析几道高二轨迹方程练习题。
题目一：求解抛物线的轨迹方程已知一个抛物线的焦点为F（2，0），并且经过点A（-2，3）。
求解这个抛物线的轨迹方程。
解析：首先，我们知道焦点为F（2，0），则抛物线的焦点坐标可以表示为（2a，0）。
然后，我们已知抛物线上的一点A（-2，3），将坐标带入抛物线的一般方程y=ax²+bx+c中可以得出方程为3=-a*2²-b*2+c。
由于焦点在抛物线的轴上，根据抛物线的性质，可得 a = 1/(4a)。
再通过解方程组，我们可以得到b = 0，c = 2a。
因此，抛物线的轨迹方程为 y = ax² + 2a。
题目二：求解椭圆的轨迹方程已知一个椭圆的焦点分别为F1（-2，0）和F2（2，0），离心率为3/4。
求解这个椭圆的轨迹方程。
解析：我们知道椭圆的离心率（e）定义为焦点到准线的距离与焦点到椭圆上一点的距离的比值。
根据已知条件，我们可以得到 e = 3/4。
在椭圆的轨迹方程中，准线与x轴平行且位于原点两侧。
由于焦点位于x轴上，可以得知椭圆式的一般方程为 x²/a² + y²/b² = 1。
由椭圆的离心率可以得到 a² = b² * (1 - e²)。
将已知条件代入方程，我们可以得到 a² = b² * (1 - (3/4)²)。
进一步化简得到 7a² = 16b²。
因此，椭圆的轨迹方程为 x²/(7a²) + y²/(16b²) = 1。
题目三：求解双曲线的轨迹方程已知一个双曲线的焦点分别为F1（-3，0）和F2（3，0），离心率为2。
交轨法求轨迹方程 微课
例如：如果两条曲线的方程是 f1x, y 0 和 f2 x, y 0 ，
它们的交点是
P（x0
,
y
）
0
．
证明：f1(x, y) f2 (x, y) 0的曲线也经过P点( R),并求
经过两条曲线 x2 y 2 3x y 0 和 3x2 3y 2 y 0
x2 y2 3x y 0 ① 3x2 3y2 y 0 ②
①X3-②得 9x 4 y 0
所以经过它们交点的直线方程为 9x 4y 0
再例如：(2003年高考第22题变式)已知常数a>0,在矩形ABCD
中，AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E,F,G分别在BC、CD、DA上移动， 且 BE CF DG ,P为GE与OF的交点,求点P轨迹方程。
的交点的直线方程．
解: P（x0 , y0）是两曲线的交点，
f1 (x0 , y0 ) 0且f 2 (x0 , y0 ) 0
f1 (x0 , y0 ) f2 (x0 , y0 ) 0
即方程 f1(x, y) f2 (x, y) 0 的曲线经过P
点．
令
f1x, y
的轨迹方程.
参考答案
x2 y2 1 a2 b2
反思感悟
要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问 题通常通过解方程组得出交点（含参数） 的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程 （若能直接消去两方程的参数，也可直接 消去参数得到轨迹方程），该法经常与参 数法并用。
求轨迹方程的交轨法，我就介绍到这里，谢 谢你的观看 .
直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………②
从①②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程 2a2x2+y2-2ay=0 (去掉（0，0））
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高二重点专题之——轨迹方程一、求轨迹方程的一般方法有：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
步骤：①建系；②设点；③列式；④化简；⑤抠点。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
二、求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上）又要检验是否丢解。
（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。
检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。
【典型例题】例1. 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，，A by a x B )02(12222=+ 轨迹方程。
分析：题中涉及了三个点A 、B 、M ，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程。
解：设动点M 的坐标为（x ，y ），而设B 点坐标为（x 0，y 0）则由M 为线段AB 中点，可得 ⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y a x x y y x a x 22220220000 即点B 坐标可表为（2x －2a ，2y ） 上在椭圆点又1)(222200=+b y a x ，y x B ，by a a x b y a x 1)2()22(12222220220=+-=+∴从而有 14)(42222=+-by a a x M ，的轨迹方程为得动点整理。
。
b ，a ，a ，M 的椭圆短半轴为长半轴为为中心的轨迹是以动点22)0( 例2. 求椭圆的左顶离心率为轴为准线并且以动椭圆过定点，，y ，，M 21)21( 点A 的轨迹方程。
分析：先画出示意图，如图所示：根据已知条件：动椭圆过M （1，2）且以y 轴为其准线，可见该椭圆位于y 轴右侧，注意到点M 在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。
即可发现间接涉及动顶点A 的等量关系。
只需用A 的坐标先表示出左焦点F 的坐标，即可列出轨迹方程。
解：，A ，e ，，y x F ，y x A 在椭圆上及点则由离心率左焦点为，设21)()(0= ，x x x ，AK AF 2121||||0=-=即可得 )23(230y x F x ，x ，∴=∴ 又∵M 在椭圆上， ，，即211)2()231(21||||22=-+-=∴y x MN MF141)2(91)32(1)2(4)32(92222=-+-=-+-y x y x ，即化简，得 的椭圆。
，短半轴为为中心，长半轴为，该方程表示以3121)232( 例3. 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
分析1：设M （x ，y ），由已知l 1⊥l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k 2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M 点坐标表示A 、B 两点坐标。
事实上，由M 为AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法1：设M （x ，y ），∵M 为AB 中点，∴A （2x ，0），B （0，2y ）。
又l 1，l 2过点P （2，4），且l 1⊥l 2 ∴PA ⊥PB ，从而k PA ·k PB ＝－1，02242204--=--=y ，k x k PB PA 而 0521224·224=-+-=--∴y x y x ，化简，得 注意到l 1⊥x 轴时，l 2⊥y 轴，此时A （2，0），B （0，4）中点M （1，2），经检验，它也满足方程x ＋2y －5＝0综上可知，点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。
分析2：解法1中在利用k 1k 2＝－1时，需注意k 1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性：||21||AB MP = 解法2：设M （x ，y ），连结MP ，则A （2x ，0），B （0，2y ），∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形，||21||AB MP ，=由直角三角形的性质 2222)2()2(·21)4()2(y x y x +=-+-∴ 化简，得x ＋2y －5＝0，此即M 的轨迹方程。
分析3：从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k 作为参数，建立动点M 坐标（x ，y ）满足的参数方程。
解法3：设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k ≠０）)2(14221--=-⊥x k y l ，l l 的方程为则直线由，，A x l )0k42(1-∴的坐标为轴交点与 ，k，B y l )240(2+的坐标为轴交点与 ∵M 为AB 的中点， )(1222421242为参数k k k y k k x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=∴ 消去k ，得x ＋2y －5＝0。
另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程；当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。
例4. 如图，给出定点A （a ，0），（a>0）与定直线l ：x ＝－1，点B 是l 上动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值关系。
分析：由OC 是∠AOB 的平分线，可联想到如下结论：（1）点C 到∠AOB 的两边OA ，OB 的距离相等；（2）OC 与OA 、OB 所成的角相等。
||||||||)3(BO AO BC AC = 对于（1）、（2）、（3），若再注意到点C 在直线AB 上，则可求得轨迹方程。
因此，本题从不同角度入手，则有不同解法。
解法1：设B （－1，b ），C （x ，y ），直线OB 的方程为y ＝－bx ，即bx ＋y ＝0，∵OC 平分∠AOB ，∴点C 到角的两边距离相等。
①||1||2y b y bx =++∴ 又∵点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 三点共线②即，a b a x y ，k k AB AC --=-=∴1 ③由②得x a ya b -+=)1(④由①得0·2)(22=+-xy y x b把③代入④，得 )0(02)()1(22a x xy x a y x y a <≤=+--+y a x y x a x a x a y ax ≠时，·，即012011202222()()()()()+-+-=--++= y ＝0时，b ＝0，∠AOB ＝180°，点C 坐标为（0，0），满足上述方程。
故方程（a －1）x 2－(a ＋1)y 2＋2ax ＝0是点C 的轨迹方程。
当a ＝1时，方程为y 2＝x ，（0≤x<1），它表示抛物线的一段； )0(11)1()1(122222a x ，a a y a a a a x ，a <≤=-+---≠方程为时当 ∴0<a<1时，轨迹为椭圆弧；a>1时，轨迹为双曲线弧。
解法2：设B （－1，b ），C （x ，y ）b ，k x y ，k k OB OC OA -===0则∵OC 平分∠AOB ∴∠AOC ＝∠COB ∴tg ∠AOC ＝tg ∠COB ，∴··，整理，得，①y x y x b y x b y xy x bx y by x -+=--+-=+-0101() 得消去代入①式又b ，，，xa y ab a b a x y -+=∴--=-)1(1 )0(0)(2)()1(22a x ，x a xy y x y a <≤=-+-+ 以下同解法1。
解法3：设B （－1，b ），C （x ，y ），又A （a ，0）1||||)()1(||)1(||22222+==-++=++=∴b BO a ，AO ，b y x BC ，b a AC ∵OC 平分∠AOB ，由三角形内角平分线性质，得1)()1()1(||||||||22222+=-++++=b a b y x b a ，BO AO BC AC 即 整理，得(b 2＋1)·[(a ＋1)2＋b 2]＝a 2[(x ＋1)2＋(y －b)2]得整理代入上式得又由，，x a y a b k k AB AC -+==)1( )0(0)(2)()1(22a x ，x a xy y x y a <≤=-+-+ 以下同解法1。
【大展身手】1. 长为3a （a>0）的线段AB 的两端点A 、B 分别在y 轴、x 轴上运动，P 点分线段AB 或正比2：1，求点P 的轨迹方程。
2. △ABC 的顶点B 、C 双曲线191622=-y x 的焦点，点C 在抛物线y ＝4x 2上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程。
3. 自双曲线122=-y x 上的动点A 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程。
4. 已知定点A （－1，0），B （2，0），P 为动点，且∠PBA ＝2∠PAB ，求动点P 的轨迹方程。
5. 以双曲线222=-y x 的右准线l 为左准线，以双曲线的右焦点F 为左焦点的椭圆C 的短轴顶点为B ，求BF 中点M 的轨迹方程。