2019秋人教版九年级数学下册期末复习精练课件：第二十八章 (共44张PPT)

∴DH平行且等于EG.
∴四边形EGHD是矩形.∴ED=GH=2.
在Rt△ADH中，
,
在Rt△FGE中，
，
∴FG=2EG=16（m）. ∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10（m）. 答：加固后坝底增加的宽度AF的长是10 m.
4. 如图M28-20，一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏 东30°的方向，轮船沿着北偏东60°的方向航行16 km 后到达B处，这时灯塔P在船的北偏西75°的方向. 求灯 塔P与B之间的距离.（结果保留根号）
图M28-20
解：如答图M28-5，过点P作PH⊥AB于点H.
由题意,得∠PAB=30°，∠PBA=45°，
11. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边
分别为a,b,c,3a＝ b，求∠B的度数.
12. 如图M28-10，在锐角三角形ABC中，AB=6，AD是BC 边上的高，BD=3，AC= ，求∠C的度数.
考点3 解直角三角形
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AC=6 cm，则
（ B）
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 不能确定
8. 已知∠C=75°，则∠A与∠B满足以下哪个选项才能
构成△ABC？
（ C）
A.
B.
C.
D.
9. 若sinα =
，则锐角α =____4_5_°____.
10. 若tan（α +10°）= ，则锐角α 的度数是
___5_0_°___.
由于题目中既没有指明哪个角是直角，也没有指明哪条 边是斜边，所以，应分类讨论，不能出现漏解的情况. 正解：由方程x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
①当3为直角边长时，tanA= ;
学以致用 5. 已知在△ABC中，BC=6，AC= ，∠A=30°，则AB 的长是___6_或__1_2___. 6. 在△ABC中，AC= ，点D为直线AB上一点，且 AB=3BD，直线CD与直线BC所成锐角的正切值为 ，并且 CD⊥AC，求BC的长.
3. 如图M28-19，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示 意图，坝高8 m，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝 进行加固，使上底加宽2 m，且加固后背水坡的坡度 i=1∶2，求加固后坝底增加的宽度AF的长.
解：如答图M28-4，分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB交
AB于点G，H.
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
考点2 特殊角的三角函数值
一、特殊角的三角函数值
1. sin30°的值为
（ D）
A.
B.
C.
D.
2. 计算：cos245°+sin245°=
（B）
A.
B. 1
C.
D.
3. 如图M28-9，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射 线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交 于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为__________.
2. 如图M28-18，汽车在一条南北走向的公路上以每小 时60 km的速度匀速向北行驶. 当汽车在A处时，某信号 塔C在它的北偏西30°方向，汽车前行2 min,到达B处， 此时信号塔C在它的北偏西45°方向. （1）求AB的距离； （2）求信号塔C到该公路的距离. （ ≈1.73，结果精确到0.1 km）
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c,a=2，b=1，求∠A的三个三角函数值.
6. 如图M28-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的 一点，CD=3，AD=BD=5，求∠A的三个三角函数值.
二、利用锐角三角函数求边长
7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α ，AC=3，则AB的
＝2.
8. 如图M28-16，在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C
的对边分别为a,b,c,且b= ，∠A的平分线AD=
，
解这个直角三角形.
解： 依题意，得
cos∠CAD=
，
∴∠CAD=30°.
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAB=60°.∴BC= .
考点4 解直角三角形的应用
D. （sinα ，cosα ）
3. 如图M28-12，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15， tanA= ，则AB=_____1_7____.
4. 如图M28-13，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10， tanA= ，则AC的长是____8____.
5. 如图M28-14，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°. 若CD=2，AB=6，则S△ABD=_____________.
11. 在△ABC中，∠C=90°，BC=24 cm，cosA= ，求 这个三角形的周长.
解：可设AC=5x cm，AB=13x cm，则BC=12x cm. 由12x=24，得x=2. ∴AB=26 cm，AC=10 cm. ∴△ABC的周长为10+24+26=60（cm）.
12. 如图M28-8，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ， BC=8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E. （1）求线段CD的长； （2）求cos∠ABE的值.
解；（1）AB=60× =2（km）. （2）如答图M28-3，过点C作CD⊥AB于点D. 设CD=x，则在Rt△ACD和 Rt△BCD中， ∵∠CAD=30°，∠CBD=45°， ∴AD= x，BD=x. ∵AB=AD-BD=2， ∴ x-x=2.
∴x=
≈2.7（km）.
答：信号塔C到该公路的距离约为2.7 km.
考点1 锐角三角函数
一、锐角三角函数的定义
1. 在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ B ）
A.
B.
C.
D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则∠A的余
弦值等于
（ A）
A.
B.
C.
D.
3. 如图M28-5，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点， 则tan∠ABC=_________. 4. 如图M28-6，△ABC的顶点是 正方形网格的格点，则tanA的值 为_________.
易错点 三、在题目没有给出图形时，容易忽略分类讨论，出现漏 解情况，从而导致出错. 【例3】如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条 边长，Rt△ABC的最小角为∠A，那么tanA=__________. 易错提示：由方程x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3，至此，学生 易粗心大意，立即得到tanA= .
BC的长度为
（C）
A. 6 cm
B. 7 cm
C. 8 cm
D. 9 cm
2. 如图M28-11，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标
轴于A，B两点，P是 上一点（不与A，B重合），连接
OP，设∠POB=α ，则点P的坐标是
（C）
A. （sinα ，sinα ）
B. （cosα ，cosα ）
C. （cosα ，sinα ）
正解：借助如图M28-2的图形，运用正弦定义，可以直接 得到sin60°= . 答案：B
学以致用
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则∠A的度数
是
（ A）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
2. 计算：tan45°sin45°-2sin30°cos45°.
易错点 二、用三角函数计算或在解直角三角形的应用题时，题 目没有说明在直角三角形中，学生不去添加辅助线构造 直角三角形，而粗心大意，片面地认为题目就是在直角 三角形中，忽视了“在直角三角形”这个前提条件. 【例2】在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c， 且a:b:c=3:4:5，试证明：sinA+sinB= . 易错提示：此题易错之处是没有说明∠C=90°，而直接 将△ABC当做直角三角形，应用正、余弦函数的定义进行 证明，容易得出如下错误：
1. 如图M28-17，小华、小迪两家住在同一小区两栋相 对的居民楼里，他们先测了两栋楼之间的距离BD为48 m， 从小华家的窗户E处测得小迪家所住居民楼顶部C的仰角 为30°，底部D的俯角为45°. 请你求 出小迪家所住居民楼的高度. （结果 精确到1 m;参考数据： ≈1.4，
≈1.7）
解：由题意,得四边形EBDF为矩形， ∴EF=BD=48 m. 在Rt△ECF中，tan∠CEF= ， ∴CF=48× = （m）. 在Rt△EFD中，∠FED=45°， ∴DF=EF=48 m. ∴CD=CF+FD= +48≈75（m）. 答：小迪家所住居民楼的高度约为75 m.
长可以表示为
（A）
A.
B.
C.3sinα
D. 3cosα
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于 ，
则AB的长度是
（ D）
A. 3
B. 4
C. 5
D.
9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA= ，则
斜边AB边上的高CD的长为__________. 10. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=37°， 则BC的长为___4____.（提示：tan∠B=0.75， sin∠B=0.6，cos∠B=0.8）
6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c,a=3，b= ，解这个直角三角形.
解：∠A=30°，∠B=60°，c=6.
7. 如图M28-15，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D.如果AC= ，且tan∠ACD=2，求AB的长.