2018高考数学题源探究课件——导数及其应用：导数与函数的极值
2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值课件6 新人教B版选修1-1
课 本 例 4 ： 求 fx 1x3 4 x 4 的 极 值 。
3 新疆 王新敞 奎屯
解 ： 因 为 fx1x34x4，
3
所 以 f'x x 2 4 (x 2 ) (x 2 ) 。 令 f'x 0 ,x， 2 ,x 2
当下面分两种情况 ： 讨论：
类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近 其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧f′(x)<0 ．把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b) 叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极 值。
求函数极值的步骤：
（ 1 ） 求 导 函 数 f '( x ) （ 2 ） 解 方 程 f '( x ) = 0 （ 3 ） 列 表 判 断 （ 4 ） 计 算 极 值
当堂达标
1、函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图 所示，则函数f(x)( ) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点
章导数及其应用
函数的极值与导数
情景引入
跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位： 米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 h
其图象如右.
---------------------------------
oa
t
情景引入
h(a)0
单调递增
单调递减
h
2.求函数 f(x)=3x-x3的极值。
2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
解析：由导函数图象知函数 f(x)在(－∞，－3)上单调递减， (－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，f′(0)>0，x＝－3 是函数 f(x)的极值点，①④正确．
答案：B
4．函数 y＝(x2－1)3＋1 的极值点是( ) A．极大值点 x＝－1 B．极大值点 x＝0 C．极小值点 x＝0 D．极小值点 x＝1
解析：y′＝6x(x2－1)2＝0 有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝ 1，由解 y′>0 得 x>0；由解 y′<0 得 x<0，只有 x＝0 是极小值 点，故选 C.
答案：C
5．函数 f(x)＝x3－3x2＋1 的极小值点为________． 解析：由 f′(x)＝3x2－6x＝0， 解得 x＝0 或 x＝2. 列表如下：
－b－
3ba2－3ac，x2＝－b＋
b2－3ac
3a
.
当 a>0 且 b2－3ac>0 时，f(x)在(－∞，x1)上单调递增；在(x1， x2)上单调递减；在(x2，＋∞)上单调递增．
当 a<0 且 b2－3ac>0 时，f(x)在(－∞，x1)上单调递减；在(x1， x2)上单调递增；在(x2，＋∞)上单调递减．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
解析：①④为单调函数，不存在极值． 答案：B
3．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列 命题：
①－3 是函数 y＝f(x)的极值点； ②－1 是函数 y＝f(x)的最小值点； ③y＝f(x)在 x＝0 处切线的斜率小于零； ④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增． 则正确命题的序号是( ) A．①② B．①④ C．②③ D．③④
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：2.11.2利用导数研究函数的极值、最值
命题角度
已知函数的极 值求参数的值 或范围
命题视角 给出函数的极值,利用导数及函数的
单调性确定参数的值,属中档题
【考题例析】 命题角度1:已知函数求极值 【典例1】(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+ (2a-1)x,a∈R. (1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间. (2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
2.函数的最值与导数的关系 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条
连续不断 的曲线,那么它必有最大值和最小值. _________
(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤: 极值 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的_____; 端点处的函数值f(a),f(b) ②将函数y=f(x)的各极值与________________________ 最大 的一个是最大值,_____ 最小 的一个是最小值. 比较,其中_____
a 1, 解得 b 4.
所以f(x)的单调递减区间是(-1,1). 答案:(-1,1)
x 3 3x, x a, 6.(2016·北京高考)设函数f(x)= 2x, x＞a.
(1)若a=0,则f(x)的最大值为________.
(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是________.
所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.
2.(选修1-1P97例5改编)函数y=x+2cosx在区间 [0, ]
2
上的最大值是________.
【解析】y′=1-2sinx,令y′=0, 又因为x∈[0, ] ,解得 x ， 则当x∈ [0, ) 时,y′>0;当x∈ ( , ] 时,y′<0, 故函数y=x+2cosx在 x 时取最大值 3. 答案: 3
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第二篇函数、导数
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或减函数,则称函数y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提
条件 结论
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M∈R
1 解析:因为 f(x)是(-≦,+≦)上的减函数,则由不等式 f(2)< f 可得 x
2>
1 , x 1 ,故选 D. 2
所以 x<0,或 x>
3.(2016·曲靖校级模拟)函数f(x)= log 1 x 2 1 的单调递增区间为 2 ( D ) (A)(0,+∞) (C)(1,+∞)
3
当 x≤1 时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1 递增,可得 f(x)≤1. 综上可得,f(x)的最大值为 1. 答案:-3 1
5.下列命题中假命题有 ①y=
.(填上所有符合题意的序号)
②y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的增区间为[1,+∞) ③函数f(x)=log2(3x+1)的最小值是0 ④对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(x)在 D上是增函数 解析:不同单调区间不能用并集,①假;[1,+≦)是y=f(x)的增区间的子集, ②假;当x→-≦时,f(x)=log2(3x+1)→0,但不等于0,即无最小值,③假;只
2
内为减函数,由复合函数的单调性可得,函数 f(x)= log 1 x 2 1 的单调递增区
2
2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：第2章 第12节 导数与函数的极值、最值 精品
当 x∈(0,9)时，y′＞0，当 x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当 x＝9 时，y 有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件．]
4．(2016·四川高考)已知 a 为函数 f(x)＝x3－12x 的极小值点，则 a＝( )
A．－4
B.－2
C．4
D.2
D [由题意得 f′(x)＝3x2－12，令 f′(x)＝0 得 x＝±2，∴当 x<－2 或 x>2 时，
利用导数研究函数的极值问题
☞角度 1 根据函数图象判断极值
设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝
(1－x)f′(x)的图象如图 2-12-2 所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)
B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)
☞角度 2 求函数的极值 求函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)的极值．
[解] 由 f′(x)＝1－ax＝x－x a，x＞0 知：
(1)当 a≤0 时，f′(x)＞0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值；
5分
(2)当 a＞0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a.
又当 x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当 x→0 时，g(x)→－∞，当 x→＋∞时，g(x)→0， 而 g(x)max＝g(1)＝1， ∴只需 0＜2a＜1⇒0＜a＜12.
(2)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)， 且 f′(x)＝1＋1 x－2ax－1＝－2ax21－＋2xa＋1x， 由题意得，f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0， 得 a＝－14，又当 a＝－14时， f′(x)＝12x12＋－x12x＝12x1x＋－x1， 当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0；
导数及其应用利用导数研究函数的极值最值课件
导数及其应用 利用导数研究函数的极值最值 课件 理 ppt xx年xx月xx日contents •导数及其应用•利用导数研究函数的极值最值•课件制作技巧•案例分析•导数的进一步学习与拓展目录01导数及其应用1导数的定义23导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在某一点的斜率。
导数的定义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。
导数的几何意义导数的物理意义是速度的变化率，即物体运动的速度在某一时刻的变化率。
导数的物理意义导数的计算根据导数的定义，通过求极限来计算导数。
定义法公式法表格法图像法利用导数的运算法则和公式来计算导数。
利用导数表来计算导数。
利用函数图像来估计导数。
最优问题导数可以帮助我们找到最优解，例如在经济学、工程学等领域中，利用导数可以找到最优的成本、价格、利润等。
导数在实际问题中的应用运动问题导数可以描述物体的运动状态，例如速度、加速度等，利用导数可以解决运动问题，例如计算轨迹、碰撞时间等。
物理问题导数可以描述物理现象的变化规律，例如温度、压力、电流等，利用导数可以解决物理问题，例如计算热传导、弹性力学等。
02利用导数研究函数的极值最值极值的定义：设函数$f(x)$在点$x_{0}$的附近有定义。
若在$x_{0}$的左侧$f(x)$单调递增。
在$x_{0}$的右侧$f(x)$单调递减定义法：判断导数由正变负的点，这些点为可能极值点，再检验这些点两侧的导数值，确定是否为极值点。
表格法：通过列表计算函数在各点的导数值，并判断其正负，从而得到极值点。
极值的判定方法极值的概念及判定方法最值的定义及求法最值的定义：函数在某区间内取得最大（小）值的点称为最值点。
对于连续函数，还可以利用介值定理求解最值。
最值的求法利用定义法或表格法求极值点，然后比较极值与端点函数值的大小关系，从而得到最值。
1导数在极值最值问题中的综合应用23导数在极值最值问题中的应用非常广泛，例如在经济、物理、工程等领域都有应用。
2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第1课时利用导数研究函数的单调性课件理
G(x)min＝－1.
所以 a>－1.
(2)由 h(x)在[1，4]上单调递减得， 1 当 x∈[1，4]时，h′(x)＝x －ax－2≤0 恒成立，③ 1 2 1 2 即 a≥x2－x 恒成立.设 G(x)＝x2－x ， 所以 a≥G(x)max，而
1 －（a＋1）＋ 2a＋1 当－ ＜a＜0 时，f(x)在0， ， 2 a
－（a＋1）－ a
2a＋1 ，＋∞上单调递减，
－（a＋1）＋ 在 a
2a＋1 －（a＋1）－ 2a＋1 上单调递增. ， a
规律方法
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确
A.1 C.3
B.2 D.4
解析
由题意知在x ＝－ 1 处f′( － 1) ＝0 ，且其左右两侧导数
符号为左负右正. 答案 A
3.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(
)
A.(－∞，1]
C.(－∞，0]
B.[1，＋∞)
D.(0，＋∞)
解析 令f′(x)＝ex－1>0得x>0， 所以f(x)的递增区间为(0，＋∞). 答案 D
解
(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x，
4 4 因为 f(x)在 x＝－ 处取得极值，所以 f′－3＝0， 3 4 16a 8 16 1 － ＝ 所以 3a· 9 ＋2· 3 －3＝0，解得 a＝2. 3
(2)由(1)得 故
1 3 2 x g(x)＝2x ＋x e ，
4.函数f(x)＝ln x－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.
解析 1 ∵f′(x)＝x －a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验
2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数
3.3.2 函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；(2)f′(a)＝0；(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)；(2)f′(b)＝0；(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？[提示](1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[基础自测]1．思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)函数的极大值一定大于极小值．( )(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )(4)函数f (x )＝1x有极值．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在D [y ′＝3x 2≥0，则函数y ＝x 3＋1在R 上是增函数，不存在极大值．] 3．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点则有( )【导学号：97792153】A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4B [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有x ＝－2和x ＝4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的极值函数f (x )的极小值是( )图338A ．a ＋b ＋cB ．3a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c(2)求下列函数的极值： ①f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；②f (x )＝2xx 2＋1－2. [解析] (1)由f ′(x )的图象知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0 因此当x ＝0时，f (x )有极小值，且f (0)＝c ，故选D. [答案] D(2)①函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值143↘极小值－6↗∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点，且f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.②函数的定义域为R ， f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值－3↗极大值－1↘当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.[规律方法] 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． 1．求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x ＋8x；(2)f (x )＝3x＋3ln x .[解] (1)因为f (x )＝2x ＋8x，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，f ′(x )＝2－8x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － － 0 ＋ f (x )↗极大值－8↘↘极小值8↗因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值－8； 当x ＝2时，f (x )有极小值8.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值3↗因此，当x ＝1时，f (x )有极小值3，无极大值.已知函数的极值求参数范围(值)【导学号：97792154】[思路探究] f (x )在x ＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x ＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f ′(－1)＝0，f (－1)＝0.[解] ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b 且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.[规律方法] 已知函数的极值情况求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．[跟踪训练]2．(1)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝2或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－4，b ＝11 D ．以上都不对C [f ′(x )＝3x 2－2ax －b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3－2a －b ＝0，f 1＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x ＋1)2≥0，不合题意，故a ＝－4，b ＝11.] (2)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.所以a 的取值范围为(－∞，1)．函数极值的综合应用1．如何画三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象． 2．三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c (a ≠0)的图象和x 轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x 轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)(2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根．[思路探究] (1)求出函数f (x )的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象．(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根． [解] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3,令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2；极大值为f (1)＝a ＋2. 由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示，(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根，所以a ＝－2满足条件；当极小值a －2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a ＝2满足条件．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．母题探究：1.本例中条件不变，试求当a 为何值时，方程f (x )＝0有三个不等实根． [解] 由例题解析知，当⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0a ＋2>0即－2<a <2时，方程f (x )＝0有三个不等实根．2．若本例条件改为：已知函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . 试求：(1)函数f (x )的单调区间和极值．(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－6， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <2时，f ′(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．[规律方法]利用导数研究方程根的个数利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是( )①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos x－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④ D．①③B[①④为单调函数，不存在极值．]2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图339所示，则函数f(x)( )图339A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]3．函数y＝－3＋48x－x3的极小值是__________；极大值是________．－131 125[y′＝－3x2＋48＝－3(x＋4)(x－4)，∵当x∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，y′<0；当x∈(－4,4)时，y′>0，∴x＝－4时，y取到极小值－131，x＝4时，y取到极大值125.]4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0.即a 2－a －2＞0，解之得a ＞2或a ＜－1.] 5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值．(2)判断函数f (x )的单调区间，并求极值.【导学号：97792155】[解] (1)因为f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12.故⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x .其定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝x －1x＝x ＋1x －1x.令f ′(x )＝0，则x ＝－1(舍去)或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗上只有极小值f (1)＝12，无极大值．。
高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用 第2课时 导数与函数的极值
中的应用第2课时导数与函数的极值、最值教师用书文新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数在研究函数中的应用第2课时导数与函数的极值、最值教师用书文新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数在研究函数中的应用第2课时导数与函数的极值、最值教师用书文新人教版的全部内容。
函数中的应用第2课时导数与函数的极值、最值教师用书文新人教版基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A。
y＝x3B。
y＝ln（－x)C。
y＝x e－x D。
y＝x＋错误!解析由题可知,B，C选项中的函数不是奇函数,A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值），D 选项中的函数既为奇函数又存在极值.答案D2.（2017·石家庄质检)若a〉0,b>0，且函数f(x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为（）A.2B.3 C。
6 D.9解析f′（x)＝12x2－2ax－2b,则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，又a〉0，b〉0，则t＝ab≤错误!错误!＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号。
答案D3。
已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2）时，f（x)＝ln x－ax错误!,当x∈(－2,0)时,f（x）的最小值为1，则a的值等于（）A.错误!B.错误!C.错误!D.1解析由题意知，当x∈（0，2)时，f（x)的最大值为－1。
令f′（x)＝错误!－a＝0，得x＝错误!，当0〈x〈错误!时，f′（x)〉0；当x〉错误!时，f′（x)〈0。
2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件5 新人教B版选修2-2
(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法口诀 ： 左 负 右 正 为极小，左 正 右 负 为极大。
2．函数的最值
设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，函 数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做 函数y＝f(x)的最大(最小)值．
4
B层次 已知函数f (x) = ex ax,若对任意 0， 都有f (x) 0，恒成立，试确定实数a的取值范围
3）极值只在定义域内取得，最值可能在区间端点处取得
授人以渔
题型一：利用导数求函数极值 （1）f (x) = 1 x3 4x 4
3 (2) f (x) = 1 x2 ln x
2
解： （1）确定定义域 （2） f (x) =
（3）解方程 f (x)
（4）列表 x
f (x)
f(x)
(5) 结论
； ；
=0
求可导函数f(x)极值的步骤
（1）确定定义域（可省略）
（2）求导数f′(x)； （3）求方程f′(x)＝0的根．
（4）列表 （5）结论
题型二：利用导数求函数的最值
Hale Waihona Puke 求函数的最值：f (x) = 1 x3 4x 4 3
x 0,3
y
-2 0 2 3
x
求函数最值的步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个
导数的应用(二) 利用导数求函数的极值与最值
学习目标：
1.通过学生完善课前自助餐，能准确叙述极值、 最值的概念及最值与极值的区别；
最新-2018届高考数学一轮复习 导数的应用 极值与最值调研课件 文 新人教A版 精品
• 4.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函 数在[－2,2]上的最小值是( )
• A．－37
B．－29
• C．－5
D．以上都不对
• 答案 A
• 解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2) • ∴f(x)在(－2,0)增(0,2)减∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝
称为极值．
• (2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法： • 如果x<x0有f′(x)__>__0，x>x0有f′(x)__<__0，则f(x0)是极大值； • 如果x<x0有f′(x)__<__0，x>x0有f′(x)__>__0，则f(x0)是极小值． • 2．求可导函数f(x)极值的步骤 • (1)求导数f′(x)； • (2)求方程f′(x)＝0的根． • (3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近
3 2
ax2＋
b，
x∈
[－
1,1]的
6 最大值为1，最小值为－ 2 ，求f(x)． 【解析】 f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，
由 f′ (x)＝ 0， 即 3x(x－ a)＝ 0， 得 x＝ 0或 a，
调递减；当x∈ (1,2]时，f′ (x)>0，故f(x)在(1,2]
上单调递增．
1 ∴f(x)在区间[2， 2]上有唯一极小值点，
故f(x)min＝ f(x)极小值＝f(1)＝0.
又 f(12)＝ 1－ ln2， f(2)＝ －12＋ ln2， f(12)－ f(2)＝
3
ln e3－ ln 16
2018高考一轮数学(课件)第2章 第12节 导数与函数的极值、最值
小值 a－aln a，无极大值.15 分
上一页
返回首页
下一页
第十一页，编辑于星期六：二十二点 三十一分。
高三一轮总复习
☞角度 3 已知极值求参数
(1)已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围
是( )
A．(－∞，0)
B.0，12
C．(0,1)
D．(0，＋∞)
(2)(2017·诸暨市肇庆三模)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若 x＝－3 是函数
上一页
返回首页
下一页
第十页，编辑于星期六：二十二点 三十一分。
高三一轮总复习
☞角度 2 求函数的极值
求函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)的极值． [解] 由 f′(x)＝1－ax＝x－x a，x＞0 知：
(1)当 a≤0 时，f′(x)＞0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极
上一页
返回首页
下一页
第十四页，编辑于星期六：二十二点 三十一分。
高三一轮总复习 [规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程
上一页
返回首页
下一页
第十五页，编辑于星期六：二十二点 三十一分。
高三一轮总复习
利用导数解决函数的最值问题
已知函数 f(x)＝x－eax(a＞0)． (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)求函数 f(x)在1a，2a上的最大值． [解] (1)f(x)＝x－eax(a＞0)，则 f′(x)＝1－aeax， 令 f′(x)＝1－aeax＝0，则 x＝1aln1a.2 分
_都__小__，f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧__f′_(x_)_＜__0___，右侧_f_′(_x_)＞__0____，则
2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数课件
当0<x<2π时，x1＝π3，x2＝π，x3＝53π. 当x在区间(0,2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0，π3
π 3
π3，π π π，53π
5π 3
53π，2π
f′(x) ＋
0
－0 －
0
＋
f(x)
极大值3 4 3
0
极小值－3 4 3
故当x＝π3时，f(x)有极大值为3 4 3；
f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x)
＋
0－0
＋
f(x)
28 3
－43
∴当 x＝－2 时，f(x)有极大值238；当 x＝2 时，f(x)有极小值－43. 要使关于 f(x)＝k 的方程有三个不等实根，则使 k 应满足－43<k<238.即实 数 k 的取值范围为－43，238.
[双基自测] 1．下列结论中，正确的是( ) A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值 C．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极小值 D．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极大值
4．函数 y＝sin x＋cos x 在[0，π]上的极大值为________． 解析：y′＝cos x－sin x，令 y′＝0 得 x＝π4， 当 0<x<π4时 y′>0，当π4<x<π 时，y′<0， 所以当 x＝π4时，y 取得极大值且极大值为 y 极大值＝sinπ4＋cosπ4＝ 22＋ 22＝ 2. 答案： 2
2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件2 新人教B版选修2-2
y P(x1,f(x1))
y=f(x)
Q(x2,f(x2))
o
a x1
x2
x3 x4 b
x
y
f(a)和 f(b)是否为极值？
y=f(x)
x3
O a x1 x2
x4
x5 x6 x7 b
x
极 大 值 点 有 ： x2 、 x4 、 x6
极 小 值 点 有 ： x 1 、 x 3 、 x 5 、 x 7
解：y x 2 4 (x 2 )x ( 2 )
令 y 0，解得 x12,x22
当 x 变化时，y, y 的变化情况如下表：
x (,2) -2
(-2,2) 2
(2,)
f(x)
+
f(x)
0
—
0
+
极大值 28 3
极小值 4 3
当 x2时，y有极大值，并且
y极大值
x (–∞, –3)
f (x) +
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3
( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
y
—
0
—
0
+
0
+
y
无极值
极小值0
无极值
思考：极值与导数有何关系？
极值点处的导数为0 导数为零处不一定是极值点
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
阶段小结：
极值点导数为0，但导数为0初不 一定是极值点
2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数极值课件11 新人教B版选修2-2
4时 11
，f
'
(
x
)
3
x
2
8
x
11
(3
x
11（) x
1）
当x [ 11 ,1]时 ，f ( x)为 减 函 数,当x [1, ]时 ，f ( x)为 增 函 数 3
所
以
，ba
4 11
牛刀小试：
1、判断下面4个命题，其中真命题的序号为 （2） （1）可导函数必有极值 （2）函数的极值点必在定义域内 （3）函数的极小值一定小于极大值
（设极小值、极大值都存在） （4）函数的极小值（或极大值）不会多于一个
探究一下极值点两侧导数值的正负变化情况
y
f (x) 0 f (x) 0
f (x) 0 f (x) 0
a
x2
b
x1
f (x) 0 f (x) 0
Oy
x3
x4
x5
x
极大值点左侧导数为 正 ，右侧导数为 负
牛刀小试：
2、 已 知 函 数y f ( x)， 其 导 函 数f '( x)的 图 象
其 中 正 确 的 是__(3_)__（ 将 你 认 为 正 确 的 序 号填 在 横 线 上 ）
5、求最值 f (x) 1 x3 -4x 4
3
当ba
2时 9
，f
'(
x)
3
x2
12x
9
3(
x
1（) x
3）
当x [3,1]时 ，f ( x)为 减 函 数
当x [1, ]时 ，f ( x)为 增 函 数
所
以
，ba
2 9
今天，我们学习了函数的极值的概念，并学习了利用导数求极值的方法
2018年高中数学导数及其应用1.3.2利用导数研究函数极值课件12新人教B版
如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可.
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒
成立问题，求参数范围时，可先分离参数.
例3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， (1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围. 解 ∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).
3.在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；
若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则
这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.
4.极值与最值的意义
(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值； (2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小) 的值.
10，则其最小值为________.
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
本课小结：
(1) 若 f′(1) ＝ 3 ，求 a 的值及曲线 y ＝ f(x) 在点 (1 ， f(1)) 处的切
线方程.
解 f′(x)＝3x2－2ax. 因为f′(1)＝3－2a＝3， 所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
2a 当 0< <2，即 0<a<3 时， 3 2a 2a f(x)在0， 3 上单调递减，在 3 ，2 上单调递增，