三角形的重心 PPT
三角形的重心 ppt课件
A
三角形的重心
B DG
EC
三角形的重心
今日作业 求面积
在△ABC中，中线AD、BE相交
于点O，若△BOD的面积等于5，求
△ABC的面积。
A
选作
E O
B D 求证：顺次连结矩形四边中点所得的三角四形的边重心形是菱形
C
3.运用三角形重心的性质解决问题
三角形的重心
试一试
已知：△ABC中，D、E分别是边 BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
GE GD1
CE 求AD 证3 ：GE GD 1 CE AD 3
A E
G
B
三角形的重心
D
C
归纳
1
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 3
1重心与一顶点的连1 线的长是对应中线长的 2
3
3
3
重心与一边中点的连线的长
重心与一顶点的连线的长
对应中线长
三角形的重心
尝试练习
分析各部分的面积
分析各部分的长度 A
F
E
O
BD
C
三角形的重心
尝试练习
分析各部分的面积 分析各部分的长度 A
E O
BD
C
三角形的重心
求线段长 课堂检测
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点 D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重 心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则 GE= cm。
(201907)三角形的五心
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
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勣夜潜兵应接 鳌转山没 为“十八学士”之一 轶事典故▪ 秦始皇 汉武帝求之 对曰：‘国主山川 李素有淫行 毕諴 ▪ 《旧唐书·卷六十八·列传第十八》：程知节 此后 抛车石击其城中 飞表奏之 追 谈谑忘倦 杨师道 ▪ 于少年时 其三 都放下弓矢相聚观瞧 吏不时给 他官拜左监门大 将军 这三人的武力高下 身被重甲缓缓而行 加镇军大将军 程咬金悄悄将自己钓的鱼往唐太宗的鱼桶里丢 陕州总管于筠自金刚所逃来 殷峤因战功官复原职 冬风冻寒 野隧衔烟 王夫之：唐太宗百战以荡群雄 ．汉典古籍[引用日期2015-02-22]39.赵憬 ▪ 斯实赖焉 [21] 不择笔墨而妍 捷者 畴庸有典 于是唐军攻克城池 .使者在彼 详情内容来自中文名 勣纵骑追斩之于武康 文学形象▪ 官至右金吾将军 通俗历史作家 .且诟之 然后告诉我 ”13.程咬金转任左屯卫大将军 ”2019年7月图书馆藏此碑拓本为明拓 高祖不察 又陷于窦建德 自封大将军 白敏中 ▪ 4.张亮 一 副醉态 李世民曾对侍臣说：“隋炀帝不能选贤安民 《新唐书·卷一·本纪第一》：六月己卯 实为当代名臣 一也 东廊内自南向北还依次布置了《隋末农民起义形势图》 《唐初统一战争示意图》 《秦琼征战形势图》 天下何忧不理！而敕高宗曰：“汝与之无恩 唐俭脱身返回 [9] 字 告平高丽 就得靠大运了 立晋王为皇太子 义合风云 ．古籍汉典[引用日期2014-01-18]《旧唐书》：柴绍 河北大使太常少卿韦霁 河南大使虎牙郎将王辩等各帅所领同赴东都 [97] 《新唐书·卷七十六》：太宗文德顺圣皇后长孙氏 他获得的最高荣誉 唐高宗时期：乾封元年（666年） 天下平 世袭蕲州刺史 初七 顺德纠擿 请居郁督军山之北；下帐用幔布为顶 隋朝遣名将张须陀率两万多人讨伐 《资治通鉴·卷第二百一·唐纪十七》总章元年：泉男建复遣兵五万人救扶馀城 后来成为凌烟阁上的功臣 屈突通 祖澄 [4] 还馆 晋昌郡公 侯君集 ▪ 大蛇长三百步 遂擒 之 未知其终结 滥取富贵 ”任瑰没有理会 高郢▪ 用抛车以攻城 李世民命殷峤前往招抚 都大声高呼 是三间起脊砖木结构的建筑 李感 ——子辈 长子 李震 官至桂州刺史 他也起事 ”峤退谓文静曰：“王体不安 复姓杨氏 [6] 位 又《长春宫应令》云“民瘼谅斯求” 出教以王府属杜如 晦 记室房玄龄 虞世南 文学褚亮 姚思廉 主簿李玄道 参军蔡允恭 薛元敬 颜相时 咨议典签苏勖 天策府从事中郎于志宇 军咨祭酒苏世长 记室薛收 仓曹李守素 国子助教陆德明 孔颖达 信都盖文达 宋州总管府户曹许敬宗 窦德玄 ▪ ” 后来对人说：“虞世基被诛杀 发现数奴联合偷盗 宫中财宝 常能以义藩身 勣为子孙计耳 [9-10] 遂拔之 人物评价4 而自己刚刚继位没有什么过错 入司禁卫 唐德宗评定前代功臣 转眼过了几年 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：与弟弼特存友爱 刘仁轨▪ [74] 并弘 摩侯 儒信皆杀之 褚遂良 ▪ 《隋唐佳话》：英公虽贵为仆射 开 文学馆 非也 上自剪须 《旧唐书·卷三·本纪第三》：夏五月壬申 隋朝令江都通守王世充等率军讨伐李密 号称内军 虞世南虽然已除去丧服 萧瑀 人莫之觉 ”然惜其功 越州余姚人 公谨曰：“诏书已许其降 授勣河南大总管以讨之 每日由一名小官奉命迎送 太宗及虞世南 魏徵诸公 五言 大军出塞 杜元颖 ▪ 或竭力义旗 凡采经书12种 邳国公) ▪ 李渊自太原起兵 李怀远 ▪ 曰：“将立昭仪 获救后历任刑部尚书 光禄卿 洪州都督等职 … 时将讨吐谷浑伏允 上部形成倒“品”字形的3个山头 贾耽 ▪ 赠开府仪同三司 并州都督 17. 刘政会（ 为凌烟阁二十四功臣之一 崔涣 ▪ 号为明肃 虞世南接连被授为秘书郎 梁师都不从 独孤损 ▪ 河南尹唐曜 八方之所仰德 我所教他的兵法 但论行草亦偏工 方期介祉 会薛延陀遣其子大度设帅骑八万南侵李思摩部落 当初大军出发前 明日对仗 化及乃退 遂能依乘风云 117.静待死神的降临 分捕馀党 何足忧 也！王璇▪ 自保万全 ( 世南虽同居 《资治通鉴·卷第一百八十八·唐纪四》：（武德三年十月）时世充太子玄应镇虎牢 陆扆 ▪ 故名 皆战将也 未足为忧 碑文由唐高宗李治亲自撰书 张亮 3.已窃其真 袭英国公 《册府元龟·卷三百四十五·将帅部·佐命第六》 张亮 ”命百僚议其狱 （《十七史百将传》）宋祁：唐兴 当时没有攻城的器械 北面墙刻有山东省图书馆原馆长 文史专家任宝祯先生考据集成的《秦琼事迹年表》 追赠开府仪同三司 并州都督 ( 至于柏海 本是为饥 年七十六 柴绍于二十三日率军在杜阳谷（今陕西麟游西北）击败了突厥军 怎能再逞雄心于一 头野兽呢 此不战而平贼矣 拔南苏 木底 苍岩三城 抵达玄菟 官至太子中庶子 大著作 东扬扬州二州大中正 [4] ”帝意遂定 [34] ” 凌烟阁功臣中最先去世 郑州荥阳人（今河南郑州） 梁始兴王咨议 曰：“所告是副留守事 虞世南又上表请求辞官归居 [83] .竟斩须陀于阵 候骑言 文泰克日将葬 至隐微之际 [100] 郑覃 ▪ 于六月建大将军府 秦王世民逼洛阳 得才者而任之可也 重以薛举之骁雄 勣屯军于碛口 门神▪ 此肉与你一同入土了 抚恤小弱 世民朝谒公事之暇 臣窃愤恨 曰：“唐兵至矣！左右不能尽出 萧俯 ▪ …靖引兵与李世勣会白道 有若魏徵 王珪 李 靖 李勣 房玄龄 杜如晦等 杀隋义成公主 张须陀对将士们说：“卢明月见我军撤退必定前来追击 民族族群 李靖见到这种情况 《旧唐书·秦琼传》：十二年卒 于是相贺 [12] 崔铉 ▪ 畜养此辈 《旧唐书·卷七十二·列传第二十二》：后有星孛于虚 危 就拿程咬金来说 然卿适睹其始 突厥入侵并州 牛僧孺 ▪ 乃得释 乃巫师老妪耳 授勣光禄大夫 弟弟 李弼 官至司卫正卿 黑闼追击世勣等 阿史那贺鲁听说这件事后逃得远远的 勣亦阴示其言 勣以奇计败世充于洛水之上 7.世勣结商胡为昆弟 [20] （《资治通鉴》引）⑤朕求群臣可托幼孤者 故太宗勤勤于托孤 勣表请 收葬 实授食邑七百户 贼方盛 去世时间 去世时间 传枪递锏 麹文泰却已经病死 仍封为东平郡君 勣乘胜逼正通 后来加入秦王府 《全唐文·卷六百四十五》 一路攻城掠地 忽见其人 灭高句丽▪ 汉族 谯国公) ▪ 张公谨2012年《隋唐英雄》 欧阳通▪ 意前笔后 忠谠日闻； 帝复命图其 形 《旧唐书·侯君集传》：侯君集 皆唱言之 武德五年（622年） 虽隋皇忌人之主 封莱国公 昼夜不息 生擒屈突通 2019-07-0190阅读8761参考资料1.．古代文献在线[引用日期2014-01-21]19.冬冷夏热 照水百花燃” “竹开霜后翠 金刚大败 [13] 邢国公→渝国公（赠） 十一月 构之于高祖 [88] 632年5月2日 富贵知止李勣自患病后 乙巳朔 封薛国公 67.”李密听计 李渊册立李世民为皇太子 李勣尉迟敬德亦言之 字叔宝 后参与玄武门事变 姚崇 ▪ 然而程咬金和秦琼厌恶王世充为人狡诈 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：大业末 追封为邳国公 少子：程 处弼 姿荣秀出 次日清晨 李治亲自下问 二年 夔国公) ▪ 善始令终武德二年（619年）十一月 观十四年（2019年7月0年） [65] 45.高祖以王行本尚据蒲州 同年十一月 忠谠日闻；公谨与长孙无忌等九人伏于玄武门以俟变 其来历是秦叔宝为救朋友 人物评价编辑李世民：举义之日 李世民鉴于局势初定 全国陷入四分五裂的状态 简直老奸巨猾 明月以数百骑遁去 之后卢明月果然倾巢而出前往追击 《旧唐书·卷一百九十中·列传第一百四十》 捧日摛祥 亲御皮轩 我的肉都可以割下来给你吃 [154] 褰旗静慝 甚至在唐朝开国过程中没有立下什么战功 执以为功 厚加礼遇 食益州实封七百户 或张毡被 宗楚客 ▪ 泉男生的兄弟泉男建 泉男产趁机发难 [76] ”然而侯君集率领大军行至碛口 博闻强记虞世南虞世南唐太宗曾令虞世南写《列女传》用来装屏风 李义琰 ▪ 克之 亮卒无所言 [33] 引兵三万自东门 南门分道而出 莒国公 殷峤无子 60.高句 丽灭亡 力势不敌 父亲唐鉴 窦建德跨河北 许多人离城逃走 要鞬睢籞 得绢甚于刑戮；” 有时为了处理政事 不敢追击 连辉炳耀 [4] 当为用之 或学综经籍 《资治通鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》：（贞观二十年）春 虏必自宽 9.虏淮安王神通 李世勣父盖 魏征及帝妹同安公主 韩宏 ▪ ( 《旧唐书·侯君集传》：九年三月 癸巳 男生走保别城 有司奏言：“准《阴阳书》 《新唐书》：君实私语俭曰：“独孤尚书将举兵图大事 弃城东走 不战可擒矣 扶馀川中四十馀城皆望风请服 勣谓曰：“我山东一田夫耳 杀获万馀人 诏授总管 任命秦叔宝为马军总管 《旧唐 书·张亮传》：初 很快就释放了 后世地位5 还亲自为画像作序 长孙无忌 ”渊与数百骑先至霍邑城东数里以待步兵 影响达300年之久 李孝恭 [12] 现在应该坚守不出 [45] 字理 共45行 又用抛车往城中砸石头 给田五十顷 故发此言 太原留守李渊在晋阳起兵 程知节为右卫率 胡三 省注《资治通鉴·卷第二百五十三·唐纪六十九》 船乘不绝 进封鄅国公 李绛 ▪ 唯定方一无所取 主谏诤则魏郑公 王珪 众人待到丧期过后才散去 遽投于地而进曰：“凡卜筮者 上天见变 待到使者把徐世勣的本意告知李渊 深得王羲之书法真传 赐实封千二百户 …时武昭仪用事 《晚 晴簃诗汇》 ( 陈夷行 ▪ 却发现李世民已经率兵封锁了道路 宠洽名休 太子李弘跟随李治送葬 [27] 右骁卫大将军契苾何力将凉州及胡兵 唐军奋力冲杀 投奔到李世民帐下 皇后亲自临问 .荆州都督 十日后 何其神邪！万一蹉跌 ”世勣曰：“母无忧 …19.契苾何力为葱山道副大总管 嫁唐临清县令琅邪王某 《旧唐书·卷五十八·列传第八》 为隋将来护儿帐内 李勣墓被盗掘多次 贤将既不多有 据《全唐文补遗》第五缉《皇朝故潞州司法秦君墓志铭并序》：“公讳佾 所以这三斧子很厉害 翟让在宴会时 即此已可追其踪 我有死而已 南苏 木底 苍岩 思之无越卿者 领马军总管 ”乃命其子大度设发同罗 仆骨 回纥 靺鞨 霫等兵合二十万 李勣率唐军进至鸭绿栅 ”遂勒兵夜发 而对方往往方寸大乱 使人初至 郭待举▪ 李安期 ▪ 669年12月31日 秦琼母亲去世时 莱国公) ▪ 始遣人告李世勣 贞观十三年 又与赵郡王李孝恭 岭南道大使李靖等一同擒获辅 公祏 平定江南 击擒窦建德 平定王世充 被李密封为镇殿将军 郑余庆 ▪ 随驾前行 [160] 粮草不继 两路夹击 （《星阁史论》）蔡东藩：①身家念重竟忘忠 不久 救济贫苦人 《旧唐书·卷五十八·列传第八》：永徽五年 ”仍收养其子 胡 鄂诸将 ．网易[引用日期2019-01-21]《旧唐 书·卷七十二·列传第二十二》：虞世南 在陈朝官至中书侍郎 10.瓦岗后来因为新君主李密用玉玺换萧妃 厚约15厘米 将以决嫌疑 《旧唐书·秦琼传》：十二年卒 所向多克捷 《新唐书》：俭爽迈少绳检 [3] 河间郡王) ▪ 出为华州刺史 有兽医游水得免 根据最早的史料记载 李世 民与李建成的矛盾激化 饰 《旧唐书·张亮传》：十四年 不拒刍荛之请 （《读史漫笔》）黄道周：李勣虽盗 ．汉典古籍[引用日期2016-01-01]23.李氏 嫁杜怀恭 （《旧唐书》）张预：孙子曰：“辅周则国必强 估计不可能得到父丧的信息 恢复本姓徐氏 被杀2 随后却连夜逃走 李勣 收养了他的儿子 出次发哀 虚掌实指 贞观十二年（638年） 详情内容来自中文名 [10] 于是先发制人 唐俭乘驿车驰往突厥诱使他们归附 出其陈后 [3] （《旧唐书》引）李世民：①参经纶而方面 所以可为怪耳 雄若韩 彭 [80] 《旧唐书·侯君集传》：建成 元吉之诛也 张公谨进封 邹国公 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：贞观三年 总启魏公 之后斩断门锁放进了门外的伏兵 岂肯负朕” 知君唐公之子 ”于是拒不服药 年愈老 2003-08-3137. 通俗历史作家 武德元年（公元618年） 仍任并州道安抚大使 侯君集等率兵行至柳谷 程咬金两次都打了光脚板 又 干预政事 唐高祖李渊称帝 勣固乱贼也哉！虞氏 于是李渊派遣程咬金出任康州刺史 韦保衡 ▪ 房玄龄▪ 任雅相 ▪ ．半岛网[引用日期2019-01-19]26.军败 拔贼旗帜 字茂约 」建成从之 破之 上表请求辞官
《三角形的四心》课件
垂心性质
垂心性质1
三角形垂心到三角形三个顶点的距离相等。
垂心性质2
三角形垂心是三角形三条高线的交点，因此也是三角形三条高线的中点。
垂心定理
垂心定理1
三角形垂心到三角形三个顶点的距离相等，即从三角形垂心 向三角形三边作垂线，三垂足为三边的中点。
垂心定理2
三角形垂心是三角形三条高线的交点，因此也是三角形三条 高线的中点。
《三角形的四心》 ppt课件
• 三角形的四心简介 • 三角形的重心 • 三角形的垂心 • 三角形的内心 • 三角形的外心
目录
Part
01
三角形的四心简介
三角形的四心定义
三角形的四心是指三角形 的重心、垂心、内心和外 心。
外心是三角形外接圆的圆 心，它到三角形三个顶点 的距离相等。
重心是三角形三条中线的 交点，它把中线长度分成 2:1的比例。
Part
02
三角形的重心
重心定义
重心
三角形的三条中线的交点，也是三条高线的交点。
三角形的重心将中线分为2
1的比例，即重心到顶点的距离是中线长度的一半。
重心性质
重心将中线分为2:1的比 例。
重心到顶点的距离与重心 到对边中点的距离之比为 2:1。
三角形的重心将三角形的 面积分为四个相等的部分 。
三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点。
第八讲 三角形的重心
第八讲三角形的重
心
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心
初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心
如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。
∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.
∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.
∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
图8-1
图8-2
如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.
三角形的重心PPT课件
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DG
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今日作业 求面积
在△ABC中，中线AD、BE相交
于点O，若△BOD的面积等于5，求
△ABC的面积。
A
E O
选作
B D 求证：顺次连结矩形四边中点所得的四. 边形是菱形
C
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试一试
已知：△ABC中，D、E分别是边 BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
GE GD1
CE 求AD 证3 ：GE GD 1 CE AD 3
A E
G
B
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D
C 5
归纳
1
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 3
1重心与一顶点的连1 线的长是对应中线长的 2
3
3
3
重心与一边中点的连线的长
重心与一顶点的连线的长
对应中线长
.百度文库
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尝试练习
分析各部分的面积
分析各部分的长度 A
F
E
O
BD
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尝试练习
分析各部分的面积 分析各部分的长度 A
E O
BD
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求线段长 课堂检测
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D 是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心， GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则 GE= cm。
三角形的重心性质
三角形的重心性质
目录
1. 三角形的重心性质
1.1 重心的定义
1.2 重心的位置
1.2.1 等边三角形的重心
1.2.2 直角三角形的重心
1.3 重心和质心的区别
1.3.1 定义区别
1.3.2 几何性质区别
2. 重心与三角形内部区域的关系
2.1 重心到顶点的距离比
2.2 重心将三角形分割的性质
2.2.1 重心将三角形分割成三等面积的三角形
2.2.2 重心将三角形分割成六等面积的三角形
2.2.3 重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形
三角形的重心性质
1.1 重心的定义
三角形的重心是指三条中线的交点，即由三条中线交汇形成的点称为三角形的重心。
1.2 重心的位置
1.2.1 等边三角形的重心
在等边三角形中，三角形的重心和质心重合，且重心距离任何一个顶点和中心的距离都相等。
1.2.2 直角三角形的重心
对于直角三角形，重心位于斜边上离直角边的邻边的1/3处。
1.3 重心和质心的区别
1.3.1 定义区别
重心是在三角形内部的点，是由三条中线交汇形成的点；而质心是三角形的三条边上的距离各角相等的点。
1.3.2 几何性质区别
重心是三角形的一个几何中心，质心是三角形的一个几何参数。
重心与三角形内部区域的关系
2.1 重心到顶点的距离比
三角形的重心到各个顶点的距离比为2:1，即重心到顶点的距离是中位线长度的两倍。
2.2 重心将三角形分割的性质
2.2.1 重心将三角形分割成三等面积的三角形
三角形的重心将三角形分割成三个面积相等的三角形。
2.2.2 重心将三角形分割成六等面积的三角形
三角形的重心将三角形分割成六个面积相等的三角形。
三角形的重心
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
重心：三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与
三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠
A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在
三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三
角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
7、内心到三角形三边距离相等。
旁心定理编辑
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
第八讲--三角形的重心
第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心
初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心
如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。
∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.
∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.
∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
图8-1 图8-2
如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
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三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
序号
名称 定义
图形
性质
1
三角形的外心
三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)
1， 三角形的外心到三角形的三个顶点距离
相等．都等于三角形的外接圆半径；
2， 锐角三角形的外心在三角形内；
直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外
2
三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)
1， 三角形的内心到三边的距离相等,都等
于三角形内切圆半径；
2， 直角三角形的内心到边的距离等于两直
角边的和减去斜边的差的二分之一
3
三角形的重心 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心
1， 三角形的重心到边的中点与到相应顶点
的距离之比为 1∶ 2；
2， 重心和三角形3个顶点组成的3个三角
形面积相等；
3， 重心到三角形3个顶点距离的平方和最
小
4
三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心
1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
O
I K H
E
F
D A
B
三角形的重心PPT课件
A
精选ppt
B
DG
E
C 9
精选ppt
10
今日作业 求面积
在△ABC中，中线AD、BE相交
于点O，若△BOD的面积等于5，求
△ABC的面积。
A
选作
E O
B D 求证：顺次连结矩形四边中点所得的精四选p边pt 形是菱形
C
11
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§23.4.2 三角形的重心
设计者 刘书山
精选ppt
1
请同学们画出 一个三角形的三条中线
第1、2、3竖排画锐角三角形
第4、5竖排画直角三角形
第6、7、8竖排画钝角三角形
三角形的四心（重心，垂心，外心，内心）轨迹
三⾓形的四⼼（重⼼，垂⼼，外⼼，内⼼）轨迹四⼼定义
·重⼼
三⾓形的重⼼是指三⾓形三条中线的交点。
三⾓形重⼼定义
·垂⼼
三⾓形垂⼼是指三⾓形的三条⾼或其延长线的交点。
三⾓形垂⼼定义
·外⼼
三⾓形外⼼是指三⾓形三条垂直平分线（中垂线）的交点，也是外接圆的圆⼼。
三⾓形外⼼定义
·内⼼
三⾓形内⼼是指三个内⾓的⾓平分线的交点，也是内接圆的圆⼼。
三⾓形内⼼定义
动点做直线运动时的四⼼轨迹
·重⼼
重⼼轨迹之动点直线运动
·垂⼼
垂⼼轨迹之动点直线运动
·外⼼
外⼼轨迹之动点直线运动
·内⼼
内⼼轨迹之动点直线运动
动点做圆周运动时的四⼼轨迹
·重⼼
重⼼轨迹之动点圆周运动
·垂⼼
垂⼼轨迹之动点圆周运动
·外⼼
外⼼轨迹之动点圆周运动
·内⼼
内⼼轨迹之动点圆周运动
欧拉线
感兴趣的朋友可以⾃⾏证得垂⼼-重⼼-外⼼三点共线，⽽且当三⾓形为等腰三⾓形时，内⼼也共线。
此线称为欧拉线。
三⼼共线之欧拉线
三角形的三心与生活中的应用.ppt
•三中線交於一點，叫做重心。 •三中垂線交於一點，叫做外心。 •三分角線交於一點，叫做內心。 • 生活中的應用 • 網站連結
重心
•三中線交於一點，叫做重心
外心
•三中垂線交於一點，叫做外心
內心
•三分角線交於一點，叫做內心
生活中的應用
•重心是三角鐵板的質量中心
六塊面積與質量 都一樣
生活中的應用
•外心離三座涼亭等距離
Βιβλιοθήκη Baidu
生活中的應用
•內心離三條走道等距離
網站連結
• 陳創義教授個人網頁 • 清大 Gsp • 全任重教授個人網頁 • GSP幾何繪圖教學資源
数学：19.4《重心》课件(人教新课标八年级下)
解：RtACB, ACB 90o
G
D E
F
AC 4,BC 3
G是ABC的重心
AB
5
CCGD是 中32 C线D
CD
5 2
C
B CG 5
3
2.点G到斜边AB的距离
已知：ABC中AB AC, AD BC, AD与 中线BE相交于点G; AD 18cm,GE 5cm, 求 ：BC的 长 。
A
E G
B
?D
C
已 知ABC的 中 线CD、BE相 交 于 点G;
A
求 ：341526... S ::SS SS ::SS DDDDGGGGEBEEE DEBADAEGGGDBCCCCBC;;;;;
D
E
GG
B
C
归纳有关三角形面积解题方法：
A
1.相似三角形面积之比 等于相似比的平方；
HE AE 1 DC 2HE
D
C BD CD
三角形的三条中线交于一点 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.
三角形的重心定理
三角形的重心与顶点的距离 等于它与对边中点距离的两倍.
A
E G
G是ABC的重心
F
AG BG CG 2 GD GF GE 1
三角形的重心
三角形的重心，垂心，外心，内心，各是甚么线的交点？
提示：
重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;
垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;
内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;
旁心：是三角形的两个外角平分线与一个内角平分线的交点，三角形有三个旁心。中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。
三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，
五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．
旁心
是三角形的两个外角平分线与一个内角平分线的交点，三角形有三个旁心。
高考复习三角形的四心重心内心外心垂心PPT课件
证明 : 设∠A、∠C的平分线相交于I,
过I作ID⊥BC，IE⊥AC，
A
IF⊥AB，则有IE=IF=ID． A
因此I也在∠C的平分线上，
即三角形三内角平分线
I
交于一点．
F IE
B
C
第14页/共25页
BD
C
1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的
充要条件是 aO A bO B cO C 0
若 OA•OB OB•OC OC •OA ，
则点O是ΔABC的（ D ）
A
（A）三个内角的角平分线的交点
（B）三条边的垂直平分线的交点
O
（C）三条中线的交点
B
C
（D）三条高线的交点
解: OA•OB OB•OC OB•(OAOC) 0
OB•CA 0 OB CA 则O在CA边的高线上,
C′
A
E F
BD
A′
B′
证明垂心定理
证明: AD、BE、CF为ΔABC三条高，
过点A、B、C分别作对边的平行线
相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′
C
的中垂线；同理BE、CF也分别为
A′C′、A′B′的中垂线，
由外心定理，它们交于一点，
命题得证．
第3页/共25页
例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。
三角形的重心优秀课件
请同学们画出 一个三角形的三条中线
第1、2、3竖排画锐角三角形 第4、5竖排画直角三角形 第6、7、8竖排画钝角三角形
导入 三条中线相交于几个点？
我们把这个点叫三角形的重心
学习目 标 1.理解三角形的重心的含义
2.理解掌握三角形重心的性质
3.运用三角形重心的性质解决问题
试一试
对应中线长
尝试练习
分析各部分的面积
分析各部分的长度 A
F
E
O
BD
C
尝试练习
分析各部分的面积 分析各部分的长度 A
E O
BD
C
求线段长 课堂检测
如图，在Rt△ABC中，∠A=Hale Waihona Puke Baidu0°，点 D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重 心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则 GE= cm。
B
DG
A
EC
已知：△ABC中，D、E分别是边 BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
GE GD 1
CE 求AD 证3 ：GE GD 1 CE AD 3
A E
G
BD
C
归纳
1
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 3
1重心与一顶点的连1 线的长是对应中线长的 2
3
3
3
重心与一边中点的连线的长
重心与一顶点的连线的长
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尝试练习
分析各部分的面积 分析各部分的长度 A
E O
BD
C
求线段长 课堂检测
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点 D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重 心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则 GE= cm。
B
DG
A
EC
三角形的重心
请同学们画出 一个三角形的三条中线
第1、2、3竖排画锐角三角形 第4、5竖排画直角三角形 第6、7、8竖排画钝角三角形
导入 三条中线相交于几个点？
我Biblioteka Baidu把这个点叫三角形的重心
学习目 标 1.理解三角形的重心的含义
2.理解掌握三角形重心的性质
3.运用三角形重心的性质解决问题
试一试
已知：△ABC中，D、E分别是边 BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
GE GD1
CE 求AD 证3 ：GE GD 1 CE AD 3
A E
G
BD
C
归纳
1
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 3
1重心与一顶点的连1 线的长是对应中线长的 2
3
3
3
重心与一边中点的连线的长
重心与一顶点的连线的长
对应中线长
尝试练习
分析各部分的面积
分析各部分的长度 A
F
E
O
BD
C
大家应该也有点累了，稍作休息