薄透镜系统初级像差理论
第2章薄透镜系统的初级像差方程组
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像质评价技术
下面由 P ，W 求P，W：
由于实际物平面位在无限远，不需要对物距进行规化，
因此
P ，P W，W只要对
得：P P
(h )3
W W
(h )2
规h,化，由公式
P P (h)32 .2(1 8) 0 3 1 .7 7 1 5 0
4000
h 放大到1，即 h 1
A
u1
h
F
u
A’
F’
f 1
l
f 1
u 1 u
l h
u 1 u
l h
P
P
(h )3
W W
(h )2
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(3) P ，W 对物距的规化
u1 0
f 1
A
u1 h 1
u A’
根据公式 S I I 2 n u K S h z P J W ，并假定入瞳
与透镜重合 hz 0 ，有：
KS
JWWy 2nu 2
由公式 SC lim KS
y0 y
SC K S W 1.1 4 1 4 0 5.7 1 5 0
lF C h 2 C n u 2
(6)
y F C h zh C n u
(7)
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SI 2nu2L hP
(1)
S I I 2 n u K S h z P JW
(2)
S II I n u 2 x ts
W W (h)2 0 .2(8 84 )0 2 1 .1 1 4 4 0 4000
工程光学设计 第2章 第二讲
B
垂轴色差 yF C yZF yZC
垂轴色差
A
C
D
y Z C
F yZF yZD
B
垂轴色差
yF C yZF yZC
❖ 3 二级光谱
d(sini sin m ) m
第二章 像差理论
2.3 薄透镜的初级像差理 论
2.3 薄透镜的初级像差理论
一. 薄透镜的初级像差普遍公式
球差和数 S hni(i u)(i i)
四 畸变
无畸变
正畸变
负畸变
负畸变
（a） 光阑位于透镜之前产生负畸变
正畸变
（a） 光阑位于透镜之后产生正畸变
❖ 线畸
yz yz y
q yz 100 %
y
五 色差
1 轴向色差
O1 O2
1 23
兰（F） 绿（D） 红（C）
l
′
F
AF′
AC′
-△l
′
FC
l
′
C
2 垂轴色差
A
F
D
C yZ C yZD yZF
四 反射光学系统和平面光学系统的像 差理论
❖ 1 平面反射镜像差
- i′ -i
-u
u′
2 加工或装配误差产生像差
仪器的主光轴
五 球面反射镜的像差
像点
球心
u=0
-i
- i′ - u′
h
r
光阑在反射镜球心
l
lp
球心
阑
光阑在反射镜顶点
l 球心 ip
lp 阑
六 棱镜或平面平行板的像差
光阑
- i1
正透镜
A
A0′ A′
负透镜
PW法
以上是将P、W规化为hΦ =1时的像差特性参数。
二、对物体位置的规化
P P A u A 1 W 4 W A W h A u u A A 1 h lu A 2 1 u A 2 1 h 3 2
以上公式可用于由任意平面位置的像差特性参数求无限远平 面的像差特性参数。
i1
j 1
j 1
nu2 xts
k
SIII
i1
h N
2
zj
h j1 j
Pj
2J
N j 1
hzj hj
Wj
J2
N
j
j 1
k
N
2nu2 xp SN J 2 j
2nuYz
k
SV
i1
h N 3 zj h2 j1 j
i1
Pj 3J
j 1
N j 1
hz2j
h
2 j
Wj
J2
h
2 z
i1 h 2
P 3J
k i1
h
2 z
W
h2
J
2
k i1
hz h
3 h
u n
n n n nr
J
2
k i1
1 h2
1 n2
2、薄透镜系统初级像差的PW表示式
k
N
2nu2 L S2nuKs SII hzj Pj J Wj
Pniiiiu Wiiiu
k
k
S I hP
i1 k
i1 k
k
i1 k
S II
i1
S
III
hzP J W
i1
i1
k
h
2 z
P
2J
k
薄透镜系统的初级像差
4.1 概述 4.2 薄透镜系统的初级像差方程组 4.3 薄透镜组像差的普遍性质 4.4 像差特性参数的P，W，C的规化 4.5 单透镜的 P、W、C 和结构参数的关系 4.6 双胶合透镜组结构参数的求解 4.7 平行玻璃板的初级像差公式 4.8 光学系统消场曲的条件——petzval条件
下面由 P ，W 求P，W：
由于实际物平面位在无限远，不需要对物距进行归化，
因此
P ，P W ， W只 要对
得：P
P
(h ) 3
W
W
(h ) 2
归h,化，由公式
P P (h)3 2.21( 80 )3 1.77 105
4000
W W (h)2 0.284( 80 )2 1.14 104
r1 58.321mm r2 48.309mm r3 133.654mm
4.7 平行玻璃板的初级像差公式
n
uz
O1
y
u
O2
dHale Waihona Puke 平行玻璃板的初级像差公式（1）球差
SI
n2 1 du4 n3
（2）彗差 （3）像散
SII
S
I
uz u
S III
S
I
uz u
2
（4）场曲 S IV 0
(6)
SIIC nuyFC hzhC
(7)
像差方程组的用途： 1. 可以得到薄透镜组的像差性质。 2. 已知像差的数值，反求结构参数。
4.3 薄透镜组像差的普遍性质
2.3.1 薄透镜组的单色像差性质 1．一个薄透镜组只能校正 两 种初级单色像差
SI hP hP
SII hz P J W hz P JW
PW初始结构设计和像差优化
双胶合：定义 f ‘ =1时，色差参量
lch
1 1
II II
C
1＋II 1
此参数完全决定镜组的色差
24
2) 双胶合薄透镜归一化：
W P 归一化条件：
h 1,
f
'
1: 1
1 l
0,
1 2, 2
3 ,3
1 1, f'
n1 n3 1, n1 n2 nI , n2 n3 nII
对于无穷远物距， 归一化条件：
h 1, f ' 1, u 'k 1
对于有限远物距， 归一化条件：
h 1, f ' 1, u 'k u1 h 1
归一化条件下对应的像差参量：P,W , P, W
W WW 1
u12 3 2
实际条件下对应的像差参量P W 归一化条件下的像差参量 P, W
L 'ch,z 0.001 L 'm 0.012 f 0.0355
OSC 0.00049
如果球差需要矫正，采用对透镜组整体弯曲的方法，基本上保持 色差不变
中间的空气间隔，是带球差和正弦差矫正的因素
13
I 0.02013, II 0.01013
2 0.022455, 3 0.022457 或 2 0.014190， 3 0.053187
SI
h4Q2 1 nl
SII
h3hpQ2
1 nl
J
h2Q 1 nl
P AQ2 BQ C
W
A1Q 1I B
2
3
Q 是胶合面的阿贝不变量, 有称 形状因子
Q
1 r2
1
2
1
第2章_薄透镜系统的初级像差方程组讲解
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(3) 像散
SIII nu2 xts
hz2 P 2J h
hz W J 2
h
像散与光阑位置有关，但球差、彗差都为零时，
像散与光瞳位置无关。
(4) 光阑和薄透镜组重合时 hz 0
hz2 W J 2 h2
hz (3 )
h
(5)
SIC nu2lFC h2C
(6)
SIIC nuyFC hzhC
(7)
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像差方程组的用途：
1. 可以得到薄透镜组的像差性质。 2. 已知像差的数值，反求结构参数。
南薄透镜组像差的普遍性质
2.3.1 薄透镜组的单色像差性质 1．一个薄透镜组只能校正 两 种初级单色像差
SI hP hP
SII hz P J W hz P JW
S III
hz2 h
P 2J
hz h
W
J 2
SIV J 2 J 2
SV
hz2 h
P 3J
hz2 W h2
J2
hz (3 )
h
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2．光阑位置对像差的影响
(1) 球差
SI 2nu2L hP
与 h无z 关，所以光阑位置对球差没有影响。
(2) 彗差
SII 2nuKS hz P J W
(7)
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其中的参数：
J nuy nuy
PW初始结构设计和像差优化
I II
= hP = h z P + JW hz 2 hz = P + 2J W + J 2ϕ总 h h = J 2ϕπ hz 3 hz 2 2 hz = 2 P + 3J 2 W + J ϕ 总 (3 + π ) h h h
III
IV
V
两种特殊情况： 两种特殊情况：2） 与光阑重合的接触薄透镜 ——第二近轴在镜组上的高度 hz =0 相同 ——第二近轴在镜组上的高度
∑S ∑S ∑S ∑S ∑S
I II III IV V
= hP = JW = J ϕ总
2
= J ϕπ = J
∑C
I
ϕ1 ϕ2 + =0 υ1 υ2 ϕ1 + ϕ2 = ϕ
υ1 ϕ1 = ϕ υ1 − υ2 υ2 ϕ2 = − ϕ υ1 − υ2
5
二、薄透镜的初级球差： 薄透镜的初级球差：
1 单薄透镜： ′ 1. 单薄透镜：δ L0 = − 2n′u ′2
1 ρ= r 1 σ= l
1 ∑ SI = − 2n′u′2
OSC = 0.00049
如果球差需要矫正，采用对透镜组整体弯曲的方法 采用对透镜组整体弯曲的方法，基本上保持 采用对透镜组整体弯曲的方法 色差不变
中间的空气间隔，是带球差和正弦差矫正的因素
12
ϕ I = 0.02013, ϕ II = −0.01013
ρ 2 = −0.022455, ρ3 = −0.022457 或 ρ 2 = 0.014190， ρ3 = 0.053187
一、薄透镜的初级位置色差： 薄透镜的初级位置色差： 单薄透镜： 1. 单薄透镜：
ϕ 1 2 ϕ ′ C I = h , δ lch = − C I = −l ′ 2 υ n′u′ υ
薄透镜系统的初级像差理论
1.6.3薄透镜系统的初级像差理论[2]1.6.3.1初级像差理论在像差理论中，把各项像差和物高y （或视场角ω）、光束孔径h （或孔径角u ）的关系用幂级数的形式表示出来。
把最低次幂对应的像差量称为初级像差，而把较高次幂对应的像差量称为高级像差。
初级像差理论忽略了y 及h 的高次项，在y 及h 均不大的情况下，初级像差理论能够很好的近似代表光学系统的像差性质，为研究和设计工作带来极大的方便。
1.6.3.2薄透镜系统的初级像差方程组如果一个透镜组的厚度和它的焦距比较可以忽略，这样的透镜组称为薄透镜组。
由若干个薄透镜组组成的系统，称为薄透镜系统（透镜组间的间隔是可以任意的）。
对这样的系统在初级像差的范围内，可以建立像差和系统结构参数之间的直接函数关系。
如图1-16为一个简单的薄透镜系统示意图。
我们取两条辅助光线：第一辅助光线是由轴上点发出的经过孔径边缘的光线，它在第i 个透镜上的投射高为i h ；第二辅助光线是轴外点发出的经过孔径中心的光线，它在第i 个透镜上的投射高为zi h 。
而且第i 个透镜的光焦度也是已知的为i ϕ。
每个透镜组的i h 、zi h 和i ϕ叫做透镜组的外部参数，都是已知的，和薄透镜组的具体结构无关；对应的，每个透镜组的i r 、i d 、i n 称为透镜组的内部结构参数。
像差既和外部结构参数有关也和内部结构参数有关。
薄透镜系统初级像差方程组的作用是把系统中各个薄透镜组已知的完部参数和未知的内部结构参数与像差的关系分离开来，便于研究。
下面是各像差和数公式：球差和数''2'2[]i i iS nu L h p δI =-=∑（1-17）弧矢彗差和数'''2[]S zi i i iiS n u K h p J W II =-=-∑∑（1-18）像散和数2''2'2[2]zi zi tsi i i i i ii ih hS n u x p J W Jh h ϕIII =-=-+∑∑∑（1-19）像弯和数 2''2'22[2(1)]z i z iV Pi ii i i i iii h h S n u x p J W J h h ϕμI =-=-++∑∑∑ （1-20）畸变和数 32'''2222[3(3)]ziziziV zi i i i i i i iiih h h S n u y p JW J h h h δϕμ=-=-++∑∑∑ （1-21）轴向色差和数''2'2[]C FC i i iS n u L h C I =-∆=∑（1-22）垂轴色差和数'''[]C FC zi i i iS n u y h hC II =-∆=∑ （1-23）其中，'n 、'u 为系统最后像空间的折射率和孔径角，'''J nu y =是系统的拉格朗日不变量，他们以及每个透镜组的外部参数i h 、zi h 和i ϕ可以当成已知常数，在方括号里的求和式∑中，每个透镜组对应一项。
第2章 薄透镜系统的初级像差方程组
S IIC = −n′u ′∆y ′ = ∑ hz hC FC
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像差方程组的用途： 像差方程组的用途： 1. 可以得到薄透镜组的像差性质。 可以得到薄透镜组的像差性质。 2. 已知像差的数值，反求结构参数。 已知像差的数值，反求结构参数。
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D = 160
F’
f’＝4000 ＝
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Q 值为： 由表3 用插值法得到n=1.5163 n=1.5163时的 由表3－1用插值法得到n=1.5163时的 P0 ， 0 值为：
P0 = 2 .05
Q 0 = − 1 . 26
由于透镜为平凸形，并且凸面向前， 由于透镜为平凸形，并且凸面向前，所以 c2 = 0 ， 代入公式 Q = c 2 − 1 ，得：
3
80 3 P = P (hϕ ) = 2.21( ) = 1.77 × 10 −5 4000
80 2 W = W (hϕ ) = −0.284( ) = −1.14 × 10 − 4 4000
2
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2
对单透镜求和
∆u i u i W = ∑ ∆(1 / n ) ∆ n i i
对透镜组中每 个折射面求和
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南京理工大学紫金学院 薄透镜系统的初级像差方程组
δL′ = [∑ hP] − 2n′u′2
′ KS =
(1)
− 2n′u ′ = ′ KT 3
[∑ h P − J ∑W ]
P=
P ( hϕ ) 3
W =
W ( hϕ ) 2
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第二讲光学设计软件zemax的应用——薄透镜系统的初级像差理论
SΙC , SΙΙC ，把已知的外部参数代入，列出 把已知的外部参数代入，
只剩下各个透镜组的像差特性参数P,W,C的初级像差方 的初级像差方 只剩下各个透镜组的像差特性参数
像差特性参数P,W,C的归一化 的归一化 像差特性参数
1、P,W对入射高和焦距的归化： 、 对入射高和焦距的归化： 对入射高和焦距的归化 表示， f ' = h = 1 时的像差特性参数和入射角用 P , W , u1 表示，则 有， u1 W P u1 = W= P= 2 3 hϕ ( hϕ ) ( hϕ )
设计方法 •用初级像差理论求解薄透镜组的结构参数 用初级像差理论求解薄透镜组的结构参数 •从现有的资料中找出一个光学特性相近的系统作为原 从现有的资料中找出一个光学特性相近的系统作为原 始系统
初级像差与y 初级像差与y，h的关系 初级球差 δ L ' = a1h 初级彗差
2
K 's = a2 h 2 y
( −n ' u ')
n ', u '
系统最后像空间的折射率和孔径角 拉格朗日不变量 每个透镜组的外部参数
J = n ' y 'u '
ϕ , h, hz
以上参数都是已知的
P, W , C , µ 每个透镜组出现四个未知数，称内部参数 每个透镜组出现四个未知数，
µ=
∑ ni
ϕi
ϕ
ϕ = ∑ ϕi
µ
一般取近似值0.7 一般取近似值
2、P,W对物距的归一化 、 对物距的归一化 对物距归化即对
f ' = h = 1, u1 = 0
归化， u1 归化，
符号代表， 的像差参数由 P∞ , W∞符号代表，直接给出两者之间的 关系： 关系：
薄透镜成像理论及应用
薄透镜成像理论及应用引言：薄透镜是光学中常见的元件之一，它的成像原理和应用广泛。
本文将介绍薄透镜的成像理论，以及它在实际应用中的一些案例。
一、薄透镜成像理论薄透镜成像理论是光学中的基础知识之一。
薄透镜是指其厚度相比于其曲率半径来说非常薄的透镜。
根据薄透镜成像理论，光线通过透镜时会发生折射，并在另一侧形成一个成像。
1.1 透镜的焦距透镜的焦距是薄透镜成像理论中重要的概念之一。
焦距是指光线经过透镜后会汇聚到的点或者看似汇聚的点。
对于凸透镜来说，焦距是正的，而对于凹透镜来说，焦距是负的。
1.2 透镜成像公式透镜成像公式是薄透镜成像理论中的核心公式。
它描述了物体与成像之间的关系。
根据透镜成像公式，可以计算出物体的位置、成像的位置以及成像的放大倍数等信息。
1.3 光线追迹法光线追迹法是薄透镜成像理论中常用的方法之一。
通过绘制光线的路径，可以直观地了解透镜的成像原理。
光线追迹法可以帮助我们理解透镜的工作原理，并预测成像的效果。
二、薄透镜的应用薄透镜不仅在理论研究中有重要作用，还在实际应用中得到了广泛的应用。
下面将介绍薄透镜在光学仪器、眼镜和摄影等方面的应用。
2.1 光学仪器薄透镜在光学仪器中有着重要的应用。
例如，显微镜和望远镜中的物镜和目镜都是由薄透镜组成的。
薄透镜的成像原理使得光学仪器能够放大远处的物体，使其能够清晰可见。
2.2 眼镜薄透镜在眼镜中的应用是人们熟知的。
近视眼和远视眼患者可以通过佩戴适当的薄透镜眼镜来矫正视力。
薄透镜的成像原理使得眼镜能够将光线正确地聚焦在视网膜上，从而改善视力。
2.3 摄影薄透镜在摄影中也有重要的应用。
相机中的镜头就是由薄透镜组成的。
薄透镜的成像原理使得相机能够捕捉到清晰的图像。
此外，透镜的不同焦距可以实现不同的拍摄效果，如广角、望远等。
结论：薄透镜成像理论是光学中的重要内容，通过了解薄透镜的成像原理，可以更好地理解光学现象。
薄透镜在实际应用中有着广泛的应用，包括光学仪器、眼镜和摄影等领域。
薄透镜pw
反之，可求得
P P u1 4W 1 u12 3 2
单透镜的 P 、W 、 C 和结构参数的关系
色差参数 C 1 不可能为0，因此单透镜不能消色差
单色像差参数 P ，W，除了与玻璃的折射率n有关，还和透 镜形状有关，用新的参数Q来表示单透镜的形状
' ts
hz2 h ' '2 x P 2 J z W J 2 / 2nu h h
' s
hz3 hz2 h ' ' y 2 P 3J 2 W J 2 z 3 / 2nu h h h
• 色差特性
（1）一个薄透镜组消除了轴向色差必然同时消除垂轴色差 值的玻璃 （2）欲薄透镜组消除色差必须使用两种不同 （3）薄透镜组的消色差条件与物体位置无关
像差特性参数P、W、C的归一化
归一化就是把对任意物距、焦距、入射高时的像差特性参数，在保持透 镜组几何形状相似的条件下，转变成焦距等于1.入射高等于1，物平面 位在无限远时的像差特性参数。 （1）P,W对入射高和焦距的归一化
P P0 0.85 W 0.15
2
根据 P ，W， C 找出玻璃材料和求出参数结 构
（1）由 P , W 求 P 0
P0 P 0.85 W 0.15 2
0 （2）根据 P 和 C 查 Q0 值
' z
2 ' '2 L'FC h C / nu
' ' ' yFC h hC / nu z
薄透镜的成像特性
摄影镜头：薄透 镜是摄影领域中 常用的镜头之一， 能够通过调整焦 距实现不同拍摄 效果。
显微镜镜头：薄 透镜可以作为显 微镜的镜头，帮 助科学家观察微 观世界。
矫正视力：薄透 镜可以用于矫正 视力，如近视眼 镜和远视眼镜等。
显微镜镜头
显微镜镜头： 薄透镜作为显 微镜的镜头， 能够使物体放 大，让人们观 察到更细微的
透过性能
检测与校正：对透镜进行光 学检测和校正，确保成像质
量
薄透镜的材料选择
光学玻璃：具有高折射率、低色散等特点，是制造透镜的主要材料之一。
晶体：某些晶体具有特殊的物理性质，如光学晶体，可用于制造特定波段 的透镜。
塑料：具有重量轻、价格低廉等优点，常用于制造轻便透镜。
复合材料：由多种材料组合而成，具有优异的机械性能和光学性能，常用 于制造高性能透镜。
薄透镜的放大倍数和视角
薄透镜的放大倍数由物距和焦距决定， 当物距大于焦距时，透镜具有放大作 用。
视角是观察物体时，眼睛与目标之间 的夹角。薄透镜的成像规律可以改变 视角，使得物体看起来更加清晰。
薄透镜的焦距越短，放大倍数越高， 视角越广。
薄透镜的成像规律还与透镜的形状有 关，球面透镜和抛物面透镜具有不同 的成像特性。
薄透镜的设计 基于光的折射
原理
透镜的形状和 材料影响其成
像特性
薄透镜的设计 需要考虑透镜 的厚度和曲率
现代薄透镜设 计技术不断发 展，提高了成
像质量
薄透镜的制造工艺
研磨与抛光：将材料研磨成 薄透镜形状，并进行抛光处 理
材料选择：选择高透光率、 低色散、高硬度的光学玻璃
镀膜工艺：在透镜表面镀上 多层膜，提高透镜的反射或Leabharlann 5薄透镜的性能测试与评 估
光学中的薄透镜成像原理与光学成像系统分析
光学中的薄透镜成像原理与光学成像系统分析在日常生活中，我们经常使用各种光学设备，如相机、显微镜和望远镜等。
这些设备的核心是光学成像系统，其中薄透镜起到至关重要的作用。
本文将介绍薄透镜的成像原理，并对光学成像系统进行分析。
1. 薄透镜的成像原理薄透镜是由两个球状或非球状的曲面组合而成，透镜中心轴称为光轴。
根据薄透镜的形状，分为凸透镜和凹透镜。
凸透镜使光线向透镜的中心轴弯曲，凹透镜则使光线从透镜的中心轴弯离。
当平行光线通过薄透镜时，会根据透镜的形状发生折射。
凸透镜使光线向光轴聚焦，而凹透镜则使光线分散。
这种折射产生的光线交汇点称为焦点。
凸透镜有正焦点和负焦点之分，而凹透镜只有负焦点。
薄透镜的成像原理可以通过以下公式描述：1/f = 1/v - 1/u，其中f是透镜的焦距，v是物体到透镜的距离，u是像到透镜的距离。
根据这个公式，我们可以计算出物体的实际大小、像的位置和大小。
2. 光学成像系统的分析光学成像系统包括物体、透镜和成像面。
物体可以是实际物体或光源，透镜是实现成像的关键元件，成像面是捕捉光线交汇点的表面。
在光学成像系统中，透镜起到集中或分散光线的作用。
凸透镜使光线聚焦在焦点处，凹透镜则使光线分散开来。
透镜的焦距决定了光线的聚焦或分散程度。
焦点前的光线聚焦，焦点后的光线发散。
成像面是光线交汇的表面，可以是摄像机的感光面或人眼的视网膜。
在成像面上，我们可以看到透镜成像的结果，包括物体的像的大小、位置和清晰度。
光学成像系统的分析涉及到透镜的像差、光线衍射和光学畸变等因素。
像差是由透镜设计和制造过程中的不完美引起的。
常见的像差包括球差、色差和像散。
球差是由于透镜不同位置所聚焦的光线会有微小差异导致的，色差则是由于不同波长的光线在透镜中的折射率不同所引起的。
像散是指光线在透镜中经历不同的折射程度，导致不同波长的光线聚焦在不同位置。
光线衍射是另一个影响光学成像系统性能的因素。
它是光通过透镜边缘时发生的现象，导致图像边缘出现模糊或扩散的效果。
华中科技大学 《应用光学》课程——第九章 光学系统的像差
L′
-δL′
l′
β— 近轴区垂轴倍率
2. 正弦条件(不晕成像)：轴上点及近轴外点均理想成像
不晕成像条件： SC 0,L 0
1 n sinU 1
nsinU
nysinU nysinU （无球差也无正弦差）
y n sinU
y nsinU
a：物在无穷远：
nysinU ny sinU 物有限远的正弦条件
有负球差为“校正不足”， 有正球差为“校正过头”。
5. 光学系统的球差分布公式：
令
1 2
S
niZ
Z LsinU LsinU
单个折射面的球差表达式
L'
nu sinU nu sinU
L
1 2nu sinU
S
S
单个折射面的球差分布系数
整个系统的球差表达式
Lk
n1u1 sin U1 nk uk sinU k
不晕点
sinU ' sin I n' L sinU sin I ' n L'
不晕透镜（齐明透镜）：满足不晕条件
例：设计一齐明透镜，第一面曲率半径r1=-95mm，物点 位于第一面曲率中心，第二面满足齐明条件。若该透镜厚 度d=5mm，折射率n=1.5，该透镜在空气中，求：
1）该透镜第二面的曲率半径；
-U1
A2’
A1
-r1
d
-L1
-L2
-L’2 齐明透镜
L n n r n
s in U 3
s in U1
s in U1 n
n1=1
n2=n
n3=1
-U3
A’2 -U1
A1
d
第十章 初级象差
第十章初级象差§10-1 初级像差的一般表示式光学系统对轴外点成像时，像点处将具有各种像差。
由轴外点发出空间光线，在像空间与近轴光线的位置相比较，可得到包括各种像差的一般表示式。
设物面坐标为x，y；入射光瞳面的坐标η，ζ。
如图10-1所示。
由子午面内的轴外点B发出的空间光线BD，将由y，η，ζ所决定，通过光学系统后为光线B`D`与出射光瞳交于点D`。
由于实际光学系统存在像差，空间光线BD通过光学系统后的共轭光线B`D`和子午面的交点B T`并不在高斯像面上。
点B T`与高斯像面的轴向偏离以ΔL`表示。
光线B`D`和高斯像面的交点B`也不与理想像点B0`重合，它们之间的偏离B0`B`为空间光线的垂轴像差或横向像差。
可分解为子午像差分量δY`和δz`。
显然ΔL`，δY`和δz`为y，η，ζ的函数。
由§9-9可知像差可以对光学系统展开为级数，第一项为初级像差，以后分别为二级像差、三级像差等。
同样的方法也可以用来分析ΔL`，δY`和δz`与y（视场），η，ζ（孔径）之间的复杂关系。
即把ΔL`，δY`和δz`展开成y，η，ζ的级数，只取其第一项，这样才有可能从理论上导出空间光线的初级像差的一般表示式。
空间光线的轴向像差和垂轴像差的精确值，由空间光线的光路计算求得。
而对于初级像差可用解析的方法导出。
一、轴向像差ΔL`由于初级像差只是包含孔径和视场的低级次项，对于大的孔径和视场失去意义，因而只适用于光轴附近的区域，因而可用与折射球面相切的坐标平面hOH表示该折射面，如图10-2所示。
轴外点B可看作辅轴BC上的轴上点，该辅轴和高斯像面的交点B0`即为轴外点B的高斯像点。
沿辅轴方向对物点B作近轴光路计算求得其像点B N`，其仍为辅轴上的点。
由于存在像面弯曲，点B N`不与高斯像点B0`重合。
由于辅轴在子午面内，同时又和折射面前后的空间光线BM和MB`构成一个平面，所以辅轴是子午面和光线所在平面BMB`的交线，且折射后的空间光线MB`和子午面的交点B`T 在辅轴上。
光学设计 第14章 光学系统初始结构设计方法概要
第三篇光学系统设计光学仪器的基本功能是借助于光学原理，通过光学系统来实现的。
光学系统的优劣直接影响仪器的性能和质量，因此，光学系统设计是光学仪器设计和制造过程中的重要一环。
本部分的目的是使读者获得光学设计所需要的基本理论和知识，并通过必要的设计实践以掌握光学设计的初步能力。
光学设计工作大体上可分四个阶段：一、根据仪器的技术参数和要求，考虑和拟定光学系统的整体方案，并计算其中各个具有独立功能的组成部分的高斯光学参数；二、选择各组成部分的结构型式，并查取或计算其初始结构参数；三、逐次修改结构参数，使像差得到最佳的校正和平衡；四、对设计结果进行评价。
上述各个阶段性工作之间有着密切的联系，前期工作的合理与否会影响到后期工作能否顺利进行，甚至会决定设计工作能否成功。
光学系统的整体方案可以有很大的灵活性和多样性，应该力求在满足仪器的性能要求的前提下，寻求一个简单易行、便于装调和经济合理的最佳方案。
相应地，系统各组成部分的光学性能参数也应根据整体要求定得恰如其分。
选择结构型式是光学设计中的重要一步，可能导致设计的成败。
现在，各种用途的光学镜头已积累起种类甚多的结构型式，它们有各自的像差特征和在保证像质时可能达到的相对孔径和视场，有些型式还能在工作距离或镜筒长度等参数方面达到其特殊要求。
因此，基于对已有结构型式基本特征的全面了解，有可能挑选到符合要求的型式。
但应注意到，随着对镜头要求的不断提高，设计者还应不断探求和研究新的更佳结构。
镜头初始参数的获得一般采用二种方法，一是根据初级像差理论求解满足初级像差要求的解，另一种方法是在已有的设计成果中选取性能参数相当的结果作为初始参数。
像差的平衡是一项通过反复修改结构参数以逐步逼近最佳结果的工作，这在过去以人工计算光路时，工作量是很大的。
计算机应用于光学设计后，先是取代了繁重的光路计算，随后又用于像差自动平衡，才根本上改变了光学设计的面貌。
应用像差自动平衡方法，能充分挖掘出系统各个结构参数对像差校正的潜力，不仅极大地加快了设计进程，而且显著提高了设计质量。
薄透镜教距的测定及像差的观察
x始 10 10 10
x左 21.9 21.8 22.2
d 46.4 46.3 46.0
x右 68.3 68.1 68.2 80 80 80
x末
L 70 70 70
f’ 9.811 9.844 9.943
f’的平均值为 9.866. 【实验结果与分析】 ： 1. 分析本实验的系统误差，对于物距像距法，主要是测量物屏，透镜及像位置时，滑座上的读数准线和被测平 面是否重合，如果不重合将带来误差。对于位移法测凸透镜焦距，不存在这一问题。通过上述两种方法测透镜焦 距符合程度来确定系统误差对结果的影响。 本实验的偶然误差主要是人眼观察，成像清晰度引起的误差，由于人眼对成像的清晰分辨能力有限，所以观察到 的像在一定范围内都清晰，加之其他因素的影响，清晰成像位置会偏离真实像。
广东第二师范学院学生实验报告院系名称物理与信息工程系班别物理与信息工程系班别姓名专业名称学号实验课程名称普通物理实验实验项目名称薄透镜焦距的测定及像差的观察实验时间2016年年4月月30日实验地点物理实验室实验成绩指导老师签名内容包含
广东第二师范学院学生实验报告
院（系）名称 物理与信息工程系 班 姓名 别 专业名称 学号 实验课程名称 普通物理实验 实验项目名称 薄透镜焦距的测定及像差的观察 实验时间 2016 年 4 月 30 日 实验地点 物理实验室 实验成绩 指导老师签名
4
5
由公式（1）与图中的几何关系可得：
1 1 1 u1 D u1 f 1 1 1 u1 d D u1 d f
由上两式右边相等得：
u1
D d
2
将（5）式代入（3）式得：
f
D 2 d 2 D d D d 4D 4D
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μ对薄透镜组来说近似为一与结构无关的常数，大约等于
0.7。由上式看到 数。
x 'p显然也应该是一个与结构无关的常
薄透镜组的色差特性
1.一个薄透镜组消除了轴向色差必然同时消除垂轴色差
薄透镜组的两种色差，由唯一的色差参数C 确定，当轴 向色差等于零，则C =0, 垂轴色差也同时等于零。
SIC n'u'2L'FC h2C
一个薄透镜组只能校正两种初级单色像差
五个单色像差方程中，每个薄透镜组只出现两个像差特
性参数P，W。不同结构的薄透镜组对应不同的P，W 值，
它们是方程组中的两个独立的自变量。利用这两个自变量， 最多只能满足两个方程式，因此一个薄透镜组最多只能校 正两种初级像差。
光瞳位置对像差的影响
（1）球差与光瞳位置无关
hz3 p 3J h2
hz2 W J 2 h2
hz (3 )] (2n'u ' )
h
L'FC [ h2C] (n'u'2 )
yF' C [ hzhC] (n'u' )
以上公式中 n,u为系统最后像空间的折射率和孔
径角，J是系统的拉格朗日不变量J= nuy ,它们 都是已知常数，每个透镜组的外部参数 , h, hz 也
厚透镜可以看作是由两个平凸或平凹的薄透镜加 一块平行玻璃板构成，如图3-1所示。因此任何一 个光学系统都可以看作是由一个薄透镜系统加若 干平行玻璃板构成。
2 薄透镜系统的初级像差方程组
第一辅助光线：
由轴上物点A发出，经过孔径边缘的光线AQ
第二辅助光线：
由视场边缘轴外点B发出经过孔径光阑中心O的光线BP
我们无法把P、W表示为(
ri
,n
)的函数，而用第一辅助光线
i
通过每个折射面的角度来表示。它们的具体公式是：
P
ui (1 ni
)
2
ui ni
;
式中
W
ui (1 ni
)
ui ni
ui ui' ui ;
1 n
1 ni'
1 ni
;
ui ni
ui' ni'
ui ni
式中的和式∑是对该薄透镜组中每个折射面 求和的结果
无关，因此只需要对透镜组的焦距进行归化。如果把 透镜组的焦距f’归化为1，只要把每个单透镜的焦距， f’都除以f’，光焦度φ则乘以 f’，因此有：
C C f'
把任意焦距、入射高和物距的透镜组的像差特性参数P，
W，C 归化成f’=h=1,u1 =0时的像差特性参数P ,W , C 。
只要解决了由 P ,W ,C 求透镜结构参数的问题，也就
SI 2n'u'2L' hp
（2）彗差与光瞳位置有关，但球差为零时， 彗差即与光瞳位置无关。
SII
2n'
u'
K
' S
hz p J
W
如果球差为零，则对应P=0，这时
项，因此与光瞳位置无关。
hz P
0 中与有关的
光瞳位置对像差的影响
（3）像散与光瞳位置有关，但是如球差、彗差都等 于零，则像散与光阑位置无关。
n 1
nF nC
它是光学玻璃的一个特性常数，n为指定波长光线的折
射率，(nF nC ) 为计算色差时所用的两种波长光线的折射率 差————色散。
C只与透镜组中各单透镜的光焦度和玻璃的色散有关，
而和各单透镜的弯曲形状无关。
单色像差参数：P、W
它们和透镜组中各个折射面的半径和介质的折射率有关。
数 S I SV SIC , SIIC ，把已知的外部参数 , h, hz ,代J 入，
列出只剩下各个透镜组的像差特性参数P、W、C的初级像
差方程组。
（2）求解初级像差方程组得到对每个薄透镜组要求的P、 W、C 值。
（3）由P、W、C 求各个透镜组的结构参数
3 薄透镜组像差的普遍性质
薄透镜组的单色像差特性
能解决由P,W,C求透镜组结构数的问题。这样无疑使问
题大为简化。
5 单透镜的 P , W , C 和结构参数的关系
薄透镜系统的求解过程： 设计一个薄透镜系统，在完成外形尺寸计算后，根据对 系统的像差要求，即可列出初级像差方程组，求解方程组
xt's [
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
] (n'u '2 )
如果系统消除了像散，xt's 0 ：
[ hz2 p 2J hz W J 2 ] 0
h
h
将上式代入下式
xs' [
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
(1 )] (2n'u '2 )
把
x
' p
作为薄透镜系统的初级像差方程式。
在式（3-8）～（3-14）和（3-20）右边的分母
上都有一个与透镜组内部结构无关的常数 n,u 组
成的常数项。为了简化，我们把它们都移到等式 左边，等式右边只留下与透镜组内部结构有关的 部分，并用一组新的符号代表，得到下列方程组：
SI 2n'u'2L' hp
n 玻璃的折射率 i 变化不大，一般在1.5～1.7左右，因
此近似为一个和薄透镜组结构无关的常数。 通常取的
平均值为0.7。
这样，每个薄透镜组的内部参数实际上只剩下P，W，
C三个。其中C只和两种色差有关称为“色差参数”。它
的公式为 C i
i
以上∑和式中 i 为该透镜组中每个单透镜的光焦度，
为该单透镜玻璃的阿贝数 i
根据P，W的公式,它们的值显然不会改变
再把入射高 h 放大到1，则光线的所有角度将增加
1 h 倍
P，W 将分别增加 1 (h)3 和 1 (h)2 倍
f’=h=1时的像差特性参数和入射角用 P ,W ,u1 表示
P P ;
(h )3
W W ;
(h )2
u1
u1
h
如果我们能由 P , W 求出了透镜组的结构参数，只
L' [ hp] (2n'u'2 )
K
' S
[
hz p J
W]
(2n'u ' )
K
' T
3
xt's [
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
] (n'u '2 )
x
' s
[
hz2 p 2J h
hz W J 2 h
(1 )] (2n'u '2 )
y
' z
[
SII
2n'u'
K
' S
hz p J
W
SIII n'u '2 xt's
hz2 p 2J h
hz W J 2
h
SIV 2n'u'2 x'p J 2
SV
2n'u'y
' z
hz3 h2
p 3J
hz2 h2
W
J
2
hz (3 )
h
SIC n'u'2L'FC h2C
在像差理论的研究中，有实际价值的是初级像差理论
1.初级球差 2.初级彗差
初级像差
L' a1h2
K
' S
a2h2 y
3.初级子午场曲 4.初级弧矢场曲
xt' a3 y 2 xs' a4 y 2
初级像差
5.初级畸变
y
' z
a5 y3
6.初级轴向色差
l
Байду номын сангаас
' FC
C1
7.初级垂轴色差
y
' FC
3.薄透镜组的消色差条件与物体位置无关
消色差条件
i 0
i
中不出现与物体位置有关
的参数，因此一个薄透镜组对某一物平面消了色
差，对任意物平面都没有色差。
4 像差特性参数P，W，C 的归化
归化就是把对任意物距、焦距、入射高时的 像差特性参数，在保持透镜组几何形状相似的 条件下，转变成焦距等于1，入射高等于1，物 平面位在无限远时的像差特性参数。
SIIC n'u'yF' C hz hC
S I SV 称为第一至第五像差和数 S IC , S IIC 称为第一和第二色差和数
今后我们在讨论像差和结构参数的关系时，直接 应用这些像差和数的公式，它们和像差之间只相 差一个常数因子。
由初级像差直接求解薄透系统的结构参数，大体 步骤是：
（1）根据对整个系统的像差要求，求出相应的像差和
得
xs' J 2 (2n'u'2 )
由于
xt's 0
,因此子午和弧矢场曲相等
xt'
x
' s
时的场曲称为Petzval场曲，用符号
x
' p
表示：
x
' p
J2
(2n'u'2 )
，这
如果
x
' ts
不等于零，则可以得到
xs'
x
' p
1 2
xt's ;
xt'
x
' p
3 2
xt's
其因他此两个x也t' ,就xs'是, x确'p定, x的t's 了四。者由中于只具要有确某定了些其特中殊任性意质两，个我，们